Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z1_2.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1/ 2,  20  (1982)

METODA OZN ACZAN IA WSPÓŁCZYN N IKÓW CH ARAKTERYZU JĄ CYCH
PROCESY  OPISAN E  RÓWN AN IEM  PARABOLICZN YM

H EN RYK  K  A. M  I Ń  S K I  (POZN AŃ )

Instytut  Mechaniki T echnicznej
Politechniki  Poznań skiej

1.  Wstę p

Wiele  procesów  wystę pują cych  w  technice  i  badaniach  naukowych  jest  opisanych
równaniami  róż niczkowymi  drugiego  rzę du  typu  parabolicznego:

div(Xgrad«)-   ~  =   0,  (1.1)

z warunkiem  brzegowym:

n •  grad« + a ( u —u 0 )  =   0.  (1- 2)

W  ogólnym  przypadku  współ czynnik  K  może  być  funkcją   postaci

K  = K(P,t),  PeV,
a  współ czynnik  a moż e' mieć postać

a=a(A,t)  AeV.
Tutaj  F jest  wnę trzem obszaru,  w  którym  przebiega  proces,  B V jest  brzegiem  tego  ob-

szaru,  n — normalną   zewnę trzną   do  brzegu,  u
0
  — wielkoś cią,  do  której  odniesione  są

wartoś ci funkcji  w. W dalszej  czę ś ci pracy współ czynniki K i a są  przyję te jako  stał e. Współ -
czynnik  K  opisuje  przebieg  procesu  w  obszarze  ciał a,  a  współ czynnik  a  charakteryzuje
zjawiska  zachodzą ce na powierzchni. Znajomość współ czynników  wystę pują cych  w  opisie
matematycznym procesu  niezbę dna jest  do analizy  przebiegu  procesu.  W  pracy  przedsta-
wiono jedną   z  moż liwych  metod  wyznaczenia  powyż szych  współ czynników.  Zazwyczaj
stał e  takie  wyznacza  się   poprzez  pomiar  pewnych  wielkoś ci  na  powierzchni  próbki  lub
w jej  wnę trzu. M etoda przedstawiona  w pracy bazuje  na efektach  globalnych  dają cych  się
zmierzyć w otoczeniu próbki, n p : ilość  ciepł a wymienionego  z otoczeniem w  procesie  wy-
miany  ciepł a, lub  zmiany  wagi  próbki  w  przypadku  procesu  dyfuzji.

Podstawowym  narzę dziem  analizy  prowadzonej  w  pracy  jest  technika  transformat
Laplace'a  [3]  i  wynikają cy  z  niej  rachunek  splotowy.  Transformatę   Laplace'a  funkcji
f(t)  definiuje  się   nastę pują co:

f(s)  =   JS?[/ (O](s)  -   /   mt- *<dt,  .  (1.3)
o

gdzie  s — parametr  transformacji.



62  H .  KAMIŃ SKI

Z  uwagi  na  wykorzystanie  w  obliczeniach  rachunku  splotowego  koniecznym jest po-
siadanie peł nych danych dotyczą cych przebiegu procesu. Przez peł ne dane w tym przypadku
rozumie  się  dane  od  począ tku  procesu  do  co  najmniej  badanej  chwili  czasu.  D o  opisu
funkcyjnego  wyników  eksperymentu  proponuje  się  w  pracy  uż ycie  splajnów  [8].

P roblem  doś wiadczalnego  wyznaczenia  stał ych  charakteryzują cych  procesy  opisane
zagadnieniem  brzegowym  ( 2.1) H - ( 2.4) rozważ any  był  wielokrotnie.  Najczę ś ciej  spotykane
metody  opierają  się  n a  znajomoś ci  (z pomiaru) zmiennoś ci  w  czasie  wybranej  wielkoś ci
wewną trz  obszaru. Współ czynniki  wyznaczone  są  bą dź  metodami iteracyjnymi  (np. [12],
[13]), bą dź poprzez skomplikowane  obliczenia analityczne (np.  [14]). W niektórych pracach
badana jest jednoznaczność  i istnienie rozwią zań  problemu, polegają cego  na  wyznaczeniu
stał ych  przy  znanym przebiegu  procesu  w  punkcie wewnę trznym  obszaru  (np.  [4]). W ni-
niejszej  pracy, jak  wspomniano wyż ej,  proponuje  się  metodę wyznaczania  stał ych, opartą
o  pewne  efekty  globalne.  Tego  typu  podejś cie  nie  wymaga  wprowadzenia  do  wnę trza
próbki  czujników  pomiarowych,  które  zawsze  zakł ócają  przebieg  procesu.

2. Okreś lenie  zmian globalnych  zachodzą cych w ciele

W  pracy  rozważa  się  zagadnienie jednowymiarowe.  Rozważ ania  prowadzi  się jedno-
cześ nie  dla  warstwy, walca  i  kuli, tzn. że  obejmują  one trzy podstawowe  geometrie. Uzys-
kuje  się  t o  przy  pomocy  parametru  kształ tu  /?. Równanie  róż niczkowe  (1.1)  przyjmuje
postać:

dr
2
  r  dr  K  dt

  v

gdzie
dla  walca  /? =  O,
dla  kuli  /} =   - 0 . 5,
dla  warstwy  p  =   0.5.

Wa r u n ek  brzegowy  (1.2)  bę dzie  m iał   w  przypadku  rozważ an ych  ciał   postać

• £-  +  «  = 0 .  (2.2)
«\   r- JJ

Warunek  począ tkowy  przyję to  niezależ ny  od  współ rzę dnych  przestrzennych

«U o  =  "o-   (2.3)

P on adto  przyję to  warunek  symetrii  (dla warstwy — warunek  izolacji)

=  0   (2.4)
dr

Sformuł owane  zagadnienie  brzegowo  począ tkowe  (2.1)- ł - (2.4) po  przetransformowaniu
przyjmie  postać:

d
2
u  1- 2/3  du  su  .

+  +_
dr

2  +
  r  dr  K

  +
  K

~ '



M ETOD A  OZN ACZAN IA  WSPÓŁCZYN N IKÓW  63-

du
+   ocw| r=R  =   0 ,   ( 2 . 5 )dr

=   0 .
du_

dr

Rozwią zanie  zagadnienia  (2.1)  do  (2.4)  w  transformatach  Laplace'a  ma  postać.

iI

gdzie  p  =   \ fs- K~1,  I„(*)>— zmodyfikowana  funkcja  Bessela  I  rodzaju,  rzę du  v. Zmianę
wielkoś ci  globalnych  moż na opisać  zależ noś cią

r?  =  y  f(uo- u)rsdV,  (2.7)
V

gdzie  ^ozn acza:  w  przypadku  kuli jej  powierzchnię   cał kowitą ,  w  przypadku  walca  czę ść
powierzchni  bocznej, uzyskaną   przez wycię cie  z nieskoń czonego  walca jego czę ś ci, ograni-
czonej  dwoma  pł aszczyznami  prostopadł ymi  do jego  osi;  V  oznacza  w  tym  przypadku
obję tość  odcię tej czę ś ci. W przypadku  warstwy  o gruboś ci  R, F  oznacza pole powierzchni
tej  podstawy  graniastosł upa,  na  której jest  okreś lony  warunek  (2.2);  V  oznacza  obję tość
tego  graniastosł upa.  Współ czynnik  r

g
  jest  okreś lony  poprzez  fizykę   procesu  (porównaj

czę ść  6 pracy). Zwią zek  (2.7) moż na przekształ cić do  postaci:

'<•   o

(2.8)

Ponieważ  rozwią zanie  zagadnienia  (2.1)  do  (2.4) jest  podane  w  transformatach,  za-
leż ność  (2.8) należy  również  przedstawić  w transformatach.  Przy  obliczaniu  transformaty
prawej  strony zwią zku  (2.8) wykorzystuje  się   twierdzenie  F ubiniego  o zamianie  kolejnoś ci
cał kowania  [2]. Po  tych  przekształ ceniach otrzymuje  się

) .  (2.9)

Wstawiają c  (2.6) do  (2.9) ostatecznie 'otrzymamy:

T  =
9

3. Wyznaczenie stał ych charakteryzują cych  proces

Ponieważ do wyznaczenia  są  dwie  stał e, wygodnie  bę dzie wykorzystać  dwa  doś wiadcze-
nia;  stał a  K  nie zmienia  się  w  obu  doś wiadczeniach,  natomiast stał a  a  ma postać:

( - 1 , 2,  (3.1>

<x0 — wielkość niezależ na  od doś wiadczenia,  którą   wyznaczymy
a

t
  — wielkość zależ na  od  doś wiadczenia,  znana lub  zadana  (porównaj  czę ść  6 pracy).



€4  H.  KAMIŃ SKI

Wstawiają c  (3.1)  do  (2.10)  otrzymujemy  zależ noś ci  na nieznane współ czynniki

.   ł   _  i  o

Po  prostych  algebraicznych  przekształ ceniach  otrzymamy  nastę pują ce  zależ noś ci  po
zwalają ce  oznaczyć współ czynniki

1
  ai

f
92

- a
2
f

gl
  _  I

1  ̂  ̂ -

( , ,   ff2)(l2)  V ; ^ n ! I t f l i  ^ 2 - a2  Tf J .  (3.4)

P o  odwróceniu  zależ noś ci  (3.3)  i  (3.4)  otrzymamy  wzory  prowadzą ce  do  wyznaczenia
poszukiwanych  stał ych:

J  fliT, a(0aaTgl(0

(3.6)
U (

Tutaj

gdzie  ij(r)  jest  funkcją   H eaviside'a,  [3], zaś  J
r
(x)  — funkcją   Bessela I rodzaju  rzę du  v.

We  wzorach  (3.5) i  (3.6)  wystę pują   sploty,  których  istnienie jest  zapewnione  na  mocy
twierdzenia  Titchmarsha  [7, str.  28].  Podstawową   zaletą   zależ noś ci  (3.5) jest  moż liwość
bezpoś redniego  wyznaczenia  współ czynnika  a

0
,  jeż eli  znamy  współ czynnik  K.  Pewną

niedogodnoś cią   zależ noś ci  (3.6)  jest  konieczność  stosowania  iteracji  do wyznaczenia
współ czynnika K. Moż na również wymnoż yć  stronami zależ noś ci  (3.3) i (3.4). Otrzymamy
wtedy  prostą   zależ ność  pozwalają cą   okreś lić  w  sposób  bezpoś redni  iloczyn a.

Q
K\

^ (T
gi
- f

g2
)  -   sf

gl
  Ą a fo - a j).  (3.7)

P o  odwróceniu i uporzą dkowaniu  otrzymamy

K
*°

  =   ^ f l i / C O ' t r W r W ] '  ( 3 ' 8 )

4.  Opis wyników doś wiadczenia

Wyniki  eksperymentu  są  przeważ nie  okreś lone  dla  chwil  czasu,  tworzą cych  pewien
zbiór

{*,}e< 0,  7};  i =   0 , 1 , 2 , 3 . . .  (4.1)



METOD A  OZNACZANIA  WSPÓŁ CZYN N IKÓW  65

Wyniki  są zapisane jako  zbiór wartoś ci  {/,}  w chwilach czasu  {*,}.  W przypadku  gdy  opis
jest  dany  w  innej  postaci  to  zawsze  moż na go  do  powyż szego  opisu  sprowadzić.  Wyko-
rzystując  zbiór  danych  pomiarowych  {/ J  moż na, w  sposób  przybliż ony,  opisać  funkcję
f(t)  przy pomocy splajnu  [8]. Otrzymujemy

j

/ (O =  A
o
t

+
  + £

  Ai
(

t
  _

u
y

+
  ( 4 i 2 )

gdzie  J  jest  liczbą  wyników  (odczytów)  pomiarów.
Współ czynniki  A

t
  okreś lone są  zwią zkami

h'  '  (t2- hY-

f
  J y

A ( t
  -

t
r- At

  ( 4 3 )

gdzie
(t- t

k
)"

+
  -   (t- t

k
yt)(t- t

k
)

5. Koń cowa postać wzorów

D o koń cowego zapisu wzorów  (3.5), (3.6), (3.8) wygodnie jest uż yć splajnu  pierwszego
rzę du,  tj.  splajnu  okreś lonego  zwią zkiem  (4.2)  dla  n  =   1.  Moż na  oczywiś cie  uż yć  także
splajnów  wyż szych rzę dów.  W  tym  przypadku  df.  (4.2) sprowadza  się  do postaci

gdzie

A
p
  =

  tp+1
- t

p

  ;  A
°

  =
  h

m  ( 5 ' 2 )

Ze  wzglę du  na jednolitość  zapisu,  a  nie zmniejszając  ogólnoś ci  rozważ ań,  moż na  za-
ł oż yć, że funkcje  T

gl
  i T

g2
,  zbudowane wedł ug wzoru  (5.1), czyli w oparciu o zbiory danych

pomiarowych, moż na opisać na tym samym zbiorze chwil czasu  {i,}, co znacznie upraszcza
zapis  ostatecznych wzorów.  W  zwią zku  z  powyż szym  opis. wyników  bę dzie  postaci

*i ) + ,  < o = O  ( 5 . 1 )
/ - i  .

1 = 0

(5.3)

5  Mech.  Teoret.  i  S tos.  1—2/ 82



66  H .  KAMIŃ SKI

gdzie

T l+l—  £  AĄ t
  + i

—t
ł
)  _,

igl. l

o
(5.4)

podobnie  okreś la  się  Ą.
Ostatecznie wzory  (3.5), (3.6) i  (3.8) edpowiednio przyjmą  postać

(5.5)

(5.6)
(J- o

j

3  2  A
t
B

J
{t- t

l
- tj)\ {a

l
- a

2
)

K<x
0
  -   ^  j  ,  (5.7)

gdzie

/   J

W3

l- 16( l- / 3)2( 2- jS )jr
n- . -O

N ajwygodniejszym  podej^ciemdo  oznaczenia współ czynników  a 0  i AT jest:
1.  rozwią zać  równanie  (5.6) ze wzglę du na K przy  pomocy kolejnych  przybliż eń
2.  przy  znanym  współ czynniku  K  ze  wzoru  (5.7)  wyznaczyć  współ czynnik  a 0 .

6.  Przykł ad interpretacji  współ czynników

Rozważ my  nagrzane  do  stał ej  temperatury  wzglę dnej  u
0
  ciał o  w  kształ cie  warstwy,

kuli  lub  walca  nieskoń czonego,  na  powierzchni  którego  znajduje  się  cienka  powł oka
o  gruboś ci  d,  gdzie

d  <ś R,  (6.1)

Ze wzglę du na przyję cie  zał oż enia (6.1) moż na przyją ć,  że
—  krzywiznę  powł oki moż na zaniedbać
—  przepł yw  ciepł a w powł oce jest  ustalony.
N iech funkcja  H t(r, 0  opisuje  rozkł ad temperatury w warstwie (kuli, walcu), a u2(r,  t)  —



METOD A  OZN ACZAN IA  WSPÓŁCZYN N IKÓW  ,  67

w  powł oce.  P roces  och ł adzan ia takiego  dwuskł adn ikowego  oś rodka  bę dzie  opisan y  rów-
n an iam i

d
2
u

t
  1  — 2/3  du,  1  du.

d
2
u

2- f̂=0  '  (6.3)

z  nastę pują cymi  waru n kam i:
—  warun ki  sklejenia

[<7i — ?2]|r= j?  =   0  równ ość  st ru m ien i  ciepł a,  (6.4)

[«i  —M2]lr- «  =   0  równ ość  tem peiratur,  (6.5)

—  warun ek  brzegowy  dla  powierzchn i  zewnę trznej

ttzlr.a+ a  =   0,  *(6.6)

—•  warun ek  począ tkowy  dla  ciał a

" jJr=o = " o , (6.7)

Stał e  mają   nastę pują cy  sens  fizyczny:
K±  —  współ czynnik  wyrówn an ia  tem peratury

Kt  =  A- ,  (6.8)
C
PQI

X
t
  —  współ czynnik  przewodn ictwa ciepł a,

6i  —  gę stość  ciał a,
c p  —  ciepł o  wł aś ciwe  przy  stał ym ciś nieniu.

Strum ień  ciepł a q  okreś lony jest  n astę pują co:

q  =   - gr a du  ..  '  (6.9)

D la  ciał a  i pokrywają cej  go  powł oki  m am y

(6- 10)

Stą d  zależ ność  (6.4) przyjm ie  p o st ać

zagadn ien ie  rozkł adu tem peratury  w  powł oce  pokrywają cej  rozważ ane  ciał o jest  o pisan e
nastę pują cymi  ró wn an iam i:

d
2
u

2
  _

  n

dr2
  '  ( 6.12)



68  H .  KAMIŃ SKI

Rozwią zanie  tego  zagadnienia  ma  postać

W I V * Y , „  ,
R  +  d

_
r
y

>  re
(R

t
R

  +
  8).  (6.13)

O

O stateczn ie  zależ n ość  n a strum ien ie  (6.4)  przyjmuje  p o st ać :

=   0,  (6.14)
dr  ó

czyli  dla rozważ an ego  ciał a  otrzym am y  n a rozkł ad  tem peratury  zagadn ien ie

dr
2
  r  8r  K,  8t

(6.15)
=   0;  u 1 | t = 0  =   u 0 .

dr
  r

  Xi  d

Szukanymi  stał ymi są :

K,  i  a0  =  4
1 "'

zatem  należ ał oby  w celu  ich wyznaczenia  przeprowadzić  dwa doś wiadczenia  z  róż nymi
gruboś ciami  powł oki.  M amy  przy  tym

Oi- 4-1  Oa- 4--   ( 6 - 1 6 )

M ierzo n ą   wielkoś cią   globalną   był oby  ciepł o  przekazan e  otoczeniu  przez  powierzchn ię
jed n o st ko wą :

R

'
l
-

2
\ u

o
~u)c

pQ
dr.  (6.17)

o

Jak  zat em  widać,  w  tym  wypadku

r
g
=c

pe
.  (6.18)

Z n ają c  G i ( 0  i Q
2
if)  p rzy  odpowiedn ich  a

t
  i a

2
  moż emy  wyznaczyć  współ czynniki  prze-

wodn ictwa  ciepł a  Ar i X2 ze  wzorów  (5.6) i  (5.7) przedstawion ych  w pracy.

7. Wnioski

P rzed st awio n a  w  pracy  m etodyka  ozn aczan ia  współ czynników  charakteryzują cych
wspo m n ian e  we  wstę pie  procesy,  pozwala  efektywnie  je  znaleźć w przypadku,  gdy  są  on e
stał e  (n ie  zależą   od  zm ien n ych  n iezależ n ych  ( r , i)  oraz  od  procesu).  Szczególnie  p ro st o
daje  się  wyzn aczyć  współ czynnik  a

0
  przy  znanym K, lub  iloczyn  obu  wielkoś ci  ze  wzoru

(5.7).  I loczyn  t en  nie zależy  w sposób  bezpoś redni od  przyję tych  kształ tów próbek, a tylko
od  m ierzon ych  wielkoś ci  globaln ych.  Z aletą   m etody jest  moż liwość  wyznaczenia  współ -
czyn n ika K n iezależ n ie  o d  n iezn an ego a

0
  (por. wzór  (5.6)). Cechą  zależ noś ci  (5.5)  d o  (5.7)

jest  wystę powan ie  w n ic h  czasu ja k o  param et ru ,  od  którego  to współ czynniki  a 0 i K po-
win n y  być  n iezależ n e. Wł asn ość t a  pozwala,  w przypadku  wyników  obliczeń  wskazują cych
n a i c h  zm ien n ość w czasie, okreś lić, n a ile  postawion e  zagadn ien ie (2.1) d o (2.4)  odpowiada



M ETOD A  OZNACZANIA  WSPÓŁCZYN N IKÓW  69

rzeczywistemu  procesowi.  Wystę powanie  w  koń cowych  wzorach  (5.5)  do  (5.7)  sum' nie
stanowi — wobec  coraz  bardziej  dostę pnej  techniki  obliczeniowej  (komputery,  mini-
komputery,  kalkulatory  programowalne) — poważ nego  utrudnienia.  Czę ść  sum  jest
skoń czona,  a  ilość  wyrazów  zależy  od  opisu  wyników  eksperymentu,  zaś  sumy  nieskoń-
czone  wystę pują ce  we  wzorach  są   szybko  zbież ne  z  uwagi  na  wystę powanie  czł onów
wykł adniczych.  Proponowana  metoda  wyznaczania  współ czynników  bę dzie  również
funkcjonować  jeś li  w  miejsce  opisują cych  proces  wielkoś ci  zostaną   wzię te  odpowiednie
strumienie,  czy  prę dkoś ci.  Moż na  również  otrzymać  podobne  wyniki  przy  innym  posta-
wieniu wyjś ciowego  zagadnienia brzegowo — począ tkowego.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  Y.  C.  F U N G ,  Podstawy  mechaniki  ciał a stał ego,  P WN   Warszawa  1969,  rozdział   12.
2.  R.  SIKORSKI,  Funkcje  rzeczywiste,  PWN   Warszawa  1958.
3.  A.  H .  ZEMAN IAN ,  T eoria  dystrybucji  i  analiza transformat, P WN   Warszawa  1969.
4.  H . Ja.  BIEZN ISZCZEN KO, A.  I .  P RILEP KO, Obratnyje zadaczi  dla urawnienljparaboliczeskogo  tipa w: P ro-

blemy  matiematiczeskoj  fiziki  i  wyczislitielnoj  matiematiki,  Izdatielstwo  N a u k a —M o sk wa  1977.
5.  K.  G RYSA, J.  JAN KOWSKI,  O sumowaniu pewnych szeregów Diniego i trygonometrycznych pojawiają cych

si;  w zagadnieniach mechaniki oś rodków cią gł ych, M ech. Teoret.  Stos.  J6,  3,  (1977).
6.  B.  STAN ISZEWSKI,  W ymiana ciepł a, podstawy  teoretyczne, P WN   Warszawa  1963.
7.  J.  M IKU SIŃ SKI,  Rachunek operatorów,  PWN   Warszawa  1963.
8.  R.  VARQA, Funkcjonalny} analiz  i  tieorija aproksymaci],  Izdatielstwo  M ir  M oskwa  1974.
9.  J.  Osiowski,  Zarys  rachunku operatorowego,  PWN   Warszawa  1965.

10.  N . T .  M CLACH LAN ,  Funkcje  Bessela dla  inż ynierów,  P WN   Warszawa  1964.
11.  T ablicy nutej funkcij  Biessela, Bibliotieka  Matiematiczeskich  Tablic,  wypusk  44,  M oskwa  1967.
12.  R.  C.  M EH TA,  Solution  of  the  Inverse  Conduction  Problem,  AIAA  Journ al, 15,  (1977),  1355 -  1356.
13.  R.  C.  M EH TA,  Extension  of  the  Solution  of  Inverse Conduction  Problem,  I n t . J,  H eat  M ass  Transfer,

22,  (1969).
14.  J.  TALER,  Metoda  eksperymentalnego  okreś lenia współ czynnika wnikania  ciepł a  w warunkach  nieustalo-

nych,  Czas.  techn.,  1978,  43 - 46.

P  e 3  IO  M   e

METOJJ,  On P E flE JI E H M JI  K O S O O H U E H T O B ,  KOTOP BIE  XAP AK T E P BI 3YI OT  ITP OU EC BI
H 3OEP A3KEH M E  YP ABH E H H E M   n AP AE O J I H ^ E C K O r O T H I I A

B  CTaTbH  aHajiH3Hpyexca npoSjiewubi  BbraicneHHJi, Ha  ocuose  sKcnepHMeHTa, KO3(b<himei- rroB KOTO-
pbie  HaxoflflTca  B  KpaeBo  H aiajmoił  .3afla- qn  napaSoniraecKoro  rana.  Ko3<i>cbKu.eHTŁi onpeflejienbi  Ha
oCHOBe  neKOTopbix  o 6m n x  3cbc]>eKTax.  ^- roSbi  nojry^H Tb  KOHijoBŁie  coOTHomeHHH   iicnojii> 3yeTcs  H H Ter-
pajibH oe  n peo6pa3OBan n e  J la n n a c a  H  CBepTKOBtift  "aHajiH3.  K  H 3o6paweH H   p eayjibT aio s  SKcnepH MeH Ta
B  BHfle  (JjyHKiiHH  Hcnojib3yeTCH  cn jiatiH bi.  Pe3yjiBiaTbi  npeACTaBjieH bi  B CTaibH   HMeioT oco6eH H O  n pocTbift
BH A  Koryja  pe3yjibTaTM   SKcnepHMeHTa  H3o6paH<eHbi  c  noM omro  cnnaiiH OB  n e p Bo r o  n opH flKa.

S u m m a r y

METH OD  OF  D ETERM IN ATION  OF  TH E COEF F ICIEN T CH ARACTERIZIN G   T H E PROCESSES
D ESCRIBED   BY  PARABOLIC  EQU ATION

In  the paper a method of  determination of coefficients  in the boundary- value  problems  of the  parabolic
type  is  considered.  The approach  takes  into account the experimental  results  and  is  based  on  some  global



70  H .  KAMIŃ SKI

effects.  Th e  Laplace  transform  techniques an d  convolution  analysis  are  exploited  to  obtain  the  formulas
defining  th e coefficients.  I n order to represent the experimental data in the analytical form  a spline approxi-
m ation is used. Th e results have especially simple form when the splines of the order 1  describe the measuring
data.

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  17  wrześ nia 1981  roku.