Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z3_4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3/ 4,20(1982) O WIĘ ZACH WEWNĘ TRZNYCH DLA  MATERIAŁÓW TYPU PRĘ DKOŚ CIOWEGO ANNA  WAC H E C K A- S K O WR ON Instytut  Mechaniki Uniwersytet W arszawski 1.  Wstę p W  literaturze znane jest  poję cie  wię zów  wewnę trznych  dla  materiał ów prostych  [1,  2, 3, 4] jako  pewnych  ograniczeń n a klasę   dopuszczalnych  deformacji.  Ograniczenia te  mają postać  równań  @(C) =   0,  gdzie  C jest  miarą   deformacji,  a  0:  R6 - »•   Rk,  1 =g k  ̂  6, znaną   róż niczkowalną   funkcją .  Tak  wprowadzone  wię zy powodują   pewną   nieokreś loność naprę ż eń.  Zakł ada się ,  że  tensor  naprę ż enia  T  jest  sumą   dwóch  czł onów  T  =   T o  +  7\ , z  których  jeden jest  dany  przez  funkcjonał   konstytutywny  T o  =   # "( C ( ( 0 ) ,  a drugi  nazy- wamy  reakcją   wię zów,  [2]. Tak  wię c z reguł y zakł ada się ,  że  ograniczeniom  dla  miar de- formacji  muszą   towarzyszyć  stany  naprę ż enia reakcyjnego,  utrzymują ce  te ograniczenia. Jednocześ nie  zakł ada  się ,  że praca  tensora  reakcji  wię zów  T x  n a dowolnym  tensorze prę dkoś ci  odkształ cenia Ć,  zgodnym  z warunkiem  &(C)  =  0 jest  równa 0. Tematem  tego  komunikatu  jest  zagadnienie  wię zów  wewnę trznych  w materiał ach typu prę dkoś ciowego.  Bę dziemy rozważ ać materiał  typu prę dkoś ciowego,  którego  równanie konstytutywne  ma postać 00  («- i)  .  c«) (1.1)  T = A,.!  T   + ... +A l T +B m C+  ...  +B 1 C, to gdzie  T , i =   1, 2,  ...,  n  jest  z- tą   pochodną   czasową   drugiego  tensora  naprę ż enia  Pioli- (0 Kirchhoffa,  C, / =   1,2,  . . . , m ,  /- tą   pochodną   prawego  tensora  odkształ cenia  G reena, znane  operatory A 1;   ..., A n ~ x ,  B x   , ..., B m   dział ają ce z R6 w R6 mogą   zależ eć  od C i  T . Celem  pracy jest  wprowadzenie  poję cia  wię zów  wewnę trznych  dla  materiał u zdefinio- wanego  równaniem  (1.1) i  analiza  przypadku  szczególnego  tych  wię zów,  który  prowadzi do  pewnych  uogólnień  poję cia  nieś ciś liwoś ci  materiał u.  W  pracy  korzystamy  z  ogólnej koncepcji  wię zów  wewnę trznych  podanej w  [5].  Koncepcja  ta polega  n a uwzglę dnieniu sytuacji,  w  których  ograniczenia  dla miar deformacji  są   przedstawione  w  zupeł nie ogólnej postaci,  tj.  postaci,  która  nie  musi  wyraż ać  się   przy  pomocy  ukł adu równań.  Obejmuje ona również przypadki, w których mogą   nie wystę pować  ograniczenia dla miar  deformacji, a  mimo to, mogą   wystę pować  reakcje  wię zów. 5  Mech.  Teoret. i  Stos.  3—4/ 82 238  A.  WACH ECKA- SKOWRON 2.  Podstawowe  relacje R ówn an ie  (1.1)  napiszemy  w postaci (2.1)  .  a =  Ae, C«)  ( 8 - 1)  .   P") gdzie  a =  T , e  — ( T   , ..., T ,C,  ...,  C),  A =  A(C ,  T )  jest  znanym  operatorem  linio- wym  okreś lonym dla każ dej pary C, T n a przestrzeni E  =   J?fc, /c  =  6 («+w-z - 1)  o wartoś ciach w  Z" =   J?6. D efinicja  1. Powiemy, że n a wł asnoś cima terialu okreś lone przez (2.1) został y narzucone wię zy  wewnę trzne, gdy dana jest  multifunkcja  W : E - > I s  o nastę pują cych  wł asnoś ciach 1. K m  d o m y7  ==   {e\ W (e) =£ 0 }  jest  niepustym,  domknię tym  podzbiorem E, 2.  (Ve  e K)(V(e)  =  {s})  =>  ({s  =   0) A (K  =  £ ) ) . Z biór  '^(e) jest zbiorem wszystkich  moż liwych  reakcji  wię zów  odpowiadają cych  deformacji e e K,  tj.  bę dziemy  przyjmować,  że (2.2) a = Ae + s, se!f (e). M ateriał ,  którego  wł asnoś ci  okreś lone są relacją  (2.2)  bę dziemy  nazywać  materiał em typu  prę dkoś ciowego  z przyrostowymi  wię zami  wewnę trznymi. D efinicja  2.  G dy K  =  E i  (3e eK)(\ P(e) ^  {0}),  to ograniczenia  narzucone na  rów- n an ia  konstytutywne  (2.1)  nazwiemy  ą uasi- wię zami. W przypadku ą uasi- wię zów  nie ma ograniczeń na e, a jednak wystę puje  reakcja wię zów s r Sytuację  taką  zilustrujemy  n a  przykł adach w nastę pnym  paragrafie. D efinicja  3. W przypadku  gdy  istnieje  subróż niczkowalna  [6] funkcja  i/>: E - > R taka,, że dla  każ dego e eJSf2biór   x P{e) jest  subróż niczką  funkcji  — ip w punkcie e, tzn. (2.3)  PM­­?«)i  VeeZ, wię zy nazywamy  wtedy  subpotencjalnymi, a funkcję   ^ nazywamy  subpotencjał em wię zów.. Relacja  (2.2) jest równoważ na  relacji (2.4)  (y- e)'S+yi(y)- y(e)ZO,  MyeK. K ro p ka w  ostatnim wzorze  oznacza iloczyn  skalarny w przestrzeni  E. Z  (2.4) wynika, że (2.5)  y  s + Y>0>) > e  •   s +  v(c),  Vj 6 iś T. Stą d  wyn ika: Lem at :  Jeż eli  przyrostowe  wię zy  wewnę trzne  w  materiale  typu  prę dkoś ciowego  są subpotencjalne,  t o wielkość  e e K realizuje  minimum funkcjonał u (2.6)  J(y)  =  y  s+ip(y)  n a zbiorze  K. n a  zbiorze K. Powyż sze  rozważ ania  ogólne  zilustrujemy  przypadkiem  szczególnym  przyrostowych wię zów  wewnę trznych. \ 3.  O pewnym  uogólnieniu  poję cia  nieś ciś liwoś ci Rozważ my  przypadek szczególny  równania (1.1), w którym n = 1, m =  1, tj. równanie postaci (3.1)  a = Ae,  gdzie  a s f,  A =  B x ,  e =  Ć . O  WIĘ ZACH   WEWNĘ TRZNYCH   2 3 9 W  d a lszym  cią gu  t r a k t u je m y  więc  a  ja k o  t e n so r  p r z yr o st u  ( p r ę d k o ś c i)  n a p r ę ż e n ia o r a z  e j a k o  t e n so r  p r z yr o st u  ( p r ę d k o ś c i)  o d k sz t a ł c e n i a.  Z n a n y  d l a  d a n e j  p a r y  C ,  T   o p e r a - t o r  A  je st  o k r e ś lo ny  n a  p r z e st r z e n i  E  =  R6. R o z ł ó ż my  t e n so r  p r z yr o st u  o d k sz t a ł c e n ia  e  n a  c zę ść  ku list ą  i  d e wi a t o r (3.2)  e  =  eD  +  le°,  gd zie  e D  e  ED  c  E,  c°  eR, An a lo gic z n ie  p o st ą p i my  z  t e n so r e m  p r z yr o st u  n a p r ę ż eń  a (3.3)  a  =   a D + l < j °,  gd zie  aDED  c  E,  a°  eR. P r zyjm u jem y  r ó wn a n i a  k o n st yt u t ywn e  ( 3.1)  w  p o st a c i a D   m  A D e D , ( 3 ' 4 )  a°  -   A°e °. gd zie  A D :  E  - >  E,  A°  :  R- *  R  są  z n a n ym i  o p e r a t o r a m i .  N a r z u c i m y  n a  ( 3. 4)  wię zy  d a n e "p r ze z  m u lt ifu n kc ję  W   =   ( F D ) W o),   l / y D  :  £ D  - >  2E  ,  V 0 :R- >2 R ,  k t ó r e  z d e fi n i o wa n e są  n a st ę p u ją cą  relacją (3   5 )  e  lF 0 (e°). P r zyjm u jem y,  że  Ve D ,   l i y D ( f D )  =   {0}.  Wt e d y  r e la c ja  (3.5)  m a  p o s t a ć ( 3 ' 6 )  '  a°  =   A°e°'+p. Wie lko ść  p  o p isu ją  r e a kc ję  wię z ó w. N ie c h  ip: R  - »  R  b ę d z ie  fu n kc ją  t a ką ,  że V 0 (e°)  =   -   dy>{e°) t '  Ve °  e  R. Wt e d y  relację  ( 2.4)  m o ż na  z a p i sa ć  n a st ę p u ją c o: gd zie  p  e  —  8tp(e°). R o z wa ż my  t e r a z  p e wn e  p r z yp a d k i  szc zegó ln e  fu n kcji  %p. 1.  P r zyjm ie m y,  że I  0  d la  r  <  b w t r \   —  } 1  w   \ «(r- b)  dla  r  >  fe,  a  =   const,  a  >  0. Wtedy 0  dla  /•   <  b [- a,  0]  dla  r  ==   b — a  d l a  r  >  b. Wykr e s  fu n kcji  f(.)  o r a z  m u lt ifu n kc ji  l i y 0 ( . )  p r z e d st a wi o n o  n a  r ys.  1, Ar gu m e n t  e°  m o ż e  p r z yb i e r a ć  d o wo l n e  wa r t o ś c i.  R e a k c ja  wię z ów  p  e  — <9?/)(e°) je st  s t a ł a d la  e°  >  ft. J a k  wid a ć  są  t o  ą u asi- wię zy,  b o  n ie  m a  o gr a n i c z e ń  n a  d z ie d z in ę  m u lt i fu n k c ji  W o   t z n . K  =   R,  a je d n a k  je st  r e a kc ja  wię zó w.  M a t e r i a ł   n ie  r e a gu je  n a  wię zy, jeż eli  p r z y r o s t  ku list e j i 5* 240 A.  WAC H E C K A- SK O WR ON czę ś ci tensora odkształ cenia nie przekracza stanu b. D la e°  >  b wystę puje  reakcja  wię zów, która m a wartość stał ą  równą   — a, jeż eli  e°  >  b. 2.  N iech  teraz 0  dla  r <  b, Wtedy \ F 0 (r) = 0  dla  r  <  b, R-   dla  r  =  b, 0  dla  r  >  b. F unkcja  ip{.)  oraz  multifunkcja  !fo (  - )  są   przedstawione  na  rys.  2.  Jeż eJi  czę ść  kulista e°  przyrostu  tensora  odkształ cenia  nie  przekracza  stanu  b,  to  nie  ma  reakcji  wię zów. Przekroczenie  staau b jest fizycznie  niemoż liwe. Rys.  2 O  WIĘ ZACH  WEWN Ę TRZN YCH 241 3.  Przyjmijmy,  że O a(r— a) dla  r  <  a,  /? =  const, d la  r  e  [a, b] dla  r  >  b,  a  = const, /?  > 0 a  >  0. Wtedy [-   b. N a  rysunku  3 przedstawiono wykresy funkcji  y>  i  multifunkcji  XF Q .  W  rozpatrywanym przykł adzie,  podobnie jak  w  przypadku  1,  nie  ma  ograniczeń  na  dziedzinę   multifunkcji l F 0 ;  K  =  R  są   to wię c  quasi- wię zy.  Jeś li  e°  e (a, 6), to nie ma reakcji  wię zów.  N iezerowa reakcja  wię zów  pojawia  się , gdy  e° $ (a,  b). Rys.  3 4.  Materiał  „czę ś ciowo" nieś ciś liwy  definiujemy  nastę pują co: 0  dla  r  e  [a, b] l +  oo  dla  r  $ [a, b]. (rp jest po prostu funkcją   indykatorową   przedział u [a, b].) Wtedy 0 R+ 0 R- 0 dla dla dla dla dla r  < a r  —  a re(a, r  = b r>b. b) Przebieg funkcji  y>( .)  oraz multifunkcji  lF 0 (  . )  ilustruje  rys.  4.  W  tym  przypadku  nie jest  moż liwe,  by  czę ść  kulista  przyrostu  stanu  odkształ cenia materiał u  osią gnę ła  stan  e°, 242 A.  WAC H H C K A- SK O WU ON który  nie  należ ał by  do  przedział u  [a, b].  Uniemoż liwiają   to  reakcje  wię zów.  Rozważ ane w  tym  przykł adzie  wię zy  są   wię zami  w  tradycyjnym  znaczeniu tego  sł owa, gdyż K  =   [a,b]  *  R. t a % b f Rys.  4 5.  G ranicznym  przypadkiem  dla  4 jest  materiał   nieś ciś liwy,  [1], dla  którego 0  dla  r  =   0 oraz Ą•('•)  = 0 dla  )• #  0 dla  r  <  O R  dla  r = O 0  dla  ?•  >  0. Rys.  5 O  WIĘ ZACH   WEWNĘ TRZNYCH   2 4 3 Rysunek  5 przedstawia  wykresy  funkcji  yi(.)  oraz  multifunkcji  !?o( •   )•   D la  stanu  e°  =   0 reakcja  wię zów  p  może  być  równa  dowolnej  liczbie  rzeczywistej.  M ateriał   nieś ciś liwy nie  może  osią gnąć  stanu  e°  ^   0. Zauważ my,  że  ograniczenia  (wię zy)  nakł adaliś my tylko  na  czę ść  kulistą   tensora  przy- rostu  odkształ cenia, dewiator  eD  tego  tensora  może  przebierać  dowolne  wartoś ci  z  prze- strzeni  ED. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  C. TRU ESD ELL, W.  N O LL,  T he non- linear field  theories of  mechanics,  H andbuch der Physik  I I I / 3,  B e r l i n - H eidelberg—N ew  York,  Springer  Verlag  (1965). 2.  T.  MAN ACORD A, Zagadnienia  elastodynamiki,  Ossolineum  (1978). 3.  A.  SIG N ORIN I,  T ransformazioni  termoelastiche finite,  M em. 3 , An n .  M at. P ura Appl.  (4), 39,  147  (1955). 4.  A.  E.  G R E E N ,  P .  M.  N AG H D I , J. A.  TR AP P ,  T hermodynamics  of  a  continuum  with internal  constraints I n t.  J. Engng.  Sci.  8, 891, (1970). 5.  C z.  WoŹ NIAK, On  the  non- classical  boundary  value problems in  structural and  solid mechanics,  R aport serii  P R E n r 3/ 81, Wrocł aw  (1981). P  e  3  T O  M  e O  BH YTPEH H BIX  CB*I3flX  MATEPH AJIOB  C KOP OC TH OrO  TH TIA PaSoTa  nocBH meH a  B Beflem n o  I I OH H TH H   BHyTpeHHBix  CBH3eń  fljiH   M aTepaajia  o n p e^ ejieH H o ro  y p a s - () =   A„_i  T   +  ...  + cBH 3en  BCfleT  K Hei- coTOpOMy  o 6o 6m e H H io  noH H TH H   H ec>H H - S u m m a r y I N T E R N AL  C ON TRAIN TS F O R RATE- TYPE  M ATE R I ALS The  m otioa  of  the  internal  constraints  has  been  introduced  for  materials  governed  by  th e  equation (.»)  (n- D   .  ("0 r = A „ _ !  T   +   . . . + A i r + B A C +   . . . + B X C A  particular  case  of  such  constraints  leads  to  a  generalization  of  the  motion  of  incompressible  material.