Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1, 19 (1981)

O  WARIACYJNYM   CHARAKTERZE  ZASADY JOURDAINA  I  JE J  ZWIĄ ZKU   Z  OGÓLNYMI
TWIERDZENIAMI DYNAMIKI

N .  C Y G A N O W A  ( M O SK WA)

Zasada  Jourdaina  jest  róż niczkową  zasadą  wariacyjną  mechaniki  niezmieniają cego
się  ukł adu  punktów  materialnych.  M a  ona  postać  zasady  wariacyjnej  ponieważ  w  jej
analitycznym  zapisie  wystę puje  wariacja  prę dkoś ci.

W  niniejszej  pracy  badamy  wariacyjny  charakter  zasady  i  jej  zwią zek  z  ogólnymi
twierdzeniami  dynamiki.

1,  Zasada  Jourdain a jest  róż niczkową  wariacyjną  zasadą  mechaniki,  zajmują cą  po-
ś rednie  miejsce  mię dzy  zasadą  d'Alamberta- Lagrange'a  i  zasadą  najmniejszego  skrę po-
wania  G aussa. Z asada ta został a wyprowadzona  przez angielskiego  uczonego F .  Jourdain a
w  1909  r.

1.  D owód  F .  Jourdain a jest  nastę pują cy.
Rozpatruje  się  ukł ad  „ «"  pun któw  materialnych  z  wię zami  holonomicznymi i  liniowymi
nieholonomicznymi.  Równania  wię zów  holonomicznych  i  liniowych nieholonomicznych
przyjmują  postać

(1)  dx
t
  = £a

tl>
dq

v
+a

t
dt  (i -   1, 2, ..., 3n),

V= I

gdzie  Xi —  kartezjań skie  współ rzę dne  ukł adu  pun któw,  q
v
 —  współ rzę dne  uogólnione,

a
iv
  i  at — pewne  funkcje  q

v
  i  t.  Porównajmy  analityczne  wyraż enia  zasad  d'Alamberta-

Lagrange'a  i  G aussa  i  odpowiadają ce  im  procesy  wariacyjne

(2)  J T  (X
t
- m,Xt)dx

t
  =   0,  8t-   0,  8x

t
  ?=  0,

3«

(3)  ^  (Xi-mixi)d2xi = 0, d2t = 0, 82xt  = 82xt = 0, d2xt  /  0,
7  =  1

dla  wię kszej  jasnoś ci  wariacje  w  tych  dwóch  zasadach  oznaczone  są   odpowiednio  przez
<5  i  8

a
.

Wariacje  współ rzę dnych  w  zasadzie  d'Alamberta- Lagrange'a  i  wariacje  przyspieszeń
w  zasadzie  G aussa  speł niają   zwią zki

(4) tet



N. CYGANOWA

F .  Jourdain zauważ a, że jeś li rozpatrzymy nowy proces wariacyjny  <5X, dla którego  <V  =  0,
'x- ,  =   0,  a  d,_'xi  T &  0,  to  wariacje  prę dkoś ci  bę dą  speł niały  warunki

(6)  8
t
x

t

podobnie jak  warunki  (4) i  (5) dla  <5xj i ó
2
Xi w procesach wariacyjnych  <5 i  <52. Stąd wnio-

skuje  on, że  w  wyraż eniu  (2)  zasady  d'Alamberta- Lagrange'a  6x
t
  moż na  zastą pić  przez

6
1
x

i
  (lub  w  wyraż eniu  (3) zasady  G aussa  d

2
x

t
  zastą pić  przez  ^ i ; )  i  dochodzi do wyra-

ż enia  analitycznego  nowej  zasady  wariacyjnej  w  postaci

(7)  £  (X
t
- m,x

t
)  dix

t
- 0,  dit-   0,  d^ xi  =  0.

Przechodząc  w  równaniu  (7)  do  współ rzę dnych  uogólnionych,  F .  Jourdain  otrzymuje
równania  Lagrange'a  drugiego  rodzaju  dla  ukł adów  holonomicznych,  a  dla  liniowych
nieholonomicznych  ukł adów  ukł ad  równań  F errersa.  W  ten  sposób,  zasada  Jourdaina
(7) nie prowadzi  do  nowej  formy  równań ruchu.  Jedynie zasada  G aussa daje  nową  postać
równań —  równania  Appela.  D alsze  badanie  zasady  Jourdaina  zwią zane  jest  z  pracami
austriackiej  szkoł y fizyków  Leitingera  i Wassmutha.  W  pracy  z  1913  r.  [2] Leitinger  wy-
prowadza  zasadę  Jourdaina,  róż niczkując  równanie  d'Alamberta- Lagrange'a  (2)  wzglę-
dem  czasu  i  nastę pnie  przechodząc  w  otrzymanym  wyraż eniu

3n  3 B

(8)  J P  (mix,- Xł )dxt+   -̂ ^(miXt~Xt)dxt  =  0

do  wariacji  Jourdaina,  tzn.  podstawiając  dxX
t
  =  0.  Wówczas  równanie  (8)  otrzymuje

postać  (7).  Analogicznie  róż niczkując  wzglę dem  czasu  równanie  (7),  przedstawiają ce
zasadę  Jourdaina i  przechodząc w  otrzymanym  wyraż eniu  do  wariacji  G aussa,  Leitinger
wykazał   również  zwią zek  zasady  Jourdaina z  uogólnioną  zasadą  najmniejszego  dział ania
H oldera- Vossa  dla  ukł adu z  holonomicznymi  i  liniowymi  nieholonomicznymi  wię zami,
w  ogólnym  przypadku  niestacjonarnymi.  Zasada  Holdera- Vossa  dla  takich  ukł adów ma
postać

' i

(9)  /   (AT dt+2T Adt+dT At+dAdt)  =  0,
to

gdzie  T —energia  kinetyczna  ukł adu,  6A — praca  wirtualna  dział ają cych  sił , A  —asyn-
chroniczna  (zupeł na)  wariacja.  U ogólniona  zasada  najmniejszego  dział ania  u  H oldera
opiera  się  n a  zasadzie  d'Alamberta- Lagrange'a.  Voss  przechodząc  do  współ rzę dnych
uogólnionych  pokazał , źe  uogólniona  zasada  najmniejszego  dział ania dla  ukł adów holo-
nomicznych  odpowiada  równaniom  Lagrange'a  drugiego  rodzaju,  a  dla  liniowych  ukł a-
dów  holonomicznych — równaniom  F errersa,  przy  czym  Voss  rozpatrzył   przypadek
wię zów  niestacjonarnych.

Leitinger  wyprowadził   zasadę  H oldera- Vossa  bezpoś rednio  z  zasady  Jourdaina, prze-
kształ cając  w  odpowiedni  sposób  wyraż enie  podcał kowe  w  cał ce  Vossa  (9).  Jeś li  wię zy
holonomiczne  są  nał oż one  na  ukł ad niestacjonarny,  to  niesynchroniczne  wariacje  uogól-



BAD AN IE  ZASADY  JOU RD AIN A  5

nionych  współ rzę dnych  Aq
t
 są   nastę pują co  zwią zane  z  wirtualnymi  wariacjami  tych

współ rzę dnych

(10)  Mi =   Sgi+q
t
/ lt

a  dla  A  —  uogólnionych  wariacji  prę dkoś ci  mamy

..  d  ..  .  . Adt
(11)  Mi=  ^ {ń q

i
)- q

l
~

w
.

U wzglę dniając  równania  (10) i  (11),  oraz  wyraż enie  dla  wirtualnej  pracy  sił   dział ają cych

podcał kowe wyraż enie  cał ki  (9)  moż na  przedstawić  w postaci

(12)  AT dt+2T Adt+dT At  +
dq

t

d

Róż niczkując  równanie  (12)  wzglę dem  czasu  i  nastę pnie  podstawiają c  w  otrzymanym
wyraż eniu,  zgodnie z zasadą   Jourdain a  <5#; =   0, a także  uwzglę dniając  wyraż enie  zasady
Jourdaina  dla  ukł adów  holonomicznych i liniowych  nieholonomicznych w  postaci

Leitinger  dochodzi  do  równania

- -̂   [AT dt+IT Adt+dT At+8Adt]  =

Vi  f d2

które  moż na  rozpatrywać, jako  jedn o z analitycznych  wyraż eń  zasady  Jourdain a.  C ał ku-
ją c  dwukrotnie  ostatnie  równanie  wzglę dem  czasu  t w okreś lonych  granicach,  odpowia-
dają cym  zał oż onemu począ tkowemu  i koń cowemu  poł oż eniu  ukł adu, —  Leitinger  otrzy-
muje  równanie  (9), wyraż ają ce  zasadę   H oldera- Vossa  dla  wię zów niestacjonarnych.  D an e
wyprowadzenie  znacznie  upraszcza  się , jeś li  wię zy są  stacjonarne.  Wówczas

Mi  =   Sq
t

A
  dq

'  - óa- a
A
~irr  -

  óch  q
' d r w

t
U ogólniona  zasada  najmniejszego  dział ania  dla  wię zów  stacjonarnych  przedstawia się
równaniem

' i

(15)  J  AT dt+2T Adt  + 8Adt  =  0.



6  N .  CYG AN OWA

Pochodna  wzglę dem  czasu  wyraż enia  podcał kowego  z uwzglę dnieniem  zwią zków  (14)
przekształ ca  się  nastę pują co

—  IAT +2T -
dt I

]  =  y f
J f ^f L

8T   \   d  I  8T  \   .  dQi

stąd  zgodnie  z zasadą  Jourdaina  otrzymujemy  równanie

:- r
  dc

lt

D wukrotne  cał kowanie  tego  równania  doprowadza  do  równania  (15),  tzn.  do  zasady
H oldera- Vossa  dla  zwią zków  stacjonarnych.  A.  WASSMUTH  w pracy  z  1919  roku  [3],  do-
tyczą cej  zwią zku  trzech zasad  róż niczkowych,  wprowadzonego  przez Leitingera,  zauważ a,
że proces przejś cia  od jednej  zasady  róż niczkowej  do drugiej  przy pomocy róż niczkowania
wzglę dem  czasu  moż na przedł uż yć, co  doprowadzi  do  nowych  róż niczkowych  zasad  me-
chaniki.

W  szczególnoś ci,  jeś li  zróż niczkować  wzglę dem  czasu  równanie

(S —  energia  przyspieszenia),  przedstawiają ce  zasadę  G aussa  we  współ rzę dnych  uogól-
nionych  i  rozpatrzyć  proces  wariacyjny  w  którym  ó

3
t =   0,  d

3
q

;
  =   <53g,-  =   d3qi  to doj-

dziemy  do  nowej  zasady  róż niczkowej

4 - ł a S-   YQtdz4t,ai
  t m t

na  mocy  której,  równania  ruchu  mają  postać  - - m- =   Q.  W  pracy  tej  Wassmuth  rozpa-
8q

t

truje  także  zastosowanie  zasady  Jourdaina  do  wyprowadzenia  dynamicznych  równań
ruchu  Eulera  przedstawiają cych  ruch  ciał a  sztywnego  wokół   nieruchomego  punktu.
N iech  ciał o  sztywne  porusza  się  wokół   nieruchomego  punktu  0,  (O£r]C ) — nieruchomy
ukł ad  osi,  (oxyz) — nieruchomy  ukł ad  osi,  niezmiennie zwią zany  z ciał em i  poruszają cy
się  razem z nim  wzglę dem  nieruchomego ukł adu.

Zgodnie  z zasadą  Jourdaina  (7)  mamy
n

(16)  ^ mCl^ t+vt^ i+l'i^ i)  =
i = l  i = l

gdzie  Si,  H
t
,  Z

t
  —  rzuty aktywnej  sił y F

t
,  dział ają cej  na punkt m- ,,  na  osie nieruchomego

ukł adu  współ rzę dnych.  Wykorzystując  zwią zek  mię dzy  współ rzę dnymi  punktu  w rucho-
mym i nieruchomym  ukł adzie współ rzę dnych,  lewą  stronę  równania  (16)  moż na  przed-
stawić  w postaci





8 N. CYGANOWA

Jeś li  zał oż yć, że  sił y X\   nie zależą  od prę dkoś ci, to przy  uwzglę dnieniu  równań  (18) i (19)
wyraż enie  zasady  Jourdaina  (7)  przyjmuje  postać

(
3«  v

—  - 2x
t
x,  1 =  0,

lub
(21)

Stąd w dowolnym  momencie ruchu ma miejsce  równanie  (21) wariacji  Jourdaina: Waria-
cja  pochodnej  energii  kinetycznej  ukł adu  równa  się wariacji  pracy  sił  zewnę trznych na
prę dkoś ciach  rzeczywistego  ruchu  ukł adu  punktów.

Z  równania  (21)  wynika,  że w  dowolnym  momencie ruchu

IT 3"
( 2 2 )  ~Zn-

gdzie  C —  funkcja  niezależ ą ca  od prę dkoś ci.
N iech  w  pewnym  momencie  ruchu,  prę dkoś ci  wszystkich  punktów  ukł adu  są  zerowe.
Wówczas  z równania  (22)  wynika,  że C =  0.
Stą d,  z  równania  (22)  mamy

lub
3»

(23)  dT =

tzn.  róż niczka  sił y  dział ają cej  jest  równa  sumie  elementarnych  prac  sił  zewnę trznych.
Ostatnia  równość  wyraża  twierdzenie  o zmianie  energii  kinetycznej  ukł adu  dla stał ego
ukł adu  punktów  materialnych.

3. W  wyraż eniu  zasady  Jourdaina (7) nie wystę puje  wariacja  ż adnej funkcji,  ale wystę-
puje  wariacja  prę dkoś ci,  stąd  lewa  strona  wyraż enia  (7) jest  wyraż eniem  wariacyjnym
i  zasada  Jourdaina  ma  postać  wariacyjną.

Porównamy  z zasadą  G aussa
3«

(24)  £  (jn
t
Xi- X

t
)óx

t
 =   0.

i= i

Ona jest  zarówno  wariacyjna  w swojej  formie jak  i w treś ci, ponieważ  wyraża  minimum
skrę powania

(2 5 ,   Z'T

Wracając  do zasady  Jourdaina  należy  postawić  pytanie,  czy zasada  Jourdaina  okreś la
warunek  na  ekstremum jakiejś  funkcji.  W jakim  przypadku?  Przy jakich  ograniczeniach?
a)  Jeś li  sił y  nie  zależą  od prę dkoś ci,  to ma  miejsce  równanie



(26)

BAD AN IE  ZASADY JOU RD AIN A

l u b

W  tym  przypadku  zasada  ma jawnie  wyraż ony  charakter  wariacyjny:  funkcja  £X
t
Xt~

dT   T- I'  dT

dla rzeczywistego  ruchu ma stał ą wartoś ć. Oznaczymy tę  funkcję  /   =   ^ Xik
t
  —-

dt  1=1  at

i  nazwiemy  funkcją  Jourdaina.
b)  Jeś li  sił y zależą  od prę dkoś ci, to przekształ cenie równania  (7) prowadzi  d o :

3»  v  3 n

di'
tzn.  wariacja  funkcji  Jourdaina równa jest  pracy  wariacji  (wg  Jourdaina)  sił   n a  prę dko-
ś ciach  ruchu  rzeczywistego.  Zasada  Jourdaina  w  tym  przypadku  nie  ma  jawnie
wyraż onego  charakteru  wariacyjnego  w  sensie  istnienia  funkcji  posiadają cych  wartoś ć-
stał ą  dla  ruchu  rzeczywistego.  Jednakjeś li  praca  wariacji  sił   n a  prę dkoś ciach  ruchu
rzeczywistego  jest równa zero, to  dJ =   0  tzn.  funkcja  Jourdaina  ma  wartość  stacjonarną
dla  ruchu  rzeczywistego.

A  wię c,  dla  ukł adu punktów  materialnych z wię zami  idealnymi,  zasada  Jourdaina ma
jawnie  wyraż ony  charakter  wariacyjny  — wariacja  funkcji  Jourdaina jest  równa  zero —
jeś li  sił y dział ają ce  na  ukł ad nie zależą  od prę dkoś ci, i jeś li praca wariacji  (wg Jourdaina)
sił   na  prę dkoś ciach  ruchu  rzeczywistego  jest  równa  zero.
c)  Jeś li  na  ukł ad  oddział ywują  jedynie  zewnę trzne  sił y  reakcyjne,  proporcjonalne  do-
pierwszej  potę gi  prę dkoś ci  ukł adu punktów, to wprowadzając  funkcję  rozrzutu  Rayleigha
(funkcja  dysypatywna)

3 «

zasadę  Jourdaina  moż na  przedstawić  w  postaci

O  lub  < 5J = 0

dT
gdzie  funkcja  Jourdaina  /   =  ——\- @,  tzn.  w  tym  przypadku  zasada  Jourdaina  ma

jawnie  wariacyjny  charakter.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  P.  JOORD AIN ; N ote  on  an analogue  of  Gauss principle  of  least constraint,  Quarterly  Journ al  of  pure  and
applied  mathematics,  vol.  40,  Lon don ,  1909.

2.  R.  LEITIN G ER;  Uber Jonrdmifs  der  Mechanik  mid  L essen  Zusammenhang  ink  dem  veralgemeinerten
Pń nzip  der  kleinsten  Aktion,  Sitzungsberichte,  Bd.  122,  Wien,  1913.

3.  A.  WASSMU TH ;  Studien  uber Jourdatiis  Prinzip der  Mechanik,  Sitzungsberichte,  Bd.  128,  H .  3.,  Wien,
1919.



10  N .  CYGANOWA

P  e 3 JO M  e

HCCJIEflOBAHHE  BAPHAUHOHHOrO XAPAKTEPA  nPH H U H H A
acyPH EH A H  CBK3H  E rO C OBIEHMH  TEOPEMAMH   flH H AM H KH

JT,aeicH   KpaTKHH   o 63o p  pa3BH Tnn  n puH U H n a  )KypfleH a  H  H ccne^yeTCH   BapnauH OH H brii  xap aio rep

n p H H i; n n a .

S u m m a r y

ON   VARIATION AL  CHARACTER  OF  JOU RD AIN 'S  PRIN CIPLE  AND   ITS RELATIONS
WITH   G EN ERAL THEOREMS OF  DYNAMICS

A  short  review  of the  development  of Jourdaia's  principle is  investigated  as well as its  variatio-
naj  character.

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  24  stycznia  1980  roku.