Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z3_4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3/4, 20 (1982) O  METOD ACH   TEORII  POTEN CJAŁÓW  W  ROZWIĄ ZYWAN IU   ZAG AD N IEŃ OD WROTN YCH  WYMIANY  CIEPŁA KRZYSZTOF   G R Y S A . Politechnika Poznań ska Wstę p Zagadnienia  odwrotne  wymiany  ciepł a rozważ ane  są   w  literaturze  naukowej  od ok. dwudziestu  lat.  Pod tym  okreś leniem  rozumie się  zwykle jeden  z nastę pują cych  rodzajów zagadnień:  a) wyznaczanie  funkcji  opisują cej  ź ródło  ciepł a przy  znanym  rozkł adzie tem- peratury w ciele,  [1],  b) wyznaczanie  współ czynników  charakteryzują cych  proces  wymiany ciepł a  przy  znanym rozkł adzie temperatury  w rozważ anym  oś rodku,  [2],  c) odtwarzanie historii  zmian temperatury w ciele przy  znanym jej  rozkł adzie dla chwil  czasu  t >*t Q>   [3], oraz d) odtwarzanie warunków  brzegowych  przy znajomoś ci  tzw. wewnę trznych  odpowie- dzi termicznych, którymi mogą   być temperatura lub  strumień ciepł a okreś lone w pewnych punktach  wewnę trznych  rozważ anego  ciał a,  [4]. W  niniejszej  pracy  zajmiemy  się   zagad- nieniami  odwrotnymi  rozumianymi  w  sensie  punktu d). Przeglą d  metod,  stosowanych  przy  rozwią zywaniu  zagadnień  odwrotnych  zamiesz- czono w pracy  [4]. Jak wynika  z tego  przeglą du,  gł ównie zajmowano  się  —ja k  dotą d — zagadnieniami jednowymiarowymi.  Przez  wiele lat podstawowym  problemem  był o  uzys- kanie rozwią zania  przybliż onego, opisują cego  w zadowalają cy  sposób poszukiwane  warunki brzegowe.  G ł ównym  zał oż eniem,  które jest również  podstawowym  zał oż eniem i  niniejszej pracy,  był a znajomość  rodzaju  warunków  panują cych  n a  brzegach.  Zadowalają ce  rezul- taty  dla zagadnień jednowymiarowych  uzyskano  dopiero  w  ostatnich latach — moż na tu wymienić  n p. prace  [5] i  [6]. Jednakże  zagadnienia  wielowymiarowe  stanowił y  problem o  znacznie  wię kszym  stopniu  trudnoś ci — toteż  ilość  prac,  w  których  takie  problemy się   rozważ a, jest raczej  niewielka.  Wyniki,  prezentowane w tych pracach, nie budzą   wię k- szego zaufania  (por.  [7, 8]). Są  to wyniki  przybliż one,  których  wykorzystanie  w  praktyce uwarunkowane  jest  dostę pem  do  szybkoliczą cego  komputera  o  bardzo  duż ej  pamię ci operacyjnej. W niniejszej  pracy  rozważa  się  zagadnienie  odwrotne  wymiany  ciepł a w  trzech  wymia- rach. Wykorzystują c  tzw. potencjał y cieplne sprowadza się  problem do równań cał kowych. W  pierwszej  czę ś ci  pracy  zdefiniowano  zagadnienia  F ouriera  i  okreś lono  klasy  funkcji, do  których  należą   dane  i  poszukiwane  wielkoś ci.  N astę pnie  zdefiniowano  potencjał y cieplne  i  pewne  funkcje  pomocnicze,  uł atwiają ce  analizę   tak  zagadnień  począ tkowo- brzegowych  jak i  odwrotnych. W  trzeciej  czę ś ci  pracy  pokazano  rozwią zania  niektórych począ tkowo- brzegowych  zagadnień  wymiany  ciepł a.  Rozważ ania  zawarte  w  tej  czę ś ci 3 * 208  K .  G RYSA pracy  są  punktem  wyjś cia  do  analizy  dotyczą cej  zagadnień  odwrotnych.  Jednocześ nie stanowią  pewien  materiał   porównawczy,  pozwalają cy  lepiej  uchwycić  róż nicę  podejść  do zagadnień  począ tkowo- brzegowych  i  odwrotnych.  W  czę ś ci  czwartej  podane  są  rozwią- zania  dotyczą ce  zagadnień  odwrotnych. Rozwią zania  te okreś lone są  przy  pomocy  funkcji stanowią cych  rozwią zania  pewnych  równań cał kowych  typu  Volterry  I  rodzaju  o ją drach bę dą cych  iloczynami  pewnych  ją der  sł abo  osobliwych.  W  koń cowych  czę ś ciach  pracy przedstawiono  metodę  przybliż onego  rozwią zywania  równań  cał kowych  determinują cych gę stoś ci  potencjał ów,  przy  pomocy  których  definiuje  się  rozwią zania  zagadnień  odwrot- nych  oraz krótko  omówiono moż liwoś ci  zastosowań  praktycznych  otrzymanych wyników. 1.  Zagadnienia  Fouriera Rozważ my  ograniczony  obszar Q  c  R3,  którego brzegiem jest zamknię ta powierzchnia klasy  C2,  [9,  s.  217].  P unkty  wewnę trzne  rozpatrywanego  obszaru  bę dziemy  oznaczać przez  x  =   (x l ,x 2 ,  x 3 )  lub  przez  y  «=>  (y u   y 2 ,  y 3 ),  a  punkty  zamknię tej  powierzchni S  — 8Q  przez  §  »  ( £ l t $a,  £3)  lub  przez  C  =   (£ i, fj»  d)-   W  obszarze  tym  bę dziemy rozważ ać  równanie przewodnictwa  cieplnego (1.1)  iv2- ~- CjT (x,t)  = F(x,t),  xeQ,  t e (0,  oo), z  warunkiem  począ tkowym (1.2)  ' oraz z róż nego typu warunkami brzegowymi.  Tutaj V2 jest operatorem Laplace'a, T (x, t) — temperaturą,  F(x,  t) — funkcją  ź ródł a,  F(x,  t)  =   —Q(x, t)jX,  gdzie  Q(x,  t)~- intensyw- ność  ź ródła  ciepł a,  X —  współ czynnik  przewodnictwa  cieplnego,  a —  współ czynnik  dy- fuzyjnoś ci  temperaturowej.  O  funkcji  cp(x)  zakł ada  się,  że jest  ograniczona  i  cią gła  dla x  BD. Ze  wzglę du  n a  rodzaje  warunków  brzegowych  rozróż nia  się  tzw.  pierwsze,  drugie i  trzecie zagadnienie F ouriera,  a także zagadnienia mieszane. Pierwsze  zagadnienie  F ouriera polega  n a wyznaczeniu  funkcji  T (x, t), która  dla  t  > 0 speł nia  równanie  (1.1) w  obszarze  Q, jest  cią gła  w Q,  speł nia warunek  (1.2), a  na  brzegu S  speł nia  warunek  brzegowy  I  rodzaju (i.3)  m,  t) =  HI> o. D rugie  zagadnienie  F ouriera  formuł uje  się  analogicznie,  z  tą  róż nicą,  że  n a  brzegu S  funkcja  T (£, t)  musi  speł niać warunek  brzegowy  I I  rodzaju Ollę Trzecie  zagadnienie  F ouriera  polega  n a  wyznaczeniu  w  obszarze  Q  funkcji  T (x, t), która —  oprócz  równania  (1.1)  i  warunku  (1.2) — musi  speł niać  warunek  brzegowy I I I  rodzaju: O  METODACH   TEORII  POTEN CJAŁ ÓW  2 0 9 W  powyż szych  zwią zkach  n e   oznacza  normalną  zewnę trzną  do  S,  zaś  ip(£, t),  W (£,  t), ,  / )  i  %(g,  t)  są  pewnymi  funkcjami  ograniczonymi  i  cią gł ymi  dla  t  >  0  i  f  e  S,  [9], O  współ czynnikach  X  i  % zakł ada  się,  że  są  stał e.  F unkcja  %(f,  t)  ma  zwią zek  z  liczbą Biota, Bi( £ , ?) : (1.6)  Bitf,  0  -   Z ( f,  t)L gdzie  Z, jest  wymiarem  charakterystycznym  obszaru  Q.  Stąd —  wobec  stał oś ci  X —  wi- doczne jest, iż w  ramach omawianej teorii dopuszcza się zależ ność współ czynnika  wnikania ciepł a,  x,  powią zanego  z  liczbą  Biota  wzorem (1.7)  Bi  =   aL / X, od  współ rzę dnych  £   i  t:  ot => a ( £ , t). Oprócz warunków  (1.2) i jednego  z warunków  (1.3), (1.4) czy  (1.5) powinien być jeszcze speł niony  warunek  zgodnoś ci, który  n a postać  nastę pują cą: —  w  przypadku  I zagadnienia F ouriera: (1.8)  ytf. x- > & —  w  przypadku  I I zagadnienia F ouriera (1.9)  ^ . 0 ) - —  w  przypadku  I I I zagadnienia F ouriera (1.10)    0 i x  e  Rm.  F unkcja  ta nosi nazwę  rozwią zania  podstawowego  równ an ia przewodnictwa cieplnego  (1.1), [9, s. 224].  Otrzymuje  sieje  w przypadku,  gdy  Q(x,  t)jX  = =   d(x) (5(0, gdzie  <5(x) —  dystrybucja  D iraca. Z a pomocą  tej funkcji  konstruuje  się  pewne rozwią zania  równania  (1.1),  mają ce  postać  cał ek.  Cał ki  te  noszą  nazwy  potencjał ów cieplnych. 210  K.  G RYSA Potencjał em  cieplnym  warstwy  podwójnej  nazywa  się  cał kę (2.2)  •   U(x, t)=  J  f/ V, T)- gjpW< x- C , t- T)dscdT, oś  ,   c gdzie  fun kcja/ n osi  nazwę  gę stoś ci  warstwy  podwójnej. Potencjał em  cieplnym warstwy  pojedynczej  nazywa  się cał kę <2.3)  V0c,t)m J  Jh(t,T )w(x~t,t- T )dS t dr, «  os gd zie  fun kcja  h nosi  n azwę  gę stoś ci  warstwy pojedynczej.  « P o t en cjał em  ciepln ym  obję toś ciowym  [10, s. 350]  n azywam y  cał kę (2.4)  A{x,  t) =   -   J  fjF(y,  r)w(x- y,  t- x)dydx, o o"„ gdzie  F  jest funkcją  mierzalną i ograniczoną  w  obszarze Q. Oprócz  trzech  wyż ej  okreś lonych  cał ek  wprowadza  się  jeszcze  tzw.  cał kę  Poissona- Weierstrassa  [9, s.  225],  nazywaną  także  cał ką  Fouriera- Poissona  [10, s.  361].  Ma on a  postać (2.5)  I(x, t) =  - ~  f 0 speł niać równanie cał kowe (3.2)  ~f(i,  t)- U(£, t) -   ?(f,  t)­P($, t). Jest to —jak  wynika z (2.2) — równanie typu Volterry II  rodzaju. W przypadku jednowymiarowym I zagadnienie Fouriera formuł uje  się   nastę pują co: (3.3)  limJiC *. 0 = o 2i(0,  0  -   vo(0.  T x (l,  t) = Tutaj i w dalszych  rozważ aniach indeks  „ 1 "  sł uży do zaakcentowania, że chodzi  o przy- padek jednowymiarowy.  Wzory  (3.1) i  (3.2)  zastosowane  do zagadnienia  jednowymiaro- wego prowadzą   do nastę pują cych  zwią zków  cał kowych: ( 3 . 4 )  r 1 f e o - ^ ^ ^ ^ ^ ^ (3.5) A(0  0  +   4/ C / . 0  - X-   ^ ~~  -   Vo(O- Pi(0, 0~A(0.  0  +  4 r [ y/ itf,   0+   "̂ - /iCO. 0  - X-   - ^ il  =   y , ( 0 _ A ( Z , 0[ Symbol  - X-  oznacza  splot,  [11, s. 149]. U kł ad  równań  cał kowych  (3.5)  moż na  ł atwo  rozwią zać  w transformatach  Laplace'a. P o  wstawieniu  tych  rozwią zań  do przetransformowanego  zwią zku  (3.4),  a  nastę pnie odwróceniu  transformat  otrzymuje  się  funkcję   T ^ x, t)  w postaci (3.6)  T x(x, t) =  - r-  {y) o (t)- Pi(0, t)} sit  *•   *dt  w QV '  - "W »' ' J  ft|  !  tr(  "K 212  K.  G RYSA x  sin  —j—a k   expl  — «*•  - -̂ 1}  +  - ^ rr {fiiA—PxQ, t)\ 00 lx  Vi  (—Y)k  lx  \   I  >ct\ \ gdzie  a k  = ?rA:5  przy  czym  moż liwość  wykorzystania  cał ki  D uhamela  i  doprowadzenia funkcji  T t (x,t)  do podanej  wyż ej  postaci  wynika  ze wzoru  (2.9)  oraz  postaci  prawych stron równań (3.5), a także ze wzoru  (5.3) z pracy  [13], rozpisanego  dla x =  1,  Róż niczko- wanie funkcji  P t  (0,t)i  P t Q,  t) po czasie rozumie się w sensie twierdzeń podanych w mono- grafii  [10]  n a stronach  360 i 366. W przypadku  I I I zagadnienia brzegowego  funkcję  T (x, t) moż na przedstawić w postaci sumy  potencjał u  cieplnego  warstwy  pojedynczej  o gę stoś ci  h oraz  funkcji  P(x, t): (3.7)  T (x,t) =  V(x,t)+P(x,t). G ę stość  h(§,  t)  musi  dla t > 0 speł niać nastę pują ce  równanie cał kowe: (3.8)  - ifc($,  0 +   /   fh(C, T )N G,  :, t, t)dS K dr  =  fe(|, t) o  s gdzie , ff. t, r) =   A - (3.9)  ł ,  0  =    0 - Jeś li  z funkcją  %(i, i) dokonać przejś cia  do zera, wówczas  równania  cał kowe  (3.7) i (3.8) z  odpowiednio  zmodyfikowanymi  zwią zkami  (3.9) opisują  I I  zagadnienie  F ouriera. W  miejsce  funkcji  $ ( | , t)  należy  wówczas  wstawić  W (C, t). Rozważ my  jeszcze  równanie  (1.1) z  warunkiem  począ tkowym  (1.2) i  warunkami brzegowymi  mieszanymi: (3.10)  a r - ^ - ( 1,  t)+ x (S,  t)T (£, t) =    t)- x(S.  O/CFP 0  dla  ? e S 2 . O  METODACH   TEORII  POTEN CJAŁ ÓW  2 1 3 Wzór  (3.11)  wynika  z  ogólnej  postaci  rozwią zania  równania  (1.1)  z  warunkiem  po- czą tkowym  (1.2)  i  dowolnymi  warunkami  brzegowymi,  [10,  s.  350].  F unkcje  /   i  h  dla i  należ ą cych  do —  odpowiednio —  S2  i  S t  okreś la  się  jako  rozwią zania  nastę pują cego ukł adu równań  cał kowych, wynikają cych  z  (3.11) i  (2.6): (3.13)  y/ ( f , t) = -   f  j 0 St  f o +  lim |  f 1  0   S t +   J  J  [0(C,  T)- . s J J o  s 2 gdzie  osobno  trzeba  rozpatrzyć  £ e S t   i  f  e S 2  • W  przypadku  jednowymiarowym  powyż sze >  zagadnienie  mieszane  sprowadza  się do  rozwią zania  równania  (3.3)!  z  warunkami  (3.3)2  oraz  warunkami  brzegowymi postaci — np.  — (3.14)  - ^ - ( 0,  0- &CO,  0 ^ ( 0 ,  0  .  - 0o(t), tzn.  tutaj  S,  =   {/},  ^ 2  =   {0}. Wzór  (3.11)  oraz  równania  wynikają ce  z  (3.13)  przyjmą  wówczas  postaci (3.15)  r ł (* ,  t) = i=2L?ł(t) - x-  ^ ^  + £ / ,«> , 0 *   w ^  + i(/ , 0  - X-   W l ( x- /,  o- fei< P.  0/ i(o,  O - *o(O]  - X- (3.16)  1/ 1(0, 0 +  y Z ( 0 ,  0/ i(0,  0  - )f - f t i ( /,  0  - Jf Wi(/ ,  0  -   2 ^ / i ( o ,  0 *  M i i i  - Z ( o , OA(os 0 - X-  Wi(z, o + /,   0 . Przyjmijmy  dla  uproszczenia,  iż  ^( 0, t)  =   %  =   const. Wówczas  ukł ad  równań  cał kowych (3.16)  moż na ł atwo rozwią zać  w  transformatach  Laplace'a.  Przetransformowaną  funkcję 7\ (x,  t)  moż na  ostatecznie  przedstawić  w  postaci 2 i 4  K.  G RYSA (3.17)  T t (x, s)  =  _ ^ _ jfoto- Ą a,  s)] [ j / ^  cosh (x- j/ i. ) + / ]   x,  s), / T"  /   rj~\   i  / ~^ ~\ gdzie  M(s)  =   1 /   —  cosh  / I / - -   + ysin h  / ] / -   ,  s —  parametr  transformacji.  Od- \   x  >  r  »  /   \   r  «  / wrócenie  transformaty  Tifx, ^)  nie  przedstawia  wię kszych  trudnoś ci. Odnoś nie  równań  cał kowych  wystę pują cych  przy  rozwią zywaniu  zagadnień  F ouriera w przestrzeni trójwymiarowej  dowodzi  się, że ich rozwią zanie  istnieje  i jest funkcją  cią gł ą, [9]. 4.  Zagadnienia  odwrotne  wymiany  ciepł a Jak już  wspomniano  na wstę pie,  przez zagadnienia  odwrotne wymiany  ciepł a  bę dziemy rozumieli  problem  wyznaczenia  warunków  brzegowych  (których  rodzaj  jest  znany)  przy znajomoś ci  warunków  począ tkowych,  funkcji  ź ródła  oraz  przy  znanej  funkcji  T {x*, ł ) lub  g(x*,  t),  x*  e  8Q*,  gdzie  Q*  <=   D,  F unkcja  T (x*,  t)  opisuje  rozkł ad temperatury  n a pewnej  powierzchni  dQ*,  zaś  funkcja  q(x*,  t) —  rozkł ad strumienia ciepł a na tej  powierz- chn i.  F unkcje  te,  okreś lone  dla  x*  e  dQ*  i  t  >  0,  nazywać  bę dziemy  wewnę trznymi  od- powiedziami  (w  skrócie  W O), przy  czym  T (x*, t) jest  wewnę trzną  odpowiedzią  tempera- turową  {W OT ),  zaś  q(x*,t)—- wewnę trzną  odpowiedzią  strumieniową  (W OS). N ie  każ da  funkcja  może  opisywać  W OT   CZY W OS.  Pewne  ograniczenia  n a te  funkcje wynikają  z  ogólnej  postaci  rozwią zania  równania  (1.1)  z  warunkiem  począ tkowym  (1.2) [10?  s.  350],  jak  również  z  fizyki  zagadnienia.  N a  podstawie  wł asnoś ci  potencjał ów cieplnych  oraz  cał ki  Poissona- Weierstrassa  (por.  [9,  s.  225],  a  także  [10],  twierdzenia n a s.  360  i  366)  otrzymujemy  nastę pują ce  warunki  dostateczne n a to, aby funkcja  T (x*,  t) lub  q(x*,  t)  mogł a  opisywać  W O: 1°  F un kcja  t a  musi  być  ograniczona dla  / E ( 0 ,  OO) 2°  F un kcja  t a  musi  mieć skoń czone granice dla  C - + 0+   i  t- *  oo. 3°  W  przypadku  W OT   funkcja  T (x*,  t)  musi  być  przynajmniej  jednokrotnie róż niczko- waln a  wzglę dem  czasu  dla  t  >  0: W  praktyce przy  poszukiwaniu  rozwią zań  przybliż onych  rezygnuje  się z warunku  3° n a rzecz  sł abszego  warunku,  a  mianowicie  róż niczkowalnoś ci  funkcji  T (x*, i)  wzglę dem czasu  w  przedziale  /  >  0  poza  pewną  przeliczalną  liczbą  chwil. P rzy  rozważ aniu  zagadnień  odwrotnych  zakł ada  się,  że  znany jest  rodzaj  warunków, panują cych  n a brzegu  S1 =   8Q,  a w  przypadku  gdy  są  to warunki  I I I rodzaju  —  że znany jest współ czynnik x(£,  O-  Brzeg  dQ*  obszaru  Q*  <  Q  może mieć czę ść wspólną  z brzegiem S.  P rzy  stosowaniu  do  obliczeń  dotyczą cych  tych  zagadnień  transformacji  Laplace'a zakł ada  się,  iż  transformaty  wyników są  odwracalne. To zał oż enie zwykle pocią ga  za  sobą speł nienie  warunków  1°  i  2°,  jak  również  sł abszej  postaci  warunku  3°,  [6]. R ozważ my  teraz pewne zagadnienia  szczegół owe. Z ał óż m y, że znana jest  W OT , tzn . że (4.1)  T (x*, i)  =   v *(x*,  t),  x*e  dQ*,  Q*  c  Q,  , O  METODACH   TEORII  POTEN CJAŁ ÓW  2 1 5 oraz  że  na  brzegu  obszaru  panują  warunki  brzegowe  I.rodzaju.  N iech  funkcje  cp(x)  oraz F(x,  t)  bę dą  funkcjami  danymi,  cią gł ymi  i  ograniczonymi  dla  x  e Q  (zał oż enie  to  bę dzie obowią zywać  do  koń ca  pracy).  Funkcją  poszukiwaną  jest  T (£, t),  £  e  8Q,  opisują ca temperaturę  brzegu  obszaru  Q.  Funkcję  tę  moż na  okreś lić  wzorem,  wynikają cym  z  (3.2) i (2.6): (4.2)  r(f,  o  =  y/ ff,  0- tftf.  O+ P (I ,  o. gdzie/ (£ , i) jest rozwią zaniem nastę pują cego  równania cał kowego typu Volterry  I  rodzaju, wynikają cego  z (3.1): f (4.3)  f  ff(C,  T ) - ~ w( x*- f,  i- x)dS i dx  =  P(x*, 0- V*(**. O- oś  * Ją dro  równania  (4.3) .moż na  traktować  jako  iloczyn  dwóch  ją der  sł abo  osobliwych, [9,  s.  227].  Wynika  stąd  moż liwość  rozwią zania  równania  (4.3),  a  co  za  tym  idzie  — okreś lenia  funkcji  T (C,  t).  ' Z  porównania  rozwią zania  —  czy  też  postaci  cał kowej —  zagadnienia  odwrotnego odpowiadają cego  I  zagadnieniu  F ouriera  i  zewnę trznego  I  zagadnienia  F ouriera,  [9,  s. 233 -  234], wynika, iż  są  to  problemy  róż nego  typu.  M imo  bowiem,  iż ją dra  równań  cał - kowych  na gę stoś ci/ potencjału  warstwy  podwójnej  róż nią  się  tylko  znakiem, to  w  przy- padku  I  zewnę trznego  zagadnienia  F ouriera  mamy  do  czynienia  z  równaniem  Volterry I I  rodzaju,  podczas  gdy  w  przypadku  zagadnienia  odwrotnego  odpowiadają cego  I  we- wnę trznemu  zagadnieniu  F ouriera do  rozwią zania  jest  równanie  Volterry  I  rodzaju  na  tę gę stoś ć. Również wzory opisują ce  temperaturę punktów x  e Q  róż nią  się od siebie.  W  przy- padku  zagadnienia  pdwrotnego  temperatura  T (x,  t)  dan a jest  wzorem  (3.1),  w  którym potencjał   warstwy  podwójnej  wyznaczony  jest  w  oparciu  o  rozwią zanie  równania  (3.2), w którym  z kolei  funkcja  y>(£;  t)  =   T (£, t) jest  dana zwią zkiem  (4.2). N atom iast w  przy- padku  odpowiedniego  zewnę trznego  zagadnienia  funkcjonuje  wzór  podany  w  monografii [9],  s.  234,  który  należy  uzupeł nić  o  potencjał   obję toś ciowy. W przypadku jednowymiarowym  w miejsce  równania cał kowego  (4.3) otrzymuje  się  — po wykonaniu  transformacji  Laplace'a —  ukł ad  równań  na transformaty / i (0, s)  i/ i( / , s), wynikają cy  z  (3.4). Po  rozwią zaniu  tego  ukł adu  równań  i wstawieniu  wyników  do  prze- transformowanego  zwią zku  (4.2),  który  w  przypadku  jednowymiarowym  rozbija  się  na dwa  zwią zki, gdyż S  =   {0,  / },  otrzymuje  się  transformaty  Laplace'a  rozwią zań  w  postaci 2 (4. 4), V (4- 4)2  7 i(/ ,  s) «/ »!(/ ,  a)+   V sinh 216  K.  G RYSA gd z ie  Xx,  x 2   e  (O,  / ),  yjf(t)  =  T l (x k ,  t)  je st  W OT   w  p u n k c i e  x B ,  k  =  1 , 2 ,  D  =   x 2 - x 1 . T ran sfo rm at y  d a n e  wzoram i  (4.4)  m oż na  odwrócić  m etodą   podan ą   w  pracy  [6],  M etoda t a polega n a  przejś ciu  d o  przybliż onego  opisu  funkcji  f*(ł )  i Pi(xk>  0  P r z y  pom ocy  funkcji sch o d ko wych  ( kt óre  są   funkcjami  dopuszczalnym i  do  opisu  W OT ,  [6]).  W  ten  sposób u ł am ki  wystę pują ce  p o d  sumą   m oż na  sprowadzić  d o  postaci  tran sform at,  speł niają cych zał oż en ia  lem at u  J o r d a n a ,  [11, s.  186]. D zieje  się   tak  dzię ki  przem n oż en iu  tych  uł am ków przez  t ran sfo rm at y  funkcji  H eaviside'a  wystę pują cych  w  opisie  funkcji  sch odkowych . P o  odwrócen iu  t a k  otrzym an ych  tran sform at  dokon uje  się   pon own ie  przejś cia,  tym  razem od opisu  przybliż on ego  d o ś cisł ego  i  w  ten  sposób  otrzymuje  się   funkcje  7\ ( 0,  t)\   7\ (/ , / ) . Wa r t o  tu  n adm ien ić,  że  w  przypadkach ,  gdy  jct  <  D  lub  1— x2  <  D,  n iektóre  spoś ród u ł am kó w  wystę pują cych  w  tran sform atach  (4.4) od razu  speł niają   zał oż enia lem atu J o r d a n a i  kwalifikują   się   do  odwrócen ia  m etodą   residuów.  Wyniki  otrzym an e  przy  odwrócen iu bezpo ś red n im  pokrywają   się   w  takim  przypadku  z  wynikam i  otrzym an ym i  n a opisan ej  w  pracy  [6], P o  odwrócen iu  tran sform at  dan ych wzoram i  (4.4), przy  wykorzystan iu  cał ki  D uh am ela (co., gwaran tują   zwią zek  (2.9)  oraz  wzór  (4.2)  z  pracy  [14])  i  odpowiedn ich  twierdzeń  za- wartych  w  m on ografii  [10],  s.  364,  367,  361  i  347,  otrzymujemy  dla  t  >  0 2 1  '  —- J  dt (4.5) T&,  t)  =   PS,  0 - i= i przy  czym  róż n iczkowan ie  funkcji  P t   po  czasie  rozum ian e jest  w  sensie  twierdzeń  zawar- tych  w  m o n o grafii  [10],  s.  360  i  366.  M ię dzy  wzoram i  (4.5)  i  (3.6)  istnieje  pewne  p o d o - bień st wo  w  bu d o wie;  w  przypadku,  gdy  x L   =   0, x 2   =   / wzory  (4.5) i  odpowiedn ie  zwią zki wyn ikają ce  z  (3.6)  są   iden tyczn e. P u n kt ó w  x t   i  x 2   n ie  m o ż na  wybierać  dowoln ie.  N ie m oż na  wybierać  takich  p u n kt ó w, p rzy  kt ó r yc h  u ł am ki  x k jD  i  (l—x k )/ D,  k  =   1, 2,  są   liczbam i  cał kowitym i.  Jeś li  bowiem u ł a m ki  te przyjm ują   wartoś ci  cał kowite, wówczas  argum en ty  sinusów  stają   się   dla  każ dego /   =   1, 2,  ... wielokrotn oś cią   n  i szeregi  n ieskoń czone  znikają .  Jeś li  —  dla  lepszego  zilustro- wa n ia  sytuacji  —  przyjm iem y  zerowe  warun ki  począ tkowe  i  brak  funkcji  ź ródł a,  t o  przy c ał ko wit yc h  wart oś ciach  wspom n ian ych  uł am ków  wzory  (4.5)  sprowadzają   się   do  postaci ( 4 - 6 )  l- x  l- x 71(1. t) =  — ^  v?( O -  - ~  •   y>t(t). O  METODACH   TEORII  POTEN CJAŁÓW  2 1 7 Wyliczają c  z ukł adu  równań  (4.6)  funkcje  ip*(t) i ip*(t) i  porównują c  je z  odpowiedn im i zwią zkami  wynikają cymi  z (3.6) ł atwo zauważa  się  brak  zgodnoś ci  pomię dzy  tymi  zwią z- kami.  Wynika  stą d  nastę pują cy  warunek  na dobór  punktów x t   i  x 2 : (4.7)  x 2   > m a xl2x1 )  — ~ Przy  speł nionym  warunku  (4.7) speł nione  są   nastę pują ce  nierównoś ci:  x L / D <  1, (l—X2)/ D < 1, x 2 / D  < 2, {I—x^ ID  < 2. N ierówność  (4.7) potwierdza jeden z  wniosków, wynikają cych  z pracy  [6], a mianowicie iż punktów xx i x2  nie  moż na wybierać  w  sposób zupeł nie dowolny.  P on adto,  porównują c  ograniczenia n a dobór  tych  punktów  wynikają ce z  prac  [6], [12] i  nierówność  (4.7),  dochodzimy  do wniosku,  iż ograniczenia  zwią zane z  doborem  punktów  x 1   i x 2   są  zależ ne  od rodzaju  warunków  panują cych  na brzegach rozważ anego  obszaru. Zał óż my  teraz, ża znana jest  W OS,  tzn.  że dT (4.8)  q(x*,t)=  - A—( a : *,  t) =  W *(x*, t),  x* S  SQ*,  Q* <=   Q, oraz  że na brzegu  panują   warunki  I rodzaju.  F unkcją   poszukiwaną   jest  wię c  pon own ie !T(f,  0-  Okreś la  się  ją  i w tym  wypadku  wzorem  (4.2), lecz  gę stość  potencjał u  cieplnego warstwy  podwójnej, / (f,  t), jest  tym razem  rozwią zaniem  równania  cał kowego  postaci ( 4- 9)  l'W  /  iM'  T ) ^ w ( x * ~ C '  l- ^dsidx  =  A|̂ r(**> t)+Ą*(x*. 0, gdzie  n* jest  normalną zewnę trzną  do  dQ*. Przyjmijmy  teraz, że znana jest  W OT i  że jest ona opisana zwią zkiem  (4.1), zaś n a  brzegu Ś  =  8Q panują  warunki  I I rodzaju.  F unkcją  poszukiwaną  jest  poch odn a  - =—(f, t), opisują ca  gradient  temperatury n a brzegu  S. F unkcję tę moż na  okreś lić  wzorem  wynika- ją cym  z (3.8) w przypadku,  gdy % =  0: (4.10)  iZ L( {, 0 -   - J - t f ,0 +  - i- ft(£ .0+   f  f/ t(£,  T )- £- yv(S- C,t- T )dS c dr. arie  oiit  2  J  J  om os D o  wyprowadzenia  zwią zku  (4.10)  wykorzystano  wzór  (2.7).  F unkcja  h(J- , t) jest  rozwią- zaniem nastę pują cego  równania  cał kowego, wynikają cego  z (3.7): (4.11)  J  fh(S,  T ) W( X*- £, t- r)dS $ dr=  - P(x*,t)+ip*(x*,t). o  s N a  zakoń czenie  rozważ ań  dotyczą cych  postaci  cał kowej  rozwią zań  zagadnień od- wrotnych  zał óż my, że znana jest  W OT i że jest  on a  postaci  (4.1), zaś na brzegu  S =  dQ panują  mieszane  warunki  brzegowe,  a mianowicie  warunki  dane zwią zkami  (3.10).  F u n k- cjami  poszukiwanymi  są więc  T (£, t) dla  £ e S x  oraz  <£(£, t) dla f e S 2 . F un kcje t e m oż na okreś lić  nastę pują cymi  wzoram i: 218  K.  G RYSA (4.12).  T (£,t)  =  P(S,t)  + V{C,t)- U(£,t)+- T f(C,  t), d < 4- 13>  _3n s O S przy  czym  gę stoś ci  potencjał ów  c ie p ln yc h / i  A speł niają  zwią zki  (3.12)  oraz  równanie cał kowe  postaci (4.14)  V(x*, ł )- U(x*, t) = P(x*,  t)- T (x*,  t). W  przypadku  jednowymiarowym  zagadnienie  to moż na zapisać  nastę pują co.  Przyjmują c, iż  warun ki  brzegowe  mają  postać  (3.14),  a  poszukiwanymi  funkcjami  są  0O ( / )  i  y>i(t), otrzymuje  się — przy  przyję ciu,  że w punktach Xi i x 2   okreś lone są W OT —  ukł ad  równań cał kowych  na  fun kcje/ i  (0,  t), h x (h  0» ^ o ( O  i Vi(0.  skł adają cy  się z równań  (3.16),  oraz równ ań  wynikają cych  z  (3.15): (4.15)  L g.   W l  (t)  - X-   W l ( *- *; °  +  ̂ ( 0 ,  0 - X-  ^ f ^  -  ^ ( 0 , 0 - X-   Wl(xfc,  0 + Otrzymany  ukł ad  czterech  równań  cał kowych  moż na  rozwią zać  w dziedzinie  transformat Laplace'a  przy  zał oż eniu, iż # ( 0, t) =  const  =   %.  Otrzymujemy  transformaty  rozwią zań, fi(s)  i   0, tzn. gdy  warunek  brzegowy  n a  brzegu  x  =  0  staje się  warunkiem  I I  rodzaju,  otrzymujemy  (kł adąc  w  miejsce  0 Q (s)  transform atę  lF 0 (s)) transformatę  opisują cą  strumień  ciepł a n a brzegu  (z dokł adnoś cią  do współ czynnika  ż l), zaś  przechodząc z  do nieskoń czonoś ci  w ten sposób,  aby  0 o (t)/ x  ~* y>o(t),  otrzymujemy na  brzegu  x  = 0 warunek  brzegowy  I rodzaju,  zaś transformata  (4.16)2  przyjmuje  postać (4.4)!. 5. M etoda przybliż onego  rozwią zywania  równań cał kowych  Volterry  I  rodzaju Równania  cał kowe n a gę stoś ci  potencjał ów,  (4.3),  (4.9),  (4.11) i  inne, które  pojawiają się  podczas  rozważ ań  dotyczą cych  trójwymiarowych  zagadnień  odwrotnych  wymiany ciepł a, mają  — ogólnie rzecz biorąc — postać równania cał kowego typu Volterry  I  rodzaju,, (5.1)  fu(C,  t) - X-  K(y- £,  t)dS t   =  v(y,  t), s przy  czym ją dro  tego  równania  cał kowego, K(y—x,  t— t);  oraz funkcja  v(y,  t)  są  znane,, zaś  funkcją  poszukiwaną  jest  u(C, t).  W  monografii  [9] dowodzi  się, że w  przypadkach rozważ anych w tej pracy ją dro  to jest iloczynem dwóch ją der  sł abo osobliwych,  co pozwala znaleźć rozwią zanie  tego równania metodą iteracji ją der i kolejnych  przybliż eń.  M etoda ta, aczkolwiek  ś cisł a, jest dosyć mał o przydatna w konkretnych obliczeniach. D latego pokrótce przedstawiamy  metodę  przybliż oną,  pozwalają cą  w  stosunkowo  prosty  sposób  otrzym ać przybliż one  rozwią zanie  równania  (5.1). Zapiszmy  funkcję  podcał kową  nastę pują co: (5.2)  «(f, 0 *  K(y- C, 0  =  H(y, C, 0- Z akł adam y,  iż  funkcji  u(f, t)  poszukiwać bę dziemy w  p o st ac i  przybliż on ej.  W  zwią zku. z tym przyjmijmy  podział  przedział u czasu* (0,  T ) n a podprzedział y  ( 0 , —- A I , l i i —  y l r +   — M l , ? =   1, 2, . . . , / , gdzie  l/ H   j/ l = T . N a powierzch n i  S  wybierzem y  u k ł ad p u n kt ó w  Ci, /  =   1, • • -, L , stan owią cych  ś rodki  cię ż koś ci  elem en tów  a t .  E lem en t y  sko ń - czon e  <7[  mogą  mieć  kształ ty  n p . trójką tów,  [15]. Z a kł a da  się, że są  one  ro zł ą czn e,  m ają wspóln e  krawę dzie, wierzchoł ki  ich są pu n kt am i  n ależ ą cymi  d o S, a  cał y  zbió r  elem en t ó w {ffi};= i,...,L  stan owi  powierzch n ię  Lapun owa,  stan owią cą  przybliż en ie  powierzch n i  S. N at o m iast  n a powierzchn i  dQ* wybierzemy zbiór  p u n kt ó w  y„„ m =   1, . . . , L ,  stan owią- cych  ś rodki  cię ż koś ci  elem en tów  A,„,  dobran ych  w  sposób  an alogiczn y  ja k  elem en ty  a t . Z akł adam y,  iż  zam iast funkcji  w(f, t)  poszukiwać bę dziemy jej  przybliż on ej  p o st aci Au(C,  t), okreś lon ej n ast ę pu ją co: 220  K.  G rysa 7+ 1 (5.3)  Au(C, ł ) - gdzie z. ( 5.4)  K , ( £ )  =   5]u n E gil (£),  i = l , . . . , 7 ,  U o(£) = =   H / ( 0 - F unkcję  ^ . i t O  definiujemy  nastę pują co: 0  gdy ( 5 ' 5 )  E - e ) P odobnie  przybliż amy  postać ją dra K{y—C, t): 1+1   I  I  \   \ (5.6)  AK(y- C,  t) -   V  [Ai(y,  Q - iS i- ^ y,  O ] »j( ł - U-   y M l , gdzie tfiO;, O  =   J f( y- :,  iA), i =   1, . . . , / ,  ATQC, f)  =  0 (por. [10], s. 346), Ą + 1 ( y ,  C)  = =   K t (y,  O- Przybliż oną  postać  funkcji  H(y,C,r)  nazwiemy  AH(y,C,t). Podstawiając  do  równania  (5.2) w miejsce  wystę pują cych  tam  funkcji  ich  postaci przybliż one, znajdujemy,  iż (5- 7)  AH(y,  C, 0 =   2 " ^ y'  O (t -   kA) + , ; = 1 gdzie (5.8)  Ą 0',O=   2 1  MO- Ui- xmKj(y,Q- Kj- i(y,0], t+ j.k+ 1 We{l  /} oraz  (t—kA) +   =  (t—kA)r)(t—kń ).  Wprowadzając  zwią zki z. B k {y,  O -  ^  fikM 4i(a  oraz (5.9.) gdzie  - fiT/jfj')  =  Kj(y,  £,),  a funkcja  Kj  stanowi  pewne przybliż enie  funkcji  Kj,  oraz  pod- stawiając  prawe strony wzorów (5.9) w miejsce H k   i Kj do zwią zku  (5.8) przy  wykorzystaniu (5.4),  znajdujemy (5.10)  # i , 0 9 =   £  [u„ - Kł _ , fc-   1,...,/ + / =   1, ..., L. O  METODACH   TEORII  POTEN CJAŁ ÓW  2 2 1 Kł adąc ponadto H kl (y)= (5.11) gdzie  Kji, n  =   Kji(y m ),  a funkcja  K n   stanowi  przybliż enie  funkcji  K n ,  oraz  podstawiając prawe  strony  wzorów  (5.11) w miejsce  H kt  i Kji  do  zwią zku  (5.10),  znajdujemy (5.12)  Hum-   2  [uu- Ui- i,il[Kji m - Kj- ulm ], i+j=k+1 / { l / } fc=   1  J + I l,m  =  I,  ..., L . Równanie  (5.1), które dzię ki  wprowadzeniu  funkcji  H moż na  zapisać w  postaci (5.13) s zapiszemy  teraz  w postaci  przybliż onej.  Wprowadzając  funkcję  Av, aproksymują cą  v w sposób  nastę pją cy: (5.14)  Av(y, 0 -   y  £  v km (t ~ kA) +   E K ,„(y), oraz  wykorzystując  zwią zki  (5.9),  (5.11),  (5.12),  (5.13) i  wstawiając  w  (5.13)  funkcję  Av w  miejsce  v  otrzymuje  się  ostatecznie  nastę pują cy  ukł ad  równań  n a  wielkoś ci wi(: (5.15)  £  £ l= l  t+ J- k  +  l lJ{i gdzie  Bi =  /  da u   k  • »  1, 2,  ..., J + l ,  w =   1, 2,  ..., L .  Jest  to  /   ukł adów  równań, każ dy z L   niewiadomymi, którymi  są wielkoś ci  uu.  Wyznaczenie  tych  wielkoś ci  pozwala nastę pnie zbudować funkcję  Au(i,  r) wg  wzorów  (5.3) i (5.4). Podsumowanie Wykorzystanie  potencjał ów cieplnych do budowy  cał kowej  postaci  rozwią zań  proble- mów odwrotnych wymiany  ciepł a pozwala rozwią zywać  zagadnienia odwrotne w przestrze- ni  trójwymiarowej  przy  dowolnych kształ tach rozpatrywanych  ciał .  Oznacza to  moż liwość prognozowania  obcią ż eń  termicznych  elementów  maszyn  cieplnych  w ten  sposób, aby wewną trz  tych elementów panował y  temperatury  o z góry  danym  n a  dowolnej  powierz- chni zawartej  wewną trz  tego elementu, 8Q*, rozkł adzie. Moż liwość  ta może zostać  wyko- rzystana  w praktyce  n p.  przy  optymalizowaniu  czasu  rozruchu  turbin  cieplnych,  gdyż 4  Mech. Teoret. i  Stos.  3—4/ 82 222  K.  G rysa od  rozkł adu temperatury wewną trz  ł opatek zależą  powstają ce  w nich naprę ż enia termiczne, mogą ce — w  przypadkach  szczególnie  niekorzystnych — spowodować  trwale  ich  uszko- dzenia. Przedstawiona  procedura przybliż onego  rozwią zywania  równań cał kowych na  gę stoś ci potencjał ów  wymaga  uż ycia maszyn  cyfrowych.  Tym niemniej w dobie szybkiego  rozwoju elektronicznej  techniki  obliczeniowej  rozwią zywanie  na  maszynach  cyfrowych  ukł adów równ ań  typu  (5.15)  nie  przedstawia  wię kszych  trudnoś ci. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  M .  M .  LAVREN TIEV,  V.  G .  ROMAN OV, V.  G . VASILIEV, Multidimensional inverse problems for  differential equations,  Lecture  N otes  in  M ath .,  Springer- Verlag,  Berlin—H eidelberg—N ew  York,  1970. 2.  A.  G .  TE M KI N ,  Obratnyje  metody  teploprovodnosti,  Izd.  Energia,  M oskwa,  (1963). 3.  M . I .  IMAN ALIEV,  Metody  resenija nelinejnych obrotnych zadać i ichpriloź enie, Izd. Him,  F runze,  (1977). 4.  K.  G RYSA,  M . J.  CIAŁKOWSKI,  Zagadnienia  odwrotne pól  temperatur —przeglą d  literatury,  Mech. Teoret.  Stos., 18, 4, 535 -  554 (1980). 5.  R .  G .  H I L L S, G . P .  M U LH OLLAN D , T he accuracy and  resolving power of  one dimensional transient inverse heat  conduction theory as  applied to  discrete  and  inaccurate measurements, I n t. J.  H eat M ass  Transfer, 22,  8, 1221  - 1229  (1979). 6.  K .  G RYSA,  M . J .  CIAŁKOWSKI,  H . KAM IŃ SKI, On a certain inverse temperature field problem of  the theory of  thermal  stresses, N ucl. Eng. D esign, 64, 2,  169 -  184  (1981). 7.  M .  IM BER,  T emperature  extrapolation  mechanism for  two- dimensional heat flow,  AIAA  Journal,  12, 8,  1089- 1093  (1974). 8.  M .  IM BER,  T wo- dimensional  inverse  conduction  problem—further  observations,  AIAA  Journal,  13, 1, 114- 115  (1975). 9.  A.  PISKOREK, Równania  cał kowe, WN T Warszawa,  (1971). 10.  H .  M ARCIN KOWSKA,  W stę p  do teorii równań róż niczkowych  czą stkowych,  P WN  Warszawa,  (1972). 11.  J.  OSI OWSKI , Zarys  rachunku operatorowego,  WN T Warszawa,  (1972). 12.  M .  IM BER, J.  K H AN , Prediction  of  transit temperature distribution  with embedded thermocouples,  AIAA Journ al,  10, 6, 784  -  789,  (1972). 13.  K .  G RYSA,  J.  J.  JAN KOWSKI,  O  sumowaniu pewnach szeregów  Diniego i  trygonometrycznych, pojawiają - cych  się   w  zagadnieniach  mechaniki  oś rodków cią gł ych, M ech. Teoret.  Stos.,  16,  3,  299- 319  (1978). 14.  K .  G RYSA,  H .  KAM I Ń SKI,  O  sumowaniu  pewnych szeregów trygonometrycznych, wystę pują cych w  za- gadnieniach  mechaniki  oś rodków  cią gł ych,  Z N P P  s.  M echanika, N r  16,  85 -  97  (1980). 15.  J.  D E C LOU X, Metod  koneć nych  elementov, I zd. M ir, Moskwa,  1976. P  e  3  IO  m e O- M ETO,D ,AX  T E O P H H   n O T E H U H AJ I O B B  P A3P E I I I E H H H   OBPATH fclX T E n J I O r iP O BO flH O C T H TpexM epH yio  o6paTH yio  sa^a^iy  TenjionpoBOflH ocTH .  H cn ojib3yfl  TepiH iraecKH e n o - n o jiyn eH bi  pe3yjn.TaTbi  B BHfle  H H TerpajibH Lix  ypaBH eH H ił .  ftntH   ofliioiwepH bix  cnyxiaeB  n pefl- p e u i e H u a  B BHfle  6eci<0He*iHBix  pflflos.  flna  H H TerpanH ibix  ypaBHeHHH  onncBiBaiomH X  o6paT- H bie  3a# atiH   B  TpexMepHOM   c n y^ a e  n oK a3an a  n y i t  onpeflejieH H H   peuiem iH   B npn6jiH weH H 0M   BH «e. O  METODACH   TEORII  POTEN CJAŁÓW  2 2 3 S  u m  m a r y ON   M ETH OD S  O F   T H E  TH EORY  OF   P OTEN TIALS  IN   RESOLVIN G   TH E  I N VE R SE  H E AT C ON D U C TI ON   P ROBLEM S The  three- dimensional  inverse  heat  conduction problems  are  dealt  with.  M aking  use  of  the  thermal potentials  one  obtains  the  results  in  the  form  of  the  integral  equations.  F or  the  one- dimensional  cases the  solutions  have  been  found  in  a  form  of  the  infinite  series.  F o r  the  integral  equations  describing  the inverse  problems  in  the  three- dimensional case  a  way  of  determining  an  approximate  form  of  solution  is shown. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  6  kwietnia  1982  roku