Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z1_2.pdf


LIST D O  RED AKCJI

1. Tezy pracy [1], jak również prac [2], [3] podważ ają   stan wiedzy w dziedzinie transportu
energii poprzez przewodnictwo cieplne oraz przenoszenia  masy  drogą   dyfuzji,  bez podania
zadowalają cej  argumentacji. N a fakt ten zwrócił  uwagę  R. Ż elazny, opiniują c rozprawę   [2J.
W  pracach  tych  E.  Bobula  proponuje  nowy  matematyczny  model  jednowymiarowego
i  nieustalonego  procesu  transportu.  Przewodnictwo  ciepł a  lub  dyfuzja  ma  być  zacho-
wawcza  w  obszarze  skoń czonym,  o brzegu  przemieszczają cym  się   w  czasie.  Zatem Autor
zamierza  usuną ć  paradoks  nieskoń czenie wielkiej  prę dkoś ci  rozchodzenia  się   energii  lub
masy,  bę dą cy  konsekwencją   stosowania  równań  parabolicznych.  N atę ż enie' strumienia
energii  lub masy  0  E.  Bobula  przyjmuję   w  postaci:

>,  o ) ?.
gdzie x'  e  (— oo,  +  oo) — współ rzę dna poł oż enia, t e  [0, co) —  czas, p —  temperatura lub
stę ż enie,  c—- sił y  zewnę trzne,  bodź ce  wewnę trzne  lub  wypadkowa  wszystkich  oddział y-
wań,  i — wersor  na  osi  Ox'.

Po  przyję ciu  silnych  zał oż eń,  że  p(x',  0)  =  p(—x',  0),  c(x',  t)  — —c(~x',  t),  wpro-
wadzeniu  nowej  zmiennej  niezależ nej  x  —  \ / D

p
x'  i  po przekształ ceniach Autor  przedsta-

równanie bilansu  w postaci:

W pracach  [2] i [3] oraz w rozdziale 3 [1] Autor  rozważa  problem gdyc  =   0. D la  skrócenia
wywodów  w  niniejszych  rozważ aniach  zwrócono  uwagę   gł ównie n a  ten przypadek  szcze-
gólny.

2. Uwagi  krytyczne

2.1. Jeszcze  przed  znalezieniem  rozwią zania  Autor  zakł ada, że  funkcja/ ?  nie  posiada

pochodnej - ~  dla x  = 0, t  > 0. G dy natę ż enie strumienia energii lub masy podaje wzór  {1},

c  =   0,  a  proces  przebiega  w  oś rodku  jednorodnym  to  nawet  w  przypadku,  gdy  p(x,  0)
nie  posiada  pochodnych po  x  w  skoń czonej  iloś ci  punktów  Xi równanie  zachowania  ma
postać

**  N awiasy  {}.  dotyczą   numerów  wzorów  tej  pracy.  Wzory  z  rozprawy  [1]  posiadają   numery  w  na-
wiasach  ( ) .



168 J.  WACŁ AWIK

oraz  posiada  klasyczne  rozwią zanie.  Zagadnienie  takie  znane jest  pod  nazwą  problemu
Cauchy'ego  dla  równań  parabolicznych.  Jego  rozwią zaniem  jest  cał ka  Poissona,  która
jest nieskoń czenie wiele razy róż niczkowalna wzglę dem  zmiennych x  i t  (np.  [25]). Powstaje
więc wą tpliwość  dlaczego  rozwią zanie p  musi posiadać wł aś ciwoś ci  nieistnienia pochodnej

po  x
t
  dla  x  — 0,  t  >  0.  W  przypadku  oś rodka jednorodnego pochodna —-   nie  istnieje

dla  tych  x  w  których  dział ają  punktowe  ź ródła  lub  upusty  energii  lub  masy.  Autor  nato-
miast stwierdza  ([1] str.  31) ". . . zatem otrzymane równanie ((12(  {2}  J.W.) jest równaniem

( p. \
~l—I- C/ J I  ó(x)  przedstawia  ź ródło  energii
ox  lx=o-

lub  masy.  Wskutek jego  dział ania od punktu x  =  0 pł yną dwa  makroskopowe  strumienie
energii  lub  masy  o  natę ż eniach  równych  odpowiednio:

'£
8
P

Rozwią zanie  speł niają ce  warunki  (14)  i  (15)  [1] oraz  zerują ce  się  dla  \ x\ nie

dla  trzech, a nie dla jednej  wartoś ci  x. Są to Xj  =  0,posiada  klasycznych  pochodnych

x
2
  =   +A(O> *3  — ~h{Q.  Wobec  tego  równanie  bilansu  ma postać

{4}  £ - d(x)- Bp_
dx

8p

dx

która  róż ni  się  od  (13).  Ponadto winny  być  speł nione warunki

dx dx dx

JC= + A(t)-

dx

Twierdzenie  J.  Szarskiego  [2]  „Jeż eli p(x,  0) jest  nieujemne  w  przedziale  — A(0) ^  x  ^
<  A(0) i zeruje  się na zewną trz tego przedział u i jest ograniczone dla x  - *  oo to rozwią zanie

jest  nieujemne  dla  — X(t)  <  x  <  X(t)  oraz  zeruje  się  na  zewną trz  tego  przedział u" nie
dotyczy  równania  (13), lecz równania  {4}.  Speł nienie warunku  (14) jest rezultatem dosto-
sowania  natę ż enia ź ródła  energii  lub  masy  w punkcie x  = 0 do intensywnoś ci  jej  odbioru
na  ruchomych  brzegach  obszaru,  zatem Autor  rozważa  proces  ze  ź ródł ami a  nie zacho-
wawczy jak  podaje.w  tytule. Omawiany problem może być przeformuł owany na przypadek
ź ródeł  rozł oż onych, na co zwrócił  uwagę R. Ż elazny  [2].

2.2.  Problemy  transportu masy  i  energii  stanowią  przedmiot termodynamiki procesów
nieodwracalnych  [4],  [5]. Metodologia  badania  procesów  transportu  oparta jest  na  poję-
ciach  bodź ców  (sil)  i  przepł ywów  termodynamicznych,  na  lokalnym  uję ciu  II  zasady
termodynamiki. U ż yteczne bywa poję cie  ź ródła entropii.

M oż na  przypuszczać,  że uż ywając  sł owa  „ gę stoś ć " w przypadku  dyfuzji  Autor  ma na
myś li  stę ż enie, a więc gę stość  czą stkową,  parcjalną.  W  powszechnie przyję tym  rozumieniu
tran sport  masy  przez wybraną  powierzchnię  oznacza  sumę  transportów  czą stkowych  po-
szczególnych  skł adników wyróż nialnych w ukł adzie. Transporty te mogą być  skoniugowane
lub  sprzę ż one.  Bodź cami  do  transportów  skoniugowanych  mogą  być  uł amki  molowe.
F ragmenty  tekstu  ze  str. .35 i  36 rozprawy  [1] przynoszą  rewizję  tego  ogólnie  przyję tego
stanowiska.  \ ,



O  PEWN YCH   ROZWIĄ ZAN IACH   1 6 9

,,...  transport pewnych  skł adników  odbywa  się   w  kierunku  przeciwnym  do  kierunku
wyznaczonego  przez  gradient  gę stoś ci  ...  W tym  przypadku  moduł em  napę dowym  trans-
portu  jest  potencjał   elektrochemiczny".  „Jeś li  proces  dyfuzji  posiada  strumień,  który
zależy  również  od  gę stoś ci, jak  w  przypadku  transportu  zachodzą cego  pod  wpł ywem  po-
tencjał u  elektrochemicznego  ...,  wówczas  c{x,  t)  ... jest  czynnikiem  ...  wpł ywają cym  na
kształ t rozwią zania  ..."  W  dyskusji  nad  tymi  sformuł owaniami  moż na  stwierdzić:
—  bodź cem  napę dowym  transportu  czą stkowego  jest  gradient  potencjał u  chemicznego,

a  uproszczeniem jest przyję cie  za bodziec gradientu stę ż enia,
—  transport  przeciwny  do  kierunku  wyznaczonego  przez  gradient  „ gę stoś ci"  nie  jest

wywoł any  potencjał em chamicznym lecz jest  sprzę ż ony  z innymi bodź cami,
—  potencjał   chemiczny  jako  bodziec  powinien  wystę pować  w  postaci  gradientu  a  nie

w czynniku  c(x,t),  •   ,-
—  pojawienie  się   w  równaniu  transportu skł adnika zależ ą cego  od  „ gę stoś ci"  czą stkowej

utoż samiane jest z dział aniem sił y zewnę trznej,
—  w  rozumieniu Autora  był by  to  czynnik  wewnę trzny  c(x,  t).  W  tym znaczeniu czynnik

ten reprezentuje jaką ś  wł aś ciwość  ukł adu. Jak  Autor  wyjaś nia  zmianę  znaku  tej wł aś ci-
woś ci  dla x  =   0, lub  ewentualną   niecią gł ość w tym punkcie?

x
Ponadto  biorą c  pod  uwagę  wzór  na  c(x, t)  =   —  ze  str.  27  [1] należy  stwierdzić,

że  ma  miejsce  niezgodność  zwrotów  wszystkich  bodź ców  termodynamicznych  oraz  ma-
kroskopowego  przepł ywu  energii  lub  masy.  Zatem  rozdział   4  [1]  kwestionuje  lokalne
uję cie  II  zasady  termodynamiki.

2.3.  Autor  sugeruje,  że wyraż enie  na strumień  {1}  pochodzi  od  M.  Smoluchowskiego
z pracy  [6], gdzie podany jest wzór  (niektóre oznaczenia za pracą   [1]):

gdzie  u—jest  ruchliwoś cią   czą steczek,  F—rzutem  sił y  zewnę trznej  skierowanej  równo-
legle do osi  x.

Porównują c  wyraż enie  {1}  ze  wzorem  M.  Smoluchowskiego,  uż ywanym  do  dziś  [7],
[8] należy  spostrzec, że w odróż nieniu  od wzoru  {1}  w zależ noś ci  {5}  drugi  skł adnik nie
zależy  od  współ czynnika  dyfuzji,  strumień  czą stek  transportowanych  pod  wpł ywem  sił y
zewnę trznej  (zależ nej  tylko  od  poł oż enia) jest zgodny  z jej  zwrotem.

2.4.  Odnoś nie  bibliografii.
a)  Autor  nie  uwzglę dnia  prac  dotyczą cych  problemu  przewodnictwa  cieplnego  i  dyfuzji
po  J.  B. J.  Fourierze  i  A.  Ficku.  N ależ ało powoł ać się   m.in.  na  monografie  [9],  [10],
17],  [U ],  [26]  oraz. na  prace  A.  Einsteina,  M.  Smoluchowskiego,  J.  E.  Boltzmanną ,
P. G .  Shewnona  oraz  na  twórców  termodynamiki  procesów  nieodwracalnych  [12],  [13],
[14] oraz  [4], [5], [15].
b)  Problem  impulsu  cieplnego  czy  masowego  o  „skoń czonej  prę dkoś ci"  należy  prawie
do  klasycznych,  wywodzi  się   bowiem  od  Maxwella.  Istnieje  polska  bibliografia  z  tego
zakresu  [16],  [17].  H ipotezę   Maxwella  uzasadnił   C.  Cattaneo  w  oparciu  o  kinetyczną
teorię   gazów,  implikują cą   równanie  hiperboliczne  [18],  [19].  Omawiany  problem  był
przedmiotem  prac P.  VERNOTTE  [20], M. E.  G U RTIN A  i  A. C.  PIPKIN A  [21].  Interesują ca



170  J.  WACŁAWIK

jest  koncepcja  J.  MUllera, przedstawiona  w  kilku  publikacjach  syntetycznie omówionych
w monografii  K.  WILMAŃ SKIEGO  [22],  gdzie zamieszczona jest peł na bibliografia. Podobny
wykaz piś miennictwa moż na zestawić dla zagadnienia dyfuzji,  zaczynają c  od pracy S. Gold-
steina  [23] która od  lat  znalazł a stale  miejsce  nie tylko  w  bibliografii  problemów  dyfuzji
lecz  także  przy  omawianiu  zagadnień  probabilistycznych.  Efekt  „skoń czonej prę dkoś ci"
uzyskuje  się   także w  niektórych przypadkach nieliniowych  równań  róż niczkowych  para-
bolicznych.  Wówczas  rozwią zanie  zachowuje  cią gł oś ć,  której  nie  zapewnia  równanie
hiperboliczne.  Autor  nie  cytuje  podanych  tu  czy  ewentualnie  innych  pozycji  literaturo-
wych.  W  tej  sytuacji  Autor  nie  porównuje  swojej  propozycji  z  dotychczasowym stanem
wiedzy  w  zakresie  „skoń czonej prę dkoś ci"  mimo, że problem ten ma stanowić zasadnicze
osią gnię cie  prac  [1], [2] i [3].

2.5.  Praca  nie zawiera  erraty, wię c  pragną ł bym się   nie  ustosunkowywać  do drobnych
bł ę dów, które  mogł y być naniesione w toku drukowania pracy.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  E.  BOBU LA,  Równanie  zachowawczej  dyfuzji  w przestrzeni dystrybucji a  moż liwoś ć wpł ywu na  jej prze-
bieg, Z N  AG H ,  G órn ictwo, z.  104,  Kraków  1979  r.

2.  E . BOBU LA,  Psemloź ród/ owa  hipoteza transportu parabolicznego,  rę kopis wraz z recenzjami oraz pismem
Jacka  Szarskiego  zł oż ony w  Bibliotece  Jagielloń skiej,  praca  doktorska  U J  1974  r.

3.  E .  BOBU LA,  Z N   AG H   nr  428,  M F C h  z.  19,  1975  r.

4.  K .  G U M I Ń SK I,  T ermodynamika procesów nieodwracalnych.  P WN   1962  r.
5.  S.  WI Ś N I E WSK I,  B.  STAN ISZEWSKI,  R.  SZYM AN IK,  T ermodynamika  procesów  nierównowagowych,  PWN

1973  r.
6.  M .  SM OLU CH OWSKI,  An n .  der  Physik,  48,  1915  r.

7.  W.  JOST,  Diffusion in  Solids,  L iquids  and Gases,  wyd.  4 Acad.  Press. N ew York,  1960  r.
8.  H .  SCH M ALZ RIED , Reakcje  w  stanie  stał ym,  P WN ,  1978  r.
9.  H . S.  CARSLAW,  J. C .  JAEG ER, Conduction  of  Heat  in Solids.  I I . wyd.  Oxford  1959  r.

10.  A.  V.  L U I K O W,  Analytical  Heat  Diffusion  T heory. Acad.  Press  N . York  1968  r.
11.  J .  C R AN K ,  Mathematics  of  Diffusion,  Oxford  1956  r.
12.  L.  ON SAG E R ,  Phys.  R ev.  1931  r.  37, 405,  1931  r.  38, 2265.
13.  S.  R.  de  G R O T T ,  T hermodynamics  of  Irreversible  Processes,  Amsterdam  1952  r.
14.  I .  P R I G OG I N E , Introduction  to  T hermodynamics of  Irreversible  Processes 1955  r.
15.  B.  BARAN OWSKI,  N ierównowagowa  termodynamika  w  chemii fizycznej,  P WN ,  1974  r.
16.  S.  K ALI SK I ,  Biuletyn  P AN ,  1965  r.  13,  211.

17.  S.  K ALI SK I ,  Biuletyn  P AN   1965  r.  13,  253.
18.  C .  CATTAN EO,  Atti  del  Serń.  M at.  F is.  U niv.  M odena  3,  8,  3  1948  r.
19.  C .  CATTAN EO,  C. R.  Acad.  Sci.  P aris  1958  r.  247/ 431.
20.  P .  VERN OTTE,  C R  Acad.  Sci.  P aris,  1958  r.  246,  3154.
21.  M .  E.  G U R T I N   i  A.  C .  P I P K I N .  Arch .  R ac.  Mech.  An  1S68  r.  31,  113.

22.  K .  WI LM AŃ SKI,  Podstawy  termodynamiki  fenomenolaglcznej P WN ,  1974  r.
23.  S.  G OLD STEI N ,  Quart.  J .  M ech. Appl.  M ath .  1951  r.
24.  A.  N .  T I C H O N O W, A.  A.  SAMARSKI,  Równania fizyki  matematycznej,  P WN   Warszawa  1963  r.
25.  S.  K.  G O D U N O W,  Równanie fizyki  matematycznej,  WN T  1975  r.
26.  Ł . A.  K O Z D O BA,  Metody  reSenia nelinejnych zadai  teploprovodnosti,  Moskwa  1975  r.