Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  21  (1983) O  STOSOWANIU  NIEPROSTOKĄ TNYCH  ELEMENTÓW CZASOPRZESTRZENNYCH ZBIGNIEW  K Ą C Z K O W S KI W arszawa Praca napisana  na jubileusz XXV- leda  Polskiego  T owarzystwa  Mechaniki  T eoretycznej i  Stosowanej 1.  Wstę p W  dotychczasowych  pracach  poś wię conych  metodzie  Skoń czonych  Elementów  Cza- soprzestrzennych  (SKECZ)  przyjmowano,  że  podział   konstrukcji  na  elementy  w  prze)* strzeni  trójwymiarowej  jest  ustalony,  a każ dy  z elementów  czasoprzestrzennych  obejmuje wycinek  czasoprzestrzeni  rozpię ty  na  obszarze  odpowiedniego  elementu  przestrzennego i  ograniczony  dwiema  kolejnymi  chwilami.  Zał oż enie  to  doprowadził o  do  algorytmów (por.  KĄ CZKOWSKI  [1 -  3])  podobnych  do  tych,  do  jakich,  dochodzi  się   przy  stosowaniu innych  metod  bezpoś redniego  cał kowania  numerycznego  równań  ruchu  (por.  BATH E, WILSON   [4]). Jednakże  stosowanie  w  metodzie  SKECZ  wył ą cznie  takich,  szczególnego  typu  ele- mentów,  które  skrótowo  nazywać  bę dziemy  elementami  prostoką tnymi,  jest  istotnym ograniczeniem  moż liwoś ci  kryją cych  się   w  obmyś lonej  przez  nas  metodzie.  Stą d  zarówno praca  autora,  [3],  o  „ ogólnym  sformuł owaniu"  metody  SKECZ jak  i  praca  KĄ CZKOW- SKIEGO i  LANGERA,  [5], o „syntezie  metody"  odnoszą   się   de facto  do  szczególnej  odmiany metody  SKECZ,  bazują cej  na  czasoprzestrzennych  elementach  prostoką tnych. W  pracy  niniejszej  wskaż emy  podstawowe  zalety  stosowania  nieprostoką tnych  - ele- mentów  czasoprzestrzennych.  Ponieważ  zaś  rozpatrywane  tu  zadania  bę dą   się   odnosił y do  ustrojów  prę towych,  przeto  ich  elementy  czasoprzestrzenne  bę dą   miał y  formę   trój- ką tów.  U ogólnienie  rozważ ań  na  ustroje  powierzchniowe  wymagał oby  wprowadzenia elementów  czasoprzestrzennych  o  formie  ostrosł upa,  a  w  przypadku  rozpatrywania  ciał trójwymiarowych  trzeba  bę dzie  budować  hiperostrosł upy  czterowymiarowe. 2.  Drgania poprzeczne  struny  wywołane  przesuwają cą   się   siłą W  pracy  [1]  zajmowaliś my  się   nietł umionymi  drganiami  struny,  której  ruch  moż na opisać  nastę pują cym  ukł adem  równań  macierzowych: (2.1)  s  =   8w,  a  =  Es,  8T t \ cS. ^ \ i  .   A \ d\ NA- V X Rys.  1.  P odział   obszaru  czasoprzestrzennego  na  elementy  w  przypadku  przesuwają cej  się   sił y ly  W  klam ry  {  },  [~ J  ujmujemy  macierze  odpowiednio: jednokolumnowe  i  diagonalne. ELEMENTY  CZASOPRZESTRZENNE 533 Nic  nie stoi jednak  na przeszkodzie  takiemu  podzieleniu  obszaru  czasoprzestrzennego, aby punkt przył oż enia sił y znajdował  się  stale na linii oddzielają cej  od siebie  dwa elementy czasoprzestrzenne  (rys.  1). W są siedztwie  sił y pojawiają   się   wię c  elementy trójką tne  trojakiego  rodzaju,  pokazane na rys. 2. Ich macierze sztywnoś ci  znajdujemy  w sposób typowy,  opisany m.in. w  monografii ZIENKIEWICZA  [6].  Macierze  kształ tu  przyję liś my  w  postaci: "~[  2 x (2.5) 2a  2ft  '  2a  '  2ft  I' t  x  t ~2h'T ~T '~2h Po  wykonaniu  na  tych  macierzach  operacji (2.6)  Ś .- 8N ,',  -   e =  a,b,c, otrzymujemy: (2.7) Macierze  sztywnoś ci  znajdujemy  na  podstawie  ogólnego  wzoru (2.8)  K e =  f  B T EBdQ. n otrzymują c  dla (2.9) kolejno: 1 2a 1 2/ i 1 2a 0 0 1 2h 1 a 1 1 a 0 0 1 2ft )  C "  1 a 1 1 a 1 0 1 2   a   - Rys.  3.  Element  czasoprzestrzenny masy  skupionej 534 Z .  KĄ CZKOWSKI (2.10) N x h la N x h Aa N x h 4a 1 - A2 - 1 A2 • 4 - A2 — 4 A2 '  4 - - A2 - 1 1 0 _ 4 4 0 A2  • 2A2 A2" 0 — A2 A2" 0 — A2 — - 4 + 2 A2 4 —4 3 2 2A2 2c A  *\ 4c - A 2A 0 - 1 1 "  3 — 4 1 1- 1 2 - 1 1 0 - 4 4 0 N x Ac 1 0 - 1. r 0 •   3 - 2 » 2 0 2 - 1 2 - 1 M acierz  sztywnoś ci  elementu  prostoką tnego  wyprowadziliś my  w  pracy [1]: (2.11) N Ji 6a 2c 2- 2A2  - 2 - A2 - 2 - A2  2- 2A2 1+ 2A2  - 1  +  A2 - 1  +  A2  1+ 2A2 0  - i  i  o" - 1 0  0  1 1  o o - i 0  1 - 1 0 1+ 2A2  - 1  +  A2 • 1 +  A2  1+ 2A2 2- 2A2  - 2 - A2 - 2- A2  2- 2A2 G lobalny  ukł ad  równań  metody  SKECZ  zapiszemy  w  postaci: (2.12) " J K 0 0  '  Koi K 10  I K 1 1  K12 ! i  • i A"21  K22\ K23 J T 3 2  ! iST 3 3 w2 = F 2 " F 3 N a  p o d wekt o ry  B>S  ( F S )  skł adają   się   wszystkie  przem ieszczen ia  (impulsy)  wystę pują ce w  chwili  5.  P odwekt ory  o  n u m erach  parzystych  (s  —  0,2,4,  ,..)  zawierają   wię c  p o  pię ć skł adowych  wl(Ff),  (i  =   1, 2, 3, 4, 5),  a  podwektory  o  n um erach  n ieparzystych — p o sześć  skł adowych . N p . : ,  wl,  wl,  wj},  ... wj, W  zwią zku  z  tym  podukł ady  równań  o  numerach  parzystych  (s  — 0, 2, 4,  ...)  skł adają się   z  pię ciu  równań  o  sześ ciu  nowych  niewiadomych  w  chwilach  s+l  =   1,  3,  5,  ..., a podukł ady równań o nieparzystych numerach  skł adają   się  z sześ ciu równań  zawierają cych po  pię ć  nowych  niewiadomych,  skł adowych  wektorów  ws(s  —  2, 4,  6  ...) . D latego  też,  chcą c  dojść  do  wzorów  rekurencyjnych  należy  ukł ad  (2.12)  podzielić na  podukł ady  w  sposób  oznaczony  liniami  przerywanymi.  Każ dy  z  owych  podukł adów bę dzie  zawierał   po  11  równań  z  11  niewiadomymi.  Ogólna  postać  takiego  podukł adu bę dzie  nastę pują ca: ELEMEN TY  CZASOPRZESTRZEN N E 535 (2.14)  J2r,2r- 1 przy  czym  jest: (2.15) =   1, 2,  3,  ... O 2r,2r+l P r.2r+l (2.16) W 2 | - W 2 r - 1  -I - 1  _ ~   [ ł t, ar  J> \ K 2r ' 2r+l _ " "  jr2r+l,2r H / 2r+ l ]£2r+l,2r\ > O N a  podstawie  równania  (2.14)  otrzymujemy  nastę pują cy  wzór  rekuren cyjn y: (2.17)  W 2r+1  =   {Pr- 2r^ )- x{G2r~i obowią zują cy  również  dla  r  =   0  przy  podstawieniu (2.17)  W '1 - - Co  się  tyczy  obcią ż eń  zewnę trznych,  to  wystę pują  on e  w  postaci  im pulsów  2Ph w  wę zł ach  znajdują cych  się  na  linii  dział ania  sił y.  M am y  zatem : F°  =   {0 , 0 , 0 , 0 , 0 },  F ł   =   {2Ph,  0 , 0 , 0 ,  0 , 0 }, (2.18)   p 2  =   yph^   0^  Q >  Q ,   Q ^  p 3  =   {0 ^  2ph0^   Q >  0 )  Q } )  i t d W  rezultacie prostych  obliczeń  otrzymujemy  kolejno  rzę dne przemieszczeń  zestawion e w tablicy  1. Wszystkie  zawarte  w tej  tablicy liczby  należy pom noż yć przez wspólny  czynnik Tablica  1.  Przemieszczenia  struny  wywoł ane  przesuwaniem  się  sił y  bezmasowej M noż nik:  y  = 3  N x s  \ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a 1 1  b 0 0 2 2  3 2 .1 2 2 2 2 2 2 0 2  .  c 0 0 0 2 4 4  5 4 4 4 .  4 4 •   2 0 3  d 0 0 0 0 2 4 6 6  •   7 6 6 4 2 0 4  e 0 0 0 0 0 2 4 6 8 6  6 4 2 0 5  f 0 0 0 0 0 0 2 4 4 4 4 2  2 0 536 Z.  KĄ CZKOWS KI N ależy  podkreś lić,  że  zastosowanie  trójką tnych  elementów  czasoprzestrzennych pozwo- lił o  nam  w  tym  przypadku  uzyskać  wynik  ś cisł y,  co  przy  stosowaniu  elementów prosto- ką tnych  był o  niemoż liwe. Tok  obliczeń  nie  uległ by  istotnym  zmianom, gdybyś my  zał oż yli, że  sił a  P  = mg jest cię ż arem  masy  m  przesuwają cej  się   wzdł uż  struny.  N a  linii  przesuwania  się   tej  masy (rys.  1)  należ ał oby  tylko  zał oż yć  istnienie  dodatkowych  jednowymiarowych  elementów czasoprzestrzennych. W zagadnieniach statyki podobne elementy wprowadza  się  w miejscu wystę powania  ż eber  usztywniają cych  konstrukcję   powierzchniową . Zał óż my,  że  macierz  kształ tu  elementu przedstawionego  na  rys.  3  wyraża  się   nastę - pują co : (2.20)  N =1/ 2 [1- T ,1  +  T ]. Th Rys.  2.  Czasoprzestrzenne  elementy  trójką tne Dalej  znajdujemy  kolejno: o  ?n  » _  w -   r  i  11 (2.22) / Przy zał oż eniu (2.23)  m =  2^0, i  wykorzystaniu  zwią zków  (2.4)  i  (2.9),  otrzymujemy (2.24)  K e   =   - Tablica  2.  Przemieszczenia  struny  wywoł ane  przesuwaniem  się   masy  skupionej 2  /Hgfl YsaT~K~ 0 1 2 3 4 5 6 , 7 8 9 10 11 12 a 1 1  • ,  b 0 0 2 2  3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 4 4 4 4  • 4 4 4 4 0 c  3 d 0 0 0 0 2 5  4 6 • 6  7 6 6 6 2 2 4 0 0 0 0 0 2 4 6 8 8 4 4 '  2 e  5  f 0 0 0 0 0 0 2 4 4 7  4  • 6 4  3 0 ELEMEN TY  CZASOPRZESTRZEN N E 537 Tabl.  2 zawiera  zestawienie  rzę dnych  ugię cia  wywoł anych  opisanym  obcią ż eniem  inercyj- nym.  Zjawisko  przebiega  począ tkowo  identycznie jak  w  przypadku  przesuwania  się   sił y bezmasowej.  D opiero  od  momentu  spotkania  się   przesuwają cej  masy  z  falą   odbitą ,  co nastę puje  w  chwili  s  =   8,  przebieg  drgań  ulega  zaburzeniu. 3.  Drgania  struny  o  zmiennej  masie W przypadku przesuwania  się  wzdł uż struny inercyjnego  obcią ż enia cią gł ego  o masie  fi, masa  drgają ca  struny  [i przed  frontem  obcią ż enia  bę dzie  mniejsza  niż  ł ą czna  masa  fi+f*i przypadają ca  na jednostkę   dł ugoś ci  struny  obcią ż onej  (rys.  4),  P onadto w  obszarze  ob- cią ż onym  dział ać  bę dą   równomiernie  rozł oż one  siły  p  — (x x %. Wobec  zwię kszenia  się masy  wł aś ciwej  struny, w  odpowiedniej  jej  czę ś ci  prę dkość  rozchodzenia się   fal  poprzecz- nych  bę dzie  odpowiednio  mniejsza  i  wyniesie: (3.1) N x r t Rys.  4.  Struna  o  zmieniają cej  się   masie Umoż liwia  to  stosowne  wydł uż enie  kroku  cał kowania  po  czasie,  który  to  krok  najlepiej przyją ć,  podobnie  jak  w  czę ś ci  nieobcią ż onej,  na  podstawie  wzoru: (3.2)  / ,, =  a/ c,.' W  strefie  przejś cia  od  struny  obcią ż onej-  do  nieobcią ż onej  konieczne bę dzie-  zastosowanie czasoprzestrzennych  elementów  trójką tnych. Zał óż my  dla  przykł adu, że prę dkość nasuwania  się   obcią ż enia  bę dzie —  podobnie jak w przykł adach poprzednich — równa  poł owie prę dkoś ci  c  rozchodzenia się   fali  w  strunie nieobcią ż onej.  N iech ponadto przesuwają ca  się   masa  / J, 1  bę dzie trzy  razy  wię ksza  od  masy struny  [x. Mamy  wówczas: (3.3)  0 + ^  =   4/ J,,  c t   =   l/ 2c,  hi  m  2h, a  obszar  czasoprzestrzenny  dzielimy  na  elementy  w  sposób  przedstawiony  n a  rys.  5. 538 Z .  KĄ CZKOWSKI 1  2  3  4  5 R ys.  5, P odział  obszaru  czasoprzestrzennego  na elementy w  przypadku  przesuwają cego  się  cią gł ego  obcią - ż enia  inercyjnego M acierze  sztywnoś ci  elementów o masie  4^, pokazanych  na rys.  6 znajdujemy  w spo- sób  opisany  wyż ej.  Mają   one  postać: (3. 4) 0  - i  r - i  2  - i 1  - i  ol - 2  1 1 1  0  - 1 1  - 1  0 o  - i  i  o - 1 0  0  1 1 0  0 - 1 o  l - i  o G lobalny  ukł ad równań dzielimy  na podukł ady tak, aby  w  każ dym  z nich liczba równań odpowiadał a  liczbie  niewiadomych.  Podukł ady te  mają   nastę pują cą   budowę : (3.5) =   Fs. ELEMEN TY  CZASOPRZESTRZEN N E 539 Wystę pują ce  w  nich  podwektory  mają   skł adowe  podane  niż ej: (3.6)' M, H >2 0,  1; ,  w|}9 w 5  =   {»!,  wL wj},  w6  =   {w?, wf,  wc 5, wf(  wg, wg} i t d . N iewiadome te wyznaczamy  z  podukł adów równań  wyraż ają cych  warunki  równowagi dynamicznej  odpowiednich  wę zł ów.  I  tak,  chcą c  uzyskać  skł adowe  podwektora  w1  ko- rzystamy  z warunków  równowagi  impulsów  dział ają cych  na  wę zły  1  -  5  w  chwili  s  =   0, sześć skł adowych wektora  w2  wyznaczamy  z  sześ ciu  równań  równowagi  wę zł ów  w  chwili s  =  1, cztery  skł adowe wektora  w3  —  z czterech równań  równowagi  wę zł ów 2 -  5 w  chwili s  =   2,  sześć  skł adowych  wektora  ł f4  — z  sześ ciu  równań  odnoszą cych  się   do  wę zł ów: 1  w  chwili  s  =   2  oraz  6  i  2 -  5  w  chwili  5 =   3  itd. Równomiernie  rozł oż one  obcią ż enie  p  =  3/ ng  zastę pujemy  impulsami  skupionymi w  wę zł ach  elementów  czasoprzestrzennych.  W  szczególnoś ci  we  wszystkich  wierzchoł - kach  elementów  trójką tnych  pokazanych  na  rys.  6a,  b  wystą pią   impulsy  wynoszą ce  po —pah,  a w wę zł ach elementu prostoką tnego  (rys. 6c) impulsy  2pah.  Z atem podwektory F s  wystę pują ce  w  ukł adzie  (3.5)  bę dą   miał y  nastę pują ce  skł adowe: (3 . 7 ) *=  {2, 0, 0, 0, 0,0}  —pah, =   {5, 2, 0, 0, 0, 0}TJKifc, =   {11, 5, 2, 0, 0, 0}yp a h , F°*=  {0, 0, 0, 0, 0}, F 2 =   {0, 0, 0, 0}, F 4   =  {0, 0, 0},  F: F 6  =   {0,  0},  F 7  = F 8 =  {0},  F B =  {12,12,  11, 5, 2,  0}yp a / r , =   {12,  12, 12, 11, 5, 2}yp flft  itd. 1 3- -   n r^^"ł"ł"- --   - •  ̂ n  ' •   ł * ! Rys.  6.  Elementy  czasoprzestrzenne  o  masie  4ft 540 Z .  KĄ C Z KOWSKI Tablica  3.  P rzemieszczenia  struny  wywoł ane  przesuwaniem  się   masy  równomiernie  rozł oż onej M n oż n ik:  y  =   2- "\ i s  \ ^ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 a  1  b 0 2  0 4 6 3,5 15 15 27 27,5  . 39 33,5 27 44,5 63 56 8 3,5 15 15 27 27,5 2  C 0 0 0 4 8 10 6,5 30 30,5 54 49 54 66 78 88,5 60 47,5 11 6,5 30 30,5 54 3  d 0 0 0 0 4 8 12 14 10 45 40 57 69,5 93 98 63 68 51 38,5 14 10 45 40 4  e 0 0 0 0 0 4 8 12 16 6 7,5 36 48,5 84 89,5 66 65,5 42 47 42 30 17 7,5 36 5  f 0 0 0 0 "o 0 4  . 8 8 8 - 4 0 . 4 51 56,5  " 45 45 33 32,5 21 26,5 33 15,5 - 4 4 Wyniki  obliczeń  zestawiono  w  tabl.  3.  Zauważ my,  że  w  chwilach  s  =   10  i  s  =  34 rozpoczynają   się   identyczne  cykle  przemieszczeń.  Wynika  stą d,  że  podstawowy  okres drgań  struny  o  masie  4fi  wynosi : (3.8)  T  m a  odpowiednia  czę stość  koł owa: (3.9)  (   :   w, Jest  to  wynik  ś cisł y. 271 T i  \   v 4.  Moż liwoś ci  rozseparowania  układu  równań  dynamiki W  znanych  metodach  bezpoś redniego  cał kowania  równań  ruchu  podstawową   trud- ność stwarza  konieczność wielokrotnego  rozwią zywania  duż ych ukł adów równań  o liczbie niewiadomych  równej  liczbie  stopni swobody  cał ego ukł adu. Jest  to  zwł aszcza kł opotliwe ELEMEN TY  CZASOPRZESTRZEN N E 541 wtedy, gdy  wobec  nieliniowoś ci  zagadnienia,  macierze  wymagają ce  odwrócenia  zmieniają się  po każ dym kroku  cał kowania i gdy  trzeba  stosować  metodę  iteracji.  Jak  dotą d, jedynie stosują c  metodę  analizy  modalnej  moż na był o problem  cał kowania  czą stkowych  równań róż niczkowych  ruchu sprowadzać  do  problemu  rozwią zania  ukł adu niesprzę ż onych,  zwy- czajnych  równań  róż niczkowych.  Metoda  ta  wymaga  jednak  uprzedniego  wyznaczenia wartoś ci  wł asnych  i  odpowiadają cych  im — funkcji  lub  wektorów  wł asnych. Okazuje  się   że podobny  efekt  moż na uzyskać  metodą   SKECZ bez  potrzeby  przepro- wadzania  wprzód  kł opotliwej  rachunkowo  analizy  modalnej.  Wystarczy  każ dy  z  czaso- przestrzennych  elementów  prostoką tnych  stosowanych  w  przypadku  stacjonarnego  po- dział u konstrukcji  prę towej  na elementy podzielić przeką tną   na dwa  elementy  trójką tne. Rys.  7.  Podział   obszaru  czasoprzestrzennego prowadzą cy  d o  rozseparowania  ukł adu  równań N a  rys.  7  przedstawiliś my  przykł adowy  podział  obszaru  czasoprzestrzennego  na  ele- menty  trójką tne  oraz  ponumerowaliś my  wę zły  zgodnie  z  kolejnoś cią, w jakiej  należy  wy- konywać  obliczenia.  N umeracja ta  został a  ustalona  w taki  sposób,  aby  w  kolejnych  rów- naniach  pojawiał a  się   zawsze  tylko  jedna  niewiadoma.  Pod  poję ciem  „ niewiadoma" rozumiemy  tu  wektor  o  wymiarze  odpowiadają cym  liczbie  k  stopni  swobody  jednego wę zł a. Łatwo  spostrzec, że rozpatrują c  równowagę   kolejnych  wę zł ów w  chwili  s  mamy za każ dym  razem  ukł ad  k  równań  na  k  nieznanych  skł adowych  wektora  przemieszczeń odpowiedniego wę zła w chwili s +1, niezależ nie od liczby stopni swobody cał ego  ukł adu. W  niniejszej  pracy  poprzestaniemy  na  zasygnalizowaniu  jedynie  opisanej  moż liwoś ci rozseparowania  ukł adu równań,  zapowiadają c  jednocześ nie  zamieszczenie  odpowiednich, przykł adów  w  nastę pnych  pracach. 5.  Uwagi  koń cowe Jak  widać  z  rozwią zanych  wyż ej  przykł adów,  stosowanie  obok  czasoprzestrzennych elementów  prostoką tnych  również  elementów  trójką tnych  stwarza  moż liwość  nie  tylko dostosowywania  podział u  obszaru  czasoprzestrzennego  do  przebiegu  obcią ż enia,  ale także  rozwią zywania  takich  zadań  nieliniowych,  w  których  drgania  ustroju  speł niają róż ne równania róż niczkowe  w zmieniają cych  się   w czasie przedział ach. Warto  podkreś lić, że — wobec  warunkowej  stabilnoś ci  rozwią zań  uzyskiwanych  metodą   SKECZ —  może być poż yteczne stosowanie róż nej dł ugoś ci kroków cał kowania po czasie w róż nych czę ś ciach konstrukcji. W strefie  poś redniej potrzebne bę dzie stosowanie  w tym przypadku  elementów nieprostoką tnych. 542  Z.  KĄ CZKOWSKI Przykł ady  liczbowe  zamieszczone  w  niniejszej  pracy  dotyczył y  wył ą cznie  struny,  ale opisany  sposób  postę powania  moż na bez  istotnych zmian  stosować  i  do innych, bardziej zł oż onych  ustrojów  konstrukcyjnych,  zarówno  sprę ż ystych  jak  i  lepkosprę ż ystych. Szczególnie  nę cą ca  wydaje  się   moż liwość  rozseparowywania  ukł adów  równań  dyna- miki  w  wyniku  stosowania  elementów trójką tnych,  o  czym był a mowa w p. 4.  Sprawa ta wymaga  jednak  bardziej  szczegół owej  analizy.  .' Ostatnio  autor  natkną ł   się   na  pracę  J. T.  Odena: A  general  theory  of finite  elements. International Journal of N umerical Methods in Engineering, 1, (1969), 205 -   221,  247 -  259, w  której  zasygnalizowano  moż liwość  stosowania  elementów  czasoprzestrzennych  oraz zwrócono  uwagę   na niektóre  korzyś ci, jakie  mogą   pł yną ć ze  stosowania  elementów  trój- ką tnych.  (U waga  dopisana  przy  korekcie). Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  Z .  KĄ CZ KOWSKI,  T he  method of finite  space- time elements  in dynamics of  structures,  Journal of  Techni- cal  Physics,  1,  16,  (1975),  69- 84. 2.  Z .  KĄ C Z KOWSKI,  Metoda  czasoprzestrzennych  elementów  skoń czonych,  Archiwum  Inż ynierii  Lą dowej, 3,  22,  (1976),  365 -   378. 3.  Z .  KĄ CZ KOWSKI,  General formulation of  the  stiffness matrix for  the space- time finite  elements,  Archiwum Inż ynierii  Lą dowej,  3,  25,  (1979),  351  -  357. 4.  K.  BATH E,  E.  WI LSON ,  N umerical  methods  in finite  element  analysis,  Prent.ice- H all, N ew  Jersey,  1976. 5.  Z .  KĄ C Z KOWSKI,  J.  LAN G ER,  Synthesis  of  the  space- time finite  element  method, Archiwum  Inż ynierii Lą dowej,  I ,  26,  (1980),  11- 17. 6.  O. C.  Z I E N KI E WI C Z , Metoda  elementów skoń czonych,  Arkady,  Warszawa,  1972. Praca został a  zł oż ona  yy  Redakcji  dnia  20  czerwca 1983  roku.