Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z3_4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA 1  STOSOWANA 3/4, 20 (1982) N IELIN IOWA  TEORIA  STATECZN OŚ CI POWŁOK PRZEKŁAD KOWYCH Z  U WZG LĘ D N IEN IEM   P OP RZ EC Z N EJ  OD KSZTAŁCALN OŚ CI  RD Z EN IA FRANCISZEK  R O M A N Ó W ,  JERZY  C Z M O C H O W S K I W roclaw W  pracy  rozpatrzono zagadnienie  statecznoś ci  sprę ż ystej  mał owyniosł ych  walcowych powł ok  trójwarstwowych  z mię kkim  rdzeniem, odkształ calnym w  kierunku prostopadł ym do  powł oki.  Zagadnienie  to  w  zakresie  liniowym  rozwią zano  w  pracy  [1]  dla  powł ok ś ciskanych  i  w  pracy  [2] dla  powł ok  ś cinanych.  Zgodnie  z  teorią   cienkich jednorodnych powł ok  przyjmuje  się   dla  warstw  zewnę trznych  hipotezę   przemieszczeniową   Kirchhoffa- Love'a  (K—L).  W  stosunku  do  rdzenia  zastosowano  metodę   przedstawioną   w  pracy [1,  2], uwzglę dniają cą   poprzeczną   odkształ calność  rdzenia.  Z  zasady  prac  wirtualnych wyprowadzono  równania  równowagi  sił   i  zespół   naturalnych  warunków  brzegowych. U kł ad  pię ciu  równań  równowagi  wyraż onych  w  przemieszczeniach,  po  wprowadzeniu funkcji  naprę ż eń  i  funkcji  przemieszczeń  sprowadzono  do  trzech  równań  róż niczkowych czą stkowych,  które  rozwią zano  przybliż oną   metodą   Bubnowa- G alerkina. Celem ilustracji  zjawisk  wystę pują cych  w  stanie zakrytycznym  oraz wpł ywu  począ tko- wych  imperfekcji  podano  prosty  przykł ad  w  którym  rozwią zano  zadanie  statecznoś ci sprę ż ystej  swobodnie  podpartej  otwartej  powł oki  walcowej  przy  osiowym  ś ciskaniu. Wyniki  obliczeń  przedstawiono  w  formie  wykresu  sił a — ugię cie  (rys.  3).  N atomiast wpływ  poprzecznej  odkształ calnoś ci  rdzenia  na  stateczność  począ tkową   przedstawiono na  wykresie  siły  krytycznej  w  funkcji  gruboś ci  rdzenia. Wstę p W  wię kszoś ci  prac dotyczą cych  teorii  statecznoś ci  sprę ż ystej  powł ok  trójwarstwowych zakł ada  się   stał ą   wartość  ugię cia  na  gruboś ci  rdzenia.  Zał oż enie to  jest  sł uszne  jedynie dla  powł ok  cienkich,  natomiast  jest  bł ę dne  dla  powł ok  o  stosunkowo  grubym  rdzeniu, gdzie  decydują ce  znaczenie mają   odkształ cenia w  kierunku  prostopadł ym do  powierzchni powł oki.  Poprzeczne  odkształ cenia  rdzenia  uwzglę dnił   już  E.  REISSNER  [3],  gdzie  przy zał oż eniu w rdzeniu liniowej  zmiany naprę ż eń normalnych do pł yty wyprowadził   równania równowagi  sił  pł yty  trój warstwowej.  W  ten  sam  sposób  badali  stateczność  pł yt  V.  D U N - DROVA,  V.  KOVARIK,  P .  SLAPAK  [4], a  A.  L.  POTASZ  [7]  i  KARAVANOV  [10]  badali  skoń- •  czone ugię cia pł yt ortotropowych. I n n agrupa prac uwzglę dniają cych  ś ciś liwość poprzeczną rdzenia opiera się   na linearyzacji  ugię ć w warstwie lekkiej  Ju. N . N OVICKOV  [5], E.  I. G R I - GOLJUK,  P. P.  CULKOV  [6], L.  POMAZI  [15]. W  pracy  [14]  autorzy  wychodzą c  z  równoś ci 272 F.  ROMAN ÓW,  J.  CZMOCHOWSKI odkształ ceń  przy  ś ciskaniu  rdzenia  i  okł adziny,  okreś lili  krytyczne  obcią ż enie  tylko  dla cylindrycznie  ś ciskanej  tarczy  o dowolnej  gruboś ci.  Jednak  ze wzglę du  na  zawyż one  war- toś ci  naprę ż eń  krytycznych  w  tarczach  o  ś redniej  gruboś ci,  teoria  ta  ma  ograniczone zastosowanie. Zagadaieniem  nieliniowym  statecznoś ci  sprę ż ystej  cienkich  powł ok  trójwarstwowych i  stanami  zakrytycznymi  zajmował o  się   wielu  autorów,  co  przedstawiono  w  pracy  [13]. Z  krajowych  publikacji "zasł uguje  na  uwagę   praca  W.  SZYCA  [8], gdzie  autor  okreś lił wpł yw  począ tkowych  imperfekcji  oraz udział  rdzenia w przenoszeniu  obcią ż eń  ś ciskają cych stycznych  do powł oki. N atomiast  J. G . Ronan i  J. S. Kao  [9] zbadali  wpływ  sztywnoś ci  rdzenia  na górną   i  dolną wartość  obcią ż enia  krytycznego  ś ciskanych  powł ok  walcowych  trójwarstwowych. 1.  Podstawowe  zał oż enia Rozpatrzymy  zagadnienie  statecznoś ci  powł oki  trójwarstwowej  typu  sandwich  tzn. zł oż oną   z  dwóch  warstw  „sztywnych"  gruboś ci  t,  zwanych  dalej  okł adzinami, pomię dzy którymi  znajduje  się   warstwa  o  znacznie  mniejszej  sztywnoś ci,  o  gruboś ci  2c,  zwanej dalej  rdzeniem. Przyjmujemy,  że  okł adziny  pracują   jak  cienkie  powł oki, dla  których  sł uszna jest hipo- teza  Kirchhoffa- Love'a.  D la  rdzenia  istotne  znaczenie  mają   odkształ cenia  w  kierunku normalnym  do  powierzchni  ś rodkowej  i  odkształ cenia  od  poprzecznego  ś cinania.  Siły podł uż ne przenoszą   tylko  warstwy  zewnę trzne.  D la  mię kkich  rdzeni  (Et/ E u c  >  10)  przyj- muje  się , że  naprę ż enia  normalne i  tną ce w pł aszczyź nie  rdzenia  są   pomijalnie  mał e w sto- sunku  do  pozostał ych  naprę ż eń.  D la  rdzenia  przyjmujemy  hipotezę   przemieszczeniową zgodnie  z  [1]. Powł okę  warstwową  odnosimy  do ortogonalnego ukł adu współ rzę dnych xl,  x2,  z rys. 1. Przemieszczenia  dla  okł adzin  zgodnie  z  hipotezą   K—L  przyjmują   postać (1.1) u{  =   w, Rys.  1. Schemat  powł oki  walcowej. N IELIN IOWA  TEORIA  STATECZNOŚ CI  POWŁ OK  273 gdzie / = =   g—dla  górnej  okł adzin y;  —(c + t)  <  z  <  —t, f=  cl—dla  dolnej  okł adzin y;  c  <  z  <  c+t;  (znak  m in us  w  n awiasie) u° f—  przemieszczenie  powierzchn i  ś rodkowej  okł adzin y, (p[—ką t  obrot u  pł aszczyzny  prostopadł ej  d o  powierzchn i  ś rodkowej  o kł ad ziny (zgodnie  z  hipotezą  K —L  q> a   =  — wjK), w —  ugię cie  okł adzin. P rzemieszczenia  w  rdzen iu  przyjmujemy  w  postaci  [1, 2] (1.2) w c   =  wf(ź ), gdzie: (1.3)  ui  =  y( «S B + «2 0 .  u«  =   —(w^- wg"), f(z)  —  funkcja  zależ na  tylko  od  współ rzę dn ej  prostopadł ej  do  powł oki. Odkształ cenia  okł adzin  zgodn ie  z  nieliniową  teorią  powł ok  przyjmujemy  w  p o st a c i: ul/ 3  =  T (1.4)  z gdzie: w°  —  począ tkowe  n ieregularn osci  powierzch n i  okł adzin  (począ tkowe  im perfekcje), ôcjS —  gł ówne  krzywizny  powierzchn i  ś rodkowej  okł adzin. W  dalszej  czę ś ci  wprowadzim y  odkształ cen ia  sprowadzon e  d o  powierzch n i  ś r o d ko wej powł oki (1- 5)  e£ p   =  e+p ±e^ +iz±c±   — gdzie: 1 • 6)  e- p =   y > V  =   - 2(

o =   ( c + y ) / f +   ~Ij Wartoś ci  parametrów  / ; dla przemieszczeń  w rdzeniu okreś lonych  funkcją   (1.2)  [1] i dla przemieszczeń  zgodnych  z hipotezą   prostej  ł amanej/ (z) =   1 podano  w  tabeli  1, P o  podstawieniu  powyż szych  zależ noś ci  do  (2.1)  i cał kowaniu przez  czę ś ci  otrzymamy równania  równowagi  powł oki  wyraż one  w  przemieszczeniach  (2.10)  oraz zespół  natural- nych  warunków  brzegowych  (2.12). (2.10)  (l- v)(u  %  ° (2.12)  J cB  [  1  T V  , —u a   +(y i6 w, a   =   0, 0  EJ, c  —  c — P a ( w +  W°), a  =   0, gd zie: (2.11) - ~Sh  +  TC23 - 1  V2 J  )o o , a +   ~ =   0 . o o 3.  Stateczność  osiowo  ś ciskanej  powłoki  cylindrycznej Obecnie  przedstawimy  rozwią zanie  zadania  statecznoś ci  sprę ż ystej  swobodnie  pod- partej  otwartej  powł oki walcowej  przy  osiowym  ś ciskaniu.  Siły zewnę trzne N ^   są   równo- N IELIN IOWA  TEORIA  STATECZNOŚ CI  POWŁOK  277 miernie  rozł oż one  na  krawę dziach  Xi  <=  0  i  x x   =   4 .  Warunki  brzegowe  otrzymujemy zgodnie  z powyż szymi  zał oż eniami z  naturalnych warun ków  brzegowych  (2.12).  M ian owi- cie  dla  x t   =   0 i  Xi  =   / i  mamy iVft  =  tfft , JVJ,  =   0, J V J i - 0*  ( I - *) «!!+ v( «T i+  «aa)  -   0 - > u - ,,  - 0  i  "1,2  =   0, ^  u j  =   0, M n  =   0 = * - ( l - ) ' ) «1 i + ) ' ( »J ł + «2 2 )  =   0  =*•   w i ( i =   0   i  w, 2 2 =  0 , w =   0,  •   . dla  brzegu x 2   =   0 i x 2   =   / 2 tffc  =  0, J V 2 + 2  =   0 , UJ  m  0, N 22  =   0  => ( l - ^ e i a + ^ C su +  e ii)  =   0  => "T.i  =   0  i  »a,a  =   °. M 2 i  =   O  = >  ( 1 —  v)x 22   +  v{x i{   +  * : 2 2 )  =   0  =>  Vf.ii  =   O  i  vv, 22  =   0 , w =   0. Przy badaniu statecznoś ci  sprę ż ystej  osiowo  ś ciskanej  powł oki cylindrycznej  zakł adam y, że  sił y  przył oż one  są   tylko  do  brzegów  powł oki,  p a   ~  p 3   =  0. Pierwsze  dwa  równania  równowagi  bę dą   speł nione toż samoś ciowo, jeś li  sił y  wyrazimy przy  pomocy  tzw.  funkcji  naprę ż eń  (funkcji  Airy'ego)  F(xy,  x 2 ) / g y\   J\ f+ _  Ą  p  p Wyraż ając  odkształ cenia  eip  przy  pomocy  funkcji  naprę ż eń  i  wykorzystują c  równ an ie nierozdzielnoś ci  przemieszczeń r  j _  j YY .«  «  ,YV  ^  2  ' * J otrzymamy  równanie n a  funkcję   naprę ż eń (3.5) D alej  definiują c  funkcję   przemieszczeń  ^(JCJ  ,  x 2 ) (3- 6)  y> =  u~ a , z trzeciego  i czwartego  równania  równowagi  (2.10)  otrzymamy (3- 7)  , i a a - §  ^ Z  kolei  ostatnie  równanie  równowagi  (2.10)  moż emy  napisać  w  nastę pują cy  sposób (3.8)  - 2 D wl B a / J / , - 2 B ©1 6 V l C „  +  ^ ^ -   w, m-   ^   w + +  (.^ F, n ~F, afi )[k aff   + iw + w 0 ) iafi ]  =   0. W  ten  sposób  sprowadziliś my  ukł ad  5  równań  równowagi  do  3  równ ań  w  funkcji W ,Fiy>(3.5),  (3.7) i  (3.8). 278  F .  ROMAN ÓW,  J.  CZMOCHOWSKI P owyż szy  u kł a d  trzech  równ ań  równ owagi  rozwią ż emy  przybliż oną   m etodą   Bubnowa- G a ler kin a . P rzyjm ujem y,  że funkcja  aproksym ują ca  ugię cie  „ w"  powł oki  ma  postać (3.9)  w =   W^sinax1sin/ Sx2, gd zie: mn  .  nn« .  _ ,  p =  y- , p o d o bn ie  przyjmujemy  postać  począ tkowych  n ieregularn oś ci  kształ tu (3.10)  w°  =   B^sincDCiSin/ SjCj T ak  d o br a n e  funkcje  speł niają   warun ki  brzegowe  swobodn ego  podparcia  (3.1),  (3.2). Wp ro wad zen ie  przyję tej  funkcji  ugię cia  d o równ ań  (3.5)  i  (3.7)  umoż liwia  niezależ ne od siebie  rozwią zan ie  tych  równ ań ,  tzn .  okreś lenie  funkcji  n aprę ż eń  i  przemieszczeń (3.11)  F=  B( l- i'2 )  i f f !  W + 2 W °)\ ^ ;  cos 2d Xl 7Vux| Trzecie  ró wn an ie  (3.8) rozwią zujemy  m etodą   ortogonalizacji  Bubn owa- G alerkina h  h  '• (3.13)  J  J  XÓW dx 1 dx 2   =   0 o  o gdzie:  Z jest  lewą   stron ą   ró wn an ia  (3.8). P o  scał kowan iu  otrzym am y  równ an ie  algebraiczn e  n a sił ę   ś ciskają cą: gdzie (3  15)  «  -   ^  ^ (i.  15)  «,  -   2 T Ą 3 2n2)  n2p*(\-v2)I5 + N IELIN IOWA  TEORIA  STATECZNOŚ CI  POWŁOK 279 (3.15)  [c.d.] Tabela  1. Wartoś ci  parametru / , w przypadku  uwzglę dnienia  poprzecznej ś ciś liwoś ci rdzenia i bez  uwzglę dnienia (/ (z) =   1) 2c/ ,  = 2c/ 6  = , „ , 2c/ 8  = ff(z)dz —  C V 1  [di C I- —  c —  c c —  e : ) • * iz   Z du ldf\ 2 \ dz) dZ h h - h tghpc =   T  \ ' +   pc - - (— tghpc 4 1 coshpz' cosh/ ;c t gh 2 p c J tghpc  \ pc  / tghpc  \ pc  / / p c + \ 3 ~ 2 ) 8 P C  3  ^ J , = / 7  = • =  1 1 . ' 0 • 0 -   0 Tutaj  wprowadzon o  n astę pują ce  bezwym iarowe  p aram et ry W   ^ 0   W ° (3.16) B _  E -   ,  ii B 280 F .  ROMAN ÓW  J.  CZMOCHOWSKI Z  ró wn an ia  (3.14)  m oż emy  uzyskać  górną  krytyczną1  wartość  obcią ż enia  ś ciskają cego wzdł uż  tworzą cej  powł oki  walcowej  (t] u   =   rj 22   =   ()),•   bez  wstę pnego  ugię cia  (£°  =  0), jeś li  ugię cie  £ jest  n ieskoń czen ie bliskie zeru  (£  - »  0). P owł oka obcią ż ona jest  sił ami  rozł o- ż on ymi  w  sp o só b  cią gły  N xl   n a  brzegach  x t   ==  0  i  x t   =   l x ,  wobec  czago  f22  =   f , 2  =   0. Z go d n ie  z  tym i  zał oż en iami  górn e  obcią ż enie  krytyczne  moż emy  obliczyć  w  nastę pują cy spo só b (3.17) N "  = I- .0 O t r z y m a n a  wie lko ść  Ń "  zależy  o d  ilo ś ci  pó ł fal  m  in.  Z  p r a k t yc z n e go  p u n k t u  wid zen ia i n t e r e su je  n a s wa r t o ść  n a jm n ie jsza  tej  wielko ś ci (3.18) £ ,  =   minJV" =   N "(m k ,n k ), tit t  ft m k  '  "* —  okreś la  liczbę  pół fal  tworzą cych  się  w  chwili  utraty  statecznoś ci. W  dalszym  cią gu  zbad am y  zach owan ie  się  powł oki  walcowej  po  wyboczeniu.  Bież ą ce obcią ż en ie  ś ciskają ce  bę dziemy  odn osić  do  obcią ż enia  krytycznego  N j[ r   i (3.19) gdzie: bĄ  +   bs =   «6- 0,015  - 0.005  - Rys.  2.  Z ależ ność  krytycznych  obcią ż eń  w funkcji  gruboś ci  rdzenia.  Krzywa  1 — bez  uwzglę dnienia po- przecznej  ś ciś liwoś ci  rdzen ia; krzywa  2 — z uwzglę dnieniem  poprzecznej  ś ciś liwoś ci. N IELIN IOWA  TEORIA  STATECZNOŚ CI  POWŁ OK 281 P odobn ie  jak  wyż ej  szukam y  wartoś ci  m in im aln ej  P(m,  n)  ze  wzglę du  n a  ilość  pół fal m  i  n,  dla  każ dej  wartoś ci  ugię cia  £ (3.20)  P m   =  m i n P ( m , n)  =   P{m u   n x ), nii,  ni —  okreś lają  liczbę  pół fal  odpowiadają cych  najmniejszej  sile  ś ciskają cej  dla  dan ej wartoś ci  ugię cia. 4.  Obliczenia  i  wnioski Obliczenia  przeprowadzon o dla  powł oki  trójwarstwowej  o  n astę pują cych  p a r a m et r a c h geometrycznych  i f izycznyc'*.: —  dł ugoś ci powł oki wzdł uż tworzą cej  / Ł   =   0,6  m , —  szerokość  powł oki  po  obwodzie  l 2   =   0,4  m, —  prom ień zakrzywienia  powierzchn i  podstawowej  R  =   I m , —  grubość  okł adzin t  =  1 m m , —  m oduł   sprę ż ystoś ci  podł uż n ej m ateriał u okł adzin E  =   70  534 M P a, —  liczba  P oisson a m at eriał u okł adzin v  =   0,3, —  m oduł   sprę ż ystoś ci  podł uż n ej m ateriał u  rdzen ia  E<. =   53 M P a , —  liczba  P oisson a m ateriał u  rdzen ia v c   <=  0. N a  rys.  2  przedstawion o  krzywe  obrazują ce  u t rat ę  stateczn oś ci  powł oki  przy  m ał ych ugię ciach  w  funkcji  gruboś ci  rdzen ia.  Krzywa  1  przedstawia  zależ n ość  sił y  krytyczn ej przy  pom inię ciu ś ciś liwoś ci  rd zen ia, / ( z)  =   1, n at o m iast krzywa  2 z  uwzglę dn ien iem  ś ciś li- woś ci  rdzen ia. W  tabeli 2 p o d a n o wartoś ci  liczbowe  n aprę ż eń  krytyczn ych  N % T   i  odpowia- dają ce  im  iloś ci  pół fal  sfał dowania  powł oki  wzdł uż tworzą cej  „m"  i  p o  obwodzie  „ «". Jak  widać  nie  uwzglę dn ian ie  poprzecznej  ś ciś liwoś ci  jest  dopuszczaln e  jed yn ie  dla  do- statecznie  cienkich  powł ok. T abela  2.  Obcią ż en ia  kryt yczn e  i  ilość  pół fal  m i / m  zależ n oś ci  od  gruboś ci  rd zen ia.  G r u p a  d an ych  N r  1 odpowiada  obliczen iom  bez  uwzglę dnienia  ś ciś liwoś ci  rdzen ia  i  gru py  dan ych  N r  2  z  uwzglę d- nieniem  ś ciś liwoś ci  rd zen ia. L p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c cm 0, 0 0,5 1,0 1,5 2, 0 2,5 3,0 3,5 4, 0 5,0 m 8 11 14 22 26 27 27 27 28 28 krzywa  1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 mr 0,00221 0,00517 0,00821 0,00996 0,01048 0,01063 0,01067 0,01068 0,01068 0,01068 krzywa  2 m 8 11 11 11 12 12 12 12 13 13 ii 1 1 1  . 1 1 1 1 1 1 • « A N I 0,00221 0,00523 0,00870 0,01218 0,01566 0,01913 0,02260 0,02607 0,02954 0,03646 1 ]  Poję cie  górnego  i  dolnego  obcią ż enia  krytycznego  okreś lił   VoPmir  A. S.  [11]. 282 F .  ROM AN ÓW,  J.  CZMOCHOWSKI N a  rys.  3  przedstawiono  wykres  „sił a- ugię cie",  dla  róż nych  wartoś ci  parametru po- czą tkowych  imperfekcji  f°.  Liczba  przy  krzywej  podaje  ilość  pół fal  sfał dowania  powł oki wzdł uż tworzą cej.  W pracach  [8], [9] przy  zał oż eniu jedynie  globalnego  wyboczenia  w po- staci  jednej  pół fali  okreś la  się  tzw.  górne  obcią ż enie  krytyczne  odpowiadają ce  punktowi A o   (rys.  3) i dolne obcią ż enie  krytyczne  —  punkt A 6 .  N atomiast jak  wynika  z przeprowa- £ 0= w/ c* w0/ c R ys.  3.  Wykres  „ sił a —  ugię cie"  dla  róż nych  wartoś ci  parametru  począ tkowych  imperfekcji  f°  (Liczba W  kół ku  okreś la  ilość póffal  powstają cych  wzdł uż tworzą cej  powł oki walcowej). dzonej  tutaj  analizy  powł oka ulega  sfał dowaniu  z dużą iloś cią  pół fal przy znacznie  niż szej sile,  odpowiadają cej  punktowi A,.  Wartość  sił y odpowiadają cej  temu punktowi,  otrzymuje się  z  analizy  liniowej  zagadnienia  statecznoś ci  powł ok trójwarstwowych  [12], jest  to  tzw. pierwszy  pun kt  bifurkacji.  D alszy  wzrost  obcią ż enia  jak  widać  nie  powoduje  utraty noś noś ci  powł oki.  W  punktach  A 2 ,  A 3 ,  A 4   wystę pują  ponowne  rozwidlenia  krzywej „ sił a- ugię cie",  są  to  kolejne  punkty  bifurkacji,  gdzie  nastę pują  „ przeskoki"  z  pierwotnej postaci  do  nowej  odpowiadają cej  mniejszej  liczbie pół fal sfał dowania  powł oki. W  punkcie A s   powł oka  osią ga  tzw.  punkt  graniczny  tzn.  traci  stateczność  przy  utracie  noś noś ci, linia A s   -  A 6   okreś la stany niestateczne. D opiero za punktem A 6   powł oka staje się ponownie •  stateczna.  W  praktyce  jednak  przekroczenie  punktu  A s   oznacza  zniszczenie  powł oki. N a  rys.  3 przedstawiono  również  zachowanie się powł oki przy ugię ciu w stronę przeciwną. N IELIN IOWA  TEORIA  STATECZNOŚ CI  POWŁ OK  28J P owł oka przechodzi wówczas  przez  pun kty  bifurkacji  A- ,, A 8 ,  A g ,  A 10   bez  u t rat y  n o ś n o ś ci. Jedn ak należy  sobie  zdawać  sprawę,  że przy  obcią ż eniach  bliskich  obcią ż en iu  odpowiadają- cemu  pun ktowi  A s   m oże  n astą pić,  przy  dział an iu  pewn ego  im pulsu,  przeskok  n a  krzywą A o - A 6 ,  odpowiadają cym  st an o m  n iestateczn ym .  T ak  zachowuje  się  podczas  obcią ż en ia powł oka  o  idealnym  kształ cie.  W  rzeczywistoś ci  m am y  zawsze  do  czyn ien ia, z  p o wł o kami o  nieregularnym  kształ cie.  N ieregularn oś ci  t e  okreś liliś my  przy  pom ocy  p a r a m e t r u  £° N a  rys.  3  pokazan o  równ ież  krzywe  „ sił a- ugię cie"  przy  począ tkowej  imperfekcji  £ 0  =  0»2 j  £ 0  =   —0,2.  D la  Co =   0,2  powł oka  ugin a  się  od  sam ego  począ tku  obcią ż en ia,  przech o- dząc  przez  p u n kt  bifurkacji  B Ą ,  d o  p u n kt u  B 5   odpowiadają cemu  obcią ż en iu  gran iczn em u . Krzywa  B s   -  B 6   okreś la  stan y  n iestateczn e.  Teoretyczn ie  moż liwe  stan y  stateczn e  przy ugię ciu  w  stron ę  przeciwną  okreś la  krzywa  2?8 -  B9-   Blo,  a  stan y  n iestateczn e  krzywa B 8   -  B 1   -  oo. D la  Co =   —0,2  po wł o ka  równ ież  ugin a  się  o d  sam ego  po czą t ku  obcią ż en ia, przechodząc  przez  kolejne  p u n kt y  bifurkacji  C 8 ,  C 9 ,  C 1 0 ,  bez  u t rat y  n o ś n o ś ci.  J ed n a k przy  obcią ż eniu  wyż szym  od  obcią ż en ia  odpowiadają cemu  pun ktowi  C 3  moż liwy  jest przeskok,  n p. ja k  po kazan o  n a  rys.  3 z  pu n kt u  Q t   do  Q 2 .  Wtedy  dalszy  wzrost  obcią ż en ia powodują  utratę  n oś n oś ci  w  pun kcie  C s .  Z  praktyczn ego  p u n kt u  widzen ia  n ajwię ksze znaczenie,  jak  widać  m a  okreś len ie  obcią ż eń  odpowiadają cym  kolejnym  p u n k t o m  bifur- kacji,  a  szczególnie  pierwszego  p u n kt u  bifurkacji  A t ,  p u n kt u  gran iczn ego  A 5 ,  B s ,  C 5 oraz  tzw.  doln e  obcią ż enie  krytyczn e  A 6 ,  B e ,  C 6 . Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  F R .  ROMAN ÓW,  Obcią ż enia krytyczne  konstrukcji  wielowarstwowych,  Prace  N aukowe  I K iE M ,  Poli- techniki  Wrocł awskiej,  Seria:  M onografie  36,  8, Wroclaw 1979. 2.  F R .  ROMAN ÓW,  J.  CZMOCH OWSKI,  Energia sprę ż ysta i  statecznoś ć ś cinanych trójwarstwowych  powł ok o  odksztalcalnych rdzeniach,  I I I  Sympozjum  Statecznoś ci  Konstrukcji,  Referaty,  Ł ódź 26 -  27.X.1979 r., s. 219- 328. 3.  E.  REISSN ER, Finite Deflections of  Sandwich Plates,  Journal  of  the  .Institute  of  Aeronautical  Sciences, vol.  15,  July  1948,  pp.  435  -   440. 4.  V.  D U N D ROVA,  V.  KOVARIK,  P,  SLAPAK,  N ichtliiieare  Biegungstheorie von  Sandwich- Flatten,  Acta Technica  Academiae  Scientiarum  H ungaricae,  Tomus  57  (1  -  2),  pp.  19  -   33  (1967). 5.  Ju.  N .  N OVICKOV,  N elinejnaja teorija i  ustojcivost' tolstych mnogoslojnych  oblocek, P rikladnaja  m ate- matika i mechanika,  1973,  37,  N o  3, 532  -   543. 6.  E. I .  G RIG OLJU K, P.  P. CU LKOV,  T eorija trechslojnych  obolocek  s  iestkim  zapolnitelem, Izvestija  AN SSSR,  OTN ,  M echnika i  M aszinostroenie,  N o  2,  1963. 7.  A. L.  POTASZ,  Uravnenija  obSć ej teorii  izgiba ortotropnych trechslojnych plastin  konecnogo progiba s  legkim zapolnitelem, Izvestija  VU Z ,  Stroitel'stvo  i  Architektura,  1979,  N o  1, s.  46 -  52. 8.  W.  SZYĆ,  N ieliniowe  zagadnienie statecznoś ci sprę ż ystej  trójwarstwowej otwartej powł oki  walcowej, Rozpr.  Inż yn.,  19,  4,  1971. 9.  G . RON AN   JESU S,  JAO- SH IUN   K AO ,  N onlinear Equations for  Shallow Sandwich .Shells  with  Orthotropic- Cores,  AIAA Journal, vol.  13,  N o  7, pp.  961  -  963,  July 1975. 10.  V. F .  KARAVANOV,  Uravnenija  pologich  trechslojnych oboloć ek s  legkim zapolnitelem  pri ko'necnych- smeś ć enijach,  Izv.  VU Z,  Aviacionnaja  technika,  N o  1 (1958), s. 69 -  77. 11.  A. S.  VOL'M IR,  Ustojcivost' deformiruemych sistem, Izd. „ N a u ka ",  M oskva 1967. 12.  E. I .  G RIG OLJU K, P. P. CU LKOV,  Ustojcivost i kalebanija trechslojnych obolocek,  M.,  „ M asin ostroen ie'% 1973. 13.  E, I .  G RIG OLJU K,  P. P.  CU LKOV,  T eorija uprugich  trjochslojnych konstrukcij  v  nieliniejnoj postanovke,. Sb.  Rascety  elementov  aviacionnych  konstrukcij,  Vyp.  4.  M., M aszinostrojenie  1965, 99-   133. 284  F .  R O M AN Ó W  J.  CZM OCH OWSKI 14.  J. N . G O O D I E R , J .  M . N E O U ,  T he  evaluation oj theoretical critical  compression in sandwich plates, J. Aeron Sri.,  18, N o  10  (1951). 15.  L.  P O M AZ I ,  On past- buckling  behaviour of  regularly  multilayered  rectangular  elastic plates.,  Acta  techn. Acad.  Sci.  H un g., 1978  (1979),  87, N o  1 -  2,  111  - 120. P  e 3 io  M e H E J I H H E H H AH   T E O P H fl  yC T O H M H BO C T H   TP E XC JI OitH BI X  OBOJIO^tEK  C  y ^ E T O M n o r i E P E ^ H O H   flEOOPM H PyEM OCTH   3An O J I H H T E J M B  pa5oie  oScywseii  Bonpoc  ynpyroi- i  VCTOHUHBOCTH  nononix  TpexcnoftHbix  UHJiHiiflpiraecKHX 060- jion eK  c  MJincHM   3anoJiH H iejieM ,  flecbopM H pyeM Liiu  B  nepeneiiflH KynapH OM   nanpaBjieH H H .  J\ im  H apy- M H M X  CJIOCB,  corjiacH O  TeopH H   aoH Kiix  oflHopoflHLix  o6ojio iieK,  npHHHTO  rn n oTe3y  KupxroiJja- JIjiBa ( K - J I ).  n o  oTHOineHHio  i<  3anoJiH H Tenio  npHMeHeH  MeTo.ii,  npeflCTaBJieHHbiH   B  pa6oTax  [ 1, 2 ] , n o n e p e q H yio  flefhopM npyenocTi.  3anonH H TeJiH .  H 3 n p a im H n a  BnpiyajffiH wx  paSoT ypaBH enH H   paBHOBecHJi  C H JI ,  K o io p bie  n ocjie  BBe^eH H a  tbynKL(H K  cbym- cqiiH   n ep eM em en n ii  Sbin n  p e m e iibi  npaG jiuwcuH biM   MeTOflOM   EyQi- iOBa- FaJiepKHHa. rpacpH Kii:  oKH M aiom eii  C H U M ,  cooTBCTCTByiomeft  nepBoft  TO -̂ IKC  6H cbypKaqH H ,  B  cbyimuHH 3anojiH H TejiH ,  a  Tait>ice  oKH M aioiycH   C JKI Ł I  B  ^ YH K I ^ H H   n p o r n 6 a  O6OJIOVKH S u m m a r y N ON - LI N E AR  TH E OR Y  OF   TH E  STABILITY  OF   SAN D WICH   SH ELLS  WITH   TRAN SVERSE D EF ORM ABILTTY  OF  TH E  CORE T h e  elastic  stability  of  a  cylindrical  three  layer- shell  with  soft  core  is  considered.  The  deformation of  a  core  occurs  vertically  to  the  shell  surface. F o r  the external layers  according to the theory of thin homogneous shells the  hypothesis  of  Kirchhoff- Love  displacement  was  assumed.  F or the core, th e methods given in  papers  [1,2]  taking  into  account the transverse  deformability  of  the  core —  were  considered.  The  differential  equation  of  the  equilibrium  of the  forces  was  established.  With  the introduction of  the stresses  and  displacement  functions  the equation was  solved  by  aproximate  Bubnov- G alerkin  method. The  diagrams  of  compressing  force  as  a  function of  the  core with  were  presented. The force  is connected with the first  point of bifurcation. Also the diagrams of  compressive  force  as  a  function  of  shell  deflection  —  for  different  values  of  initial  imperfections  were given. Praca  został a zł oż ona w Redakcji dnia 14 lipca  1981 roku.