Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z3_4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA 1  STOSOWANA 3/4, 20 (1982) O JEDNOWYMIAROWYM ZAGADNIENIU IDENTYFIKACJI STRUMIENIA  CIEPŁA NA BRZEGU WARSTWY  PŁASKIEJ KRZYSZTOF   G  R Y S A, ZBIGNIEW  K O Z Ł O W S K I Politechnika  Poznań ska Wstę p Identyfikacja  obcią ż eń  termicznych  na powierzchniach warstwy  pł askiej  n a podstawie pewnych  danych termicznych lub mechanicznych pochodzą cych z punktów  wewnę trznych warstwy,  przy — jednocześ nie — znanych  warunkach  mechanicznych  n a  obu  powierz- chniach warstwy i warunkach począ tkowych jest problemem, zaliczanym do tzw. zagadnień odwrotnych  pól temperatur,  [1]. Podobne  problemy  był y  rozważ ane  n a gruncie  teorii wymiany  ciepł a,  [2, 3, 4 i in.], a także na gruncie  teorii  naprę ż eń cieplnych,  [5,  6]. W  ni- niejszej  pracy  problem  identyfikacji  strumienia ciepł a i temperatury  otoczenia  rozważ any jest na gruncie termosprę ż ystoś ci,  przy  zał oż eniu, iż w równaniach ruchu pomijalnie  mał y jest  czł on  inercyjny. Poszczególne  prace, traktują ce  o zagadnieniach  odwrotnych pól  temperatur róż nią  się , czę sto  dość znacznie, tak- w  podejś ciach  do problemu, jak i w rozumieniu samego  poję cia „zagadnienie odwrotne". Szersze  uwagi dotyczą ce tego tematu moż na znaleźć w pracy [1]. Metoda badawcza,  oparta na zagadnieniach odwrotnych, która ł ą czy ze sobą   pomiary, aparat matematyczny oraz  inż ynierskie  wyczucie, jest  czę sto jedyną , umoż liwiają cą   okreś- lenie obcią ż eń termicznych  brzegu  ciał a, na którym  to brzegu  umieszczenie czujników  jest niemoż liwe bą dź niewskazane  (np. ś ciana komory spalania silnika spalinowego,  wewnę trzne ś ciany  silnika  odrzutowego,  powierzchnie  ł opatek  turbin,  wewnę trzna  ś ciana  lufy  itp.). Identyfikacja  strumienia ciepł a na powierzchni  odgrywa  istotną   rolę  tam , gdzie  należy okreś lić ilość ciepł a pochł anianego czy odprowadzanego z oś rodka, a wię c n p. w procesach stygnię cia  odlewu, czy  też równomiernego  nagrzewania  lub chł odzenia.  Tam, gdzie  mogą wystę pować  duże  gradienty  temperatury,  oprócz  efektów  czysto  termicznych  pojawiają się  także efekty  termomechaniczne, których wielkość  może być nie do pominię cia podczas rozważ ań  dotyczą cych  takiego  wł aś nie  procesu  termosprę ż ystego.  Ponieważ  okreś lone obcią ż enia  termiczne brzegów  wywołują   w ciele  termosprę ż ystym  okreś lone  reakcje  typu termicznego i mechanicznego,  wię c moż na pokusić się  o rozważ enie zagadnienia, w którym dane są  przebiegi pewnych wielkoś ci  termicznych lub mechanicznych w punktach wewnę trz- nych  ciał a  (tzw. wewnę trzne  odpowiedzi, w  skrócie  WO), a  wielkoś ciami  identyfikowa- nymi  są   przyczyny  n p. typu  termicznego,  które  je  wywoł ał y,  czyli  termiczne  warunki brzegowe.  Przy  tak  postawionym  zagadnieniu  trzeba  wszakże  wiedzieć,  jakiego  typu warunki termiczne należy  przyją ć  na brzegach, na których  się  je identyfikuje.  W  niniejszej 304  K.  G RYSA,  Z.  KOZŁOWSKI pracy  przyjm uje  się , że n a jed n ym  brzegu  panują   warun ki  term iczne I I rodzaju,  zaś  na brze- gu  przeciwn ym  rozważ an ej  warstwy  —  warun ki  I I I  rodzaju. 1.  P ostawienie  zagadnienia Wiele  elem en t ó w  kon strukcyjn ych  m oż na  w  pierwszym  przybliż eniu  uważ ać  za«ciala o  n ieskom plikowan ej  geom etrii.  R o zważ ana  warstwa  pł aska  m oże  być  takim  wł aś nie pierwszym  przybliż en iem  wielu  kon strukcji  bą dź  czę ś ci  kon strukcji. R o zważ amy  warstwę  pł aską   o gruboś ci  h.  N iech  d o ln a powierzchn ia tej warstwy  bę dzie pł aszczyzn ą   Oyz  p ro st o ką t n ego  u kł ad u  współ rzę dn ych  o  osi  Ox  skierowanej  do  góry. W  rozważ an ej  warstwie  m a  miejsce  quasi- statyczny  proces  term osprę ż ysty.  W  procesie tym  wielkoś ciami  n iezn an ym i,  podlegają cymi  wyznaczeniu,  bę dą   n iektóre  warun ki  brze- gowe. A.by  m ó c  w  sposób  peł n y  okreś lić  problem  postawion y  w  tytule  pracy  trzeba  najpierw wypisać  u kł a d  ró wn ań  i  warun ków,  opisują cych  tzw.  zagadn ien ie  proste  (brzegowo- począ tkowe).  N a  ró wn an ia  t e,  w  p rzyp ad ku  zagadn ien ia  jedn owym iarowego  i  ciał a  izo- t ro po wego ,  przy  pom in ię ciu  ź ró d eł   ciepł a  i  sił   masowych,  skł adają   się   [7]: —  ró wn an ie  przewodn ictwa  ciepln ego —  przem ieszczen iowe  ró wn an ie  ru ch u  z  pom in ię tym  czł onem  inercyjnym (1.2) ~d^U(x' t)~kWT(x>   °  =   °' —  warunki  począ tkowe (1.3)  T(x, 0)  =   0,  U(x,0)  = 0, —  warunki  brzegowe (1.4) (1.5) ,t)= ug(t), -   - a[T d (t)- T (O,  i)],  0 XX (O, ł )  .  N d (t) X= O gdzie  T (x,  t)  —  t em p erat u ra  wzglę dna,  m ierzon a  wzglę dem  tem peratury  odniesienia  T o , U(x,  t)  —  przem ieszczen ie  w  kierun ku  osi  Ox,  t —  czas,  H —  dyfuzyjność  temperaturowa, r\  =   a, T 0 EJ  [1(1 — 2v)] —  współ czyn n ik sprzę ż en ia term om ech an iczn ego, E —  m oduł  Youn- ga,  a t   —  współ czyn n ik  rozszerzaln oś ci  cieplnej,  v —  liczba  P oisson a,  X —  współ czynnik przewodn ictwa  ciepln ego, k  =   «,(1 +v)/ (l  —v), Q(t)  —  strum ień ciepł a,  U g (t)  —  przemiesz- czen ie  p u n kt ó w  gó rn ego  brzegu  warstwy,  a —  współ czynnik  wn ikan ia,  T d (t)  — tempera- t u r a  otoczen ia  doln ego  brzegu  warstwy,  a xx (x,  t)  —  współ rzę dna  ten sora  naprę ż enia, N d(t)  —  obcią ż en ie  doln ego  brzegu  warstwy. W  pracy  ro zpat ru je  się   jedn owym iarowy  jedn oosiowy  stan  odkształ cen ia,  w  którym n aprę ż en ie  a xx   je st  powią zane  z  przem ieszczeniem  U  zwią zkiem  kon stytutywn ym O  JEDNOWYMIAROWYM   ZAG AD N IEN IU  ID EN TYF IKACJI 305 Rozwią zanie  zagadnienia  prostego  polega—jak  wiadomo — n a  wyznaczeniu  funkcji T (x,  t) i  U(x, t)  dla x  e  (0, /?)  oraz t  >  0. N atomiast rozważ ając  zagadnienie  identyfikacji warunków  brzegowych  zakł ada się, że znane są  W O'VJ  pewnych  punktach wewnę trznych warstwy, zaś  wielkoś ciami  poszukiwanymi  są  prawe  strony zwią zków  (1.4)  i  (1.5). Z  for- malnego punktu widzenia  moż liwe jest  odtworzenie wszystkich  czterech funkcji,  charakte- ryzują cych  obcią ż enie  brzegu,  tzn.  Q(t),  U g (t),  T d (t).  oraz N d (t).  Wówczas  jednakże po- trzebne są cztery  W O; przypadek taki prowadzi do skomplikowanych,  a jednocześ nie  po- zbawionych  wię kszego  znaczenia  technicznego, obliczeń. D latego  też w  pracy  ograniczy- my  się  do  wyznaczenia  dwóch  spoś ród  tych  funkcji,  przyjmują c,  że  dwie  pozostał e są dane. Takie postawienie sprawy  prowadzi do wielu moż liwych  do rozwią zania  zadań.  N ie- które  spoś ród nich  przedstawiono  w tabeli  1, gdzie  e xx   oznacza  współ rzę dną  tensora  od- kształ cenia. Tabela  1 Warianty  warunków brzegowych N r I II I I I I V V VI D ane N i N a N a U„ u« ,  T a ,Q ,Q >  T d są znane, —  w  sposób  formalny  zostaną  okreś lone  transformaty  funkcji  ą i  0 d , —  ustalone  zostaną  warunki,  decydują ce  o  tym, jakie  funkcje  mogą  opisywać  W O,  0, \ E 2 , —  odwrócone  zostaną  transformaty  Laplace'a  i  wyznaczone  zostanie  przybliż one  i ś cisłe rozwią zanie  zagadnienia  identyfikacji —  otrzymane wyniki zostaną  zweryfikowane  numerycznie. 2.  Formalna  konstrukcja  transformat  Laplace'a  rozwią zań  zagadnienia identyfikacji Stosując  przekształ cenie  Laplace'a  do  równań  (1.8)  przy  zał oż eniu,  że  funkcje  q(r) i  6  ( r )  są  transformowalne,  ł atwo  otrzymuje  się  zwią zki  okreś lają ce  transformaty  bez- wymiarowych  przemieszczeń  i  temperatury: &(£,$) =   ~ — 8 ys  M(s) (2.1)  F ^ (2.2) +  - ^fs (^-  W 's  sinh(y9||/ s)  +  Bicosh(# y7) ~M(s)\ , gdzie (2- 3)  M(s)  m / 5]/ s  sinh(j9|/ s]+ Bicosli(/ 3j/ 7), P 2 =l+ab—  \ .+Ht]k;  nadkreś leniami  oznaczono  transformaty  Laplace'a  poszczegól- nych  funkcji,  zaś  s jest  parametrem  transformacji. O  JEDNOWYMIAROWYM   ZAG AD N IEN IU   ID EN TYFIKACJI  3 0 7 D o  wykorzystania  zwią zków  (1.9) i wyznaczenia  na ich  podstawie  transformat  q i 6>d brakuje  jeszcze  wyraż enia  na transformatę  odkształ cenia, \ x . Korzystając  ze  znanego wzoru,  definiują cego  s xx   w teorii  mał ych  odkształ ceń,  oraz  ze wzoru  (2.2),  znajdujemy py  s M (s) (2.4) Transformując  nastę pnie  zwią zki  (1.9)  oraz  wykorzystując  (2.1) i  (2.4)  moż na  w  sposób zupeł nie formalny  wyznaczyć  transformaty  cf(s) i  O d (s): smh (2.5) / s)  + Bisinh(^ 1 ]/ 's'} (2.6) - 6>1( s) - Warunek  brzegowy  na przemieszczenia  nie wchodzi  d o  tych  równań, więc  W„(T) może być  dowolną  funkcją  dopuszczalną  przez fizykę  zagadntenia  (niekoniecznie  równą  zero). Zauważ my,  że  wobec  warunku,  narzuconego  na naprę ż enia  a xx ,  z  którego  — po przyję ciu  N d   =  0 —wynika  ostatni zwią zek  spoś ród  równań  (1.8), punkty  St i £2 nie mogą się  pokrywać.  Stąd  ograniczenie  na dobór  tych  pun któw: (2.7)  h?>h,  fi.fce(0,l). 3.  Warunki  ograniczają ce  dla  wewnę trznych  odpowiedzi 1 Jak już  wspomniano  w pierwszej  czę ś ci  pracy,  nie każ da  funkcja  może  opisywać  W O. Funkcje  te  muszą   speł niać  nastę pują ce  warunki, [5]: 1°  Muszą   mieć skoń czone wartoś ci  dla r - > 0+  oraz dla  T - >•   co 2°  Muszą   być  ograniczone  dla  r e (0,- «o) 3°  Transformaty  q~(s) i © d (ś ) muszą   być  odwracalne. Przyjmują c  dodatkowo, iż transformaty  bę dą   odwracane  metodą   residuów  otrzymuje się  nastę pują ce  ograniczenia  na transformaty  q i <900 308  K.  G RYSA,  Z.  KOZŁ OWSKI Warunek  2°  prowadzi  do  wniosku,  że  wykł adnik  wzrastania  (odcię ta  zbież noś ci) funkcji  g(r)  i 0 d ( r ) jest równy  zero, [8, s. 78]. Konsekwencją  tego  faktu  jest  analityczność transformat  Laplace'a  tych  funkcji  dla  Res  >  0. W  celu  wyznaczenia  warunków  ograniczają cych  dla  W O wykorzystamy  w  pierwszym rzę dzie  nierówność  (3.1).  D la  transformat  &i(s)  i  E 2 (s)  wynikają  stą d,  dla  duż ych  |j|, nastę pują ce  nierównoś ci: |© j(a)| \ E 2 (Ś )\ gdzie  - D e   =  m a x ( 2 | 2 - f1 )  I - l i ),  DE  =  max(l +C2- 2C1,  # 2) ,  zaś  KQ,  KE  i  y~  stale dodatnie. P odobnie jak  w pracy  [5], moż na ł atwo wykazać, że nierównoś ci  (3.2) są  wystarczają ce także  dla  speł niania warunku  1°. 4.  Wyznaczenie  funkcji  g(r)  i & d {T ) Samo  okreś lenie  nierównoś ci  (3.2) jeszcze  nie wystarczy  dla  odwrócenia  transformat (2.5) i  (2.6). Wynika  to stą d, że transformaty  W O,  & t   i E 2 ,  są  przemnoż one przez  funkcje, których  nie  da  się  odwrócić  bezpoś rednio  metodą  residuów  z  uwagi  na  to,  iż  n a  ogół nie  są  to  transformaty  dystrybucji  wykł adniczych.  Funkcje  te  dają  się  bez  trudnoś ci od- wrócić  tylko  wtedy,  gdy  £ 2  — £i  >  1 - -  £2  1U D  gdy  £ 2 — S t  >  ix  — tym  niemniej  nawet w tym przypadku tylko niektóre spoś ród skł adników definiują cych  prawe strony  zwią zków (2.5) i  (2.6) dają  się  odwrócić. W zwią zku  z tym zastosujemy  tu  procedurę przybliż onego odwracania  transformat,  dzię ki  której  „ kł opotliwe" funkcje  zostaną  przemnoż one przez czynniki,  dają ce  w  wyniku  tego  przemnoż enia funkcje  odwracalne  metodą  residuów. Jak wykazano w pracy  [5], przybliż enie  W O przez funkcje  schodkowe jest dopuszczalne w  sensie  warunków  (3.2). Jest  to procedura uzasadniona także wówczas,  jeś li  wziąć  pod uwagę  ewentualne  zastosowanie  otrzymanych  w  pracy  wyników.  Zwykle  bowiem  WO dane  są  w  postaci  zbiorów  danych  dyskretnych,  z  pomiarów — a  na  podstawie  takiego zbioru  danych najł atwiej  buduje  się wł aś nie funkcje  schodkowe. Przyjmijmy  zatem, że  W O, & 1 (r)  i E 2 ( T )>  dane są  w postaci  zbiorów  danych  dyskret- nych,  {ć V}fc=  !,...,„   i  {£ ,},= !, 2  „,,  gdzie  ©k  =* &i(kA1)>  £ , =   EiQn^   Ax,  A2  —kro- ki  czasowe  przy  próbkowaniu funkcji  & t   i E 2 ;  zakł adamy,  że  nA x   —  mA 2 .  Oznaczając funkcje  schodkowe, zbudowane na podstawie tych zbiorów  danych, jako  5Ć >1(T) i  SE2(z), mamy (4.1) SE 2 (r)  = fc=O gdzie  t](x) —fun kcja  H eaviside'a.  Funkcje te  są  dopuszczalne  w  sensie  warunków  (3.2). Transformaty  Laplace'a tych funkcji  mają  postać O  JEDNOWYMIAROWYM   ZAG AD N IEN IU  ID EN TYF IKACJI 309 (4. 2) 6>0  1  Y 1 a a S  S  JZ—1 Hl +  l —  E a   I  ST \ i,(s)  =   >  (E k   —  h k ^ \ )2 W  s  s  ^ J ',  gd zie  < 9„ + 1 .  < 9B ! ,  gdzie  Ą + 1  =  Ą . Wobec  warunków  począ tkowych  znajdujemy,  iż 6>0  =  0; również  o odkształ ceniu zakł a- damy, że w chwili  począ tkowej  był o rówae  zero,  ską d  mamy E o  = 0.  Warunki  na  E„ +1 i  0„+i zwią zane  są  z brakiem  informacji  o funkcjach  0 1   i E 2  dla T > nA t   —t a k  wię c S0 1 (T )  i  SE 2 (T )  są   okreś lone  tylko  dla  T e (0,  nń j),  a poza tym przedział em równe  swoim wartoś ciom  w chwili  nA x . Wstawiają c  transformaty  S0 L  i SE 2  do wzorów  (2.5) i  (2.6) w miejsce  @ x   i E 2  otrzy- mujemy  transformaty,  okreś lają ce  w przybliż eniu  q i  0 d .  Oznaczymy  te  transformaty Ag(s) i A0 a (s).  Tak  wię c mamy ) l ] n+\ m + l (4 . 4 ) / = i Odwracają c  transformaty  (4.3) i (4.4) metodą   residuów  otrzymujemy n + l (4.5)  A&lr)  = ^  i  COS- T—= f-   sin- S2- ffii.  + m + l _l y - 4-9 2 C O S- sm 310  K--   G RYSA,  Z . KOZLOWSKI (4.6)  Aq(r) =   -   - z- ~ - -  I  y\ (@i- 0i- 1 )\   1  + [cd.]  S 2 ~^ \ ^ [  L m + 1 +2 P owyż sze  wzory  są   sł uszne  nie tylko  dla odwrotn ych  zagadn ień  term osprę ż ystoś ci. M o ż na je  stosować  także w teorii n aprę ż eń cieplnych  przyjmują c  /3 =  1. Wzór  (4.5) m oż na wykorzystać  p o n a d t o  do  wyzn aczan ia  liczby  Biota,  Bi,  o ile  zn an a jest  t em perat u ra oto- czen ia,  & A ,  a wię c  równ ież i A© a .  P o  przekształ ceniach otrzym ujem y  zwią zek  nastę pują cy: S, J f  2 , r)' gdzie (4.8)  AL (i { J 2 ,  r)  = - j^ - j- l  y\ (& l - 0,- Ą l+2  y^ (- lfx oo m + l - 'iii (4.9)  2 xsm f,- ł, N a  podst awie  zwią zków  (4.5) i  (4.6)  m o ż na  także  otrzym ać  ś cisłe  rozwią zan ia &a(v) ? ( T ) .  Z wię kszając  m ianowicie  m i « oraz zmniejszają c  jedn ocześ n ie zlx  i ń2  w ten sposób, aby  / M ^12  =  «zl :  =  const,  otrzymujemy  w  granicy  dla  m,  n - >•   co \  At,  A2  ^ > ®  nastę pu- jją ce  wzo ry: O  JEDNOWYMIAROWYM   ZAG AD N IEN IU   IDEN TYFIKACJI 311 (4.10) 1 +  Bifa sin - +  2 k CO +  ?  > 7i k CO I ) " —  \ )L co s^ \   B i ( | di |  + X- sin - i jr/ cf,  \ (4.11) 1+2 d r 1+ 2 gdzie  - X-  oznacza splot,  [8]. N a  zakoń czen ie  tej  czę ś ci  pracy  zauważ m y,  że  zn ajom ość  funkcji  &J(T ) i  q(t)  (ew. A0 d (x)  i J4<7(T)) pozwala wyznaczyć  rozwią zan ia zagadn ien ia brzegowo- począ tkowego  (1.8). Tym  samym  staje  się  m oż liwe  okreś len ie  poch odn ej  80/ d£  na  brzegu  f  =   0,  ja k  równ ież okreś lenie —  n a  podstawie  prawa  F o u riera —  strum ien ia  ciepł a  n a  t ym  brzegu.  T a k  więc znajomość  funkcji  q(r)  i  @^(T)  wystarcza  dla  identyfikacji  strum ien ia  ciepł a  t akże  n a  tym brzegu  warstwy,  n a  którym  panują  warun ki  brzegowe  I I I  rodzaju  d la  t em p erat u ry. 5.  Analiza  otrzymanych  wyników Wzory  (4.5) i (4.6) zawierają  szeregi  n ieskoń czon e. M o że się zdarzyć, że przy  odpowied- nim  doborze  param etrów  sum y  tych  szeregów  bę dą  wn osił y  pom ijaln ie  m ał e  p o p rawki  d o wyników  obliczeń  prawych  stron .  Przyjmijmy,  że  sum ę  szeregu  m o ż na  p o m in ą ć,  jeś li wartość jej  pierwszego  wyrazu  wynosi  I / 200  wartoś ci  skł adn ika, stan owią cego  wraz  z  sze- regiem  zawartość  odpowiedn iego  nawiasu  kwadratowego.  W  przypadku  wzo ru  (4.6) prowadzi  to  —  przy  zał oż en iu,  że wartoś ci  Aq(r)  wylicza  się  tylko  d la  chwil  r t   =   IA +  ~, I  =   0,  1,  ... —  do  n astę pują cego  ogran iczen ia  n a  kroki  czasowe  A  : (5.1) exp \ - s k   - ~  «S 0. 005,  i  =   1, 2. Stąd  w  przybliż eniu  wyn ika  n astę pują cy  warun ek  n a  A t : (5.2) i  =   1, 2. 312  K.  G RYSA,  Z.  KOZŁ OWSKI P on ieważ  w  zagadn ien iach  term osprę ż ystoś ci  dotyczą cych  m etali  zwykle  fi  bardzo  nie- wiele róż ni się  od jedn o ś ci,  więc prawa  st ro n a n ierówn oś ci (5.2) jest wówczas  w  przybliż eniu r ó wn a  1,2-   {£ 2 - £i) 2 - G d y  waru n ek  (5.2)  jest  speł n ion y,  wówczas  przybliż oną  wartość  strum ien ia  ciepł a Aq{x)  m o ż na  wyzn aczyć  z  uproszczon ego  wzoru (5.3)  Aq{r k ) -   -   k   - '  A  V  (0, - ® , - , )ł 7(TŁ - Ld, )- m+\ gdzie  r k   =  kA+A/ 2,  A  =   —  (A 1 +A 2 ). W  p rzyp ad ku ,  gdy  A s   =   A 2 ,  wzór  (5.3) przyjmuje  szczególnie  prostą  postać, a  mianowicie 1  /   E k (5.4)  Aq{r k )  —  — r  T J - I ® * —j r Wykon ując  an alogiczn e  szacowan ie  dla  bezwymiarowych  kroków  czasowych  A x   i  A 2 we  wzorze  (4.5), otrzym ujem y  uproszczon y  wzór  n a  przybliż one  wartoś ci  funkcji 1+1 (5.5)  A© d (T k )  =  - jp- {( 1 + B i f 2 )  /   (© ;— &i- i)v( T k  — lAi)  — m + l I+ Bif, b kt ó ry  d o br ze  tę funkcję  opisuje, jeś li  zachodzi n ierówn ość (5.6)  A t   ^  C ( f, ,  i 2 »B i ) ( f2  - it) 2 ,  / = 1 , 2 , gdzie cos  -   —j-   sin  - j - —j- - 1 ^  (- 1,2 W  p rzyp ad ku ,  gd y  zł ,  =   A'I2»  wzór  (5.5)  przyjmuje  szczególnie  prostą  postać,  a  miano- wicie (5.7)  A0 d (r k )  - Wzory  (5.4)  i  (5.7)  mają  jed n ą  istotn ą  cechę, róż nią cą  je  od  wyraż eń  (4.5)  i  (4.6) czy (5.3) i  (5.5). Jest  nią fakt,  że wystę pują  w  n ich tylko  wielkoś ci  m ierzon e w tej  chwili, w któ- rej  o d t wa r za m y  funkcje  q  i  © a .  W  przypadku,  gdyby  chodził o o  identyfikację  strum ienia ciepł a  i  t em p er a t u r y  ot oczen ia n a  podstawie  pom iarów,  t o  wyż szość  wzorów  (5.4)  i  (5.7) n ad  dokł adn iejszymi o d  nich wzoram i  (4.5), (4.6), (5.3) i  (5.5) polega n a tym , że w  zasadzie n ie  t rzeba  zn ać  chwili,  w  której  proces  term osprę ż ysty  się  rozpoczą ł. W  takim  uję ciu  wa- O  JEDNOWYMIAROWYM  ZAG AD N IEN IU   ID EN TYFIKACJI  3 1 3 runki  (5.2) i  (5.6) stają   się  warunkami  ograniczają cymi  od  doł u chwilę   pierwszego  pom iaru w stosunku  do chwili  rozpoczę cia  się  procesu:  r  >  1.5A.  Zwróć my  uwagę ,  iż wzór  (4.10), czy  też  (4.5), pozwala  także  wyznaczyć  termiczne obcią ż enie  brzegu  warstwy  w  przypadku warunków  I  lub  I I  rodzaju.  Przechodzą c  bowiem  z  liczbą   Biota  Bi  do  nieskoń czonoś ci znajdujemy  wzór  n a  tem peraturę   brzegu  |  =   0  (warunek  brzegowy  I  rodzaju): r  m  k (5.8)  €>A(T) =  —1—^~\-z r - + 2 y ——;—sin.-- %-Q~ r r + 2 zaś  przechodząc  z  Bi  do  zera  i  jednocześ nie  oznaczając  q A {x)  — lim Bi6 d (r)  (warunek Bi- >0 brzegowy  I I rodzaju),  otrzym ujem y  •   . Widać, że wzory  (4.11) i  (5.9) mają  analogiczną  budowę. Z  analizy  wzoru  (4.10) lub  (4.5) wynika,  iż istnieją  pewne  punkty, fx  i  £2> dla  których wzór  ten nieco  się  upraszcza.  Z achodzi to mianowicie  dla  takich  pun któw  wewnę trznych, które  są  powią zane  zależ noś cią (5.10)  f a « J ł Z i f1 #   „ = l , 2 , . . . . Wówczas  s i n / ^ % -   =  O d ia /   = 1 , 2  c o s - ^ %-   =  ( - lf c ») o r a z  c o s - ^ %-   =   ( - l )Ł f n + l> , a  wzór  (4.10)  przyjmuje  postać 6.  Weryfikacja  numeryczna  otrzymanych  wyników W  celu zweryfikowania  otrzymanych wyników  pod ką tem  ich dokł adnoś ci  zastosujemy nastę pują cą  procedurę. Przyjmiemy  najpierw  pewne wartoś ci funkcji  q(x)  i 0 d (r)  jako  dan e i na ich  podstawie  obliczymy  wartoś ci  temperatury ć >(£>   T) i  odkształ ceń  e „ ( | ,  r)  w  pew- 314 K.  G RVSA,  Z.  KOZŁ OWSKI n yc h  p u n k t a c h  we wn ę t r z n ych  wa r st wy.  N a st ę p n ie  p r zyjm ie m y  o blic zo n e  wa r t o ś ci  j a k o W O  i  n a  ic h  p o d st a wi e  bę d zie my  o d t wa r z a li  fu n kcje  q(r)  i  0  ( T )  z go d n ie  z  p r o c e d u r ą p o d a n ą  wyż e j. p r z yjm u ją c,  że  Q  (z)  o r a z  q(r)  są  st a ł e,  t z n .  < 9d ( r)  =   ®d,  q(r)  =   q  d la  r  >  0,  o r a z o d wr a c a ją c  t r a n s fo r m a t y  d a n e  wz o r a m i  ( 2.1)  i  (2.4)  o t r z ym u je m y (6.1) (6.2) gdzie (6.3) lii ,  Bi)  =   - j5 Z3  ' co s ,  T ) , ) +  Bisin zaś  f r   są  kolejnymi  pierwiastkami  równania (6.4) Bi Obliczenia  numeryczne  wykonano  dla  nastę pują cych  danych  liczbowych:  Q(x)  =   100 W/ m 2,  r d( T )  =   1°,  A  -   0.01  m,  I  =  40  W/m  deg,  T o  -   1°,  rj =» 10~ 5  deg  s/ m2,  «  = =   lO "4  m 2/ s,  k  =   0.22286-   10~ 4  1/deg,  a  ponadto  dla  czterech  róż nych  liczb  Biota, Bi  =   0.1,  1.0,  10,  100,  dla  dwóch  róż nych  kroków  czasowych  At  = 0.01  i  1.0  s,  oraz dla róż nych  par  punktów  f1}  f2  e  (0, 1) i  dla  chwil  czasu  t e (0, 30). Przy  wykorzystywaniu wzorów  (4.5)  i  (4.6)  obliczano  wartość  funkcji  A6 d   i  Aq  w  chwilach  r k   =   kA + A/ 2. N ierównoś ci  (5.2) i  (5.6) przyjmują  w tym przypadku —  dla  Bi  =   1.0,  £ t  =   0.1  i f2  = =   0.9  —  nastę pują cą  postać  (prawe  strony zaokrą glano  do  góry): A  >  0.7  w  przypadku  Aq(i),  A  >  0.65  w  przypadku  AQ d {%). Celem  sprawdzenia  o  ile  bardziej  dokł adne są  wzory  (4.5) i  (4.6) od wzorów  (5.4) i £5.7) wykonano  obliczenia  dotyczą ce Aq  i AG^ , przy czym we wzorach  (4.5) i (4.6) przyję to  A  = =   0.01,  zaś  we  wzorach  (5.4)  i  (5.7)  A  =  1.  Wyniki  obliczeń,  dokonanych  dla  Bi = =   1,  i i  • =  0,1  i  | 2  =  0- 9  zestawiono  w tabeli 2. Tabela  2 czas s 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 A& wg  (4.5) 0.95847 0.98017 i  0.99053 0.99548 0.99784 0.99897 0.99951 0.99976 0.99989 *(T) wg  (5.7) 0.81736 0.91277 0.95832 0.98019 O.99057 0.99554 0.99782 0.99896 0.99951 Aq(r) wg  (4.6) - 112.59 - 152.50 51.514 76.846 88.941 94.716 97.479 98.793 99.424 wg  (5.4) - 685.66 - 272.81 - 78.030 14.985 59.404 80.615 90.741 95.587 97.893 O  JEDNOWYMIAROWYM   ZAG AD N IEN IU   ID EN TYFIKACJI 315 Przyjmują c,  że dokł adność odtwarzania termicznych obcią ż eń brzegu  powinna  wynosić conajmniej  95%,  to  wariant  „ dokł adny"  (wzory  (4.5)  i  (4.6))  daje  ten  wynik  ś rednio 0  2 s  szybciej,  niż wariant  „ uproszczony".  Trzeba jednak  zaznaczyć, że wariant  „ uprosz- czony"  moż na  był o  ł atwo  obliczyć  „ rę cznie",  podczas  gdy  wariant  „ dokł adn y"  zajął 30 min pracy  EMC. Przemawia  to zdecydowanie  na korzyść  wariantu „ uproszczonego" — dlatego  też  w  dalszych  obliczeniach  posł ugiwano  się  tylko  wzorami  (5.4)  i  (5.7). Kolejnym  etapem  analizy  numerycznej  był o  ustalenie,  jaki  wpł yw  na  dokł adność identyfikacji  obcią ż eń  termicznych  brzegu  ma  zmiana  odległ oś ci  mię dzy  punktami  £ t 1 £2. gdy  ich ś rodek  cię ż koś ci  pozostaje  w tym samym miejscu.  W  tabeli  3 zebrano  wyniki obliczeń  dla  trzech par  punktów  o  ś rodku  cię ż koś ci  równym  0.5  (liczba  Biota  Bi  =   0.1). Tabela  3 Czas 1.5 3.5 5.5 7.5 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 19.5 21.5 23.5 25.5 27.5 29.5 Si  =   0.45 l 2  =   0.55 0.43983 0.53850 0.61977 '  0.68674 0.74191 0.78735 0.82481 0.85565 0.88105 0.90200 0.91277 0.93348 0.94518 0.95484 0.96277 AG d {x) £t  =   0.30 Si  =   0.70 0.44158 0.54000 0.62098 0.68773 0.74273 0.79103 0.82537 0.85613 0.88146 0.90234 0.91306 0.93372. 0.94539 0.95500 0.96293 l i  =   0.10 Ja  =   0.90 0.38482 0.53629 0.62957 0.69084 0.74315 0.79299 0.82591 0.85709 0.88191 0.90271 0.91339 0.93498 0.94553 0.95520 0.96316 l i  =   0.45 fa  =   0.55 - 124.30 - 84.800 - 52.250 - 25.439 - 3.344 14.861 29.853 42.213 52.397 60.781 67.680 73.377 78.072 81.930 85.119 Aq{x) h  =  0.30 £ 2  =   0.70 - 124.17 - 84.698 - 52.167 - 25.367 - 3.286 14.905 29.893 42.241 52.417 60.797 67.701 73.389 78.078 81.940 85.120 ii  =  0.10 fc  =   0.90 - 123.74 - 84.341 - 51.874 - 25.127 - 3.200 14.941 29.932 42.356 52.447 60.807 67.813 73.391 78.086 81.951 85.122 Jak  widać  rozrzut  punktów  nie  ma  praktycznie  ż adnego  wpł ywu  na  dokł adność od- twarzania.  Moż na więc  osł abić warunki  (6.5) przez przyję cie  punktów f a  i  | 2  jak  najbliż ej siebie. N astę pnym  krokiem  analizy  numerycznej  był o  zbadanie,  czy  zmieniając  poł oż enie ś rodka  cię koś ci  punktów  i  ,  i  =  1,2,  moż na  w  krótszym  czasie  znaleźć  przebiegi  nie- znanych  warunków  brzegowych.  N a  rysunkach  1 i  2  przedstawiono  wykresy  obrazują ce funkcje  Aq(t)  i A©  (t)  dla czterech róż nych wartoś ci  liczby  Biota,  Bi  =  0.1, 1.0,  10 i  100. N a  osi  rzę dnych  zaznaczono  dokł adność identyfikacji  q  i  0 d   w  procentach.  Analizując te wykresy moż na dojść  do nastę pują cych  wniosków: 1°  wszystkie krzywe  mają  charakter krzywych  wykł adniczych 2°  temperatura 0 d   jest znacznie lepiej  odtwarzana  niż strumień ciepł a 3q  im wię ksza  jest liczba  Biota, tym krótszy  czas  potrzebny  jest  do  odtworzenia  z  daną dokł adnoś cią  nieznanych warunków  brzegowych 4°  im  ś rodek  cię ż koś ci  punktów  | t  i  f2  znajduje  się  bliż ej  któregoś  z brzegów  warstwy,. 316 K .  G R YS A,  Z .  K O Z Ł O WS KI er 100 90 80 70 6 0 - 3 0 - 20 10 A9(i- 1iAq-1 - krzywe dla  i , =0,10 42=0,2O A8d- 2i Aq- 2- kr2ywe  dla L =0,45 4=0,55 A9 d - 3i Aq -  3 - kr zywe dla  £, =0,80 ^ ° 9 9 1,5  3,5  5,5 7,5 9,5 11,5  13,5 15,5 17,5 19,5 21,5 23,5 25,5  27,5  29,5 t [ s ] R ys.  1 tym  lepiej  odtwarzane jest  obcią ż enie  termiczne tego  brzegu  i tym  gorzej  odtwarzane jest obcią ż enie  termiczne brzegu  przeciwnego. Spróbujmy  wyjaś nić,  skąd  się biorą  takie  cechy  omawianych  wykresów.  Wniosek  1° stanie  się  oczywisty,  gdy do wyraż eń  (5.4)  i  (5.7)  wstawić  prawe  strony  wzorów (6.1) i  (6.2), okreś lone  odpowiednio w punktach | x i | 2 , Otrzymamy  bowiem  zależ noś ci o  cha- rakterze wykł adniczym: (6.5) Aq(r)  =  ą +  - r - -̂ ,  Bi)]Je- "T, (6.6) Jeś li  ograniczymy  się tylko  do  pierwszego  wyrazu  szeregu  nieskoń czonego, to zależ noś ci te moż na zapisać  w postaci (6.7) 52  S l \ .iSi,  Bi)- ^(f2,Bi)]  , ) O  JEDNOWYMIAROWYM   ZAG AD N IEN IU  ID EN TYFIKACJI 317 Rys.  2 (6.7) [Cd.] A0d 0 , f,,  Bi)  ( - 1 „  Bi) ( J. , ( {1, Bi)  ( - i Przy ustalonych punktach £ x i ^ 2  oraz danej liczbie Biota, Bi, wartoś ci lewych  stron zwią z- ków  (6.7) zależ eć  bę dą  w  danej  chwili  czasu tylko  od ilorazu  ql© d .  Zbadajmy,  dla jakich wartoś ci  ilorazu  q/ 0 d   lepiej  jest  identyfikowany  strumień  ciepł a, Aq(r),  a  dla  jakich  — temperatura  A0,,(x), Wymaga  to rozwią zania nierównoś ci (6.8) 10  M ech .  Teoret.  i  Stos.  3—4/ 82 — i &„ - i 318  K.  G RYSA,  Z .  KOZŁ OWSKI Obliczenia,  przeprowadzon e  dla  | t  =   0.3, £ 2  =   0.7  i Bi  =   1.0  wskazują, że obszar,  w któ- rym  lepiej jest  odtwarzan a tem peratura 0 t   scharakteryzowany  jest nierównoś cią  — 1.337  < <  q[0 d   <  4.558,  albo —  wracając  do  zmiennych  wymiarowych  — (6.9)  - 5548  <  Q/ T d   <  18232. W  praktyce  zdecydowana  wię kszość  ilorazów  Q/ T d   zawiera  się  w  przedziale,  w  którym lepiej  jest  odtwarzan a  tem peratura  A0 a (r). Wniosek  3°  m oż na  ł atwo  wyjaś nić  w  oparciu  o  wartoś ci  pierwszych  pierwiastków równ an ia  (6.4)  dla  róż nych  liczb  Biota.  D la  Bi  =   0.1  mamy  r t  =   0.09675,  dla  Bi  =   1.0 r t   =  0.74012,  dla  Bi  =   10  i\   =   2.04175,  oraz  dla  Bi  =   100  r t   =   2.41884.  We  wzorach (6.7)  czł ony  wykł adnicze  tym  szybciej  wygaszają  wyraż enie  stoją ce  przy  nich, im  wartość pierwiastka  r i  jest  wię ksza.  D latego  dla  duż ych  liczb  Biota ju ż  po  kilku  sekundach  czł on ten  m a  wartość  pomijalnie  mał ą  i  dokł adność  odtwarzania  jest  niemal  stuprocentowa. Ostatni  wniosek  nie da  się tak ł atwo wyjaś nić  matematycznie jak  poprzednie. Jednakże jego  interpretacja  fizyczna  jest  prosta.  Wpł yw  obcią ż enia  termicznego  danego  brzegu warstwy  tym  silniej  uwidacznia  się  w  wartoś ciach  W O  im  bliż ej  tego  brzegu  leży  ś rodek cię ż koś ci  pun któw  £ i i £ 2   •   Stąd też ł atwiej jest odtworzyć  obcią ż enie termiczne tego wł aś nie brzegu. Uwagi  koń cowe P rzedstawiona w  pracy metoda identyfikacji  daje  się bezpoś rednio przenieść na przypad- ki  ciał  o innych kształ tach jak  i  na innego typu jednowymiarowe  zagadnienia  identyfikacji. Wykorzystane  w  pracy  dla  przedstawienia  funkcji  opisują cych  WO  funkcje  schodkowe n ie są jedyn ym  przedstawieniem  dopuszczalnym.  F unkcjami  dopuszczalnymi  są  n p.  splajny n- tego  rzę du  (funkcje,  których  n- te  pochodne  są  funkcjami  schodkowymi).  Jednakże zwię kszenie  dokł adnoś ci  opisu  WO  prowadzi  do  skomplikowania  wyników,  podczas  gdy wybór  funkcji  schodkowych  pozwolił   na  otrzymanie  bardzo  prostych  formuł   przybliż o- nych  (5.4)  i  (5.7). G ł ówną  zaletą  przedstawionej  metody  identyfikacji  wydaje  się  być  jej  stosunkowo duża dokł adn ość przy nieskomplikowanych  wzorach, opisują cych  wielkoś ci  identyfikowane. Z  uwagi  n a  t o  metoda  dobrze  nadaje  się  do weryfikacji  doś wiadczalnej. N a  odrę bną  uwagę  zasł uguje  fakt,  iż  niejako  przy  okazji  otrzymano  zwią zek  okreś la- ją cy  w  przybliż eniu  liczbę  Biota  (wzór  (4.7)). Wzór  ten także  moż na sprowadzić  do prost- szej  postaci, jeś li  speł nione są  ograniczenia  (5.2) i  (5.6); jeś li  pon adto ń x   =   A 2 ,  wówczas otrzymujemy  zwią zek Bi  ~  Or- Ą /h  | gdzie  r k   =  kA + —,  0 k   =  0 t (kA),  Ą  =   E 2 (kA). P rzedstawion a  w  pracy  technika  odwracania  transformat  Laplace'a  pozwala  ominąć te  trudn oś ci,  kt ó re  stał y  się  przyczyną  niepowodzeń  przy  wielu  innych,  wcześ niejszych próbach  rozwią zywania  zagadnień  odwrotnych  wymiany  ciepł a,  [1], Wydaje  się, że wyma- gają  dalszego  rozwoju  techniki obliczeniowe, zwią zane  z transformacją  Laplace'a jak  i z ra- O  JEDNOWYMIAROWYM   ZAG AD N IEN IU  ID EN TYFIKACJI  3 1 9 chunkiem  operatorów  Mikusiń skiego,  [9], gdyż  pojawiają ce  się  w  toku  obliczeń  dotyczą- cych  zagadnień  odwrotnych  funkcje  zmiennej  zespolonej  s  (parametru  transformacji) mają  charakter  operatorów  Mikusiń skiego,  czy  też  transformat  dystrybucji  typu  odmien- nego  niż  wykł adnicze. Analiza  numeryczna  potwierdził a  poprawność  otrzymanych  wyników,  jak  również pozwolił a  prześ ledzić  ich dokł adność i wraż liwość na dobór  punktów  f j  i  | 3 )  jak  również róż nych  liczb  Biota.  Szczególnego  podkreś lenia  wymaga  fakt,  iż  obliczenia  te  moż na  wy- konać nawet  posł ugując  się  prostym  kalkulatorem  czy suwakiem.  • Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  K.  G RYSA,  M. J.  CIAŁ KOWSKI, Zagadnienia odwrotne pól  temperatur — przeglą d literatury,  M ech. Teoret. Stos.,  18, 4,  535  -  554,  (1980). 2.  J.  V.  BECK, Surface  Heat  Flux Determination Using  an Integral Method, N uci.  Eng. D esign,  7,  170  - 178, (1968). 3.  C. J.  C H EN , D .  M.  TH OMSEN , On  T ransient  Cylindrical  Surface  Heat  Flux  Predicted from  Interior  T em- perature Response,  A1AA  Journal,  13,  697 -  699,  (1975). 4.  G .  STOLZ,  Jr.  N umerical  Solution to  an  Inverse Problem of  Heat  Conduction for  Simple  Shapes,  Tran s. ASME,  s.  C :  J.  H eat Transfer,  82, 20 -  26,  (1960). 5.  K.  G RYSA,  M. J.  CIAŁ KOWSKI,  H .  KAM IŃ SKI,  An  Inverse  T emperature Field Problem of  the  T heory  of T hermal Stresses, N ucl.  Eng.  D esign,  64,  169-   184,  (1981). 6.  M. J.  CIAŁ KOWSKI,  K.  G RYSA,  On  a  Certain  Inverse Problem  of  T emperature  and  T hermal  Stress Fields, Acta  Mechanica, 36,  169- 185,  (1980). 7.  W.  N OW'ACKI,  T eoria sprę ż ystoś ci,  PWN  Warszawa,  1970,  s.  673. 8.  J.  OSIOWSKI,  Zarys  rachunku operatorowego,  WN T  Warszawa,  1972. 9.  J.  MIKU SIŃ SKI, Rachunek operatorów,  PWN , Warszawa,  1957. P  e  3 io  M  e O  OflHOMEPHOfi  SAflA'qE  HflEHTHOHKAIU- IH   TEITJIOBOrO nOTOKA  HA nOBEPXH OCTH   IIJIACKOrO  CJTOfl B  pa5oTe  n peacraBjieH O  npn6JiHHKeHHofl  T eo p n n  TeruiOBBix  H an pjim en H ii.  ^ I T O G Ł I  o n p e - ;;ejiiiTB  TenjioBoił   D OTOK  Ha  OH H OH   n o aep xn o cT ii  CJIOH   H  Te.M neparypy  oKpy>Kaiomeji  c p e ^ b i  AJ H I  BT O P O H noBepxHOCTH,  H36paHO  TeM nepaTypy  I I # ecpopM ai# iio  KBK  Tai<  na3i>iBaeMbie  BiryTpeH H tre  OTBeTbi.  H y- aHajiH3  n jiJiiocrpn pyeT  TOMHOCTB  leopeTH ^iecKiix  pe3yjibTaT0B  H  BJlHHHHe Bu G o p a  BH yTpeH - H  $ 2   H  t«ICJia  BlIO  Ha  T S u m m a r y ON   AN   ON E- D IM EN SION AL H EAT  F LU X  I D E N TI F I C ATI ON   P ROBLEM   AT  A  S U R F AC E OF   A  PLAN E  SLAB In the paper an analytical  approximate  and exact solution of  an  heat flux  identification  problem  is  shown. The  problem  is  considered  on  the  ground  of  the  theory  of  thermoelasticity.  T o  determine  th e  heat  flux at  one  surface  of  the slab  and  a  surrounding  temperature  at  the  another  one  th e  tem perature  and  strain were  chosen  as  the socalled  internal  response. N umerical analysis  illustrates  the accuracy  of  t h e  theoretical results  as  well  as  an  influence  of  the choice  of  the interior  points,  £ j  and  £ 2 , and  the Biot  num ber  for  the accuracy  of  the  identification. to*