Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS82_t20z1_z4_PDF_artyku³y\mts82_t20z3_4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3/ 4, 20  (1982) ZASTOSOWAN IE  P ÓŁBEZ M OM EN TOWEJ  TEORII POWŁOK W  OBLICZEN IACH  STATYCZN YCH  ORTOTROPOWYCH LIN IOWO- SPRĘ Ż YSTYCH  PRĘ TÓW CIEN KOŚ CIEN N YCH PRYZMATYCZN YCH   O  P RZ EKROJU   WIELOOBWOD OWYM ZAMKN IĘ TYM ZEKOM   G Ó R E C K I Politechnika  Gdań ska 1.  Wstę p Badania  nad  zastosowaniem  funkcji  kształ tu  do  obliczeń  statycznych  prę tów  cienko- ś ciennych  o  zamknię tym  profilu  zapoczą tkował   W.  Z.  WŁASOW  W  latach  trzydziestych naszego  wieku  [9]. Podstawą   Jego  ogólnej  teorii  pryzmatycznych  i  cylindrycznych  kons- trukcji  cienkoś ciennych skł adają cych  się  z pł yt i powł ok jest  zaproponowana  w  1931  roku metoda  wariacyjna  umoż liwiają ca  sprowadzać  zł oż one równania  róż niczkowe  czą stkowe opisują ce  zachowanie  się   tego  typu  konstrukcji  do  równań  róż niczkowych  zwyczajnych. Teoria ta znajduje  róż norodne zastosowanie, a szczególnie w lotnictwie  [2],  [7]. W koń cu lat sześ ć dziesią tych  pojawiają   się  prace gdzie zastosowano  teorię  powł ok Wł asowa  do obli- czeń statków  i doków  pł ywają cych  [1]. Począ wszy  od  1974 roku  w  Instytucie Okrę towym  Politechniki G dań skiej prowadzone są   prace  nad  zastosowaniem  pół bezmomentowej  teorii  powł ok  do  obliczeń  kadł ubów statków  bezgrodziowych  [4]. W  niniejszej  pracy  przedstawiono  metodę   obliczania  naprę ż eń  i  przemieszczeń  dla prę tów pryzmatycznych  cienkoś ciennych  o przekrojach  skł adają cych  się   z  dowolnej  iloś ci wieloką tów  dowolnego kształ tu. Zdaniem autora nowoś cią  jest  rozszerzenie  teorii  do obliczeń konstrukcji  wykonanych z  materiał ów  ortotropowych  oraz  przystosowanie  teorii  do  prowadzenia  obliczeń  n a EMC. 2.  Zał oż enia pół bezmomentowej teorii powł ok W  ramach  teorii  pół bezmomentowej  poprzeczny  przekrój  n p.  kadł uba  statku  jest zastą piony  przekrojem  cienkoś ciennym  wieloobwodowym  odcinkami  prostym.  Przekrój jest  wyznaczony  przez  podanie  współ rzę dnych  (x,  y)  punktów  zał amania  w  dowolnym kartezjań skim  ukł adzie odniesienia OXY  oraz tablicy  poł ą czeń wszystkich wę zł ów. Ograni- czymy  się   wył ą cznie  do  prę ta  pryzmatycznego,  a  wię c  współ rzę dne  x,  y  poszczególnych 340 Z.  G ÓR E C KI wę zł ów  są   niezależ ne  od  zmiennej  z.  Przykł ad  przekroju  wieloobwodowego  oraz  jego zapis  w  tablicy  poł ą czeń  wę zł ów  podan o  n a  rys.  1 i  w  tablicy  1. N a  każ dym  kon turze  zamknię tym  K t   przekroju  wprowadzamy  współ rzę dną   krzywo- liniową   s  wedł ug  obiegu  w  prawo  mierzoną   po  dł ugoś ci  konturu  oraz  ukł ad  trzech  werso- rów  l t ,  «;,  b t   lewoskrę tny  taki,  że  / ; —  zgodny  jest  z  kierunkiem  wzrostu  współ rzę dnej  s, n t   —  wersor  n orm aln ej  zewnę trznej  do  konturu,  6f  —  wersor  prostopadł y  do  dwóch  po- został ych  i  skierowany  zgodnie  ze  skrę tnoś cią   wzdł uż  osi  z  (rys.  1). R ys.  1 Tablica  1 współ rzę dna X współrzę dna Y NrwszłaT"- - - ~_ 1 2 .. 3 4 5 6 7 8 XI Y1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 X2 Y2 2 1 0 0 1 0 0 0 0 X3 Y3 3 1 0 0 1 1 0 0 0 Xi Y4 i 0 1 1 0 0 1 0 0 X5 Y5 5 0 0 1 0 0 1 1 0 X6 Y6 6 0 0 0 1 1 0 0 1 X7 Y7 7 a 0 0 0 1 0 0 1 X8 Y8 8 0 0 0 0 0 1 1 0 Obcią ż enia  powł oki  dajemy  w  postaci  wektora  p(z,  s)  funkcji  dwóch  zmiennych z,  s  i  rozkł adam y  w  bazie  lokalnej  / , n,  b ( 2 - !)  F O »  s)  =   p„(z,  s) •   n+p s (z,  ś ) - T + p b ( z ,  s)- b, gdzie: z —  współ rzę dna  wzdł uż  prę ta s  —  współ rzę dna  w  kierunku  obwodowym Przemieszczenia  powł oki  dajemy  w  postaci  wektora  przemieszczenia  R(z,  s)  funkcji dwóch  zmiennych  z,  s i  rozkł adam y w  bazie lokalnej  n,  1, b ( 2- 2)  R(z> s)  =   u(z,  s) •   b+v(z,  s) •  T + w(z,  s) "Ąt; 2.1.  Postulat  deformacji  i  naprę ż enia  w powłoce. Rozpatrujemy  prę t  pryzmatyczny  cienko- ś cienny  posiadają cy  w  przekroju  skoń czoną   liczbę   zamknię tych  konturów  (rys.  1). N a ZASTOSOWANIE  PÓLBEZMOMENTOWEJ  TEORII  POWŁ OK  341 przemieszczenia  n akł adamy  wię zy  postulują ce,  że współ rzę dne  wektora  przem ieszczen ia wyrazić  m oż na w form ie  sum  iloczynów  dwóch  funkcji  o zm ien n ych  rozdzielon ych (2.3.1)  u(z,s) = /  =  i (2.3.2)  v(z,s) = r (2.3.3)  w(z, s) =   j^V/ ( z)  •   %i(s), w  których  funkcje  zm iennej z: U t (z)> V k (z),  W/,(z)są  fun kcjam i  poszukiwan ym i,  zaś  fun kcje współ rzę dnej  obwodowej  s: ę M,  y> k (s),  xi(s)  stan owią  bazy  w  kt ó rych  rozł oż one  są prze- mieszczenia  u(z,  s),  v(z,  s),  w(£, s). Wektor  przemieszczenia  R(z,  s)  opisuje  jedyn ie  deform ację  powierzch n i  ś ro d ko wej powł oki.  D o  opisu  deformacji  elem en tów  powł oki  wprowadzam y  w  przekro ju  współ - rzę dną  n n orm aln ą  do  s ja k  n a  rys.  2 i przyjmujemy  h ipotezę  Kirchhoffa.  P rzem ieszczen ia elementów  powł oki  przedstawiam y  w nastę pują cej  p o st aci; v ,  .  ,  ,  dw (2.4.1)  u(z,s,n)  =  u(z,s)- - ^ - n, dw (2.4.2)  viz, s,  ń )  =   v(z,  s) -   ^-   •  n, (2.4.3)  w(z,  s,n) =   w(z,s), n n Rys. 2 gdzie:  u,v, w —  oznaczają  przem ieszczenia  elem en tów powł oki w zależ n oś ci  od  odległ oś ci od  powierzchn i  ś rodkowej. Przyjmując  zlin earyzowan ą  teorię  i  uwzglę dniając  relacje  (2.4)  skł adowe  ten sory  d e- formacji  G reen a- St. Ven an t a są: du  du  dy_ ( 2 - 5 > 1 )  fi*~   ~ 5F'~ ~ te  ~~  dz2  '"' ^ dv  dv  d z w n<*\   a "  J  d i  du  L d v  - 2-   a 2 w  .H ( 2 - 5 - 3 >  y* =  ? ł l "  ?  + IF  "5Z ds  ' 342  Z.  G ÓRECKI < 2., 5)  .  *- %  +  £ - ». <,,«>  *.- »  +  f- ,. N a  po d st awie  zależ n oś ci  (2.5)  widać,  że  stan  deformacji  w  powł oce jest jedyn ie  zależ ny o d  dwóch  współ rzę dn ych  z,  s. R o zważ an ia  prowadzim y  dla  powł oki  wykon an ej  z  m ateriał u sprę ż ystego  i  o r t o t r o p o - • wego  o  osiach  o rt o t ro p ii  /, n,  b.  Wtedy  przyjmujemy  zwią zki  fizyczne  p o st aci: (2.6.1)  '  e z   =  ~a z - ^ ij  bę dzie  zgodn y  ze  skrę tn oś cią   u kł ad u  («,  / , b),  t o  wtedy (3.1)  W ij  =   ' L L gdzie:  / ,• ;—jest  dł ugoś cią   prę ta  przed  deformacją N iech  m^ s)  bę dzie  m om en tem  gną cym  w  ram ie  wywoł an ym  o br o t em  p rę ta  „ij"  o  ką t (p u   =  i .  M om en t  gną cy  n a  cał ej  ram ie  Mij(s)  spowodowan y  wył ą cznie  ką tem  o b r o t u (p,j wedł ug  wzoru  (3.1)  wyraża  się   wzorem (3.2)  M u (s)  =   m,j(s)  - L R, 7 Rys.  3 Cał kowity  m om en t gną cy  do  przemieszczeń  wę zł ów  zapiszem y  w  postaci (3.3)  M F   =  J T 1 m u   •   (p,j gdzie:  / —  zbiór  wszystkich  p ar  „ij"  n um erują cych  wę zł y. 3.3.  Wyznaczanie  momentów gną cych  w ramie od obcią ż eń p„(z,  s).  N iech  M g   jest  m o m en t e m gną cym  od  obcią ż eni a p„ ( z, s)  dział ają cego  n a ram ę  przy  n ieprzesuwn ych  ale  obracają cych się   swobodnie  wę zł ach.  G ę stość  energii  sprę ż ystej  wsku t ek  zgin an ia  ram y  w  p rzekro ju z  =   con st jest (3. 4) Obliczenia  m om en tu M g   przeprowadzam y  n astę pują co: a)  rozcin am y  ram ę   w  wę zł ach  i  liczymy  ką ty  ugię cia  od  obcią ż eń  zewn ę trzn ych  n a  p o d - porach  oraz  m om en ty  gną ce  n a podporach , b)  piszemy  równ an ia d o  wyzn aczan ia  m om en tów podporowych  i wyzn aczam y  te m o m e n t y z  warun ku  zgodn oś ci  ką tów  o bro t u , c)  dla  każ dego  p rę ta  znajdujemy  sum ę   m om en tów  gną cych  od  obcią ż eń  n o r m a ln yc h p n   przy  rozcią gnię tych  wę zł ach i  m om en tów  podporowych . 3.4.  Całkowita energia  mechaniczna układu. Energię   sprę ż ystą   n  po wł o ki  zgodn ie  z  r ó wn a - niami  (2.14)  i  (2.18)  zapiszem y  w  postaci 346  •  Z .  G ÓRECKI (3.5)  n -   2" /   I  i  {F ("' v)  + *fPids]  dz> O K  '  • * gdzie: du  dv  ,  v /  du  dv  ' ' >'l2  n  - -i  '  —  i  -^  i  -* OZ  05  \   05  UZ D la  z  =   const  przemieszczenie  w kierunku  n jest (3.6)  •   vv(z, s)  =   w 1 (z,s)  + w 2 (z,  s), gdzie: W !( Z , J )  — przemieszczenie  w  kierunku  n  spowodowane  przemieszczeniami  R~i,  Rj  po- szczególnych  wę zł ów, W 2 (z,s)  —  ugię cie  prę tów  ramy  przy  wę zł ach  nieprzesuwnych  i  przegubach  umiejsco- wionych  w wę zł ach. N iech w°(z,  s) —  ugię cie  od  obcią ż enia p„ vc|(z, s) —  ugię cie  od obrotów  przekrojów  wę złowych to  wtedy ( 3. 7)  w 2   =  W2 +   W2. Pracę   sił  zewnę trznych  (2.19)  po uwzglę dnieniu  (3.6) i  (3.7) przepisujemy  w postaci L  L (3.8)  A =   j f  f  (M •   p b +v  •  p,)ds]dz+  [  \  f  ( Wj+ w|  +  wi)p„«fs]rfz, P on ieważM g oraz  vv§ nie zależ ą od poszczególnych  funkcji  U t (z),  V k (z),  W i(ź )to  pomijamy je  w  wyraż eniu  na  energię .  Ostatecznie  wyraż enie  na  cał kowitą   energię   mechaniczną ukł adu  przyjmuje  postać (3.9)  D  =   I + i (• [  r,  ,  , 1 ,  rv  r.  ,.  , 1 , —  I  j  (u  •   Pb+v  •   p s )ds\ dz—  I   (vvj  +w 2 )Pnds\ dz- 0  K  O  K 3.5.  Wnioski  wypływają ce  z  przyję cia  teorii  ramowo- powlokowej.  D a n e jest  n aroże  w wę ź le „ i " ł ą czą cym  d wa  prę ty  (con ajm n iej  dwa) ja k  n a  rys: 4.  P a r a  Z]"3, / j( + )  oraz  p a r a  ń (j~ ), n[+> t wo rzą   bazę   (n a  ogół   n ieort ogon aln ą ).  M oż emy  n apisać,  że (3.10.1)  Sf - J- d uT (3.10.2)  ni+)  = &ul ZASTOSOWANIE  PÓLBEZMOMENTOWEJ  TEORII  POWŁ OK  347 Mnoż ąc  te zależ noś ci  obustronnie przez  n}+ ), a nastę pnie przez  Sj"'  otrzymujemy  ukł ad równań  do  wyznaczenia  a lit   a. n ,  / ?xi> §2i.  Rzuty  przemieszczeń  na  kierunek  wersorów n\ ~\  »{+ )  są (3.11.1) (3.11.2) Stąd wynika, że ugię cia  w t  jak  i  moment M P   mogą  być  uzależ nione  od  funkcji  v(z,  s) Oj'*1 Rys. 4 Wynikają  stąd  nastę pują ce  wnioski:  • 1.  W  teorii  ramowo- powł okowej  hipotezy  deformacji  moż na  narzucić  na  funkcje u(z, s), v(z,  s), a mianowicie n (3.12.1)  u(z,s)= J^ U^ - cpiis) (3.12.2)  v(z,s)  = r 2.  Funkcje  w(z,s)~  £W i(z)  •  %i(s)  nie  są  potrzebne do  peł nego  opisu  przemiesz- czeń gdyż  są jednoznacznie okreś lone  przez funkcje  v(z,  s). W  dalszej  czę ś ci  pracy  posł ugiwać  bę dziemy  się  teorią  ramowo- powł okową. 4.  Równania  równowagi Ogólne zasady  energetyczne prowadzą  do  równań  równowagi  w  postaci  równań  róż- niczkowych.  W  przypadku  continuum  dwuwymiarowego  są to  równania  róż niczkowe czą stkowe  albo ukł ady tych równań. Jeż eli  na  ukł ad  mechaniczny  nał oż ymy  wię zy  i wykorzystamy  zasady  energetyczne do wyprowadzenia równań równowagi, to wtedy przy okreś lonych wię zach mają  one postać równań  róż niczkowych  zwyczajnych.  F akt ten wykorzystano  dalej  w  pracy  sprowadzając zagadnienie do równań równowagi  w postaci ukł adu równań róż niczkowych  zwyczajnych. 4.1. Metoda funkcji  kształ tu w opisie deformacji prę ta.  Cał kowitą  energię  mechaniczną  po- wł oki  zgodnie z (3.9)  zapisujemy  w  postaci wygodnej  do  dalszych  rozważ ań (4.1)  Q  = 0  K 348  Z .  G ÓRECKI P ierwsza  cał ka  jest  formą  kwadratową,  a  druga  cał ka jest  formą  liniową  wzglę dem przemieszczeń  u,  v. Z  warun ku  koniecznego  istnienia  ekstremum  funkcjonał u  Q  otrzymujemy  z  cał ki pierwszej  —  operator  róż niczkowy  równań  równowagi,  z  cał ki  drugiej  —•  wyrazy  wolne które  są  uogólnionym i  sił ami  zewnę trznymi. Zajmiemy  się  pierwszym  skł adnikiem  formy  kwadratowej (4.2)  /   V(u,v)ds K Wyraż enie  podcał kowe zapisujemy  w  postaci dv  \ 2 ~  du  d'< V(u,v) -   E l | - ^|  - E2[- £-|  + G ( ^ |  + G|~ j dz  ds  '  ds  dz gd zie: 2 E =   V Wykorzystując  hipotezę  deformacyjną  okreś loną  wzorami  (3.12)  gdzie  funkcje  cpfe) przyjmujemy  ja ko  cią głe  na  cał ym  konturze  K,  funkcje  y>k(s)  jako  cią głe  n a  odcinkach mię dzywę zł owych  oraz  stosując  konwencję  sumacyjną  Einsteina  to  wtedy  cał kę  (4.2) moż emy  zapisać  nastę pują co (4.4)  f  V(u, v)  ds =  Ulu;  f  E| k p s ds  k=l,2,... t K Z godnie  z  (3.7)  funkcje  w x   i  w\   przedstawim y  w  postaci (4.12.1)   W l   = (4.12.2) Skł adnik  zawierają cy  skł adowe  n orm aln e  p„  obcią ż en ia  zewn ę trzn ego  zapiszem y  t eraz w  postaci fc=i (4- 13.1) gd zie: (4.13.2)  JV»=   / [ w l t - w L J f l , ds  k - 1 , 2  m . K Kolejnym  skł adn ikiem  form y  liniowej  jest  wyraż enie  zawierają ce  m o m en t y  M v   i  M g . Sposób  liczenia  m om en t u M g   p o d an o  w  p.  3.3  pracy,  n at o m iast  M F   zapisujem y  w  postaci (4.14.1) 12  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3—4/82 350 Z .  G ÓRECKI gdzie: (4.14.2) V, c m k   =   T - m k   =   ę k m k , k —  oznacza parę  ,,ij"  ze  zbioru  / ,   to funkcja  pierwszego  rodzaju jest (4- 17)  cppfr)  .  P 2 ( S )  =  s, a  drugiego  rodzaju (4.18) Liczba  funkcji  tpi  pierwszego  lub  drugiego  rodzaju  jest  osobno równa liczbie wę zł ów. A W Rys.  5 Rys.  6 Z AST O SO WAN I E  P ÓŁ BE Z M OM E N TOWE J  T E O R I I  P O WŁ O K 351 F unkcje  y>{s).  F unkcje  ip k (s)  okreś lają   przemieszczenia  styczn e  do  ko n t u r u ,  m uszą   być zatem  cią głe  n a  każ dym  odcin ku  prostym  mię dzy  wę zł ami.  R ozważ ać  m o ż na  funkcje y) k (s) pierwszego  rodzaju  (rys.  7)  n ie  uwzglę dniają ce  wpł ywu  sił  osiowych  w  prę cie  m ię dzy wę zł ami  oraz  drugiego  rodzaju  (rys.  8)  uwzglę dniają ce  t en  wpł yw. Przyję cie  funkcji  kształ tu  cs  i  ę   pierwszego  i  drugiego  rodzaju  zwię ksza  liczbę   stopn i swobody  ukł adu,  a  tym  samym  liczbę   równ ań  róż n iczkowych  równ owagi.  Wpł yw  czę ś ci odkształ cen ia  poch odzą cy  od  funkcji  y  i  y>  drugiego  rodzaju  n a  cał kowitą   en ergię   m ech a- niczną   ukł adu jest  mał y  i  m oże  być  zan iedban y  w  opisie  deform acji  prę ta.  Stą d  w  dalszej czę ś ci  pracy  uwzglę dniać  bę dziemy  funkcje  ę (s)  i  %p(s)  t ylko  pierwszego  ro d zaju . IMS) s Rys.  7 Rys.  8 4.3.  Macierzowa  postać  równowagi.  N a  wstę pie  weź my  p o d  uwagę   wyraż en ie wy- stę pują ce  w  (4.3).  U wzglę dniając  (3.12.1)  oraz  przyjmują c  że  funkcje  (pi są   cią głe  m oż e- my  napisać (4.19) stą d (4.20) Sur "dzj IS cz gdzie:  symbolami  {}  i  []  ozn aczon o  wektory  i  m acierze, n at om iast  literą   T  o zn ac zo n o operację   transpozycji. Stą d  mamy (4.21) du dz ds^   {Ł/ ,'}r[M w]{U}}, gdzie:  [ J W W ] —je st  macierzą   o elem en tach  J  E j K P ostę pując  an alogiczn ie  ze  wszystkimi  skł adn ikam i  formy  kwadratowej  otrzym ujem y zapis  pierwszego  skł adn ika energii L (4.22)  Q l   =  1  J   { {Uiy  [M w] {U;}+ [Vi} T [M„] {Vl} + o +   {V k } T ([M rv .]+  [M FF ]){V 1 }+ +  2{V k } T [M w ,] M acierz  [M FF ]  jest  wynikiem  z  rozważ ań  f  ~~ds K   D ,]  {Uj})dz. 352 Z.  G ÓRECKI M acierze  [Afw]  i  [M rr]  mają   wym iar  n x  n,  macierze  [M FF],  [M„]  i  [M rr]  mają   wymiar m  x  m,  n a t o m ia st  m acierze  [M rv ]  i  [M w „]  mają   wym iar  n x  m.  Elementy  tych  macierzy są   cał kam i. Z  wa r u n ku  ekst rem u m  fun kcjon ał u  cał kowitej  energii  mechanicznej  (4.1)  otrzym ujem y (4.23.1)  [M  ]{?/ • ") —  [M ,,.,.] {( 7, }+ ( [ M   > / , , ] r —[M v. vJ r ) {F , '}  =   {bj}, (4.23.2)  [M„]  {Vi1}-   ( f M r , , ] + [ M f F ] ) {F / }+   ( [ M r v ] -   [M W„ ]){M / '}  -   {a, }, R ó wn an ia  t e  zapiszem y  w  postaci jedn ego  równ an ia  m acierzowego.  Wprowadzają c  m acierz ko lu m n ę   n iewiadom ych  funkcji  T r ł - 1 . 2  « (4.24)  {r r }  = |  |  fc=   1, 2,  . , . , m r  =   1,2,  ...,n,  n+l,  ...,  n +  tn wekt o r  sił  u o gó ln io n ych  w  postaci (4.25)  { b i , b 2 ,  . . . , b „ , a y , a 2 ,  . . . , a m } T  =   { q { q 2   • • • ,  q„+ m }''  =   {f l r }7 ' , t o  p o  przekształ cen iach  otrzym ujem y  ukł ad  równ ań  róż niczkowych Ir/w  i  0  1  7 1  r  0 T 2 T r 0 P rzyję te  fun kcje  ip  pierwszego  rodzaju  są   stał e  n a  odcin kach  mię dzywę zł owych,  a  zatem ich  p o c h o d n e wzglę dem  s  są   zeram i.  Stą d  wszystkie  współ czynniki  w  m acierzach  zawiera- ją ce  ip'  są   zeram i  i  u kł a d  ró wn ań  (4.26)  sprowadza  się   do  postaci 0 I.  0  [Af T , T 2 T r (4.27) P rzyjm ują c  funkcje  c>i(s)  i  ip k (s)  pierwszego  rodzaju  m oż emy  w  sposób  autom atyczn y bu d o wa ć  u kł a d y  ró wn ań  róż n iczkowych  dla  dowoln ych  prę tów  cien koś cien n ych  pryzma- tyczn ych  o  przekroju  wieloobwodowym  zam kn ię tym  skł adają cym  się   z  wieloką tów  do- wo ln ego  kszt ał t u . 5.  Warun ki  brzegowe P rzyję cie  h ipotezy  deformacyjnej  (3.12)  prowadzi  do  ukł adu  równ ań  róż niczkowych zwyczajn ych  lin iowych  (4.27)  rzę du (5.1)  R  =   2{n  +  m) Z AST O SO WAN I E  P ÓŁ BEZ M OM EN TOWEJ  T E O R I I  P O WŁ OK  353 gdzie:  n —  ilość  wę zł ów  w  przekroju  równ a  liczbie  zn an ych  funkcji  cpi(s) m —  liczba  stopn i  swobody  w  pł aszczyź nie  przekroju  poprzeczn ego  p r ę ta  r ó wn a liczbie  przyję tych  funkcji  f k (s) D o  rozwią zania  ukł adu  (4.27)  potrzebn a jest  zn ajom ość  R  wartoś ci  funkcji  U t ,  V k \   ich pochodn ych  wzglę dem  zm iennej  z  w  jedn ym  lu b  dwu  róż n ych  przekrojach  p rę t a. Warun ek  brzegowy  zapiszemy  w  postaci (5.2)  IM]{T } Z = O +[P]{T } Z=L +{S}  =  {0} przy  czym : [M]—jest  macierzą  kwadratową  rzę du  R  podan ą  dla  przekroju  z  =   0 [P]  —je st  macierzą  kwadratową  rzę du  i?  podan ą  dla  przekroju  z  =   L {T }  —je st  wektorem  / J- wymiarowym  zawierają cym  funkcje  Ui i  V k {S}  —je st  stał ym wektorem  j?- wymiarowym Tak  zapisany  warun ek  brzegowy  um oż liwia  wykorzystan ie  waru n ków  dan ych  w  prze- mieszczeniach,  w  n aprę ż en iach  lu b  mieszanych. Wystę pują ce  w  wyraż eniu  n a  energię  mechaniczną  skł adn iki formy  liniowej  ró wn an ia  (4.1) zawierają  wielkoś ci (5.3.1)  b t =  f  cp tPb ds, K (5.3.2)  ,  t k   _  fyi k p s ds, K które  są  uogóln ion ym i  sił ami  zewnę trznymi  w  przekroju  z  =   con st. R ozpatrując  te wielkoś ci  ja ko  sił y wewnę trzne  i  korzystając  z  zasady  p r a c  przygotowa- nych  moż emy  n apisać (5.4.1)  &?(*)• - K (5.4.2)  tl{z)= P odstawiając  wyraż enie  na  a z   i  T , S wedł ug  wzorów  (2.8),  po  dalszych  przekształ cen iach otrzym am y ( l f U )   b?(z) =  y  Uj(z)  f  E,< n  m (5.5.2)  t° k (z) =   £  U' t (z) f  G k ds+  ]?  V' k (z) /   G Vk i Pr ds, ( = 1 R ozpatrując  teraz  równ owagę  powł oki  w  przekroju  z  =   con st  i  zakł adają c,  że p°(z,  s) i p°(z,  s) są  odpowiedn io wzdł uż nymi i stycznymi  sił ami dział ają cymi  n a jed n o st kę  dł ugoś ci kon turu  n a  podstawie  (5.3) i  (5,5)  otrzymujemy  n astę pują ce  zwią zki  równ owagi  u o gó ln io - nych  sił  zewnę trznych  i  wewnę trznych 354 Z .  G ÓRECKI (5.6.1)  f  m iP ° h  ds -   V  U'j(z)  f  Bipeds, K  j  =   i  A m  it (5.6.2)  4  ipkPgds  —  y  V' k (z)  j  Gy> k y> r ds+  2j  Ui(z)  f Wprowadzając  zapis  macierzowy  i  porównując  z (4.22) zapiszemy (5.7.1)  {bf}  =   [ Afw]   {£/ ,'}, (5.7.2)  {4°}  -   [M rv>] {£ / ,}+  [ M„] {F,:}. Zatem  dla  dowolnego  przekroju  z  = const warunki  (5.7)  mają  postać 0 r ]  \   [M vv ] (5.8) o W  miejsca  niewypeł nione należy wstawić macierze zerowe. D la  przykł adu jak  na  rys.  9  otrzymujemy  warunki  brzegowe  tylko  w przemieszczeniach co zapisujemy  nastę pują co (5.9) i ra \   \ i  \   :  [ E ] . ut n + i  [I] i  ! Ui Ut v'k gdzie:  [I] —  macierz jednostkowa  n x n [E] —  macierz jednostkowa  m x m Rys.  9 6.  Rozwią zywanie  równań  róż niczkowych — przykł ady  zastosowań  pół bezmomentowej teorii  ramowo- powł okowej.  Obliczenia  numeryczne Równania  róż niczkowe równowagi  powł ok wynikają ce  z zastosowań  pół bezmomento- wej  teorii  ramowo- powł okowej  sprowadzają  się  do  cał kowania  równań  róż niczkowych rzę du  drugiego  dają cych  się  sprowadzić  w  prosty  sposób  do  równań  rzę du  pierwszego przez odpowiednie podstawienie. Ogólna postać macierzowa jest (6.1)  [A] {T "}  + [B] {T }  + [C] {T }  =  {Q}, gdzie:  [̂ 4], [B], [C] — stał e  macierze  kwadratowe,  {T } — oznacza  wektor  kolumny nie- wiadomych. Z AST O SO WAN I E  P ÓŁ BE Z M OM E N TOWE J  T E O R I I  P O WŁ O K 355 Trudność  rozwią zania  sprowadza  się   gł ównie  do  znalezienia  dokł adnej  metody  wyzna- czania  bazy  w przestrzeni  rozwią zań  tego  równania, tak  aby  moż na  był o  dokonać odpo- wiedniego  zł oż enia elementów  bazy  i  uzyskać  rozwią zanie  speł niają ce  warunki  graniczne 0  technicznym  znaczeniu.  Okazuje  się ,  że  znane  metody  cał kowania  ukł adów  równań róż niczkowych  typu  Rungego- Kutty  i inne opisane  w  [5],  [6] okazał y się   dla  tego ukł adu nieefektywne  (niezadawalają ca  dokł adność i  dł ugi  czas  obliczeń ).  Efektywna  okazał a  się dopiero  metoda opisana  w  [4] polegają ca  na  wykorzystaniu  i  uogólnieniu  metody zapro- ponowanej  przez  Oluremi- Olaofe  [8] dla jednego  równania  róż niczkowego.  Istotą   metody jest rozwijanie  funkcji  T (z) w  szereg wielomianów  Czebyszewa.  Szczegół owy  opis  metody 1 sposób  cał kowania równań  podano w  [4] i  [10]. N a podstawie  wyż ej  przedstawionych  rozważ ań  autor  opracował  program  n a  maszynę cyfrową   ICL- 4- 70  w  ję zyku  F ORTRAN .  Szczegół owy  opis  programu  zamieszczono w [3]. Jako  przykł ad  rozważ ono  prę ty  pryzmatyczne  o  przekrojach  podanych  n a  rys.  10. D la wszystkich prę tówprzyję to  dł ugość L   =  100 m. Pozostał e charakterystyki  geometrycz- ne i materiał owe oraz schematy  obcią ż enia  podano na rys.  11, 12,  13, 14,  15,  16.  W  dzie- się ciu  róż nych przekrojach  dla  każ dego  prę ta podano rozkł ady  naprę ż eń  stycznych  i  na- prę ż eń  normalnych.  D la  przejrzystoś ci  rysunków  w  poszczególnych  przekrojach  nanie- siono wartość  naprę ż enia w jednym wę ź le. o 1 3 « A - 1 0— 2 A —te E  = 2,8x10' 6 = 1,02x104 0=0,38 5=0,1 1 5 — 6 _B 0 1 0 - 2 3 4 —Wm | O 1 1O | E, = E2 = E E  =2,1x10s G  = 8,08 * 10B \?  = 0, 3 6  = 0,1 E,  = E2 = E  =  2.1x10 G  = 8,08ic10s E,  = E2 = E  =2,1x10 G  =8,08* 105 6  = 0, 01  '  6  =0,1 Przyję to  nastę pują ce  jednostki "• kN IE.  ] - [ E ĵ  =  IG]   = —=r  ;  [ S ]   =m  ;  [ C T , ] ^ ! ' Wymiary  dotyczą ce  przekrojów  podano  w  metrac h. Rys. 10 i r 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 z Rys. 11 10  20  30  40  50  60  70  80  90  z Rys.  12 10  20  30  40  50  60  70  80  90  100  z Rys.  13 [356] 10 20 30 AO 50 60 70 60 90 100 z Rys. 14 20 30 AO 50 60 70 80 90 Rys. 15 6 A- 2- 0- - 2 • -A i ' i i i r I"  I min q Ii 10 20 30 AO 50 60 70 80 90 100 z Rys. 16 [357] 358  Z .  G ÓRECKI "  7.  Wnioski Z  zastosowań  pół bezmomentowej teorii powł ok do obliczeń statycznych ortotropowych liniowo- sprę ż ystych  prę tów cienkoś ciennych pryzmatycznych  o przekroju  wieloobwodowym zamknię tym  z  niniejszej  pracy  wynikają   nastę pują ce  wnioski. 1.  Opracowana  metoda  pozwala  w  sposób  automatyczny  budować  macierze współ czyn- njków  ukł adu  równań  róż niczkowych  dla  prę tów  pryzmatycznych  cienkoś ciennych o  przekrojach  zamknię tych wieloobwodowych  skł adają cych  się  z wieloką tow  dowolnego kształ tu. 2.  W  wyniku  opracowanego  programu  na  maszynę   cyfrową   moż na  obliczać  naprę ż enia w  dowolnym  przekroju  prę ta. 3.  Porównanie  opracowanej  metody  w niniejszej  pracy z  metodą   elementów  skoń czonych wykazuje  na  znacznie szybszy  wzrost  czasu pracy  maszyny  cyfrowej  wraz  ze stopniem skomplikowania  przekroju  dla  metody  elementów  skoń czonych.  D la  iloś ci  wę złów w  przekroju  3 - 12  i  dł ugoś ci kadł uba statku  100  metrów  czas  obliczeń  wedł ug metody przedstawionej  w  pracy  wynosi  od  1.5  min.  do  10  minut  pracy  maszyny  cyfrowej ICL- 4- 70.  W  metodzie  elementów  skoń czonych  czas  ten jest  kilkakrotnie  wię kszy  dla tych  samych  przypadków  co  był o  potwierdzone  informacjami  z  przemysł u  okrę to- wego gdzie  wykonano  obliczenia kontrolne. 4.  Rozwią zanie  podanego  w  pracy  ukł adu  równań  róż niczkowych  stał o  się   efektywne (nakł ad  pracy,  czas  obliczeń) po  wykorzystaniu  metody  podanej  w  [8] polegają cej  na rozwijaniu  funkcji  niewiadomej  w  sumy  wielomianów  Czebyszewa,  a  mał o  efektywne w  przypadku  stosowania  znanych  metod  cał kowania typu  np.  Rungego- Kutty. 5.  W  celu  zwię kszenia  zakresu  stosowalnoś ci  metody  należy  prowadzić  dalsze  badania nad  znalezieniem.odpowiedniego  sposobu  cał kowania  ukł adu  równań  róż niczkowych równowagi,  gdyż metoda przedstawiona w  [8]  i opisana w  [4] jest efektywna  dla ukł adów równań  róż niczkowych  do rzę du 40 tj. dla prę tów  o przekroju  skł adają cym  się  z  10 - 12 wę zł ów. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  W.  S,  C Z U WIKOWSKIJ,  Problemy procznosti sudow,  Sudostrojenie  Leningrad  1975. 2.  A.  F .  F IEOF AN OW,  Stroitielnaja  miechanika  awiacjonnych  konstrukcji,  M aszinostrojenie  Moskwa  1969. 3.  Z .  G ÓR E C KI ,  Zastosowanie  pół bezmomentowej  teorii  powł ok  do  obliczeń  kadł ubów  bezgrodziowych, P raca  doktorska.  I n stytut  Okrę towy  Politechniki  G dań skiej  1980  (niepublikowana). 4.  Z .  G ÓR E C KI ,  M .  SPERSKI,  J.  WIĘ CKOWSRI,  W droż enie  pół bezmomentowej  teorii  powł ok  do obliczeń kadł ubów  bezgrodziowych. P raca  badawcza  Instytut  Okrę towy  Politechniki  G dań skiej.  G dań sk  1976 cz.  I, G dań skl977, cz.  I I , G dań sk  1979, cz.  I I I , (niepublikowana). 5.  J.  LEG RAS,  Praktyczne  metody  analizy  numerycznej,  Wyd.  N auk.  Techn. Warszawa  1974. 6.  K.  M OSZ YŃ SKI,  Rozwią zywanie  równań  róż niczkowych  zwyczajnych  na  maszynach  cyfrowych,  Wyd. N au k  Techn . Warszawa  1971. 7.  J.  F .  OBRAZ C OW,  Mietody  Razczota  na procznoś ć  kesonnych  konstrukcji  tipa  krył a,  Oborngiz  1960. 8.  G .  OLU REM I- OLAOF E,  On  the  T chebyschew  method of  solution of  ordinary differential  equations,  J.  of M at h .  Anal,  an d Aplic.  Vol.  60. N o  1 August  1977. 9.  W.  Z .  WŁ ASOW,  T onkostiennyje  uprugije stierż ni,  G osud.  Izdat.  F iz.- M at,  Lit.  M oskwa  1959. 10.  J .  WI Ę C KOWSKI,  M. SPERSKI, J.  D R E WK O, Równania równowagi  i  obliczenia numeryczne  powł ok  liniowo- sprę ż ystych  o  wielospójnym  prostoką tnym  przekroju,  I I  Konferencja  „ Konstrukcje  powł okowe,  teoria i  zastosowan ie"  G oluń  6 - 10  XI 1978. Z ASTOSOWAN I E  P ÓŁ BE Z M OM E N TOWE J  TOORII  P O WŁ O K  359 P  e 3 io  JU  e nPH MEH EH H E  nOJlV'- BESMOMEHTHOfl  TEOPI- Ui  OBOJlCmEK  K  C TATIWH OM Y PACTETY  OPTOTPOni- IEIX  JIH H Efll- IO- ynPVTHX  TOH KOCTEH H BIX RPIISM ATH ^ECKH X  CTEP>KHEM   IIPOI- I3BOJILHOIXD   SAKPM TOrO  llP Ot B  paSoTe  n peflcraBuen o  ,MCTO,T  pacMfrra  iianpjD rceH iin  u  nepeAiememifi  opTOTporiHMX  ju iH ein io - yn p y- n i x  ToH KocTeiiiibix  npH3MaTniieciKiieii  npoH3BOJiLi- ioro  3aK ptiT oro  npoijiH jia  c o c ia sjin io m e r o c a : iia  MHoroyrojiLimKOB  n poii3Boju.iioro  o^iepTaniiH .  IlpH BCfleno  n pefln on oicen H H   noJiy- 6e3flio.«eH TH oft Teopnil  O6OJI C «C K  n a  ocuoD aH iiH   TeopHH   oG ajio'ieic  B .  3 .  Bjia c o sa .  3 i y  T eo pm o  pacm iipeH O  u  n p u c n o - co Sn en o  K pacqe'TOM   iia  BWJHCnHTCnfci- iiiis  MBU BIH BX  ( 3 B M ) .  ITpH BeH eH H biit  Merofl  npHiaeHSHO  K e i a - • nwnoMy  pac- ieay  5e3- iicpe6opKOBbix  c ya o Bt ix  K opn ycoB.  JI,aHŁ>i  npH M epw  BWMHCJiennH  Ha 3 B M   c r e p - >Kiieti  o  npoH3BOJii>iibix  oiiepTaHHHX  B  npon3B0JihH bix  KpaeBbix  ywioBiin x. S u m m a r y TH E  APLICATION   OF  SEM I- M OM EN TLESS TH EORY  OF   SH ELLS IN   STATIC C OM P U TATI ON OF   ORTOTROP IC LIN EAR  ELASTIC  BARS  WITH   M U LTI C I R C U I T  CLOSED  SEC TION In  the  paper  a  method  of  computation  of  stresses an d  displacements  for  ortotropic linear- elastic  thin- walled  prismatic  bars  with  multicircuit  section  consisted  of  polygon  with  arbitrary  form  is  presented.  Th e assumption  of  semi- momentless  theory  of  shells  is  based  on  V.  Z .  Vlasov  a  shell  theory.  T h e  theory  is developed  and  adopted  for  computation  on  a  digital  computer. T h e  described  method  is  applied  in  static computation  for  julls  of  unbulkhead  ships.  Examples  of  numerical  computations  for  bars  with  different cross- sections  and  different  boundary  conditions conclude the  paper. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  29 listopada  1981  roku.