Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z3_4.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3/4,  20 (1982)

A  M IN IM U M - PRIN CIPLE F OR STRESS- STATE  IN  ELASTIC- PLASTIC
PLATES  AND  TH E SYSTEMATICAL  G EN ERATION  OF  AP P R OP R I ATE

PLATE- M OD ELS1'

DIETER  W  E I C H   E R  T

Institut  fur  Mechanik, Ruhr- Universitdt
4630  Bochmn- 1, W est- Germany

1. Introduction

In  this paper  we  treat the  initial  boundary- value  problem  of  elastic- plastic  plates  sub-
jected  to  arbitrary  dead- loadtype  loading  histories.  This  problem  differs  from  analogous
purely  elastic  problems  by  th e  fact  that  even  under  the  assumption  of  certain  shape  of
strain- distribution  over the thickness  of the plate, such  as Kirchhoff- Love- hypothesis[l],  n o
prediction  about  stress- distribution  over  the  thickness  of  the  plate  can  be  made  as  n o
one- to- one correspondance between  strains and stresses holds. So here we treat this problem
genuinely  as  three- dimensional  problem  constrained  by  certain  geometrical  and  statical
conditions  which  have  a  distinct  meaning  in  theory  of  plates  and  in  theory  of  plasticity,
respectively.  We  show,  that  well  known  Kirchhoff  plate- theory  is  a  special  case  of  the
herein  presented  concept.  F or  the  construction  of  a  minimum- principle  for  th e  state  of
stress in the plate we  make use  of  a recently  derived  minimum- principle for  general  three-
dimensional body  [2],  based  on the formulation  of constitutive relations by means of  convex
analysis  [3, 4]  and  internal  parameters  [5]  in  order  to  describe  elastic- perfectly  plastic
and  elastic- linear  hardening  material  behaviour  by  the  same  mathematical  model.

In  the  last  chapter  a  numerical  illustration  of  the  presented  method  is  given  for  the
case  of  a  proportionally  loaded  elastic- perfectly  plastic  square  plate.

2.  The  three- dimensional  initial  boundary- value  problem.  Local  formulation  of  the  problem

A  body  of  volume  Q  as  subregion  of  product- space  of  three- dimensional  Euclidean
space  .ft3  and  space  T   of  time  t,  defined  on  the  intervall  T   =  [0,  oo), with  sufficiently
regular  boundary  8Q,  is  subjected  to  external  agencies  a  =  a(x),  described  by  the  set
[f*(x)  6 Q,  P*(x)  e 8Q

S
,  u*(x) e 8Q

k
,  where/ (x),  u{x) and/>(.\- )  denote  three- dimensional

vectors  of  volume- forces,  displacements  and  surface- forces,  respectively.  8Q
k
  and  8Q

S
,

11  This  paper was  elaborated  during  a  stay  at  the I n stitut of  M echanics, U niversity  of  Warsaw  an d  the
author  wishes  to express  his  gratitude  to Professor  dr h ab.  Czesiaw  Woź niak  for  invitation  an d  perm an en t
support.



194  D .  WEICH ERT

den ote  disjoint  parts  of  dQ  where  kinematical  and  statical  boundary  conditions  are  pres-
cribed,  resp.,  Considering  quasi- static  deformation  processes  in  the  range  of  small  defor-
mations  for  conservative  external  agencies  a(x),  statical  and  kinematical  field- equations
are  given  by:

D i v u + / * =   0  in  Q,  (2.1)

n-   a- P*  =   0  on  dQ
h
,

=   0  in  Q  (2.2)

o n  dQ
k

D iv  and  G r a d s  denote  divergence- operator  and  symmetric  part  of  gradient- operator,
a{x),  s(x)  are  elements  of  space  Tg  of  symmetric,  two- dimensional  tensors  with  6  inde-

•   pendent  com ponents,  n  denotes  outer  normal  unit- vector  on  dQ.  Prescribed  quantities
are  indicated  by  upper  star.  The  problem  consists  of  determining  ae  and  u for  the entire
deformation- process.  Constitutive  relations  are  described  by  use  of  internal  parameters
[5],  such  t h at  elastic- perfectly  plastic  an d  elastic- linear  hardening  material  behaviour
can  be  treated  by  the  same  mathematical  methods. Assuming,  th at  entire  strain  &(x) can
be  additively  decomposed  into  purely  elastic  part  ee(x)  and  purely  plastic  part  e"(x),
generalized  stress- ,  generalized  elastic  strain-   and  generalized  plastic  strain- tensors  are
defined,  respectively,  by  the  sets  s(x)  =   [a, n],  ee(x)  =   [e",cu],  e''(x)  =   [ep,k],  where
internal  statical,  elastic  and plastic  parameters n(x),  a>(x)  and k(x)  are  elements  of  vector-
space  T,?  with  r  independent  components.  It  can  be  shown  [2], that  for  vanishing  co(x)
and  k(x)  at  time  /  =   0,  entire  generalized  strain  e  is  given  by  e  =   [ee +  e p , 0] ,  defined
on  Q.  Assuming  the  existence  of  a  convex,  lower  semi- continuous  elastic  strain  energy-
density  y>(ee) and  introducing  bilinear  form  (s,  ee)  as  inner  product  s  ..  e"  defined  by

(2.3)  s.,ee  =  GtjBfj  + n^ n,,  i,j  e  [{,  2,  3 ] ,  n e  [\ ,  2 , . . . ,  r]

where  y>  an d  ( . ,  . )  are  mappings  of  product- space  T ^ X T '  on to  R1,  defined  on  Q,  the
following  th ree  relations  are  equivalent  conditions  for  s  and  e" to  satisfy  elastic  material
behaviour:

(2.4)  e*'sdyj*(s),

(2.5)  s  edyj(ee),  in  Q

(2.6)  ip(ee)  + ip*(s)—(s,  ee) ^  0,  .

with  polar  elastic  energy- density  y>*(s)  defined  by:

(2.7)  f*(s)«*  sup  [(s,ee*)- f(eet)]  in  Q,

,,d{.y  denotes subdifferential  of the  considered quantity. In the herein treated case of  linear-
elastic  m aterial  behaviour  (2.4 -  2.6)  degenerate  to

(2.8)  ee=G..s  .1  [s|( , «„]  =   [auL m,  n,„Żmn),  i J,  k, I e  [1, 2, 3],

(2.9)  a  -   © - *. . *•   A  [an,  7i
n
]  m  [s'

kl
L T j\

u
  w

m
Ż T „

l
„]  m,  n e  [ 1 , 2,  . . . ,  r ] ,

(2.10)  - ieL ' . . G - ' . . ee + - J s. . G . . s- s. , eE =  0.



A  MINIMUM  —  PRIN CIPLE  195

L   and  Ż  denote here  positive  definit  matrices  with  known  constant coefficients  of  elastic
and  hardening- coefficient's,  respectively,  G  is defined  as  the set  [L , Ż ], upper  index  „  — 1"
denotes  inverse  of  the  considered  matrix.

Analogously  plastic  part  of  constitutive  relations is  formulated:  If  <p(s)  denotes  plastic
potential,  defined  as  convex  and  lower  semi- continuous  indicator- function  of  convex
closed  region E, in space T | X Tr

l  of  generalized  stresses s,  normality- rule for  rate  of  gene-
ralized  plastic  strain  ep,  used  in  this  paper  as  plastic flow- law,  may  be  expressed  by  the
following  relations, each  equivalent  to the other:

(2.11)  e"edcp(s)

(2.12)  sedq>*(ep)

0

in  Q

where  in  (2.13)  equality  holds  if  plastic  flow- law  and  yield- condition,  demanding  that
every  admissible  state  of  stress  s  is  in  the interior  or  on the boundary  of  E

t
,  are  fulfilled.

H ere,  superposed  dot  denotes  time- derivative,  (ep,  s)  denotes  according  to  elastic  part
of  constitutive  relations, bilinear  form  efjffy+.&BjEn,  i,j  e  [1, 2,  3], n  e  [1, 2,  ...,  ;• ].  <p*

:
(e

p
)

is  polar plastic potential, defined  by:

(2.14)  (p*{ep)  ==  sup[(ep, J*)- 9'(**)]  irx Q  •
!

Reformulation  of  the  problem, minimum principle  for  stresses.  Assumption:  External
agencies  a{x)  are  represented  by  the given  field- quantities  a0,  e°  an d  u°  such  t h a t :

(2.15)
D ivff°+ / *

n.a°- p*

e°- G radsw°

u°- u*

8°~L ..a°

=  0
=   0

=   0

=   0

=   0

in

on

in

on

in

Q,

dQ
s
,

Q,

dQ
k
,

Q.

(2.16)

(2.17)

Physically,  a0  and u° represent the solution of an analogous purely elastic problem. D efining
statically and kinematically admissible  generalized stresses j s and sk,  resp., by  the definitions

s* =   [o- \  o] :=  {se- xlja  =  L z1Gra.d
s
u  in  Q,  u  =  0  on  dQ

k
]

\ 2.18)
sa  =   [os,  ri\   :=  {s  e ^ / D i v c r  =   0  in  Q,  n.a  =   0  o n  dQ

s
)

the  entire problem is  reformulated  by:  D etermine s, e and  ep  such  th at:

(2.19) in  Q

This,  however,  is  equivalent  [2]  to  the  minimization  of  the  functional  A(ss, sk),  defined
by

(2.20)  X{s\ sk)  =   <p{s°- ss) + <p*(G..Css+bk))- (G..(ss  + hk),s°- s!')  >  0

according to  ((2.11) -  (2.13), (2.20)).



196  I }-   WEICH ERT

By  .completion  of  space  cjf+/.  of  smooth  tensorfields  of  generalized  stresses  s  with
respect  to  the  scalar- product

n

in  [2] H ilbert- space  H  of generalized  stress- fields  s is  constructed.  G lobal  formulation
of  plastic  part  of constitutive  relations'is  then  given by

(2.22)  0(s)  + 0*(G7.1ep)~(G7.1ep,  s> o  ^  0,

wh ere  global  plastic  po t en t ial  0  an d  p o lar  poten tial  0*  are  defined  by

(2.23)  <P(s) =   lim  J  < pc(s)e- 'dx,  seH
C—>CO ft

0  if  seE
(
  E

t
czH,

- c  if  s$E,  c eR\   c > 0

(2.24)  ^ *( G . lre")  =  sup  KG7.1e", s*}
c
- 0(s*)]  in Q

~\

As  G is a constant positiv  multiplier, here and in the following  space of generalized  strains
is identified  with  H ilbert- space of generalized  stress  by use of the isomorphism  e =  G  . .s.
Analogously  to  (2.11) -  (2.13), (2.22) is equivalent  t o :

(2.25)  . _ , . ,  .
k
,  }  in Q

M aking use of the assumption of given purely elastic solution a0, u° and of orthogonality
of  kinematically  and statically  .admissible  stresses  sk, ss  with  respect  to scalar- product
(2.21),  stated by

(2.26)  <sfc, ss)
G
  =  0  in Q\   sk e H

k
  c=  H =3 ff

M
 e 5";  Ą l  H

s
,

minimum- principle  (2.20)  is  now stated  globally:  The  convex  functional  A  defined  by

(2.27)  A(sk, ss) =  <P(s°- ss) + &*(ss + śk)~<s0- ss,  ss + k k}
G
  in  Q

assumes  the minimum  equal  to zero for the solution  [sk,  s*\ .  However,  as A(sk, ss) is not
strictly  convex,  solution  may  be  n ot  unique. If we  resign  from  determination of sk,  such
that  rate  of  plastic  strain  ep  = G..(ss+ik)  and as  consequence  entire  state  of  strain
cannot  be determined,  strictly  convex  functional  A

0
(s

s
),  defined by

(2.28)  A
0
(s

s
)  = fi>(^°- 5s)  +  0 $ a s ) - O °- ss , i > G >  0  in Q

can  be constructed  [2]. Lower  index  „ 0 "  denotes  restriction  of the domains  of A  and &*
to  elements  of H

s
.  Solution  ss  of the problem  is then  uniquely  obtained by minimization

of  A
Q
,  if  any  solution  exists.  As in case  of elastic- linear  hardening  material  behaviour

region  E
t
 of admissible  generalized  stresses is constant, (2.28) can be reduced  to the mini-

mization of

(2.29)  A
0
(s

s
)=  sup  < ss- ss*,  i s> G ;



A  MINIMUM —  PRINCIPLE  1 9 7

3.  The initial  boundary­value  problem  of  elastic­plastic  plates.  Systematical  generation  of
plate­models  from  three­dimensional  theory

A three­dimensional  body of volume  Q, given  by midsurface F as  subregion  in R2 x T,
parametrized  by  rectangular  coordinates  x{,  x2  and  time­coordinate  t e T  —  [0,  oo),
with  sufficiently  regular  boundary  8F and  constant  extension  in  x3­direction  with
x3  e  [ — h,  +h], is  called  „plate",  if  2h is much  smaller  than  characteristic  length  L as
measure of extension  of F in x1 — x2­plane.  8F consists of parts  8Fh  and 8FS,  where kine­
matical  and  statical  boundary­conditions  are  prescribed.  For the  moment  we  assume
dFsn8Fk  =  0,  though  in the sequel of the paper  we shall  weaken this assumption.  Forces
acting on upper  arid lower planes F+, F~, resp., parallel  to F at distance h, will be treated
as  forces  acting  on F, kinematical  conditions  will  only  be prescribed  on 8Fk, not on  F.

Fig. 1

In  order  to  obtain  a two­dimensional  minimum­principle  for  state  of stress  in the plate
according  to  (2.29),  we define  two­dimensional  representatives  of  all  three­dimensional
quantities  used in chapter  2. In general,  they  may  be introduced  in several  manners: By
use of multilayer­model, where the three­dimensional body is represented by a finite  number
of  layers,  such  that  to  each  three­dimensional  field­quantity  in the body  for  each  layer
a  two­dimensional  representative  of the  considered  quantity  is assigned  [6, 7].  Here we
use polynomial  representatives  defined  in the following  way:  Bef(x)  an arbitrary  smooth
scalar­,  vector­  or tensorvalued  function  defined  on Q. We expand f(pe)  into  a  Taylor­
series  with  respect  to midsurface  F  up to order  q such  that  two­dimensional  coefficients

«i,  Jfj, t)  of Taylor­expansion  are defined  by:

fcs [1,2,  ...,«)]
x3=0

f3  ])  F<­k)(ic  Y  i\  —  —
\  /  \ "  1  it  " * 2  '  *  )  —  ""/(fc­l)l  {dx3)

This  represents  a  mapping  of the  domain  J&3(f)
  c  Cf,  where  CJ° denotes  the space of

smooth  three­dimensional  functions /  onto  the domain  &?2(F)  c  (Cf)
q,  where (Cf)q de­

notes the  product­space  of  smooth  two­dimensional  functions  of  power  q. The  inverse
relation,  given by

(3.2)  f{x)=  ^ V ' t o . X j . O x S ­ 1  ke[\,2,...,q],



198  D.  WEICHERT

however  maps  s#2(F)  only  onto  a  subdoraain  &?'3  <=zs#3.  In  our  approach  we  take  only
elements  of jtf'3  into  account  and  interprete  this  restriction  as  an.imposure  of  constraints
according to  [6] on  the  three­dimensional  body. This  restriction  is  the  starting­point  for
the  construction  of  plate­theories  characterized  by  the  parameter  q.
Here  we  introduce  namely  two­dimensional  representatives  n,  q,  u  of  three­dimensional
generalized  stresses  s,  generalized  strains  e  and  displacements  it, defined  by  the  sets:

n  =  [N",  n'>];  qLr  <­  [Q«, 0"];  qp  =  [P",  K«],  V  =  [««]

with  the  definitions:

N"­  [Nip, Nft\  ...N\f),  n« = [m

/>« =  [Plj\  PIP,  • •., P(j>],  K" =  [AJ1

U"=  (u\l\u\2\  ...uW]
with  i,j  e  [1, 2,  3],  A E [1,2,  ...,  /•]; ?:  order  of  Taylor­expansion.

The two­dimensional  minimum­principle.  Inserting so defined  two­dimensional  quantities
into  scalar­product  (2.21)  and  using  the  multiplier"G  such  that  G~} e{q")  s  H,  we  obtain:

(3.4)  {(n, rt»0 =  <(«, q)) =  /  nmqc­'dx,  dx2dt,
r

with  the  definitions

(3.5,

m  = mk, ­  J  x
k
3

+'~2dx3.
­*

Splitting  up  (3.4)  ihto  parts  containing  solely  vector­  and  tensor­components  in  xk  — x2
direction  and  those  containing  components  in  x3­direction,  we  obtain:

(3.6)  « « , q)) =  {(napqaP)) + 2({na2  qa3))+«'h3,  q33))+((nn,  0,,»,  «, jS e  [ 1 ,  2]

defined  by:

(3­7)  .  ({nap,qaP))^

(3­8)  ««a3,  tó)  =  /  [ ^
f kmllmi

(3­9)

(3.10)  ((ntt,  en)) =

In  accordance  with  the  physical  definition  of  „plates",  given  in  the  beginning  of  this
chapter,  we  now  precise  that  plates  in  general  are  characterized  by  the  vanishing  of  (3.9)
and  thin  plate  by additionally  vanishing of  (3.8). In  the following  we shall  deal  exclusively



A  MINIMUM  —  PRINCIPLE  1 9 9

with  so  defined  thin  plates.  In  minimum­principle  (2.29)  statically  admissible  generalized
stresses  were used  for  the  construction  of  the  solution  of  the  problem.  If now  we  use  two­
dimensional  representatives  for  the  stresses  we  also  need  a  criterion  for  statical  admiss­
ibility  of  these  quantities.  Here  we  use  condition  of  orthogonality  with  respect  to  scalar­
product  (3.4),  analoguous  to  orthogonality­condition  (2.26).  Statically  admissible  stress­
representatives  are  then  defined  by:

(3.11)  «s  = { » / « » ,  «*» ­  0  on  F}

with  kinematically  admissible  generalized  strain­representatives  qk  =  [Qk«,  0] defined  by

the  set

(3.12)  Qkq  : =  {G'/fil"  =  Q(Jp  =  Grad.v»</>  in  F,  w</> =  0  on  8Tk}

with  a,  j 8 e [ l , 2 ] ;  / e  [1, 2  q]\  q:  order  of  Taylor­expansion.  In  order  to  identify
Kirchhoff  plate­theory  lateron  directly  as  special  case  of  the  herein  presented  generalized
theory  we impose  on \iq  the  constraint

Xp.Vi)  Ua  —  « a  ,  Wa  —  UM  K  —  1 ,  3,  . . .  ,  q,  K  7=  I

By  twice  application  of  divergence­theorem  (3.11)  delivers  immediately  conditions  for
statical  admissible  two­dimensional  representatives  of  generalized  stresses.

Example for  q  =  4.  If  we  insert  into  (3.11)  two­dimensional  representatives  of  order
,  q  =  4, we  obtain:

2  . ' . .
(3.14)  ((«, qk))  =  j  2hN^ui]}+

~ hs(N$HVfi+X&uM­N®u®) + ~

5

= 0.

Where  square  brackets  denote  supervectors  and  superposed  „ T "  indicates  transported
supervector.  Twice  application  of  divergence­theorem  then  delivers:

.  r\l  2  \  12  2
J  [\  ' 3  / ' \  3  f

X  5 U0L ]

(3.15)  • 6 ­ ' ^ ^ ^ +  J  f(2fcJV5i»+yfcaiVg»),
dr

(4)11
•>  M&.  J

7

e~'dsdt+  I  [Mns]c±u
(1}t~*dt  =  0,

T



200  D .  WEICH ERT

where  last  term  indicates  difference  of lefthand  and righthand  limit  of the  square  bracket
at  a  certain  poin t  c e dF.  H ere we use the definitions:

~dx
a

  a
  dn  ds

V =  n I2
a \ 3

(3.16)
oc

t
p,de  [ 1 , 2 ]

dn  '  w "  9s

n  an d s  den ote  coordinates  of normal  and tangent  direction to 8F, resp., n denotes outer
normal- vector  on 8F and ea/ 3 is permutation- symbol:  s 1 2  =   — e 2 1 =  1, e n  =  s 2 , =   0.

Conclusion  from  (3.15)  is, that for the chosen  model  all (vector- or  scalarvalued) ele-
m ents  of supervector  containing  statical  quantities  have  to be equal  to zero  for arbitrary
admissible  conjugate  displacement- representatives  in the integral  over F. On  8F conditions
of  statical  admissibility  depend  on the support  of the  plate.  N ecessary  for the vanishing
of  the  integral  over  8F is, that  the product  of conjugate  statical  and kinematical  quan-
tities  vanishes,  what  permits, as weaking of the introductory assumptions,  mixed  boundary-
con dition s.

I m posure of constraints  to deformations  is quite  arbitrary  as long  as physically  moti-
vated.  F or example,  in  order  to  obtain  from  (3.14)  a  plate- model  fulfilling  Kirchhoff-
Love- hypothesis,  we impose  on deformation- representative  ifl the constraint:  •

Then,  after  performing  the  same  calculation  as previously, we obtain  instead  of  (3.15)
the  expression:

((n, qk)) =   -
f

(i.  1S^  r»iO  „ ( 2 ) i r . -^ j .  i oy  L'̂ rx >  w  J e
-  A  L \   J  /

I
"j '"

with  definitions  according to (3.16).
I n sertin g  statically  admissible  stress- tensors  determined  in this  way according  to  the

chosen  plate- model  in to  the two- dimensional  functional

(3.19)  A( «v)  =   sup  ((ns- ns*,G..hs))  nsen°- E,nH
s

„ s  ł Bo _ £   n l l  •   *

where  E, den otes  convex  region  of  admissible  generalized  stresses  s,  expressed  by  two-
dimensional  representatives  and «°  denotes  given  purely  elastic  solution  of the  problem .



A  MINIMUM —  PRINCIPLE 201

Stress­representative  n  of  the  researched  state  of  stress  in  the  elastic­plastic  plate  is  then
given  by  the  superposition

(3.20)  «  =  n°­n"  on  I\

where  functional  /I(«s)  attains  uniquely  the  minimum  of  value  zero  for  the  function  if.
If  such  function  does  not  exist,  also  the  solution  of  the  problem  does  not  exist.

4.  Numerical  example

A  quadratic,  homogeneous,  on  entire  boundary  8F  simply  supported,  elastic­perfectly
plastic  plate  is  proportionally  loaded  by  a  distributed  force  q  acting  orthogonally  on  the
midspan  of  the  plate.  Load  is  given  by  the  function

(4.2) - —
rjf  \

where  q0  is  the  controlling  parameter  of  the  loading.

y
f —

Fig.  2

In  the  following  we  use  dimensionless  quantities

x„_ =

q =

2a'

~E\2T]  ' E'

For  this  problem  purely  elastic  solution  is given  by  [1]:

(4.2)

cos

with  v  as  Poissons  ratio.  Here  we  use  stress­representatives  JV  up  to  order  q  =  2  and
choose  as  test­functions:



202 D.  WEICHERT

(4.3)

N&­N®  ­  cAtotXz­i­ 3
  1 ^ \
J L xi)].

with  the  set  [cl 5  c2> ...,c s ]  as  free  parameters.  After  fulfilling  conditions  of  symmetry
and  condition  (3.11)  of  statical  admissibility  (4.3)  reduces  to:

(4.4)
a  =  /3

with  only  two free  parameters  cx  and  C2, which  are  subjected  to  the  minimization­process
of functional  A 0 ,  which  reduces  now  to  a function  of  parameters  cL  and  c2:

A)(ci,  c2)  =  sup  [(c?­cl C|)­4,01468+ ( c | ­ c 2 c * ) ­  6,01351 +
11S  trin  ' I c n " — P . /­s W..

(4.5)
5,21133]; C l , c2) e « ° -

Here »> was  chosen v =  0.3.
We  describe  region  Etr\sH  by  Tresca­and  von­Mises­yield  conditions:

Tresca­yield­condition:

^­N^PY+AN^2 =
(4.6)

if

i r
P)±

1 ' 2
if A^f|'2

von­Mises­yield­condition:

(4.7)

2h2
where ^ 2 )  is defined  b y — ­  aa,  with  as as stress­limit  of  uniaxial  tension­test.  Practically

this  means,  that  limit  for  two­dimensional  stress­representative  is  reached  (in  uniaxial
case),  when  yieldings  in  upper  and  lower  planes  F+,  F~  starts.  From  the  minimization
of  function  Ao  we obtain  numerically  results for  different  loading­parameters  g0>  namely:

1.5

2.5

1.5

2.5

0.1933

­0.3327

0.1575

­0.3673

­0.2708

0.1234

­0.2351

0.1580

V. Mises

,,

Tresca

"

Fig.  3



A  MINIMUM  —  PRINCIPLE 203

In figure  5 the  shape of  regions  of admissible  parameters  clt  c2  are  drawn  in  c1­c3­pl&n&
for  two  values  of  loading­parameter  q0.  The  inner  domain  is  in  both  cases  related  to
Tresca  yield­criterion  and  the  outer  domain  to  von  Mises­yield­criterion.  The  vectors  C
indicate  the  position  of  minimizing  parameters  c1,  c2­  For  increasing  load­parameter
<7o the  region  of  admissible  parameters  cL  and  c2  becomes  smaller  and  vanishes  beyond
a critical value q%  such that no solution  of the problem in the chosen space of  test­functions

5S  =3.792­10'N/cm
2

E =2.017­107 N/cm2

Fig.  4.  Uniaxial  stress­strain  diagram  of  the  considered  material.

= 2

0.45-

0.30

0.15

-0.15

-O.30

Region ot admissible parameters c , , c2
load qo=1.5 , 0^=0.72
inner region:Tresca's yield-condition
outer region: von Mises' yield-condition
Ctsolution-vectors.

0.45

0.30

0.15

­0.15

Region of admissible parameters o-) ,c2
Load parameter qo=2.5, as=0.72
inner region:Tresca's y i e l d - c o n d i t i o n
outer region: von Mises' yield-condition
C=solution-vectors

c, 0.15 ­0.15 -0.30 -0.45 -0.60
I

- 0 . 7 5

Fig.  5



Fig.  6



A  MINIMUM  —  PRINCIPLE  205

exists  for  q
0
  >   q% •   in figure  6  th e distribution  of  purely  elastic  solution  A'"0, of  t h e  m in i-

A A.

mizing  statical  admissible  stress- representative  N s  and  of  solution  N   of  t h e  problem  as

superposition  of  N °  and  N s  are  sketched  qualitatively  in  x
x
  — x2- plane.

Literature

1.  TIMOSCHEN KO,  WOIN OWSKI- KRIEG ER,  T heorie of  plates  and shells, M e  G raw- H ill  Book  com pan y,  N ew-
York,  1959.

2.  P . RAF ALSKI,  Solution  of  the  elastic- viscoplastic  boundary- value problem,  I n t .  J .  E n gn g.  Sci., 15,193,
1977.

3.  J. J.  M ORBAU ,  Fonctionelles convexes,  Sć minaire  sur les  equations  aux derivees  partielles,  1966  -  67,
College  de  F rance, P aris.

4.  B.  N AYROLES,  Quelques applications variationelles  de la theorie des  fonctions  duales a la micanią ue  des
solides, J. de M ecanique,  Vol  10,  N ° 2, 1971.

5.  B.  H ALP H EN ,  N G U YE N   QU OC  SO N , Sur les materiaux  standard generalisis,  J . de M ecanique,  14,  p p .
39- 63,  1965.

6.  C z.  WOŹ N IAK,  L arge deformations of elastic and non- elastic plates, shells  and rods, M itteilungen  aus  dem
I nstitut fur M echanik 20,  Bochum  1980.

7.  D .  WEICH ERT,  Variational formulation  and solution of boundary- value problems in the  theory  of  plasticity
and application  to plate- problems,  M itteilungen  aus  dem  I n stitut fur M echanik  25, Bochum ,  1981.

P  e 3 jo  M e

3AKOH  MHHHMYM  JUDI  H EIIPAiKEH H OrO  COCTOaH H H  B  y n p y T
nH H TAX  H   COOTBETCTBYIOIUHfl  MOflEJIŁ  n JI H TŁ I

H anpH ł KeH H oe  coeroH H H e B n jin ia x  nofl  ^eftcTBHeM   H C T O P H H   H arpy3KH   onpefleJineTCH
3KcnepHMeHTajiBHbie  xeopeiww  K 3ap,anam B  paMKax  reoMeTpH raecKH   H H H C H H OH   T C O P H H .
I T O  nnjiTBi  TpexM epH tie  c reoMeipH qecKH MH   CBH3HMH  oSocHOBaHHbiMH   diH3H^(ecKH. P a6oT a  H J I J U O C T P H -
poBan a  *fflCJieHHHM   npH Mepoiw.

S t r e s z c z e n i e

Z ASAD A  M I N I M U M   D LA  STAN U   N AP R Ę Ż E N IA W P Ł YTAC H   SP R Ę Ż YSTO- P LASTYC Z N YCH
OR AZ  D YSKU SJA  STOSOWN EG O  M O D E LU  P Ł YT

Stan naprę ż enia w pł ycie pod dział aniem dowolnych  historii obcią ż enia  wyznaczono  przez  zastosowanie
twierdzeń  ekstremalnych  do  zagadnień  w ram ach  teorii  geometrycznej  liniowej.  Przyję to,  że pł yty są   trój-
wymiarowe  z  nał oż onymi  fizycznie  uzasadnionymi  wię zami  geometrycznymi.  P racę   uzupeł n ia  przykł ad
liczbowy.

Praca został a  zł oż ona  w Redakcji  dnia 15 paź dziernika  1981 roku

3  Mech.  Teoret,  1 Stos. 3—4/ 82