Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z1_2.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2, 20  (1982) STATECZN OŚĆ EULEROWSKA  PRĘ TÓW PRZEKŁAD KOWYCH Z RD ZEN IEM  O ZM IEN N EJ  CHARAKTERYSTYCE PIOTR  A.  W R Z E C I O N I A R Z  (WROCŁAW) 1. Wstę p Pojawienie  się  tworzyw  o zmiennych wł asnoś ciach umoż liwiło otrzymanie  konstrukcji przekł adkowych  z  rdzeniami  o  zmiennej  charakterystyce  [1].  D otychczas  rozważ ono utratę  statecznoś ci pł yty przekł adkowej  z rdzeniem o celowo  zróż nicowanych na gruboś ci wł asnoś ciach  wytrzymał oś ciowych  [2]. Przedstawiono  metodę   okreś lania  sił  krytycznych grubych  pł yt przekł adkowych w przypadku  lokalnej  formy  utraty  statecznoś ci  [3]. W  ba- daniach  doś wiadczalnych  [4, 5] wykazano,  że zastosowanie  rdzenia  o zmiennej  gę stoś ci powoduje  wzrost  sił  krytycznych  fał dowania nawet  o 68% w stosunku  do pł yt przekł adko- wych  z rdzeniem  o stał ej  charakterystyce,  przy  tym samym  cię ż arze  obu rodzajów  pł yt. Praca  niniejsza  uzupeł nia dotychczasowe o przypadek  wyboczenia  eulerowskiego  prę ta przekł adkowego  z rdzeniem  o zmiennej  na gruboś ci  charakterystyce  wytrzymał oś ciowej. Analizuje  się  swobodnie  podparty prę t poddany  dział aniu jednokierunkowego  obcią ż enia ś ciskają cego  przył oż onego w pł aszczyź nie okł adzin. W celu wykazania  korzyś ci  zwią zanych ze  stosowaniem  tego  typu  konstrukcji  porównuje  się   wartoś ci  sił  krytycznych  prę tów o stał ych i zmiennych charakterystykach  rdzenia. 2. Analiza  mechanizmu utraty statecznoś ci Rozważ any  prę t przekł adkowy  (rys.  1) charakteryzuje  się  rdzeniem o zmiennej na gru- boś ci  gę stoś ci  pozornej. Tworzywo  o najwię kszej  gę stoś ci  pozornej, a wię c i  najwyż szych wł asnoś ciach wytrzymał oś ciowych,  znajduje  się  bezpoś rednio  przy okł adzinach. Rys.  2  przedstawia  przekrój  poprzeczny  tego  prę ta.  Jak  wykazał y  badania  [2, 4,  6] zmiany  w tworzywie  mają   charakter cią gł y,  przy  czym  istotne  róż nice wystę pują   jedynie w cienkich zewnę trznych warstwach  rdzenia, natomiast jego warstwa  ś rodkowa  charakte- ryzuje  się  wł asnoś ciami  stał ymi.  Moż na wię c  w rdzeniu  wyodrę bnić  trzy  warstwy:  dwie cienkie zewnę trzne o gruboś ci  t, charakteryzują ce  się  podwyż szonymi  i zmieniają cymi  się wł asnoś ciami wytrzymał oś ciowymi  oraz wewnę trzną   o wł asnoś ciach stał ych. U trata  statecznoś ci  w kierunku  osi y  (rys. 2) jest  mał o  prawdopodobna  z uwagi n a znaczną   sztywność  okł adzin  zginanych  w  swej  pł aszczyź nie.  Wyboczenie  prę ta  może nastą pić  w kierunku  osi z. Ponieważ  sztywność  rdzenia  w kierunku  osi x, w tym i jego warstw  zagę szczonych  jest  mał a  w porównaniu ze sztywnoś cią   okł adzin, wię c  się  ją   po- wszechnie  pomija.  Jest  to równoznaczne zał oż eniu, że rdzeń  nie przynosi  naprę ż eń  po- 1 1 *  i 160 P.  WRZECION IARZ dł uż nych,  które w  cał oś ci przynoszone są   przez obie okł adziny. Powszechnie też  przyjmuje się ,  że  w  cienkich  okł adzinach naprę ż enia  normalne mają   rozkł ad liniowy  na  gruboś ci  t, natomiast  naprę ż enia  ś cinają ce  są   równe  zeru.  Tak  wię c  utrata  statecznoś ci  zwią zana bę dzie  ze  zginaniem  obu  okł adzin, obu  warstw  zagę szczonych  oraz  warstwy  ś rodkowej. Obok  zginania  wystę pować  bę dzie,  charakterystyczne  dla  konstrukcji  warstwowych, ś cinanie rdzenia, który  przenosi  cał kowitą   sił ę  poprzeczną .  N aprę ż enia ś cinają ce  wystę pu- ją ce  we wszystkich  warstwach  rdzenia nie mogą  być pominię te, gdyż mają   one duży wpływ na  zachowanie się   konstrukcji  przekł adkowych. Rys.  1.  Wyboczony  prę t  przekł adkowy. Rys.  2.  P rzekrój  poprzeczny  prę ta  przskł adkowego  z  rdzsniem  o  zmiennej  charakterystyce. W  rozważ anych  prę tach rdzeń  poł ą czony jest z  okł adzinami na  cał ej  ich powierzchni. W  przypadku  rdzeni  o  zmiennej  charakterystyce  nie jest  moż liwe  stosowanie  technologii spieniania  „ in  situ"  mię dzy  okł adzinami. Tak  wię c  poł ą czenie  elementów  skł adowych konstrukcji  może  odbyć się  przez  klejenie.  Z uwagi na stosowane  obecnie kleje, charakte- ryzują ce  się   znaczną   elastycznoś cią,  moż na przyją ć,  podobnie, jak  w  pracy  [3],  zał oż enie upraszczają ce  o istnieniu poś lizgów  na granicy  okł adzin i rdzenia. :  .  3. Obcią ż enia krytyczne Obcią ż enia  krytyczne  okreś lone  zostaną   dla  prę ta  swobodnie  podpartego  na  obu koń cach.  Czyni  się   przy  tym  nastę pują ce  zał oż enia wynikają ce  z p. 2 lub  też. powszechnie czynione w  przypadku  rozważ ania  konstrukcji  warstwowych: - »-   utrata statecznoś ci prę ta, o jednostkowej  szerokoś ci b, nastę puje w zakresie  sprę ż ystym, —  n a  prę t  dział a  równomierne  obcią ż enie  ś ciskają ce  P x   przył oż one  na  koń cach  prę ta . .  i  przenoszone w cał oś ei przez  obie okł adziny, STATECZNOŚĆ  EULEROWSKA  PRĘ TÓW  ł fci —  wszystkie warstwy  prę ta  są   sprę ż yste  i izotropowe,  .,  '. —  dopuszcza  się   wystę powanie  poś lizgów  na granicy  okł adzin i rdzenia, —  rdzeń  skł ada się   z  dwóch jednakowych  warstw  zewnę trznych  o  gruboś ci  t,  oraz  jedn ej warstwy  wewnę trznej  o gruboś ci  2c, —  każ da  cienka  warstwa  zewnę trzna  rdzenia  ma  wł asnoś ci  wytrzymał oś ciowe  równ e ś redniej  arytmetycznej  wł asnoś ci  ekstremalnych  w  niej  wystę pują cych. Ostatnie z przedstawionych  zał oż eń  sprowadza  w zasadzie  rozważ any  prę t przekł adko- wy  do prę ta o trójwarstwowym  rdzeniu. Jak wykazał y  cytowane badan ia  [2, 4,  6] zewnę trz- ne  warstwy  rdzenia  o  zmiennej  charakterystyce  mają   niewielką   grubość  w  stosun ku  do gruboś ci  warstwy  ś rodkowej.  P on adto w  warstwach  tych  uzyskuje  się   wł asnoś ci  o róż nym trudnym  obecnie  do  uchwycenia,  charakterze  zmian.  Przyję cie  uproszczonego  modelu, identycznego  z  przedstawionymi  w  [2, 3], zawę ża  oczywiś cie  uniwersalność  przedstawio- nych  rozważ ań. Cał kowite  ugię cie  wyboczonego  prę ta  (rys.  1) jest  sumą   ugię ć  czę ś ciowych,  z  których w g   pochodzi  od  zginania,  n atom iast  w s   od  sił  poprzecznych  wystę pują cych  w  rdzen iu. w = w , + w s .  (3.1) N a  podstawie  klasycznej  teorii  gię cia  moż na  napisać,  że d 2 w  M g d z i e :  •   •   :•   •  • B jest  sztywnoś cią   na  zginanie. Od  sztywnoś ci  poprzecznej  S zależy  ugię cie  w a dX  ,„  - . - ^ - ,  ,  (3.3) przy  czym 8X   x   dx 1 Równanie  (3.1) moż na wię c  przedstawić  w postaci Pamię tając  o tym,  że  M  =   P •   w  moż na napisać d 2 w  P x - w ~dx 2 ~  B lub  po przekształ ceniach 162  P . WRZECION IARZ D la  warunków  swobodnego  podparcia prę ta na obu koń cach  mamy x  =  0  w = 0 x   =  /   w =  0 Oczywiś cie  powyż sze  warunki  brzegowe  odnoszą   się  tylko  do sumy  ugię ć  w, a nigdy do  w g  lub w s  oddzielnie. Rozwią zanie  równania (3.7) przy  zał oż onych- warunkach brzego- wych  przyjmuje  ostateczną  postać '  P.t. -   P' p   (3.8) Sił a eulerowska  P E  okreś lona bę dzie zależ noś cią P E   = - ^ B  (3.9) Przed przystą pieniem  do dalszych  rozważ ań przyjmuje  się , że n  —  1, gdyż wówczas  otrzy- muje  się  najmniejszą   wartość  sił y  wybaczają cej. W  sztywnoś ci  na zginanie B (3.9) uwzglę dnić należy zginanie obu okł adzin, obu warstw zagę szczonych  oraz warstwy  ś rodkowej B  = E t - J t +E r - J r   + E c - J c .  (3.10) Odpowiednie  momenty  bezwł adnoś ci  oblicza  się  jedynie  wzglę dem  osi ś rodkowej  prę ta, gdyż  sztywnoś ci  na zginanie  okł adzin i  warstw  zagę szczonych  liczone  wedł ug wł asnych osi  są  pomijalnie  mał e  dla rozważ anego  przypadku  (cienkie  okł adziny, cienkie  warstwy zagę szczone).  M oment bezwł adnoś ci  okł adzin okreś la  zależ noś ć: (2t r +2c) 3 12  12 lub 2 ,  =  ~l(t+t r +c) 3 - (t r +cy].  (3.12) Analogicznie  moment bezwł adnoś ci warstw  zagę szczonych  wyniesie 2  „ M om ent bezwł adnoś ci warstwy  ś rodkowej J (3.14) U wzglę dniając  zależ noś ci  3.10- f- 3.14  sił a  eulerowska  okreś lona  może być równaniem P  {~ { E t [ ( t + t r   +  c ) ( t r + c y ]  +  E r [(t r   +  c ) - c ]  +  E c   c 3 } .  (3.15) Sił a P s , zwią zana  z efektem  przekł adkowym, uwzglę dnia  ś cinanie we wszystkich  fragmen- tach  rdzenia,  zarówno  tych  o stał ej, jak i  zmiennej  charakterystyce.  Jak wiadomo jest STATECZN OŚĆ  EULEROWSKA  PRĘ TÓW  163 ona  równa  iloczynowi  powierzchni  przekroju  rdzenia  A  oraz  moduł u  sprę ż ystoś ci  po- przecznej  G. S  =  A- G  (3.16) D la  rozważ anego  prę ta przekł adkowego  otrzymamy P,  =  2- c- b- G c   + 2- t f - b- G,  (3.17) D la  prę ta  o jednostkowej  szerokoś ci  moż na oczywiś cie  napisać P s= =   2 c G c + 2 f r - Gr .  (3.18) Uwzglę dniając  (3.15) i (3.18) silę  krytyczną   z równania  (3.8) opisuje  ostatecznie zależ ność 2c- G c +2ł r - G r   . Postę pując analogicznie okreś lić moż na sił ę  krytyczną   dla prę ta obustronnie zamurowanego lub  o  mieszanych  warunkach  brzegowych.  W  tych  przypadkach  zależ ność  (3.9)  ulegnie zmianie podobnie jak  dla prę tów jednorodnych, podczas gdy  (3.8), (3.10) i (3.18) pozostaną w tej  samej postaci. 4. Porównanie prę tów przekł adkowych z rdzeniami o stał ych i zmiennych charakterystykach W  celu  sprawdzenia  efektów  zwią zanych  z  ewentualnym  stosowaniem  prę tów  z rdze- niami o zmiennej na gruboś ci  charakterystyce  wytrzymał oś ciowej  porównuje  sieje z odpo- wiednimi  prę tami  o  klasycznych  rdzeniach spienianych.  Obliczenia  przeprowadza  się   dla rdzeni  ze  sztywnego  tworzywa  poliuretanowego,  którego  warstwy  zewnę trzne  mają   cha- rakterystyki  identyczne  do  Wcześ niej  otrzymanych  [2, 4, 5],  D obiera  się   do  nich  takie rdzenie  o stał ych wł asnoś ciach, których  gę stość  pozorna jest  równa  ś redniej  gę stoś ci  po- zornej  tych  pierwszych.  Innymi  słowy  porównanie  dotyczy  prę tów  przekł adkowych  o  tej samej  masie. Oczywiś cie  pozoptał e wielkoś ci  takie jak  wymiary  gabarytowe,  stał e materia- ł owe i grubość  okł adzin,  warunki  brzegowe  oraz sposób  obcią ż enia  są   identyczne dla  obu rodzajów  prę tów. Obliczenia  przeprowadza  się   dla  prę tów  o  dł ugoś ci  /  =   500  mm i  cał kowitej  gruboś ci rdzenia  16 mm. Wymiary  powyż sze gwarantują   pojawienie  się   eulerowskiej  formy  utraty statecznoś ci!  Przyjmuje  się   ponadto,  że  okł adziny  o  gruboś ci  t  -   1  mm  wykonane  są z blachy  duralowej  o E t   =  72,9 •   103  MPa oraz v t   =  0,3. N a  rysunku  3 przedstawiono  wykresy zmian gę stoś ci  pozornej  w trzech róż nych rdze- niach. Zgodnie z zał oż eniami przedstawionymi  w p.  3 oraz w oparciu o metodę   okreś lania zwią zków  mię dzy  gę stoś cią   pozorną  a wł asnoś ciami wytrzymał oś ciowymi  [6]  moż na okreś- lić  stał e  materiał owe rdzenia.  D la warstwy  zagę szczonej  o  gruboś ci  3  mm, I- szego  prę ta mamy E r   —  51,2  MPa oraz  G>  =   25,6 MPa,  natomiast dla warstwy  ś rodkowej  o  gruboś ci 10 mm odpowiednio E c   =   6,88  MPa i  G> =   3,44 M P a. (164 P .  WR Z EC I ON I AR Z  . Siłft  :eulerqwskja,i:- isg®.diiie- z:.3.15  wyniesie  416,9 N / mm,  a- sił a- .i*,  zgodnie  z  3; 18 — 180  N / mm.  .  .  .  -  ••   • • ;  (^statecznie  sił a  krytyczna  przyjmuje  wartość  P xkt   =   129,6  N / mm. Podane jednostki wynikają   z  rozważ ań  prę ta  o  szerokoś ci  i  =   1.  Ś rednia gę stość  pozorna rdzenia  wynosi 98,2 kg/ m 3,  a odpowiedni moduł  Younga  15,4 MPa [6]. Moż na wię c obliczyć silę  krytycz- n ą   cila prę ta z rdzeniem o stał ej charakterystyce. Wynosi  ona 95  N / mm. [mml  16  [mm]  16  [mm]. R ys.  3.  Z m ian y  gę stoś ci  pozornej  w  trzech  rdzeniach. 16 Postę pując  analogicznie  okreś lono sił y krytyczne  dla  prę tów  z rdzeniami przedstawio- nymi  na rys.; 3b i ,c oraz  dla odpowiadają cych  im prę tów z rdzeniami o stał ej gę stoś ci po- zornej.  Wyniki  obliczeń  zestawiono  w  tablicy  1.  Odpowiednio  podan o: ś rednią   gę stość pozorną   rdzenia  c ir   wartość  sił y  krytycznej  dla  prę ta  z  rdzeniem  o  zmiennej charakte- rystyce  P xtT z  oraz  dla  odpowiedniego  prę ta  o  charakterystyce  stał ej  P xktst ,  AP róż nicę mię dzy  obydwiema  wartoś ciami  sił  krytycznych  oraz przyrost  procentowy liczony  w sto- sunku  do  sił y  P X ktz- . . .  Tablica 1 .  Porównanie sil  krytycznych  prę tów z rdzeniami o stałych i zmiennych  charakterystykach 6it  • kg/ m1 98, 2 247 346, 8. Pxkrt N/ mm 129,6 304,7 364,9 - P*kr>l N / m m 95,0 263,7 324,4  • AP N/ mm 34,6 41,0 40,5 •   100°/ • fjilcri / o 36,4 15,5  • 12,5 Z  przedstawionego  zestawienia  wynika,  że  wybaczają ce  sił y  krytyczne  dla  prę tów z  rdzeniami o  zmiennej charakterystyce  są   wię ksze niż dla prę tów z rdzeniem o tej  samej ś redniej  gę stoś ci  ppzornej lecz charakterystyce stał ej.  Podobnie jak  dla  pł yt róż nica ta jest najwię ksza  dla  najniż szej  ś redniej  gę stoś ci  pozornej rdzenia i maleje  wraz  z jej  wzrostem. P odane przykł ady wykazał y, że w przypadku stosowania obecnie wytwarzanych rdzeni poli- uretanowych  o  zmiennej  charakterystyce  moż na  pominą ć  sztywność  zginania  warstwy ś rodkowej,  k1;óra jest znacznie mniejsza  od sztywnoś ci  na zginanie obu  okł adzin i warstw zagę szczonych.  M oż na  wię c  tym  samym  uproś cić zależ ność  3.10  i  dalsze  w konkretnych obliczeniach inż ynierskich. Wykazane  w  poprzednich pracach korzyś ci  pł yną ce z  zastosowania  konstrukcji  prze- STATECZN OŚĆ  EULEROWSKA  PRĘ TÓW  165" kł adkowych  z  rdzeniami  o  zmiennej  charakterystyce  znalazł y  również  potwierdzenie w  niniejszym  opracowaniu.  N ależy  spodziewać  się ,  że  ewentualne  dalsze  prace  mogą ; również  wykazać  celowość  wprowadzenia  tego  typu  elementów  w  miejsce  dotychczas, stosowanych  konstrukcji  przekł adnikowych  o  stał ych  charakterystykach  rdzenia. Przedstawiona  propozycja  okreś lenia  statecznoś ci  prę tów przekł adkowych z rdzeniem o  zmiennej charakterystyce  nie jest  jedyną   moż liwą.  Zastosowanie  innych  metod oblicze- niowych  takich, jak  n p. MES pozwoli  na bardziej  efektywne  analizowanie zjawisk  wystę - pują cych  w  konstrukcjach  warstwowych  o  celowo  zróż nicowanych wł asnoś ciach  wytrzy- mał oś ciowych  materiał u rdzenia. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  L.  STRICKER,  P .  WR Z E C I ON I AR Z ,  Konstrukcyjny  element przekł adkowy,  P aten t  N r  86955. 2.  P .  WRZ EC ION IARZ ,  Statecznoś ć  pł yty  przekł adkowej  z  rdzeniem  o  zmiennej charakterystyce,  R ozprawa doktorska,  Kom un ikat  I KiE M   nr  159,  P oi.  Wrocł .  1976. 3.  P . WRZ EC ION IARZ , L okale  Stabilitiit  von Sandwichplatten mit  Kernen veraderlichen Festigkeit,  Forschung im  Ingenieurwesen, vol.  45,  n r  6,  1979. 4.  P .  WRZ ECION IARZ ,  Badania statecznoś ci  pł yt  przekł adkowych  z  rdzeniem  o  zmiennej  charakterystyce, I I I  Symp.  Statecznoś ci  Konstrukcji,  Łódź  1979. 5.  P .  WR Z E C I ON I AR Z ,  Stability  investigations  of  variable'  density  core  sandwich.  Jou rn al  of  the- Engineering  M echanics, Proceedigns  of  AŚ CE 6.  P .  WRZ EC ION IARZ ,  W ł asnoś ci wytrzymał oś ciowe  tworzyw  quasi- warstwowych,  Przeglą d M echaniczny,. N r  5,  1981. P  e 3 K)  M e aft jI E P O BA  yC T O ft a H B O C T B  TP EXC JTOflH LI X  C TE P JK H E fl  C  3AI I O J I H H T E J I E M O  r iE P E M E H H O ft XAP AK T E P H C T H K E B  paSoTe  pacciwoTpena npo6nejna  noiepH  afinepoBoił   ycToirtSHBoerH  TpexoroftH oro  crepWHa  c  3a- o  MaKCHMantHBix  cBOH creax  ripn  ruiacTHHe  H  ymeH buiH BaiomH xcH   B  H a n p a sjit eH io  c e p e - 3anojiH H TeJiH .  BbffieAeHŁi  ypaBH emiH   Kpirom ecKoii  H arpy3iKHMaeMoro B njiocKociH   nnecTH H . CpaBH eH H e pe3yn tTaT0B  # J I «  TpexcnoflH bix  c r ep wH eii c  3enojiH H TejjH jra  o  nocroH H H oft  it  nepeineH H oft  xapaKiepH CTH Ke  noKa3bm aeT  n peBocxoflcrBO  3TH X. BTOpHŁK. S u m m a r y OVERALL  IN STABILITY  OF   SAN D WICH   STRU TS  WITH   A  C ORE  OF   VARIABLE CH ARACTERISTIC The  problem  of  overal  instability  of  a  sandwich  strut  with  a  core  of  the  highest  strenght  properties near  the  faces  and  decreasing  towards  to  the  axis  of  symmetry  is  considered.  A  formula  for  th e  critical load  for  a  strut  having  both  ends  free  supported  and  compressed  with  forces  acting  in  the  planes  of  the faces  is  derived.  The  calculation  shows  superiority  of  sandwich  struts  with  the  core  of  variable  characte- ristics  over  struts  with  constant  properties. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  10  marca  1981  roku.