Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z3_4.pdf


M E C H   AN  I K A
TE OR E TYC Z N A
1  STOSOWAN A

3/ 4, 20  (1982)

WYKORZYSTANIE  METOD  ANALIZY  WRAŻ LIWOŚ CI  DO  BADANIA
UKŁADÓW  MECHANICZNYCH OPISYWANYCH  LINIOWYMI

I  NIELINIOWYMI  RÓWNANIAMI  MATHIEU

B O G U S Ł AW  S K I E R C Z Y Ń S KI

L ublin

We  wszystkich  naukach  przyrodniczych  i w  technice  waż na  jest  idea  modelowania.
Sformuł owanie  teorii  (proponowanej  koncepcji  badanego  zjawiska)  m oż na z  cał ą   sł usz-
noś cią  nazwać „ tworzeniem m odelu". Teoria wystę puje  tu jako werbalny  lub matematyczny
model  rzeczywistoś ci.  D la  naszych  celów  definiujemy  model jako  opis  zasadniczych  cech
istnieją cego  lub  projektowanego  ukł adu,  dostarczają cy  wiedzy  o nim w formie  uż ytecznej.

Podstawowym  wymaganiem  wzglę dem  modelu jest  t o bowiem,  by wiedza  o procesie
realizowanym  przez  niego  był a  przedstawiona  w  formie  uż ytecznej,  ponieważ  musi on
dostarczyć  wniosków  do  dalszej  analizy.  Jeż eli  model jest  zbyt  zł oż ony jego  uż yteczność
staje  się  wą tpliwa.  Pocią ga  to za sobą   konieczność  odpowiedzenia  n a szereg  trudn ych
pytań  takich jak  n p .:

—  Jak  ocenić jakość  modelu?
—  Jak  zawrzeć w nim  cał ą   najistotniejszą   wiedzę ?
—  Jak  potraktować  nieliniowoś ci?
—  Jak moż na rozważ any  ukł ad przedstawić w  sposób przybliż ony  za pom ocą  prostego

modelu?

—  Hp.
N a  niektóre z tych  pytań  metody  analizy  wraż liwoś ci  są  w stanie udzielić  odpowiedzi.
Literatura dotyczą ca metod analizy  wraż liwoś ci  nie podaje  konkretnych m etod  nadają -

cych  się  do  wykorzystania  w analizie  ukł adów  nieliniowych.  P odan e są   ogólne  definicje
wraż liwoś ci  oraz  ich  zastosowanie  do  ukł adów  liniowych.  Z astosowanie  tych  m etod do
ukł adów nieliniowych prowadzi do koniecznoś ci rozwią zywania  równ ań liniowych  o zmien-
nych  współ czynnikach, przy  zał oż enia, że  rozwią zanie  równania  róż niczkowego  nielinio-
wego jest znane.

'Istnieją   róż ne koncepcje i definicje  poję cia wraż liwoś ci  oraz jej  miary. Jedn ym z warian-
tów zagadnienia wraż liwoś ci  jest zagadnienie wraż liwoś ci  iloś ciowej  rozwią zania  n a zm iany
parametrów,  które  poglą dowo  m oż na  przedstawić  w nastę pują cy  sposób. [2]

N iech model pewnego zjawi ska fizycznego  bę dzie opisywany  równ an iem róż niczkowym
w ogólnym przypadku  nieliniowym.

(1)  $ =  x- f(t,x,x,p)=0,

x(t
0
)  -   Xo,x(J

o
)  =  v

0



322  B.  SKIERCZYŃ SKI

Rozwią zanie  równ an ia  (I ) uważ amy  za znane.  Zagadnienie  które  chcemy  zbadać to
zm ian a  wartoś ci  rozwią zania  równania  gdy parametr p zmieni  się o  Ap.

Jeż eli  zm ian a  param etru  nie zależy  od czasu  to funkcję  wraż liwoś ci  moż na  okreś lić
n astę pują co:

(2)  W ( *, p )  -   llm  5 C * L £ ± ^ Z 1
: C C * L £ )  .  *L .

4P - *0.  Ap  ć p

dla p  dostatecznie  mał ego zależ ność  (2)  moż na  przedstawić  w postaci:

(3)  x(t,p  + Ap)~x(t,p)  ^   w(t,p)- Ap.

J a k  widać  z przedstawionej  zależ noś ci  (3) jeż eli  wyznaczymy  lub oszacujemy  funkcję
wraż liwoś ci  w(t,p)  to moż emy  wyznaczyć  lub oszacować  zmianę  funkcji  x(t,p)  wynikł ą
ze  zmiany  param etru p, lub  jeż eli  mamy zmianę funkcji  x(t,p)  i wyznaczymy  lub  oszacu-
jemy  funkcję  wraż liwoś ci  to moż emy  wyznaczyć  zmianę  param etru p.

R ówn an ie  róż niczkowe  n a funkcje  wraż liwoś ci  w(t,p)  otrzymujemy  róż niczkując
równ an ie  (1) wzglę dem  param etru/ ?.

d([>  dcl>  d'x _  df  dx  df  dx  df  _
•   .  dp  dx  dp  dx  dp  dx  dp  dp

stąd  n a  podstawie  definicji  funkcji  wraż liwoś ci  (2)  otrzymujemy:

(5)  w+ a(t,  p)  w + P(t,p)w  =   y(t,p),

gdzie:  ,

(6)  (  «( ^) =  - fs  W . P ) = - - |,  yf'.p)- - |-
Jeż eli znamy rozwią zanie  równania (1) to znamy również współ czynniki oc, §, y, i  funkcja

wraż liwoś ci  jest  rozwią zaniem  równania  (5) róż niczkowego  o zmiennych  współ czynnikach.
F unkcje  wraż liwoś ci  wyż szych  rzę dów  moż na  otrzymać róż niczkując  równanie  (1) wzglę-
dem  p2,pz,  ...,p".

T ak  więc  widać  z  przedstawionego, schematu  czy też metody  otrzymywania  funkcji
wraż liwoś ci  dla równ ań  nieliniowych, że zachodzi  konieczność  rozwią zania  w pierwszym
rzę dzie  równ an ia  róż niczkowego  a  nastę pnie  równania  liniowego  o  zmiennych  współ -
czynnikach.

D rugim  warian tem  wraż liwoś ci  jest  tzw.  „X lub ̂ - wraż liwoś ć"  — wraż liwość  rozwią-
zan ia  na zmiany  struktury  równań  opisują cych  model.  D efinicja  t a jest  bardzo  ogólna
i  m oż na w niej  wyodrę bnić  cztery  gł ówne przypadki:

a.  wraż liwość  na zmiany  rzę du  modelu matematycznego,
b .  wraż liwość  na zm ianę iloś ci  stopni  swobody,
c.  wraż liwość  na zm ianę modelu cią gł ego  n a  dyskretny,
d.  an alizę  wpł ywu  wyrazów  funkcyjnych,  z których  zbudowany  jest  model matema-

tyczny.

Szczególnym  przypadkiem  wraż liwoś ci  strukturalnej  rozumianej jako  analizę  wpł ywu
wyrazów  funkcyjnych  jest  wraż liwość  n a zmianę  parametrów.

Weź my  pod uwagę  model  opisywany  ukł adem  równań  róż niczkowych  w  postaci:

(7)  x = Ax+ef(t,x,e),



WYKORZYSTAN IE  METOD   AN ALIZY  WRAŻ LIWOŚ CI  323

gdzie:

x  =  c o l f o ,  ...,x„],

A  =   [flw]  (i,j  =  1,  ...,ń )

e — mał y param etr
/ —  funkcja  nieliniowa

Równanie  róż niczkowe n a funkcje  wraż liwoś ć?  dla param etru jest  postaci:

(8)  w = Aw + e - a / ( t ^ > 8 ) -   +f(t, x, a),

gd z i e :

W   m, COltW  W ]  W   =  f

Przyjmijmy,  że param etr e =  0. Wtedy  równanie (8) przybiera postać:

(9)  iv = Aw+f(t,x,  s)

gdzie x jest rozwią zaniem równ an ia:

(10)  x =   Ax.

Wprowadzone  funkcje  w
t
(t, e =  0)(i  =  1, . . . , n ) są  to funkcje  wraż liwoś ci  okreś lają ce

zmianę   rozwią zania  równania  (10)  gdy w  równaniu  tym pojawią   się  funkcje  nieliniowe
fi{t,Xi,e).

Zgodnie z definicją   (3) moż na n apisać:

(11)  x- x  =  w(t,  s  =  0)-   e,

stą d  rozwią zanie równania róż niczkowego  nieliniowego jest postaci:

(12)  x =  x+w(t,  e =  0)-  B

Powyż ej  przedstawioną  m etodę  m oż na wykorzystać  do badan ia równań róż niczkowych
liniowych  o  zmiennych  współ czynnikach — do  wyznaczania  ich rozwią zań  i  obszarów
statecznoś ci.  W  ostatnim  czasie  krą g  zagadnień  których  rozwią zanie  sprowadza  się  d o
badania  równań róż niczkowych  o zmiennych współ czynnikach a w  szczególnoś ci  do  ba-
dania  równania  M athieu szybko  się  powię ksza.  Spotykamy  się  z n im  nie tylko  w  fizyce
i  technice lecz  także  w  biologii,  biofizyce,  medycynie itp.

W  zwią zku  z tym  zachodzi konieczność podania efektywnej  metody  rozwią zywania  rów-
n an ia  liniowego  i  nieliniowego  M athieu. Wydaje  się , że taką   metodą  jest  m etoda przed-
stawiona  powyż ej.

Jako  przykł ad  rozważ my  równanie  M athieu w postaci:

(13)  z +  ( a - 2gc o s2f)z  =  0.

W zależ noś ci od param etrów a i q rozwią zanie równania M ath ieu m oże być  okresowe lu b
nieokresowe, stateczne lub niestateczne.

Przyjmijmy,  że a jest  okreś lone zależ noś cią:

(14)  a =  a>2+a
1
q+a

2
q

2
+  ...  + .



324  B.  SKIERCZYŃ SKI

P odstawiają c  (14)  do  ró wn an ia  (13)  otrzym ujem y:

(15)  z + (co2 + a
3
q+a

2
q

2
  +  • • •  - 2qcos2t)z  =   0 .

R ó wn an ie  róż n iczkowe  n a funkcje  wraż liwoś ci  dla  p aram et ru  q jest  po st aci:

(16)  w + (a>2+a
1
q+a

2
q

2
  +  ...  ~- 2qcos2t)w  —  —a

i
z  — 2a

2
qz—  ...  +2zcos2t,

gd zie:  w  =  - z—
Bq

R ó wn a n ie  róż n iczkowe  n a  funkcje  wraż liwoś ci  drugiego  rzę du  dla  param et ru  q  przybiera

p o st a ć :

(17)  w
2
  + (u>

2
+a

1
q  + a

2
q

2
+  ...  — 2qcos2t)w

2
  =   —a

i
w  — 2qa

2
w—  ...  - a

1
w~2a

2
z-

- . ..  + 4 c o s2 ( wr

gdzie:  w
2
  =

vii

P rzyjm ujem y,  że  q  —  O  i  otrzym ujem y:

(18)  z o +  w
2z 0  =   0,

(19)  H'1 +  a)
2w1  =   —a1z0  +  2z0cos2t,

(20)  M'2o +  w
2 w2 0  =   2(- a1w1- a2z0  +  2w1cos2ł ).

R o zwią zan ie  ró wn an ia  (18) jest  p o st aci:

gd zie:
d ,  C 2  —  stał e  okreś lone  przez  waru n ki  począ tkowe.

P odstawiają c  (21)  do  (19)  otrzym ujem y:

(22)  i v j + c o 2 ^  =   — C
2
a

lc
coscoł   — C

1
a

ls
sinwt  + C

2
cos(m  —  2)t+C

2
cos(a>

Z  post aci  ró wn an ia  (22)  wynika,  że  wyrazy  sekularn e  pojawiają   się   w  rozwią zan iu  gdy
co =   0 , 1 , 2

P rzyjmijmy,  że  w  =  1.  Wtedy  ró wn an ie  (22)  przybiera  p o st a ć :

(23)  W i + W t  =   - C2 a l c c o s * - C1 a ] i . s i n /  +  C 2 c o sż + C2 c o s3 f+ C 1 si n 3 «+ C ' 1 si n *.

U suwają c  wyrazy  sekularn e  otrzym ujem y  dwa  n ietrywialn e  altern atywn e  waru n ki,

I.  a
lB
  m  1  i  d  =   0

(14)
K
  '  I I .  a

u
  =   ~  1  i  C

2
  =   0

gd zie:

a l s  —  o zn acza  stał ą   a1  przy  rozwią zan iu  w  postaci  funkcji  sin us.
a

lc
  —•   o zn acza  stał ą   a

t
  przy  rozwią zan iu  w  postaci funkcji  cosin us.

R o zwią zan ie  ró wn an ia  (23)  p o  usunię ciu  przybiera  p o st ać :

(25)  w x ( 0 =   - - T %



WYKORZYSTAN IE  METOD   ANALIZY  WRAŻ LIWOŚ CI  325

Podstawiają c  (25) i  (21) do równania (20) oraz usuwają c  wyrazy wiekowe  otrzymujemy
także dwa  warunki.  A  mianowicie:

(26)  .  I.  a
2c
=  - ±  i  C i - 0

(27)  n .  fl2,=   — [
  J  C 2  =   0

Rozwią zanie  równania  (20) jest postaci:

(28) CO Q3t+

Chcą c  znaleźć  dokł adniejsze  rozwią zanie  równania  (13)  oraz  dokł adniejsze  obszary
statecznoś ci  należy  wyznaczyć  funkcje  wraż liwoś ci  rzę du  trzeciego,  czwartego  itp., co  n ie
nastrę cza  duż ych  trudnoś ci  jak  widać  z  przedstawionego  schematu.

Rozwią zanie  równania  (13)  w  ogólnej  postaci  okreś lone  jest  zależ noś cią:

(29)  z ( 0  =   z o ( O + W i O , 0 *=  0)- q+jw20(t,q  =  0)- q
2
+  ...

Ograniczają c  się   do  funkcji  wraż liwoś ci  drugiego  rzę du  oraz  uwzglę dniając  wyznaczone
warunki  (24),  (26) i  (27)  otrzymujemy  dwa  przypadki  okresowego  rozwią zania  równ an ia
M athieu  (13) dla  co  =   1.
I,

( 3 0 ) z ( t ) = C t C 3 C 2 3

przy  czym,

(3D  ac=   l+ q- ±q*+ ...

I I .

(32)  z ( 0 =   C 1sin f- - g- C1gsin 3«+   ~^ 4- Ciq
2
sm3t+  - ^ - C

l

przy  czym,

(33)  a , =  l - g - I9 » +   ...

Jak  widać z postaci  rozwią zania  równania M athieu i krzywych  rozdzielają cych  obszary
statecznoś ci  i niestatecznoś ci otrzymanych przy  pomocy funkcji  wraż liwoś ci  na  pojawianie
się  wyrazów  x  funkcyjnych  w  równaniu liniowym  o  stał ych współ czynnikach  są   on e takie
same jak  uzyskane  przy  pomocy innych metod  [1, 3]. Przyjmują c,  że  ca  =   2,3  i  postę pując
w  sposób  przedstawiony  powyż ej  otrzymujemy  inne  rozwią zania  równania  M ath ieu.
M etoda ta wydaje  się  być mniej skomplikowana w  zastosowaniu  w porówn an iu  z  m etoda-
mi  klasycznymi.

W  wielu  zagadnieniach pojawiają   się   nieliniowe  równania M ath ieu. W  tym  przypadku
metoda przedstawiona powyż ej  wyraź niej  uwypukla  swoje zalety. Wyznaczenie  rozwią zania.
i  obszarów  statecznoś ci  jest  dużo ł atwiejsze  w porówn an iu  z innymi m etodam i.



326  B.  SKIERCZYŃ SKI

Jako  przykł ad  rozważ my  nieliniowe  równanie  Mathieu  postaci:

(34)  '  r + ( a - 2 q c o s2 0z  +  ^ z 3  =  0.

Podstawiają c,

(35)  / *- ? &,

(36)  a  =  a>2+a
l
q  +  a

2
q

2
+  • • •

do  równania  (34)  otrzymujemy:  *

(37)  z + (co1+a
1
q+a

2
q

2
  +  •  • •  - 2qcos2t)z+qbz

3
  =  0.

R ó wn an ie  róż n iczkowe na funkcje  wraż liwoś ci  pierwszego  rzę du  dla param et ru  ą  jest

p o st a c i:

(38)  ii'- +- ((o1+a
l
q+a

2
q

2
+  ... - 2qcos2t)w  + 3qbz

2
w  =   - a

1
z- 2a

2
qz+  2cos2t  •  z-

- bz
3
-   ...

R ó wn an ie  róż n iczkowe  n a funkcje  wraż liwoś ci  rzę dti  drugiego dla  param et ru  q przybiera

p o st a ć :

(39)  w
2
 + ((ti

2
+a

l
q- \ - a

2
q

2
+  ...  — 2q  cos  2t)w

2
  + 3qbz

2
w

2
  + 6qbzw

2
  —  - 2a

1
w- 2a

2
qw  +

+  4wco$2t~6bz
2
w  — 2a

2
z  — 2a

2
qw—  ...

P rzyjm ujem y,  że q =  0  i  co = 1. Wtedy  równ an ia  (39),  (38),  (37) są   p o st ac i:

(40)  z o + z o  =   0

(41)  vvj +  Wi  =   —a 1 z 0 _ 6 2 o + 2 z 0 c o s2 f,

(42)  w
20

  = w
20

  =  2(- a
l
w

1
+2wiCOs2t—a

2
z

0
  —  3bzlw

1
).

R o zwią zan ie  ró wn an ia  (40) jest  p o st aci:

(43)  z
o
(t)=  dsint+C

2
cost.

m

Podstawiają c  (43) do równania  (41) oraz  usuwają c  wyrazy  sekularne  otrzymujemy
dwa  warunki:
I .

(44)  a
ic
=l~~C

2
b  i  Q  =  0

II.

"  (45)  a l s =   - l- Ł cth  i  C 2 =   0

R o zwią zan ie  r ó wn a n ia  (41) po usunię ciu  wyrazów  wiekowych jest  p o st ac i:

(46)
  W l

(t)  =   ~Ucf+l- Ctb- ^ - CiC
1
b)sm3t~~lc

2
  + ̂ - CiC

2
b- ~Clb)cos3ł

o  \   4  4  /   S \ 4  4/

U suwają c  wyrazy  wiekowe w równaniu  (42) po podstawieniu  do niego  (43) i  (46)  otrzy-
mujemy  warun ki:



I.

(47)  '

11.

(48)

C2c  =

® 2s  =
1

WYK O R Z YST AN I E  M ETOD   AN ALI Z Y  WR AŻ LI WO Ś CI  327

,  =  0 ,

~d  b -  1 | 8  Cf /;
2 i C2 =  0.

Ograniczają c  się   d o  funkcji  wraż liwoś ci  drugiego  rzę du  oraz  uwzglę dn iając  warun ki
(48),  (47),  (45),  (44)  otrzym ujem y  dwa  przypadki  rozwią zan ia  okresowego  n ielin iowego
równ an ia  M ath ieu (34),
I.

(49)  z(t)  =   C
2
cost- —C

2
qcos3t+  - - x- Cibqcos3t+ - ,- .  C

2
q

z
cos3t-

6  5 1  6 4

-   ~C|g2cos3(+   - ~

+

przy  czym ,

(50)  a
c
 =

I I .

(51) / z(0  =

128  l  '  1024  l  n  '  192

przy  czym,

(52)
  O s = :

i -
q

- ^ j ^

Wyn iki  uzyskan e  przy  pom ocy propon owan ej m etody zgadzają   się   z wyn ikam i  uzyska-
nymi  przy  pom ocy in n ych m et od n p . : (4).

Efektywność  propon owan ej m etody jest  tym wię ksza  im  bardziej  sko m p liko wan a  jest
postać  funkcji  nieliniowej  wystę pują cej  w rozważ an ym  równ an iu.  M et o d a  t a  p o zwala
n a  un ikn ię cie  bardzo  kł opotliwego  podn oszen ia  szeregu  potę gowego  do  potę gi  w  jakiej
wystę puje  nieliniowość  w równ an iu, a przy  bardziej  skom plikowan ych  n ielin iowoś ciach
d o  un ikn ię cia  m n oż en ia  szeregów  potę gowych  wcześ niej  podn oszon ych  d o  okreś lon ych
potę g.



328  B.  SKIERCZYŃ SKI

Literatura  cytowana  >v  tekś cie

1.  E.  G OŁOSKOKOW,  A.  F ILIP OP OW,  N iestacjonamyje kolebania miechaniczeskich  si.item „ N aukowa  Dum-

ka "  Kijów  1966.

2.  R.  G OTOWSKI,  B.  RAD ZISZEWSKI,  A.  OLAS,  Statecznoś ć i  wraż liwoś ć  w ukł adach  mechanicznych.  Ossoli-

neum  1978.

3.  W.  JAKU BOWSKI,  W.  STARŻ IŃ SKU,  L iniejnyje diffcrencjalnyje  wawnienia  s pieriodiczeskimi  koeficienł ami

i  ich priloż enija.Iz.  „ N au ka"  Moskwa  1972.

4.  J.  M ITROPOLSKIJ,  J.  KOZU BOWSKAJA,  O  wlijanij nleliniejnosti  na  ż ony  ustojcziwosti  dlja  urawnlenija

Mathieu.  C b.  „Analiticzeskije  mietody  issliedowanija  nieliniejnych  kolebanii"  Kijew  1980.

5.  R .  TOM OWICZ, M .  VUKOBRATOWICZ,  Obszczaja tieoria czuwstwitielnosti. Iz. „Sowietskoje  R adio"  Moskwa

1972.

P  e 3 ro  M e

n P H M E H E H H E  M E TOflA  AH AJIH 3A  ^ yBC T BH T E J I BH O C T H   K  M EXAH H ^IECKH M
C H C T E M AM   OIIH CfclBAEM ŁIM   JI H H E H H Ł I M H   H   H E JlH H E flH M M H   yP ABH E H H H M H

M ATŁE

B  paSoTC  npeflCTaBJieno  MeTOA  o u p e ^ e jie im a  3OH  ynTOHMHBOCTH   a n a  Jm nenH bix  H  H&JIHHeftHbK
ypaBH eH H H   M aT be  n pH   H cnojit30BaH H H   MeTOflOB  aiiajiH 3a

H OC TH   Ha BBefleH H e  nejuiH eH H bix  inieHOB  D   HHdpepeHUHHJiŁHŁie

S u m m a r y

M E TH OD   O F   SEN SITIVITY  AN ALYSIS  AP P LIED   TO  M ECH AN ICAL  SYSTEMS  G OVERN ED

BY  LI N E AR  AN D   N ON LIN EAR  M ATH IEU   EQU ATION S

The method  of  determination  of  the  regions  of  parametric  instability  in  linear  and  nonlinear Mathieu

equations  has  been  presented  by  applying  the  sensitivity  analysis,  the  sensitivity  function  has  been  used

to  introduce  non- linear  term s  into  differential  equations.

Praca został a zł oż ona w  Redakcji dnia  6 kwietnia  1982 roku