Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z3_4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3/4, 20 (1982) TERM OD YF U ZJA  W ZAG AD N IEN IU  KON TAKTU   WARSTWY I  P ÓŁ P R Z E STR Z E N I SP R Ę Ż YSTEJ R OM AN   M   O K R Y K L wów ZBIGNIEW  O L E S I A K Instytut  Mechaniki Uniwersytet  W arszawski 1.  Wstę p Dyfuzja  jest  zjawiskiem  zwią zanym  z budową   molekularną   materii i polega  n a ruchu pojedynczych  atomów  i  molekuł  lub  jonów.  Zjawisko  to wystę puje  czę sto  w przyrodzie, wykorzystywane  jest  również  w  wielu  procesach  technologicznych  przede  wszystkim w fizyce  materiał ów, a  ostatnio w elektronice. M imo charakteru wybitnie  molekularnego proces dyfuzji  daje  się   opisać z dobrym  przybliż eniem  metodami teorii  oś rodków  cią gł ych, które  jak  wiadomo,  nie uwzglę dniają   atomowej  struktury  materii.  Zagadnienia  dyfuzji rozpatruje  się  czę sto  również  w ramach mechaniki  statystycznej. Przypuś ć my,  że  mamy  do czynienia  z  ciał em  stał ym  o  okreś lonych  wł asnoś ciach. D la  potrzeb  technicznych  badane  są   zjawiska  dyfundowania  do  obszaru  zajmowanego przez ciał o stał e czą stek  otaczają cego  je  gazu, cieczy, lub innego ciał a stał ego w przypadku ich  kontaktu.  Intensywność  procesu  dyfuzji,  jego  natę ż enie, zależy  w  pierwszym  rzę dzie od  wł asnoś ci  chemicznych  substancji  biorą cych  udział  w dyfuzji,  ale  nie tylko.  Waż ne znaczenie  odgrywają   czynniki  fizyczne  jak  n p. ciś nienie  otaczają cego  gazu  lub  cieczy, sił a  nacisku  przy  kontakcie  dwóch  ciał"  temperatura,  kierunek  i  natę ż enie  strumienia ciepł a,  pole  elektromagnetyczne,  stał e  materiał owe mechaniczne i  termiczne,  itd. Łatwo stwierdzić, że modele matematyczne dyfuzji  czy też termodyfuzji,  gdy rozpatry- wane jest jedno  ciał o  z  otaczają cą   cieczą   lub gazem są  znacznie prostsze, a odpowiednie równania ł atwiejsze  do rozwią zania  w porównaniu z przypadkiem  równań  dyfuzji  mię dzy ciał ami  stał ymi  poprzez  powierzchnie  kontaktu.  Znacznie  bardziej  skomplikowane  są zagadnienia  dynamiczne,  gdy  ciś nienie,  strumień  ciepł a,  powierzchnia  kon taktu,  pole elektromagnetyczne  są   funkcjami  czasu.  Ostatnio  przeprowadzono  doś wiadczenia  z dy- fuzją   metali w warunkach  nieważ koś ci  i próż ni  kosmicznej.  Wyniki  tych  doś wiadczeń  są trudno  dostę pne dla skonfrontowania  z teorią . Zał oż ymy  tu, żc  powierzchnia  kontaktu  jest  pł aszczyzną   i  rozpatrzymy  przypadek 226  R.  M OKRYK,  Z.  OLESIAK termodyfuzji  mię dzy  warstwą   sprę ż ystą   i pół przestrzenią  (lub  mię dzy  dwiema pół przestrze- niami), obie izotropowe  i jedn orodn e lecz  o róż nych stał ych materiał owych. Przy kontakcie dwóch  ciał   proces  termodyfuzyjny  może  odbywać  się   w ten sposób,  że  materia przechodzi od  ciał a  1 do  ciał a 2, lu b  n a  odwrót  od  ciał a 2  do  ciał a  1, może również  mieć miejsce  po- równywalna  iloś ciowo  dyfuzja  dwustronna  z  przechodzeniem  materii  w  obu  kierunkach. P odstawowe  równania  termodyfuzji,  w  oparciu  o  termodynamikę  procesów  nieodwra- calnych  [1],  został y  podan e  przez  Ja. S.  PID STRYH ACZA  [2,  3]  i  W.  N OWACKIEG O  [5, 6], W  dziedzinie  tej  rozwią zano  niewiele  zagadnień  szczegół owych,  wymień my  tu  prace [3,  4,  7,  8,  9 i  12]. W  tej  pracy  zajmiemy  się   przypadkiem,  gdy  termodyfuzja  jednego  ze  skł adników jest  o  wiele  bardziej  istotn a  i  interesować  nas  bę dzie  zmiana  koncentracji  tego  wł aś nie skł adn ika  pod  wpł ywem  pola  odkształ cenia  i  temperatury.  Zagadnienie  kon taktu  pół - przestrzeni  został o  rozwią zane,  w  ramach  przyję tych  zał oż eń,  dla  wszystkich  czasów  t, lecz bez uwzglę dnienia  sił  zewnę trznych. Przy kontakcie warstwy z pół przestrzenią  uwzglę d- niamy  sił y  ciś nienia  dział ają ce  n a  swobodną   powierzchnię   warstwy  przenoszą ce  się   przez powierzchnię   kon taktu  na  pół przestrzeń sprę ż ystą.  W.tym  przypadku  zagadnienie został o rozwią zane  dla  duż ych  czasów  / ,  co  wynika  z  przybliż onego  obliczenia  transformat  od- wrotnych  Laplace'a. W  wyprowadzonych  równaniach  i wzorach  uwzglę dniamy  peł ne  sprzę ż enie  pola  kon- centracji,  tem peratury  i  odkształ cenia.  D otyczy  to  przede  wszystkim  uogólnionego  prawa F ouriera  i  F icka  (2.4)  i  (2.5)  i  wynikają cych  z  nich  równań. 2.  Równania  i  podstawowe  zwią zki  termodyfuzji  ciał   sprę ż ystych Z a  pu n kt  wyjś cia  bierzemy  ukł ad  równań  róż niczkowych  czą stkowych  termodyfuzji oś rodka  sprę ż ystego  w  nastę pują cej  postaci  [2, 5]: (2.1)  ,«V2w- )- (A- f-/M)graddivM- l- l'= (2.2)  (k'V2- nd t )0  =   y 0 di\ u+db, (2.3)  {aV2- md t )c  =  V 2 (y c divu + dc), gdzie  (2.1)  jest  uogólnionym  równaniem  N aviera,  (2.2)  uogólnionym  równaniem  prze- wodn ictwa  cieplnego,  a  (2.3)  równaniem  bilansu  koncentracji  skł adnika.  We  wzorach tych uwzglę dniliś my  uogólnione prawo  F ouriera (przewodnictwa cieplnego), F icka (termo- dyfuzji)  i  H o o ke ' a : (2.4)  T Q q  = (2.5)  T o rj  = (2.6) a  =   2/ ne+(Xdivu- y @ 0- y i: c)- l. We  wzorach  powyż szych  q  jest  strumieniem  ciepł a,  c —  koncentracją   skł adnika,  rj  — strum ieniem  dyfundują cej  masy,  L qq ,  L m ,  L m   są   fenomenologicznymi  współ czynnikami Onsagera  speł niają cymi  warunki  L m   >  0,  L m   >  0,  L m L ą ą - L % ą   >  0, y c ,  y e ,  y,,, d, m, a, n są   stał ym i,  u  jest  wektorem  przemieszczenia,  0  =   T —T o   róż nicą   temperatur  wzglę dem TERMOD YFU ZJA  W  ZAG AD N IEN IU   KON TAKTU   227 stanu naturalnego, o i e są   odpowiednio  tensorami  naprę ż enia  i odkształ cenia, 1 tensorem jednostkowym,  X,  (i  są   stał ymi  Lamego,  ponadto  przyję liś my  oznaczenia  T o k'  =   k, mL m   —  T o . 3.  Zagadnienie  kwazi- stacjonarne Celem  pracy  jest  wyprowadzenie  zwią zków  i  zbadanie  wpł ywu  niestacjonarnych  pól odkształ cenia  i  temperatury  na  rozkł ad  koncentracji  dyfundują cego  skł adnika  w  warun- kach  fizycznego  kontaktu  dwóch  ciał   sprę ż ystych.  Zagadnienie  rozwią ż emy  przy  nastę - pują cych  zał oż eniach. Rozpatrzymy  procesy, w  których  moż na  pominą ć  wpł yw  sił  maso- wych  i  sił   bezwł adnoś ci  w  równaniu  bilansu  pę du.  Również  zaniedbamy  wpł yw  zmiany odkształ cenia  na  pole  temperatury,  uwzglę dniając  jednak  wpł yw  odkształ cenia  na  pole koncentracji.  Przy  tych  zał oż eniach równania  (2.1)- (2.3)  przyjmują   postać (3.1)  fi,V2u+ (X+n) graddivM   =   y e   grad @+y c   grade, (3.3)  a V 2 c - m —=   ycV 2divw+ dV2c. Równania  róż niczkowe  czą stkowe  (3.1)- (3.3)  przekształ cimy  do  bardziej  dogodnej postaci.  Podział amy operatorem  div  n a  równanie  (3.1),  otrzymują c (3.4)  (A.+2fi)V2divii  =   y Q 'V 2 0  +  y c V 2 c. Po uwzglę dnieniu  równania  (3.4) wyrugujemy  V2divw  z  równania  (3.3). Wtedy  równania (3.2) i  (3.3)  sprowadzą   się   do  nastę pują cego  ukł adu  równań  róż niczkowych  czą stkowych drugiego  rzę du (3.6)  V2®   -   =   dr gdzie - d)—y 2 ]  ny c y 0 W  ten sposób  sprowadziliś my  przypadek  kwazi- stacjonarny  do ukł adu  dwóch  równań sprzę ż onych  (3.5) i (3.6) oraz równania N aviera  (uogólnionego)  (3.1).  Zagadnienia  kwazi- stacjonarne  termodyfuzji  oś rodków  sprę ż ystych  był y już  rozpatrywane  w  pracach  [3, 4] jednak  bez uwzglę dnienia  wpł ywu  zmian pól  odkształ cenia i koncentracji  n a tem peraturę . W  pracy  [7] pominię to wpł yw  odkształ cenia  na  pole  temperatury  i  koncentracji. 4.  Termodyfuzja  przy  kontakcie  warstwy  sprę ż ystej  i  pół przestrzeni  sprę ż ystej Warstwa  sprę ż ysta  o gruboś ci  h  znajduje  się   w  stanie  idealnego  kon taktu  z  pół przes- trzenią   sprę ż ystą. U kł ad współ rzę dnych  dobieramy  w ten  sposób,  że pł aszczyzną   kon taktu 228  R.  M OKRVK,  Z .  OLESIAK jest pł aszczyzna z  =  0, a pł aszczyzną  swobodną  z  —  +h. Zagadnienie nie zależ y* od współ - rzę dnych  x, y. W tym  ukł adzie równania  róż niczkowe  czą stkowe  (3.1),  (3.5) i (3.6) spro- wadzą  się  do nastę pują cych  równań (4.D  (*+ «.*£ ._».»  + ,,..*. , . , .  3 2 c  i  dc  „ 5 0 dz 2   k c   dt  "   c   dt  ' d 2 ©  1  d©  „   dc W  dalszym  cią gu  wartoś ci  stał ych i skł adowe rozpatrywanych  pól  bę dziemy  oznaczać wskaź nikiem  „  1"  dla warstwy i wskaź nikiem  „ 2 " dla pół przestrzeni. Zakł adamy, że w stanie naturalnym  (czyli  począ tkowym) jest  brak  odkształ ceń, a pola  koncentracji i temperatury przyjmują  wartoś ci: dla  t  -   0 (4.4)  01(z, O )  =  (9?,  6>2(z,O) =   0§ , (4.5)  C l( 2, 0)  =  C °,  c.2(z,0)  = c°. Zał óż my  pon adto, że  n a swobodnej  powierzchni  warstwy  z =  +h  dział a temperatura i  ciś nienie ( 4 . 6 )  & 1 (h,t) strumień  dyfundują cej  materii jest  natomiast równy  zeru: ( 4.7)  Z)1,,  - |"i?V  1  g'j;  = 0 albo  znany jest  potencjał  chemiczny (4.8)  M 1  =   - y c s m W  pł aszczyź nie  styku  warstwy  i  pół przestrzeni, tzn. dla z =  0,  zachodzą  warunki cią gł oś ci: strumienia ciepł a strumienia  dyfundują cej  masy ( 4 , 0 )  „ , V i | i £ pon adto,  w  przypadku  idealnego  kontaktu  termicznego,  równość  temperatury (4.11)  6>x =  0 2 ) oraz równość  wartoś ci  potencjał u chemicznego (4.12)  dl@ 1 +a 1 c 1   + yle 1   =   d26 2 +a 2 c 2 +y 2 c e 2 . TERMOD YFU ZJA  W  ZAG AD N IEN IU   KON TAKTU   229 D la z - *  — co przyjmujemy,  że (4.13)  0 2 - + 6> °,  c2- >c°2. We wzorach  (4.9) i  (4.10) oraz w dalszym  cią gu  przyję to  nastę pują ce  oznaczenia T oD qc   =   aL m ,  To Air  — "• J-j m ~L m ,  T Q D qE   =   y c L m , (Ą   14) T a- Dyc =  uL m ,  T 0 D nT   — dL m   — L na ,  T Q D vE   = Przy  przyję tych  zał oż eniach: e =  div« =  - ^—.  Z  uogólnionego  prawa  H ooke'a  (2.6), po wykorzystaniu  równania równowagi  a zz {z,  t)  =  ~a{t),  otrzymamy (4.15)  e = gdzie =  y Q , oraz 5.  Rozwią zanie  metodą   przekształ cenia  cał kowego  Laplace;a Transformaty  Laplace'a  bę dziemy  oznaczać wę ż ykiem  nad odpowiednią   literą .  Zasto- sujmy  transformatę   Laplace'a  do  równań  (4.2) i  (4.3).  Otrzymamy  wtedy d 2 ©  1 Równanie charakterystyczne  powyż szego ukł adu równań przyjmie  postać (5.3)  A4- a k s2. 2 +a ć s 2   = 0 gdzie 1  l  1  "  -  - Pierwiastki  równania charakterystycznego  przyjmują   wartoś ci (5.4)  21  =   ]/ sr+ )  A2 =   — ]/ sr+,  / l 3 = ] / sr _ ,  A4  =   — ]/«• _, gdzie r+ _  =  y  (a* ±   \ / al- 4aa). Moż na udowodnić, że wyróż nik  okreś lają cy  pierwiastki  równania  charakterystycznego- jest dodatnio okreś lony (5.5)   ał - 4a ó   =   (J-   +   ^ - 4  ( ^ - W r )  =  ( ^ - ^ H - .̂  > 0 z go d n i e  z  d efin icją   wielko ś ci  <5C i  (3T [5].  P o n a d t o JLL  ̂ JL kckT ° C°T~ W 230  R.  M OK R YK ,  Z .  OLESIAK P onieważ  stał e  wchodzą ce  do powyż szego  wzoru  są   dodatnie,  wynika  że a d  >  0, a  stą d  również,  że  r +  _  >  0. C ał kę   ogólną   ukł adu równań  (5.1) i  (5.2)  moż na  przedstawić  w  postaci  nastę pują cej: (5.6)  c(z,s)=  . - , OK (5.7)  O(z,s)  =   ^ ł -  \ / srZz gdzie  a +  =  k rr+- l,  a_ =   k Tr~— 1 Z am iast rozwią zania  (5.6) i (5.7) moż emy przyją ć  cał kę  ogólną   ukł adu  (5.1) i (5.2) w postaci (5.8)  c(z,s)  =- j^ (5.9)  &{z,  s) =   B l Ch]/ 'ś F W  przypadku  pół przestrzeni,  wykorzystanie  warunków  w nieskoń czonoś ci  prowadzi do  nastę pują cych  wartoś ci  stał ych  (dla  z - *  — co) (5.10)  A2  —  AĄ .  ^  0 ,  B I  =   Z>2 j  - "3  ^  - "4 6.  Zagadnienie termodyfuzji  w przypadku  styku  dwóch pół przestrzeni  sprę ż ystych R ozpatrzm y  przypadek  szczególny,  gdy  grubość  warstwy  sprę ż ystej  wzrasta  nieogra- niczenie.  Warun ki  począ tkowe  zachowują   postać  poprzednią   (4.4)  i  (4.5),  podobnie warun ki  brzegowe  (4.9) -  (4.12).  Z  warunków  w nieskoń czonoś ci  otrzymujemy  obecnie dla  z ->  + 00  © !- > © ?,  c l - ^ c° oraz  dla z —*•   — 00  <92 • +  @%  c2 - *  c° Warun ki  te  bę dą   speł nione,  gdy  we  wzorach  (5.6) i (5.7)  podstawimy (6.1)  {̂  =  ̂   =  0,  A\  = B\ =- B\ ,  Ai=*B\ =- Bl (6.2)  A \ - A l-   0,  Aj =Bj  = Bl,  A\  -   B\   =  Ą Otrzymujemy  nastę pują cy  ukł ad równań  algebraicznych,  z których  wyznaczymy  pozo- stał e  param etry  tran sform at: -   0, lDt_ « 0, (6.3)  B\  + B\  ~B\  - Bl  =  - i [{61- 01)] s TERMODYFUZJA  W  ZAG AD N IEN IU   KON TAKTU 231 gdzie Oznaczmy  wyznacznik  podstawowy  u kł adu  równ ań i  f)l  7)2 (6.4) z ł * = 1  1 - 1 - 1 Wtedy  rozwią zanie  ukł adu  równ ań  (6.3)  moż emy  zapisać  n astę pują co (6.5) B\   =  - o 2 - 01)A lk +{(U0 O 2+y 2 X o 2 )- (H0 o l +^ C?)}C ik . Współ czyn n iki  A ik   oraz  C ik   zależ ą  wył ą cznie  od ch arakterystyk  m at eriał o wych  i wy- znacza  się je z  rozwią zan ia  u kł a du  równ ań  (6.3).  O dpowiedn ie  wyzn aczn iki  ozn aczym y n astę pują co P ik(6.6) Ol  = k=  1, 2,  i =  1, 3. Wtedy  cał ka ogóln a  ukł adu ró wn ań  (5.6),  (5.7) przyjm ie  p o st a ć 1 , .£ ? ^ (6.7) c 2 (z,s)  = © 2 (z,s) = co 0 0 gdzie Po  odwróceniu transformat  Laplace'a  okazuje  się, że rozwią zanie  da się wyrazić  przez kombinacje współ czynników  i funkcji  bł ę du: (6.9,  e i C M ) . « (6.10)  C . C . , 0 -   CS (6.11)  ea(.,o- «! z >  0 z  < 0 232  R.  M OKRYK,  Z . OLESIAK gdzie: A X1   =  al A 31   = al( A 32   = a\  (D 2 +   Ą }_ -  Ą J_ DZ + )+al(D? 1+   D 2 +   -  2> *+  D 2 + )+a 2  ( C 3 1  -   DUDl c12  =   i?4V( A?- 7.  Rozwią zanie  w przypadku  styku  warstwy  z półprzestrzenią Rozpatrzmy  termodyfuzję   poprzez  pł aszczyznę   kontaktu  warstwy  sprę ż ystej  z pół - przestrzenią   sprę ż ystą   z  warunkami  począ tkowymi  (4.4) -  (4.7),  warunkami  brzegowymi na  swobodnej  powierzchni  warstwy  (4.6) i  (4.7). Ponadto speł nione są  warunki  cią gł oś ci odpowiednich  strumieni  (4.9)- (4.12).  Wtedy  ukł ad  równań  algebraicznych,  z  którego wyznaczamy  parametry  B\   przyjmuje  postać  nastę pują cą a\ B\   Ch(j/ srift)+ o}.5i  Sh(|/ < / t) + ai Bl 3  Oi(/ sf[h) + =   0, 2 _  =  0, (7.1)  5{ + 51 - 5 ?-  Sf  =  — ( 0g- 0?), gdzie  wprowadziliś my  oznaczenia M*(s)  = M 1 ( s) - y l  a(s), Podstawowy  wyznacznik  ukł adu (7.1) ma nastę pują cą   strukturę (7.2)  A(s) =  (ai- gdzie \ _ (D 2 _ -  D 2 + ) -  D$_ (D 2 _  -   D 2 + )],_ -  D +   Dl)  - (ai+a + )  [D\ _ (D_ -  D + )  -  D$_ (D_ -   D + TERMOD YFU ZJA  W  ZAG AD N IEN IU   KON TAKTU 233 A t  =   (a\   - ai Rozwią zanie ukł adu  (7.1) przyjmuje  postać nVk  »*_  i L   d l a  / c =   • -   * -   1 . 2 , 3 , 4 , ^• ^  ;  J ( s)  dla  fc=   2,  i =   1, 3, gdzie  przyję liś my  ozn aczen ia (7.4) oraz (7 . 5 ) " ?***„. 23 =   ( fli- fli) c h+ ( Z l 2 5 c h _ - / l2 6 sh _ ) , (p\ 2 ss = 5 4 1 = >42   = ia  = , ( a i - fl i ) c h+ ( / l 4 5 c h + - Z l4 6 sh + ) , 9544  = =   a i ( z J 5 1 c h + - / l5 2 sh + + z I 5 3 c h _ - z l 54 sh _ ) , =   - a |(z I 6 i C h + - 6̂ 2 s h + ) + a i ( Z l 6 3 c h _ - Z l6 4 s h ) , 234  R .  MOKRYK,  Z .  O LE SI AK =   ( fli- a i) [ ( z16 5 c h + - - / l6 6 sh + + / l6 7 sh _ ) c h _ - - ( zJ6 8c h + - / l6, > sh + - M6, l o c h _ ) sh _ ) Przyję liś my  tu  oznaczenia ch ±   =   C h (]/ sr\ ti)  sh ±   =   Sh(|/ sr± / j) Wielkoś ci  A ki   zależą   jedynie  od  stał ych materiał owych warstwy  i pół przestrzeni, moż na je wzglę dnie  ł atwo  wyznaczyć  z  rozwią zania  ukł adu równań  (7.1)  zgodnie  ze  wzorem  (7.4). Z  powodu  zł oż onoś ci  i  duż ej  liczby  wzorów  o  podobnym  charakterze,  z  braku  miejsca nie  cytujemy  ich.  Podstawienie  wyznaczonych  współ czynników  Bf  danych  wzorami  (7.3) do  (5.9)  i  (5.10)  z uwzglę dnieniem  (7.2), (7.4) i  (7.5) umoż liwia  nam napisanie transformat Laplace'a  koncentracji  masy  i  temperatury  zarówno  dla  warstwy  jak  i  pół przestrzeni. Wykonanie  odwrotnych  transformat  w  przypadku  ogólnym,  dla  dowolnych  czasów  jest moż liwe  tylko  w  sposób  przybliż ony.  Ponieważ  w  praktycznych  przypadkach  interesuje n as  dyfuzja  dla  duż ych czasów  t, wykorzystamy  rozwinię cia  asymptotyczne.  Jako przykł ad weź miemy  nastę pują ce  warunki  brzegowe (7.7)  a(t)  m  a*H(t),  q(t)  =   0*H(t) P rzy  tych  zał oż eniach  otrzymujemy  dla  duż ych  czasów  t  nastę pują ce  wzory  na  koncen- trację   masy  i tem peraturę  w  pół przestrzeni z  ^  0 (7.8)  C 2 {z,t)  = 2 2   _1 _ »  , . * 2- r i »i »l  ft  +   l - ^-   - a>i2 +  r2o)f3j  fi  + «i  I  m\ x  I —  -   -  - j E " + +   (°"1Ł   +  CO 2  _ r  (02  )  -   ( i l l i  _ C O2  + r  M2  \   - 11 \   r t   "  ?•   %3rx  \   r 2   c °2 2  r2a)23]'ł '2\ \ ' I  1 (7.9)  T 2 (z,i)  =  T °- ' 2 , 2 .   ' - 2 gdzie E*  -   E r f c ( -   -(  ^ 3 J  Vi  =   exp[rfc lr± z +  (,,)/ ]E.fC( Wzory  opisują ce  pole temperatury i pole koncentracji  dyfundują cego  skł adnika w  warstwie 0  <  z  <  h  m oż na  przedstawić  w  przybliż eniu  w  nastę pują cej  postaci TERMODVFUZJA  W  ZAG ADN IEN IU   KON TAKTU   235 1  1  \  '  „   /  E x   E 2 \ • i  ~ri'r : )~R 2c (z)(r 1 E l - r 2 E 2 ) o -  cg+   /   I   \ RJ °T K T   r 2~"i  Y  \   r i gdzie R 2c   =   a | ( w i R' 0T   =   coj R2T = ® B k   =   exp[(r fc) 2t]E rf  c(r k \ / T ),  /c =   1, 2 -  [( wzory  n a cojj obliczamy  z wyraż eń: 4   3 (7.12)  J J P M  =   ^ ^ / ( s ) ' "" 1 ,  gdzie  fc—  1,2;  i =   1, 2,  3,4, i- l  ;= i 8.  Wnioski 1.  Wzory  (6.8)  i  (6.10)  przedstawiają   zależ ność  zmiany  koncentracji  dyfundują cego skł adnika.  Ze wzorów  tych  wynika,  że  wykł adniki  funkcji  bł ę du  są   wprost  proporcjo- nalne  do  gł ę bokoś ci  rozpatrywanego  punktu i  odwrotnie  proporcjonalne  do  pierwiastka kwadratowego  czasu,  ponadto  zależą   od  stał ych  materiał owych.  Wykł adniki  funkcji bł ę du  nie zależą   od  warunków  począ tkowych.  Wielkoś ci  P ik   zależą   nie tylko  od  stał ych materiał owych  ale  również  liniowo  od  począ tkowych  temperatur  i  począ tkowych  kon- centracji. 2. Istotna róż nica w  porównaniu z dotychczasowymi  rozwią zaniami  zagadnień term o- dyfuzji  dla ciał  stał ych polega n a uwzglę dnieniu pola  odkształ ceń i jego wpł ywu  n a proces dyfuzji. 3.  Otrzymanie wyników  liczbowych  uzależ nione jest  od  znajomoś ci  stał ych  materia- ł owych,  które  okreś lić  moż na  tylko  na  drodze  doś wiadczalnej.  Wykonanie  obliczeń  ma 236  R.  MOKRYK  Z.  OLESIAK seas  dla  konkretnych  materiał ów i przypadków,  na które istnieje  zapotrzebowanie uspra- wiedliwiają ce  poniesienie kosztów  obliczeń. 4.  W  przypadku  kon taktu  warstwy  z  pół przestrzenią   wykonanie  odwrotnych  trans- format  jest  moż liwe  tylko  w  sposób  przybliż ony.  Wzory  (7.8)- (7.11)  dotyczą   duż ych czasów. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  M .  A.  BI OT,  T hermoelasticity  and Irreversible T hermodynamics,  J.  Appl.  Phys.,  27,  1956. 2.  J A. S.  PID STRYH ACZ,  Differencialni  ń wnannja  zadaczi ter mody fuzli  w twerdomu  izotropnomu  till, D AN U kr.  R SR ,  nr. 2,  1961,  (w j .  ukraiń skim). 3.  JA. S.  POD STRIG ACZ,  W.  S.  PAWLIN A,  Diffuzionnyje  processy w  nierawnomierno  nagretom  deformiru- jemom  sł oje,  Woprosy  miechaniki  realnogo  twerdogo  tieł a,  1,  Kijów  1962,  (w  j .  rosyjskim). 4.  J A. S.  POD STRIG ACZ, W.  S.  PAWLIN A,  Diffuzionnyje processy w nagrewajemom  deformirujemom  szarie, 2,  Kijów  1964,  (po  rosyjsku). 5.  W.  N OWACKI,  Dynamie problems  of' t her modi)fusion  in elastic solids,  Proc. Vibr. Problems, 2,  15,  1974 6.  W.  N OWACKI,  T ermodyfuzja  w  ciele  stał ym,  Mechanika  Teoret.  i  Stos.,  t.  13, z.  2,  1975. 7.  K.  G RYSA,  R.  SzczEPAŃ SKr,  O  pł askim  quasi- statycznym  zagadnieniu  termodyfuzji dla  sprę ż ystego walca koł owego, Mech. Teoret.  i Stos., t.  17, z.  2,  1979. 8.  M. J.  BU D A,  Zagadnienie termodyfuzji w  ciał ach stał ych, Biul.  WAT,  6,  26,  1977. 9.  M.  J.  BU D A, G .  F .  PIELAK, Badania porównawcze efektów dyfuzji i termodyfuzji,  Biul.  WAT,  1,  28,1979. 10.  H . S.  CARSLAW, J.  C. JAEOER,  Conduction of  heat in solids,  Oxford  1959, również  wyd.  rosyjskie  N auka 1964. 11.  A.  ERD ELYI  i  inni,  T ables  of  integral transforms,  torn  1  McG raw- H ill,  1954. 12.  J.  JAN KOWSKI,  W pł yw drgań na dyfuzję  i termodyfuzję   w ciele stał ym, dysertacja  doktorska,  Politechnika P oznań ska  1980. 13.  J.  STEFAN IAK,  J.  JAN KOWSKI,  Pł askie fale  harmoniczne  i  dyfuzja w ciele  stał ym,  Mech.  Teoret.  i  Stos., t.  18, z.  3,  1980. P  e 3  IO  M e TEPM O,H H ct>ct>y3JM   n P H   KOH TAKTE  y n P Y r o r O  C JI O a  C  n O J iyn P O C T P AH C T BO M P accM aTpH BaeTca  n poi^ecc  xepM0fliic]DcJ)y3HM   n p n  KomaKTe flByx  yn p yr n x  n oJiyn poerpaH C TB, a TaiOKe B  CHCTejwe  cocToniU H M  H3  CJIOH   H  n on yn pocTpaticTBa  B cjiy^ae,  Korfla  CBo6oflH aa  IUIOCKOCTI>  CJIOH   H arpy- H