Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z3_4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3/4,  20(1982) ANALIZA  STANU   ZAKRYTYCZN EG O  TARCZY  PROSTOKĄ TN EJ  P OD D AN EJ DZIAŁAN IU  M IM OŚ ROD OWEGO  Ś CISKAN IA  I  J E J  ZASTOSOWAN IE  D O PRZYBLIŻ ON EGO  OBLICZAN IA  CIEN KOŚ CIEN N EGO  D Ż WIG ARA SKRZYN KOWEG O SEWER  J A K U B O W S K I Instytut  Mechaniki Stosowanej Politechnika Ł ódzka Spis  najważ niejszych  oznaczeń a, b —wym iary  tarczy h —  grubość  tarczy Eh 3 =   ~T ^ 7\   z\   —  sztywność  pł ytowa zginania E —  moduł   Younga v —  liczba  Poissona u,v,  w,— przemieszczenia  powierzchni  ś rodkowej  tarczy A =   a/ b —  współ czynnik  kształ tu tarczy 1.  Wstę p Przy  projektowaniu  konstrukcji  cienkoś ciennych —  w  tym  także  dź wigarów  o  prze- kroju  skrzynkowym  — jednym  z  podstawowych  problemów jest  zagadnienie  statecznoś ci. Najczę ś ciej  problem  ten jest  rozwią zywany  poprzez  obliczenie  obcią ż enia  krytycznego  dla konstrukcji  idealnej  (pozbawionej  niedoskonał oś ci kształ tu,  przypadkowych  obcią ż eń  itp.) i ustalenie wartoś ci  współ czynnika bezpieczeń stwa  w stosunku do tegoż obcią ż enia  [1, 7, 8]. Postę powanie takie  prowadzi  na  ogół  do  niepeł nego wykorzystania  konstrukcji,  która w  wię kszoś ci  wypadków  może  pracować  bezpiecznie  w  zakresie  obcią ż eń  wię kszych  od krytycznego.  P on adto,  jak  wykazują   liczne  badan ia  doś wiadczalne  obcią ż enie  krytyczne dla konstrukcji  idealnej  nie stanowi  prawidł owej  oceny wytę ż enia  konstrukcji  rzeczywistej, która  pracuje  naogół   w  stanie  wyboczonym  już  od  począ tku  obcią ż enia. Z  powyż szych  powodów  prowadzone  są   liczne  badnia  teoretyczne w  zakresie  stanów zakrytycznych  dź wigarów  skrzynkowych  lub  ich  elementów  [2,  3,  5, 9]. W  pracy  niniejszej  przeprowadzono  ogólną   i  numeryczną   analizę   stanu  zakrytycznego swobodnie  podpartej  tarczy  prostoką tnej  poddanej  dział aniu  ś ciskania  (bą dź  rozcią gania) i  jednoczesnego  zginania  w  tym  samym  kierunku. 8  M ech .  T eoret.  i  Stos.  3—4/ 82 286 S.  JAKUBOWSKI Analizę   tę   przeprowadzono  pod  ką tem  przydatnoś ci  uzyskanych  rezultatów  do  przy- bliż onego  obliczania  cienkoś ciennego  dź wigara  skrzynkowego,  którego  ś rodniki  utracił y statecznoś ć.  Otrzymane  wyniki  poddano  weryfikacji  doś wiadczalnej,  uzyskują c  na  ogół dobrą   zgodność  z przewidywaniami  teoretycznymi. W  celu  zastosowania  rezultatów  badań  teoretycznych  do analizy  pracy  wspomnianego dź wigara  skrzynkowego  poddanego  zginaniu  i  ś ciskaniu  zaproponowano  odpowiednią przybliż oną   metodę   obliczeniową . W pracy przedstawiono  także wybrane wyniki badań doś wiadczalnych  duż ego dź wigara skrzynkowego,  porównują c  je  z  rezultatami  obliczeń  opartych  o  wspomnianą   metodę przybliż oną. Analliza  stanu  zakrytycznego  swobodnie  podpartej  tarczy  prostoką tnej  poddanej  zginaniu i  ś ciskaniu  (bą dź  rozcią ganiu) Analizie poddano cienką  izotropową   tarczę  prostoką tną  o stał ej gruboś ci  h i dł ugoś ciach krawę dzi  axb,  podpartą   swobodnie  wzdł uż  obwodu. Przyję to  dalej, że rozważ ana  tarcza jest  obcią ż ona  w sposób  pokazany  na rys.  1. Z Rys.  1 Zmienność  normalnych  naprę ż eń  obcią ż ają cych  wzdł uż  odpowiednich  krawę dzi  tarczy opisano  nastę pują cą   liniową   funkcją   współ rzę dnej  y: O) Współ czynnik  liczbowy  «  charakteryzuje  tu sposób  obcią ż enia  tarczy.  1 tak  przykł adowo dla  a  =   0  wzór  (1)  opisuje  czyste  ś ciskanie  tarczy,  zaś  dla  a  =  2  przypadek  czystego zginania  tarczowego.  Opisanemu  sposobowi  obcią ż enia  pł askiej  tarczy  odpowiada  nastę - pują ca  bi harmoniczna  funkcja  naprę ż eń  Airy'ego (2)  ,  0 o ( * , j O =  '• • ( ' - « )• F unkcję   w(x,  y)  opisują cą   ugię cia  tarczy  w stanie zakrytycznym  zał oż ono w postaci nastę - pują cego  szeregu  trygonometrycznego  o  nieznanych  współ czynnikach  f,„ n: 3 mnx  V1  .  •   nny (3) gdzie m  =   1 lub  2. =  hsm AN ALIZA  STANU   ZAKRYTYCZN EG O  287 Tak  przyję ta  funkcja  ugię cia  speł nia  w  sposób  toż samoś ciowy  warunki  swobodnego podparcia  wszystkich  krawę dzi  tarczy.  Współ czynnik  m  opisuje  liczbę  pół fal  wyboczenia tarczy  w  kierunku  zginania.  O  tym,  czy  w  konkretnym  przypadku  nastą pi  wyboczenie z jedną  pół fal ą  (m — 1)  czy  też  z  dwiema  (m  =   2),  rozstrzygnąć  moż na  na  podstawie odpowiedniej  analizy  stanu  krytycznego  tarczy [1,  2,  6]. D obór powyż szej  postaci  funkcji w(x,y)  poprzedzony  był   analizą  literatury  [1, 2,  3,  4,  5]  oraz  analizą  wpł ywu  dł ugoś ci szeregu  (3)  na  otrzymane  wartoś ci  obcią ż enia  krytycznego  tarczy.  Okazał o  się,  że  przy nieskrę powanym  doborze  wartoś ci  współ czynników  £ m ,  trójskł adnikowa  postać  (3) tegoż  szeregu  z  zadawalają cą  dokł adnoś cią  opisuje  ugię cia  rozważ anej  tarczy.  F unkcję naprę ż eń  Airy'ego  &(x,y)  dla  zakrytycznego  stanu  tarczy  wyznaczono  z  równania  nie- rozdzielnoś ci  odkształ ceń.  D la  duż ych  ugięć  tarczy  równania  to  przyjmuje  nastę pują cą postać  [1, 3, 4] Po wstawieniu  do równania  (4) funkcji  ugię cia  w(x, y)  danej  zależ noś cią  (3), równanie to rozwią zano  wyznaczając  jego cał kę szczególną  i(x, y).  Sumująp  uzyskane  rozwią zanie z  rozwią zaniem  szczególnym  (2)  równania  jednorodnego  (biharmonicznego),  uzyskano funkcję  naprę ż eń  )m2{lM(0,3)- M(0,l)  + +  9M (4m 2,  1) +  M (4m 2, 9) ] £ m l |m a +  [M(O,5)- Af(O,l) + +  25(M (4m 2, 1) +  M (4m 2,  25))]S ml i m3 }. Jak wynika z rysunku 3 oraz wzorów (12) i (13) w stanie zakrytycznym  tarczy współ czynniki a* 0   i a  tracą  prostą  interpretację  fizyczną.  Współ czynniki  te nie definiują  bowiem  bez- poś rednio  ani wartoś ci  naprę ż eń  w  naroż nikach  tarczy  {a* i  of)  ani wartoś ci  ś rednich tychże naprę ż eń  (a* i a*). Z  analizy  rys.  4 oraz  wzoru  (16) wynika, że znając  wartoś ci  cr*0 i « nie moż na obliczyć bezpoś rednio  (nie znając  współ czynników  £,„„)  wartoś ci  momentu  zginania  tarczowego M* x ,  jaki  tarcza  przenosi.  W szczególnoś ci  zaś obliczenie  odwrotne, tj. wyznaczenie  war- toś ci  a x0   i «  gdy dane są  moment Mf x i  sił a  P* x , jest  praktycznie  niemoż liwe. *  Reasumując  powyż sze, moż na stwierdzić, że współ czynniki a% i a nie nadają  się prak- tycznie  do  opisu  stanu  obcią ż enia  tarczy  po jej  wyboczeniu.  Z tego  powodu  w  dalszej czę ś ci  rozważ ań  stan  obcią ż enia  tarczy  opisywany  bę dzie  poprzez  podanie  wartoś ci  mo- mentu M,* i sił y P? x .  W funkcji  tych dwu  wielkoś ci podane zostaną także wyniki obliczeń numerycznych. N a  zakoń czenie  analizy  pola  naprę ż eń  należy  zauważ yć  pewną  jego  wł asność istotną z  punktu  widzenia  sformuł owania  warunków  współ pracy  analizowanej  tarczy  z innymi elementami. Otóż jeś li  obliczyć  ś rednie  cał kowe  odkształ cenie wzglę dne  ~e B   w kierunku  x  wzdł uż górnej  krawę dzi  y  =  0 tarczy z uwzglę dnieniem  panują cego  tam  dwukierunkowego  stanu naprę ż enia, to otrzymuje się (17)  a g  =   - a ó Analogicznie  obliczyć  moż na  ś rednie  odkształ cenie wzdł uż  krawę dzi  dolnej (18)  Ą,  =   4  ( V  .Af- - -̂. o E Wzory  (17) i  (18)  stwierdzają,  że ś rednie  odkształ cenie w kierunku  osi x wzdł uż obu  nie- obcią ż onych  krawę dzi  tarczy  otrzymać  moż na  traktując  te  krawę dzie  jako  obcią ż one jednokierunkowe  naprę ż eniem ś rednim  odpowiednio o g   lub  a d . Zostanie to  wykorzystane w  przybliż onej  metodzie  obliczania  dź wigara  skrzynkowego. N a podstawie przedstawionych powyż ej rezultatów ogólnej  analizy stanu zakrytycznegc- tarczy  dokonano  odpowiednich  obliczeń  szczegół owych.  Kluczem  do  numerycznego rozwią zania  problemu  są  wartoś ci  trzech  współ czynników  fmn,  na  podstawie  których AN ALIZA  STANU   ZAKRYTYCZN EG O  293 m oż na  obliczyć  wszystkie  param etry  stan u  zakrytyczn ego  tarczy,  t j.  m .in .  ugię cia,  n a p r ę - ż enia,  deformacje  itp. Wartoś ci  współ czyn n ików  £„,„   wyznaczono  m etodą  m inim alizacji  cał kowitej  en ergii potencjalnej  U  tarczy.  Energia  t a  jest  sumą  trzech  skł adn ików: (19)  f/ =   V g  +  V b ~L , gdzie  V g   i  V b   są  to  energie  odpowiedn io  stan u  bł on owego  i  zgię ciowego  tarczy,  zaś  L oznacza  pracę  sił   zewn ę trzn ych.  Oba  skł adn iki  energii  sprę ż ystej  wyraż ają  się  dla  duż ych ugięć  tarczy  n astę pują cymi  wzoram i  [4]: ~\ lT xT y)  \ \ dxcly}}  h  W l  [W W \ lT xT y) h  Cf -   2E  J.J P racę  sił   zewn ę trzn ych  wyzn aczon o  m etodą  wariacyjną,  wynosi  o n a (21)  '  L = gdzie  C jest  stał ą  dowolną. P o  zsum owan iu  wszystkich  skł adn ików  otrzym uje  się  en ergię  poten cjaln ą  U  ja ko funkcję  postaci (22)  U  =   U(a,  b,X,h,  E , v,  a x0 ,  a,  fm l,  fma,  £ m 3 ) . Wzglę dem  zm iennych  |f f l B  funkcja  t a jest  trzyn astowyrazowym  wielom ian em  4- go  st o pn ia. F un kcję  (22)  m in im alizowan o  num erycznie  wzglę dem  zm ien n ych  £,„„  przy  u st alo n ych pozostał ych  param et rach .  Z n alezion e  wartoś ci  współ czyn n ików  £,„„  pozwolił y  n ast ę pn ie okreś lić:  obcią ż enie  tarczy  (M* x   i  P* x ,  wg  wzorów  (15)  i  (16)), najwię ksze  bezwym iarowe ugię cie  tarczy  W ^ n  =  W ma / h,  najwię ksze  n aprę ż en ie zredukowan e  [5] a- r*edmax  o r a z  wszyst- kie inne interesują ce  wartoś ci,  w  szczególnoś ci  zaś  a*  i  a%.  Obliczeń  d o ko n a n o  w  szerokim zakresie  zm ien n oś ci  param et ró w,  zestawiając  wyniki  w  postaci  tablic  i wykresów. P rzykł a- dowe  wykresy  przedstawiają ce  zm ienność  ugię cia  m aksym aln ego  vt>*ax,  n ajwię kszych naprę ż eń  zredukowan ych  o- r*d m a x  i  n aprę ż eń  o*  w  funkcji  m o m en t u  M*x  przy  róż n ych wartoś ciach  sił y  osiowej  P* x   przedstawion o  n a  rys.  5,  6  i  7.  P rzedstawion e  n a  wykresach ujemne  wartoś ci  sił y  P 1X   odpowiadają  rozcią gan iu  tarczy. D la  oceny  poprawn oś ci  otrzym an ych  rezultatów  przepro wad zo n o  weryfikacyjn e  ba- dan ia  doś wiadczaln e.  P rzebadan o  dwie  tarcze  stalowe  o  wym iarach  3 15 x3 5 0  (A  =   0,9) oraz  384 x  350 m m  {X  =   1,1)  p o d d an e czystemu  zgin an iu,  wyznaczając  ugię cia  (9  czujn ików zegarowych)  i  n aprę ż en ia  (202  ten som etry  oporowe).  Tarcza  pierwsza  wybaczał a  się w  kształ cie jedn ej  pół fali  sin usoidy  (m  =   1), zaś  druga  —  w  kształ cie  dwu  pół fal  (m  =  2). P rzykł adowe rezultaty  badań  doś wiadczalnych  dla  tarczy  o współ czyn n iku  kszt ał tu  X  =   1,1 przedstawion o  w  form ie  wykresów  n a  rys.  8 i  9. N a  rys.  8  p o kazan o  zm ien n ość  m aksym aln ych  ugięć  zm ierzon ych  i  przewidywan ych tarczy  w  funkcji  obcią ż en ia  m ierzon ego  sił ą  Q  w  m aszyn ie  wytrzym ał oś ciowej.  R ys.  9 j 294 S.  JAKUBOWSKI 3,2 2,8 2,4 2.0 1,6 1.2 0.8 1 _  liczba i§ 1 póttal i 1 20   1° I M  =  2 • Wll/ f - 20 i  i '  wartoś ci są siednie i  i 1   i m sił   P  opisano linie róż nią  się i  i 1 ,— przy krzywych i 2 0 4 0   60   80   100   120   140   160   180 Rys.  5 160 .  128 112 4  96 —  80 64 48 32 16 0 60 60 40  20  0 - 20 wartoś ci  sił   F'bpisano  przy krzywych są siedn ie  linie  róin ią .  się o  AP=5 liczba pół tal  M= 2  ;  Xs  1.4 20 40 60 80 100 120 _L _L 140  160  180  200 Rys.  6 pokazuje przykł adowe rozkł ady bł onowych i zgię ciowych  naprę ż eń normalnych w przekroju pionowym  x  =  0,3a  przez  tarczę ,  przebiegają cym  w  pobliżu  miejsca  najsilniejszego  jej wybrzuszenia.  N a rys.  10 przedstawiono wzglę dne  i bezwzglę dne  róż nice mię dzy ugię ciami zmierzonymi  i  przewidywanymi  teoretycznie  w  funkcji  przecią ż enia  tarczy  ponad  stan krytyczny: o - 16 - 32 - 48 - 64 - 60 - 96 - 112 - 128 - 144 - 16& 40  60  80  100  120  140  160  160  200 liczba  póttal  M=2  ;  X=1,4 wartoś ci  sit P*opisano  przy  krzywych sqsiednie  linie  r ó ż n ij  się  o AF^ 5 j  i 80  60 £020 0- 20 1  i  i Rys.  7 E E Ł 1,5 1,0 0,5 1 Tarcza BL- 2.1 - - -   • 2 doś wiadcz. \ \ V/ /   /   * • / / I / / / 7 > teoria I / • - i 500  1000 Q[kG) 1500 Rys.  8 [295] 296 S.  JAKU BOWSKI a 75 50 Tarcza  BL- 2.1 Obcią ż enie Q=UO0kG Przekrój  C-C - 100 Rys.  9 W  p o d su m o wa n iu  badań  doś wiadczaln ych  m oż na  stwierdzić,  że  eksperym en t  potwierdził cał kowicie  przewidywan ia  teoretyczn e w sensie jakoś ciowym.  W uję ciu  iloś ciowym  zan oto- wan o  pewn e  rozbież n oś ci  mię dzy  wyn ikam i  doś wiadczenia  a  przewidywaniam i  teoretycz- nymi  dla  ugię ć  i  n aprę ż eń  zgię ciowych  przy  mał ych obcią ż en iach. Tł um aczą  się   one istnie- n iem  przypadkowych  ugię ć  wstę pn ych  w  badan ych  tarczach .  W  m iarę   wzrostu  przecią - ż en ia  tarczy  p o n a d  stan krytyczn y  wspom n ian e róż n ice maleją   jedn ak  dość szybko  —  czego p r zykł a d e m  mają   być  wykresy  zam ieszczon e  n a  rys.  10.  Stwierdzen ie  powyż sze  pozwala przypuszczać,  że  zastosowan ie  przedstawion ych  tu  rezultatów  analizy  teoretycznej  do obliczan ia  rzeczywistych  kon strukcji  cienkoś ciennych  obarczon ych  niewielkim  ugię ciem wstę pn ym  n ie  prowadzi  d o  zbyt  wielkich  bł ę dów. U  1,6 n= Q / Q k r Rys.  10 AN ALIZA  STANU  ZAKRYTYCZN EG O 297 3.  Przybliż ona  metoda  obliczania  cienkoś ciennego  dź wigara  skrzynkowego  poddan ego zginaniu  i  ś ciskaniu  przy  utracie  statecznoś ci  ś rodników F ragm en t  rozważ an ego  dź wigara  oraz  jego  przekrój  poprzeczn y  przedst awio n o  n a rys.  11. P rzedstawione  param etry,  charakteryzują ce  przekrój  poprzeczn y  dź wigara  o zn ac zo n o nastę pują cymi  sym bolam i  literowym i: p d   —  pole  powierzchni  przekroju  poprzeczn ego  pasa  doln ego F g   —  pole  powierzchni  przekroju  poprzecznego  pasa  górn ego J  —  m om en t  bezwł adnoś ci  przekroju  poprzeczn ego  dź wigara  wzglę dem  gł ówn ej  osi centralnej  z c F  —  pole  powierzchni  przekroju  poprzeczn ego  cał ego  dź wigara, M o —•   m om en t zginają cy  dź wigar, P o   —  sił a  osiowa,  obcią ż ają ca  dź wigar. Rys.  11 P ropon owan a  m etoda  obliczania  dź wigara  opiera  się   n a  nastę pują cych  przybliż on ych zał oż en iach: a)  ś rodn ik  dź wigara  n a  odcin ku  mię dzy  przepon am i  pracuje  jak  tarcza  swo bo d n ie  po d- part a  n a  obwodzie, b)  pasy  górn y  i  doln y  pozostają   pł askie  i  podlegają   jedn okieru n kowem u  stan owi  n ap rę - ż enia,   v c)  odkształ cenia  wzglę dne  pasów  i  ś rednie  odkształ cen ia  wzglę dne  ś ro d n ików  n a  wszyst- kich  krawę dziach  styku  —  w  kierun ku  osi  dź wigara  —  są   sobie  równ e. Obliczenie  dź wigara  sprowadza  się   zatem  do  znalezienia  takiego  ro zkł ad u  n ap rę ż eń w jego  przekroju  poprzeczn ym ,  który  speł nia przyję te  wyż ej  zał oż en ia. P r o p o n o wa n a  m e- toda  ma  ch arakter  iteracyjny.  P od  rozwagę   należy  wzią ć  n p . przekró j  A—A—A—A  dź wi- gara  (rys.  11), poł oż ony w  bezpoś redn im  są siedztwie  przepon y.  W  pierwszym  przybliż en iu wyznacza  się   rozkł ad  n aprę ż eń  w  dź wigarze  n a  grun cie  liniowej  teorii  zgin an ia  belek. Odpowiednie  n aprę ż en ia  w  skrajnych  górnych  i  doln ych  wł ókn ach  ś ro d n ika  wyn o szą : 298  S.  JAKUBOWSKI (23)  o r a z o  Po J  F. I n d eks  „ p r i m "  ozn acza  tu  pierwszą  iterację. D la  t a k  okreś lon ego  liniowego  rozkł adu n aprę ż eń  w  przekroju  poprzecznym  dź wigara wyzn aczyć  m o ż na  wartość  bezwym iarowego  m om en tu zgin an ia  tarczowego  M*ś  =   Mf x ", p rzen o szo n ego  w  pierwszym  i  drugim  przybliż eniu  przez  pojedynczy  ś rodn ik.  Wartość t a  wyraża  się  zależ n oś cią: (24)  -   i  Mf'  =   M*" -   ^g-   =   - Bezwym iarowa  sił a osiowa  P , *'  =   P , *'', przen oszon a przez pojedynczy  ś rodn ik, w  pierwszym i  drugim  przybliż en iu  wyn osi: p* '  =   p « "  • "   u«  i tx  tx  2R  ' W  zależ n oś ciach  (24)  i  (25)  sym bolam i  D  i  R  ozn aczon o  pł ytową  sztywność  zginania o raz  współ czyn n ik  redukcji  n aprę ż eń  (10)  dla  fragm entu  ś rodn ika  n a  odcin ku  mię dzy p r zep o n a m i.  W  p rzyp ad ku  gdy  ś rodn ik  dź wigara  pracuje  w  stan ie zakrytycznym ,  w oparciu 0  obliczon e  wartoś ci  współ czyn n ików  P£"  i M* x "  wyznaczyć  m oż na  kolejne  przybliż enie ro zkł adu  n ap rę ż eń  w  przekroju  A—A—A—A,  z  uwzglę dnieniem  teorii  nieliniowej.  Roz- waż any  przekró j  A—A—A—A  poprowadzon y  przez  ś rodn ik  (rys.  11)  m oż na  utoż samić z  przekrojem  kryń cowym  x  =   0  dla  tarczy  prostoką tn ej.  Wówczas,  n a  podstawie  rozwią- zan ia  cyfrowego  zagadn ien ia pracy  zakrytycznej  odpowiedniej  tarczy  (fragmentu  ś rodn ika), p o d d a n ej  obcią ż en iu  M* x "  i  P* x ",  wyznaczyć  m o ż na  param etry  charakterystyczn e  nie- lin iowego  ro zkł adu  n aprę ż en ia  w  przekroju  A—A—- A—A  tegoż  ś rodn ika.  P aram etram i tym i  bę d ą m . in.  wartoś ci  n aprę ż eń a' g   i a' d '  (lub  a*"  i  er*") w  skrajnych  wł óknach ś rodnika. N a  m ocy  zał oż en ia  o  jedn okieru n kowym  stanie  n aprę ż en ia  w  pasach  oraz  w  wyniku wcześ niejszej  an alizy  odkształ ceń  s x   n a  krawę dziach  y  =  0  i  y  =  b  tarczy  wzory  (17) 1 (18), m o ż na zał oż yć, że n aprę ż en ia w p asach : górn ym i doln ym wynosić bę dą  odpowiednio a' g '  i  a'/ .  Z a ł o ż o no  przy  tym  jedn akowy  m oduł   Youn ga  dla  pasów  i  ś rodn ików  dź wigara. W  d ru gim  przybliż en iu  otrzym uje  się  więc  nieliniowy  rozkł ad  n aprę ż eń  w  przekroju A—A—A—A  dź wigara,  przedstawion y  n a  rys.  12.  Otrzym an y  rozkł ad  n aprę ż eń  zastą pić m o ż na  statyczn ie  równ oważ n ym  u kł ad em  sił   i  m om en tów,  przedstawion ych  n a  rys.  12. Wart o ś ci  sił   P' g   i  P' d '  w  pasach  wyraż ają  się  przy  tym  wzo ram i: fn/ r,  '  .  P'g  =  a'eFo  =   ao"RFs' (26)  o raz  ,,  ,,   m „ O t rzym an y  u kł ad  sił  i m om en t ó w n ie jest jed n ak  statycznie równ oważ ny  sile P o  i  m om ento- wi  M Q ,  obcią ż ają cym  dź wigar.  Wyn ika  t o  m.in.  z  faktu,  że  odpowiedn ie  n aprę ż en ia a' g i  a' d '  n ie  są  sobie  n a  o gó ł  równ e.  G lobaln a  sił a  osiowa  PQ  dla  dź wigara  zredukowan a  do ś r o d ka  cię ż koś ci  przekroju  poprzeczn ego  oraz  globaln y  m om en t  gną cy  M'ó,  w  drugim przybliż en iu  wynoszą  o d p o wied n io : AN ALIZA  STANU   ZAKRYTYCZN EG O 299 (2 7 ) oraz 2 Po  obliczeniu  wartoś ci  P' o '  i  M' o '  należy  oszacować,  jak  dalece  róż nią   się   one  od  zadan ego obcią ż enia  P o   i  M o   dla  dź wigara.  Zazwyczaj  bowiem,  otrzymuje  się (28)  P'o  >  Po  i  M' o '  ±   M o . Jeż eli  róż nice  M o - M' o '  oraz  P 0 - P' Q '  bę dą   zbyt  duż e,  należy  do  nastę pnej  iteracji  przyją ć nowe  wartoś ci  P* x '"  i  M%",  nie  róż nią ce się   zbytnio  od  P?J'  i  M* x ".  Proces  iterowan ia należy  kontynuować aż  do  osią gnię cia  zadawalają co  mał ych  róż nic  P Q - P&' }  i  M 0 ~Mti'K przy  czym  zbież noś ci  iteracji  jest  zagwarantowana.  Po zakoń czeniu  iteracji  otrzymuje  się wyznaczony  dla  przekroju  A—A—A—A  rozkł ad  naprę ż eń  w  dź wigarze  i  jednocześ nie wartoś ci  Pf^   i  M$P, charakteryzują ce  obcią ż enie  ś rodnika.  P o zwalał o na o kreś len ie—  n a podstawie  odpowiednich  tablic  i  wykresów —  takich  interesują cych  wielkoś ci  ch arakte- ryzują cych  jego  pracę ,  ja k:  maksymalne  ugię cie,  naprę ż enia  zredukowane  itp. Rys.  12 N ależy  zaznaczyć,  że  dla  czę stego  przypadku  czystego  zginania  dź wigara  (P o   =   0),. omówiona  metoda  prowadzi  do  wniosku,  że  ś rodniki  podlegają   zginaniu  tarczowem u i  jednoczesnemu  rozcią ganiu  (P tx   <  0).  Rozcią ganie  ś rodników  jest  bowiem  kon ieczn e dla  zachowania  warun ku  znikania  sił y  osiowej  w  cał ym  dź wigarze,  gdyż  w  rozważ anym przypadku  obcią ż enia,  jak  wynika  z  wcześ niejszej  analizy,  zachodzi  relacja (29)  Wt'\ > Wi\ , a  co za  tym  idzie, na  ogół (30)  P' g '>P' d '. Omawiana  metoda  obliczeniowa  poddan a  został a  czę ś ciowej  weryfikacji  doś wiadczal- nej.  Badaniom  poddan o  dwa  duże  dź wigary  stalowe,  wykonane  jako  modele  belek  p o d - 300 S.  JAKUBOWSKI suwnicowych.  Skala zmniejszenia  badanych dzwigarów  w stosunku do typowych  konstruk- cji  rzeczywistych  zawierał a  się   w  granicach  1,5  - f-  3. Badane  dź wigary  oraz  schemat  ich  obcią ż enia  pokazano  na  rys.  13. Przy  przedstawionym  sposobie  obcią ż enia  trzy  ś rodkowe  sektory  dź wigara  poddane był y  czystemu  zginaniu.  Badaniom  podlegał y  m.in.  ś redniki  sektora  centralnego. Miały • one wymiary  750x750  mm,  a  wię c  ich  współ czynnik  kształ tu  wynosił   X -   1. W  trakcie badań  dokonywano  pomiarów  ugię ć  (wybrzuszeń)  srodników  — za  pomocą   czujników zegarowych  oraz  naprę ż eń w wybranych  przekrojach  tychże srodników  za  pomocą  tenso- metrów  elektro o porowych.  N a  rys.  14  przedstawiono  wyznaczone  teoretycznie  oraz do- ś wiadczalnie  rozkł ady normalnych naprę ż eń bł onowych a xb ,  równoległ ych do osi  dź wigara, w  przekroju  A—A  (rys.  13) —  poł oż onym  w  bezpoś rednim  są siedztwie  przepony. - 2250- przepona 024. rifr A"  \   pole pomiarowe  | y ^ 5 9x750= 6750— 2.8, (_._  .  750 m ateriał : blacha St3 Rys.  13 Jak  wynika  z  rysunku,  w  rozważ anym  przekroju  uzyskano  dobrą   zgodność  wyników doś wiadczenia  z  rezultatami  otrzymanymi  przy  zastosowaniu  przedstawionej  wcześ niej przybliż onej  metody  obliczeniowej.  Wyniki  badań wykazał y  także  zgodny  z  przewidywa- niami  teoretycznymi  udział   poszczególnych  elementów  dź wigara  (pasów  i  srodników) w  przenoszeniu momentu gną cego.  Jednocześ nie okazał o się , że pominię cie ugię cia  wstę p- nego  oraz  warunków  współ pracy  ś cianek  i  przepon  dź wigara  powoduje  pewne  róż nice mię dzy  wyznaczonymi  teoretycznie  i  doś wiadczalnie  wartoś ciami  ugię ć  oraz  skł adowych zgię ciowego  stanu  naprę ż enia  w  badanych  ś rodnikach. Zakres  przeprowadzonych  w  tej dziedzinie  badań jest jednak  zbyt  skromny  dla wycią gnię cia  peł nych i ostatecznych wnios- ków. 0.2 0.4 0,6 0,8 1,0 - 100- 60- 60- 40- 20  0  20  40  60  80  100 Srodnik Przekrój A-A Obcią ż enie Q=98.1kN J  1   1   i  i y/ b Rys.  14 AN ALIZ A  STANU   ZAKRYTYCZN EG O  301 Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  S.  TIMOSHENKO,  J.  M .  G ERE,  T eoria statecznoś ci  sprę ż ystej  Arkady,  W- wa  1963. 2.  WŁ . WALCZAK, Analiza stanu naprę ż enia tarczy prostoką tnej  po  utracie statecznoś ci  wywoł anej zginaniem w pł aszczyź nie tarczy.  Arch.  Budowy  Maszyn,  1965, N r  1,  s.  3 -  30. 3.  J.  D JU BEK,  R.  KOD N AR ,  Riesenie nielinearnych  uloh teorie stihlych  stien  variacnymi metodami,  Vydava- telstvo Slovenskiej Akademie Vied, Bratislava 1965. 4.  A.  S.  WOLM IR,  Gibkije  plastinki  i  obł oczki,  G osudartwiennoje  izdatielstwo techniko- teoreticzeskoj literatury,  Moskwa  1956. 5.  W.  WALCZAK,  S,  JAKU BOWSKI,  T he stability  and post- buckling  state  of  a  rectangular  disk  under  unidi- rectional bending and simultaneous shear, Rozprawy  Inż ynierskie, 1979,  27  nr 4,  s.  633 -  649. 6.  S.  JAKU BOWSKI,  Analiza  stanu  zakrytycznego  tarczy  prostoką tnej  poddanej  dział aniu  mimoś rodowego ś ciskania.  Praca  doktorska wykonana w Instytucie  M echaniki  Stosowanej Politechniki  Łódzkiej,  1981 r, 7.  T . R.  G RAVES  SM ITH ,  T he local  buckling  of  box  girdes  under bending  stresses. I n t . J .  M ech.  Sci, 1969, Vol.  11, s.  603- 612. 8.  W.  PROTTE, Zur Beulung versteifter  Kastentrager mit symmetrischem  T rapez- Querschnitt unter Biegemom- enten—,  N ormalkraft — und  Querkraftbeanspruchung.  Techn.  M itt.  K rupp.  F orsch.  Ber.  1976,  Band 34,  Heft 2, s.  57 -  79. 9.  T.R. G RAVES  SM ITH ,  T he  post- buckled behaviour of  a  thin  walled box  beam in pure  bending, I n t .  J. M ech Sci, 1972, Vol  14, s.  711- 722. P  e 3  K>  M e AH AJIH 3  n O C JI E K P H T H ^E C K O K  C TAflH H   n P ^M O VTO JI BH Oft  IIJT.ACTH H KH H ATPyaCEH H Ofl  SKC U E H TP P M E C KOft OKH M AI OI I I EJi CH JIOft  H   ETO  I I P H M E H E H H E B  IIPH EJIH D KEH H OH   M E TOflE  BLF ł H C JI E H I iH   T O H K O C T E H H O 0  BAH KH B  p a So ie  npefloraSjieH   aH ajira  nocjieKpH nraecKOH   craflH H   n pH M oyron tH oii  nJiacTH H KH ,  C BOSOAH O onepToił   n o Kpaniw.  ILiiacTnH Ka  H arpyxceH na  oKH M aiomeii  CH JIOK  H  H 3rH 6aiomnM   MOMCHTOM.  fleficTByio- LIJHMH   B  ee  H H OCKOCTH . B  eraTbe  npH BefleH bi  3aBHCHMocTH   M e*Ay  nporH 6aM H ,  H 3rn6aiomH M H   H  MeMSpaHHtiMH   H a n p a - >KeHHHMH   H  nepeMemeHHHMH   H  H arpy>KenneM   nnacTH H KH .  IIpH BefleH   TaK>Ke  npH 6jiH H