Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z4.pdf M E C H AN I KA - TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  21  C1983) METODA  ELEMENTÓW  SKOŃ CZONYCH  W  MECHANICE  KONTINUUM AKTUALNE  KIERUNKI BADAŃ MICHAŁ  K L E I B E R IPPT   PAN 1.  Wprowadzenie W  pracy  dokonujemy  przeglą du  aktualnych  kierunków  badań  zwią zanych  z  zastoso- waniami  metody  elementów  skoń czonych  (MES) w  mechanice kontinuum. N acisk  poł o- ż ony jest na problematykę   nieliniową . Przeglą d niniejszy  ma charakter wybitnie  subiektywny  i nie pretenduje do miana komp- letnego  opracowania  tematu — ze  wzglę du  na obserwowany  aktualnie  burzliwy  rozwój MES  i  dziedzin  pokrewnych,  dokonanie  peł nego  przeglą du  odnoś nej  problematyki nie wydaje  się   obecnie w ogóle  moż liwe. G wał towny  rozwój  MES zilustrować  moż na  przytaczają c  liczby  prac  z  tego  zakresu uwzglę dnionych w publikowanych  kilkakrotnie wykazach  zbiorczych: rok  1969 — liczba  cytowań  775,  [1], rok  1972 — liczba  cytowany 1096,  [2], rok  1974 — liczba  cytowań 2800,  [3], rok  1975 — liczba  cytowań  3800,  [4], rok  1976 — liczba  cytowań  7115,  [5], Trend  ten ilustrowany  jest  także  liczbą   monografii  i  podrę czników  z  zakresu  M ES, wydanych  w  ostatnich  latach  na  ś wiecie,  [6 -  46],  oraz  dostę pnych  w ję zyku  polskim, [47 -  54]. Moż na  bezpiecznie  zał oż yć,  że  obecnie  bibliografia  MES  liczy  kilkadziesią t  tysię cy pozycji  — przy  zachowaniu  obecnego  tempa  rozwoju  liczba  ta zwielokrotni  się  w  cią gu najbliż szych  lat. Zrozumiał e jest wię c, że w niniejszej  pracy nie podejmujemy  beznadziejnego zadania  dokonania  jakiegokolwiek  zbiorczego  przeglą du  opublikowanych  artykuł ów. Zamiast tego  ograniczymy  się  do wskazania  zasadniczych, w odczuciu autora,  kierunków rozwoju  MES, przytaczają c  jedynie  te pozycje  bibliograficzne  (monografie  i  prace  szcze- gół owe  o  wię kszym  znaczeniu),  które  posł uż yć  mogą   za  drogowskazy  w  ewentualnej samodzielnej  pracy. .  Aktualną , tematykę  badań w zakresie  podstaw  teoretycznych i zastosowań  M ES w me- chanice  kontinuum podzielić  moż na na nastę pują ce  grupy: a)  Wariacyjne  podstawy  metody, b)  Konstruowanie nowych elementów skoń czonych, 586  M .  KLRIBER c)  F o rm u ł o wan ie zagadnień  brzegowo  — począ tkowych  m echan iki  w  aspskcie  stoso- wa n ia  M E S, d)  Algorytm y  n um eryczn e, e)  P rzetwarzan ie  dan ych  i  tworzen ie  oprogram owan ia. P on iż ej  wyjaś niamy  szerzej  co  rozumiemy  pod  tymi  poję ciami.  Z auważ my  na, razie, że  podział   powyż szy  podyktowan y  został  jedynie  wygodą  prezentacji  omawianej  tematyki i  n ie m a w  najmniejszym  stopn iu  ch arakteru  zasadniczego.  I n n ym i  sł owy,  wiele  istnieją- cych  p r a c  n ie  u dał oby  się  zakwalifikować  ś ciś le  do jedn ej  tylko  z  wym ienionych  grup, p race t e dotyczą  bowiem  zazwyczaj  zagadnień  obszerniejszych. 2.  Wariacyjne  podstawy  metody R o zpat rzm y  zagadn ien ie  nieliniowej  statyki  dla  ciał a  zajmują cego  w  konfiguracji odn iesien ia  obszar  Q  o  brzegu.  8Q =   8Q„u8Q„,  n a  którego  wyróż nionych  czę ś ciach zadan e są  odpowiedn io  naprę ż eniowe i przemieszczeniowe  warun ki  brzegowe.  Przyjmijmy, że  wszystkie  wystę pują ce  w  rozpatrywan ym  problem ie  funkcje  param etryzowan e  są  za pom ocą  m on ot on iczn ie rosną cego  w procesie  deformacji  param etru  T, zwanego  dalej  dla pro st o t y  czasem .  Z ał óż my  dalej,  że znamy  w  peł ni  przebieg  procesu  deformacji  (tj.  roz- wią zan ie  odpowiedn iego  problem u  brzegowego)  od  chwili  począ tkowej  r  =  t 0   do  chwili' „ a kt u a ln e j"  r  =   t,  poszukujem y  zaś  rozwią zania  dla  chwili  nastę pnej  t+At,  niezbyt odległ ej  od  chwili  t.  Takie  sform uł owanie,  zwane  przyrostowym ,  jest  bardzo  wygodne i  powszech n ie  stosowan e  w numerycznej  analizie  problem ów  nieliniowej  m ech an iki. P onie- waż  chwila  t jest  chwilą  typową  (tj. niczym  n ie wyróż nioną  wś ród  in n ych  wartoś ci  para- ' m et ru  T ) , sform uł owan ie  przyrostowe  umoż liwia  ś ledzenie  rozwią zania  m etodą  krok — p o  —  kr o ku  w  cał ym  interesują cym  n as  przedziale  zm iennoś ci  param etru  r,  r  e  [t 0 , t*]. W  odn iesien iu  do stał ego w  czasie  (przynajmniej  n a rozpatrywan ym  kroku  t  - > t + At) kartezjan skiego  ukł adu  współ rzę dnych  prostoką tn ych  podstawowy  ukł ad  równ ań  zlineary- zowan ego  n a kro ku  problem u  przyrostowego  m a postać,  [47] 0,  xeQ dw 4 1   ~  ~~5K   =   ^ MnmAs mn ,  X  B  £J, O A  E Kl (2.1)  Ae kl   =—(Au kA +Au Uk +u L k Au lA Ą - Au Uk u lA ),  xeQ, Au k   =   Au k ,  x  e  dQ u , gdzie  sym bol  „A"  oznacza  przyrost  danej  funkcji  od chwili  /  do  chwili  t+At,  a kU   a u są  skł adowymi  odpowiedn io  pierwszego  (niesymetrycznego)  i  drugiego  (symetrycznego) t en so ra  n aprę ż en ia  P ioli- Kirchhoffa  n a  konfiguracji  odniesienia  w  chwili  T =   t 0 ,  cAf k i  At k   są  wektoram i  obcią ż eń  t yp u  masowego  i  powierzchniowego,  H^ jest  przyrostowym po t en cjał em  definiują cym  rozpatrywan y  m ateriał   (sprę ż ysty  lub niesprę ż ysty),  e u   są skł a- dowym i  t en so r a  odkształ cen ia  G reen a,  u k   i  Au k   są  skł adowymi  wektorów  przemieszczeń M E S  W  MECHANICE  KON TIN U U M 587 odpowiednio  od  t Q   do  t oraz  od  t  do  t+At  zaś  n k   oznacza skł adowe wektora  normalnego od brzegu  ciał a. .  £>zieląc  myś lowo  obszar  Q  na  E  rozł ą cznych  elementów  skoń czonych  przyjmujmy dla  zapewnienia  sobie  odpowiedniej  ogólnoś ci,  że  na  brzegach  mię dzyelementarnych nie są  speł nione ż adne warunki  zgodnoś ci  dla  wektorów  przyrostu  przemieszczenia  Au k   oraz przyrostu  naprę ż enia At k   =   zlcrŁ i«i,  gdzie nk jest  teraz wektorem normalnym do  rozpatry- wanego  brzegu  mię dzyelementowego.  Zgodnie  z  rys.  1,  na  typowym  odcinku  brzegu '. ci Je ) nk - Ok! Rys.  ł rozgraniczają cego  elementy „e"  i, , / ", e, f  — 1, , .., "£ rozpatrywać bę dziemy jako niezależ ne od siebie funkcje  Au{e\   Au{e»  -   ^ 4 / c ) ,  1̂M >̂ oraz funkcje  ^ 4 e \  A4ef\   AĄfe\   A^ t k .  Ozna- czając  dodatkowo  symbolem  At k   przyrost  reakcji  na  brzegu  8Q U   zaś  symbolami  At k , Aiik zdefiniowane  na wszystkich  brzegach  mię dzyelementowych  wektory  przyrostów  wza- jemnych  oddział ywań  oraz  przemieszczeń  (którymi  n a  brzegu  mię dzy  elementami  „e" i  »/ "  są  AĄe^   i  Au k ef) )  zapiszmy  ogólną  postać pewnego  funkcjonał u  wariacyjnego  jako (2 . 2 ) J[Au k ,As kl ,  Ał k ,At k ,  Au k ]  = 1  - .  ,  , C k i mn As kl Ae mn Ą - J B(.e) / = 1  dCl ef -   J  A? k Au k d(dQ)~  f  At k (Au k - uA k ){ddQ) + f 588 ' M . gdzie  Q e ,  dQ ef ,  dQ e , a ,  8Q Cf   „  są  danymi w konfiguracji  odniesienia odpowiednio obszarem zajmowanym  przez  element  e- ty,  brzegiem  mię dzy  elementami  „e"  i  „ / "  oraz  tymi czę- ś ciami  brzegu  dQ e   elementu  e- tego,  które  są  jednocześ nie  brzegami  cał ego  ukł adu  8i2 a , 8Q a ,  zaś  £ C e ) jest  liczbą  elementów  są siadują cych  z elementem e- tym. M oż na  bez  trudu wykazać,  że warunki  stacjonarnoś ci  funkcjonał u  (2.2)  (tj. jego  rów- nania  Eulera) mają  postać równań  (2.1) oraz, dodatkowo, równań (2.3)  At k *=  Aa kf n u   x  e  8Q U , xedQ ef , xedQ ef . xe8Q eJ .  : F unkcjonał   (2.2)  stanowi  podstawę  najogólniejszej  zasady  wariacyjnej  stosowanej  do otrzymania  dyskretyzowanych  modeli  mechaniki.  N a  podstawie  róż nych  przypadków szczególnych  tego  funkcjonał u,  otrzymywanych  poprzez  postulowanie  a  priori  pewnych z  równań  (2.1),  (2.3),  otrzymać  moż na wszystkie znane modele  MES dla  zagadnień nie- liniowej  statyki.  W  szczególnoś ci,  tzw.  zgodny  model  przemieszczeniowy  otrzymywany jest  na  bazie  funkcjonał u  o postaci (2.4)  J P [Au k ]  } ] \ \   \ C A A 8 + & — gAf k Au k \   dQ—  I  At k A i  8n e ,o którego  stacjonarnoś ć,  po  wykorzystaniu  odpowiednich  zał oż eń  dyskretyzacyjnych,  pro- wadzi  do podstawowego  ukł adu równań algebraicznych  modelu MES  o postaci (2.5)  K ufi Ar fi   = w którym (2.6)  K a?   =   *$> "• > + K<$>+ K$ jest  macierzą  sztywnoś ci  ukł adu  dyskretyzowanego,  Kffi"'\   K$,  K^ f  są  odpowiednio macierzami  sztywnoś ci  konstytutywnej,  począ tkowych  naprę ż eń  oraz  począ tkowych przemieszczeń,  zaś  Ar a ,  AR a   są  wektorami  uogólnionych  przemieszczeń  wę zł ów  ukł adu i  uogólnionych  sił  zewnę trznych  dział ają cych  na te wę zł y. Omówienie  innych modeli MES (takich jak  modele: mieszany, hybrydowy,  przemiesz- czeniowy  I ,  hybrydowy  przemieszczeniowy  II,  hybrydowy  przemieszczeniowy  I I I ,  równo- wagi  I,  równowagi  I I ,  hybrydowy  naprę ż eniowy,  zmodyfikowany  hybrydowy  naprę ż e- niowy) zamieszczono n p. w monografii  [47] oraz w artykuł ach  [56,  57],  w których podano obszerne  bibliografie  zawierają ce  oryginalne  prace  z  zakresu  uogólnionych  modeli MES. D otychczas  omawialiś my  wariacyjne  aspekty  tworzenia  modeli  MES dla  nieliniowych zagadnień  statyki  kontinuum. W zagadnieniach nieliniowej  dynamiki wariacyjne  podstawy metod  przybliż onego  rozwią zywania  problemów  brzegowo- począ tkowych  są  opracowane M E S  W  MECHANICE  KON TIN U U M   5 8 9 równie  dobrze,  [58,  47,  48].  W  szczególnoś ci,  odpowiednikiem  podejś cia  opartego  na fimkcjonale  J P   jest  tzw.  zasada  H amiltona o postaci (2.7)  . gdzie  T  jest  kinematyczną   energią   ciał a,  zaś  r jest  czasem  rzeczywistym.  Wykorzystanie zasady  (2.7)  oraz  standardowych  zał oż eń  aproksymacyjnych  zgodnego,  przemieszczenio- wego modelu  MES prowadzi  w  uję ciu  przyrostowym  do  przestrzennie  dyskretyzowanych równań ruchu o postaci (2.8)  .• '• • '"  MA'r+K t Ar  =   AR, lub, po  dodatkowym  uwzglę dnieniu  sił  tł umienia,  do  równań  ruch  o  postaci,  [94,  70,  47] (2.9)  MAY,+ CAr+K,Ar  »  AR f gdzie  M  i  C są .  odpowiednio macierzami  masy  i  tł umienia  ukł adu  dyskrę tyzowanego  zaś, zgodnie  ze  stosowaną   tu  koncepcją   opisu (2.10)  A'  = r, +M - r„.  .  . Ar  =   r t+Jt - r„ przy  czym przyję liś my  tu uproszczoną   notację  r,  =  r(t), itp. Równanie ruchu  (2.9) zapisu- jemy  zazwyczaj  jako (2.11)  Mr, +At   + Cr l+At +K t Ar  =   AR+Mr t +Cr t , lub  ja ko (2.12)  •   Mr t+ j t   + Cr t+/ U   + K,Ar  =  R t+ j t - F t , gdzie F t  jest wektorem  tzw.  wę zł owych sił  wewnę trznych  w  chwili  t tj. na począ tku  rozpa- trywanego  kroku po czasie. Zauważ my,  że  otrzymany  tu  ostateczny  ukł ad  liniowych  równań  róż niczkowych  zwy- czajnych  (2.12)  odpowiada  zastosowaniu  tzw.  przestrzennie  dyskrę tyzowanego  modelu MES.  Istnieje  jednakże  alternatywna  moż liwość  zastosowania  aproksymacji  czaso- prze- strzennej,  w  wyniku  której  otrzymuje  się   zamiast  (2.12)  od  razu  odpowiednio  wię kszy ukł ad równań algebraicznych.  Metoda ta, zwana metodą  elementów  czaso- przestrzennych, opisana został a w pracach  [60 -  62]. 3.  Konstruowanie  nowych  elementów  skoń czonych  . Tematyka  ta,  zasadnicza  dla  MES  z  punktu  widzenia  dokł adnoś ci  uzyskiwanych rozwią zań, jest  przedmiotem  obszernych  rozważ ań  każ dego  z  wymienionych  wyż ej  opra- cowań  ksią ż kowych,  w  szczególnoś ci  polecić  tu  moż na  monografie  [7,  16,  20,  28,  46]. Jawne  postaci  macierzy  charakteryzują cych  mechaniczne wł asnoś ci  elementów  skoń czo- nych zależą   w ogólnoś ci  od:  . —  rodzaju  zastosowanego  sformuł owania  wariacyjnego, 590 M .  K LE I BE R —  rodzaju  zagadnienia  (problemy  trójwymiarowe,  pł yty, belki  itp), —  stopnia  zastosowanej  aproksymacji  wielomianowej. Bardzo  istotną   rolę   odgrywają   obecnie  elementy  skoń czone  o  brzegach  krzywolinio- wych  (w  szczególnoś ci:  elementy  izoparametryczne),  [63],  Wymagają   one  z  zasady  sto- sowania  procedur  cał kowania  numerycznego  przy  obliczaniu  macierzy  elementowych, są jednak  bardzo efektywne  i nadają   się  znakomicie do wł ą czania w cał kowicie zautomatyzo- wany  proces obliczeniowy  wł aś ciwy MES. Obszerny  przeglą d  opracowanych  dotychczas  elementów  skoń czonych  zawarty  jest w pracy  [64]. 4.  Formuł owanie zagadnień brzegowo- począ tkowych  mechaniki  w  aspekcie  stosowania  MES U mieję tność  konstruowania  róż nych  ogólnych. modeli  oraz  istnienie  efektywnych algorytmów  numerycznych nie przesą dza  oczywiś cie  o efektywnoś ci  odpowiedniego podej- ś cia  i  istnieją cych  programów  w  konkretnym  problemie  praktycznym.  Doś wiadczenia obliczeniowe  uzyskane  na  gruncie  rozwią zywania  róż norodnych  zagadnień  mechaniki pozwalają   bowiem  czę sto na wprowadzenie  tak istotnych uproszczeń do  ogólnie sformuł o- wanego  zadania  mechaniki, że  może to  zasadniczo  zmienić  rozmiar  zadania  i  koszt  do- konania  obliczeń.  Tę  rozległ ą   problematykę   zilustrujemy  na  przykł adzie ramy  pokazanej na  rys.  2,  dla  której  chcemy  okreś iić  wielkość deformacji  (oraz towarzyszą ce  im naprę ż e- O bc ią ż en ie  kr yt yc zn e  wg( 4 4 ) /   zagadnienie  statecznoś ci  począ tkowej ~ \   Rozwią zanie  wg 14.5)  metodo superpozycji  postaci wybaczenia Rozwią zanie  wg 14.2) m et odo  zmiennej  sztywnoś ci 0,0  Q1  Q2  0.3  0.4  0.5  0.6  0.7  0.8  0,9  10 U 5 [ cm] nia)  przy  proporcjonalnie  narastają cych  obcią ż eniach  statycznych.  Przed  przystą pieniem do  budowy  modelu  MES zadecydować  musimy,  czy  bę dzie  to model liniowy  czy  też mo- del nieliniowy.  Model liniowy  sprowadza  problem do rozwią zania  ukł adu równań =  R a , M E S  W  MECHANICE  KON TIN U U M   5 9 1 przy  czym  K$  jest  macierzą   sztywnoś ci  sprę ż ystej  ramy,  podczas  gdy  w  ramach  modelu nieliniowego  rozwią zań  należy  wielokrotnie  ukł ad  równań (4 . 2 ) odpowiadają cy  linearyzacji  problemu  na  kolejnym  kroku  przyrostowym. Istnieją   jednakże  jeszcze  inne moż liwoś ci  otrzymania  wyników  mogą cych  interesować inż yniera. W ramach podejś cia  zwanego  analizą  statecznoś ci zlinearyzowanej  rozwią zujemy mianowicie  uogólniony  problem  wł asny  postaci (4.3)  {K®  +  mnĄ )  +  K$Q> *)]}vfi  =  0, zaś  zagadnienie  tzw.  statecznoś ci  począ tkowej  prowadzi  do problemu wł asnego  postaci (4.4)  [ « $ + A K $ « ) ] ^ = 0 , gdzie przez  er*, r* oznaczyliś my  stan  naprę ż enia i przemieszczenia  w  ramie  odpowiadają ce „ liniowo"  pewnemu  dowolnemu  testowemu  obcią ż eniu  R*,  A  jest  parametrem  propor- cjonalnego  obcią ż enia  zewnę trznego,  tj.  R a   — XR*, K^ f  oznacza  liniową   (wzglę dem  r a ) czę ść macierzy począ tkowych  przemieszczeń K$  zaś wa jest wektorem postaci  wyboczenio- wej  odpowiadają cym  krytycznej  wartoś ci  parametru  A =   Akr. Inną   od wszystkich  wymienionych  wyż ej  moż liwoś cią   analizy  rozpatrywanej  ramy jest podejś cie,  w którym  nieliniową   zależ ność  przemieszczenia  r  od  parametru  obcią ż enia A dana jest wzorem  [65, 66] K (4.5)  r a (X)= a = l w  którym  (A,, v^ y),  (A2, va(2)),  ...,  (A*, va(k))  są   paroma pierwszymi  rozwią zaniami  pro- blemu  wł asnego  (4.4), zaś  wzór  (4.5)  obowią zuje  dla  X  <  Ax.  Istnieją   oczywiś cie  jeszcze inne  sposoby  analizy  rozpatrywanej  ramy. .Wyniki  otrzymane  za  pomocą   niektórych z wymienionych  wyż ej  metod zamieś ciliś my  na rys.  2. Widzimy,  że  sposób  sformuł owania zagadnienia  mechaniki bardzo istotnie  wpł ywa  na dobór  odpowiedniego modelu MES i wł aś ciwej  m u techniki numerycznej. Przystę pując  do przybliż onego  rozwią zywania  jakiegokolwiek  zagadnienia  brzegowo- począ tkowego  me- chaniki  kierujemy  się   zawsze  dwojakim  celem:  osią gnię ciem  moż liwie  wysokiej  dokł ad- noś ci  uzyskiwanych  aproksymacji  oraz  otrzymaniem  rozwią zania  we  wzglę dnie  prosty sposób;  Wymagania  te  są   jednak  przeciwstawne  —  zadawalamy  się   wię c  zazwyczaj  roz- waż aniami  umoż liwiają cymi  przynajmniej  rozsą dne  sterowanie  prostotą   procedur  i  do- kł adnoś cią   wyników,  zależ nie  od  naszych  konkretnych  potrzeb  i  moż liwoś ci  obliczenio- wych.  Ten  wybór  modelu  dyskretyzowanego  stanowi  bardzo  istotny  aspekt  zastosowań MES — bardzo wiele prac badawczych  skoncentrowanych jest  obecnie n a  analizie modeli MES  z  uwzglę dnieniem  uproszczeń  moż liwych  do  wprowadzenia  w  wyjś ciowym  modelu ukł adu kontynualnego. Umoż liwia  to bowiem  ł ą czenie posiadanych  doś wiadczeń  i wiado- moś ci  dotyczą cych  poszukiwanego  rozwią zania  z  automatyczną   procedurą   dokonują cą reszty, tj. wykonują cą   obliczenia numeryczne. Zapewnia  to wysoką   efektywność  podejś cia pozostawiają c  do  zrobienia  odpowiednio  czł owiekowi  i  maszynie  cyfrowej  to,  co  jest  im obecnie najbardziej  wł aś ciwe:  niezależ ne, krytyczne  myś lenie  oraz  szybkość  wykonywania powtarzalnych,  zalgorytmizowanych  operacji  algebraicznych. 6  Mech.  Teor.  i  Stos. 592  M .  KXEIBER Sp o só b  form uł owan ia  problem ów  brzegowo- począ tkowych  m echan iki  wywiera,  jak widzim y  n a  powyż szym  przykł adzie, istotn y  wpł yw  n a wybór  odpowiedniej  techn iki nume- ryczn ej.  Jedn ocześ n ie  zł oż on ość  (czy  prostota)  odpowiedn ich  istnieją cych  algorytmów wpł ywać  p o win n a  równ ież  na  sposób  sform uł owania  problem u  m echan iki —  niezwykł a waga  tego  wzajemnego  sprę ż enia  zadecydował a  o  wyróż n ien iu  tej  problem atyki  w  osob- n ym  po dro zdziale  niniejszego  przeglą du. 5.  Algorytmy  numeryczne I st o t n ym  czyn n ikiem  oceny  przydatn oś ci  dan ego  m odelu  M E S  jest  efektywność  za- stosowan ego  w  zrealizowan ym  program ie  algorytm u  numerycznego  sł uż ą cego  rozwią zy- wan iu  u kł ad ó w  równ ań  algebraicznych  (2.5)  (w  przypadku  zagadn ień  statycznych)  lub u kł ad ó w  ró wn ań  róż n iczkowych  (2.12)  (w  przypadku  zagadn ień  dyn am iczn ych). Wś ród  m et o d  rozwią zywania  problem ów  dyn am iki  zasadniczą   rolę   odgrywają :  metoda superpozycji  m o d aln ej  oraz  m etody  bezpoś redn iego  cał kowan ia. M et o d a  superpozycji  m odaln ej  w  zastosowan iu  do  zagadn ień  liniowych  m a  charakter st an dardo wy,  [67]  i  n ie  wym aga  kom en tarza.  Wbrew  pozorom  (superpozycja!),  metoda t a . o ka za ł a  się   p rzyd at n a  równ ież  w  zagadn ien iach nieliniowych,  [68, 69], Stosują c  m etody  bezpoś redn iego  cał kowan ia, polegają ce  n a  wykorzystaniu  w  równaniu (2.12)  róż n icowych  aproksym acji  wektorów  prę dkoś ci  r  i  przyś pieszenia  V,  otrzymujemy odpowiedn ie  ukł ady  ró wn ań  algebraicznych  wzglę dem  poszukiwan ego  wektora  Ar. R o zró ż n iamy  dwie  zasadn icze  grupy  m etod  bezpoś redniego  cał kowan ia: —  m et o d y jawn e,  bazują ce  n a wykorzystan iu  do  obliczenia  wektora  warun ków  dynamicz- . n ej  równ owagi  u kł ad u  w  chwili  t  i opisywane  w  ogólnoś ci  zwią zkiem (5.1) o r a z  • —  m et ody  n iejawn e,  bazują ce  n a  warun kach  dynamicznej  równowagi  ukł adu  w  chwilach T  =   f  „ póź n iejszych"  n iż  ł  ( n p .  t  =   t+Ał )  i  opisywane  w  ogólnoś ci  zwią zkiem (5.2)  {yM+dC+7]K T )Ar=  AR^ "- \ Współ czyn n iki  a,  /?, y,   =  R t , At ~  F t % t , gdzie (;) oznacza kolejną , typową  pę tlę  iteracyjną   zaś „ poprawka" rozwią zania  drii+p  sł uży do  akumulacji  „prawdziwej"  wartoś ci  wektora Ar  wg  wzoru (5.4)  AHt+l- >  =   Ar^   + di