Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z1_2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/2 20 (19821 ZN ISZCZEN IE  W  ZAKRESIE  LEPKO PLASTYCZN YM JEAN   L E M A I T R E Professeur a  VUniversite Paris  VI L aboratoire de  Mecanique  et T echnologie 61,  Avenue  du  President  W ilson CAC HAN , France 1.  Wstę p Wzrastają ca  liczba konstrukcji  metalowych, poddanych dział aniu wysokich temperatur, stanowi  główną   przyczynę   studiów  na temat metod przewidywania  zachowania  się   takich konstrukcji  w  warunkach  ich  eksploatacji.  Przy  tym  istotną   rolę   odgrywają   zagadnienia ekonomiczne  i  wymagania  bezpieczeń stwa,  narzucają ce  bardzo  ostre  warunki. Rozwój  współ czesnej  termodynamiki  [1] i  analizy  funkcjonalnej  [2] umoż liwia  budo- wanie zwią zków konstytutywnych  odnoszą cych się  do zł oż onych zjawisk. P on adto  moż liwe jest  formuł owanie  metod  obliczania  konstrukcji  nieliniowych.  D zię ki  temu  rozwojowi otrzymuje  się   zasady  pozwalają ce  sformuł ować, przy  ograniczają cym  zał oż eniu izotropii, zwią zki  konstytutywne  plastycznoś ci,  lepko- plastycznoś ci,  pę kania  oraz  zwią zki  opisu- ją ce zjawisko uszkodzenia materiał u. Anizotropia pozostaje  nadal zagadnieniem  otwartym. Jeś li  chodzi  o  obliczanie  konstrukcji,  potrafimy  formuł ować  zagadnienia  plastycznej noś noś ci granicznej  oraz pewne zadania ewolucji,  ale jedynie  w przypadku  uproszczonych zwią zków  konstytutywnych.  Jednym  z  wielkich  tematów  mechaniki  ciał a  stał ego  na  lata 80- te jest  bez  wą tpienia  wprowadzenie  do  obliczeń  wię kszej  dawki  fizyki. D rugi korzystny  punkt to moż liwość znalezienia na maszynach liczą cych  przybliż onych rozwią zań  numerycznych tych  zagadnień, których  nie moż na  rozwią zać  na  drodze anali- tycznej.  Silne  nieliniowoś ci,  z jakimi  mamy  do  czynienia  w  zjawiskach  peł zania  i  znisz- czenia  powodują ,  że  zagadnienia  moż na rozwią zywać jedynie  krok  po  kroku  n a  drodze linearyzacji.  Każ dy postę p w zakresie szybkoś ci maszyn liczą cych wnosi moż liwość rozwią - zywania  nowych zadań. Obliczenia  dotyczą ce  przewidywania  zachowania  się   konstrukcji,  znajdują cej  się   pod dział aniem  podwyż szonych  temperatur, moż na  schematycznie  ują ć  w  nastę pują ce  etapy: 1.  Zdefiniowanie  geometrii  konstrukcji. 2.  Zdefiniowanie  historii  obcią ż eń zewnę trznych. 3.  Wyznaczenie  pola temperatur. 1 }  Referat  problemowy  wygł oszony  n a  XXII- ej  Polskiej  Konferencji  M echaniki  C iał a  Stał ego w  G o - luniu,  wrzesień  1980  r. 30  J .  LEMAITRE 4.  U stalenie  zwią zków  konstytutywnych  lepkoplastycznoś ci  dla  rozpatrywanych materiał ów. 5.  Wyznaczenie  pól  naprę ż eń  i  odkształ ceń  w  warunkach  stabilizacji  wzglę dem  cy- klicznego  wzmocnienia  lub  osł abienia  materiał u  oraz  redystrybucji  naprę ż eń, spowodowanej  lepkoplastycznoś ci ą . 6.  Okreś lenie  punktu, lub  punktów, najbardziej  naraż onych na zniszczenie. 7.  U stalenie praw  opisują cych  proces  uszkodzenia  i mają cych  na  celu  przewidywanie pojawienia  się   lokalnego  zniszczenia  w  postaci  elementarnej  szczeliny  makro- skopowej ; 8.  Okreś lenie  czasu  (lub  liczby  cykli),  po  którym  pojawia  się   taka  makroszczelina. 9.  U stalenie praw  wzrostu  szczeliny. 10.  Okreś lenie  procesu  ewolucji  powstał ej  szczeliny,  lub  szczelin,  aż  do  zupeł nego zniszczenia  na  skutek  niestatecznoś ci  konstrukcji. Powyż sze  zestawienie  obejmuje  praktycznie  cał ą   mechanikę   materiał ów i  konstrukcji. W  naszej  pracy  ograniczymy  się   do  czę ś ci  dotyczą cej  zniszczenia,  tzn.  punktów  7 - 10, przy  czym  nacisk  poł oż ymy  na  sformuł owanie  i  ustalenie  zwią zków  opisują cych  uszko- dzenie  i  pę kanie.  Podstawowym  narzę dziem  bę dzie  termodynamika  procesów  nieodwra- calnych,  a  dla  opisu  uszkodzenia  uogólnimy  poję cie  naprę ż enia  efektywnego,  wprowa- dzone  przez  KACZAXOWA  [3, 4]. U ogólnienie poję cia  prę dkoś ci  uwalniania  energii, wpro- wadzonego  pierwotnie  przez  G RIF F ITH A  [5, 6], pozwoli  opisać  pę kanie. Praca  zorientowana  jest  zasadniczo  n a  przedstawienie  zagadnienia  zniszczenia  kon- strukcji  poddanych dział aniu podwyż szonych  temperatur, gdy  lepkoplastyczność  odgrywa istotną   rolę .  Chodzi tutaj  o temperatury w  przybliż eniu  wyż sze od  1/3 absolutnej tempera- tury  topnienia rozpatrywanego  metalu. 2.  Rozpoczynanie  się   szczelin U waża  się ,  że  szczelina  pojawia  się   w  ciele  stał ym wtedy  gdy  w elemencie o reprezen- tatywnej  obję toś ci  pojawia  się   niecią gł ość  materialna  pewnej  wartoś ci.  Chodzi  tu  o  taki wymiar charakterystyczny, począ wszy  od którego nie moż na stosować mechaniki oś rodków cią gł ych  bez  uwzglę dnienia  geometrii  tej  niecią gł oś ci.  D la  metali  wymiar  ten  w  praktyce wynosi 0, 1- 1  mm. Aby,  przy  wykorzystaniu  równań  mechaniki  oś rodków  cią gł ych,  przewidzieć  poja- wienie się  szczeliny  makroskopowej  koniecznym jest zdefiniowanie  parametru uszkodzenia, opisują cego  deteriorację   materiał u począ wszy  od jego stanu pierwotnego, aż do utworzenia się   szczeliny.  M etalurgia  fizyczna  pozwala  zidentyfikować  mechanizmy  powstawania i  wzrostu  mikropustek  i  mikroszczelin  skł adają cych  się   na  uszkodzenie  materiał u  [7]. M atematyczne  metody  homogenizacji  zagadnień  w  mechanice  pozwalają   zbudować modele teoretyczne1 zachowania się  makroskopowego;  modele takie schematycznie uwzglę d- niają   wspomniane  mikrodefekty,  jednakże  bez zdefiniowania  makroskopowego  parametru uszkodzenia  [8].  W  ramach  termodynamiki  moż na  natomiast  okreś lić  zbiór  makrosko- powych  parametrów,  koniecznych  do  opisu  zjawisk  Teologicznych  oraz  moż na  podać równania  ewolucji  tych  parametrów.  Jednakże  termodynamika  maskuje  czę ść  rzeczywis- ZN ISZCZEN IE  W  ZAKRESIE  LEPKOPLASTYCZNYM   31 toś ci fizycznej,  która  wchodzi  do  rozważ ań jedynie  na poziomie hipotez. M im o t o  obiera- my wł aś nie taką   drogę . 2.1.  Makroskopowy  parametr uszkodzenia.  Po  raz  pierwszy  koncepcja  mechanicznego  pa- rametru  uszkodzenia  pojawił a  się   w  1958  roku  w  pracach  KACZAN OWA,  dotyczą cych zniszczenia  w  warunkach  peł zania przy  rozcią ganiu,  por.  [3]. Idea ta  opiera  się   n a  poję ciu naprę ż enia  efektywnego,  którego  uogólnienie  n a  przypadek  trójwymiarowej  an izotropii stanowi  nadal nierozwią zany  problem  podstawowy. Rozpatrzmy  przekrój  S,  o  normalnej  n,  rozpatrywanego  elementu  o  obję toś ci  V,  n a który  dział a  wektor  naprę ż enia  T   zwią zany  z  tensorem  naprę ż enia  Cauchy'ego  a,  por. rys.  1. f- On T=0n Rys.  1.  D efinicja  wektora  naprę ż eń  efektywnych Jeś li  w  elemencie  istnieją   uszkodzenia  w  postaci  mikropustek  lub  mikroszczelin,  to- jedynie  czę ść  S przekroju  przenosi  naprę ż enia  T .  Zwią zek (2.1)  "  S =   ( l- J D )S okreś la  param etr  uszkodzenia  D,  przedstawiają cy  niecią gł oś ci  powierzchniowe  istnieją ce w przekroju  S. W  przypadku  gdy  uszkodzenie  ma charakter izotropowy,  D jest  skalarem  niezależ nym od  n  i  bez  trudu  okreś la  się   wektor  f  oraz  tensor  naprę ż eń  efektywnych  a  piszą c (2.2)  Ś f=  ST , gdzie  T  =  (\ - D)-lT ,  przy  czym  f  =   an  oraz (2.3)  an=  (l- D^ an, (2.4)  ( ? =   ( l- D ) - *ff. Jeś li  uszkodzenie  ma  charakter  anizotropowy,  D  zależy  od  normalnej  n. P aram etrowi uszkodzenia  moż na  nadać  sens  tensorowy  na  kilka  sposobów.  M ianowicie  uszkodzenie moż na tł umaczyć nie tylko  osł abieniem przekroju,  ale również jego  obrotem  [9], którem u jednakże  trudno nadać sens  fizyczny S- +Ś  n^ h. M amy wówczas  zależ noś ć : (2.5)  Ś h 32  '  • !•   LEMAITRE w  której  [ 1— £>] oznacza tensor  drugiego  rzę du. Prowadzi  to  do nastę pują cych  zwią zków (2.6)  f^ ll- D}-lT , (2.7)  5  =   ff[l- D ]- 1. W  ogólnym  przypadku  tensor  naprę ż eń efektywnych  nie jest  symetryczny.  D latego  więc aby  speł nić  na  przykł ad  zwią zek  fizyczny  sprę ż ystoś ci,  trzeba  zdefiniować  inny  tensor efektywny,  otrzymamy przez symetryzcicję  tensora a. D la  przykł adu, w  pracy  [9]  przyję to (2.8)  S^ jlll- Dl- ie  + all- D]-1], podczas  gdy  w  [10] rozpatruje  się nastę pują cy  tensor (2.9)  S"={l- DY*oll- Dy*. Istnieją  i inne moż liwoś ci, ale jaki jest ich sens fizyczny? Inne  podejś cie  polega  na  zapisaniu  potencjał u termodynamicznego  W e   jako  funkcji odkształ ceń  sprę ż ystych  e? i  tensora a okreś lają cego  wł asnoś ci sprę ż yste  materiał u uszko- dzonego (2.10)   efe   =  j A  ty Pokaż emy  jak  pierwsza  z  tych  dwu  zależ noś ci  prowadzi  do  kryterium  rodzenia  się szczeliny.  D la metali rozsą dnie jest przyjąć  hipotezę, że nie ma sprzę ż enia pomię dzy sprę- ż ystoś cią  i  uszkodzeniem  a  wzmocnieniem.  Oznacza  to, że  energia  swobodna  ma  postać (2.20)  V =   W c(se,  T , D)+ip P ( czyli (2.26) ZN ISZCZEN IE  W ZAKRESIE  LEPKOPLASTYCZNYM  35 Ostatecznie otrzymujemy  nastę pują cą  zależ ność (2.27)  7 -   ~5- ~£S- *•   "L i CT,  T =  c o n st . Rezultat  ten jest  analogiczny  z definicją  prę dkoś ci  uwalniania  energii  w  mechanice zniszczenia [15]. Przez  analogię z odpornoś cią  G c   materiał u,  kryterium  rodzenia się szczeliny  definiuje się  nastę pują co \ Y\   =  Y c  -> istnieje  szczelina  makroskopowa  (2.8) Podany  warunek  moż na  również  zapisać  w zależ noś ci  od parametru  uszkodzenia  D. Jeś li  W e oznacza  energię  sprę ż ystą  przy  zniszczeniu (2.28)  W * = ~  a R s% =  y C l - D J a e Ł ai -   ( l - DB ) 7 e i to  dochodzimy do zależ noś ci (2.29)  D c = l - - ^ -. Doś wiadczenie pokazuje, że dla metali najczę ś ciej  moż na  przyjąć (2.30)  D c £ l . 2.2.3. Potencjał   dyssypacji.  Zwią zki  opisują ce  ewolucję  parametrów  wewnę trznych  wy- prowadza  się z potencjał u  dyssypacji.  Postulujemy  istnienie  takiego  potencjał u  [1].  Za- piszmy  gę stość  dyssypacji  w postaci  nierównoś ci  Clausiusa- D uhema (2.31)  < T Ś - e ( y +S T ) - ( 7 - ^ -̂   0, grad T gdzie  q oznacza  wektor  strumienia  ciepł a,  stowarzyszony  z  ———. Funkcja  y>,  jako  funkcja  zmiennych  stanu,  przyjmuje  postać (2.32)  y =   - sf+- (a&e+YD+A P v P ), gdzie  EP =  E—EC.  Po prostych  przekształ ceniach  otrzymujemy (2.33)  ak- Yb- A P x- q^ ^ ~>  0. Wielkoś ci  ep,  D, ac P , q, oznaczają  odpowiednio prę dkoś ci  zmiennych  dyssypatywnych. N atomiast  a, Y, A p ,^ £—  są  odpowiednimi  zmiennymi  dwoistymi  (sił ami)  [16]. Zakł a"da się wię c, że istnieje funkcja  skalarna cp, wypukł a wzglę dem  zmiennych dualnych, przy  czym  zmienne stanu  traktujemy  jako  parametry.  Jest  to więc  hipoteza  uogólnionej normalnoś ci  [17] [stowarzyszone  prawo  pł ynię cia  w  przestrzeni  sił  termodynamicznych a,  Y, A„, - i ^ £ — tł um ).  Z funkcji  ' 36  J-   LEMAITRE otrzymujemy  więc —  równ an ia  konstytutywne  lepkoplastycznoś ci S  " ATa' (2.34) .-.  _  ,   d(P —  prawo  F ouriera (2.35)  q  -   - —  równanie ewolucji  opisują ce  proces  uszkodzenia (2.36)  * - - * .£ F un kcje  skalarne  A i  l̂D  oznaczają  odpowiednio  mnoż nik lepkoplastyczny  i mnoż nik uszkodzen ia. Term odyn am ika  n ie  pozwala  pójść  dalej.  Jednakże  rozważ ania  fenomenologiczne i  badan ia  doś wiadczalne  prowadzą  do  modelowania  i  identyfikacji  przedstawionych równ ań  konstytutywnych. 2.3.  Pomiar uszkodzenia.  Chcąc  modelować  potencjał   ,  prze- prowadzają c  nastę pują ce  rozważ ania: —  rozsprzę ż enie  efektów  mechanicznych i termicznych, —  rozsprzę ż enie  efektów  lepkoplastycznoś ci  i uszkodzenia czył i 9  - . Apl  s. e ,T , D, Y; e«, T , D, ;  T , D, —  W  wyraż eniu  na 

D zależ y od  niezmienników skalarnych tensora naprę ż enia (2.45)  er, =   trtr,  cr„ =   trS 2, gdzie  S oznacza  dewiator  tensora  naprę ż enia. Podobnie jak i w plastycznoś ci  pomijamy wpł yw  trzeciego  niezmiennika  tensora naprę ż enia. —  Oprócz szczególnych  przypadków  efektów  pamię ci, takich jak korzystny  wpł yw prze- cią ż eń  na uszkodzenie przy zmę czeniu [23], moż na pominąć wpł yw parametrów wzmocnie- nia  na uszkodzenie. —  Jeś li  zał oż ymy, że funkcja  y D   jest  liniowa  wzglę dem  Y to  otrzymujemy  nastę pują ce równanie  ewolucji (2.46)  b  =  -  X D  - |?-   =  -  X o ^ r  =   X D f{a,,  er„   ,T ,D). 2.4.2. Poję cie naprę ż enia równoważ nego przy uszkodzeniu. Obserwacje  metalurgiczne  upoważ- niają  do stwierdzenia, że naprę ż enie ś rednie ma silny  wpł yw na powstanie i rozwój  mikro- pustek (2.47)  0 m  =  ~tro. N atomiast jeś li  chodzi o mikroszczeliny,  to raczej  naprę ż enie równoważ ne  Misesa    =  x, jeś li X-  > 0;  =  0 jeś li  x  < 0, aby  przynajmniej  w przybliż eniu  speł nić wa- runki  zamykania się mikroszczelin. I wreszcie  a* dobieramy w ten sposób  aby  wielkość ta był a  identyczna z jednowymiarowym  naprę ż eniem przy  rozcią ganiu.  Przedstawione wy- raż enie  na naprę ż enie  równoważ ne  jest  przypadkiem  szczególnym,  a zarazem  znacznie prostszym, wyraż enia zaproponowanego pierwotnie przez  BURZYŃ SKIEGO  [24]  w 1928 roku. HAYHURST  [25, 26] podjął   ten problem na  nowo, ale  w  innej  formie. N a  rys. 5 przedstawiono  identyfikację  współ czynnika  C  (C £  0,25)  na  podstawie wyników  próby  zniszczenia  w  zakresie  peł zania  dwuosiowego,  zgodnie  z  rezultatami pracy  [25]. Każ dy punkt reprezentuje wartoś ci  naprę ż eń a x  i a 2  w momencie zniszczenia, odniesionych do naprę ż enia równoważ nego o1*. 2.4.3. Wpł yw temperatury. Bardzo liczne wyniki  badań doś wiadczalnych n ad zniszczeniem przy  peł zaniu i zmę czeniu  pokazują,  że efekt  temperaturowy  moż na opisać z dobrą  do- kł adnoś cią, wprowadzając  poję cie naprę ż enia zredukowanego przy pomocy ilorazu  [11, 27] • 40 J.  LE M AI T R E We  wzorze  (2.50)  wielkość  a u {T )  oznacza  naprę ż enie  koń cowe,  w  zakresie  zniszczenia statycznego, w  zależ noś ci  od temperatury. Chodzi tutaj  o rezultat empiryczny  zasł ugują cy na  gł ę bsze zbadanie od strony termodynamicznej. Przykł ad funkcji  a K {T ) podano na rys.  6. Rys.  5. P róba  na zniszczenie  przy  peł zaniu  dla stanu  dwuosiowego.  Stopy  ogniotrwał e. 1000 5001 500 1000 Rys.  6.  Ewolucja  naprę ż enia  koń cowego  jako  funkcji  temperatury.  Stop  ogniotrwały  IN  100. 2.4.4.  Przypadki  szczególne.  U wzglę dniając  kon cepcje  n aprę ż en ia  równ oważ n ego  i  zre- d u ko wan ego ,  ogóln e  ró wn an ie  ewolucji  p aram et ru  uszkodzen ia  sprowadza  się  d o  postaci (2.51) = XDf Wychodzą c  z  tego  zwią zku  moż na  otrzymać  wiele  róż nych  modeli  szczegół owych, z których  każ dy  posiada  ograniczony zakres stosowalnoś ci  [28]. D la przykł adu rozpatrzmy dwa  modele peł zania i zmę czenia. Pierwszy  z  nich  to  model  uszkodzenia  w  zakresie  peł zania, wyprowadzony  z  modelu KACZAN OWA,  uwzglę dniają cy  nieliniową   kumulację   efektów  [29] (2.52) D  =  f  —^ (T )M odel  taki  scharakteryzowany  jest  przez pię ć parametrów  materiał owych: a, a„, r, ki  C. M oż na  je  okreś lić  doś wiadczalnie;  przeprowadzają c  mianowicie  próby  peł zania  aż  do zniszczenia, jak  o  tym  wspomniano  w podrozdziale  2.3.2. P onadto należy  przeprowadzić ZN ISZCZEN IE  W  ZAKRESIE  LEPKOPLASTYCZNYM   41 kilka doś wiadczeń  dla przypadku  dwuwymiarowego,  celem wyznaczenia współ czynnika  C, por.  rys.  5. D rugi  to  model  opisują cy  stan  uszkodzenia  spowodowanego  zmę czeniem;  również w  tym  przypadku  uwzglę dniona jest  nieliniowość  kumulacji  efektów,  bowiem  mamy  [30] ( 2 , 3 ,  ^ - P - (l W  zależ noś ci  (2.53) —r~-   jest  przyrostem  zniszczenia  na  cykl  obcią ż enia;  zaś  da*  i  a* O/V oznaczają   odpowiednio  amplitudę   i  wartość  ś rednią   naprę ż enia  a* • — również  dla  cyklu. I  N   —  N R   (zapoczą tkowanie  szczeliny  makroskopowej  w  roz- patrywanym punkcie). Zastosowanie tego rodzaju  obliczeń w celu przewidywania  daje  wyniki o współ czynniku dokł adnoś ci  ± 2 . 3.  Wzrost  szczelin Interesować  nas  teraz  bę dzie  rozwój  powstał ej  szczeliny  makroskopowej.  Moż liwe  są dwa  podejś cia: a).  Podejś cie  lokalne,  oparte  na  mechanice  procesu  uszkodzenia —  takiej,  jaką   przed- stawiono  w  rozdziale  drugim.  W  tym  przypadku  należy  obliczyć  w  każ dym  punkcie parametr  uszkodzenia  D(M),  przy  istnieniu  szczeliny  makroskopowej,  która  staje  się zbiorem  punktów  M c   tzn.  punktów  o  krytycznej  wartoś ci  parametru  uszkodzenia, równej  D c .  Moż emy wię c napisać (3.1)  D(M C )  =   D c - +  M c e  szczeliny. N asza  praca zawiera  formalizm  wł aś nie takiej  metody. Jednakże realizacja  tej  metody napotyka  na  problemy  numeryczne,  które  stanowić  bę dą   dziedzinę   badan ia  przez kilka  lat! 4 2 J .  LE M AI TR E b).  Inne  podejś cie,  okreś lane jako  globalne, polega  na  uogólnieniu poję ć  liniowej  mecha- niki  pę kania  na przypadek  nieliniowej  lepkoplastycznoś ci.  Jak  wiadomo, liniową   me- chanikę  pę kania stosowano z powodzeniem w badaniu zachowania się  szczelin w oś rod- kach  sprę ż ystych.  Wł aś nie takie  podejś cie  przedstawimy  obecnie, ale  ograniczymy  się do  obcią ż eń  „ prostych" w sensie  plastycznoś ci. 3.1. Sformułowanie termodynamiczne. 3.1.1. Zmienne termodynamiczne. Rozpatrzmy  ciał o  trój- wymiarowe,  sprę ż ysto  —lepkoplastyczne  w przypadku  izotermicznym. Zał óż my, że w ciele istnieje  szczelina,  której  ewolucja  zależy  tylko  od  jednego  parametru,  a  mianowicie  od powierzchni  szczeliny  A.  N a  ciał o  dział a obcią ż enie jednoparametrowe  o  parametrze  P, zgodne  z geometrią   szczeliny;  n p . : może to być szczelina  wywoł ana  obcią ż eniem P. N iech u  oznacza przemieszczenie  stowarzyszone  z P. Zakł adamy, że  u moż na przedstawić  w po- staci  sumy  przemieszczeń  sprę ż ystych  u e   i  przemieszczeń  plastycznych  u p ,  czyli  mamy, por.  rys.  7. (3.2)  u  =   u e +u p D la  rozpatrywanego  ciał a  moż na  skonstruować  termodynamikę ,  zupeł nie podobną do  tej  jaką   dla  elementu  obję toś ci  przedstawiono  w  podrozdziale  2.2  [31,  32]. Rys.  7.  M echanizm  wzrostu  szczeliny. Zmienne  stanu  termodynamicznego  to  zmienne  obserwowalne:  przemieszczenie  sprę - ż yste  n e   i  temperatura  T   oraz  parametry  wewnę trzne:  powierzchnia  A  szczeliny  i  uogól- niony  param etr wzmocnienia  o^. Zmiennymi stowarzyszonymi  są  odpowiednio obcią ż enie P,  okreś lona  dla  cał ego ciał a entropia s,  zmienna G  oraz dualna zmienna wzmocnienia 7t. Okazuje  się ,  że  G jest  prę dkoś cią   uwalniania  energii  w  sensie  G R I F F I TH 'a. Tablica  2. 3.1.2. Potencja! termodynamiczny. Jako  potencjał   termodynamiczny  moż na  wzią ć  energię swobodną ,  tym  razem  okreś loną   dla cał ego ciał a f(u e ,  T ,A,tx P ). Tym,samym  zmienną   G  okreś la  zależ ność (3. 3) G=  - ~dA ZN ISZCZEN IE  W  ZAKRESIE  LEPKOPLASTYCZNYM 43 Tablica  2.  Tablica  zmiennych  termodynamicznych Zmienne  stanu U e T .Wewnę trzne 5 A  G CC P Zmi&nne  stowarzyszon e - - T ip Wykaż emy,  że  wielkość  G  jest  równa  poł owie zmiany  energii  sprę ż ystej  W e   wywoł anej przyrostem  szczeliny,  przy  stał ym  obcią ż eniu  i  stał ej  temperaturze. Zał oż enie  o  obcią ż eniu jednoparametrowym  pozwala  dokonać rozsprzę ż enia  efektów sprę ż ystych  i  lepkoplastycznych  w  wyraż eniu  na  energię   swobodną ,  czyli  mamy (3.4)  y>  -   V.(Mc,  T ,  A) + y> P (  wyraż ono  przez zmienne stanu, przyjmuje  postać (3.10)  .  Ptip- GA~a. P 7t^   0. W nierównoś ci  (3.10) wyraż enie  GA  oznacza energię   dyssypowaną   w procesie pę kania. 44  J .  LEMAITRE Z ał óż my  p o n ad t o ,  że  istnieje  potencjał   dyssypacji  y   -   A/ g( G , T ) . N astę pują cy  przykł ad pozwala  lepiej  utrwalić  podstawowe  idee: —  M odel  zmę czenia:  równanie  PARISA  [35], zmodyfikowane  w  pracy  [36] celem  uwzglę d- nienia  czę stotliwoś ci /   obcią ż enia - "(3- 14)  - ^  -   CfG'Uf G M   oznacza  wartość  maksymalną   wielkoś ci  G,  osią ganą   podczas  cyklu  obcią ż enia.  Cj,  r\ j i  b  są   trzem a  współ czynnikami, które  należy  zidentyfikować  dla  każ dego  materiał u  i  dla każ dej  tem peratury  na  podstawie  badań  pę kania  przy  dość  wysokich  czę stotliwoś ciach ( 5 - 10  H z) ;  n p.  na  próbkach  poddanych  ś ciskaniu- rozcią ganiu. —  M odel peł zan ia, skonstruowany  w pracy  [36] (3.15)  A=C c <&c C c   i  rj c   oznaczają   charakterystyczne  dla  danego  materiał u  współ czynniki,  które  moż na otrzym ać z  próby  pę kan ia przy  stał ym obcią ż eniu. N a  rys.  8  przedstawiono  porównanie  wyników  teoretycznych  z  doś wiadczalnymi, w  odniesieniu  do  przypadku  gdy  wzajemne  oddział ywanie  pomię dzy  zmę czeniem  a peł - ZN ISZCZEN IE  W  ZAKRESIE  LEPKOPLASTYCZNYM 45 z a n i e m  m a p o st a ć wyr a ź n e go  wp ł ywu  c zę st o t liwo ś ci  n a  p r ę d k o ść  wz r o st u . W t y m  p r z y p a d k u p r ę d k o ść  wz r o st u  szczelin y  o b lic z a  się  ze  wz o r u da ÓN ( 3.16) ~  []/ EGu)'*Cft b +  J {\ / 'EG)"'C' c dt. 1 okres 1 0 5 ^ 10 20  30  40  50 VUG   MPaN/ m Rys.  8. Porównanie  badań  teoretycznych z doś wiadczalnymi  nad  wzrostem  szczeliny  w przypadku  zrnę - czsnia  i  peł zania. Stop  AISI  304,  T  -   538°C. 3.3.  Obliczanie wzrostu  szczeliny.  W  zakresie  wymienionych  hipotez  o obcią ż eniu jed n o - parametrowym  i  rozsprzę ż eniu  efektów  sprę ż ystych  i lepkoplastycznych  w  wyraż eniu n a energię   swobodną ,  zmienną  G moż na wyznaczyć  przy  pomocy  analizy  sprę ż ystej,  stosują c n a  przykł ad metodę  elementów skoń czonych. Znają c  kolejne postacie szczeliny,  okreś lonej przez  A,  wystarczy  przeprowadzić  obliczenia  dotyczą ce  energii  sprę ż ystej  W e ,  odpowia- dają cej  róż nym wartoś ciom  powierzchni A, przy  obcią ż eniu jednostkowym  P  =   1. Wów- czas  moż na  wyznaczyć  prę dkość  uwalniania  energii  zredukowanej  G r   [6] m etodą   in ter- polacji  funkcji W e {A) (3.17) =  1). Ponieważ  G jest  proporcjonalne do Pz,  wię c jeś li  obcią ż enie jest  dan e jako  funkcja  czasu w  postaci  ,P(0, t o G  otrzymujemy  z zależ noś ci (3.18)  G(A,t)  = G r (A)-

 A =  A o ,  (na  przykł ad  A o   = 1 m m 2) . W  ten  sposób  otrzymujemy  opis  wzrostu  szczeliny  A(N )  aż do  warunku  kruchego  znisz- czenia  na skutek  niestatecznoś ci, zdefiniowanego  przez zależ ność .  G ~  G c  — odporność materiał u w rozpatrywanej temperaturze. A  oto zbiorcze  przedstawienie  „ ż ycia"  konstrukcji  aż do zniszczenia M ateriał   Rozpoczynanie się   Wzrost  Zniszczenie pierwotny  szczeliny  szczeliny  konstrukcji D  =  0 • «•> D c  =  1,  A  = A o   —r+   A(t)  ~*- ~-> A  —»  co,  dla G =   G c Podzię kowanie.  Autor,  J. Lemaitre,  znają cy  zaledwie  kilka  sł ów w ję zyku  polskim, pragnie  gorą co  podzię kować  swojemu  przyjacielowi,  Prof.  A. Sawczukowi,  za  inicjatywę napisania  tego  artykuł u  oraz  J. J. Teledze  za przetł umaczenie z ję zyka  francuskiego na ję zyk  polski. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  P . G E R M AI N ,  COW S  de Micanią ue  des Milieux  Continus,  M asson,  P aris  1973. 2.  G .  D U VAU T ,  J . L.  LI O N S, L es Inequations  en Micanią ue  et en  Physique,  D un od, P aris  1972. 3.  L. M .  KAC Z AN OV,  IZV.  Akad.  N au k  SSSR,  O td.  Techn. N auk,  N o  8, (1958),  26- 31. 4.  J,  LE M AI TR E ,  J . L.  CH ABOCH E,  Aspects  phdnomdnologiques  de la rupture par  endommagement,  Journ . de  M ć c.  Appl.,  3, 2,  (1978). 5.  A. A.  G R I F F I T H ,  T he  phenomena  of  rupture and flow  in solids,  Phil. Tran s, of Roy.  Soc. Lon don , A221 (1920),  163- 197. 6.  J.  LEM AITRE,  Phenomenologlcal  approach of  crack growth prediction in structures (ukaże  się  w Journal of  F atigue  in  Engineering  M aterials  and Structures,  1981). 7.  D .  M C LE AN ,  A.  P I N E AU ,  Grain boundary  sliding as correlating concept for  fatigue  hold times, M etal Science,  (1978),  313- 316. 8.  E. SAN CH EZ- PALEN CIA, N on- Homogeneous  Media  and Vibration T heory, Springer- Verlag,  (1980), Berlin. 9.  S.  M U R AK AM I ,  N .  O H N O , A  continuum  theory of  creep  and creep damage, Euromech Colloquium  111, M arien bad  (1978).  '  • 10.  J . P .  CORD EBOIS,  F .  SID OROF F , Damage  induced elastic anisotropy.  Euromech  Colloquium  115, Villars de  Lan s,  (1979)  (w druku). 11.  J . L.  C H ABOC H E,  Description  thertnodynamique  et phinomiiu logique  de la visco- plasticite  cyclique  avec endommagenwnt.  These,  U niversitc  P aris  VT,  (1978). 12.  J. P .  BOEH LER,  A.  SAWC Z U K,  On yielding  of  oriented solids. Acta  M ech., 27  (1977),  185- 204. 13.  F . LE C K I E ,  E.  T.  O N AT ,  T ensorial  nature  of damage measuring  internal  variables,  1U TAM   Symposium on  P hysical  N on- linearities  in Structural  Analysis,  Senlis,  F rance  1980.  E ditors: J.  H ult  and  J.  Le- m aitre,  Springer- Verlag,  Berlin—H eidelberg  (1981). 14.  Z .  M R Ó Z ,  On  generalized kinematic  hardening rule with memory of  maximal prestress,  Journ . de  M ć c. Appl.,  3, 5  (1981). Z N I SZ C Z EN I E  W  ZAKRESIE  LEPKOPLASTYCZN YM   47 15.  J.  LEM AITRE,  Extension  de  la  notion  de  taux  d''energie de fissuration  aux  problimes  tridimensionnels et  non- linś aires, C .  R.  Acad.  Sci.  P aris,  282  (1976),  B157. 16.  P .  P E R Z YN A,  T hermodynamics  of  rheological materials  with  internal  changes, J .  de  M e c ,  10  (1971). 17.  Q.  S.  N G U YE N , Materiaux  ilasto- plastiques  icrouissables.  Lois  de  com portem en t  et  problem es  d'evo- lution ,  Symp.  F ran co—P olon ais, N ice  (1974).  P WN ,  Warszawa  (1977). 18.  J.  J.  JON AS,  B.  BAU D ELET,  Effect  of  crack  and  cavity generation  on  tensile stability,  Ac t a  M etallurgy 25,  (1977),  43- 50. 19.  J .  LEM AITRE,  J .  P .  CORD EBOIS,  J .  D U F F AI LLY,  Sur  le  couplage endommagement- ilasticite,  C.  R .  Acad . Sci.  P aris,  288  (1979),  B391. 20.  J.  LEM AITRE, Sur la  ditermination  des  lots de comportement des  mat&riaux ilasto- vosco- plastiques. Th ese, U niversitc  P aris  XI ,  (1971). 21.  F . K .  J.  OD QVI ST,  J.  H U L T ,  Kriechfestigkeit  Metallischer  W erkstoffe,  Springer- Verlag,  Berlin  (1962). 22.  F .  H .  N OR TON ,  Creep  of  Steel  at  High  T emperatures,  M e  G raw- H ill  C om p.,  (1929). 23.  P .  R AI N E ,  Sur Vendommagement de fatigue  et  les  effets  be'ne'fiques de  I'ecroulssage dans racier  316  a.  tem- perature  ambiante.  Th&se  de  3- eme  cycle,  U niversitc  P aris  VI- Enset,  (1980). 24.  M .  Ż YC Z KOWSKI,  Obcią ż enia  zł oż one  w  T eorii  Plastycznoś ci,  P WN ,  Warszawa  (1973). 25.  D . R .  H AYH U RST,  Creep rupture  under  multiaxial  state  of  stress,  J.  M ech. P h ys.  Sol.,  6,  20  (1972). 26.  K.  D AN G   VAN ,  Sur  la  resistance  a  la fatigue  des  mitaux,  Sc.  et  Tech n .  de  I 'Arm em en t,  3,  47  (1973). 27.  M .  C H R Z AN OWSKI ,  Use  of  the  damage  concept  in  describing  creep- fatigue interaction  under  prescribed stress,  I n t .  J.  M ech.  Sci.,  18  (1976). 28.  E.  K R E M P L,  W orkshop  on  a  continuum  mechanics approach  to  damage  and  life  prediction.  N a t io n a l Science  F oun dation  Engineering  D ivision,  1980. 29.  J.  LEM AITRE,  J. L.  CH ABOCH E,  A  non- linear  model  of  creep fatigue  damage cumulation  and  interaction. Symposium  I U TAM   „ M echan ics  of  Viscoelastic  M edia  and  Bo dies",  G oteborg,  Springer- Verlag, Berlin  (1974). 30.  J.  L.  CH ABOCH E,  Une  his  diffirentielle  d'edommagement  de fatigue  avec cumulation  nan- lln&aire,  R ev F ranc,  de  M ć c,  N o  50- 51,  (1974),  T.P.  ON ERA  1975- 5. 31.  J.  LEM AITRE, Aspect phenominologlque  de  la  rupture par fissuration.  Sć minaire  de  M ccan ique,  U n iver- sitc  P aris  VI,  (1978). 32.  Q. S.  N G U YE N , N ormal  dissipativity  and energy criteria in fracture;  w:  „ I U T AM  Sym p.  on  Variation al M ethods  in th e  M echanics  of  Solids",  edited  by  N em at- N asser, P ergam on  P ress, Oxford—N ew  Yo rk (1980). 33.  G .  S I H , Strain  energy density factor  applied to  mixed  mode  crack problems,  I n t . F ract u re. T . R .  Lehigh U niversity,  (1972). 34.  R .  LABOU RD ETTE,  J.  PELLAS,  A  new  approach to  the problem  of  three- dimensional  crack  growth.  Int. J.  F ract .,  14,  (1978). 35.  J.  M ASOU N AVE,  J . P .  BAI LON ,  J.  J.  D I C K SO N ,  L es  lots  de fissuration  par  fatigue;  w:  „ La  F atigu e  des M ateriaux  et  des  Structures",  C .  Bathias,  J.  P.  Bailon,  E .  D .  M aloin e  (redaktorzy),  (1980). 36.  J. Y.  G U I N E M E R ,  Etude  phinomenologique  de  la  propagation  des  fissure  de fatigue  dans  les  mitaux a  chaud, These  de  3eme  cycle,  U niversitc  P aris  VI-   E n set,  (1980). P  e  3  IO  M e] P A3 P yi H E H H E  I I P H   YC JI OBH H X  n O J I S y ^ E C T I I P ac^eibi  npor- HocTJi coopy>KeHnii na pa3pymeH ne B o6meM  npoBOfliiTcH  B flByx sia n a x:  n opowfleim e H   HX  pacnpoerpaH eH H e. B  nepBoft  nacTH   pa6oTW  pacciwaTpiiBaeTCH   TeopeTmiecKan  sapfma.  MexenHKn  pa3pymeH H H   OCH O- oft  Ha HfleH   3d)(beKTHBHbix  HenpHweHHft. ITpH  noMomH  TepiwoflHuaMHKH   Heo6paTHMtix  npoiieccoB HenpepbiBHbift  napaivseTp  pa3pyuieiiHH   npH xo^H  K SBOJiiomiOHHbiM  ypaBHei'.HHM  H  K  con pa- JKCHHH   Ae ĵopiHauHH  c  pa3pymeHiiejH.  3 T O  conpHjKenne  Hcnonb3yeTCH  AO nocpe^cTBeKHLix H3MepeHHli pa3pymeHHH  n p n noji3yuecTH   H  B nocneflCTBHH  cnoco6cTByeT iifleHTHc{)HHHpoBaHHio  i 48  J.  LEMAITRE B o  BTOpoft  i a c r n  npeA- naraeTcn  o 6o 6m en n H   noaaxwi  CKopocTii  ocBo6o>KfleHHH   3H epraH j H o r o  c  jiKiieH H oił   iviexaHHKH   pa3pym eH H H j  H S  HeJiHHeftHtie  safla^H   BflSKonjiecTH tmocTH .TaioKe  H  B  3TOM c n y^ a e  TepMoAHHaiMH^ecKHe  H ccjiefloBamw  Beflyi  K Mo# ejiH   on H cyiom eii  BO3pocr  mejiH   3a  meT  yc ia - JI O C T H   H  pa3pyin eH H H   c  BKJitoyeHHeM   H X B3aHM0fleHCTBHa, S u m m a r y F RAC TU RE  I N   CREEP  C ON D ITION S D eteririn atin  of structure resistance  to fracture  generally  takes  place in two  stages:  initiation of  cracks an d  their  propagation.  Ir. the first  part  of  the  paper  we  develop  the  mechanical  theory  of  fracture,  based upon  the  notion  of  effective  stress.  U sing  the  thermodynamics  of  irreversible  procssses,  a  continuous variable  of  fracture- deformation  coupling.  This  coupling  enables  to  dsvelop  indirect  measurements  of creep  and  fatigue  fracture,  and  hence  to  identify  the  models  of  evolution. In  the second  part we  present  a  gsneralization  of  the notion of  th s  rate of ensrgy  release,  well- known in  the  linear fracture  mechanics, to problems  of  nonlinsar viscoplasticity.  Also in this case thsrrnodynamical considerations  lead  to m odjls  of  a  crack  growth  due  to  fatigue  and  fracture,  the  interaction  baing  taken in t o  accoun t. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  29  paź dziernika  1981  roku.