Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z1_2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA 1  STOSOWANA 1/ 2,  20  (1982) M E T O D Y  O K R E Ś L AN IA  L I C Z B Y  B I O T A  I  WS P Ó Ł C Z YN N I KA P R Z E J M O W AN I A  C I E P Ł A K R Z YS Z T O F   G R Y S A  ( P O Z N AŃ ) Instytut  Mechaniki  T echnicznej Politechniki  Poznań skiej Sp is  ozn aczeń —  fun kcja  o bliczo n a  n a  p o d st awie  fun kcji  S O 0,  S 0 T ,  it d . A t f(t)  —  fun kcja  o blic zo n a  n a  p o d st awie  fun kcji  S^ Q,  S±  T ,  it d . a  —  wsp ó ł czyn n ik  p rzejm o wan ia  c iep ł a a n   m  T in   T )  —  o d kszt ał c en ie G   —  m o d u ł   ś c in an ia h  —  gru bo ść  warst wy I , (JC )  —  zm o d yfiko wa n a  fun kcja  Bessela  I  ro d zaju ,  rzę du  v / „ ( *)  —  fun kcja  Bessela  I  ro d zaju ,  r zę du  v k  =  -   u.h x  =  '•   —  wsp ó ł c zyn n ik  dyfuzyjn oś ci  t e m p e r a t u r o we j QCp A  —  wsp ó ł c zyn n ik  p rzewo d n ic t wa  c iep ln ego A.  = —  ko lejn e  pierwiast ki  r ó wn a n ia —  liczba  P o isso n a —  st r u m ie ń ciepł a 72  JC ,  G R YSA 6  —  gę stość s  —param et r  transformacji  Laplace'a SofO)  —  przybliż enie  funkcji  f{t)  przez  funkcję  schodkową Sif(t)  —  przybliż enie  funkcji/ (r)  przez  funkcję  odcinkowo- liniową cff{(ź)  —n aprę ż en ie  , t  —c z a s T f(r)  '  —tem peraturą  medium  grzeją cego  warstwę,  obliczana  wzglę dem  tem- peratury  odniesienia  T o T p   =   T / - (pA T )  —wyn ik  pom iaru  temperatury  medium  grzeją cego  w  chwili  czasu ,pA T ,  p;-   1 ,  ...,P tit x  =   - Tj"  —•  liczba  F ouriera  (bezwymiarowy  czas) <9(f,  T )  —t em p erat u ra  punktów  warstwy,  obliczana  wzglę dem  temperatury odniesienia  T o 0 k   =   6>(f*, fc^© ) — wynik  pom iaru  temperatury  w  punkcie  wewnę trznym  ciał a  w  chwili c z a s u  k A e ,  k  =   1 , . . . , K  -• ••   • 6>, T ,  u,  ...  —tran sform aty  Laplace'a  funkcji© ,  T ,  u,  ... u ( |,  T)  — przemieszczenia  punktów  warstwy u r   — u(C*, rA u )  — wynik  pom iaru  przemieszczenia  w  punkcie  wewnę trznym  ciał a w  c h wili  rA u ,  r=\ ,...,R W OP  —  wewnę trzna  odpowiedź  przemieszczeniowa W OT   —  wewnę trzna  odpowiedź  temperaturowa Y v (x)  .  —  funkcja  Bessela I I rodzaju  rzę du v r}(x)  —  funkcja  H eaviside'a x  —  współ rzę dna  przestrzenna f  =   x/ h  —  przestrzenna  współ rzę dna  bezwymiarowa f*  —  pun kt, w  którym  znana jest  W OP  lub  W OT ;  £* e  [0, 1] *  —  mnoż enie  splotowe Wstęp W  wielu  przypadkach  w  technice  znajomość  współ czynnika  przejmowania  ciepł a odgrywa  istotn ą  rolę.  Wyznaczanie  tego  współ czynnika jest  bardzo  trudne  z uwagi  na t o , iż  umieszczanie  czujników  (term opar  czy  innych)  na  powierzchni  elementu  maszyny  za- kł óca  warun ki  nagrzewania.  Czę sto  umieszczenie  czujnika  na  ogrzewanej  powierzchni jest bardzo  utrudn ion e (ś cianki  silników  odrzutowych  czy  spalinowych,  ł opatki  turbin  itp.) lub  nawet  niemoż liwe  (np.  na  powierzchniach  współ pracują cych).  Trudnoś ci  zwią zane z  wyznaczaniem  liczba  Biota  i  współ czynnika  przejmowania  ciepł a  są  znane  (por.  [1], a  także  [2, 3]  i in .), a  kolejne  metody  ich  wyznaczania,  proponowane w literaturze  dają  — przy  tym  sam ym  zestawie  danych  wyjś ciowych  —  czę sto  znacznie  róż nią ce  się  od siebie  wyniki  (por.  [2] i  [4]). N iektóre spoś ród  proponowanych m etod  zawierają  niedomó- wienia  znacznie  utrudniają ce  ewentualne  ich  wykorzystanie  (np.  [5]); inne  prace  oferują m etody  bardzo  zł oż one,  dla  których  brak  jakiejkolwiek  weryfikacji  eksperymentalnej  czy numerycznej  (por.  [3]). METOD Y  OKREŚ LANIA  LICZBY  BIOTA  .  73- W  niniejszej  pracy  rozważa  się pole temperatury w warstwie o gruboś ci  h w  przypadku, gdy jedna z jej  powierzchni ograniczają cych jest cieplnie izolowana, zaś na drugiej  powierz- chni  mamy  do czynienia ze  swobodną  wymianą  ciepł a pomię dzy  noś nikami  ciepł a,  a  roz- waż aną  warstwą.  Zakł ada  się,  że  temperatura  poszczególnych  punktów  warstwy  zależy tylko  od  odległ oś ci  od  powierzchni  izolowanej  oraz  od  czasu.  Tak  więc  rozważ ane  jest zagadnienie jednowymiarowe.  Wzory,  okreś lają ce  liczbę  Biota,  wyprowadzono  przy  wy- korzystaniu  transformacji  Laplace'a. Zagadnienie  wyznaczania  współ czynnika  przejmowania  ciepł a  nazywane  jest  czasami zagadnieniem  odwrotnym  przewodnictwa  ciepł a  (por.  [2, 6]  i  in.).  W  niniejszej  pracy zagadnienie to potraktowane jest nie tylko  inaczej  niż w pracach  [2, 3, 4] czy  [5], lecz także szerzej.  Proponowane poniż ej  dwie  metody  okreś lania  liczby  Biota  i  współ czynnika  przej- mowania  ciepł a  bazują:  pierwsza  — na  odwrotnym  zagadnieniu  przewodnictwa  ciepł a, zaś  druga —n a  odwrotnym  zagadnieniu  teorii  naprę ż eń  cieplnych.  W  pracy  podano także  moż liwoś ci  uogólnienia  metody  na  przypadek  ciał   o  innej  geometrii  (kula,  walec, ew.  warstwa  sferyczna  i  rura), jak  również  przedyskutowano  inne  moż liwe  podejś cia  do rozważ anego  problemu.  Otrzymane wyniki  zilustrowano  przykł adem numerycznym. 1. Zagadnienie odwrotne przewodnictwa  cieplnego Rozważ my jednowymiarowe  zagadnienie przewodnictwa  ciepł a w  cieplnie  izotropowej; warstwie  o gruboś ci  /?. Przyjmijmy,  że oś  Ox  skierowana jest  od  dolnej powierzchni  war- stwy, bę dą cej powierzchnią  o równaniu x  = 0, w górę. P onadto  zał oż ymy, że dolny  brzeg warstwy jest  cieplnie izolowany,  zaś  na  brzegu  górnym  mamy  do czynienia  ze  swobodną wymianą  ciepł a.  Warunki  począ tkowe  dla  temperatury  przyjmiemy  jednorodne.  Wpro- wadzając  bezwymiarowe  współ rzę dne  f  =  xjh  oraz  r  =   xtjh2  moż na sformuł ować nastę- pują ce  zagadnienie  brzegowo- począ tkowe: \ di2 dr I (1.1) 0(f,  O) =   O,  (1.2) 50 es 8 0 =   0,  (1.3) =   - Bi[ 6 >(l, T)- 7 >(T)].   (1.4) W  dalszym  cią gu  rozważ ań  pł aszczyznę  o  równaniu  £  =  const  bę dziemy  identyfiko- wać —  z uwagi  na jednowymiarowość  zagadnienia — z  punktem  o  współ rzę dnej  f. Aby  wyznaczyć  liczbę  Biota  Bi przyjmujemy,  iż  temperatura T f{x)  medium  grzeją cego warstwę jest  znaną  funkcją  czasu  oraz  że  znana  jest  zmienność  w  czasie  temperatury w  punkcie  o  współ rzę dnej  £*  (tzw.  wewnę trzna  odpowiedź  temperaturowa,  w  skrócie W OT );  £* e  [0, 1], Zarówno  W OT  jak  i  T r (r)  może  być  przy  tym  dana w  postaci  zbioru danych dyskretnych,  pochodzą cych z pomiarów. 74  K.  G RYSA Aby  wyznaczyć  liczbę  Biota  na podstawie  W OT i T f , należy  rozwią zać  zagadnienie (1.1)- (1.4).  P o prostych  obliczeniach  otrzymujemy  nastę pują cą  postać  transformaty Laplace'a temperatury ys  sinh y Przekształ cając  wzór  (1.5) otrzymujemy  zwią zek g g ^ . l g f c t H  gfr.)  . l ^ _  ( i.6) s cosh |/ j  s  B l  j/ s cosh  |/ j Odwrócenie transformat  po lewej i prawej  stronie  zwią zku  (1.6) nie nastrę cza trudnoś ci. Otrzymujemy  równanie l + 2 ^ ~ ^ c o s ( a , ) e - H=   v{r)*8(S, r)+^ - 0((, r)* JSV«', skąd B i =   i= l  .  (1.7) Zał óż my  teraz, iż zarówno  IV0T  jak  i T j-  znane są w postaci zbiorów  danych  dyskret- nych, pochodzą cych z pomiarów.  Przyjmijmy,  że obie serie  pomiarów  został y rozpoczę te w tej samej  chwili  czasu, która jest jednocześ nie  chwilą  począ tkują cą  proces  nagrzewania. Zał oż ymy, że kroki  czasowe  w obu seriach  pomiarów są stał e i wynoszą,  odpowiednio, As  i A T .  Wówczas  mamy  do czynienia  ze zbiorami  {0fc}k= 1,...,K  oraz  {T p}pzs:t  P opi- sują cymi  zmienność  funkcji  &(£*, z) i  T f(r) w chwilach  czasu  równych  odpowiednio kA B   i pA T .  Przyjmujemy  przy  tym, że chwile KA e  i PA T  nie są zbyt  od siebie  odległ e; liczbę  Biota  bę dziemy  bowiem  okreś lać  w przedziale  czasu  [0, min(KAe,  PA T )].  Mając oba  wspomniane  zbiory  danych  ł atwo  moż na  skonstruować  funkcje,  opisują ce  w przy- bliż eniu  zmienność © (£ *, r) i 7}( T )  W czasie. N ajprostszymi  tego typu funkcjami  cią gł ymi są  splajny  [7];  najbardziej  „ zgrubne"  przybliż enie  obu funkcji  moż na  uzyskać  aproksy- mując je funkcjami  schodkowymi. I  tak — aproksymacja  W OT  oraz  T f   przy  pomocy  funkcji  schodkowych  prowadzi do  wzorów p 7}(r)  «  S 0 7> ( T ) =   £(T p- Tp^ )r)(T - pAT), (1.8) 0 ( |*.  T) *  S o &(£*, r) =   £(e*- e*- i)i7(T- *4,), kml gdzie  T Q  =  & 0  =  0.  Otrzymujemy  wówczas Bi «  ^oBi(r)  =   L 0 ( T ) / M 0 ( T ) ,  (1.9) M ETOD Y  OKREŚ LANIA  LICZBY  BIOTA 75 gdzie - .)  1 1 - 2 L 1.10) 2 (1.11) W  przypadku,  gdy 7/ ( T )  = T f  = const,  mianownik  uł amka  okreś lają cego  liczbę Biota,  M QI  przyjmuje  szczególnie  prostą   postać, a mianowicie _  2 «=• ! (1.12) fc- 1 Aproksymacja  W OT  i  T s  przy pomocy najprostszego  splajnu, jakim jest funkcja  cią gł a, odcinkowo- liniowa  (ł amana) prowadzi do wzorów • ,  T) *, r)  - J  (1.13) Wówczas gdzie Bi =  L ^ / M^ r), - ^ T ) }.  0- 14) (1.15) - ~ + 2  ^ ^ e " ł ^ )  \ r- kA e -   ~ (1.16) 76  K.  G RYSA (1.17) K xQ  _ e - «( f- p J e > ) l«(T _ p J T ) }_ —_ _  \   {(6> ft+ 1- ~20 k +0 k ^ )(r- kA s Y n (r- kA & )}. W  przypadku,  gdy  7/ ( T ) =  T f   =  const, funkcja  M t ( T )  przyjmuje  szczególnie  prostą postać, a mianowicie (1- 18) Przy  wyprowadzaniu  wzorów  (1.9)-  (1.18) wykorzystano  wzory  0.234 z tablic  [8] oraz wzór  (4.13) z pracy  [9] dla przypadku  H =  0 i a ->  0. Z e wzorów  (1.16) i  (1.17) widoczne jest, iż okreś lanie liczby  Biota przy pomocy W OT i  2 / ( T )  przybliż onych  funkcjami  ł amanymi  wymaga  znajomoś ci  „przyszł ych"  wartoś ci W OT   i  7 / ( T )  W stosunku  do chwili  czasu, dla której  okreś lana jest funkcja  AiB\ {r). Wy- korzystanie „ przyszł ych" wartoś ci  W OT  i T r  polepsza dokł adność otrzymanych wyników — jednakże  przedstawianie  W OT  i T f  w postaci splajnów  wyż szych  rzę dów znacznie  kompli- kuje  wzory.  Z tego też wzglę du  nie bę dziemy przedstawiać zwią zków  opisują cych  A„Bi(r) dla n > 1. Warto na zakoń czenie tej czę ś ci pracy zaznaczyć, że zależ ność funkcji  A„~Bi(r) od czasu wynika  tylko  i wył ą cznie z faktu  przedstawienia  W OT  i T f (j) w sposób przybliż ony.  Jest to  wię c raczej  zależ ność od 5„6>(f*,  T) czy  S„T f (r)  niż od czasu. Przy wzrastają cych  war- toś ciach  x  funkcja  A„ Bi(t)  zbliża  się  do  pewnej  wartoś ci  stał ej bę dą cej  wł aś nie poszuki- waną   liczbą   Biota.  Ilustruje  to dobrze  przykł ad  liczbowy,  zamieszczony  w czę ś ci  pią tej pracy. 2. Wyznaczanie liczby Biota na podstawie wewnę trznej odpowiedzi przemieszczeniowej D o  zał oż eń  sformuł owanych  na począ tku  czę ś ci  pierwszej  doł oż ymy zał oż enia  nastę - pują ce : —  warstwa jest  sprę ż ysta, izotropowa —  dolna powierzchnia warstwy jest unieruchomiona —  górna powierzchnia warstwy jest wolna  od obcią ż eń —  przemieszczenia odbywają   się  tylko w kierunku osi Ox —  przemieszczenia i prę dkoś ci począ tkowe punktów warstwy  są  równe zero. Rozważ any  jest  zatem jednoosiowy  jednowymiarowy  stan  odkształ cenia w  warstwie sprę ż ystej,  wywoł any  ogrzewaniem  górnej  powierzchni warstwy  w sposób,  opisany  zwią ż- M E T O D Y  OKREŚ LAN IA  L I C Z BY  B I O T A 77 kiem  (1.4).  Z espół   równ ań  ( 1.1) -   (1.4)  należy  uzupeł n ić równ an iam i  i  waru n kam i  n ast ę- pują cymi  : de - - r - r rl  !' ( £ .  T)  =  /C c 2 - (2.1) «- o.   |»- = 0, «( 0,  r )  -   O, du 51 ł - i (2.2) (2 3) (2.4) Warun ek  (2.4)  wynika  z  zał oż en ia  o  braku  obcią ż eń  n a  górn ej  powierzch n i  warstwy (por.  wzór  (3.11)  dla  /?  =   0.5  i  p(r)  — 0). Aby  wyznaczyć  liczbę  Biota  Bi  przyjm ujem y tym razem, iż oprócz funkcji  T / ( T )  zn an a jest zm ien n ość w czasie przem ieszczen ia w p u n kc ie o  współ rzę dnej  f*  (tzw.  wewn ę trzna  odpowiedź  przem ieszczen iowa,  w  skrócie  W OP). Z agadn ien ie  brzegowo- począ tkowe  skł adają ce  się  ze  zwią zków  ( 1.1) - ( 1.4)  i  ( 2. 1) - ( 2. 4) rozwią zujemy  przy  zastosowan iu  tran sform acji  Laplace'a.  P o prostych  obliczen iach  otrzy- muje  się  nastę pują cą  postać  tran sform aty  Laplace'a  przem ieszczen ia: T> (s)kcBi  scosh  j /   s  d n h «( f, s) =   — l —c)/ s |/ s)  cosh - s( s—c) 2cosh  —li/ s  si P rzekształ cając  wzór  (2.5)  otrzym ujem y  zwią zek s ys  sin h  |/  s csin + Bicosh/ s] c o sh p  s  sin h  (f— | / s  (s — c 2 ) sinh  ] /   s c osh — inhff  |/ .s (2.5) s(s — c 2 ) sin h (2.6) Odwrócenie tran sform at  p o lewej  i prawej  stron ie zwią zku  (2.6) n ie n astrę cza t r u d n o ś c i. Otrzymujemy 1 Bi - ' ' | =   P ( T ) *2 / C C 7 > ( T ) , gdzie H = l c (2.7) 78 K.  G RYSA Stąd |sin h l/ 2cA„   U „ s i n l c A n T - ~ I - C C O S I C A „ T-   — I  - - sin  \ '2cX n Bi = 2/ C C T / ( T ) *P ( T ) - U ( |,  r ) *( l+ 2  £   exP(- a 2- r)) (2.8) (2.9) -   P rzyjm ują c,  p o d o bn ie ja k  w  poprzedn iej  czę ś ci  pracy,  iż  t ak  W OP  ja k  i  7 }( T ) dan e  są w  p o st aci  zbiorów  danych,  dyskretn ych ,  poch odzą cych  z  pom iarów,  m oż na  zbudować w  an alogiczn y  ja k  uprzedn io  sposób  funkcję  A„Bi(r),  opisują cą  liczbę  Biota  w  sposób przybliż on y.  Jeś li  zat em  {M P }I - = I , ...,«  jest  zbiorem  danych  dotyczą cych  zm ian  przemiesz- czen ia  o d  chwili  T =   A u   d o  r  =   Rd u>   zaś  {r p }p  =  l i , . ? p  —  zbiorem  dan ych  dotyczą cych t em p erat u ry  m ediu m grzeją cego,  przy  czym  chwile  PA T   i  RA U   n ie są  od siebie  zbyt odległ e, t o  aproksym ując  W OP  i  7/ (x)  —  przykł adowo —  funkcją  schodkową,  otrzymujemy Bi - ,  u 0   =   0, gdzie 2kc (2.10) (2.11) METOD Y  OKREŚ LANIA  U C Z BY  BIOTA  79 Wzór  (2.10) jest  znacznie bardziej  zł oż ony, niż zwią zki  (1.9) czy  (1.15).  Jeszcze  bardziej zł oż ona  bę dzie postać  funkcji  A„Bi(r),  zbudowanej  na podstawie  W OP i  7}( T )  przybliż o- nych  splajnami  rzę du  n. Tym  niemniej  widoczne  jest,  że  również  na podstawie  W OP moż na  w — mimo wszystko — stosunkowo  prosty  sposób  wyznaczyć  liczbę   Biota. 3.  Uogólnienie  metody na przypadki kuli i walca Wykorzystują c  tzw. parametr  kształ tu,  [6, 10],  moż na  sformuł ować  zagadnienie  wy- znaczania liczby Biota jednocześ nie dla walca, kuli i warstwy, a także dla warstwy  sferycznej i  rury.  Równanie przewodnictwa  ciepł a  moż na bowiem  zapisać  w postaci  [6] gdzie  parametr  kształ tu /? przyjmuje  wartoś ci  + 0. 5, 0,  —0.5 odpowiednio  dla warstwy, dla walca i dla kuli. Po prawej  stronie równania (3.1) moż na — w razie potrzeby — umieś- cić czł on odpowiedzialny  za produkcję  ciepł a  [10]. U zupeł niają c równanie (3.1) warunkami (1.2), (1.3) i (1.4) otrzymujemy  zagadnienie brzegowo- począ tkowe  dotyczą ce bą dź warstwy o gruboś ci  1, bą dź walca i kuli  o promieniu 1 (jest  to jedynka bezwymiarowa).  D la wyzna- czenia liczby  Biota niezbę dna jest znajomość  W OT   oraz  T f (r),  przy  czym  mogą   one być zadane  w  postaci  zbiorów  danych  dyskretnych,  pochodzą cych  z pomiarów. Transformata  Laplace'a  temperatury,  ©($, s), ma w tym wypadku  postać ^  (3.2) Stą d po przekształ ceniu  otrzymujemy L   I f e  s)i^± ilvZ L  •   ( 3 3 ) / l d / ) Odwrócenie transformacji  prowadzi  do nastę pują cego  równania: (3.4) , T)*  V . - *, " = 1 gdzie  / *„  są   pierwiastkami  równania  J- pi/ j.)  =  0.  Stą d  otrzymujemy  wzór co Bi =   _ -   > T * n = ' e  ,  (3.5) 80  K.  G RYSA którego  szczególnym  przypadkiem  jest  zwią zek  (1.7).  D la  fi  —  + 0.5  mamy  bowiem ji„  =   X n   oraz sin x,  J - ł ( *)  =   1/   —  cosx. D alszy  tok  postę powania  przy  wyznaczaniu  liczby  Biota jest  analogiczny  jak  w  czę ś ci pierwszej  pracy.  Otrzymuje  się  wzory  o postaci  zbliż onej  do  (1.9) czy  (1.15);  wystę pują ce w  tych  wzorach  niektóre szeregi  nieskoń czone moż na zastą pić  ich sumami,  wykorzystując wzory  (22) i  (17) z pracy  [12], przy  czym we wzorze  (17) należy  dokonać przejś cia  granicz- nego  z  parametrem a  do  zera;  oba  te  wzory  należy  wykorzystać  dla  «= —/ ? .  D la  /?  == =   —0.5  i  + 0.5  funkcje  Bessela  przechodzą  w  funkcje  trygonometryczne — tak  więc wówczas,  tzn .  dla  przypadku  warstwy  i  kuli,  otrzymane  wzory  mają  postać  szczególnie przydatną  do  obliczeń  numerycznych. Wzorów  tych nie przytaczamy  z  uwagi  na prostotę ich  wyprowadzenia. Jak  widać  ze  zwią zku  (3.5), wartość  liczby  Biota jest  powią zana  z  kształ tem próbki, dla  której  znana jest  W OT . Zwią zek  ten  staje  się jeszcze  bardziej  widoczny, jeś li  zamiast warunku  (1.3)  przyjąć  warunek .• 89 At  — _  . =   q w (x),  lub  np.  (3.6) i tzn.  gdy  mamy  do  czynienia  z  warstwą  o  gruboś ci  A( l- f0 ) ,  warstwą  sferyczną  czy  też rurą, o takich sarrfych  gruboś ciach  ś cianek. Tutaj q w (r)  i T w (v)  są funkcjami  opisują cymi  — odpowiednio — strumień  ciepł a  i  temperaturę  na  ś ciance  |  =   £ 0 .  Powią zanie  liczby Biota  z  kształ tem  ciał a  jest  wówczas  o  tyle  bardziej  zł oż one,  że  oprócz  funkcji  J- p(x) pojawia  się  we wzorze  opisują cym  liczbę  Biota  także funkcja  Y~p(x). Jeś li  równanie  (3.1) z  warunkami  (1.2), (1.3) i  (1.4) uzupeł nić równaniem 1- 2/5  d  1- 2/?  1  d2  \   ru   .  ;  d&(S,  T) )  — "> ^TZ i  warunkami  (2.2),  (2.3) oraz t o  otrzymuje  się  uogólnienie  metody  przedstawionej  w  czę ś ci  drugiej  pracy.  Jednakże wzory,  okreś lają ce  w  tym  wypadku  liczbę  Biota  są  bardziej  zł oż one  od  (2.9)  i  (2.10). Warto  tu  może  zwrócić  uwagę  na  fakt,  że  przyję cie  w  miejsce  warunku  (2.3)  warunku u(S 0 ,  x) =   Ł / (r),  *  (3.10) lub  w  miejsce  (3.9) warunku gdzie  U(r)- i  p(x)  opisują  —odpowiednio —przemieszczenie  brzegu  $ — f0  lub  obcią- ż enie  brzegu  £ =  1, prowadzi  do  wzorów,  z  których  wynika,  że wartość  liczby  Biota  wy- METOD Y  OKREŚ LANIA  LICZBY  BIOTA  81 znaczana  na podstawie  W OP i  7}( T )  zależy  od warunków  natury  mechanicznej, w  jakich próbka  się  znajduje.  Jest  to  wniosek  dosyć  oczywisty  zważ ywszy  na  to, iż  do  okreś lenia liczby  Biota ma być w tym przypadku  wykorzystana  wielkoś ć,  na którą tego typu  warunki mają  istotny  wpł yw. 4. Inne moż liwoś ci  wyznaczania liczby  Biota Liczbę  Biotą  moż na wyznaczać  nie  tylko  na  podstawie  znajomoś ci  W OT   czy  W OP. Moż na w tym celu wykorzystać  n p. strumień ciepł a : _  izl  (4 n 2A3> (T)*  £  (- l)"ń n(H„)^ t ~v(r)*q(S,  r) 5. Przykł ad liczbowy Wykorzystując  wzory  (1.9) oraz  (1.15) wyznaczymy  liczbę  Biota  na podstawie  danych eksperymentalnych, dotyczą cych  pomiarów  temperatury n a zewnę trznej  ś ciance  rozbież nej dyszy  silnika  rakietowego,  dokonanych  podczas  testowania  tegoż  silnika,  [4].  D ane  te wielokrotnie  sł uż yły  do  wyznaczania  liczby  Biota  i  współ czynnika  przejmowania  ciepł a (por.  [2, 4,  5]; w pracy  [5] wyznaczono także wartość współ czynnika przejmowania ciepł a metodą  przedstawioną  w  pracy  [11]).  Wspomniana  dysza  miał a  ś ciankę  o  gruboś ci  h  = =   0.0211  m, co pozwolił o tę  ś ciankę  traktować  w  przybliż eniu  jako  warstwę pł aską  (sto- sunek promienia zewnę trznego do wewnę trznego by$ na cał ej dł ugoś ci dyszy bliski jednoś ci). Pozostał e  dane  są  nastę pują ce:  temperatura  otoczenia  dyszy  T o   =  300°K, tem peratura gazów  w  dyszy  T g   =   2946,2° K,  Q =   7900  kg/ m 3,  c p   =   545  Ws/ kg°K,  ś redni  współ - czynnik  przewodnictwa  cieplnego  X — 35  W/ m°K;  czas  pracy  siln ika—  16  sekund.  N a podstawie  danych temperaturowych okreś lono, podobnie jak  w pracach  [2, 4,  5], wartoś ci 0  i T f   wg  wzorów 6  =   l~ T°  ,  T f   =   %  ^°  =   1,  T -   temperatura  bezwzglę dna.  (5.1) 6  M ech .  T eoret.  i  Stos.  1—2/ 82 82 K.  G RYSA. Ponieważ  dane  eksperymentalne  są   niepeł ne  i  dotyczą   temperatury  w  chwilach  czasu od  t  — 6  s  do  t  — 16  s  co  1 s, otrzymane wyniki wykazują   tendencję   do ustalania  się  do- piero  dla  t  >  10 s. Wartoś ci  liczby Biota,  otrzymane  ze wzorów  (1.9) i  (1.15) przeliczono nastę pnie n a wartoś ci  współ czynnika przejmowania  ciepł a wg  wzoru a  =   Bil/ h. (5. 2) Otrzymane  wyniki  przedstawiono  w  tabeli  1;  podano  tam  także  dla  porównania  wyniki otrzymane  w pracach  [2, 4,  5], oraz rezultaty  cytowane  w  [5], a  otrzymane metodą  przed- stawioną   w pracy  [11]. Warto zaznaczyć, że we wszystkich cytowanych  pracach zakł adano stał ość liczby  Biota.  W  pracach  [5]  i  [11]  zakł adano  dodatkowo,  że  współ czynnik  prze- wodnictwa  cieplnego,  A, jest  funkcją   temperatury.  Spowodował o  to znaczne  zmniejszenie wartoś ci  współ czynnika  przejmowania  ciepł a,  a,  w  stosunku  do  wyników  otrzymanych przy  zał oż eniu, że  A =   const. Jak  widać  z  tabeli  1, wartoś ci  współ czynnika  przejmowania  ciepł a otrzymane róż nymi metodami  cechuje  duża  rozbież noś ć.  N a  tle  rezultatów  otrzymanych  w  cytowanych  pra- Tabela  1.  Porównanie  wartoś ci  współ czynnika  przejmowania  ciepł a,  a,  wyznaczonego  róż nymi  metodami na  podstawie  tych  samych  danych. t [s] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 ( 0 , / ) bezwym 0.00933 O.01S88 0.02116 0.03020 0.03855 0.04724 0.05291 0.06046 0.06764 0.07823 0.08615 (1.9) 738.8 1074.2 1175.7 1241.7 1291.6 1318.9 1300.4 1279.6 1257.6 1255.2 1248.5 (1.15) 239.5 696.6 884.3 969.5 1056.9 1111.7 1138.5 1133.6 1129.0 1127.0 1135.5 [4] 2254.2 2254.2 2254.2 2254.2 2254.2 2254.2 2254.2 2254.2 2254.2 2254.2 2254.2 a [2] 1821.9 1810.0 1610.3 1690.9 1669.7 1641.9 1497.6 1443.1 1387.0 1413.0 1383.7 [5] 536.6 600.6 592.6 674.2 712.9 737.4 718.2 723.6  . 723.0 753.6 758.3 [11] 581.7 587.0 598.4 685.3 693.2 730.0 721.9 725.8 725.1 765.0 770.0 each,  wyniki  uzyskane  przy  wykorzystaniu  wzorów  (1.9)  i  (1.15),  wyróż niają   się   tym, że dla  /  >  10  mają   tendencję   do  oscylowania  wokół  pewnej  stał ej  wartoś ci.  Tendencję   taką mają   także  wyniki przedstawione  przez  R. C. Mehtę  w pracach  [2] i  [5], jednakże  metoda kolejnych  przybliż eń, jaką   wykorzystał   on do uzyskania  tych wyników, jest nieporównanie bardziej  zł oż ona od metody  zaprezentowanej  w niniejszej  pracy. Warto  zwrócić  uwagę   na  fakt,  że  wyniki  uzyskane  w  niniejszej  pracy  na  podstawie wzoru  (1.15), są  gorsze (por. tabela 3) od wyników uzyskanych  na podstawie zwią zku (1.9). Wynika  to  z  fragmentarycznoś ci  danych  z pomiarów.  Przy  znajomoś ci  danych pomiaro- wych  dla  chwil  od  ż =   1 do  /  =   16  z  krokiem  czasowym  równym  1 s,  wyniki  uzyskane na  podstawie  wzoru  (1.15) są   oczywiś cie dokł adniejsze  od rezultatów  bazują cych  na (1.9). N astę pnie  sprawdzono, jaki jest  zwią zek  pomię dzy  wartoś ciami  współ czynnika  przej- mowania  ciepł a,  otrzymanymi  w  niniejszej  pracy  oraz  w  pracach  [4]  i  [2], a  wynikami M ETOD Y  OKREŚ LANIA  LICZBY  BIOTA 83 pom iarów  tem peratury  ś cianki  dyszy,  [4], przedstawion ym i  w  drugiej  ko lu m n ie  tabeli  1. W  zwią zku  z tym  obliczon o  ś rednią  wartość  współ czyn n ika  a, bio rąc  przy  tym p o d uwagę dane  nastę pują ce  (por.  tabela  1) —  dla  (1.9):  od  t  =   10  do  t  =  16, —  dla  (1.15):  od  t  =   11 d o  t  =  16, —  dla  [2]: od  t  =   12  do  t  =  16. Otrzym an e  w  ten sposób  współ czynniki  a ś r,  a  także  odpowiadają ce  im  liczby  Biota, przedstawion o  w tabeli  2. Tabela  2. Przybliż one  wartoś ci  współ czynnika przejmowania  ciepł a, tą t  i liczby  Biota,  B i ś r. Biśr (1.9) 1278.83 0.77095 (1.15) 1129.22 0.68076 [4] 2254.2 1.35896 [2] 1424.88 0.859 (1.9) popr. 1376.78 0.83 Wartoś ci  tem peratury  0 ( £ ,  T ) m oż na  obliczyć  n a  podstawie  wzoru CO ft) (5. 3) który  otrzymuje  się,  odwracając  tran sform atę,  dan ą  zwią zkiem  (1.5):  T u t aj  (i„ są  pier- wiastkami  równ an ia ptgp  =   Bi.  (5.4) Wstawiając  do wzoru  (5.3)  w  miejsce  Bi wielkoś ci,  po d an e  w  tabeli  2, wyliczon o  war- toś ci  tem peratury  dla chwil  o d t  =   6 do /  = 1 6 s.  O t rzym an e  wyniki  p rzed st awio n o  w t a - beli 3. Tabela  3. Wartoś ci  temperatury w chwilach  od t =  6 s do t =  16 s, obliczone na podstawie  współ czynników z  tabeli 2. [s] 6 7 8 9 10 11 12- 13 14 15 16 pomiar 0.00933 0.01588 0.02116 0.03020 0.03855 0.04724 0.05291 0.06046 0.06764 0.07823 0.08615 (1.9) 0.00754 0.01238 0.01824 0.02494 0.03232 0.04025 0.04860 0.05728 0.06620 0.07530 0.08453 0(0,0 (1.15) 0.00674 0.01109 0.01635 0.02239 0.02906 0.03622 0.04379 0.05166 0.05976 0.06804 0.07644 [4] 0.01228 0.01999 0.02921 0.03965 0.05104 0.06314 0.07577 0.08878 0.10203 0.11544 0.12893 12] O.OO83O 0.01361 0.02002 0.02735 0.03540 0.04404 0.05312 0.06255 0.07222 0.08208 0.09206 (1.9) popr. 0.00805 0.01321 0.01944 0.02656 0.03440 0.04281 0.05165 0.06084 0.07027 0.07988 0.08962 6 * 84  K.  G RYSA Wyniki  przedstawione  w tabeli 3 dyskwalifikują  w zasadzie rezultaty pracy  [4] oraz wartość liczby  Biota  otrzymaną  na  podstawie  wzoru  (1.15).  Co do  tego  ostatniego,  stwierdzono już  wyż ej,  iż  wynika  t o  z  fragmentarycznoś ci  danych.  Każ dy  bowiem  wzór  okreś lają cy liczbę  Biota w  oparciu  o 5 „ 0 ( |*,  T) wymaga  znajomoś ci  danych pomiarowych  począ wszy od  chwili  począ tkowej  przy  stał ym kroku  czasowym;  brak  danych dotyczą cych  pierwszej fazy  procesu wymiany  ciepł a powoduje  tym wię ksze zafał szowanie  wyników, im dokł adniej przybliż ona  jest  funkcja  &($*, T)  przez  S n G,  tzn.  im  wyż sza  jest  wartość  n.  Najmniej wraż liwa  na  brak  informacji  z pierwszej  fazy  procesu jest  funkcja  S O 0  — widać  to  w ta- beli  3. N a  podstawie  obliczonych  dla  Bi  =   0.077095  wartoś ci  temperatury  dokonano po- nownego  obliczenia  liczby  Biota,  biorąc  także  pod  uwagę  tylko  wyniki  dla  chwil  czasu od  t  =   6  s  do  t  =  16  s.  Oszacowana  na  podstawie  tych  obliczeń  wartość  liczby  Biota, róż nią ca  się  (na  skutek  niepeł nych danych z „ pomiarów") od wartoś ci  wyjś ciowej,  posł u- ż yła do oceny stopnia dokł adnoś ci wyników z tabeli 2 w przypadku stosowania wzoru  (1.9) do  wspomnianych  na  wstę pie  danych  z  pracy  [4],  Stwierdzono,  iż  fragmentaryczność danych  z  pomiarów  powoduje  zaniż enie  wartoś ci  liczby  Biota.  Poprawiona — w  oparciu o te rozważ ania — liczba  Biota został a podana w tabeli  2 jako  „(1.9) popr.".  Odpowiada- ją ca  jej  zmiana  temperatury  6>(0, t)  przedstawiona  jest  w  ostatniej  kolumnie  tabeli  3. Porównując  te  wyniki  z  danymi  pomiarowymi  widać,  iż  są  one  znacznie  im  bliż sze niż wyniki  otrzymane na podstawie  wzoru  (1.9). Jednocześ nie widać  dużą  zgodność tak otrzy- manych  rezultatów  z  rezultatami  otrzymanymi  na  podstawie  pracy  [2]. W  przypadku  posiadania  peł nych  danych  z  pomiaru,  od  t  — 1  do  dowolnej  chwili czasu,  wartoś ci  wyliczone  na  podstawie  wzorów  (1.9)  czy  (1.15)  bardzo  szybko  dą żą  do pewnej  wartoś ci  granicznej,  o ile  oczywiś cie  wartość  liczby  Biota jest stał a w  rozważ anym procesie grzania  (chł odzenia). Co do przedstawionego wyż ej zestawu  danych pomiarowych, oraz  otrzymanych  na  ich podstawie  wyników, widać,  że zał oż enie o stał oś ci liczby  Biota był o  tu niesł uszne. Tym  niemniej otrzymana wartość liczby  Biota, przedstawiona  w ostat- niej  kolumnie  tabeli  2,  ma  charakter  pewnej  wartoś ci  ś redniej. N atom iast  symulacja  numeryczna, polegają ca  na  obliczeniu  zmiany w  czasie tempera- tury  w punkcie £  =   f * przy zadanej liczbie Biota, a nastę pnie odtworzenie tej liczby  Biota na  podstawie  wzorów  (1.9)  czy  (1.15)  cał kowicie  potwierdza  przydatność  tych  wzorów w  przypadku,  gdy  Bi  =  const. 6.  Wnioski Przedstawione  metody  wyznaczania  współ czynnika  przejmowania  ciepł a  oraz  liczby Biota  róż nią  się  nieco  w  zależ noś ci  od  kształ tu próbki  (badanego  obiektu)  oraz  rodzaju wewnę trznej  odpowiedzi,  na podstawie  której  wspomniane wielkoś ci  się  wyznacza.  Otrzy- mane wzory,  opisują ce  tę zależ noś ć, są proste, a do otrzymania na ich podstawie wyników wystarcza  maszyna  cyfrowa  o  nieduż ej  pamię ci  operacyjnej.  (Przedstawione  w  czę ś ci pią tej  wyniki  otrzymano  na  kalkulatorze  programowalnym  TI- 59). W  przypadku  przy- bliż ania  odpowiedzi  wewnę trznej  przez splajny  wyż szych rzę dów  należy  wziąć  pod  uwagę, iż dokł adność otrzymanej przy ich pomocy liczby  Biota zależy  w duż ym stopniu od znajo- moś ci  historii  procesu, począ wszy  od chwili  t  — 0, od kroku  czasowego,  a także  od iloś ci M ETOD Y  OKREŚ LANIA  LICZBY  BIOTA  85 posiadanych  danych.  Wobec  moż liwoś ci  wykorzystania  danych  z  wnę trza  ciał a,  a  nawet z brzegu  przeciwnego  w  stosunku  do grzanego,  przedstawione  metody  umoż liwiają   okre- ś lenie liczby  Biota  i współ czynnika  a w  takich  warunkach, gdy  nie  ma  moż liwoś ci  doko- nania  pomiaru temperatury  na  brzegu  grzanym,  lub  gdy  pomiar  taki jest  bardzo  trudny do  przeprowadzenia.  Prezentowane  tu  podejś cie  nie  wymaga  stosowania  procedur  itera- cyjnych,  co jest  wspólną   cechą   wielu  innych  metod, przedstawionych  w literaturze. Przy fragmentarycznych  danych  zastosowanie  podejś cia  zademonstrowanego  w  pią tej  czę ś ci pracy  pozwala  w prosty  sposób  okreś lić  przybliż oną   wartość liczby  Biota. Wydaje  się ,  iż  przedstawione  w  pracy  wyniki  mogł yby  stać  się   punktem  wyjś cia  d o zbudowania  urzą dzenia  pomiarowego,  które  na  podstawie  danych  temperaturowych, przemieszczeniowych  czy  innych  obliczał oby  wartość  liczby  Biota  czy  współ czynnika przejmowania  ciepł a. Warto  tu  też  zaznaczyć,  że  przy  znanej  wartoś ci  liczby  Biota  moż na  na  podstawie przedstawionych  wyż ej  wzorów  wyznaczyć  temperaturę   7}  czynnika  grzeją cego  w  przy- padku, gdy jest ona stał a. Wystarczy  w tym  celu przekształ cić wzór  (3.5) do postaci SA  ^ - f + iW Wzór  na  okreś lenie  T f   moż na  też  ł atwo  otrzymać  przekształ cają c  zwią zek  (2.9)  w  przy- padku,  gdy  T f  =  const.  Prowadził oby  to  do  moż liwoś ci  okreś lenia  temperatury  gazów np.  w silniku  rakietowym  czy  odrzutowym  bez potrzeby  umieszczania  czujników  w  tymże gazie.  , Moż na wreszcie  wyznaczyć jednocześ nie  i liczbę   Biota i  temperaturę  noś nika  ciepł a T f (gdy jest  ona  stał a), jeś li  znane  są   odpowiedzi  wewnę trzne  w  dwóch  róż nych punktach badanego ciał a. Wydaje  się ,  że  rozwinię cie  metod,  przedstawionych  w  pracy,  na  przypadek  współ - czynników  zależ nych  n p.  liniowo  od  temperatury, a  także na przypadek  innych  procesów, opisywalnych  ukł adem  równań  róż niczkowych  liniowych,  mogł oby  doprowadzić  do  po- wstania  nowych  metod badań  nieniszczą cych. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  B.  STAN TSZEWSKI,  W ymiana  ciepł a, podstawy  teoretyczne, P WN   Warszawa  1963. 2.  R.  C .  M EH TA, Solution  of  the  Inverse Conduction  Problem, AIAA  Journ al,  15,  9,  1355  -  1356  (1977). 3.  J.  TALER,  Metoda  eksperymentalnego  okreś lenia współ czynnika  wnikania ciepł a  w  warunkach  nie usta- lonych,  Czas.  techn.,  1978,  43 -  46. 4.  D . R .  BAR TZ ,  A  Simple  Equation for  Rapid  Estimation  of  Rocket  N ozzle  Convective Heat  T ransfer Coefficients, Jet  Propulsion,  27,  49 -  51,  (1957). 5.  R.  C .  M EH TA, Extension  of  the  Solution of  Inverse Conduction  Problem,  I n t. J .  H eat  M ass  Transfer, 22,  1149- 1150  (1979). 6.  M. J .  CIAŁKOWSKI, K.  G RYSA,  On  a Certain Inverse Problem of  T emperature and  T hermal  Stress  Fields, Acta  M echanica,  36,  3 - 4,  169- 185  (1980). 86  K.  GRYSA 7.  R . S.  VARQA,  Functional Analysis and- Approximation  T heory  in N umerical Analysis,  Soc for  Ind.  and Appl.  M at h .,  Philadelphia,  (1971),  tł um.  ros.  Izd.  M ir, Moskwa  (1974). 8.  I , S.  G R AD STE I N ,  I. M .  Rlż lK,  T ablicy integralov,  summ,  riadov i proizvedenii,  Izd.  N auka,  Moskwa (1974). 9.  K.  G R YSA, J.  JAN KOWSKI, O sumowaniu pewnych szeregów Diniego  i trygonometrycznych,  pojawiają cych się   w zagadnieniach  mechaniki  oś rodków  cią gł ych.  Mech. Teoret.  Stos.,  16, 3, 299- 319  (1978). 10.  A. V.  LYKOV,  T eplomassoobmen — spravognik,  Izd.  Energia,  Moskwa  (1978). 11.  J . V. BEC K, N onlinear Estimation Applied to  the N onlinear Inverse Heat  Conduction Problem,  I n t. J. Heat M ass  Transfer,  13, 703- 716,  (1970). 12.  K.  G R YSA,  O  sumowaniu  pewnych szeregów Fouriera- Bessela,  Mech.  Teoret.  Stos.,  15, 2,  205- 214 (1977). P  e 3  IO  Me M E T C Ę   O n P E flE JI E H H fl  ^ H C J I A  BH O H   K 0 3 *O H I J ; H E H T A TEITJTOOEMEHA B  c r a T M   npeffCTaBJieHM   jr se  MeTOflbi  onpefleneH H H   MHCJia  E H O  H  Koac^dpiinneirra  TermooSMeHa. O 6 e  M eio flt i  BMBefleHM   n p i i  Hcnojn>30BaHHH   H H Terpajibnoro  npeo6pa3OBaH H H   J la m ia c a .  I lepBasi  meTOfl noJiyM ena  BC^eACine  p em en iiH   o6paTH oii  aajxeMn TeroionpoBOflH ocTii.  J^o BbiBefleniui  BTopoii  H cn on t- 3 o a a n o  pen ieH H e  O ^ H O H   n po6n eM M ti  xeopH H   TepMH'- iecKHX  nanpHM- cenHH. ripeflCTaBJienbi  xo we  flpyrae BO3M O>KH OCTH   o n pe^ejieH H a  m icjia  E H O .  3aTeM ,  ncnojib3yH   H eKOToptie  flaimbie  H3iviepHTejibHbie,  vprni- u  / jpyriix  CTaTLHX, Cflejiano  M ucn osyio  npoBepKy  nepEofi  MeTOflM.  BwMHcniiTejiŁHbie  pe3yjii,- cpaBH en o  c  pe3yni>TaTaMH   nonynenH M M H   flpyraM H   aBTopaMH. S u m m a r y M E TH OD S  O F   D ETER M I N ATI ON  OF  TH E BIOT  N U M BER AN D  TH E H EAT  TRAN SF ER COEF F ICIEN T I n  the paper  two methods  of  determination of the Biot  number  and the heat  transfer  coefficient  are presented.  Both  methods  are  based  on  the Laplacs  transform  techniques.  The first  method  takes  into account a solution  of an inverse heat conduction problem. In order to dsrive the second method a solution of  a problem  of t h s  thsory  of thermal stresses is exploited.  Other possibilities of the  Biot number d;termin- ation  are also  mentioned.  M aking  use  of some  measuring  data,  quoted  also in other  papsrs,  a  numerical verification  of  th e first  method  is  made.  The results  of  computation are  compared  with  those  obtained by  other  auth ors. Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 9  wrześ nia  1981 roku.