Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 21, (1983) METOD Y STOCH ASTYCZN E W M EC H AN IC E: STAN I TEN D EN CJE R OZ WOJOWE KAZIMIERZ S O B C Z Y K IPPT PAN I . Wstę p W ostatnim ć wierć wieczu teoretyczne meody mechaniki został y istotnie wzbogacone przez podejś cie oparte na opisywaniu i analizowania zjawisk mechaniki przy pomocy poję ć i metod teorii prawdopodobień stwa, w szczególnoś ci—- teorii procesów stochastycz- nych. Jak wiadomo, metodologia ta okazał a się wcześ niej bardzo uż yteczna w wyjaś nianiu szeregu zjawisk fizyki (por. [5]). Fizyka wskazał a też drogę tym metodom do mechaniki, gł ównie poprzez rozwój fizyki lub mechaniki statystycznej — dziedziny badają cej pra- widł owoś ci w zakresie zjawisk molekularnych w oparciu o poję cia rachunku prawdo- podobień stwa. Teoria turbulentnych przepł ywów cieczy był a pierwszą gał ę zią mechaniki zjawisk makroskopowych, w której podejś cie stochastyczne nie tylko odniosł o sukcesy, ale także (ze wzglę du na charakter zjawisk) niemal cał kowicie ukierunkował o jej rozwój (por. [30]). W mechanice konstrukcji metody stochastyczne są najbardziej niezbę dne w takich dziedzinach jak: astronautyka i aerotechnika ale zyskał y one też akceptację i rozwój niemal we wszystkich tradycyjnych jej dział ach, takich jak: mechanika maszyn, geotech- nika, mechanika budowli i w innych. Obecnie, podejś cie stochastyczne — ujmują ce nieregularność i przypadkowość zjawisk w terminach zdarzeń, prawdopodobień stw i wartoś ci ś rednich — stanowi jeden z istot- nych nurtów współ czesnej mechaniki. Rozwój metod stochastycznych w róż nych dziedzinach mechaniki nastą pił gł ównie w ostatnim dwudziestopię cioleciu. W okresie tym został o opublikowanych setki prac, wiele monografii, odbył o się szereg mię dzynarodowych konferencji naukowych, a w wielu czoł owych oś rodkach naukowych ś wiata istnieją zespoł y badaczy pracują cych nad róż- nymi stochastycznymi problemami mechaniki i innych nauk praktycznych. P race doty- czą ce metod stochastycznych w mechanice ukazują się we wszystkich periodykach nauko- wych poś wię conych mechanice i matematyce stosowanej. Są to w szczególnoś ci: Inter- national Journal of Solids and Structures, International Journal of Engineering Sciences, International Journal of N on- linear Mechanices, Journal of Applied M echanics, Journal of Sound and Vibration, Journal of Fluid Mechanics, Prikł adnaja M atiematika i M iecha- nika, Prikł adnaja Miechanika, Miechanika Twierdowo Tieł a i inne. W ostatnich latach 558 K. SOBCZYK powstał y jed n a k nowe periodyki w cał oś ci poś wię cone zastosowan iom m etod probabi- listyczn ych. O to o n e: Jo u rn al of Applied P robability (Anglia, Vol. I- 1963), Advances in Applied P robability (Anglia, Vol. 1- 1968), Stochastic Precesses an d Their Applications ( U SA, Vol. 1- 1970), Stochastica (U SA, Vol. 1- 1976), Stochastica (H iszpan ia, w ję zyku an gielskim , Vol. 1- 1976) oraz n owy: P robability an d Statistics in En gin eerin g (U SA, w p rzygo t o wan iu ) . W celu bardziej szczegół owego przedstawienia tendencji rozwojowych m et od sto- ch astyczn ych w m ech an ice podzielim y tutaj m echan ikę um own ie n a m echan ikę kon- strukcji i m ech an ikę oś rodków. 2. M etody stochastyczne w mechanice konstrukcji 2.1. Obliczenia normowe i teoria niezawodnoś ci. R óż ne dział y m echan iki konstrukcji (np. m ech an ika budowli) umoż liwiają inż ynierowi wyznaczenie n aprę ż eń i odkształ ceń powsta- ją cych w kon strukcjach znajdują cych się p o d dział aniem sił . N a tym jedn ak n ie koń czy się in ż yn ierska an aliza projektowan ej kon strukcji. P odstawowym jej celem jest bowiem odpowiedź n a pyt an ie: czy kon strukcja m oże sł uż yć wystarczają co niezawodnie w czasie ustalon ego o kresu eksploatacji? Z najom ość naprę ż eń i odkształ ceń jest kon ieczn a po to aby wydać sąd o n iezawodn oś ci i trwał oś ci kon strukcji. W ten sposób m echan ika kon- strukcji ł ą czy się, n a koń cowym etapie analizy inż ynierskiej z teorią niezawodnoś ci. Przez n iezawodn ość rozum ie się zdolność ukł adu technicznego (w szczególnoś ci — konstrukcji) do wypeł n ian ia jego (przewidzian ych projektem ) funkcji w danych warun kach eksploa- tacji. Z aprzestan ie wypeł n ian ia chociaż by jedn ej z tych funkcji nazywa się w teorii nie- zawodn oś ci awarią. Tradycyjn e m etody obliczeń kon strukcji „ uwzglę dniają" ten niezawodnoś ciowy etap an alizy poprzez wprowadzan ie róż nych warun ków bezpieczeń stwa mają cych n a celu zapewn ien ie, że w czasie eksploatacji konstrukcji n ie wystą pi ż aden z niedopuszczalnych stan ów gran iczn ych . Jeś li stan y gran iczn e odnosić do wytrzymał oś ci t o jak wiadom o, warun ek wytrzym ał oś ci m a p o st ać : S < R, gdzie w zależ noś ci od m etodyki obliczeń, £" jest obcią ż en iem dział ają cym na kon strukcję lub n aprę ż en iem w elemencie kon strukcji, zaś R jest n oś n oś cią gran iczn ą. Czę ś ciej zastę puje się powyż szy warun ek przez ż ą danie n astę pują ce: S N < kR N , gdzie S N jest obcią ż eniem obliczeniowym (norm owym ), R N — obliczen iową noś noś cią graniczną, zaś k — tzw. współ czynnikiem bezpieczeń stwa. Obli- czen iowe wartoś ci n aprę ż eń i n oś n oś ci granicznej w tym warun ku są wielkoś ciami w peł ni okreś lon ym i, zdeterm in owan ym i. Jest je d n a k oczywiste, że zarówn o warun ki zewnę trzne eksploatacji jak i param etry kon strukcji mają — ogóln ie m ówiąc — ch arakter przypadkowy. D latego też awaria jest zdarzen iem losowym a n iezawodn ość (lub, w tradycyjnej term in ologii budowlan ej — bezpieczeń stwo) — charakterystyką probabilistyczn ą kon strukcji. Pierwsze prace poś wię- con e krytyce klasyczn ej koncepcji waru n ku wytrzymał oś ci i zastosowan ia m etod teorii p rawd o p o d o bień st wa do obliczeń kon strukcji budowlan ych pochodzą z lat dwudziestych i trzydziestych n aszego wieku (z polskich p r a c z tego zakresu należy wymienić pracę [21]). W latach powojen n ych p rac e t e był y szeroko rozwijane i dzisiaj istnieje w tej dziedzinie METOD Y STOCHASTYCZNE 559 • * bogata literatura (por. np. [4], [8], [11], [28]). Idea statystycznego uzasadnienia obliczeń normowych zrodzona w analizie konstrukcji budowlanych zaczę ła szybko przenikać do budowy maszyn i konstrukcji lotniczych aby tam zyskać wł aś ciwe metodyczne rozwi- nię cie. Problematyka ta jest jednak cią gle waż na i aktualna. Należy podkreś lić, że problemy mechanicznej niezawodnoś ci konstrukcji są bardziej zł oż one niż problemy rozpatrywane w ogólnej lub formalnej teorii niezawodnoś ci roz- winię tej w zwią zku z potrzebami radioelektroniki. W ogólnej teorii niezawodnoś ci roz- waża się bowiem ukł ady skł adają ce się z duż ej liczby jednorodnych elementów pracują cych w jednorodnych warunkach a zmianę niezawodnoś ci elementów w czasie postuluje się zwykle w postaci pewnych hipotez, które nastę pnie powinny podlegać weryfikacji doś wiad- czalnej. W problemach niezawodnoś ci ukł adów mechanicznych najczę ś ciej mamy do czynienia z ukł adami cią gł ymi dla których zmiana warunków zewnę trznych (np. obcią ż eń i temperatury) odgrywa rolę pierwszoplanową i wobec czego istotne jest badan ie wszystkich tych zjawisk (natury mechanicznej, chemicznej, fizycznej) które są przyczyną awarii. Ten kierunek badań —• w chwili obecnej niewystarczają co jeszcze rozwinię ty — wią że się z klasyfikacją i probabilistycznym modelowaniem awarii mają cych pochodzenie me- chaniczne, a w szczególnoś ci z poszukiwaniem wł aś ciwych probabilistycznych modeli zniszczenia kruchego, zniszczenia zmę czeniowego itp. 2.2. Drgania stochastyczne i zagadnienia pokrewne. Potrzeba uż ycia metod stochastycznych w mechanice konstrukcji staje się szczególnie waż na w analizie problemów dynamicznych; wynika ona bowiem w sposób naturalny i konieczny z faktu, iż wymuszenia zewnę trzne dział ają ce na realne maszyny, budowle czy statki (powietrzne czy morskie) mają czę sto na tyle nieregularny i przypadkowy przebieg w czasie, że modele i teorie deterministyczne stają się bezradne. Przykł adem takich wymuszeń są : dział anie porywistego wiatru i sil- nego promieniowania akustycznego (generowanego przez silniki odrzutowe) n a budowle, obcią ż enie konstrukcji statków morskich przez fale morskie, wymuszenie powł ok samolo- towych przez strumień turbulentny, dział anie nieregularnych nierównoś ci nawierzchni drogowych na konstrukcje pojazdów samochodowych itd. Jedyne wł aś ciwe podejś cie do opisu i analizy drgań konstrukcji przy tego rodzaju wymuszeniach to podejś cie oparte na zastosowaniu teorii procesów stochastycznych. Prowadzi to do teorii drgań stochastycznych. D rgania stochastyczne ukł adów o dyskretnym jak o i cią gł ym rozkł adzie masy był y badane bardzo intensywnie w latach sześ ć dziesią tych. Badania te znalazł y odzwierciedle- nie w dziesią tkach artykuł ów a także w monografiach (por. [6], [10], [13], [19]). Zbadane został y problemy charakteryzacji drgań wymuszanych stochastycznie, drgań parametrycz- nych i rezonansów stochastycznych oraz problemy stochastycznej stabilnoś ci ruchu (por. [14], [15]). Przedmiotem analizy był y zarówno ukł ady sprę ż yste liniowe i nieliniowe, a także — w mniejszym zakresie, konstrukcje o cechach plastycznych (por. [7], [31]). W chwili obecnej istnieją ce metody i rezultaty dynamiki statystycznej dają moż liwość wyznaczania podstawowych charakterystyk probabilistycznych reakcji dla szerokiej klasy ukł adów i obcią ż eń stochastycznych. Problemy dotyczą ce niezawodnoś ci stochastycznie drgają cych konstrukcji nie są jeszcze wystarczają co zbadane i wydają się być n a obecnym etapie szczególnie aktualne. Ogólną ideę niezawodnoś ciowej analizy konstrukcji opartą n a przedstawieniu za- 4 M ech . T eo r. 1 Stos. 560 K . SO BC Z YK ch owan ia się kon strukcji w postaci procesu stochastycznego a stan u granicznego — w postaci wyjś cia tego procesu z obszarów stanów dopuszczalnych p o d ał W. W. Bo- Ł O T I N w.p racy [24]; idea ta rozwinię ta n astę pn ie szerzej w m onografii [26] — może być cią gle osn ową d la interesują cych rezultatów. An aliza niezawodnoś ciowa powin n a też (a także przede wszystkim) obejmować badan ie skutków wywoł ywanych przez drgania stoch astyczn e. P rowadzi t o do problem ów probabilistycznego m odelowan ia zniszczenia zm ę czeniowego elem en tów poddan ych drgan iom stochastyczn ym (por. [16]). Badania t akie są w ost at n ich latach podejm owan e coraz czę ś ciej w róż nych krajach (por. np. prace [25], [3], [9], [17]). Pozwalają on e uzyskać informację o trwał oś ci kon strukcji i w ten sposób rezultaty analizy stochastyczn ej doprowadzić do uż ytku inż ynierów. Badan ia w tym kieru n ku są godn e rozwijania, przy czym był oby waż ne aby probabilistyczn e modele teoretyczn e mogł y być uzupeł n ian e i weryfikowane doś wiadczalnie. 2.3. Optymalizacja I identyfikacja. I n n a grupa zagadnień, kt ó ra w stochastycznej analizie kon strukcji zasł uguje n a podkreś len ie to problem y optymalizacji i identyfikacji para- m etrów kon strukcji na kt ó re dział ają wymuszenia losowe. P roblem y te wią żą się w sposób istotn y z m atem atyczn ą i numeryczną analizą stochastycznych równ ań róż niczkowych opisują cych zachowan ie się kon strukcji. Z agadn ien ia identyfikacji lub estymacji para- m etrów ukł adów poddan ych losowym Wymuszeniom mogą być form uł owan e ja ko za- gadn ien ia o d wro t n e dla odpowiedn ich równ ań stochastycznych a przy tym prowadzą do in teresują cych problem ów statystyki m atem atycznej. Z agadn ien ia stochastycznej optyma- lizacji kon strukcji oraz identyfikacja param etrów ukł adów drgają cych stochastycznie są n owe a w ich bad an iu stawian e są zaledwie pierwsze kroki. Z e wzglę du n a ich znaczenie ogóln o- pozn awcze i praktyczn e bę dą one bez wą tpien ia przedm iotem badań w najbliż szej przyszł oś ci. 3. Metody stochastyczne w mechanice oś rodków (i materiałów) P o t rzeba podejś cia stochastyczn ego do analizy oś rodków m aterialn ych stał a się oczy- wista ju ż stosun kowo dawn o. Obserwacja struktury i wł asnoś ci róż nych oś rodków ma- terialn ych i m ateriał ów kon strukcyjn ych doprowadził a do przekon an ia, że m odele i roz- wią zan ia t eo rii klasyczn ych stanowią zbyt dużą idealizację i n ie odzwierciedlają skompliko- wan ej i n iejedn orodn ej struktury oraz zł oż onoś ci procesu deformacji szeregu oś rodków rzeczywistych. N ależy przede wszystkim wymienić przypadek cieczy znajdują cej się w ruchu t u r bu len t n ym ; ale równ ież przy lam in arn ym ruchu cieczy obserwuje się zm ien n ość jej wł asn oś ci spowodowan ą , n a przykł ad, fluktuacjami term iczn ym i. C iał a stał e są czę sto m ieszan in ą róż n ych substancji czy ziaren o nieznanej i skom plikowan ej geom etrii. Przykł a- dem m ogą być waż ne w praktyce m ateriał y kompozytowe, a także grunty, skał y, oś rodki biologiczn e, "ceram iki, beton y itp. Adekwatn e podejś cie do analizy deformacji i znisz- czen ia tego rodzaju oś rodków wymaga podejś cia, które pozwolił oby uwzglę dniać tę skom plikowan ą i przypadkową strukturę . Podejś cie takie t o m odele i metody stochas- tyczn e. 3.1. Modele stochastyczne w mechanice płynów. Jeś li chodzi o hydrom echan ikę t o podejś cie stoch astyczn e został o ugrun towan e i rozwinię te w teorii turbulencji. Począ wszy od funda- M E T O D Y STOC H ASTYC Z N E • 561 mentalnych prac Koł mogorowa teoria turbulencji stał a się , przynajmniej w jej zasadniczym nurcie, teorią losowych pól hydrodynamicznych, a jej rozwój wpł yną ł w istotny sposób na dzisiejszy kształ t matematycznej teorii pól losowych (por. prace Koł mogorowa, Kampe de F eriet, G. Birkhoffa, Jagł oma i innych). Teoria turbulencji miał a też inspirują cy wpł yw na prace dotyczą ce zjawisk w stochastycznych oś rodkach stał ych. Jest to w chwili obecnej dziedzina zaawansowana o bardzo istotnych implikacjach poznawczych i praktycznych; ś wiadczą o tym istnieją ce monografie, a przede wszystkim dwutomowe dzieł o M ON IN A i JAGŁOMA [30]. Mimo swego zaawansowania teoria turbulencji jest i bez wą tpienia nadal pozostanie waż ną i aktualną dziedziną dla badań opartych na modelach i metodach sto- chastycznych. Aktualny kierunek rozwoju statystycznej teorii turbulencji dotyczy równań stochastycznych i miar w przestrzeniach nieskoń czenie wiele wymiarowych i w zwią zku z tym bardziej należy do współ czesnej matematyki niż do mechaniki w jej tradycyjnym rozumieniu (por. [27]). Poza teorią turbulencji istnieje w obrę bie mechaniki pł ynów szereg innych problemów, których badanie wymaga uż ycia metod stochastycznych; n p. wpł ywów losowych fluk- tuacji termicznych, uwzglę dnienie losowej chropowatoś ci ś cian kanał ów w których odbywa się przepł yw laminarny, dyfuzja w strumieniu cieczy itp. Osobne miejsce stanowi proba- bilistyczne podejś cie do teorii zawiesin rozwijane w róż nych oś rodkach naukowych (por. [1]). 3.2. Metody stochastyczne w mechanice ciała stałego. Przechodzą c do mechaniki oś rodków stał ych należy przede wszystkim wymienić problem który stanowi podstawowe zagadnienie nauki o materiał ach. Jest to mianowicie problem stworzenia ogólnej statystycznej teorii deformacji i zniszczenia ciał stał ych, która pozwolił aby z jednego punktu widzenia opisać procesy deformacji, zniszczenia, plastycznoś ci, peł zania itp. Taka teoria statystyczna odgrywał aby dla nauki o materiał ach podobną rolę jak fizyka statystyczna dla nauki. o zjawiskach molekularnych i cieplnych. Z wielu podstawowych przyczyn stworzenie takiej konsystentnej teorii jest trudne i zależy od postę pów w innych dziedzinach nauki. Czynione są jednak próby tworzenia modeli i teorii czę ś ciowych. N a przykł ad znane są najprostsze modele statystyczne opisują ce deformację plastyczną w warunkach jedno- osiowego stanu naprę ż enia. D uże postę py osią gnię to w modelowaniu zniszczenia kru- chego w oparciu o zał oż enie, że współ dział anie elementów pierwotnych w ciele stał ym moż na pominą ć w zwią zku z czym wytrzymał ość ciał a jako cał oś ci jest okreś lona przez wytrzymał ość najsł abszego elementu; takie podejś cie został o na począ tku lat czterdziestych zaproponowane przez Weibulla oraz F rankiela i Kontorową . Waż ne rezultaty otrzymano też w probabilistycznym modelowaniu zniszczenia zmę czeniowego (por. n p . [9], [16], [17]) oraz w analizie wpł ywu losowego rozkł adu defektów na proces deformacji i znisz- czenia. Problematyka o której tutaj mówimy obejmuje także wszystkie te wysił ki badawcze, których celem jest rozszerzenie metod fizyki statystycznej na mikroskopowe zjawiska w ciał ach stał ych (por. [23]). Z literatury w zakresie teorii dyslokacji i z obecnego stanu tej dziedziny wynika, że bardzo istotne są i bę dą w najbliż szej przyszł oś ci wszystkie prace stawiają ce sobie za cel oparcie kinetycznej teorii ruchu dyslokacji o dobre podstawy geo- metrii i analizy stochastycznej (por. [12]). Metody fizyki statystycznej mogą być też uż y- teczne dla opisania i wyjaś nienia procesów polimeryzacji, paniię ci kształ tu itp. 4 * 562 K. SOBCZYK I n n a obszerna grupa zagadnień mechaniki oś rodka stał ego i nauki o materiał ach któ- rych badanie wymaga podejś cia stochastycznego to modelowanie i analiza deformacji oś rodków o skomplikowanej i niejednorodnej strukturze, a wię c takich jak róż nego ro- dzaju kompozyty, grunty, oś rodki biologiczne itp. Jest to problematyka waż na zarówno jeś li mieć n a uwadze podstawy mechaniki jak i potrzeby praktyki inż ynierskiej; ś wiadczy o tym mię dzy innymi stale wzrastają ca liczba prac, monografii i konferencji naukowych (por. [2], [20], [29]). Problemy mechaniki nieregularnych lub stochastycznych kompozytów był y w ostat- nich 15- 20 latach badane bardzo intensywnie i dzisiaj istnieje bogata literatura dotyczą ca gł ównie wyznaczania tzw. stał ych efektywnych (por. np. [2], [20]). Analiza stochastyczna kompozytów nie ma jednak jeszcze wł aś ciwych podstaw matematycznych. Wydaje się , że tworzenie takich podstaw oparte na poję ciach i rezultatach teorii pól losowych i ge- ometrii stochastycznej bę dzie przedmiotem badań w najbliż szej przyszł oś ci. Oprócz metod teoretycznych wł aś ciwy rozwój mechaniki kompozytów stochastycznych wymaga odpo- wiednich badań doś wiadczalnych. Te zaś łą czą się ś ciś le ze statystyką pól losowych i ze stereologią (por. [22]). 3.3. Stochastyczna analiza fal (akustycznych). W mechanice oś rodków (zarówno pł ynnych jak i stał ych) waż ne miejsce zajmują zagadnienia propagacji fal. Zjawisko ruchu falowego ł ą czy też mechanikę z akustyką — dziedziną której podstawowym celem jest badanie praw rozchodzenia się zaburzeń (deformacji) w oś rodkach materialnych. Wskutek istnienia wielu róż norodnych i przypadkowych czynników determinują cych realne ruchy falowe (np. turbulencja atmosfery, niejednorodność szeregu oś rodków stał ych) bardziej adekwatny jest czę sto opis fal w ję zyku procesów stochastycznych. Prowadzi to do analizy fal sto- chastycznych. Szczególne miejsce zajmuje analiza fal rozprzestrzeniają cych się w oś rod- kach stochastycznych (stochastycznie niejednorodnych). Zjawiska zwią zane z rozprzestrzenianiem się fal w oś rodkach stochastycznych i me- tody ich badania są bardzo róż norodne. Zależą one od charakteru i sposobu opisu lo- sowych niejednorodnoś ci od informacji jaką posiadamy o strukturze oś rodka przenoszą - cego ruch falowy itp. N ależy jednak podkreś lić, że niezależ nie od róż nic powodowanych specyfiką rozważ anego problemu, propagacja fal w oś rodku stochastycznym zwią zana jest zawsze ze zjawiskiem rozpraszania. Rozpraszanie staje się z kolei przyczyną szeregu zja- wisk i efektów interesują cych z fizycznego punktu widzenia i waż nych w zastosowaniach. Przede wszystkim fate rozproszone nakł adają się na falę pierwotną (padają cą) i powodują przestrzenne i czasowe fluktuacje pola sumarycznego. W rezultacie obserwuje się tł u- mienie (zanikanie amplitudy) fali oraz jej opóź nienie (zmianę prę dkoś ci propagacji) a także szereg innych zjawisk. D ostarczenie iloś ciowych i jakoś ciowych informacji o tych zjawiskach jest celem analizy fal w oś rodkach stochastycznych (por. [18], [20], [32]). Ze wzglę du na potrzeby praktyki (propagacja dź wię ku w morzu i w turbulentnej atmosferze, rozprzestrzenianie się deformacji sprę ż ystych (np. sejsmicznych) w skorupie ziemskiej oraz propagacja fal elektromagnetycznych (np. radiowych) w atmosferze) w ostatnim trzydziestoleciu nastą pił bardzo intensywny rozwój badań nad propagacją fal stochastycznych. W chwili obecnej istnieje bardzo bogata literatura dotyczą ca tego przed- miotu (por. spis literatury w monografii [20]). M imo zaawansowania badań brak jest jednak cią gle ogólnej i jednolitej teorii fal M ETOD Y STOCHASTYCZNE 563 stochastycznych. Istnieją ce metody korzystają z metod przybliż onych i oparte są n a pew- nych zał oż eniach upraszczają cych i hipotezach fizycznych. Poza tym stochastyczne rów- nania róż niczkowe czą stkowe bę dą ce najczę ś ciej matematycznym modelem fal stochastycz- nych nie mają jeszcze zadowalają cej teorii. Opracowywanie ś cisł ych matematycznych metod analizy stochastycznych równań falowych jest i bę dzie w najbliż szej przyszł oś ci jednym z waż nych kierunków w tej dziedzinie. Zadanie to wią że się , podobnie jak w przypadku teorii turbulencji, z rozwijaniem i stosowaniem zaawansowanego aparatu współ czesnej analizy funkcjonalnej i teorii miary. Inna klasa zagadnień zwią zana z propagacją fal stochastycznych to identyfikacja parametrów oś rodków stochastycznych na podstawie obserwacji pola falowego rozproszonego (przez oś rodek). Szereg takich zagadnień moż na matematycznie formuł ować jako problemy odwrotne dla odpowiednich stochastycznych równań róż niczkowych falowych. N a tej drodze stawiane są zaledwie pierwsze kroki. Oczywiś cie, oprócz przytoczonych tutaj problemów natury matematycznej istnieje stał a potrzeba uzupeł niania i weryfikowania rezultatów teoretycznych na drodze doś wiad- czalnej. Literatura cytowana w tekś cie 1. G . K. BATCH ELOR, Sedimentation in a dilute dispersion of spheres, J. F luid M ech., 52, 245 - 268, 1972; Transport properties of two- phase materials with ran dom structure, Ann. R ev. F luid M ech., 6, 227 - 255, 1974. 2. M . J., BERAN , Statistical continuum theories, Interscience P ubL, N ew York, 1968. 3. L. J. BOG D AN OFF, A new cumulative damage model, J. Appl. M ech., 45, 246, 1978. 4. W. W. BOŁOTIN , Metody statystyczne w mechanice budowli, Warszawa, Arkady, 1968. 5. S. CHANDRASEKHAR, Stochastic problems in physics and astronomy, Rev. Mo.d. P hys., 15, n r 1 , 1 - 89, 1943. 6. S. H . CRAN D ALL, W. D . M AR K , Random vibration in mechanical systems, Academic P ress, N . York, 1963. 7. K. D OLIŃ SKI, Stochastyczna analiza konstrukcji sztywnoplastycznych, P raca doktorska, I P P T P AN , Warszawa, 1977. 8. A. M. F REU D EN TH AL, M . SH IN OZU KA, I . KON ISH I, T . KON AZAWA (Editors), Reliability approach in structural engineering, P roc. of Japan- U SA Joint Seminar, M aruzen C O . Ltd. Tokyo, 1975. 9. F . KOZ I N , J. L. BOOD AN OFF, A critical analysis of some probabilistic models of fatigue crack growth, Eng. F racture M echanics, 14, nr 1, 1981. 10. Y. K. L I N , Probabilistic theory of structural dynamics, M cG raw H ill C om p., 1967. 11. J. M U RZ EWSKI, Bezpieczeń stwo konstrukcji budowlanych, Arkady, Warszawa, 1970. 12. W. L. N ICH OLSON (Editor), Proceedings of the Symposium on Statistical arid Probabilistic Problems in Metalurgy, Seattle, Washington, 1971, Special Suppl. to Adv. in Appl. P robability. D e c . 1972. 13. K. PISZCZEK, Melody stochastyczne w teorii drgań nieliniowych ukł adów mechanicznych, P WN , War- szawa, 1981. 14. B. SKALMIERSKI, A. TYLIKOWSKI, Stabilnoś ć ukł adów dynamicznych, Warszawa, P WN , 1973. 15. K. SOBCZYK, Stochastyczna stabilnoś ć ruchu, M ech. Teor. i Stos., tom . 8, z. 4, 1970. 16. K. SOBCZYK, Drgania konstrukcji i stochastyczne modele uszkodzeń , M ech. Teor. i Stos., t o m 18, z, 2, 1980. 17. K. SOBCZYK, On the Markovian models for fatigue accumulation, J . M ech. Theor. Appl., N um ero Special, 1982, str. 147- 160. 18. K . SO BC Z YK , Elastic wave propagation in a discrete random medium, Ac t a M e c h a n i c a , 2 5 , 1 3 - 2 8, 1976. 564 K. SOBCZYK 19. EC. SOBCZYK, Metody dynamiki statystycznej, Warszawa, PWN , 1973. 20. K. SOBCZYK, Fale stochastyczne, Warszawa, PWN , 1982. 21 • W. WI E R Z BI C K I , Bezpieczeń stwo budowli jako zagadnienie prawdopodobień stwo, Przeglą d Techniczny, 1936. 22. E. E. U N D ER WOOD , Stereology or the quantitative evaluation of microstructures, Journal of Micro- scopy, 89, 161 - 180, 1969. 23. H . Z O R SK I , Statistical theory of dislocations, Intern. J. Solids Struct., torn. 4, nr 10, 1968. 24. B. B.- - E0J10THH, T eopwi nadewcHocmu MexammecKUX cucmeM c KOHSHKUM UUCJIOM cmeneueu cebSodhi, M ex. T B . Tejia, B. 5, 1969, 25. B . B . E o n o r iiH , HeKomopwe MaineMamuuecKue u aKcnepiuiemnaAhuue Modem npoi/ eccos pa3pymeiiun, ripoG jiewbi n p c - m o c T ii, JSr2 2, 1971. 26. B . B . E O J I O T H H , npuMeneiiue uemodoa meopuu eeponniHOcmeu u meopuu nadeotaiocmu e pacuemax coopyjiceiiuii, M oci< Ba3 H 3A. Jlprrep. n o OrpoHTejiBCTBej 1971. 2 7. M . H . B H U I H K , A. B . <E>ypcHKOB, MameMamunecmie sadami cmamucmunecKou eudpoMexauuKu, H ayKa, M ocicsa, 1980. 28. C . K. BOJIKOB, GmanmcmtmecKaH meopim npouuocmu, M ain rn 3j MocKBa 1960. 29. B . A. JI O M AK H H J CtnamucmimecKue mdami meepdux de$opMnpyeMux wejt> Jfafl. H ayi< a, M ocKBa, 1970. 30. A. C . M O H J I I I , A. M . H r^oM j CmamucmunecKan zubpoMCxanuKa> H 3fl. H a yn a , M o c i o a ; iracTb 1—1965, *iacT& 11—1967. 3 1 . B . A. riAJibMOB, Kojic6anun ynpyeo- n/ iacmuHecKux men, H 3fl. H ayi< a3 M ocKBa, 1976. 32. K . S o b c z ykj Pacnpocmpanenue SOJIH a cmoxacmuuecKUx cpedax, C 6 . nepeBOAOB M exa n n K a , 6( 148), • 1974. Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 26 kwietnia 1983 roku.