Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z1_2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2,  20 (1982) OPTYMALN E KSZTAŁTOWAN IE BELKI TR ÓJ WARSTWOWEJ W  PROCESIE U STALON YCH , H ARM ON ICZN YCH  DRGAŃ WYMUSZON YCH ZYG MUNT  B A S I S T A  (KRAKÓW) Instytut  Mechaniki  i Podstaw Konstrukcji  Maszyn Politechnika  Krakowska R. A.  D i  TARAN TO  [1]  wyprowadził   równanie  róż niczkowe  drgań  wolnopodpartej belki  trójwarstwowej  (typu  „ sandwich"), w  której  warstwa  wewnę trzna  posiada  liniowe wł asnoś ci  lepkosprę ż yste  (moduł   zespolony)  peł nią c  rolę   elementu  tł umią cego  drgania.. Drgania  wymuszone  takiej  belki  analizowano  w  [2]. W  obu  wymienionych  przypadkach był a to belka  o stał ej gruboś ci  i stał ej szerokoś ci.  W  niniejszej  pracy uogólniono równanie podane przez D i Taranto na przypadek  belki  o  dowolnie  zmiennej  wzdł uż  osi  szerokoś ci b{x)  (rys.  1). D la  takiej  belki  sformuł owano  zagadnienie  optymalnego  kształ towania  [3], Rys.  1 (optymalnego  doboru  funkcji  b(x))  ze  wzglę du  na  minimum  (zdefiniowanej  dokł adnie niż ej)  amplitudy  harmonicznych  drgań  wymuszonych.  Problem  rozwią zano  w  oparciu o zasadę  maksimum PON TRIAG IN A  [4]. Przedstawione wyniki  otrzymano n a drodze obliczeń numerycznych przeprowadzonych  na EMC. 1. Równania róż niczkowe ruchu Podobnie jak  w  [1,2]  zał oż ymy, że warstwy  zewnę trzne  są   idealnie  sprę ż yste  o modu- ł ach  Younga  E t   i  E 3 ,  zaś  warstwa  wewnę trzna  posiada  liniowe  wł asnoś ci  lepkosprę ż yste 128 Z .  BASI STA charakteryzują ce  się   zespolonym  moduł em  Kirchoffa  G*{a>)  -   G 1 (w) + iG 2 (oi),  (co — czę stość  drgań  wymuszonych).  Pomijamy  wpływ  naprę ż eń  ś cinają cych  w  warstwach zewnę trznych  na poprzeczne  ugię cie  belki.  Zakł adamy, że przemieszczenia  poprzeczne wszystkich  warstw  są  identyczne.  W  zwią zku  z tym,  warstwa  wewnę trzna  podlega  tylko odkształ ceniu  postaciowemu.  Przyjmujemy,  że nie ma poś lizgów  mię dzy  warstwami. Rysunek  2 przedstawia  zakł adaną  deformację   elementu belki podczas drgań poprzecznych. - dx- JL L  ł Rys. 2 Przekrój  A —  C przechodzi w A'  —  C ,  B — D  w B' — D '.  Sił y  osiowe  w  zewnę trznych warstwach  wynoszą   odpowiednio ^ - ,   (2) gdzie  Ux i U3  są  przemieszczeniami  wzdł uż nymi. W warstwie wewnę trznej, zgodnie z przy- ję tymi  zał oż eniami sił a  osiowa  nie wystę puje.  N a podstawie  warunku  równowagi  sił  osio- wych  w  cał ym przekroju  belki 2\ +Ą «0,  (3) otrzymujemy du 3   Ei/ ij  dii t stą d dx u 3   = dx ' - u,. Zależ noś ci  geometryczne  (rys.  2) prowadzą   do zwią zków (4) (5) (6) OPTYMALN E  KSZTAŁ TOWANIE  BELKI 129 Oddział ywanie warstwy  ś rodkowej  na warstwy  zewnę trzne ogranicza się do sił  stycznych (rys.  3). Warunek  równowagi  elementu warstwy  1 prowadzi  do  zwią zku dx Z drugiej  strony mamy b(x)r 12   = Fx  ' (7) (8) gdzie  T 1 2 jest  naprę ż eniem  stycznym  w  warstwie  ś rodkowej.  Lepkósprę ż ystość  warstwy ś rodkowej  zdefiniowano  przez gdzie if  G jest  operatorem cał kowym  [5] i =   G r x F(t)+  {  G(t- x)^ —  dr,  (10) J O T  • • —  DO - d x- warstwa 1 element warstwy 2 warstwa  2 R ys.  3 w którym  G jest  funkcją  relaksacji  oraz  G,  moduł em  zrelaksowanym.  Biorąc  pod  uwagę (1), (8) i  (9)  otrzymujemy (U) gdzie £t?zl jest operatorem odwrotnym do i ? c .  P o uwzglę dnieniu  (4), zwią zek  (5) prowadzi do równania w którym k  = k d' E t E 3 1 1 ydb(x) - E3/ 13 h 3   ' a dx (12) Moment zginają cy  w  cał ym przekroju  belki  (rys. 4b) wynosi 9  Mech.  Teorct.  i  S tos.  1—2/ 82 130 Z .  BASI ST A II,  h, 1 +  Z 1)dF 1 +   J  (2h2- d+h3- Z3)dF3, a) ..1  l»i oś obgfctno  coł oś ri  J b) R ys.  4 gdzie cał kujemy po cał ej powierzchni przekroju  danej warstwy  oraz gdzie  6 jest odległ oś cią warstwy  I do osi oboję tnej  cał ej belki  (rys. 4a) oraz z t ,  z 3  są   współ rzę dnymi  okreś lają cymi odległ ość  danego  pun ktu  przekroju  do  osi  oboję tnej  okreś lonej  warstwy  (rys.  4a).  Ko- rzystają c  z v)dz 3 , /   zidzt  =   0; ft. - ht 1 wyrazimy  moment zginają cy  w cał ym przekroju  wzorem (1 3 ) N a  podstawie  równania belki jednorodnej d 2 M  8 2 w w  którym  M  oznacza  moment zginają cy,  w jest  przemieszczeniem  poprzecznym, q(x,  t) jest  obcią ż eniem  zewnę trznym  oraz  Q jest  masą   n a jednostkę   dł ugoś ci,  otrzymujemy OPTYMALN E  KSZTAŁTOWANIE  BELKI  131 gdzie  m  =   2(h 1 Q 1  + h 2 Q 2  + h i Q 3 ),  oraz  Q t ,  Q 2 ,  g3  są   gę stoś ciami  odpowiednich  warstw. Ponieważ 0 l l dx' wię c równanie  (12) przyjmuje  postać Równanie  (14)  i  (15)  stanowią   poszukiwany  ukł ad  równań  róż niczkowych  opisują cych ruch  trójwarstwowej  belki.  W  przypadku  b(x)  =  const  ukł ad  ten  moż na  sprowadzić do jednego  równania  6- go  rzę du  [1, 2]. 2. Warunki  brzegowe Mamy do okreś lenia  6 warunków  brzegowych  na koń cach belki  (dla x*  — 0 i x*  — L ). Mogą  to być  warunki: 1.  w(x*, t)  = O,  lub  J 1 ^ - —  =  0,  (16) 2.  M(x*, t)  =   0,  lub  8M(**'  °  =   0,  (17) oraz  warunki  dotyczą ce  przemieszczeń  i  sił  wzdł uż nych  w  przekrojach  warstw  zewnę trz- nych: 3.  G dy warstwy  zamocowane  są   tak, że ich koń ce nie mogą   się  przemieszczać w  kierunku osiowym  to «i(x*, t)  =   0.  (18) 4.  G dy \ varstwy«ewnę trzne  nie są  ze sobą   sztywno  poł ą czone; w zwią zku  z czym n a koń cu może wystą pić  tzw.  „ ukosowanie"  (rys.  6),  to * ^ i >  -   0.  -   (19) Rys.  5 ] 32  Z .  BASISTA 5.  G dy warstwy  zewnę trzne są   na  koń cach sztywno  ze  sobą   poł ą czone  (rys.  7), skutkiem czego  nie  wystę puje  „ ukosowanie",  t o  y>(x*,  t)  =  0,  czyli  (patrz  (11)) 8 dx l  i ~  (20) Rys. 7 3. Sformuł owanie problemu optymalizacji Problem  optymalizacji  zostanie  sformuł owany  dla  stanu  ustalonego  drgań  belki,  wy- muszonych harmonicznie zmiennym obcią ż eniem q(x,  t)  =  q(x~)e imt .  (21) 3.1.  Równania  stanu.  D rgan ia  wymuszone  rozpatrywan ej  belki  m oż na  przedstawić w  po st aci Równania  (14), (15) prowadzą   wtedy  do ukł adu [a.(0u" + w')]"- p 2 aii  =   p(x), ( 2 3 ) w  którym  wprowadzono  wielkoś ci  bezwymiarowe x  =  x/ L ,  u =   UL / L ,  W  =  w/ L a(x)  =  b(xL )/ d *  T C  Im  J  ^ ^  '  *  A l i G* oraz  G *  jest  moduł em  zespolonym.  Przedstawiają c  zespolone  rozwią zanie  ukł adu  (23) oraz  wymuszenie  w  postaci  w  =  w t +iw 2 ;  u  =  u 1  + iu 2 ,  p  =  Pi + ip 2   oraz  dokonują c podstawień : >'9= W'1, OPTYMALN E  KSZTAŁTOWANIE  BELKI 133 otrzymujemy  ukł ad  równ ań  róż niczkowych  pierwszego  rzę du,  n azywan ych  dalej  równ a- niami  stanu y' 2 1 y's  = 1 a y*  =   - / 1 a (2 4 ) gdzie W dalszej czę ś ci  ograniczym y  się  d o rozpatrzen ia belki  wo ln o p o d p art ej  (rys.  8) z  d wo m a wspom nianym i  sposobam i  poł ą czen ia  warstw  zewn ę trzn ych  n a  koń cu.  Ozn aczym y  t e rnrTI 7w/ , przypadek  A przypadek  B Rys.  8 przypadki  przez  „ A "  i  „ B "-  Waru n ki  brzegowe  odpowiadają ce  wym ien ion ym  p rzyp ad ko m wyraż ają   się   n astę pują co: P rzypadek  „ A " yM  =  yM  =  yd1)  =  y»(D   -   o, ys ( 0 )  =   y6 ( 0) - =   j; s ( i )  =   y6(})  =   o ,  (25A) =  o. P rzypadek  „ B " =   y 2 (o)  -   yi(i)  -   y*0)  -   o, (25B) =   0 . 3.2.  Sformułowanie  problemu.  Sformuł ujemy  problem  optym alizacji  w  sposób  n ast ę pu ją cy: Okreś lić  funkcję   a(x), speł niają cą   warun ki  ad  <  a( x)  <  ag,  gdzie  atf  i  at  są   d an ym i  ogran i- czeniami  (górnym  i  doln ym )  o raz  warun ek i * ( * ) < * * =   «0,   (27) 134  Z .  BASI STA dla  kt órej  fun kcjon ał i J *  f  (yl+yl)dx,  (28) o osią gnie  wartość  m inim alną . T a k  sform uł owan y  problem , przy  speł nieniu równań  stan u  (24) i warun ków  brzegowych (25A)  lub  (25B), jest  typowym  zagadn ien iem  optymalnego  sterowan ia  [4].  F unkcją   ste- rowan ia  jest  tutaj  funkcja  a(x)  opisują ca  kształ t  belki.  Warun ek  (27)  jest  warunkiem izoperym etryczn ym  (zadan a  z góry  obję toś ć ).  F un kcjon ał  (28), zwany  funkcją   celu  okreś la uś redn iony  wzdł uż dł ugoś ci  kwadrat  am plitudy  drgań  belki. D o  rozwią zan ia  niniejszego  problem u  zastosujemy  zasadę   maksimum  P ontriagina. Waru n ek  izoperym etryczny  (27)  uwzglę dniamy  przez  zmodyfikowanie  funkcjonał u  (28) (29) M n oż n ik  Lagran ge'a  A dobiera  się   tak  aby  był   speł niony warun ek  (27). P o  wprowadzeniu zm ien n ej X yo  =  f(y\ +y 2 2+M)dx,  (30) o otrzym ujem y  d o d at ko we  równ an ie yJ - . yJ + j>2 +  A«,  (31) wraz  z  waru n kiem y o {0)  =   0.  (32) D zię ki  t em u  fun kcjon ał   (29)  m oż na  zapisać  bardzo  prosto  ja ko h  =   yo ( i) .  (33) U twórzm y  h am ilt o n ian 12 (3 4 ) gdzie/ }  oznaczają   prawe  strony  równ ań  (24) i  (31), a  fj  są   rozwią zaniami  ukł adu równań sprzę ż on ych v ' J= ~W i'   I " = 0 ' 1 ' - > 1 2 '  < 3 5 ) speł n iają cych  warun ki  brzegowe,  okreś lone  n a  podstawie  warunków  transwersalnoś ci oznaczają   wariacje). 12 =   0.  (36) Biorą c  p o d uwagę   (33) oraz wykorzystują c  zwią zki  jo ( O )  =   0  (na podstawie  (32)) i tp'Q  = =   0  otrzym ujem y  najpierw  y 0   —  —I -  P o  wykorzystaniu  warun ków  brzegowych  (25A) i  (25B)  i  przyró wn an iu  d o  zera  pozostał ych  współ czynników  stoją cych  przy  niezależ nych wariacjach  otrzym ujem y: OPTYMALN E  KSZTAŁTOWANIE  BELKI 135 Przypadek  A V3(0)  =   vuCO) =   ViO)  — V4O)  =   O» V7(0)  =   y>8(0)  =   V7(l)  =   VsO)  -   O, =   Vio ( 0)  —  y>9(V)  =  Vi o ( l )  =   0 . Przypadek  B / clV> 3(0)+ / c2V9(0)  -   k in(G)+k 2yj10(0)  <=>  0, =   V>s(O)  =   V7(l)  =   V8(l)  = 0 ,   ; R ówn an ia  sprzę ż one  oraz  ham ilton ian  (po  opuszczeniu  wyrazów  niezależ nych  od  a ) przyjmują   postać  .  / ' . • = , • ' (37A) (37B) 1 0< x =   - vs. (38) H ( a ) =   - - J- (39) gdzie y = G 2   =   ni Z godnie  z  zasadą   m aksim um  wg  której  optym alna  funkcja  speł nia  warunek otrzymujemy: H ( a u p t ) =   sup Dla  AT>0  i  Y> 0 a.„  gdy  a*  >  a, , a*  gdy  a d   ^  a*  <  rt„ ad  gdy 136  Z .  BASISTA 4. Obliczenia numeryczne Przedstawiony problem sprowadza  się do nieliniowego  zagadnienia brzegowego  w skł ad którego wchodzą  równania (24), (38) wraz z warunkami (25A) lub  (25B) i (37A) lub (37B). N ieliniowość jest wynikiem  zwią zków  (40), które należy podstawić  w miejscu  a(x) do rów- nań  (24) i (38). Rozwią zywanie  problemu tego typu wymaga  stosowania  metod numerycz- nych.  Przedstawione  niż ej  wyniki  otrzymano po  zastosowaniu  metody  kolejnych  przybli- ż eń  [6]. Proces iteracyjny  rozpoczyna się od przyję cia  pewnej funkcji  a^ x)  jako  pierwszego przybliż enia  funkcji  optymalnej,  rozwią zania  kolejno  zagadnień  brzegowych  (24),  (25A) lub  (25B)  i  (38), (37A)  lub  (37B). N a podstawie  otrzymanych rozwią zań,  opierając  się na (40)  okreś lamy  nowe  przybliż enia    =   4.167 x l 0 - 4 ;  7 = 4 x 1 0 * ; Przyję to  obcią ż enie  stał e n a cał ej dł ugoś ci belki Pl (x)  =   10- 3;  p 2 (x)  s  0 D la  zbadania  wpł ywu  wielkoś ci  tł umienia  w  warstwie  wewnę trznej  na  optymalny kształ t  przeprowadzono  obliczenia  dla  cał kowitego  braku  tł umienia  (g 2   =   0)  oraz  przy wielkoś ci  g 2 fgi  — 0,5. Okreś lono  optymalny  kształ t belki  dla  obu  przypadków  (A  i B) zamocowania koń ców oraz dla trzech wartoś ci  0:  0.02, 0.2,  1. N a rys.  9 przedstawiono  optymalne kształ ty belki dla przypadku  „ A"  z uwzglę dnieniem  tł umienia, odpowiadają cego  podanym wartoś ciom /?• W  tabelach  podano  liczbowe  wartoś ci  funkcji  a0Pt(- *)  w  róż nych  punktach  belki  oraz wartoś ci  ugięć  )>i{x)  z  y z {x)  dla  belki  optymalnej.  D la  każ dego  przypadku  okreś lono stosunek  wartoś ci  funkcjonał u  (28)  okreś lono  dla  belki  o stał ej szerokoś ci  / ( a 0 )  do  war- toś ci  minimalnej  J(a 0[ll ). N a  rysunku  10  przedstawiono  analogiczne  wyniki  odpowiadają ce  przypadkowi  „ B"- OPTYMALNE  KSZTAŁTOWANIE  BELKI 137 10. : (3 = 0,02  J [ c x o j / J  ( < xo p t | =1. 07 5 10 20 - f- 1 X 0,0 0,1 0,2 0,3 0.4 0.5 ot  x) 10.00 U  92 20,71 2123 2435 24,68 ytxic r3 0,00 0,48 0.87 1,17 1,35 1,(1 y2x10< I O.0D - 0 j 05 - 0 , 10 - 0 . 14 - 0 , 17 - 0 . 17 X 0.0 0,1 0 2 0.3 0.4 0 5 ot(x) 40.00 40,00 13,80 13,11 12.92 12,87 yiX10' 3 0.00 0.94 1,84 2,58 3.06 3,23 y2xi0" 3 0  00 - 0 , 44 - 0  85 - 1,18 - 1 . 47 o= o; J( a0 ) , ,40 X 0,0 0.1 02 0.3 0.4 0,5 alx) 10.00 10,00 10,00 10.00 40.00 40,00 y^lO- 4 0  000 - 0 , 0 80 -   0.089 -   0,447 - 0, 711 - 0,811 y?*10"Ł O.000 - 0 , 0 09 - 0, 012 - 0 , 0 07 - 0 . 0 0 0, 0,002 0=1.0  J ( a 0 l / J ( o t o p t ) = 2 , 2 2 Rys.  9 (3=0,02  J( c t 0 ] / j( c O=i, 17 0=0,2  J ( a 0 l / j ( o ( O p i ) = 1 l 2 3 13=1.0  J(ao)/ Jlacp| l=2,80 Rys.  10 X o.o 0.1 0.2 0.3 0,4 0,5 a(x) 3 6 0 3 1B.68 11,27 17.78 23.31 25,13 yi  x i o y 0,000 0,093 0.235 0,370 0.457 0.486 y2* 1ff 4 opoo - 0.010 - O.OŁ3 -   0,087 - OJ21 - 0,133 X 0,0 0,i 0.2 0.3 0.4 0,5 a(x) 10.00 22 47 12.26 15.S6 19,86 21,10 yi  xiO" 3 0.000 0 . 1 U 0.238 0.464 0.582 0,624 y2 x1 0 Ł 0,000 - 0.018- - 0.067 - 0,132 - 0,184 - 0,203 X 0.0 0.1 02 0,3 0.4 0,5 OPMHPOBAHHE TP EXC JIOftH Oft  BAJIKH   B IIP OU ECCE YC TAH OBH BIIIH XC fl,  r AP M O t t t M E C K H X  BBIH yaC JIEH H blX  KOJIEBAH H ft B  pa6o T e  BbiBefleH bi fl:ncbH bie ypaBHeHHH   KOJieSamiił   TpexcnoftH oS  6E JI K H   ( san d wich ) c  nocTOflH H oił   TOJimHHoft  cjioeB  H  npoH3BOJiŁHo nepeiweHHoft  iim pH H e. JJjra  TaKoft  6ajnopMyjiHpyeTca B o n p o c  onTH MajiŁH oro  n oflSopa  4> VH KU H H J  on peflejun om efi  iiiH pjnry  6ajiKn  H3- 3a  MHHHMyjwa  ycpe/ ;H eH - H o r o  B^ajiŁ  fljiH H bi  KBaflpaia  aM nnirryflbi  rapjwoHHqecKHX  BbiH ywfleH H tix  KOJie6aHHfi. 4)H poBaH ne  BH yxpeH H ero  c jio a  (KOM nnencH aa  moflyjib)  peiueH a  n po6jieM 8j  o n a p a a c b Ha MaKCHMyMa  F I oin pH rH H a  H   npHMeHeHHH   3 B I H M . S u m m a r y OP TIM AL  D E SI G N   O F  TH E  TH REE- LAYER  SAN D WICH   BEAM   U N D ER  STABLE H ARM ON IC AL  EXCITATION F o r  the triple- layer  sandwich  beam,  with  the constant, thickness  and variable width  of the layers,  the differential  equations  have  been  derived.  The  problem  of optimal  choice of the  beam  width,  based  on  the minimum  of  th e  mean  square  value  (along  the  lenght)  of amplitude  of forced  harmonica! vibrations, has been  formulated. OPTYMALNE  KSZTAŁTOWANIE  BELKI  139 Taking  into consideration dampoing  in the inner layer  (complex  modulus)  an d basing  on  P on triagin 's principle  the  problem  has  been  solved  with  the  aid  of  computer. Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  20  czerwca  1980  roku.