Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z3_4.pdf


•j
MECHANIKA
TEORETYCZNA
I  STOSOWAN A

3/ 4,  20  (1982)

M OD ELE MATEMATYCZN E F EN OM EN OLOG I C Z N EJ
PIEZOELEKTRYCZN OŚ CI

WITOLD   N O W A C K I

PAN   W arszawa

1,  Wprowadzenie

N iektóre  kryształ y,  takie  jak  kwarc,  turmalin,  sól  Seignetta  itd.  poddane  dział aniu
ciś nienia  stają   się   elektrycznie  spolaryzowanymi  (P . i  J.  Curie,  1880).  Obok  tego  efektu
piezoelektrycznego  wystą pi  efekt  odwrotny,  wywoł any  przył oż eniem  elektrycznego  po-
tencjał u do ciał a —  w efekcie  ciał o dozna odkształ cenia. Ten odwrotny efekt  został  w 1881 r.
przewidziany  przez  LIPPMAN N A  [5] na podstawie  rozważ ań  termodynamicznych  i  potwier-
dzony  doś wiadczalnie  przez  braci  CU RIE  1881, [6].

Praktyczne zastosowania  efektu  piezoelektrycznego  są   dobrze znane, przede wszystkim
w generacji fal  ultradź wię kowych,  w konwersji  energii  elektromagnetycznej  na mechaniczną
i  odwrotnie,  w  prospekcji  ciał   o  wł asnoś ciach  piezoelektrycznych  itd.  [7].

W niniejszym  artykule przedstawimy  kilka modeli matematycznych piezoelektrycznoś ci
i piezo- termosprę ż ystoś ci. Rozważ ania nasze rozpoczniemy od przedstawienia  klasycznego,
kwazistatycznego  modelu  W.  VOIG TA  [1], przechodzą c  nastę pnie  do  omówienia  bardziej
ogólnego  przypadku,  w  którym  dynamiczne  elektromagnetyczne  pole  jest  sprzę ż one
z  polem  odkształ cenia  [16].  N astę pnie  odstą pimy  od  zał oż enia  procesu  adiabatycznego
i  rozpatrzymy  kwazistyczny  model termopiezoelektrycznoś ci.  [2] [4].

Wreszcie rozpatrzmy  bardzo  ogólny  model  R.  D .  M I N D LI N A  [3], w którym  rozpatruje
się   wpływ  gradientu  polaryzacji  elektrycznej  na  elektromechaniczne  pole.  Rozważ ania
nasze  koń czy  prezentacja  dynamicznego  zagadnienia  termopiezoelektrycznoś ci  z  gra-
dientem polaryzacji.  [32]

2.  Pole  elektromagnetyczne

Rozważ ania  nasze  rozpoczniemy  od  podstaw  elektromagnetycznych  zagadnienia.
Przedstawmy  najpierw  równania  elektrodynamiki  MAXWELLA  [8]

(2.1)  r o t t f -   I+D

(2.2)  r o t / T -   - B,

(2- 3)  divZ> =   g
e
,

(2.4)  div#   =   0,



176  W.  N OWACKI

gdzie / / jest  wektorem  pola magnetycznego, J? jest wektorem  pola elektrycznego, B — wek-
torem  indukcji  magnetycznej  a D  wektorem  przesunię cia  elektrycznego,  / jest  wektorem
prą du  przewodzenia a ge — ł adunkiem  elektrycznym.

D o  równań  M axwella  dodać należy  zwią zki  konstytutywne

(2.5)  D =   s
Q
E+P,

(2.6)  B=n
Q
{H+M).

Tutaj  P  jest  wektorem  polaryzacji  elektrycznej,  M — wektorem  magnetyzacji,  e 0 >  / j, 0
oznaczają  przenikalność  elektryczną  i magnetyczną.

Równaniom  Maxwella  moż na nadać inną  równorzę dną  postać [8]

(2.7)  rotH=I+D

(2.8)  B  =   r o U

(2.9)  £ "=  - gr a d y- ,4

(2.10)  divU- s,

Posł uż ymy się tą postacią  równań  elektrodynamiki  w celu  uzyskania  równań kwazista-
tycznych.  W  równaniach  (2.7)- (2.10)  wprowadzono  potencjał   skalarny  <p  i  potencjał
wektorowy  A.

Ł atwo  się  przekonać, że z równań  (2.1)-  (2.4)  otrzymuje  się twierdzenie  Poyntinga

(2.11)  -— f  U
e
dV=  -   f  nhdA-   |  E- UV,

V  A  ,  V

gdzie

U
e
=  ED  + H  B,  h =  ExH

Równanie (2.11)  daje  się interpretować fizykalnie jako  bilans  energii  elektromagnetycznej.
Skalar  n •  h przedstawia  przepł yw  energii  elektromagnetycznej  przez  powierzchnię  A ciał a
do  otaczają cego  go oś rodka.  Wyraż enie  U

s
 = E-  D + H-  B identyfikujemy  jako  przyrost

energii  elektromagnetycznej  w czasie.  Wreszcie E •  I  reprezentxije  ciepł o  Joule'a.  Wektor
Poyntinga  h  daje  się wyrazić  przy  pomocy  potencjał ów ę  i A w sposób  nastę pują cy

(2.12)  h=  ExH  =   <p(I+D)- AxH

D la  piezoelektryków  wprowadzamy  te same  uproszczenia  co dla  niemagnetyzują cych
się  dielektryków

(2.13)  / =  0,  M =  0,  Q
C
 = 0.

D alszym  uproszczeniem  jest  przyję cie,  że A  X 0. W  tym przypadku  uproś ci  się  bilans
energii  (2.11)  do postaci

(2.14)  - ^ - f  UJV -   -   f ncpDdA =   f  JE•  DdV,
V  A  V

Z  ukł adu  równań  (2.5) -  (2.10) pozostaną  nam

(2.15)  J ?= gr a d 99,  dW D  =  0,  D =   s
0
E+P.

M am y  tu  do czynienia  z  kwazistatycznym  polem  elektrycznym

(2.16)  e
0
V

z
(p  =  d ivP ,  £ = - g r a d c j.

=  E- D



M O D E L E  M ATE M ATVC Z N E  .  ) 77

U proszczenie  A  x  0  albo  \ A\  <  (gradip) jest  sł uszne gdy  rozważ ymy  dł ugoś ci  fal  bliskie
dł ugoś ciom  fal  sprę ż ystych.  Omówienie  szczegół owe  i  teoretyczne  uzasadnienie  uprosz-
czenia  A  zz 0  znajdzie  czytelnik  w  cennej  pracy  H . F .  TIERSTEN 'A  [9].

3.  Klasyczna  teoria  piezoelektrycznoś ci  W.  VOIGTA  [1]

Zał óż my, że ciał o dozna odkształ cenia wskutek  dział ania obcią ż eń zewnę trznych i pola
elektromagnetycznego,  które  to  przyczyny  zmieniają  się  w  czasie.  Zał óż my, że  w  ciele
brak  ź ródeł   ciepł a f przewodnictwa  cieplnego  (proces  adiabatyczny).  Zastosujemy  do do-
wolnego  obszaru  V  ciał a  ograniczonego  powierzchnią  A,  zasadę  zachowania  energii

(3.1)  ~  \  Uev
t
v

t
  + u)dVm  j  X

i
v

i
dV+  j

  Pi
v

i
dA  +  j  E

t
D

t
dV

V  V  A  •   V

Tutaj  Q jest  gę stoś cią,  v
t
  — u

{
  pochodną  czasową  przemieszczenia,  A";  skł adową  sił

masowych, / ;;  =   aJt  rij  sił ą  kontaktową,  Gi}  tensorem  naprę ż enia  a  nt  skł adową  wektora
normalnej  do  powierzchni  A.  D alej  U  =   U,„+U

e
  jest  energią  wewnę trzną  (mechaniczną

i elektryczną ).
Przekształ cając  równanie  (3.1) i wykorzystując  równanie ruchu

(3.2)  <tj

otrzymamy

\ 'UclV=  f
i'  v

co prowadzi  dla  dowolnej  obję toś ci  V do lokalnego  zwią zku

(3.3)  fr- ffuju+ jr,Ą .

Ponieważ  U  s  U(e
tJ
,  £>,), to  sł uszne jest równanie

(*- &M*- X)*- ••
Równanie to  winno  być  speł nione dla  dowolnych  wartoś ci  ey,  D

t
.  Stąd  wynika,  że

(3.5)  a,  -   8 U  ,  E
t
=

  8 U  .

W  dalszych  rozważ aniach  wygodniej  bę dzie  operować  entalpią  elektryczną:

(3.6)  7 / =   ff- Ą Ą .

Eliminując  U  z  równania  (3.3)  i  (3.6)  dochodzimy  do  równania

(3.7,

Równanie  to  winno  być  speł nione dla  dowolnych  wartoś ci  s
tJ
,  E

ti
  zatem

(3.8)



178  W.  N OWACKI

R ozwiń my  entalpię  elektryczną  H(SIJ,  E
t
)  w szereg  M aclaurin a  w otoczeniu  stanu

n at u raln ego  (e,7  = 0 ,  Et — 0)  i  pomiń my  czł ony  wyż sze  od stopnia  drugiego.

(3.9)  If(eij,  Ei) =   j f E i E £

T u t aj  Cij
ki
  jest  sztywnoś cią  sprę ż ystą  przy  E\  -   const.,  e- 7—jest  stał ą  przenikalnoś ci

dielektrycznej  przy  e y  =   const.,  wreszcie  ekij  jest  stał ą  piezoelektryczną.  N a  podstawie
rozważ ań  term odynam icznych oraz  ze wzglę du  na  symetrię  tensorów  (fy i e

u
  otrzymamy

(3.10)  Cijki  =   c
kHJ

,  c,
Jk
,  —  c

Jik
i,  c

iJkl
  =   c

iJlk
,  e

ktJ
  =   e f c J ( ,  e u =   eJt

W  przypadku  ogólnym  kryształ u  trójskoś nego  mamy  21 stał ych  sprę ż ystych  c
tm

.
18  stał ych  piezoelektrycznych  £*,_,•  i 6 stał ych  przenikalnoś ci  elektrycznej  e;j- .  Ponieważ
w  przypadku  kryształ ów  centrosymetrycznych  znika  tensor  polarny,  to w ciał ach centro-
symetrycznych  n ie wystą pi  efekt  piezoelektryczny.  ,

Zważ ywszy  n a równ an ia  (3.8)  i  wyraż enie  (3.9)  otrzymujemy  nastę pują ce  zwią zki
kon stytutywn e

(3.11)  Oij -   c
lJkl

s
kl
- e

kl
jE

k
,

(3.12)  D
t
 =  ei

kl
e

kl
  +  e

lk
E

k

Wstawmy  zwią zki  konstytutywne  (3.11)  (3.12)  do  równań  róż niczkowych  rozpatrywa-
n ego  pola  sprzę ż onego

(3.13)  Ojij+Xi  =   e«t ,  Dia  =  Q.

W  rezultacie  tego  postę powania  otrzymamy  ukł ad  czterech  równań, w których  jako  nie-
zn an e  funkcje  wystą pią  trzy  skł adowe  wektora  przemieszczenia  u oraz  potencjał   elektry-
czny q>.

(3- 14)  ci
m
u

kilJ
  +  e

kiJ
(p

M
+Xi  =  QUi,

(3.15)  e
m
u

ktU
~e

ik
<p

iik
  =  0.

U kł ad  równań  (3.14)  (3.15)  winien  być  uzupeł niony  warunkami  brzegowymi,  mecha-
nicznymi i elektrycznymi.  Te  ostatnie dan e są w  postaci

(3.16)  <p  =  0(x, t)  na  . 5Ą  D
k
n

k
  =   - a  na  dB

2
,

gdzie

dB  =   dB
x
<udB

2
,  dB±ndB

2
.

Tutaj  er  jest  ł adun kiem  powierzchniowym.  Znając  rozwią zania  (u
t
,(p)  równań  (3.14)

(3.15)  wyznaczymy  wektor  pola  elektrycznego  E
t
 —  —<p

lt
  a z  równań  konstytutywnych

(3.11)  (3.12)  n aprę ż en ia a
l}
 i skł adowe wektora  przesunię cia  elektrycznego D

t
.  Polaryzację

elektryczną  Pi  wyznaczymy  ze  zwią zku

(3.17)  P
t
 =  D

t
- 8

0
E

t

Zważ ywszy  ń a  (3.6) i  (3.9)  przedstawimy  wreszcie  energię  wewnę trzną  U w  postaci

( 3 - ! 8 )  U  =   y  cim  Bu e
t
j  +  j  e

u
  Ei  Ej





180  W.  N OWACKI

4.  Sprzę ż enie  fal  sprę ż ystych  i  elektromagnetycznych

W  poprzedn ich  rozważ aniach  mieliś my  do  czynienia  z  oddział ywaniem  kwazistatycz-
nego  pola  z  ruchem  ciał a  sprę ż ystego.  Obecnie  odrzucimy  to  zawę ż enie,  rozpatrując
zagadnienie  dynamiczne,  t ak sprę ż yste  jak i  elektrodynamiczne.

Rozważ my  ukł ad  równ ań  elektrodynamiki  Maxwella,  zakł adając  że M — 0, Q
e
 =   0.

M am y

(4.1)  rot/ 7 =   I+b

(4.2)  rot.E =   - p
Q
H

(4.3)  divD   =  0

(4.4)  dbiH  = 0

D odajmy  do  równań  (4.1) -  (4.8) zwią zki  konstytutywne

(4.5)  D =   e
0
E+P

(4.6)  B =   fi
0
H

(4.7)  /  -   oB

Wykonując  na równ an iu  (4.2)  operację  rotacji  oraz  wykorzystując  równanie  (4.1)  oraz

(4.6)  dochodzimy  do równania  falowego

8E  d
2
D

(4.8)  rotrot£ + 1«0a- ^-

Wyraź my  teraz wektor  D  przy  pomocy zwią zków  konstytutywnych  (3.12) dla  zagadnie-
nia  kwazistatycznego.  Otrzymamy  równanie

(4.9)  E
UJ

gdzie

W  tych  trzech  równaniach  róż niczkowych  funkcjami  nieznanymi  są u
t
  oraz  E

t
. P o-

został e  trzy  równania  dostarczą  n am równania ruchu

( 4 - 1 0 )  Ci]kiU
k
,ij- e

ktJ
E

k
,j+Xi  =   QU,

Otrzymaliś my  zatem  sześć  równań  róż niczkowych  z sześ cioma  nieznanymi  funkcjami
Ui,Ei.  Rozpatrywany  tu problem  i jego  rozwią zanie  pochodzi  od J. J.  KAYME  [16].

P rzykł ady  wykonane  przez  J. J. Kayme  dla  kryształ ów  klasy  42  m  (dla AD P — amo-
nium  dihydrogen  phosphate)  wskazują  n a dyspersje  i  tł umienie fali  pł askiej. Tł umienie
to znika gdy  a - + 0, jedn ak  pozostaje  dyspersja fal.  Widocznym  też staje  się z  rozwią zanego
przykł adu,  że odkształ cenie  ciał a  nieznacznie  tylko  modyfikuje  fale  elektromagnetyczne.



M O D E L E  M ATE M ATYC Z N E  18E

5.  Termopiezoelektryczność

W  poprzednich  punktach  zał oż yliś my,  że proces  termodynamiczny jest  adiabatyczny..
Teraz  odrzucimy  to  ograniczenie.  Oznaczmy  przez  q  wektor  przepł ywu  ciepł a. N iech:
we  wnę trzu  ciał a  dział a  ź ródło  ciepł a o intensywnoś ci  w. W wyniku  dział ania  ogrzania
zewnę trznego  i  dział ania  ź ródeł   ciepł a  nastą pi  przyrost  temperatury  0,  równy  róż nicy
T — T

o
,  gdzie  T  jest  temperaturą   absolutną   a  T

o
  jest  temperaturą   stan u  naturalnego*

w  którym  brak  naprę ż eń  i  odkształ ceń.

Poniż ej  przedstawiamy  bilans  energii [4]

(5.1)  A  n l g t w +  tfW-  J (X
i
v

i
+W )dV+  J  (p

i
v

i
- q

t
n

t
)dA+  JE

t
D

t
dV

V  V  A  V

oraz nierówność Clausiusa- D uhema

(5.2.  *

W bilansie  energii (5.1) dostrzegamy (w porównaniu z wyraż eniem  (3.1)) czł ony  wyraż ają ce-
moc  niemechaniczną ,  przepł yw  ciepł a  poprzez  powierzchnię   ciał a  oraz  energię   genero-
waną   wewną trz  ciał a. W  nierównoś ci  Clausiusa- D uhema (5.2) przez S oznaczono  entropię .
Przekształ cają c  wyraż enie  (5.1) w analogiczny  sposób jak  to zrobion o z (3.1)  o p r o wa d z a -
ją c  energię   swobodną   F = U— ST   oraz  entalpię   elektryczną   H = F— D

t
 F

t
  doch odzim y

do  nastę pują cych  zwią zków

Ostatnia  nierówność  jest  speł niona  przez  prawo  F ouriera  przewodnictwa  cieplnego

(5.4)  qi=- k
u
T j

Rozwijają c  entalpię   w  szereg  Taylora  w otoczeniu  stan u  naturalnego

1  1  c
(5.5)  # =   - - c

lJkl
e

l
je

k
i- e

kU
e

u
E

k
- ~e

lJ
E

i
Ej- y

u
e

u
0- g

i
E

l
&- ^ ~- 8

2
,

i  wykorzystują c  zwią zki  (5.3)  dochodzimy  do nastę pują cych  zwią zków  konstytutywnych

(5.6)  .  a
u
  =   c

ukl
e

kl
- y

i
j0- e

ktJ
E

k
,

(5.7)  S ^

(5.8)  '  Di  =   e
m
e

k
i+g

t
0+e

ik
E

k
,

Równanie  (5.6)  moż na  traktować  jako  zwią zek  D uham ela- N eum anna, rozszerzony n a.
piezoelektrycznoś ć.  M amy t u 10 nowych  stał ych: ytji  St> ce-   Stał a  c

e
 jest  ciepł em wł aś ci-

wym  przy  stał ym odkształ ceniu.
Wstawmy  zwią zki  konstytutywne  (5.6)  do równań  ruchu, a zwią zek  (5.8)  do równań.

G aussa  (D,- ,,-  =  0). Otrzymujemy  równania

(5.9)  c
im

u
kt
ij- e

k
ij<p

llf
j—y

u
®

l
j+X

i
  =   e'u

t
,

(5.10)  e
tk
,u

k
,

u
- e

[k
<p

ikl
+g

t
@

it
  =   0.



że 1  dochodzimy  do liniowego  równania  przewodnictwa  cieplnego

1 82  W.  N O W AC K I

Powyż sze  równania  należy  uzupeł nić  równaniem  przewodnictwa  cieplnego.  Otrzymamy
je  przy  wykorzystaniu  bilansu  entropii

(5.11)  T Ś m  - q
u
+W

Biorą c  pod uwagę   zwią zek  konstytutywny  (5.7),  prawo  F ouriera  (5.4)  oraz  zakł adają c,

< • • )

• = -

To

(5.12)

Równania  (5.9)  oraz równanie  (5.12) stanowią   komplet równań  termopiezoelektrycznoś ci.
Obmyś lono  szereg  ogólnych  twierdzeń  termosprę ż ystoś ci,  takich jak  twierdzenie  energe-
tyczne,  twierdzenie  o jednoznacznoś ci  rozwią zań  [17] zasadę   prac  wirtualnych,  zasadę
H am iltona  [18], twierdzenie  o wzajemnoś ci  prac  [19]. D otą d  rozwią zano  tylko  nieliczne
zagadnienia  szczegół owe,  dotyczą ce  propagacji  fal  [20]. Pole  elektromagnetyczne wy-
stę pują ce  w  teorii R.  D . M IN D LIN A  [4] jest polem kwazistatycznym.  Łatwo jednak  uzyskać
uogólnienie  tej teorii  przy  rozpatrzeniu  dynamicznego  pola  elektromagnetycznego.

W tym  przypadku  do dyspozycji  mamy ukł ad równań  (przy /  =   0)

(5.13)  .  E
lM

- E
hli

  =  - ^ o A,

(5.14)  Gjij+Xi  =   Q"t>

(5.15)  Icu&.u- CsÓ- T oiytjeu+gJd  ^   - W .

D o  tych  równań  należy  wprowadzić  zwią zki  konstytutywne  (5.6) i  (5.8).  Zauważ my, że
wskutek  naprę ż enia  termicznego  wszystkie  fale  są   tł umione  i  ulegają   dyspersji.

6.  Klasyczna  teoria  piezoelektrycznoś ci  w uję ciu  R. A.  Toupina

Równania  róż niczkowe  piezoelektrycznoś ci  Voigta  otrzymać  moż na  również  jako
szczególny  przypadek  liniowej  teorii  dielektryków  R. A.  TOU PIN A [24].

Rozdzielmy  energię   wewnę trzną   na  dwie  czę ś ci, na czę ść pochodzą cą   od odkształ cenia
i  polaryzacji  oraz  n a energię   pochodzą cą   od pola  elektrycznego  Maxwella"

(6.1)  tf  # *(  P ) +

Zważ ywszy  na (6.1) wyrazimy  entalpię   elektryczną   w nastę pują cej  postaci

(6.2)  •   # =   U- DiEi

Wykorzystajmy  twierdzenie  wariacyjne  R. A.  TOU PIN A  [24]  <

(6.3)  J  dt[ J  (5K- 8H)dV+  J (X
l
du

l
 + E?dP

i
)dV+  Jp,du

t
dA]  = 0.

/ ',  B*  B  SB

Tutaj  B jest  obszarem  ciał a a B*  =  BKJB',  gdzie  B' jest  obszarem  zewnę trza.  E? jest ze-
wnę trznym  polem  elektrycznym.  W twierdzeniu  (6.3)  wariacji  doznają   przemieszczenia,



M O D E L E  M ATE M ATYC Z N E  .  183

polaryzacja  elektryczna  oraz  potencjał   elektryczny.  Z auważ my,  że UL =   UL(s
t
j,  P

t
).

Korzystając  z definicji  naprę ż enia  o^ i lokalnej  sił y  elektrycznej  Et,  gdzie

8U
L

(6.4)  a ' ^

przedstawimy  wirtualny  przyrost  entalpii elektrycznej  w postaci

(6.5)  6H =  (y
i
j
Se
u  +  (

(
P,i- £

:
h6Pi- e

o
<p

tl
d(p

ti
+P

t
d(pj

Wstawiając  (6.5) do (6.3) i  wykonując  przepisane  dział ania,  dochodzimy  do wyraż enia

(6.6)  fdt{j  [<yju+X
l
- eUi)Su

l

h  B

J  s
o
<p

ilt
dcpdV+ J  [(pi- Oj^ dUi+nAeolqiJ- PtdqAdA}  =  0.

dla  xeB

B'  8B

Ze  wzglę du  na  dowolność  wariacji  bu
t
, 5Pi,  d<p otrzymamy  nastę pują cy  ukł ad  równań

róż niczkowych

(6.7)  <rjtj+Xt  -  e'Ui

(6.8)  Et- <p,, + Ef  =   0

(6.9)

(6.10)  cj.t, =  0  dla  * e 5 '

z  warunkami  brzegowymi

(6.11)  '  CjtHj  =  p,

(6.12)  (- *a\ 9.t\ +Pi)nf- Q

Równanie  (6.8) nie wystę powało  w klasycznej  teorii  W. Voigta.  Jest  t o tzw.  bilans sił
intermolekularnych  wprowadzony  przez  R. A.  Toupin a  n a podstawie  rozważ ań nad
równowagą  sił  elektrycznych.

Przyjmijmy  energię  UL =   UL(sij,  P
t
)  w  postaci  formy  kwadratowej,  dodatn io zde-

finiowanej

( 6.B)  UL = ~cP
m
e

lJ
e

u
  +  - a

e

iJ
P

i
Pj+f

Ht
jE

l
jP

k

Z  wykorzystania  zwią zków  (6.4) mamy

(6- 14)  o r „ =   cf
JkI

s
kl
+f

ktJ
P

k

(6.15)  .  et~f
ikl

e
kl
+a!

k
P

h

R.  D . M I N D LI N   [23] wykazał , że przedstawiona t u droga postę powania prowadzi  do  równ ań
róż niczkowych,  identycznych z wyprowadzonymi  przez W.  Voigta.

7.  G radientowa  teoria  dielektryków  K. D . M indlina

Badania  eksperymentalne  wykazują,  że efekt  piezoelektryczny  wystą pić  m oże  również
w  centrosymetrycznych  kryształ ach.  Teorię  uwzglę dniają cą  wpł yw  gradien tu  polaryzacji



184  W.  N OWAC KI

opracował   R.  D .  M I N D LI N   [3], [23].  G ł ównym  osią gnię ciem  tej  teorii  jest  wprowadzenie
nowego  efektu  elektryczno- mechanicznego,  wystę pują cego  tak  w  centrosymetrycznych
jak  i  niecentrosymetrycznych  kryształ ach.
P un ktem  wyjś cia  naszych  rozważ ań  jest  wyraż enie  na  entalpię  elektryczną  z  punktu  6,
z  tym jedn ak  że  UL  jest funkcją  odkształ cenia ey,  polaryzacji  P ;  oraz gradientu  polaryzacji

Pij-

(7.1)  / / =  U L ( P  P)

Wstawiają c  powyż sze  do  zasady  H amiltona  w  uję ciu  Toupina  ((6.3)  z  punktu  6), do-
chodzimy  po  wykonaniu  przepisanych  operacji  i  wprowadzeniu  tensora

do  nastę pują cego  wyraż enia

(7.3)  /   dt  f  l(o
J

-   j  dt  J  e
o
q>,,

i
d(pdV+  j  dt J  [ fo - t yn ^ fo j- . E ^ n t o P i+ C e o l^ l- iyM p ]̂  =  0.

\   i

d l a  xeB

Z auważ my,  że  wystę pują  tu  dwa  nowe  czł ony:  EjtjóPj  w  cał ce  obję toś ciowej  oraz
EjiHj  dPi  w  cał ce  powierzchniowej.  Ze wzglę du  n a  dowolność  wielkoś ci  wirtualnych  dni,
dP(,  ócp otrzymamy  nastę pują ce  równania  róż niczkowe  dielektryków

(7.5)  <*ju + xi  =  ei<t,

(7.4)  Eju  + Ef- yj  + Ef  =   0,

(7.6)  - e
o
<P,H+Pi,i  =  O

i

(7.7)  <p,tt- O,  dla  xeB'

wraz  z n aturaln ym i warunkami  brzegowymi

(7.8)  Pi- ff̂ - 0,

(7- 9)  EJM  =   0,

(7.10)  £o\ <P,t\ ~Pt)n
l
  =  O,

W  stosunku  do  teorii  klasycznej  zmianie  uległ o  równanie  (7.5), które  został o  rozsze-
rzon e  o  czł on  Bjij.  D oszedł  również  nowy  warunek  brzegowy  (7.9).

Obok  warun ku  brzegowego  (7.8)  przyjąć  moż emy  warunek  brzegowy  w  przemiesz-
czeniach.  P odobn ie, obok  warunku  (7.8) moż na przyjąć  warunek  dla polaryzacji.  Wreszcie
o bo k  warun ku  (7.10)  przepisać  moż na  potencjał   rp n a  brzegu.

R ozwiń my  UL  w  otoczeniu  stanu  naturalnego, w  którym  odkształ cenie i  polaryzacja
są  równ e  zeru  a tensor  EIJ przyjmuje  wartość  bfj

(7.11)  UL  -   b?jP
J>t

+^ alfP
i
P

J
+

1

2
b^

l
P

JJ
P

lik+
^ cfj

k

G

l
s

IJ
e

kl
  +

+df
jkl

Pj,



M O D E L E  M ATEM ATYC Z N E  185

Zważ ywszy na  zwią zki

dU
L
  .  _  dUk  8UL

(7.12)  a
tJ
  -   — ,  E,  -   -   - ^ - ,  £ "u  -   - gp—-   •   .

dochodzimy  do równań  konstytutywnych

(7.13)

(7.14)

(7.15)
Wstawienie  zwią zków  (7.13) -  (7.15)  do  równań  (7.4)- (7.6)  prowadzi  do  ukł adu

siedmiu  równań  róż niczkowych,  w  których  jako  wielkoś ci  nieznane  wystą pią  funkcje
Ui,  Pi, q>.  Zauważ my, że wprowadzenie gradientu polaryzacji  nie podwyż sza  rzę du  równań
róż niczkowych.

G odnym  uwagi  jest  fakt,  że  sprzę ż enie  elektromechaniczne wystą pi  w  przypadku  ciał
centrosymetrycznych. W tym szczególnym przypadku jest f

ijk
  =  Q,jtjk

  =   0 gdyż nieparzyste
tensory  są  równe  zeru  dla  ciał   centrosymetrycznych, podczas  gdy  stał e  d

i}kl
  nie  znikają.

Ze zwią zków  (7.13) i (7.15) staje  się widoczne, że stał e d
im
  odgrywają  rolę sprzę ż eń  mię dzy

polem  elektrycznym  i  mechanicznym.
W  przypadku  ciał a  izotropowego  równania  konstytutywne  przyjmą  postać

(7.16)  au
(7.17)  E

u
  =   d

12
u

(7.18).  ,  Et  =   - aPt
Podstawienie  tych  zwią zków  do  równań  róż niczkowych  (7.16) -  (7.18)  prowadzi  do

nastę pują cego  ukł adu  trzech  sprzę ż onych  równań  róż niczkowych

(7.19)  c44V
2w +  ( c 1 3 +  c44)graddivH  +   rf<t4V

2P+ (d12  +  < i44)graddivP + A'  =  QU,

(7.20)  J 4 4 V
2 K  + (d

12
  + ^44)grad div« +  (^44  +  b17)V

2
P  +

+ (b
i2
+b

4Ą
- b

17
)graddivP- aP- gvad(p  + E

0
  =  0,

(7.21)  - s0 V > +  div/ > =   Qe  dla  xeB,

(7.22)  V2 9 5 = 0 ,  dla  xeB'.
D o  równań  róż niczkowych  (7.19) -  (7.22)  dochodzą  warunki  brzegowe  (7.8) -   (7.10).

U kł ad  równań  (7.19) -  (7.22) jest  zł oż ony i  trudny  do  rozwią zania  w  tej  postaci.
W  przypadku  nieskoń czonego  obszaru  sprę ż ystego  znaczne  uproszczenie  równań

otrzymamy  przez  dekompozycję  wystę pują cych  w  nich  wektorów  na  czę ść  potencjalną
i  czę ść solenoidalną.

(7.23)  u  ==   grad^+ roŁ ff,  P  =  grad ^ + r o t A",  d i vF   =   0,  divK=0,

(7.24)  X=  e(grad#  +  roti/ ),  E°  =   grad T+ rot {,  div#/  =   0,  div^  =   0.

Wstawienie  dekompozycji  wektorów  (7.23) -  (7.24)  do  równań  róż niczkowych  (7.19) -
(7.22)  sprowadza je  do  dwu  niezależ nych od siebie  ukł adów równań

(7.25)  d , 1 V>  +  ( Z , n V
2 - f l ) z - ? » =   - r,



186  W.  N OWACKI

oraz

(  }
  \ cU

4
V

2
H  +   (S44V

2

Tutaj  wprowadziliś my  oznaczenia

I  1   **•   / r  \ 1 / 2  / / >  \ 1 / 2

.   gl- v- ł̂ f.   Dl- *- • £«.   c - ( )̂  •   °* - ( T) "
Rozpatrzmy  przypadek  szczególny  podł uż nej fal  pł askiej, propagują cej  się w nieskoń czonej
przestrzeni  sprę ż ystej  w  kierunku  osi  xx .  W  tym przypadku jest

(7.27)  yse yC *!, *) ,  cp  & <p(x
lt
f),  « « z ( * i . 0 i  ^ = 0 ,  / / =  0

Pozostają  n am równania

I S ) 4 ) . « )  =  o,   ?>  =   '̂ z

(7.28)  a =  a +  só 1  «  -   *"*"» ^  >  0
c < 3

D la  fali  h arm o n iczn ie  zm ien n ej  w  czasie jest

(7.29)  ( V > Z )  V ) =   ( y o ,  z °, 9

T u t a j  y>°,  x°> 9° są stał ymi  ( am plit u dam i) av=  co/ k jest  prę dkoś cią  fazową.  Wstawiając
(7.29)  d o (7.28)  otrzym am y  równ an ie  ch arakterystyczn e

(7.30)  l\  fe4 +  k 2(1-  rj) -   a\   =  0,  17 .  - — ^ ,  ff,  =  - - -,
uc

ll
  c

l

z  którego  wywodzą  się  cztery  pierwiastki

(7.31)  *i . 2 . 5 . *-   ± y -

Interesują  n as  jedynie  pierwiastki  rzeczywiste,  gdyż  tylko  te prowadzą  do  rzeczywistych
prę dkoś ci  fazowych

(7.32)  k,,
2
  =  ±k,  k

li2
  =  — U / l /   i

'1 V 2
W  rezu lt acie  o t rzym am y  fale

(7.33)  ( y, z ) =  (ip°+,

gdzie  ^  =   w//c.  Zauważ my,  że fc =  Ar(a)), co wskazuje  na  to, że fale  ulegają  dyspersji.
D otąd  rozwią zano  nieliczne  zagadnienia  dynamiczne, przede  wszystkim  jednowymia-

rowe.  [26]  [27]  [29].
Wróć my  do  wyraż enia  dla  energii  wewnę trznej.  R. D .  Mindlin  wykazał ,  że sł uszny

jest  zwią zek

(7.34)  ./   UdV  =  }  J  {
XiUi+

E^ P
i
)dV+

[
  f

li'  I  B  I  SB



M O D E L E  M ATE M ATYC Z N E  187

Zał óż my  teraz,  że brak  jest  sił   masowych  i  zewnę trznego  pola  elektrycznego  (Xi  =   0,
£• » =   0)  oraz  że  warunki  brzegowe  na  powierzchni  8B  są jedn orodn e

(7.35)  OJIKJ  =   0,  Ej,nj  =  0,  (- a
a
\ <P,t\  + Pi)n

t
  =   0.

Wtedy  z równania  (7.34) pozostaje  nam

(7.36)  /   UdV  =   }.  j'n
t
b?jPjdA.

B*  2 as

Jest  t o tzw.  energia  deformacji  i  polaryzacji.
Rozpatrzmy  prosty  przykł ad zagadnienia jednowymiarowego  odnoszą cego  się  do  pół -

przestrzeni  sprę ż ystej  x
l
  >  0.  Rozwią ż my  jedn orodn y  ukł ad  równań  róż niczkowych

(z równań  (7.19- (7.21))

(7.37)  &
xl
B\ u

x
 + h

lt
8\ P

i
  - aP

l
- d

1
<p  = 0,

- Bodlv  + diP,.  m 0,

który  rozwią zać  należy  przy  uwzglę dnieniu  jedn orodn ych  warunków  brzegowych

I Oli  =   C uSiU t+ ^n ^iP i  =   0,Elt  =dlid1u1+b11diPi+b0=  0,£ o ( 31c 5+ - 5l ( p - ) +  P 1  =   0,  dla  xt  =   0,
oraz

(7.39)  Ui  - >•   0,  P ,  -> 0,  , 95  -> 0  dla  x, - »  00

Rozwią zanie  tego  zagadnienia  w  pół przestrzeni sprę ż ystej  ma  postać

(7.40)  U t - u C e " ** ,̂  ? !  «P ?e - a ' / ' »,  <p  =   <pQe~ x^ ,

gdzie

o  _  t>
o
d

u
  b

0
  fio1^

/ jo  ha  a

Wielkoś ci  P
1
,<piu

1
  zanikają  wykł adniczo wewną trz  ciał a. Energia deformacji  i  polaryzacji

przyjmie  wartość

(7.41) tf= ^

W  rozpatrywanym  tu  przypadku  braku  sił  masowych  i  zewnę trznego  pola  elektrycznego
oraz przy uwzglę dnieniu jednorodnych warunków  brzegowych, cał kowita energia  wewnę trz-
n a  wyraża  się  cał ką  powierzchniową  (7.36).  Wyraż enie  to jest  równe  zeru,  gdy  przyj-
miemy  b

0
  =   0.  Wyraż enie  (7.36)  nazywamy  energią  powierzchniową  deformacji  i  pola-

ryzacji.

N a  podstawie  rozważ ań  Tosi  oraz  G emmera,  M ac  R ae i  G azisa  [38]  [39]  traktować
moż na  energię  deformacji  i  polaryzacji  (7.36) jako  tę czę ść  energii,  którą  d o d ać  należy
do  energii  wię zów  mię dzyatomowych  aby  otrzymać  energię  potrzebną  do rozdzielenia
materiał u  wzdł uż powierzchni S.

Zauważ my, że w wyraż eniu  na entalpię pominę liś my  czł on  cfjBij.  Jedn ak  wprowadzen ie



188  W.  N OWACKI

wstę pnego  odkształ cenia  nie zmieni  stanu  rzeczy.  Wprowadzenie  czł onu  e^c?-   prowadzi
do  jedn orodn ego  stanu  naprę ż enia,  które  w  ciele  ograniczonym  moż na  usuną ć  przez
nał oż enie jedn orodn ego  stanu odkształ cenia.

G radien towa  teoria  piezoelektrycznoś ci  wyjaś nia  również  anomalie  wystę pują ce
w  cienkich  bł on ach  sprę ż ystych  (efekt  M eada  [21] [22]), w  pomiarze  wielkoś ci  C " 1 (C —
pojem ność  elektryczna).

W  ostatniej  dekadzie  gradientowa  teoria  piezoelektrycznoś ci  R. D .  M indlina  doznał a
zn aczn ego rozwoju,  szczególnie  w zakresie  zagadnień ustalonych. U zyskano funkcje  G reena
dla wielkoś ci W;, P ; , <p w nieskoń czonej przestrzeni sprę ż ystej.  Obmyś lono funkcje  naprę ż eń,
uogólniają c  funkcje  G alerkina  oraz  Papkowicza- N eubera  na zagadnienia  piezoelektrycz-
noś ci.  R ozpatrzon o  zagadnienie  dział ania  punktowego  ł adunku  elektrycznego,  umiesz-
czonego w pół przestrzeni sprę ż ystej.  Wiele uwagi  poś wię cono  badaniom energii  deformacji
i  polaryzacji  [25] -  [29].

W  ostatnich  latach  sporo  uwagi  poś wię cono  propagacji  fal  sprę ż ystych  w  oś rodku
piezoelektrycznym.  Zanotujmy  badania  odnoszą ce  się  do fal pł askich,  walcowych  i  sfe-
rycznych  oraz  fal  powierzchniowych  Rayleigh'a  i  Love'a.  [30 -  32] [35].

W  ostatn ich  latach  opracowano  również  podstawy  termo- piezoelektrycznoś ci  [34]
oraz  rozwią zano  szereg  problemów  ustalonej  i  nieustalonej  termopiezoelektrycznoś ci
takich jak  fale termosprę ż yste, funkcje  G reena, rozszerzone  zagadnienie  Lamba  [35] -  [37].

S. Sprzę ż enie fal mechanicznych i elektromagnetycznych  w teorii gradientowej  R.  D . Mindlina

W  rozważ aniach  naszych, dotyczą cych  gradientowej  teoriidielektryków,  traktowaliś my
pole  elektromagnetyczne  jako  kwazistatyczne  pole  elektryczne.  Obecnie  uwolnimy  się
od  tego  zał oż enia i  rozpatrywać  bę dziemy  peł ny  ukł ad  równań  Maxwella  (przy  /  =   0,
M  =  0).

(8.1)  r o t t f - - S -,  B = rotA,
ot

(8.2)  E =  ~gv&d<p- A,  divi>  =   Q
e
.

Tutaj  cp jest  skalarnym  potencjał em elektrycznym, A wektorowym  potencjał em magnetycz-
nym.  R ówn an ia  (8.1) (8.2)  wraz  ze zwią zkami  konstytutywnymi

(8.3)  2> =   s
0
E+P,  B=  / u

0
H,

są   pun ktem  wyjś cia  dalszych  rozważ ań.  W rezultacie  eliminacji  wewną trz  równań  (8.1)-
(8.2)  otrzym a  się  nastę pują ce  równania  falowe

(8.4)  (c2V2- 8f)(
P
- c

2
So

1
divP+c

2
eo

1
e,  =  0,

(8.5)  (c2V2~df)A+s^ P=0,  dla  xeB,  c  -

oraz

(c
2
V

2
~8

2
)w  = 0 1

Z auważ my,  że równanie  bilansu  sił  intermolekularnych

(8- 7)  Eju+Ef+Ei+E?  =   0,



M O D E LE  MATEMATYCZN E  189

jest  sprzę ż one z równaniem  (8,5) i  (8.4) a to poprzez  czł on  E
t
  — —<p

ti
~Ai. W  przypadku

ciał a izotropowego  otrzymamy  nastę pują cy  ukł ad równań

(8.8)  c4.4V
2« +  ( c u  +  c 44)graddiv«  +  d44V

2P + ( d 12+ fif4 4) graddivP + Jf  =   gil,

(8.9)  d 44V
2« +  (ci'12+ d44)graddivH  +  (b44 +  b 7 7 ) V

2 P +

+  (b
12

  + b
4
.4- b

11
)greL ddivP- aP- grdd<p- A+E° = 0,

(8.10)  (c 3Va- S?)c> ~ c3Bo 1divP + c 28o 1ffi  =   0,

(8.11)  ( c 2 V 2 - ą2 ) ^ +   e o 1 P = 0 .

Otrzymaliś my  nader  zł oż ony ukł ad równań  sprzę ż onych.  U kł ad  tych  równań  podany
został   przez  R.  D .  M indlina  [32].  Badania  tego  autora  [32]  wykazał y,  że  w  przypadku
harmonicznych  fal  poprzecznych  w  kuli  wpł yw  sprzę ż enia jest  nieznaczny  i  że  stosowana
może  być  teoria  kwazistatyczna.

Poniż ej  podajemy  uogólnione  równania  sprzę ż onej  termopiezoelektrycznosci

(8.12)  c 4 4 V
2 «+ ( c 1 2 +  C 44.)gi- addiv«+ rf4 4.V

2P + (d 12+ J 4 4)graddivP +

+X  =   gii- hygrad &,

(8.13)  rf44V
2H   +  ( i 1 2 + ^ 4 4 ) gr a d d ivH   +  ( b 4 4 +  ż >77)V

2P   +

+  (b
12

+b
4
.4—b

T 7
)graddivP—aP—grad(p- A+E

0
  — ?;grad<9,

(8.14)  ( v 2 - ^ - a2 L - e o
1 d i v P + £ o 1 ^  =  0,

(8.15)  ( v 2 - - ^ d2 L - £ o1 c ~ 2 >  =   0,

(8.16)  kV20-   c
s
Ś  ~ T

0
(yu

k
,

k
  +  r)P

kik
)  -   -   W ,

W  niniejszym  artykule  przeglą dowym  przedstawiliś my  modele piezoelektrycznoś ci  i termo-
piezoelektryeznoś ci,  poprzez najprostszy  model Voigta aż  do zł oż onego modelu dynamicz-
nej  termopiezoelektrycznosci. Widocznym jest, że wraz  z  uogólnieniem modelu rosną  trud-
noś ci  matematyczne rozwią zania  ukł adu  równań.  Jednocześ nie  jednak  bardziej  zł oż one
modele wyjaś niają  szereg anomalii  i pozwalają  na  wykrycie  nowych  zjawisk.

Badania  pól  sprzę ż onych  prowadzą  do  nowych  interdyscyplinarnych  dziedzin  n auki
i  tworzą  pole współ pracy badaczy  reprezentują cych  róż ne dziedziny,  mechaników,  akusty-
ków,  termodynamików  i  elektrodynamików.

Rozwój  pól  sprzę ż onych jest  charakterystycznym  trendem we  współ czesnej  mechanice
ciał a stał ego.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  W.  VOIG T,  L ehrbuch  der  Kristallphysik,  Treubner, Leipzig,  (1910).
2.  R.  A.  TOU P I N ,  T he elastic dielectric, J. R at .  M ech. Analysis,  55  (1956),  849.
3.  R.  A.  M I N D LI N ,  Polarization  gradient  in  elastic  dielectrics, I n t .  J.  Solids  Structures,  4  (1968),  637.
4.  R.  D . M I N D LI N ,  On the equations of  motion of piezoelectric crystals, P roblems of  C on tin uum  M echanics.

SI AM   Philadelphia  Pensylvania,  1961.

2  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3—4/ 82



190  W.  N OWACKI

5.  H . G .  LI P P M AN N .  An n .  Chim.  29  (1881),  145.
6.  J .  an d  P .  C U R I E ,  Compte  Rendus.  93  (1884),  1137.
7.  M . P.  WOLAR OWI C H ,  G . A.  SODOLEV,  Piezoelectric metod of geophysical prospecting of  quartz (w ję z.

rosyjskim).  I zd.  N au ka,  M oscow,  1969.
8.  J. A.  STRATTON ,  Electromagnetic  theory,  M e  G raw- H ill,  N ew  York,  1969.
9.  H . F .  TI ER STEN ,  T he radiation and confinement of  electromagnetic  energy accompanying  the  ascilatlons

of piezoelectric  crystal plates.  Rec.  Advances in Engineering Science. P art. I . Ed.  A. C. Eringen, G ordon
an d  Breach  Science  P ubl.  N ew  York  1970.

10.  H . F .  TIERSTEN ,  L inear  piezoelectric  plate  vibrations,  Plenum  Press,  N ew  York  1969.
11.  J .  L.  BLEU STEIN ,  J.  ACCOU ST,  SOC.  of  America,  45  (1969),  614.
12.  D . S.  D RU M H ELLER,  A.  KALN IS,  J .  Acoust.  Soc. Of  America, 47  (1970) 1343.
13.  J. L.  BLEU STEIN ,  Applied  Physics  Letters,  13  (1968), 412.
14.  P . M .  BRAN KOW,  C. F .  LON G ,  Acta  M echanika,  3  (1966), 13.
15.  R .  M E I R ,  K.  SCH U STER,  Annalen  der  Physik, 11  (1933), 397.
16.  J.  KAYM E,  Conductivity  and  viscosity  effects  on  wave propagation  in piezoelectric crystals. J. Acoust.

Soc.  Am er.  26  (1949),  990.
17.  W.  N O WAC K I ,  Some general  theorems of  thermopiezoelectricity,  J. of  Thermal  Stresses, 1  (1978), 171.
18.  H .  P AR KU S,  Vher  die  Erweiterung  des  Hamilton'schen  Principes  auf  thermoelastische Vorgdnge.

F ederhofer- G irkm ann  F estschrift  Wien,  1950  Verlag  F .  D euticke.
19.  W.  N O WAC K I ,  A  reciprocity  theorem for  coupled mechanical and thermoelastic  fields  in piezoelectric

crystals.  P roc.  Yibr.  Problems  6,  1  (1965).
20.  A. V.  P AL,  Surface  waves in  a  thermo- piezoelectric  medium of  monoclinic  symmetry,  Czech.  J.  Phys.,

8,  29  (1969), 1271.

21.  C. A.  M E AD ,  Electron  mechanism in  thin insulating films,  Phys.  Rev.,  128  (1962), 2088.
22.  C. A.  M E AD ,  Electron  transport  in  thin insulating films,  Proc.  I n t. Sym. on  Basic Problems  in  Thin

F ilm  Physic.  R uprecht.  G ottingen  (1966),  674.
23.  R. D .  M I N D L I N , Elasticity, piezoelectricity  and crystal lattice dynamics.  J.  of  Elasticity,  2  44  (1962),

217.
' 24.  R . A.  T O U P I N ,  A  dynamical theory of  elastic dielectrics,  I n t. J. Eng. Sci., 1  (1963), 101.

25.  R . D .  M I N D L I N , Continuum  and  lattice theories of influence of electromechanical coupling on  capacitance
of  thin dielectric fields,  I n t.  J . Solids Structures, 5  (1969) p. 1197.

26.  J . SC H WAR TZ ,  Solutions of  the  equations of equilibrium of elastic dielectrics: stress functions,  concentrated
force,  surface  energy,  I n t. J.  Solids  Structures, 5  (1969), 1209.

•  27.  P . F .  G o u , Effects  of  gradient  of  polarization  on stress- concentration  at  cylindrical  hole  in an elastic
dielectric,  I n t . J.  Solids  Structures,  7  (1971),  1467.

28.  K. L.  CH OWD H U RY  an d P. G . G LOCKN ER,  Point charge in the interior of  an  elastic dielectric half  space
I n t .  J.  Solids  Structures,  I S  (1977), 481.

29.  A.  ASKAR ,  P. C. Y.  LE E  and A. S.  CAKMAK,  T he  effect of surface and  discontinuity on the surface energy
and  other  induced fields  in elastic dielectrics with polarization gradient,  I n t.  J. Solids Structures, 7 (1971),
523.

30.  K.  M AJOR KOWSKA- KN AP,  L ove's waves in elastic isotropic dielectrics,  Bull. Acad. P olon. Sci (w  druku).
31.  K .  M AJOR KOWSKA- KN AP,  Surface  waves in piezoelectric materials of  classe 42  m, Bull. Acad.  P olon .

Sci  (w  druku).
32.  R . D .  M I N D L I N ,  Electromagnetic radiation from  a  vibrating, elastic  sphere, I n t . J.  Solids  Structures,

10  (1974),  1307.

33.  K . L.  C H OWD H U R Y,  P . G . G LOC KN ER,  On thermoelastic dielectrics,  I n t.  J. Solids Structures, 13 (1977),
1173.

34.  K .  L.  C H OWD H U R Y,  M .  EPSTEIN ,  P .  G .  G LOCKN ER,  On  the  thermodynamics  of  npnlinear  elastic  die-
lectrics,  D epartam en tal  R eport  N o 119, D ep .  of  Mech.  Engeering. The U niversity  of  Calgary,  M arch
1978.

35.  J . P.  N O WAC K I ,  P. G .  G LOCKN ER,  Some dynamical problems  of  thermoelastic  dielectric, I n t. J. Solids
Structures,  1978  (w  druku).



MOD ELE  MATEMATYCZNE  191

37.  J. P.  N OWACKI,  P. G .  G LOCKN ER,  Propagation  of  waves in  the  interior of  a  thermoelastic  dielectric
half- space,  Int. J.  Solids  Structures  (1981).

38.  L. H .  G LOCKN ER,  A.  U .  RAE  and  C. D .  HARTMAN   ,,(7/ U) N ickel  surface".  J.  Appl.  Phys.  32  (1961),
2432.

39.  R. A.  ToLtplN   and  D . C.  G AZ I S,  Surface effects  and initial stress  in  continuum  and  lattice  models in
crystals,  In Lattice D ynamics, R.  F . Wallis Editor, Pergamon Press, Oxford  1964,  597.

P  e  3  io  M  e

M ATE M ATH ^E C KAil  MOJTEJIB  O E H O M E H O J lO rH ^ I E C K O rO

P a6oTa  nocBflmeH a  flH CKycmi  neKOTopbix  MaTeiwaTiraecKnx  M o^eJieił   nbe303Jiei<TpHMecTDa  H   iibe30-
- TepM oaJieKTpH iecTBa.  H a^H iiaH   c  MOflejra  B .  O o t t r T a ,  n e p e q u c jie iio  6ojiee  o 6 m n e  cjiy- iaH   B  K O T O P M X
afleKipoMarH eTH ^iecKH e  H  flecjpopjviaiiH OH H bie TIOJIH   con pa> KeiiM .  P accM oxpeH o  KBaancTaTjmecKyio  Moflejib
TepMonbe3O3JieKTpnliecTBa  H   flOBontno  o 6m yio  iwoflejib  M urifljiH H a,  B  K o io p o ii  yir r e n o  BJI H H H H C  r p a -

n o jia p H 3a a n n  B  yn pyro M

S u m m a r y

M ATH EM ATICAL  MOD ELS OF  A  P H EN OM EN OLOG IC AL  P IEZ OELEC TRIC ITY

The  purpose  the  paper  is  to  discuss  mathematical  models  of  piezo- thermoelectricity.  Starting  from
W. Voigt quasistatic  model we pass  to more general  case in which there is  a coupling between  the electro-
magnetic  and  deformation  fields.  The  quasistatic  model  of  the  thermopiezoelectricity  and  general  model
introduced  by  Mindlin,  in  which  the  effect  of  a  polarization  gradient  in  elastic  dielectrics  is  taken  into
account, have  been also  considered.

Praca  został a zł oż ona w Redakcji dnia J  2 paź dziernika 1981  roku