Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z1_2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2,  20  (1982) O  KLASACH   2- DRZEW W  SYN TEZIE DYSKRETN YCH  UKŁADÓW MECH AN ICZN YCH JÓZEF   W O J N A R O W S K I 1 1 STANISŁAW  Z A W I Ś L A K2 ) Politechnika Ś lą ska  w  Gliwicach Streszczenie W  pracy  sformuł owano jedno  z  moż liwych  uję ć  zadania  syntezy  ukł adów mechanicz- nych  w  reprezentacji  grafów.  Rozważ ono  ukł ady  dyskretne  zł oż one z elementów  Voigta lub Maxwella.  Wykazano,  że w zadaniu syntezy  istotne znaczenie mają   dwa  typy  szczegól- nych  2- drzew  grafu  bę dą cego  obrazem  struktury  poł ą czeń ukł adu mechanicznego. W  za- koń czeniu pracy podano algorytm  syntezy dyskretnego ukł adu mechanicznego z elementami Voigta. 1.  Wprowadzenie W  wielu  dziedzinach  nauki  i  techniki  opracowuje  się   metody  oraz  algorytmy  syntezy ukł adów  fizycznych  róż nych  typów. Zadanie  syntezy  drgają cego  ukł adu mechanicznego  moż na  ują ć  nastę pują co:  na  pod- stawie  sił owej  lub prę dkoś ciowej  funkcji  przejś cia  ukł adu należy  podać strukturę  poł ą czeń oraz  wartoś ci  liczbowe  wszystkich  parametrów  ukł adu.  W  tak  sformuł owanym  zadaniu korzystnie  jest  zastosować  model  ukł adu  w  reprezentacji  grafów.  Są   one, jak  również i  hipergrafy  [3, 8],  wygodnym  sposobem  opisu  struktury  poł ą czeń  elementów  ukł adu mechanicznego. W odróż nieniu od prac  [1], [2] uż ywane  grafy  są   obcią ż one, z zał oż enia, wagami  w po- staci wielomianów.  Funkcje przejś cia,  o których  mowa powyż ej  moż na przedstawić  w po- A- z, die Di  rfiEOi gdzie  di — z- drzewo,  D t   — pewne  zbiory  / - drzew  grafu  ukł adu  mechanicznego,  i  =   1, 2; w (')  — pewne wyraż enia-  przypisane  / - drzewom, z — wielkość  przypisana  pewnej  krawę dzi 1 }  Profesor  Instytutu  Podstaw  Konstrukcji  Maszyn 2 )  Asystent  Instytutu  M atematyki 11R  J .  WO J N AR O WS K I ,  St.  Z AWI Ś L AK grafu.  Wyraż enia  L , M  moż na przedstawić  i obliczać  wieloma  sposobami, np. za pomocą funkcji  jednoczesnoś ci  i funkcji  wyznacznikowej  [1, 2,  8]. W  niniejszej  pracy  scharakteryzowano  zbiór  D 2 ,  czyli  zbiór  2- drzew  istotnych  w pro- cesie  syntezy  dla  pewnej  klasy  ukł adów mechanicznych okreś lonych  w rozdziale 2. D efinicje  takich  poję ć, jak  ukł ad mechaniczny  [2], funkcja  przejś cia  [4, 8], graf, cha- rakterystyki  grafu  [5], liczba  strukturalna, dział ania  na  liczbach  strukturalnych  [2, 6, 8] przyjmujemy  za znane. W  modelowaniu  ukł adów mechanicznych za pomocą   grafów  istotne znaczenie  odgry- wają   pewne  zbiory  grafów  czę ś ciowych  danego  grafu,  a  mianowicie  drzewa  i  2- drzewa [8, s. 37]. D efinicja  1.  N iech  X  =   [LJf,   2X,   3X]  jest  grafem.  Oznaczamy  ^A"]  =  nx,  ^- drzewem grafu  X,  k  =  1,2,  ...,  rti,  nazywamy  graf czę ś ciowy  o n 1 — k  krawę dziach  nie tworzą cych cykli  ani  pę tli,  1- drzewo nazywamy  drzewem. 2. O  rozważ anych ukł adach mechanicznych W  pracy  bę dziemy  rozważ ać  ukł ady  dyskretne,  liniowe,  o  skoń czonej  liczbie  stopni swobody  n,  z  elementami  o  modelach  Teologicznych  Voigta  lub  Maxwella.  Elementy mają   niezmienne w  czasie  wł asnoś ci  mechaniczne  oraz  są   niezorientowane, tzn. zmienna jest  przekazywana  przez dany  element w  ten sam sposób  niezależ nie  od zwrotu zmiennej. N a  ukł ad,  n a  który  nał oż ono  wię zy  holonomiczne, obustronne, dział ają   wymuszenia sił owe. Przy  tych  zał oż eniach w  procesie  syntezy  ukł adu poszukujemy  struktury  funkcjo- nalnej  ukł adu mechanicznego  U w postaci modelu Teologicznego wedł ug schematu  Voigta lub  Maxwella,  speł niają cej  empiryczną   postać  funkcji  przejś cia  K(p)  postaci: gdzie: /, m,  r,  seN u  {0};  a t ,  g- t ,  e  R;  p  e  C;  N ,  R,  C  oznaczają   odpowiednio  zbiory  liczb naturalnych,  rzeczywistych  i  zespolonych. F unkcja  przejś cia  K(p)  ukł adów stabilnych  speł nia nastę pują ce  warunki  [4,  7]: 2.1.  F unkcja  K(p)  nie ma biegunów  dla takich p,  że Re(/ / ) >  0 oraz jeż eli  ma bieguny n a  osi  urojonej,  to  są   one pojedyncze  o urojonych  residuach. 2.2.  F unkcja  K(p)  nie ma zer  dla takich p,  że Re(p)  >  0. 3. Klasa  grafów układów mechanicznych W  prezentowanej  metodzie  strukturę   poł ą czeń dyskretnego  ukł adu mechanicznego U przedstawiamy  w  postaci  grafu  biegunowego  X,  mocno  spójnego,  którego  krawę dziom przyporzą dkowujemy  poszczególne  charakterystyki  ukł adu  [9,  s.  96].  Wtedy  moż na mówić  o  równoważ noś ci  X^   U  a  graf  biegunowy  X,  czyli  trójka:  graf  abstrakcyjny oraz para  funkcji  opisują cych,  zapisujemy  w postaci: (2)  X=[X,J,J], O  KLASACH  2- DRZEW  1 1 9 gdzie:  X =   [ t X, 2 X,3X]  J e s t  grafem  abstrakcyjnym,  czyli  trójką   zbiorów   X X—  zbiór wierzchoł ków,   t X—zbiór  krawę dzi,   3 X—relacja  incydencji,   3 X  <=   x Xx  2 Xx   X X,  n ato- miast  funkcje   x f,  2 f  definiujemy  nastę pują co: (3)  ifhX- >\ xS,iSl, (4)  tf- .iX  - +   [N , Z], Z  =  {miP 2 ,biP,  c t },  i =   1, 2, ...  to  zbiór  wag  krawę dzi  bę dą cych  sztywnoś ciami  dyna- micznymi,  iS, 2 S  —  para  wielkoś ci  fizykalnych  charakteryzują cych  ukł ad  U. Z  uwagi  na  to, że  graf  X ukł adu  bę dziemy  przedstawiali  bez  krotnych  krawę dzi1',  to przypisane im wagi w  ogólnym  przypadku  mogą   być wielomianami  o postaci  z{  =  m (p 2- f +bip+c t .  Zauważ my, że grafy  dyskretnych ukł adów mechanicznych posiadają   wyróż niony wierzchoł ek   x x 0   reprezentują cy  ukł ad  odniesienia  oraz n wierzchoł ków  j# f , i«-  1,...,?» reprezentują cych  masy,  z tym  że  w  ukł adach z elementami Maxwella, a wię c z szeregowo poł ą czonymi  sprę ż ynami i  tł umikami wystę pują   jeszcze  tzw.  wierzchoł ki  przegubowe. Stopień  incydencji  wierzchoł ka   x x 0   reprezentują cego  ukł ad  odniesienia  dla  ukł adów mechanicznych z elementami Voigta wynosi n+ n\   gdzie n'  oznacza ilość krawę dzi czynnych reprezentują cych  wymuszenia. W  dalszym  cią gu  bę dziemy  rozważ ać  ukł ady z jednym  wymuszeniem  sił owym ri  —  \ , ponieważ  dla  ukł adów  rozpatrywanych  w tej  pracy  speł niona jest  zasada  superpozycji. Przyjmujemy,  że krawę dź  reprezentują ca  wymuszenie  ł ą czy  wierzchoł ek  odniesienia t x 0   z pierwszym  wierzchoł kiem  t x t   reprezentują cym  masę  m x .  Jest  to jedyną   parą   wierz- choł ków  grafu  poł ą czona dwoma  równoległ ymi  krawę dziami.  G raf  czę ś ciowy X b  zł oż ony wył ą cznie z krawę dzi  biernych jest  grafem  zwykł ym  .(w  sensie  Korzana  [5]). G raf  X  ukł adu  traktujemy  jako  obraz  geometryczny  liczby  strukturalnej  A, dzię ki temu  sił ową   funkcję   przejś cia  K(p)  moż na  wyrazić  za  pomocą   funkcji  jednoczesnoś ci ( *l A + ł A \ i *\ A \ - r r,  ——  oraz  funkcji  wyznacznikowej  det \ - ^ - \  liczby  strukturalnej A  [2,  8]. cl  di  I  z  \ ól  J Mamy wówczas:  ' det( z \ dA W gdzie  2( jest  wagą   krawę dzi  ł ą czą cej  wierzchoł ek  odniesienia  !X 0  z wierzchoł kiem jX| •  reprezentują cym  badaną   odpowiedź  drgają cego  ukł adu mechanicznego. Tak  wię c  krawę dzie  „ 1 " oraz  „ / "  reprezentują   odpowiednio  wymuszenie  sił owe i od- powiedź  ukł adu. W  tych  rozważ aniach  przyjmujemy,  że są  one  skrajnymi  krawę dziami grafu  ukł adu mechanicznego (rys.  la). W  rozważ anych  grafach,  które  muszą   być  planarne  [2]  mogą   jeszcze  wystę pować krawę dzie  spn ę ż eń. Przykł adowo na rysunku  1 bę dzie to krawę dź  4. W  interpretacji  grafów  skł adniki  licznika  funkcji  K(p),  wyraż onej  wzorem  (2), są 120 J .  WOJNAROWSKI,  S t .  ZAWIŚ LAK 2- drzewami  grafu  X  (rys.  lc). Znaki funkcj i jednoczesnoś ci  okreś la  się  na podstawie prze- ciwobrazu  geometrycznego  liczby  strukturalnej  A,  graf  dualny  do X jest  przeciwobrazem liczby  A.  Tylko  grafy  planarne posiadają   graf  dualny. Krawę dzie  ł ą czą ce  wierzchoł ek  odniesienia  oraz  wierzchoł ki  reprezentują ce  masy bę dziemy nazywali  krawę dziami  masowymi. Z rozważ ań  o postaci grafu  wynika, że wszyst- kie  współ czynniki jednomianów funkcji  jednoczesnoś ci  mają   ten sam znak  (plus) bowiem krawę dzie  „ 1 " oraz  „i"  są   incydentne (ukł ad ma tzw.  strukturę  trójnikową ).  Ze struktury trójnikowej  wynika  również  nastę pują cy  warunek  na  funkcję   przejś cia (6) O  ^  \ K(p)\   <  1  dla  peR. b) 2  drzewo  : typu QX0 3  6 t yp u 0 Xn Rys.  1 4.  O postaci  2- drzew  w syntezie drgają cych układów mechanicznych O  ile  zawsze okreś lamy  zbiór wszystkich  drzew  grafu  jako  modelu ukł adu mechanicz- nego, to w zbiorze 2- drzew bę dziemy interesowali się  szczególnym ich podzbiorem. Zgodnie - r r. - TT-1  jest sumą  algebraiczną  jedno- o l  di  I mianów  odpowiadają cych  takim  2- drzewom  grafu  X,  których  kolumnowa  reprezentacja wystę puje  równocześ nie  w  liczbach - r- r-  oraz- ^rr-.  Innymi  sł owy  interesują   nas  tylko  te 2- drzewa,  które stają   się   drzewami  grafów  zredukowanych X t   oraz X(  powstał ych z  grafu X  przez zwarcie koń ców  odpowiednio krawę dzi  1 oraz i, Te  szczególne  2- drzewa  charakteryzuje  nastę pują cy  lemat. O  KLASACH   2- D RZEW  1 2 1 Lem at  1. O  postaci  2- drzew  grafu  biegun owego  bę dą cego  m odelem u kł ad u  m ech an icz- nego. Z ał oż en ia: X—  graf reprezen tują cy  ukł ad  m echaniczny dyskretn y  skł adają cy  się   z  elem en - tów  Voigta. A —  liczba  st ru kt u raln a  taka,  że  graf X  jest  obrazem  geom etryczn ym . dA  dA Teza:  szczególne  2- drzewa  reprezen tują ce  kolum n y  liczby  - 37- n - ^ T-   są   dwu  t yp ó w: X a   —  dwudrzewa,  kt ó re  n ie  zawierają   krawę dzi  m asowych.  Jedn a  skł adowa  spójn oś ci rozpię ta jest  n a  wierzch oł kach  masowych  (jest  drzewem  grafu  gen erowan ego  przez wierzchoł ki  m asowe),  druga  jest  zdegen erowan a,  tworzy  ją   izolowan y  wierzch oł ek Xjj —  dwudrzewa,  których  obie  skł adowe  spójnoś ci  zawierają   krawę dzie.  D o  jed n ej  skł a- dowej  należą   wierzchoł ki  leż ą ce  p o d  krawę dziami  sprzę ż enia  i  wierzchoł ek  odn iesien ia. D o  drugiej  skł adowej  spójnoś ci  pozostał e wierzchoł ki  reprezentują ce  m asy.  K rawę dzie należ ą ce  d o  obu  skł adowych  spójnoś ci  tworzą   drzewa  podgrafów  rozpię tych  n a  o d p o - wiednich  zbiorach  wierzchoł ków. dA  dA D o wó d :  szczególne  2- drzewo  X a   reprezentuje  ko lu m n ę  liczby  strukturaln ej  — -   n  — —, bo  operacja  zwarcia  koń ców  krawę dzi  1  oraz  i  prowadzi  do  powstan ia  grafów  X L   o raz Xi  o  iloś ci  wierzchoł ków  o jeden  mniejszy  niż  w  grafie  - STOÂI  =   \ XĄ   =   n 1   — 1),  a  krawę - dzie  tego  2- drzewa  tworzą   teraz  graf  czę ś ciowy  spójny  grafów  przekształ con ych X t   o raz Xi,  bez  pę tli  i  cykli,  o  «x—2  =   \ Xi\  — l  =   \ Xx\ -   1  krawę dziach,  czyli  drzewo  grafów  Xt oraz  Xi.  P on ieważ  grafy  X t   o raz  X t   są   obrazam i  geom etryczn ym i  liczb  - -̂   oraz - 7— wię c  kolum n a  zł oż ona  z  n u m erów  krawę dzi  2- drzewa  znajdzie  się   w  obu  tych  liczbach . dA  BA Szczególne  2- drzewo  Xp,  reprezen tuje  jedn ą   z  ko lu m n  liczby  ^ r n ^ " >  bo  zwarcie dwóch  skł adowych  spójnoś ci  wierzchoł kam i  przyn ależ n ymi  do  róż n ych  skł adowych  n ie powoduje  powstan ia  cyklu  i  prowadzi  do  powstan ia  spójnego  grafu  czę ś ciowego  X L ,  Xi grafów  przekształ con ych X x   oraz X t   w  zależ noś ci  od  zwarcia  krawę dzi  a  m ian owicie zwarcie  , ,  ,  zwarcie 0  krawę dzi  1 °  krawę dzi  i M am y  lĄ Π =   \ X t \   oraz  X lt Xi  posiadają   zbiór  krawę dzi  pon um erowan ych  t ym i  sam ym i liczbami  n aturaln ym i, mają   wię c  taką   samą   reprezen tację   kolum n ową   (rys.  2). Lin iam i  podwójn ym i  zazn aczon o  2- drzewo  Xp  grafu  X  (rys.  2a),  drzewo  X t   grafu  X y (rys.  2b) i drzewo X t   grafu  X%  (rys.  2c). W  2- drzewie  Xp n ie może być  równ ież  drogi  z  wierz- ch oł ka  !• *<, do   t x t   an i   t x„,  b o  po  zwarciu  krawę dzi  1 lub  / powstał by  cykl,  czyli  o t rzym an y graf  czę ś ciowy  n ie  był by  drzewem  grafów  X^   lub  X t   .Q M ają c  n a  uwadze  powyż szy  lem at  m oż na  wykazać,  że  sił owa  funkcja  przejś cia  K(p} ukł adów  z  elem en tam i  Voigta  m usi  speł n iać n astę pują ce  waru n ki: 4.1.  m  e  parzystych, 4.2.  2  2, 4.3.  m - 2 nm a x + 2 ^  /  ̂   m- 2, 4.4.  I zmienia  się   co  2, 4.5.  s  =  n m !, x+ l, 4.6.  r  =   n m a i , gdzie: «maX — najwię ksza  liczba  naturalna «  speł niają ca  warunek  4.2. 5.  Algorytm  syntezy  dla  układów  mechanicznych  dyskretnych  z  elementami  typu  Voigta N a  podstawie  danej  funkcji  przejś cia  K{p)  należy  podać  graf  ukł adu mechanicznego oraz wartoś ci  wszystkich  jego parametrów. Funkcja  K(p)  musi  speł niać  warunki  2.1, 2.2,  zależ ność  6  oraz  warunki  4.1  - 4 . 51 ' . Jeż eli  funkcja  nie  speł nia warunków  4.1 - 4.5,  to  oznacza, że  nie  moż na  znaleźć ukł adu skł adają cego  się   z elementów  Voigta  realizują cego  tę  funkcję ,  co nie wyklucza  moż liwoś ci zbudowania  ukł adu skł adają cego  się  z innych elementów. Po  skonstruowaniu  grafu  obcią ż onego  ukł adu  mechanicznego  wyznaczamy  liczby strukturalne  potrzebne  do  dalszych  obliczeń  a  w  szczególnoś ci  A, dA  BA 8A  dA  BA 61 '  dl  '  di oraz dl- rv di  • N astę pnie  tworzymy  ukł ad  równań  przyrównują c  a t ,  gt  do  odpowiednich  wyraż eń zapisanych  za  pomocą   funkcji  dział ają cych  na  liczbę   strukturalną   A,  czyli  porównujemy u  dla  elementów Voigta J24  J.  WOJN AROWSKI,  St.  ZAWIŚ LAK wzory  (1)  i  (5).  Otrzymamy  i r   =   l- sĄ - p- r+2  równań.  Metodę   rozwią zywania  ukł adu równań takiej  postaci moż na znaleźć np. w pracy  [1]. Musi być wtedy  speł niony dodatkowo warunek: 5.1.  i n >h, gdzie  i„ — ilość  niewiadomych  poszukiwanych  parametrów  ukł adu. Warunek  5.1  pocią ga za  sobą   nastę pują cą   nierówność 5.2.  m S* 6. Podany  teraz  sposób  rysowania  grafów  obcią ż onych  ukł adów mechanicznych, których wykł adniki  transmitancji  speł niają   warunki m  >  6,  m e zbioru  liczb  parzystych, 2 <  /  <  - — + 1  oraz  warunki  4.3—4.5. 1°  Rysujemy  n ±  wierzchoł ków, n x   =  —  + 1 .  Jeden z nich  t x 0   traktujemy  jako wierzchoł ek odniesienia, pozostał ych  —  wierzchoł ków  reprezentuje  masy ukł adu. 2°  Łą czymy  krawę dziami  wierzchoł ki  masowe   t Xi  z  wierzchoł kiem  odniesienia  ,,x 0   i do- ł ą czamy  krawę dź  wymuszenia  (ł ą czy  pierwszy  wierzchoł ek  masowy   1 x l   z  wierzchoł - kiem  odniesienia).  Przypisujemy  wagi  postaci  rriip2 kolejnym  krawę dziom  masowym. 3°  D la  zapewnienia  wykł adnika  /  krawę dziom  ł ą czą cym  wierzchoł ki  reprezentują ce  masy nadajemy  wagi  bp  lub  c. Wagę   bp nadajemy  1—2  razy,  pozostał ym krawę dziom  przy- pisujemy  wagi  c.  D la  róż nych  konfiguracji  takiego  przyporzą dkowania  mamy  róż ne ukł ady mechaniczne. 4°  D la zapewnienia  w liczniku wykł adnika s wagi postaci bp zmieniamy na bp + c.  Moż emy również  zmienić  wagę   krawę dzi  / - tej  na  tnp2 + bp, mp2 + c  lub  mp2+bp+c,  tak  aby suma  minimalnych  stopni  wykł adników  p  wielomianów  Z\  oraz  odpowiadają cego 2- drzewu  o najwię kszej  iloś ci  wag  postaci bp + c był a równa  s. 5°  D la zapewnienia  wykł adnika  r uzupeł niamy teraz wagi krawę dzi  masowych  o skł adniku bp, c lub  bp + c. Krawę dzie  masowe nie wchodzą   do ż adnego 2- drzewa  reprezentują cego kolumnę  liczby - T- r- n- ^r-, wię c wartoś ci  / ani ś nie  zmienimy. Aby  na podstawie danego grafu  moż na  był o  prowadzić  dalsze  etapy  syntezy  musi  być  speł niony warunek  doty- czą cy  iloś ci  parametrów  ukł adu  /,,, /„  ̂   l—s+p — r+2.  D o  niektórych  wag  krawę dzi masowych  moż na  jeszcze  dodać  skł adniki  bp  lub  c  tak,  aby  powyż sza  nierówność był a  speł niona. Moż emy to przeprowadzić  bowiem  dla s  =   0, r  =  0, /  =  -—  + 1 ,  mamy ,  m  „   3 i r   —  m—r+l—s+2  = m + - ~- + 3  =  — -m +  3, L= ~m- 2. O  KLASA.CH   2- D RZ EW 125 Zauważ my,  że  dla  m  >  6,  i n   >  i r .  Jeż eli  /, s  lub  r  zmienia  się   o  1, to  ubywa  również  po jednym  parametrze  ukł adu i  nierówność  też jest  zachowana. Przykł ad N a r yso wa ć  gr a f  u k ł a d u  r e a lizu ją c e go  fu n kcję   p r ze jś c ia  w  p o s t a c i : flóP 6+ci 5 p 5 Ą -  ...  +a 1 p+a 0   ' D la  fun kcji  (7)  wa r u n k i  4.1  -  4.5  są   sp e ł n io n e . Z a ł ó ż m y,  że  K(p)  sp e ł n ia  r ó wn i e ż  wa r u n k i 2 . 1 ,  2. 2,  3 . 1.  Z  p o st a c i  fu n kc ji  p r ze jś c ia  (7)  wyn ika ,  ż em  =   6 , / =   3 ,  s  =  l , r =   0 .  O z n a - cza  t o ,  że  lic zba  wi e r z c h o ł k ó w  gr a fu  wyn o si  \ X\   =   —  + 1  =   4.  N a  r ysu n k u  5  p r z e d st a - Z, wiono  kolejne  etapy  rysowania  grafu  i  przyporzą dkowania  jego  krawę dziom  wag. a)  .  .  b)O 1*1 1 * 0 1 - 2 = 3 - 2 =1 Jedna  krawę dź  otrzymuje wagę postaci bp. Waga drzewol2,5,6)zawiera  skład- nik  q c jc ^ .czyli  r= 0. Mamy  i.. = 8  , ir-  =10- b 3p 5 :  1  ^(minimalny  wykładnik  pwz;)+ • (minimalny  wykfodnik  p w wodze 2-  drzewa (5,61, czyli 0)- Po  zmianie  wag  krawę dzi  2,3 mamy: in=11. ir = 10, Czyli  in > ir - Wykładniki  m.l.r.s  nie uległy zmionie. Rys.  5 126  J.  WOJN AROWSKI,  St.  ZAWIŚ LAK P rzed st awio n y  sposób jest  moż liwy  do  stosowan ia  dla  ukł adów  o  m ał ej  liczbie  stopni swobody,  pon ieważ  n a  każ dym  etapie  istnieje  kilka  moż liwoś ci  przyporzą dkowan ia  wag i  dlat ego  sp o só b  ten je st  t r u d n o  algorytm izowalny. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  K.  AR C Z E WSKI ,  Analiza  I  synteza  drgają cych  ukł adów mechanicznych  metodą   liczb  strukturalnych, D ys.  doktorska, P oi.  Warszawska,  Warszawa  1974. 2.  S. BELLERT, H . WOŹ N IAC KI, Analiza i synteza ukł adów elektrycznych metodą  liczb strukturalnych, WNT, Warszawa  1968.  . 3.  A.  BU C H AC Z , Metoda grafów i liczb  strukturalnych  w badaniu drgań zł oż onych  ukł adów mechanicznych, D ys.  doktorska, Politechnika Ś lą ska,  G liwice  1978. 4.  A.  F I ALKOW,  I.  G E R ST,  T he  T ransfer Function of  General T wo  T erminal Pair  RC  N etworks,  G uart, Appl.  M ath .  Vol.  10,  N o  2,  pp.  113- 127,  July  1952. 5.  B.  K OR Z AN ,  Elementy  teorii grafów  i  sieci, Metody  i  zastosowania.  WN T, Warszawa  1978. 6.  D .  SIM SON , J.  SLOMIŃ SKI, B.  WOJD YŁO,  Charakteryzacja pierś cieni liczb strukturalnych,  Analiza struk- tury  ideał ów i pewnych  wł asnoś ci  arytmetycznych  tych pierś cieni.  Instytut  M atematyki.  UMK.  w To- run iu.  P reprint  nr  8,  Toruń  1973. 7.  L.  WEIN BERG , L inear N etwork  Analysis  and Synthesis. M c G raw- H ill, New York  1962. 8.  J.  WOJN AROWSKI,  Grafy  i liczby strukturalne jako  modele ukł adów mechanicznych.  IPKM   Poi. Ś lą ska, P TM TS  O/ G liwice  z.  38, G liwice  1977. 9.  J .  WOJN AROWSKI,  Zastosowanie grafów w analizie drgań  ukł adów mechanicznych.  PWN , Warszawa— 1  Wrocł aw  1981. 10.  J .  WOJN AROWSKI, A.  BU CH ACZ. Analiza i synteza liniowych ukł adów mechanicznych metodą  liczb struktu- ralnych.  Z N I M iP K M   z.  21/ 55,  G liwice  1974. 11.  J.  WOJN AROWSKI,  A.  BU CH ACZ.  O  moż liwoś ci  optymalizacji ukł adów mechanicznych przy  uż yciu liczb strukturalnych.  Zbiór ref,  XI I I  Sympozjonu  „Optymalizacja w  M echanice",  PTMTS  O/ Gliwice 1974. P  e 3  K)  M e O  KJIACCAX  2- AEPEBBEB  B  C H H T E 3E  flH CKPETH BIX  M EXAH KH ECKH X C H C TE M B  paSoTe  cdpopiwyjnipoBaH a  oflHa  M3  BO3Mo>Ktibix  3a,ą aM   CHHTe3a  MexaHHqecKHX  CHCTeiw  n peflcra- rpacbaivra.  PH JJ,  paccywcfleioifi  n pen craBJieH   fljin  n.HCKpeTHt>ix  CHCTOW,  COCTOHIUHX  H3 3JieMeH- T O B  < J> oiirra  H  M aKC Bejuia.  JJoKasaH O3 *rro  B  aap.aMe  CH irreaa  cymeciBeH H oe  3HaMeHHe HiweioT  flBa  THiia o c o 6wx  2- flepeBbes  r p a t p a ,  H BjiH iomerocH   H3o6pa>KeHHeM   CTpyKTypw  C BH 3H   MexaH H ^ecKoii  CHcreMbi. B  KoH ije  p a 6 o i b i  npe^cTaBJieH   anropH (J)M   cHHTe3a  flH CKperaoii  ciicTeiwbi  c  sJieiweHTaMH   ^ o f t r r a . S u m m a r y O N   T H E  CLASSES  OF  2- TREES I N  T H E SYN TH ESIS OF   D ISCRETE  M ECH AN ICAL SYSTEMS I n  the  paper  a  formulation  of  th e  problem of  synthesizing mechanical systems  has  been proposed. T h e  discussion refers  to discrete mechanical  systems  composed of Voigt's  and Maxwell's  elements. It has been  proved  that  in  the problems of  synthesis  two types  of  2- trees  graphs  (the images  of joint structure of m echanical systems) play an im portan t role. An algorithm of  the  synthesis of discrete mechanical systems with  Voigt's  elements h as  been  given. Praca  został a zł oż ona  w  Redakcji diia  23 grudnia  1980 roku.