Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z1_2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2,  20  (1982) ANALIZA  STATECZN OŚ CI PRYZMATYCZN YCH  ŁUKÓW O  OSI OD KSZTAŁCALN EJ Instytut  Fizyki Politechniki  Krakowskiej JAN   B Ł A C H T J T  (KRAKÓW) 1. Aktualny  stan zagadnienia Przyję cie  wydł uż alnoś ci  osi  ł uku  prowadzi  do jakoś ciowo  innych zagadnień  w  proble- matyce badania statecznoś ci w porównaniu np.  do ł uków bę dą cych  w  stanie bezmomento- wym  (1), gdzie przez utratę  statecznoś ci  rozumie się   wystą pienie  stanu  gię tnego.  Wyróż- niają c  w ł ukach  o  osi  wydł uż alnej  stan  deformacji  statycznej  oraz  badają c  nał oż one  n a niego  mał e,  liniowe  drgania  moż na  wyznaczyć  krytyczne  wartoś ci  obcią ż enia  i  równo- cześ nie typy  utraty statecznoś ci  (bifurkacja,  przeskok). F orma  utraty  statecznoś ci  zależy  od  sposobu  podparcia, kształ tu  osi  ł uku,  wydł uż al- noś ci  jak  również  samej  wyniosł oś ci. W  ostatnim  czasie  zagadnienia  krytycznego  i  pokrytycznego  zachowania  się   ł uków są   przedmiotem coraz  intensywniejszych  poszukiwań.  SCHREYER i  MASU R  [13] w  oparciu o metody energetyczne rozważ ają   kryteria  utraty statecznoś ci ł uku pryzmatycznego  obcią - ż onego stał ym ciś nieniem gazu.  D ICKIE i BROUG KTON  [3] rozważ ają   ł uk obcią ż ony radialnie. Praca  ma  charakter  teoretyczny  i  doś wiadczalny.  Wykorzystują c  energetyczną   metodę badania statecznoś ci  stosowaną   w  [13] autorzy  przeprowadzają   porównanie  otrzymanych rezultatów  z  danymi  doś wiadczalnymi.  Bifurkacja  luków  wyniosł ych  z  uwzglę dnieniem wydł uż alnoś ci  osi jest  rozpatrywana  przez  DYMA  [4]. U tracie statecznoś ci  oraz  pokrytycz- nemu zachowaniu  się   ł uków koł owych poddanych równomiernie rozł oż onemu  obcią ż eniu o  nie  zmieniają cym  się   kierunku  dział ania, poś wię cony  jest  rozdział  ksią ż ki  D YM A  [5]. Również  BRUSH   i  ALMROTH   [2]  rozważ ają   stateczność  koł owych  pierś cieni.  Analiza  za- chowania  się   liniowo- sprę ż ystego  ł uku  koł owego, przy  zał oż eniu hipotezy  pł askich prze- krojów i przyję ciu  nieliniowoś ci  geometrycznej  badana jest przez  SCHMIDTA  [9, 10,  11,  12]. Podstawą   analizy jest opis ł uku poprzez ukł ad sześ ciu równań róż niczkowych  zwyczajnych pierwszego  rzę du.  Praca  [12]  zawiera  ponadto przeglą d  literatury  poś wię cony  temu  za- gadnieniu  poczynają c  od  1884  r.  PLAUT  [8]  analizuje  stateczność  cią gł ych  elementów konstrukcyjnych  (prę ty,  ł uki)  obcią ż onych  niezależ nie  dział ają cymi  obcią ż eniami  typu konserwatywnego  jak  i niekonserwatywnego,  lecz  w  zakresie statycznego  kryterium  utraty statecznoś ci  [1].  Z  nieliniowego  równania  stanu  wyróż nia  się   równania  opisują ce  stan zerowy  (stan  statycznego  ugię cia  w  procesie  obcią ż enia),  wyboczenie  oraz  stan  pokry- tyczny.  Obok  wspornika  rozpatrzono  koł owy  ł uk  utwierdzony  przegubowo,  obcią ż ony 142 J .  BLACH U T pionowo  trzema  sił ami  skupionymi.  Zbadano  wpł yw  niedokł adnoś ci  przył oż enia  sił y skupionej.  KORN ISZYN   i  ISAKBAJEWA  [6]  rozważ ają  zachowanie  się  powł ok  koł owych o  stał ej  gruboś ci  z uwzglę dnieniem  warunku  statecznoś ci. Podana jest analiza form utraty statecznoś ci. Celem  obecnej  pracy  jest  zbadanie  statecznoś ci  pryzmatycznych  ł uków  z materiał u liniowo- sprę ż ystego  poprzez  analizę  mał ych, liniowych  drgań  nał oż onych  na  stan  sta- tycznego,  nieliniowego  ugię cia.  N a  przykł adzie  ł uku  koł owego  zostanie  przedstawiony zwią zek  mię dzy  formami  drgań, a formami  utraty statecznoś ci. 2.  Geometrycznie nieliniowe sformuł owanie  zagadnienia. Wyprowadzenie  równań  ruchu. 2.1.  Zwią zki  geometryczne,  prawo fizyczne.  R ozpatrzm y  ł uk  n ieodkształ cony  w  kartezjań- skim  ukł adzie  współ rzę dn ych  (rys.  1), którego  równ an ie  osi  ś rodkowej  m a  p o st ać : x =  /   cos <9(£)d£, y  - gdzie  kąt  0  mierzony jest  mię dzy  osią  OX,  a  styczną  do  osi  ł uku  w  punkcie s.  Zwią zek y \ 8+ d9 R ys.  1 Rys.  2 mię dzy  elementem dł ugoś ci ł uku ds, a zmianą ką ta dO pokazano na rysunku  2.  Krzywizna ł uku  oraz  zwią zki  mię dzy  wersorami  n,  r  zdefiniowane  są  nastę pują co: 1  dO  dn  , ,  dr ds =   - kn. (2 ) N iech  tak  opisany  ł uk ulegnie  odkształ ceniu (rys. 3). P romień  wodzą cy  dowolnego  punktu s  przed  odkształ ceniem r  oraz po  odkształ ceniu ?* zwią zane  są  z przemieszczeniem  u  nastę pują co: r*(ś ) =   Ks)+u(s),  (3) ANALIZA, STATECZNOŚ CI 143 przy  czym  zach odzą   n astę pują ce  zwią zki: =  r *— ds* —— =   A*r* s   gdzie  A\ dr* ds k* = d&* ds* dr* ~ds* (4 ) Rys. 3 Odkształ cenie  osi ś rodkowej  ł uku  e 0   w dalszym  cią gu  bę dzie  rozumiane  w  sensie miary Cauchy'ego jako: ds*~ds ds - Al- 1. ( 5 ) Odkształ cenie e warstwy  ł uku odległ ej o z w kierunku normalnej od osi  ś rodkowej  (rys. 4) może być zapisane: (R*- ż )d0*- (R- z)d& 6(2)  = Korzystają c  z (4) i (5)  otrzymujemy: 1 (R- z) - •  —T g-   {s 0 +zl(l+e 0 )k*- k]}. (6) ( 7 ) W  ukł adzie  współ rzydnych  (?,H )  zwią zanym  z  osią   nieodkształ coną ,  przemieszczenie u  zapiszemy: u—  vt+wn.  (8) Z (3) i (4)  otrzymujemy: co)?* =  (l+ ii'+ kw)T+ (w'- kv)n.  (9) 144 J.  BŁ A.CHUT K orzystając  z  ro zkł adu  wekt o ra  T *  W  bazie  ( T , / J )  otrzym ujem y  z  (9)  nastę pują cy • ukł ad  r ó wn a ń : ( l  +  £ o)cos(6> *- < 9)  =   \  +  v'+kw, - ( 1 -   £ 0)sin (6> *- 6>)  =   w ' - t ó. (10) Rys.  4 P o  p o d n iesien iu  stron am i  do  kwad rat u  równ ań  (10)  i  d o d an iu  otrzymuje  się  n astę pu- ją cy  zwią zek  m ię dzy  odkształ cen iem  osi  ś rodkowej  e 0  i  skł adowymi  przemieszczenia  v,  iv: e 0   —  — 1 +   y  (I + v'+kw)2  + (iv'— kv)2  .  (11) Wprowadzając  o zn aczen ie: •  fy =   < 9 * - 0, zapiszem y  zwią zek  m ię dzy  zm ianą  ką ta  0,  a  skł adowymi  v,  w  w  p o st aci: w  — kv =   —arct g +  v'+kw Jeś li  o zn aczym y: t o  odkształ cen ie  (6)  m o ż na  zapisać: e(z)  = . zaś  n ap rę ż en ie  (zgodn ie  z  prawem  H o o ke ' a ) a(z)  - l+ / c z  ' (12) (13) (14) (15) (16) N ależy  zauważ yć,  że  w  elem en tarn ej  t eo rii  zgin an ia  ł uków  n a  ogół  przyjmuje  się  n  = =   k* — k  (pom ijając  e 0  we  wzorze  (14)). 2.2.  Równania  ruchu. P o  podstawien iu  (16)  do  wzorów  okreś lają cych  sił y  uogóln ion e: (17) M=  - JJ  ozdA, AN ALIZ A  STATECZNOŚ CI  145 A  A (gdzie  N  oznacza  sił ę  podł uż n ą,  M  —  m om en t zginają cy)  otrzym am y  n astę pują ce  zależ- •   • • N =EAsó- EI iO k(- e> o k4xy,\ ' gdzie  [15]:  "  „ /   v  '  \   / '  .  A  ,   v  ;  ' .C  -   t- i.-S +  t  V .  l+:fc zV\ )  ( O '  .  ;  .:• .. Korzystając  z  (13),  (14)  i  (18)  otrzymujemy  n astę pują ce  równ an ia  (po  rozwią zan iu  ze wzglę du n a v\   w',  y' ) :  ."'- • '  '• • •  =•   "• '. v  =   fcw(l)+ ^k w1  =   - -   <  I  ( 1 9 ) ,  .R ówn an ia  ruchu  ukł adu  wyprowadzimy  z za sa d y'p r a c  przygotowan ych.  Waru n kiem koniecznym i wystarczają cym  równowagi  ukł adu/ poddan ego  wię zom  ustalon ym  ( t zn . n ie- zależ nym  od  czasu), jest  równ ość  zeru  sumy  prac, wirtualn ych  sił .dział ają cych, n a  u kł ad (z  uwzglę dnieniem  sił  bezwł adnoś ci)  ..  , . . ^ .  ....  •,,  ,."...  '.  * dL ~0^  . . . • :  v  (20) gdzie  d W  jest  sumą  p r a c  przygotowan ych, sił   Vtewnę tt?ipych;, 9L   zaś  sumą  p r a c  przygoto- wanych  sił  zewnę trznych. P racę  wirtualną  sił  wewnę trznych  i zewnę trznych  obliczam y  z ró wn ań : d W  =   / / f  a u d s t j  dV  m, J  (ftS e0  - W &k )ds, v  5 /   • '• '• •  A  • • •  i. przy  czym  w pracy  sił   zewnę trznych  pomijamy  p r a c ^ . p o m d n t u  poch odzą cego  o d bez- wł adnoś ci  obrotu  przekroju  poprzeczn ego  ł uku.  C ał kując  przez  czę ś ci  wyraż en ie (21) oraz korzystając  z równ ań  (18) i (11)  otrzym ujem y:  :  ••   ';- .j ' "•   w - ł ł ^ w iw  £ ;  - • o 10  Mech.  Teoret.  I  S tos.  1—2/ 82 146  J-   BŁ ACH UT oraz ÓL   =   /   {[(f  T )- QAV]ÓV+  [(/ •  n)- QAw]6wds.  (23) o  •o i  5)P osł ugując  się  (20)  (wobec  dowolnoś ci  wariacji  dv  i  5w) otrzymuje  się: Ń   *  'w  =   0,  ̂ A  . .  . *  A A  A - _  i }  (24) sm v> ~ 6  c o s v) — ( N c o sv+ Q sin v) ' — (/ •   T)+ gAw  =   0, g d z i e .  . . • , . . , M '  =   _ ( l  +  e o ) Q .  (25) Scał kowane wyrazy  dają  warunki  brzegowe  do tych  równ ań : - M6y\ ' o   -   0, [(Ń cosy>+Qsmy))óv]\ ' 0   =  0. Wprowadzając  nowe  zmienne  zależ ne  JV,  3C: otrzym am y  z  (19)  i  ( 24- 25)  ukł ad  czą stkowych  nieliniowych  równań  róż niczkowych opisują cych  nieliniowe  drgania  ł uku  sprę ż ystego: »'  =   — kw— (1—cosv»)+ £ ocosy>, •   -   . ;  w*  =   kv—siny—  e 0 sin y, V  ""  "JB/ 2 0   C °'  (2 8 ) / (/ • '  _  Ł . "̂ % / r  —•   —  K i *   — M ' = - gdzie e 0  = - = rT "( * / ^ C 0 SV"~ ":^"sm V~ 'c- '^)>  ( ^ ) z warun kam i  brzegowym i: (Mdy>)\ ' 0   =   0 , (JT< 5H - )|'O  -   0 ,  (30) -   0 . 3.  Analiza  stanu  nieliniowego  statycznego  ugię cia,  liniowych  drgań  i  stanu  krytycznego. Wprowadź my  d o . r ó wn a ń  stan u  rozwinię cia  zmiennych  stanu,  param etrów  okreś la- ją cych  odkształ cen ie osi  ś rodkowej  ł uku  i  obcią ż enie zewnę trzne, pozwalają ce  na zbadanie AN AL I Z A  STATE C Z N OŚ CI 147 mał ych  drgań  nał oż onych na  statyczne  ugię cie  lub  zbadanie  form  utraty  statecznoś ci: v(s, t)  =  v o {s)+svi(s,  t)+  ... w(s,  0  =  W oW +sfitCs, 0 +  • - Mis,  i)  m  M 0 ( s) + e M 1 ( s,  0 + q(s) = gdzie:  (/ •   T)  ==   £ ;  (f- n)  = p;  s —  mał y parametr  który  może  być  zdefiniowany  nastę- pują co:  e = Zerowy  czł on  tego  rozwinię cia  opisuje  statyczne'ugiecie  ł uku,  które jest  dane  przez nastę pują cy  ukł ad  niejednorodnych,  nieliniowych  równań  róż niczkowych  pierwszego rzę du: v' o   =   kw 0  — ( 1 — c (32) l  2 0 Ji  o gdzie D o ukł adu (32) doł ą czymy warunki  brzegowe: OI'o = 0 ; 3.1.  Opis  liniowych  drgań  luku  nał oż onych na  stan  statycznego  ugię cia.  N a  n i e li n i o we  st a t yc z n e ugię cie  ł uku  nakł adamy mał e  liniowe  drgania.  Z  (28) i  (31) po  podstawieniu: i  —  J r l exp(icot), (34) otrzymujemy  ukł ad równań 148 J.  BŁACHUT M =~ EI20 (35) z  wa r u n ka m i  brzego wym i: '  ^ o ) ^ 0, W o ) !^  0, •   (Jr o dv i +jV l dv o )] l o   =  0. R ó wn a n ia  (35) bę dziemy  n azywać  dalej  równ an iam i stan u. R ozwią zanie  równ ań stan u (35) zależy  od  rozwią zania  (v o (x),  w o (x),y) Q (x),^ 'o(x),^ 'o(,x),M o (xy)  ukł adu (32). 4. Analiza  zachowania się  obcią ż enia  zewnę trznego 4.1.  Obcią ż enia konserwatywne,  i)  cią głe  obcią ż enie  zewn ę trzne  n a  jedn ost kę   dł ugoś ci osi  x. N a  rysu n ku  5 przedst awio n o  schem at  obcią ż en ia  o  dan ej  intensywnoś ci  g(x)  n a jed- n o st kę   dł u goś ci  x. E lem en t a r n a  sił a  dF  liczon a  w  kartezjaóskim  ukł adzie  współ rzę dnych  (x, y)  m a  współ - r zę d n e: dF(0,  - g(x)dx).  (37) Rys.  5 AN ALIZA  STATECZNOŚ CI  149 N atom iast  wektor  f  <—  dFjds  obcią ż enia  zewnę trznego  m a p o st ać: / ( O ,  - £ ( s) c o s0 ( s) ).  (38) Skł adowe  (p, q)  tego  wektora,  liczon e  wzglę dem  lokaln ego  u kł adu  odn iesien ia  (n, r) moż na  zapisać: (5)—gy[x(s)]sin0(s)cos@(s)5 P -   (/ •  «) -   g x [y(s)]sm 2 e(s)+g y [x(s)]cos 2 0(s)   ( 4 O ) iii)  intensywność  obcią ż en ia  zm ien ia  się w  okreś lony  sposób. Jeś li  przyjmiemy  obcią ż enie  zewnę trzne w p o st aci: / =   f(s,  r, r',u)  =fi(s,~r,r',  u)r+f 2 (s,  r, f',  u)n  ,  (41) to  prowadzi  ono do samosprzę ż enia  ukł adu  równań  stanu  w przypadku  gdy  obcią ż enie /   posiada potencjał   V(s, r, i',  u) tzn.  \ gdzie  V{s, ~r, f,  w) oznacza  dowoln ą  funkcję. 4.2.  Obcią ż enia  niekonserwatywne.  i)  stał e  ciś nienie  zewn ę trzne  n a jed n o st kę  dł ugoś ci osi n ieodkształ con ej. Oznaczając  stał e,  zewn ę trzn e,  ciś nienie  dział ają ce  n a jed n o st kę  dł ugoś ci  osi  n ieod- kształ conej  przez  p  — po  — con st,  m oż na  ko lejn o :  wektor  /   oraz  jego  skł ad o we  (q,p) w  bazie  (n , T) zapisać: / =   p ( s*) «*  =   p o n*, ? = ( / * '  ?l  =   P o(«* '  T ) =  Posinip,  (43) .  p  =   (/ •  r}  =  p 0 Cl*  •   h) m J)0COSy. Rozwijając  skł adowe  (p,q)w  szereg: q  = p 0 siny) 0 +p 0 cosy) 0 eip i +  ... (44) p  =   p c o s v P s m v 6 V + otrzymujemy  nastę pują ce  czł ony tego  obcią ż en ia: q 0   =   i które  nie prowadzą  do sam osprzę ż en ia  równ ań  stan u  (35). ii)  stał e  ciś nienie  n a jedn ost kę  osi odkształ con ej  (ciś nienie  rzeczywiste). W  tym przypadku  elem en tarn a sił a dF -   p o ds*  •   n*.  W e k t o r / m o ż na  za p isa ć : (46) 150  J.  BŁ ACHUT zaś jego  skł adowe (j>,  g): <1  = = ( / ' ? )  =  p o ( l +  £o)sinv, -   P  ~  (f'")  = korzystając  z  (31)  i  (34)  otrzym ujem y  p o  przekształ cen iach q  =   p 0 ( l  +  £ 0o ) sin ^ o +  £ [(l  0 o ) y o V i V o o i ] P o  » (48) /5 =   p Q (l+e 00 )cosy> 0   + e[— (l +  e o o ) s i r i yo Vi + c o s Vo £ Q i ] p o +   . . . . Z  (48)  wynikają  n astę pują ce  skł adowe  obcią ż en ia: Po  =   Po(  +   o o ) y 0 5 (49) gdzie «oi  =   S T P eł ny  sch em at  klasyfikują cy  27  róż n ych  sposobów  zach owan ia  się  obcią ż enia  z  uwagi n a : • — akt u aln y  kieru n ek  obcią ż en ia —  p ro st ą  dział an ia  obcią ż en ia —  in ten sywn ość  obcią ż en ia zo st ał   opracowan y  wspóln ie  z  J .  Skrzypkiem  i  zam ieszczon y  w  jego  pracy  [12]. 5.  P rzykł ad. Ł uk  koł owy. 5.1.  Równania  opisują ce  statyczne  ugię cie  oraz  mał e, liniowe  drgania  luku.  R ozpatrywać  bę dzie- my  sprę ż ysty  ł uk  koł owy  o  dł ugoś ci  / ,  prom ien iu  R,  obustron n ie  sztywnie  zam ocowany, obcią ż ony  st ał ym  ciś n ien iem  h ydrostatyczn ym  p 0   liczonym  n a jedn ostkę  dł ugoś ci  osi  nie- o dkszt ał co n ej  (tzn .  ciś n ien ie  pozorn e) .  Przyję cie)  takiego  ciś nienia  podyktowan e  był o wzglę dami  n um eryczn ym i  i ja k  wyn ika  z  porówn an ia  wzorów  (49)  (ciś nienie  rzeczywiste) i  (45)  (ciś n ien ie  p o zo rn e) ,  n ie  pro wad zi  do  zasadn iczych  zm ian  iloś ciowych  z  uwagi  n a n ier ó wn o ś c i:  s 0Q   <̂  1  oraz  e 01   «$l. Wp ro wad zają c  n astę pują ce  zm ien n e  bezwymiarowe  i  ozn aczen ia: x  =   s/ f,  v% =  v a ll,  wg  =   wo/ f, R*A0  Po AN ALIZA  STATECZNOŚ CI  151 gdzie Q — gę stość materiał u E — moduł  Younga,  A o ,  I Q  —  oznaczają   pole  powierzchni  przekroju  poprzecznego  oraz jego moment bezwł adnoś ci w  punkcie x 0   zdefiniowanym  tak  aby  A o   I — V  (obję tość ł uku) równania opisują ce  statyczne ugię cie  ł uku  mają   postać: wg'  =   ~ev o - (l+e oo )simp o , (51) M g'  =   - gdzie A  =  Ao0(x);  ho  =  / o/ C*);  fm  = $";  v =   1, 2,  3, (52) 0  — bezwymiarowy  przekrój  poprzeczny  ł uku. D o równań  (51) doł ą czamy nastę pują ce  warunki brzegowe  wynikł e z  obustronnego sztyw- nego utwierdzenia: «*(0) =  0,  wJ(0) =  0,  vg ( 0 )  =  0, «8(i/ 2)  =   o,   vS(i/ 2)  =   o,  •  jr so / 2 )  =   o. Warunki  te  odpowiadają   symetrycznej  formie  ugię cia.  Z  (35)  otrzymuje  się   nastę pują ce równania stanu: vf, = w},'  =   - C T }' ,- (53) Aff/   =   - z warunkami  brzegowymi: 152 J .  BŁACHUT a) antysymetryczna  forma  drgań  (/  =  1) ^ ^ ( 0)  — 0,  wfi(0) -   0,  fh(fy  -   0, wfi{l/ 2)  =  0,  yK"ifi(l/ 2)  =a 0,  M ^t(l/ 2) =  0, b) symetryczna  forma  drgań  (i =   2) w|2(0)  =  0,  w?2(0) =  0,  v*2(0) =  0, w?2(l/ 2) =  0,  V'izC 1/ 2)  =  °>  ^ hO- l?)  =  0. 5.2.  Zwią zek  mię dzy drganiami, a formami utraty statecznoś ci. W celu zbadania statecznego za- chowania się  ł uku cał kowano numerycznie równania statycznego  ugię cia  (51) z warunkami brzegowymi  (52).  Otrzymane  rezultaty  dla wyniosł oś ci  s  — 1,571 i  —~ =  1/100 przedsta- wiono na rysunku  6. P un kt b (rys. 6) odpowiada krytycznej  wartoś ci  obcią ż enia dla którego (54) (55) 70 60 50 Aol 30 20 10' 1.  [ho/ l =i/ 3)o:=0.0i0000000 2.  < lyl=i/ MoC=0.005208110 3.  ( iyI  =1/8) a= 0,00130 2053 /..  (h./ Ui/ B)c<= 0,000S33333 5.  (h0/ l= 1/ 2O)a= O,00O208333 6.  lh0/ t= VW3a= Q,000008333 h  c a r o  535o  0200  osSo  0355̂   0,350 0/ D0 wod / 2) Rys.  6 0500 nastę puje  utrata  statecznoś ci  przez  przeskok.  G ał ą ź  (b—c)  odpowiada  niestatecznemu zachowaniu się  ł uku, z uwagi n a formę  symetryczną   wyboczenia. Zbiór krzywych w  funkcji param etru a zestawiono  na rys. 6. W celu okreś lenia  obcią ż enia krytycznego  odpowiadają - cego  bifurkacji  rozpatrzono  mał e,  liniowe  drgania  nał oż one  na stan  statycznego  ugię cia wyznaczony  z  rozwią zań  równań  (51) z warunkami  (52).  Wykreś lono  zależ ność  mię dzy wartoś ciami  kwadratów  czę stoś ci  antysymetrycznej  Df  i  symetrycznej  Qs,  a  ugię ciem wo(l/ 2) w ś rodku  ł uku.  Odpowiednie wartoś ci  otrzymano cał kują c numerycznie równania stanu  (53) z warunkami  (54) dla antysymetrycznej  lub (55) dla symetrycznej  linii  ugię cia. D la  - j-  *  1/100 otrzymano krzywe przedstawione na rysunkach  7 i 8. Krzywe te wspólnie  z krzywą  z rysunku  6 charakteryzują   zachowanie się  ł uku pryzmatycz- nego.  Z e wzrostem  sił y,  ugię cie  wo(l/ 2)  roś nie,  zaś  czę stość  Q s  maleje  (gał ą ź  (a—b)). W  punkcie b  (sił a  krytyczna)  nastę puje  przeskok  na gał ą ź d lub  niestateczne przejś cie po gał ę zi  (b—c) (Qs  pozostaje  wtedy  ujemne).  Począ wszy  od  punktu  c cala  gał ą ź  (c—d) AN ALIZA  STATECZNOŚ CI 153 odpowiada  statecznemu  zachowaniu  się   ł uku  (ze  wzglę du  na  wyboczenie  symetryczne). Dla  drgań  antysymetrycznych  gał ą ź  (e—f)  odpowiada  statecznemu zachowaniu  się   ł uku. Punkt  f  odpowiada  bifurkacji.  G ał ą ź  (f—h)  charakteryzuje  niestateczne  zachowanie  się I  1   I  I  I  V O - 400  - 200 200  400 600  800  1000  1200  ttOU1600  1800 n A , n s Rys.  7 2000: Rys.  8 ł uku.  Obszar  statecznoś ci  pojawia  się   dopiero  na  gał ę zi  (h—g).  Odpowiednie  obszary statecznoś ci i niestatecznoś ci, przeskok  oraz bifurkacja  mogą   być  również dobrze  zilustro- wane  w  innym  ukł adzie współ rzę dnych  (rys.  8).  D la  parametru  - j-  -   1/ 100,  1/ 10,  1/4 analogiczne wykresy zestawiono  na rys.  9, 10, 11, 12, 13, 14. h Jak  widać  z rysunku  11 i  12 dla.- y-   =   1/10  nie wystę puje  utrata statecznoś ci przez  bifur- h kację   (QA  >  0). Zaś dla —•   =   1/4 w ogóle nie jest moż liwa  utrata statecznoś ci, ani poprzez bifurkację   (gdyż QA  >  0), ani  poprzez przeskok  ponieważ  Qs  >  0. 154 J.  BŁACH U T 1  " - 1 r  i  •   i ho/1=1/20 *=1.0  / I  1   \   I / ;7 \ 1  '  1 1 * 400 200 0 200 400 600 800 1000 1200 (An 5 Rys. 9 0,100 0,200 WO ( 1 / 2 ) Rys.  10 0,300 0,400 0  100  200  3Ó0  400500 Rys.  11 l o o  5oo AN AL I Z A  STATEC Z N OŚ CI 155 Rys.  12 cyoó* Rys.  13 700 (1200  6^50 WJ1/ 2J Rys.  14 3 56  •   J .  BŁ AC H U T 6. Zakoń czenie Przedstawiona  koncepcja - wyróż nienia stanu nieliniowego, statycznego ugię cia  z równo- czesnym  nał oż eniem n a  niego  mał ych,  liniowych  drgań  oprócz swej  funkcji  prowadzą cej do  badan ia  statecznoś ci  może  być  wykorzystana  do  optymalnego  kształ towania ł uków o  osi  wydł uż alnej.  s  • ' W  zakoń czeniu  pragnę   również  wyrazić  wdzię czność  doc.  dr. hab.  inż.  Antoniemu G ajewskiemu  za  pomoc w wykonaniu  tej pracy.  /   ! Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  J .  BŁ AC H U T,  A.  G AJE WSKI ,  On  unimodal and  bimodal  optimal design  of funicular  arches,  I n t. J .  Solids Struct.,  17,  (1981),  653- 667. 2.  D . O.  BR U SH ,  B.  O.  ALM R OTH ,  Buckling  of  bars, plates  and shells,  sit.  120- 141,  Me G raw- H ill, N Y, 1975. 3.  J .  F . D I C K I E , P .  BROU OH TON , Stability  criteria for  shallow arches, J. of Engineering M ech. D iv., ASCE, 97,  (1971),  951- 965. 4.  C .  L.  D YM ,  Buckling  and postbuckling  behaviour  of  steep  compressible  arches, I n t. J.  Solids  Struct., 9,  (1973),  129- 140. 5.  C . L.  D YM ,  Stability  theory and its applications'to structural mechanics,  str.  144 -  166, N oordhoff  Inter- n ation al  Publishing,  Leyden,  1974.  j 6.  M . S.  K O R N I SZ YN ,  F . S.  ISAN BAJEWA,  Gibkije plastiny  i paneli, 'M oskwa,  1968. 7.  M .  LCVY,  Memoire  sur  un nouveau  cas  integrable  du probl&me  d'elastiaue et  Vune  de  ses  applications, Journ al  de  M athcm atique  Pures  e^  Appliquces  (Liouville),  series  3,. 10,  (1884),  5- 42. 8.  R .  H .  P LAU T,  Postbuckling analysis; of  continuous  elastic systems  under  multiple loads; part  1: theory, part  2:  applications, J .  Appl.  M ech., 2,  46,  (1979),  393- 403.  • 9.  R .  SC H M I D T,  Postbuckling  behaviour  of  uniformly  compressed  circular arches with clamped ends, Z . Angew.  M a t h .  P hys.  (Z AM P ), 30j  (1979),  553 -  556.  . 10.  R .  SC H M I D T, Initial postcritical  behaviour of  circular arches with hinged ends,  Indust. M ath., 29, (1979), 27- 37.  '• • •   " "  • • " ' . . . ' • • "  ' 11.  R .  SC H M I D T, D . A.  D AD E P P O , L arge deflections of  eccentrically loaded arches,  Z . Angew.  M ath . Phys. ( Z AM P ) ,  21,  (1970),  991. 12.  R .  SC H M I D T, Buckling  of  rings subjected to unconventional loads, Industrial M ath., 30,  (1980), 135 -  142. 13.  H . L.  SCH REYER,  E. F .  M ASU R ,  Buckling  of  shallow arches,  J.  of  the Engineering  M ech. D iv.,  ASCE, 92,  (1966),  1- 17. 14-   J .  SK R Z YP E K ,  Odkształ cenia  plastyczne i analiza form  utraty  noinoici geometrycznie nieliniowych powł ok toroidalnych,  Zeszyty  N aukowe  P oi.  Krakowskiej,  nr.  2,  1979. 15.  R .  SOŁ E C KI , J.  SZ YM KIEWIC Z ,  Ukł ady prę towe  i powierzchniowe;  obliczenia  dynamiczne, Arkady,  War- szawa,  1964. P  e 3  K>  M  e AH AJ I H 3  yC T O ft r H B O C T H   n P H 3M AT H ^ I E C K H X  BAJIOK  C ! P AC n D K H BAE M O fł OĆ Efit  ..,-   •   ' eTCH  3dj(araa  ycrroifaHBocTH   ripiraMaumecKinc apoK, B  KOTOPHX  ynoipeSjineTCH   pacra- OCH  ( H C  npHHHMaercH  B O BHHMaHHe  6e3MOMeHTHoro  COCTOH H H H ).  BbiBefleHfci  TOTOwe  ypaB - ABH>KeHHSi,  a  noTOM  BWBefleHO  HejiHHeHHoe-   cocToaH H ej  Ha  Ko ro po e  HaKJiaflUBaeTCH AN ALIZA  STATECZNOŚ CI  157 KOJieG aH H H ,  H T06bI  nOJiyWH TB  BO3M0JKH0CTE  yU H TH BaH H H   yCTOfirH BOCTH   H JIH   flJIfl  6H Ć J)yp- Kai(H i1  H J I H   flJia  n e p e c K O K a .  ^ H c n e H H w e  pe3yjiBTaTbi  n ojiy^iH JiH C b  ffnn  K p yr jio fi  a p x a S u m m a r y STABILITY  AN ALYSIS  OF   EXTEN SIBLE P RISM ATIC ARCH ES The stability  problem of  a prismatic curved  rod in which  an extensibility  of an rod axis and a  bending state  are  taken  into  account, is  discussed.  The  linear  vibrations  are  imposed  on  the  deformed  state in order to analyse the buckling problem either by a bifurcation  or by  a snap- through aprouch.  Appropriate results  for  a  circular arch under external  pressure  are  provided. Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 27  stycznia  1981  roku. Praca  wykonana  został a  w  ramach  problemu  wę zł owego  05.12  pt.  „Wytrzymał ość  i  optymalizacja  kon- strukcji  maszynowych  i  budowlanych". 11  M ech .  T eoret .  1  Stos.  1—2/ 82