Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z1_2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  S TOS OWANA 1/ 2,  20  (1982) O  ZAG AD N IEN IU   OD WROTN YM   DLA  RÓWN AN IA  F ALOWEG O KRZYSZTOF   G   R Y S A  (POZN AŃ ) Instytut  Mechaniki T echniczne] Politechniki Poznań skiej Wstę p Równanie  falowe jest  w  literaturze  naukowej  chyba  najbardziej  znanym  równaniem. Rozwią zanie tego równania w przypadku jednowymiarowym,  gdy  x  e  (a, b), gdzie a i b są liczbami  skoń czonymi,  bą dź  są   równe  nieskoń czonoś ci,  są   powszechnie  znane  i  opisane (por.  [1,  2, 3] i  in.). M ał o  natomiast  spotyka  się   w  literaturze  rozwią zań  tzw.  zagadnień odwrotnych dla równania falowego. Warto  tu nadmienić, że  samo  okreś lenie  „zagadnienie  odwrotne" jest  dosyć  niejedno- znaczne.  I  tak  n p.  szkoł a  radziecka  rozumie  pod  tym  hasł em  zagadnienia  wyznaczania nieznanych,  stał ych  lub  zmiennych  współ czynników  równań  róż niczkowych,  [4, 11], bą dź  funkcji  ź ródła  [21, 5] przy  znanym rozwią zaniu  tych  równań, bą dź  też  problem  wy- znaczania  rozwią zania  zagadnienia  dynamicznego  dla  t  <  t 0   przy  znanym  rozwią zaniu w chwili  /  =   tę ,  [6]. D la odmiany szkoł a amerykań ska  uż ywa tego okreś lenia w przypadku zagadnień  dynamicznych,  w  których  na  podstawie  znajomoś ci  rozwią zania  równania róż niczkowego jako  funkcji  czasu  w pewnych punktach obszaru  okreś lonoś ci  tego rozwią - zania,  poszukuje  się   warunków  brzegowych,  które  powodują   taką   .wł aś nie  zmienność w czasie rozwią zania  w  tych punktach (por.  [12,  13, 14,  15] i in.). Moż na zatem z grubsza podzielić  zagadnienia  odwrotne  na  zagadnienia  identyfikacji  funkcji  ź ródł a,  zagadnienia identyfikacji  współ czynników,  zagadnienia  odtwarzania  historii  procesu  oraz  zagadnienia identyfikacji  obcią ż eń  brzegu  obszaru.  Zwykł e  zagadnienia  brzegowo- począ tkowe  nazy- wane  są  —  w  odróż nieniu  od  wspomnianych  wyż ej — zagadnieniami  prostymi  lub  bez- poś rednimi. Rozważ ania  na temat zagadnień  odwrotnych  dla  równania falowego  spotyka  się   w  li- teraturze  radzieckiej,  (np.  [7, 8, 21]),  są   to  jednakże  gł ównie  zagadnienia  identyfikacji współ czynników  lub  funkcji  ź ródła  bą dź  zagadnienia  odtwarzania  historii  procesu. N a- tomiast  brak  jest  prac  traktują cych  o  identyfikacji  obcią ż eń  brzegu  obszaru,  w  którym rozważa  się   zagadnienie  propagacji  fal.  O  takim  wł aś nie  zagadnieniu  traktuje  niniejsza praca.  • Problem  identyfikacji  dynamicznych  obcią ż eń  brzegu  sprowadza  się   w  niniejszej pracy do zagadnienia rozwią zania  równań cał kowych pierwszego rodzaju, typu. splotowego, [9].  Zagadnienia  tego  typu  należą   do  tzw.  zagadnień  ź le  postawionych,  [10].  W  pracy pokazany jest sposób  rozwią zania  tego typu zagadnienia w przypadku  równania falowego. 4  Mech.  Teoret.  I  S tos.  1—2/ 82 50  K.  G RYSA P odano  również  ograniczenia,  których  speł nienie  warunkuje  otrzymanie  rozwią zania stabilnego  w  sensie  TICKON OWA, [10]. 1.  Sformuł owanie  problemu Rozważ my  jednowymiarowe  zagadnienie  propagacji  fal  w  oś rodku  sprę ż ystym.  Rów- nanie rozchodzenia się  fali ma w tym wypadku  analogiczną postać jak  np. równanie struny, czy  n p.  równanie  rozchodzenia  się  dź wię ku.  Jest  to  mianowicie  równanie  hiperboliczne. D ynamiczne obcią ż enie brzegu  obszaru  oznacza w przypadku  oś rodka sprę ż ystego zadanie zmiennych w czasie przemieszczeń czy obcią ż eń sił owych na brzegu, podczas gdy n p. w przy- padku  struny  skoń czonej  bę dzie  to  zadane,  zmienne  w  czasie  przemieszczenie  koń ców struny. Rozważ any  w  pracy  problem  bę dziemy —  dla  ustalenia  uwagi —  utoż samiać  z  pro- blemem  drgań  struny  ograniczonej. Tym  niemniej  otrzymane wyniki  bę dą  funkcjonował y i  dla  innych zagadnień  fizycznych,  o ile  tylko  zespół  równań  i  warunków  opisują cych  te zagadnienia  bę dzie  się  pokrywał   z  zespoł em zwią zków  podanych  niż ej. N iech  w  stanie  niewymuszonym  struna  pokrywa  się  z  osią  Ox.  Wychylenie  struny bę- dziemy  charakteryzowali  przesunię ciem  u(x, t)  punktu x  w  chwili  t, prostopadł ym do osi Ox.  Przyjmiemy,  że napię cie p  struny jest stał e, podobnie jak  i jej  gę stość liniowa  Q.  N iech fx(x,  t)  oznacza rzut  n a  oś  Ou sił y dział ają cej  na jednostkę  dł ugoś ci  struny.  Wprowadza- jąc  współ rzę dne bezwymiarowe  £  =  x/ l, gdzie / jest  dł ugoś cią struny, o r a zr  = moż emy  opisać  drgania  struny  równaniem gd zie / ( I ,  r)  = / i ( f,  r)l2/ p.  O  funkcji/ (£ ,  T)  zakł adamy,  iż jest  funkcją  lokalnie  sumo- walną  [3] ze wzglę du  na  obie zmienne. Przyjmujemy,  że  w chwili  począ tkowej  przemiesz- czenia i prę dkoś ci punktów struny  są znanymi funkcjami  zmiennej f.  Ponadto zakł adamy, że zadane są przemieszczenia koń ców struny jako funkcje  czasu. Prowadzi to do warunków dr (1.2) T - 0 gdzie  / >,(£) 6 C (0, 1),  i  =  0,  1,  oraz «(0,  r)  =   u„ (r), I I ( 1 , V ) . - U , ( T ).  ( - i } .  Równanie  (1.1)  z  warunkami  (1.2)  i  (1.3)  stanowi  dla  rozważ anej  struny  zagadnienie proste  (brzegowo- począ tkowe).  Rozwią zanie  tego  zagadnienia  w  transformatach  Lapla- ce'a  ma postać ' -   f  *i(£ , O  ZAG AD N IEN IU   ODWROTN YM   5 1 Tutaj  nadkreś lenie  oznacza  transformatę  Laplace'a  funkcji,  s jest  parametrem  trans- formacji,  oraz *i( f. a ) - . / V. ») - t fo t f) - J > it f).  •   (1.5) Jeś li przedł uż ymy  funkcje  p o (£),  p^ i)  i/ (f,  T) na  cał ą prostą  O£  w  ten sposób,  że  [16] j>,(£),  i  =   0,  1, ,  r)  .  - / ( - I,  T>,  / ( f+  2,  r)  =   / (f,  T ) ,  ( L 6 ) to  moż emy  wówczas przepisać rozwią zanie  (1.4)  w  postaci y  J  Pi(x)afx- y  f  J  f(x,t)dxdt, gdzie  funkcja  g(f,  z), dana wzorem (1.8) jsst  znanym rozwią zaniem  d'Alemberta  zagadnienia  drgań  struny  ograniczonej  o koń cach unieruchomionych. Zał óż my  teraz,  że  znana  jest  zmienność  funkcji  w(£, T)  W pun ktach  ^  i  f2,  gdzie 0  <  l i  <  | 2  <  1.  F unkcje Mi(T)  =   M ^i,  T)  oraz  M 2 ( T )  s  u(f2,  T ) ,  (1.9) nazywać  bę dziemy  wewnę trznymi  odpowiedziami  struny  (w  skrócie  WO)  na  dział anie s i ł / ( |,  T),  warunków  n a  brzegach,  oraz  na warunki  począ tkowe.  F unkcje  te  muszą  speł - niać warunki  zgodnoś ci "i( 0)  =   Po(£i),  "2 ( 0 )  =   p o ( £ 2 ) -   (1- 10) Celem  niniejszej  pracy  jest  wyznaczenie  funkcji  MJ(T)  i  u g (r),  opisują cych  przemiesz- czenia  koń ców  struny,  przy  znanych  WO,  oraz  przy  znanych  funkcjach  / ( £ , z),  p a (M) 1 Pitt). Zwykle  stosowane  metody  rozwią zywania  zagadnień  identyfikacji  warunków  brzego- wych  (dynamicznych  obcią ż eń  brzegu)  polegał y  n a  rozwią zaniu  zagadnienia  brzegowo- począ tkowego  dla  £ e  Q ± ,  f2) ,  a nastę pnie na ekstrapolacji  tak  otrzymanego  rozwią zania poza  ten przedział  (por.  [12, 13, 17]  i  in.). Jak  widać,  przy  takim  podejś ciu  WO  trakto- wane są wstę pnie jako warunki brzegowe. W pracy niniejszej  stosuje  się podejś cie odm ien n e od wyż ej wspomnianego. Punktem wyjś cia jest  tu zwią zek  (1.7). 2.  Ukł ad  równań  typu  splotowego Jeś li  znane są  funkcje  opisują ce  WO,  M ^ T )  i  u 2 (r),  i jeś li  są  to funkcje  typu wykł adni- czego,  [18], to moż na —  na podstawie równania (1.7) — napisać nastę pują cy  ukł ad równ ań na  transformaty Uj(s)  i  u g (s): 52  K .  G RYSA P o  odwróceniu  transformat  wystę pują cych  po  obu  stronach  równań  (2.1)  otrzymujemy « A )  -   • ^ • bi  0, " ( X ) +   -   {  0  gdy  x  <  0.  ( 1 5 > 3.  Warunki ograniczają ce  dla funkcji  opisują cych  wewnę trzne odpowiedzi Traktując  ukł ad równań  (2.1) w  sposób  formalny,  jak  ukł ad dwóch  równań  algebra- icznych  z  niewiadomymi  Ua(s)  i  ił e (s),  moż na ł atwo je  wyznaczyć.  Otrzymujemy _ , .  sinh(sf2)  ._  , .  _ . .  .,  sinh(s| : 1)  r_  , . w C s )  -   i i [ " ( s ) ^ s ) ] -   i [ S ( s ) (3.1) sin h [ s( l- lt )]  sin h [s( l- f2) ]  r_  , .  - ,„  N1 gdzie  I , =   Si- Sf Widoczne jest, iż  nie  każ da  funkcja  Uj(r) może  opisywać  WO. Wynika  to  z  faktu,  iż uł amki, wystę pują ce  po prawej  stronie wzorów  (3.1), są  transformatami  Laplace'a  dystry- bucji  singularnych,  [3].  W  ogólnoś ci,  aby  formalne  rozwią zanie  (3.1)  był o  odwracalne i  aby  po  odwróceniu  miał o  sens  fizyczny,  muszą  być  speł nione nastę pują ce  warunki: O  ZAGADNIENIU  ODWROTNYM  5 3 1°  WO  muszą  mieć skoń czoną  granicę dla  r  -»  0 +   oraz  dla  r  -»  co 2°  WO  muszą  być  ograniczone dla  T e  [0,  oo) 3°  Transformaty  wd(j)  i uff(j)  muszą  być  odwracalne  w  zbiorze  funkcji  rzeczywistych. Oznacza to, że jeś li pewna funkcja  F(r)  ma opisywać  WO, to |  lira  F(r)\   =   |lim sF ( s) |  <  + 0 0 ,  (3.2) r- >0+   i- »oo IlimFCx)!  =   |H msf(s)|  <  + o o ,  .  (3.3) przy  czym  zakł ada się, że te granice istnieją,  oraz V  A  \ F(r)\   0  TE [O, 00) Ponadto, jeś li  W(T) jest funkcją  opisują cą  przemieszczenie  któregoś  koń ca struny, t o  z wa- runku  3°  wynika,  że  musi  być  speł niony warunek  (por.  [18], str.  102  i  117) limu(s)  =   0  dla  Res  >  x x  + d,  d >  0,  (3.5) f- »0O gdzie  R ej  oznacza  czę ść  rzeczywistą  liczby  zespolonej  s,  zaś  x z   jest  odcię tą  zbież noś ci funkcji  W(T). W omawianym przypadku z (3.4) wynika, że x x   =  0. Zamiast  warunku  (3.5)  wykorzystamy  warunek  silniejszy,  zwią zany  z  odwracaniem transformat  metodą  residuów.  Warunkiem  koniecznym  odwracalnoś ci  transformaty  me- todą  residuów jest speł nienie przez nią zał oż eń lematu Jordana,  [18]. Wynika  stą d, że  aby F(s)  był a transformatą,  odwracalną  metodą  residuów,  musi  istnieć  taki  ciąg  k„ liczb  do- datnich, że gdzie  limifcn  =   0,  limi?„   =   + oo, a  ponadto  funkcja  F(s)  musi  być  cią gła  dla  |*|  =   Rn, n- »oo  .  n- taa R ej  >  x z   (w  naszym  przypadku  R e j  >  0). N ierówność  (3.6)  moż na  zapisać  w  postaci  równoważ nej,  a  mianowicie < ~  dla  duż ych  \ s\ ,  (3.7) I s  I gdzie  K,  y  >  0, y — dowolnie  mał a  liczba  dodatnia. W  rozważ anym  przypadku  ż ą danie  speł nienia dla  duż ych  \ s\   nierównoś ci  (3.7)  przez poszczególne  skł adniki prawych  stron wzorów  (3.1) prowadzi do nastę pują cych  ograniczeń na  uj(s) oraz £ (£ ,,  s),  j  =   1, 2: \ uM- g(£j,  »)\  <  ^ f  le- l D jl,  J  -   1. 2,  (3.8) gdzie  K lt   K 2 ,  y —  stał e dodatnie, 0  <  ft  <  f2  <  1, oraz D,  -   max(f j ,  1 +  ft - 2f  2 ) ,  D2  =   max(l  - 12 ,  2ft  -   ft).  (3.9) W  szczególnym  przypadku,  gdy  ft  >  0.5  oraz  ft  <  0.5,  otrzymujemy 0 i  =   ft,  Z ) 2 = l - f t.  (3.10) 54  K.  G RYSA N ieró wn o ś ci  (3.8)  bę dą  speł n ion e,  jeś li  dla x s[C>,D } ], j  —  1, 2,  bę dą  miał y  miejsce n astę pują ce  zwią zki: (r- r) (x,t)dxdt\Pt(x)dx- [  f  f(x,t)dxdt\   =  0.(3.11) tj- r  O  f/ - (r- i) Z wróć my  uwagę  n a fakt,  iż dla r =  O powyż sze  równ an ia przechodzą w  zwią zki  zgodnoś ci (1.10). R ó wn a n ia  (3.11)  okreś lają  zwią zki  pom ię dzy  WO  a funkcjami  / >0(f)>  PiQ)  i / ( £ ,  T) w czasie  o d ch wili  począ tkowej  do chwili, w  której do pun ktu, w którym rejestrujemy  WO , d o t rze  zabu rzen ie,  wywoł ane  przez  warun ki  n a  brzegach.  Jest  oczywiste,  że moż liwość iden tyfikacji  funkcji  u g {r)  i u a (r)  n a  podstawie  WO  pojawia  się  dopiero po czasie  Dj,  ja ko że  d o p iero  wtedy  ujawni  się  wpł yw  warun ków  brzegowych  n a  WO .  WO  bę dą  zatem  opi- san e  fun kcjam i  czasu  o przesun ię tym  argum en cie; również  w  przypadku  funkcji  g  należy rozważ ać  je j  wartoś ci  tylko  dla  r  >  Dj. Wo bec  powyż szego  tran sform aty  Uj(s)  oraz  g(£j,  s), j  =  1, 2,  dla  których  mają  sens zwią zki  (3.1), muszą  m ieć taką  postać, aby  zawartoś ci  nawiasów  kwadratowych  we  wspo- m n ian ych  zwią zkach  m iał y  postać - J P ,  P>Dj,  7 = 1 , 2 ,  (3.12) F un kcja  G(s)  m usi  speł n iać warun ek \ G(s) | <  iś T3|s|- v  dla  R e s  > x 0 >  O,  (3.13) gdzie  - fiT3 >   O, y  > 0. Jeś li  d o d at ko wo  G(s)  jest  funkcją  holom orficzn ą  w pół pł aszczyź nie R e s  > x 0  (gdzie  x0  je st  dobran e  tak,  aby  speł n iona  był a  n ierówn ość  (3.8)), to jest  o n a wtedy  t ran sform at ą  Laplace'a  dystrybucji  typu  wykł adniczego  (por.  [2], str.  309).  Jest  t o szeroka  klasa  dystrybucji,  do  której  należą  m .in .  wszystkie  funkcje  tran sform owaln e. G d y  WO  speł niają  ogran iczen ia  po d an e  wyż ej,  wówczas  rozwią zanie  jedn owym iaro- wego  o d wro t n ego  problem u  falowego  jest  stabilne  w  sensie Tich on owa  (por.  [10], st n  40). 4.  Ś cisłe rozwią zanie  zagadnienia odwrotnego D o  o dwró cen ia  tran sform at  dan ych  wzoram i  (3.1)  wykorzystam y  nastę pują ce  przed- stawien ie  fun kcji  Uj{s)  oraz gj(^ n  s): Pn Dj  (4 - 1) S%,  s)  =  g(ij, s)e- sD'+  f  e - "g( fj,  r)dr,  j  =  1, 2, b gdzie uj(r) = Uj(r+Dj)rj(r), O  ZAG AD N IEN IU   ODWROTNYM   5 5 Wobec  (4.1) zachodzą  — na mocy  (3.11) — równoś ci «/ (*)- *($/, s) -   [SJW - IQJ,  5)]e- iD ^  y =   1, 2.  (4.3) Oczywiś cie  muszą   być  także  speł nione nierównoś ci Ifijtol <  - p̂  IIt f j, 5)1 <  - ^ j - ,'  /  -   1.2.  (4.4) W miejsce  równań  (3.1) moż emy zatem napisać równania _ , .  sin h ( s|2)  -=   sin h (s# )  -=   s\ sinh(sL) i " e  2[«2( s) - g( l2,  s) ] -   (4.5) Odwrócenie transformat  danych wzorami  (4.5) prowadzi  do nastę pują cych  wyników: J —  sin  - y- ( T -; J  Y L (4.6) - sin  [^-   ( 1 - |2 ) |  J  sin [—  (r- f)] [«iO)- «(fi.X - t«2(0- *tfa. 0] Prawe  strony  wzorów  (4.6)  moż na  przedstawić  również  w innej  postaci,  posł ugują c  się bą dź  techniką   sumowania  szeregów  trygonometrycznych,  przedstawioną   w  D odatku, bą dź  bezpoś rednio  odwracają c  transformaty  (4.5) na  gruncie  teorii  dystrybucji,  [20]. Wykorzystują c  wzory  zawarte  w  tablicy  B.2 cytowanej  monografii  otrzymujemy + - f(fa i  z- h- 2nL )+]- « = 1 (4- 7) 56  •   K .  G R YS A +u 2 (T +l- £ 2 - 2nL ) + - g(C 2 ,r+l- C 2 - 2nL ) + ]- + u 2 ( r - Tutaj t  _ '  Jsd .O  gdy, 0+   -   \ 0  g d y  t < 0 Warto  zwrócić  uwagę  na  fakt,  że  sumy,  wystę pują ce  po  prawych  stronach  wzorów (4.7),  są  w  rzeczywistoś ci  sumami  skoń czonymi,  gdyż  dla  każ dej  chwili  czasu  r  liczba funkcji,  których  argument jest  dodatni, jest  skoń czona. Jest  to cecha wspólna  rozwią zań (4.7)  oraz  (3.4). W  przypadku  szczególnym,  gdy  ^  =  0,  otrzymujemy  zwią zek «d ( r ) = . «1 ( T ) - g( 0,  T ) ,  (4.8) który  koresponduje z  (2.4), oraz Ji- O (4.9) Podobnie  upraszczają  się  zwią zki  (4.7), gdy  f2  =   1,  a  fi  e  (0, 1). 5. Inne  moż liwoś ci stawiania problemu odwrotnego dla  równania  falowego W  miejsce  warunków  brzegowych  (1.3)  moż na  sformuł ować  inne warunki.  I  tak  — w przypadku, gdy  równanie falowe  opisuje  falę  podł uż ną, przemieszczają cą  się w nieskoń- czonej warstwie  sprę ż ystej  o gruboś ci  /  od jednego jej  brzegu  do drugiego, przy czym  fala ta wywoł ana jest zmiennym w czasie  obcią ż eniem jednego,  czy  też  obu  brzegów  warstwy, to zamiast warunków  (1.3) moż na sformuł ować warunki f- 0 Zagadnienie  odwrotne  oznaczał oby  w  tym  wypadku  problem  wyznaczenia  funkcji S / T )  i  ^ ( T )  na podstawie  WO, przy  czym te ostatnie mogł yby być zadane zarówno  wzo- rami  (1.9) jak  i  innymi. Jeś li  w dwóch  punktach wewnę trznych  warstwy  (o  której — jak wynika  z  powyż szych  uw# g — zakł ada  się,  że jest  w jednoosiowym  jednowymiarowym stanie  naprę ż enia  lub  odkształ cenia) znane  bę dą  funkcje  opisują ce  zmianę w  czasie  od- kształ ceń, wówczas  One wł aś nie .mogą stanowić WO. Oczywiś cie  należy powtórzyć rozumo- wanie  z czę ś ci  3 - pracy w  celu ustalenia  ograniczeń, jakim  podlegał yby tego typu  WO. O  ZAG AD N IEN IU   ODWROTNYM   5 7 Moż liwe jest  również  wyznaczenie  obcią ż eń  dynamicznych  brzegu  przy  pomocy  WO, których charakter jest inny niż charakter tych obcią ż eń dynamicznych. N a przykł ad moż na odtwarzać  obcią ż enie  brzegu  warstwy przy znanych przemieszczeniach w dwóch punktach wewnę trznych,  lub  przy  znanych  funkcjach,  opisują cych  np. zmiany  w  czasie .przemiesz- czenia i prę dkoś ci w jednym  punkcie warstwy. N ależy  podkreś lić,  iż  niezależ nie  od  rodzaju  warunków  brzegowych  otrzymane  roz- wią zania  odwrotnego  problemu  falowego  mają  postać  zbliż oną  do  (4.7).  i 6.  Wnioski Przedstawiona  metoda  rozwią zywania  zagadnień  odwrotnych,  dotyczą cych  identyfi- kacji  obcią ż eń  brzegu,  może  być  zastosowana  bez  zmian  do  rozwią zywania  problemów odwrotnych, w których równanie róż niczkowe opisują ce  zmiany badanej wielkoś ci  fizycznej jest  typu  odmiennego  niż  hiperboliczny.  Jednakże  w  przypadku  równań  hiperbolicznych otrzymane  rozwią zanie  ma  postać  szczególnie  przydatną  dla  celów  eksperymentalnych. Jeś li  bowiem  znany jest  zbiór  danych  dyskretnych,  opisują cych  odpowiedzi  wewnę trzne dwóch  punktów  wewnę trznych,  to  odtworzenie  zmiennoś ci  w  czasie  obcią ż enia  brzegu obszaru jest  szczególnie  proste. Wystarczy  na  podstawie  tych  danych  zbudować  funkcje, opisują ce  w  sposób  przybliż ony  WO,  a  nastę pnie wykorzystać  wzór  (4.7), który  idealnie nadaje  się do obliczeń numerycznych. W przypadku  cią gł ego zapisu  danych pomiarowych, dotyczą cych  wewnę trznych  odpowiedzi,  (gdy  zapis  ten  odzwierciedla  przebieg  pewnego pomiaru),  identyfikacja  obcią ż eń  brzegu  może  być  niemal  natychmiastowa,  o  ile  dane  te bę dą bezpoś rednio poddawane obróbce numerycznej wg wzoru  (4.7). Oczywiś cie konieczna jest  przy  tym  znajomość  warunków  począ tkowych  oraz  obcią ż enia/ (£,  T ) ;  to  ostatnie zwykle jest bą dź  stał e, bą dź  pomijalnie  mał e. Wydaje  się, że przedstawione  rozwią zanie jednowymiarowego  odwrotnego  zagadnienia falowego  mogł oby być przydatne wszę dzie tam, gdzie zachodzi potrzeba  okreś lenia  dyna- micznego  obcią ż enia  brzegu  ohszaru,  w  którym  moż na  dokonać  pomiarów  wewnę trznej odpowiedzi,  podczas  gdy  niemoż liwy  jest  bezpoś redni  pomiar  poszukiwanej  wielkoś ci na  brzegu. Dodatek Wystę pują ce  we  wzorze  (2.1)  uł amki  są  postaci  smh(,sx)/ sinh.s.  Po pomnoż eniu i po- dzieleniu  takiego  uł amka  przez s  otrzymuje  się  wyraż enie  sf(s),  dla  którego  moż na ł atwo wyznaczyć  retransformatę oo  •   c a  (D.l) x+  y  — sin[jn»(T+ ;c)]-   >  - i  — sin [?rn (T- x)]. j i  nit  i  i  nn y  s n [ ( + ) ]  > j—i  nit  ,i  i  ,  nn l  n = l  ' Szeregi  wystę pują ce  po prawej  stronie  wzoru  (D .l) mają  argumenty  funkcji  trygono- 58  K .  G RYSA metrycznych spoza przedział u  (0, 1),  przez co niemoż liwe jest  bezpoś rednie wykorzystanie odpowiednich wzorów  sumacyjnych,  zawartych  np. w  pracy  [19]. Jednakże  wykorzystują c zwią zek ń n(nny) =   (- l)nEWsin[nn(y- E(y))],  (D .2) gdzie  E(y) jest  funkcją   o  wartoś ciach  równych  czę ś ci  cał kowitej argumentu, moż na spro- wadzić  argumenty  funkcji  wystę pują cych  po  prawej  stronie  wzoru  (D .l)  do przedział u (0,  1). D okonują c przejś cia  granicznego  z xd o  1 we  wzorze  (5.3) z pracy  [19], oraz  wy- korzystują c  (D .2) moż na wyprowadzić  nastę pują cy  zwią zek: (y—2«- l),  y  e(~\ ,  co),  (D .3) nn Podstawienie prawej  strony wzoru  (D .3)  do wzoru  (D .l), a nastę pnie wykorzystanie  faktu, iż  operator  .s jest  transformatą   operatora  róż niczkowego  8jdr  prowadzi  bezpoś rednio do  wzoru  (2.2). Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  A.  N .  TtcHONOW,  A.  A.  SAM ARSKI,  Równania fizyki  matematycznej,  P WN   Warszawa,  1963. 2.  J .  M I K U SI Ń SK I,  Rachunek  operatorów, P WN   Warszawa,  1957. 3.  Z .  SZ M YD T ,  T ransformacja  Fouriera i  równania róż niczkowe  liniowe, P WN  Warszawa,  1972. 4.  A.  G .  T E M K I N ,  Obratnyje  metody  teploprowodnosti, Izd.  Energia,  M oskwa,  1963. 5.  M .  M .  LAVREN TEV,  W.  G .  ROM AN OV,  W. G .  VASILIEV,  Mnogomernyje  obratnyje  zadać i  dla  dlfferen- cł alnych  uravnenii,  N ovosybirsk,  I zd.  N au ka,  1969. • 6.  M . I .  IM AN ALIEV,  Metody  resenia nelinejnych obrotnych  zadał   i ich prlloź enla,  I zd. H im,  F run ze,  1977. 7.  M .  M .  LAVREN TEV,  Ob  odnoj  obratnoj  zadaie  dla  volnovogo uravnenia, D AN   SSSR,  157,  3,  (1964). 8.  W.  G .  R OM AN OV,  N ekotoryje  obratnyje  zadać i dla  uravnenia giperbolić eskogo tipa,  N ovosybirsk, I zd. N a u ka ,  1972. 9.  F . D .  G AC H O V,  J U . I .  Ć E R SKI J,  Uravnenia tipa  svertki,  I zd.  N au ka,  M oskwa,  1978. 10.  A.  N .  T I C H O N O V,  W. J a .  AR SEN I N ,  Metody  reienija  nekorrektnych  zadaf, Izd. N auka,  M oskwa,  1979. 11.  H . Ja.  BEZN OSĆ EN KO,  A.  I.  P R I LE P KO,  Obratnyje  zadać i  dla  uravnenia parabolić eskogo  tipa.  w:  P ro- blemy  m atem aticeskoj  fizyki  i  vy&slitelnoj  m atem atiki",  Izd.  N au ka.  M oskwa,  1977. 12.  E .  M . SP AR R O W,  A.  H AJI - SH E I K H, T .  S.  LU N D G R E N , T he  Inverse Problem  In  T ransient Heat  Conduction, T ran s,  of  t h e  ASM E ,  J .  of  Applied  M ech.  86E,  (1966). 13.  M .  I M BER ,  T emperature  Extrapolation  Mechanism  for  T wo- Dimensional Heat  Flow, AIAA  Journ al, 12,  8,  (1974). 14.  R .  G .  H I L L S ,  G . P.  M U LH OLLAN D ,  T he Accuracy  and Resolving  Power  of  One  Dimensional  T ransient Inverse  Heat  Conduction  T heory  as  Applied  to  Discrete  and  Inaccurate  Measurements,  I n t . J.  H eat M ass  Tran sfer,  22,  (1979). 15.  J .  V.  BE C K ,  Criteria for  Comparison  of  Methods  of  Solution  of  the  Inverse  Heat  Conduction  Problem, N u cl.  E n g.  D esign,  53,  (1979). 16.  W.  M .  BABI C Z ,  M.  B.  K AP I LE WI C Z ,  S.  G .  M I C H LI N ,  G .  N .  N ATAN SON ,  G .  M .  R I E Z ,  L.  N .  SŁOBO- D E C K I ,  M . M .  SM I R N OW,  Równania  liniowe fizyki  matematycznej,  P WN   Warszawa,  1970. 17.  M .  I M BER ,  A  T emperature  Extrapolation  Method for  Hollow  Cylinder,  AIAA  Journ al,  11,  1, (1973). 18.  J .  O SI O WSK I ,  Zarys  rachunku  operatorowego, WN T  Warszawa,  1972. 19.  K .  G R YSA,  J.  JAN K O WSK I ,  O sumowaniu pewnych  szeregów Diniego  i trygonometrycznych  wystę pują cych w  zagadnieniach  mechaniki  oś rodków  cią gł ych,  M ech.  Teoret.  Stos.,  16,  3, (1978). 20.  A.  H .  ZEM AN F AN ,  T eoria  dystrybucji  i  analiza  transformat,  P WN   Warszawa  1969. :21.  A.  S.  BLAG OVESCEN SKIJ,  Obratnaja zadać a dla  volnovogo  uravnenia  s  neizvestnym  istoć nikom,  w: P ro- blemy  m atem aticeskoj fiziki,  vyp.  4,  Izd.  L G U , 1970.  •   ' O  ZAGADNIENIU  ODWROTNYM   59 P  e 3 io  M e H EKOTOPAK  0BPATH A5I  3A, I Wł A  ,II,JI5I  BOJI H OBOrO  YP ABH E H H H B  ciaiŁ H   npeflCTanjiei- ra  oflH opa3MepH a  npoSjieivia  HfleHTHcbjiKamiH   K p a e st i x  yauoBira  .H JIH Hoii  CTpyH bi.  npco6pa3OD aH H e  Jlan jiaca  peuicH iw  STOH   aafla^H   HaxoAHTcn:  Ha  ocHOBe  peuieH H ji H O —  K paeso ii  aa^a^H   n p o n a r a u i i n  BO J I H .  On peAen aeTcsi  yoiOBH Ji  J U H   cjjyHKmiH   flonycKaeM Lix y3o6pa5KeHHH   Tai< Ha3i>iBaeMbix  BH yipeH H bix  oTBeroB,  a  IIOTOM  on peflejiaeTca  u  ^HCKyTHpyeTCii pememie  npo6nemw. S u m m a r y ON   AN  IN VERSE  PROBLEM   F OR  WAVE  EQU ATION The  one- dimensional  problem of  a  boundary  condition identification  for  a  finite  cord  is  considered. Solution of  an initial- boundary  valus probhm  of  ths wavs propagation is  exploited  to obtain  transformed form  of  a formal  solution  of  the problem.  The conditions imposed  on  ths  admissible  functions  describing so- called  internal responses  are settled  and  then  the exact  solution  of  the problem  is found  and  discussed. Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  8  wrześ nia 1981  roku.