Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z3_4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA 1  STOSOWANA 3/ 4,20  (1982) O  BŁĘ D ZIE ROZWIĄ ZAŃ   PRZYBLIŻ ON YCH W MECH AN ICE WIESŁAW  N A G Ó R K O Instytut  Mechaniki Uniwersytet  W arszawski W pracy rozważa się  struktury matematyczne stosowane przy  rozwią zywaniu  zagadnień brzegowych  mechaniki. Rozpatruje  się   poję cie  rozwią zania  przybliż onego  oraz  formuł uje metodę   szacowania  jego  bł ę du  bezwzglę dnego  w  stosunku  do  nieznanego  rozwią zania dokł adnego.  Jako  przykł ad  analizowana  jest  liniowa  teoria  sprę ż ystoś ci.' 1.  Rozwią zania  przybliż one Wybrane  cechy  ciał   materialnych  machanika  bada  i  opisuje  przy  pomocy  pewnych przedmiotów  matematycznych. W  niniejszej  pracy  przedmiotami  takimi  bę dą   struktury matematyczne nastę pują cej  postaci (l.i) m = (x,F,^ gdzie X,  F są   podzbiorami w  przestrzeniach Banacha, zaś  fj, jest  relacją   dwuargumentową ix c  Xx F. Problemem mechaniki  nazywać  bę dziemy  poszukiwanie  dla  ustalonego f o eF  takiego elementu x 0   e X,  że (1.2)  (xo,Uefi. Element x 0   jest wtedy  rozwią zaniem tego problemu. Bł ę dem  bezwzglę dnym  przyję cia  za  rozwią zanie  problemu  (1.2)  pewnego  elementu x  e dom fi jest n   r,  •   s(x»Xo>/ o)  =  m a x( ||x- xo ||,  ll/ - / oll). gdzie ix x  =  {feF;  (x,f)e'fij. Jedną   z  ogólnych  metod rozwią zania  problemu  (1.2) jest  metoda aproksymacji  pole- gają ca  n a  okreś leniu  nowej  relacji  Ji aproksymują cej  ex  definitione  relację   fx. W  niniejszej  pracy  relację   aproksymują cą   okreś limy  przez  ustalenie a  ^  0  tak,  że  dla. każ dego  (x o ,f o )  e fi jest (1.4)  '  s(x,x 0 j 0 )  <  a. 246  W.  N AG ÓRKO Problemem  aproksymacyjnym  dla  problemu  (1.2) jest  wtedy  poszukiwanie  dla  ustalo- nego / o  takiego  elementu x,  że (1.5) ( x, / o) e £ . Rozwią zanie  (1.5)  nazwiemy  rozwią zaniem pnzybliż onym  rozwią zania  (1.2). Tak  okreś lone rozwią zanie  przybliż one  jest  uogólnieniem  definicji  wprowadzonej  w  [1]. Jeś li  nazwiemy  pary  (x,f)  e ju procesami zaś  x przyczynami  if  skutkami  lub  reakcjami to  wtedy  warun ek  (1.4)  moż na wypowiedzieć  jako  ż ą danie  bliskoś ci  w  sensie  normy róż- nicy  przyczyn  i  odpowiadają cych  jej  róż nic  skutków. Sprawdzenie  z  definicji  (1.4),  (1.5) czy  element x  jest  rozwią zaniem  przybliż onym  wy- maga  znajomoś ci  odległ oś ci  \ \ x—x Q \ \   mię dzy  nieznanym  rozwią zaniem  dokł adnym a  ele- mentem  x.  Odległ ość  ta  na  ogół  nie jest  dana. Inaczej  z  odległ oś cią  \ \ f—f o \ \   gdyż  znając x  i  fj,  potrafim y  o kreś lić /a  tym  samym \ \ f—f o \ \ - Trudn ość  oszacowania  \ \ x — x Q \ \   usuniemy  zakł adają c,  że  moż liwa  jest  konstrukcja funkcjonał u (1.6)  d:X^ R+, speł niają cego  warunki (1.7)  ( Vxo , x  e&omn){\ \ x- x0\ \   «  8(x, (x0  e d o r a ó  =>  5(x0)  =  O)]. 1) W  przypadku  istnienia  (1.6)  speł niają cego  (1.7)  warunkiem  dostatecznym  n a  to,  by  x  e dom,a  był o  rozwią zaniem  przybliż onym  jest F unkcjonał   <5  nazwiemy funkcjonał em  bł ę du.  Przykł ady konstrukcji  takiego  funkcjonał u podam y  w  pun ktach 2  i 3. 2.  Struktury  liniowe N iech  teraz  relacja  p,  wystę pują ca  w  (1.1)  jest  operatorem  A  e  (X  - >  F)  liniowym, ograniczonym  i  odwracalnym.  Operator  A~ l  jest  także  liniowy  i  ograniczony.  U stalmy tak  jak  poprzedn io / 0  zaś  x0  =  A~ 1 (f Q ). Z  definicji  normy  operatora mamy dla  wszystkich  x  e X  if  =   A(x). F un kcjon ał   bł ę du  (1.6) moż emy przyjąć  w postaci (2.1)  d(x)  = gdzie  m  jest  dan e  i  m  >  H ^t"1!!-   F unkcjonał   ten  okreś lony  jest  n a  cał ej  przestrzeni  X. l >  Zapis f\ X- *Y  oznacza, że operator / jest  okreś lony w przestrzeni X, zaś fe(X- *  F)  na przestrze- ni X. O  BŁĘ DZIE  247 Podstawiają c  (2.1) do  (1.8) otrzymamy warunek  dostateczny  na to, by dowolne  x  był o rozwią zaniem  przybliż onym la  \ m  - , a \ . \ m  }(2.2) H^CK)—/ oil < min D la pewnych  operatorów  A  wielkość  r  =  A(x)~f 0   nazywa  się   czasami sił ami reakcji [3]. Z  (2.2)  wynika,  że  dla  operatorów  A  mają cych  normę   I I .4"1!!  mniejszą   od  jednoś ci moż liwe jest szacowanie bł ę du bezwzglę dnego  e przez wielkość  sił  reakcji.  Inaczej  mówią c, jeż eli  m  <  1  wtedy  z  tego,  że  ||r ||  ^  a  wynika  \ \ x—xo||  <  a.  W  przeciwnym  razie,  dla m  >  1  szacowanie  takie  nie jest  prawdziwe.  Wynika  stą d,  że  także  dla  liniowej  teorii sprę ż ystoś ci,  która  jest  szczególnym  przykł adem  struktury  liniowej  szacowanie  bł ę du przez  siły reakcji  bez obliczenia m  nie jest uzasadnione. 3.  Struktury  w  przestrzeniach  H ilberta W poprzednim punkcie podaliś my  przykł ad funkcjonał u  bł ę du zależ nego  od sil  reakcji. Tak  skonstruowany  funkcjonał   pozwala  z  wielkoś ci  sił   reakcji  wycią gać  wnioski  o  wiel- koś ci  bł ę du bezwzglę dnego  rozwią zania  przybliż onego.  W  tym  punkcie zajmiemy  się   inną charakterystyką   bł ę du  bezwzglę dnego. U stalmy  pewną   strukturę   (X,  F, p.),  w  której  X  jest  przestrzenią   H ilberta  oraz W  celu  okreś lenia  dziedziny  funkcjonał u  bł ę du  rozpatrzmy  dwie  ortogonalne  roz- maitoś ci  liniowe  X,  i  X 2   tak,  że  dla  każ dego  x t   e X t ,  x 2   s  X 2   jest Funkcjonał   <5  okreś limy  dla x  zdefiniowanych  w  nastę pują cy  sposób \ O.Z)  X  =   —  (X t   +X 2 ). z Przyporzą dkowanie  (3.2) jest jednoznaczne. Równość  (3.1) jest  równoważ na  dla x  speł niają cych  (3.2) równaniu ||x —Xo|[ =  - z- ||xn — x%\ \ . Równoważ ność ta pozwala  n a  okreś lenie funkcjonał u  bł ę du  w postaci W  tym przypadku  rozwią zaniem  przybliż onym  jest  każ dy  element  x  = —(x l   +  x 2 ) który speł nia (3.4)  . m aJ- illXi- XjH,  ||/ - /0||j  <  a. Przykł ad  konstrukcji  ortogonalnych  rozmaitoś ci  liniowych  podamy  w  nastę pnym p'unkcie. 248  W.  N AOÓRKO 4.  Przykł ad  struktury  w  liniowej  teorii  sprę ż ystoś ci Zdefiniujmy  pewną   strukturę   liniowej  teorii  sprę ż ystoś ci  <7\  F,  X).  W  celu  skon- struowan ia  elementów  tej  struktury  podamy  kilka  definicji. N iech  Q  bę dzie regularnym  obszarem  w  R3. Oznaczmy  przez X  przestrzeń wszystkich  funkcji  wektorowych  x  e  (Q -> R3)  klasy  C2 w  Q  i klasy  C1  w  li. N iech  dalej  D  bę dzie  pewnym  niepustym  zbiorem  w  X  takim, że  wszystkie elementy D   są   odwracaln e. Okreś lmy  M ja ko (4.1)  M=  {x:x  =  i- {d- l),ieI,deD}, gdzie  / je st  zbiorem  wszystkich  izometrii  przestrzeni  R3  obcię tych  do  codom d  a  1 jest identycznoś cią   w  X.  Elementy okreś lone  warunkiem  (4.1)  oznaczymy  przez  u  i  nazwiemy przemieszczeniami.  N ajogólniejszym  zbiorem  (4.1) jest  cał a  przestrzeń  X. N iech  T   bę dzie  przestrzenią   symetrycznych  funkcji  tensorowych  t  e  (Q  -> / ?3*3) takich, że zachodzi warunek (4.1)  (V*  e T )(J  A im t tJ t kl dv  <  oo) a g d z i e  t  =   ( t t J ) ,  A i m   =  A J i k l   =   A t J l k   =  A k U J ,  i,j,  k , l  =  1 , 2 , 3 . P rzestrzeń  T  nazywa  się   przestrzenią  naprę ż eń. Wyposaż my  przestrzeń  T  w  iloczyn  skalarny  [2]; (4.2)  tH2  =   /   A tju t\ } t 2 a dv. o Okreś lmy  przestrzeń  F  jako  iloczyn  kartezjań ski  BxPxQ  gdzie  B  jest  przestrzenią funkcji  wektorowych  cią gł ych  b  e  (D - * R3)  P  przestrzenią   funkcji  wektorowych  prawie cią gł ych  p  e  {dxQ  ->  R3)  zaś  Q  =  X\ e 2 a-   Przyjmuje  się ,  że  <9fi2,  /  =   1, 2  są   takie,  że diQudiQ  =   3Q,  d 1 Q<^ d 2 Q  =  0. Elementy  Foznaczać  bę dziemy p r ze z/  =   (b,p,  q). F unkcje b nazywa  się  sił ami  masowymi a  p  obcią ż eniami  powierzchniowymi. W  celu  okreś lenia  relacji  X przyjmiemy,  że  dane są   operatory KB  (T - *  BxP)  postaci K(t)  =   (divf,  t\ s lO ń ) gdzie  funkcja  wektorowa  n  e  (8 t Q  -> i?3)  równa jest  wersorowi  zewnę trznie normalnemu do  diQ  oraz  L   e  (X  - +   T ) postaci L (x)  =   y  C(Vx +   Vxr) gdzie  c  =   (Ciju) są   funkcjami  skalarnymi  okreś lonymi  w  Q  (stał ymi sprę ż ystoś ci) speł nia- ją cymi  warun ki Ctjki  —  Cjtki  —  C U i k   —  Chuj A UM C Mm „  =   - j  (S lm ój„+  ó t „S Jm ),  i,j,  k,l,m,n  =  1 , 2 ,  3 . Relację   X przyjmiemy  jako (4.3)  (t,  (b,  p,  q))  e  Ao  (3u  E M)(t  =  L (u)\  A K(t)  =  (b, p) A UU l0  =   ą ). O  BŁ Ę DZIE 249 D la  struktur <7\  F,  A>  formuł uje  się  problem  (i.2) jako  poszukiwanie dla  ustalonego (b,p,q)  takiego  t e  T , że ( 4.4)  (t,(b,p,q))eA. Ozn acza  to, że trzeba  znaleźć  takie  u e M,  że 1 (  =  - j-  C (Vw+ Vwr) (Ą 5") "  (divf, t\ Sia n]  =   (Z?,j?) e° e° Rys. 1 Rys.  2 R ys.  3 fb  £ e° R ys. 4 Rys.  5 250  W.  N AG ÓRKO Poszukiwanie  u eX  speł niają cego  (4.5) nazywa  się  mieszanym zagadnieniem brzegowym teorii sprę ż ystoś ci. D la  problemu  (4.4) sformuł ować  moż na  problem  aproksymacyjny. Zdefiniujmy  w tym celu ortogonalne rozmaitoś ci liniowe  speł niają ce  (3.1). (D la uprosz- czenia  pomijamy  siły  masowe). N iech  /j  bę dzie  naprę ż eniem  kinematycznym  dopuszczalnym (4.6) a  t 2   naprę ż eniem  statacznie  dopuszczalnym (4.7)  (3M ,  S  M)(ł 2  = L (u2)  A K(t2) =  (0, zaś  / 0 rozwią zaniem  problemu  (4.4). Wykorzystują c  (4.2) ł atwo sprawdzić,  że zachodzi zwią zek Z go d n ie  wię c  z  p . 3, jeż eli  za rozwią zanie  przybliż one  t  problem u  (4.4)  przyjmiemy ś redn ią   arytm etyczn ą   n aprę ż eń  speł niają cych  (4.6) i  (4.7)  oraz, że t   0 (ti  + t 2 )  e  dom I wtedy  bł ą d bezwzglę dny  równy jest (4.8) e(t, ł 0,f0) = l gdzie M e t o d a  opisan a  w p . 3 sprowadza  się  w tym przypadku  d o  zastą pienia  poszukiwania rozwią zan ia  (4.4) przez  poszukiwan ie  rozwią zań  (4.6) i  (4.7) zaś  bł ą d  bezwzglę dny  roz- wią zan ia  przybliż on ego  — (ti + t 2 )  równ y jest  (4.8). Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  W.  N AG Ó R K O ,  Sulk  soluzloni  approssimate in  meccanica,  Riv.  M at.  U niv.  Parma,  4,  7  (1981),  1  - 8, 2.  J.  L.  SYN G E ,  T h e  H ypercircle  im  M athem atical  Physics,  Cambrigde  U niversity  Press,  1957 3.  C z.  WO Ź N I AK,  Constrained continuous media, Bull. Acad.  Polon.  Sci,  Serie'Sci.  Techn., 21  (1973). P e  3 io  M  e n orP E I K H O C T B  nPHEJIH>KEHHBIX  PEIUEHHK  B  MEXAHHKE B  CTaTŁC  o6cy> Kflaercn  AiaTeMaTiraecKHe  CTpyrcrypbi  npH MeH neMbie  n p ii  peiuenH H   i