Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA I,  1!)  (198D REOLOG 1CZN E  EF EKTY  P R Ę TÓW  M ETALOWYCH   R ÓWN OC Z E Ś N IE  Z G I N AN YC H i  ROZCIĄ G AN YCH1) AD AM   K I S I E L ,  STEF AN   P I E C  H   N   I  K  ( K R AK Ó W) Wstę p W  pracy  sform uł owan o  i  rozwią zano  pro blem  m im oś rodowego  rozcią gan ia  p rę ta pryzmatycznego  w  waru n kach  peł zan ia  ustalon ego.  M at eriał   p rę ta  opisuje  uproszczon e równ an ie  Odqvista  [4]  (dla  ustalon ego  peł zan ia) l - n (0.1)  Sfj  =  o 0 e e "  kij, gdzie s t j  —  skł adowe  dewiatora  naprę ż eń s t j  =   ey(dla  v  =   0,5) —•  skł adowe  tensora  prę dkoś ci  odkształ ceń e e   — intensywność  tensora  prę dkoś ci  odkształ ceń a 0 ,  n —  stał e materiał owe. Sposób  rozwią zania  problemu  (podejś cie  kinematyczne)  pozwolił   na  peł ną   analizę pól  odkształ ceń,  naprę ż eń  i  przemieszczeń  (z  dokł adnoś cią   do  stał ych  wystę pują cych w  ruchu  brył y  sztywnej),  dla  prę ta  pryzmatycznego,  prostego,  o  dowolnym  kształ cie przekroju  poprzecznego,  obcią ż onego  sił ą   rozcią gają cą   na  dowolnym  mimoś rodzie  (nie uwzglę dniono  nie  sprawiają cego  w  rozwią zaniu  analitycznym  ż adnych  trudnoś ci  przy- padku, gdy  punkt przył oż enia sił y pokrywa  się  ze  ś rodkiem cię ż koś ci  przekroju  poprzecz- nego). Analizy  takiej  z uwagi  na  trudnoś ci  numeryczne brakuje  w  dotychczasowej  literaturze. Rozwią zanie  problemu  równoczesnego  rozcią gania  i zginania  podał   S.  PIECH N IK  W  pra- cach  [5]  i  [6], ograniczają c  się  jednak  do  prę tów  o  przekrojach  posiadają cych,  jedną   oś symetrii  i  obcią ż onych  w  taki  sposób,  że  deformacja  prę ta  zachowuje  wł asność  symetrii wzglę dem  pł aszczyzny  wyznaczonej  przez  oś  prę ta  i  oś  symetrii  przekroju  poprzecznego. Przypadek  prostego  zginania  prę tów  o  dowolnym  kształ cie przekroju  poprzecznego  roz- wią zał   A.  JAKUBOWICZ  [2]. Podał   on. tylko  rozkł ad naprę ż eń  (nie  przeprowadził   analizy stanu  deformacji),  przy  czym  metoda  graficzna,  jaką   posł uż ył  się   do  wyznaczenia  cha- rakterystyk  geometrycznych  przekroju  nie  pozwala  na  uzyskanie  dokł adnych  wyników numerycznych.  W  pracach, których  celem  był o wyznaczenie  czasu  powstania  pierwszych pę knię ć,  bą dź  też  cał kowitego  zniszczenia  prę ta,  najczę ś ciej  wprowadzano  zał oż enia upraszczają ce  odnoś nie rozkł adu naprę ż eń. I  tak  np. I. N .  RABOTONW  W  [8] przyją ł   poł o- 1  Praca  wykonana  w  ramach  problemu  wę zł owego  05.12,  temat  13.1. 28  A.  KISIEL,  S.  PIECH N IK ż enię   osi  oboję tnej  jak  przy  peł nym uplastycznieniu,  niezależ nie  od  wartoś ci  wykł adnika w prawie  (0.1). Wyniki  uzyskane  przez  S.  PIECHNIKA  W  [5]  i  [6] wykorzystał   do wyznacze- nia  czasu  powstania  pierwszych  pę knięć  M.  CHRZANOWSKI W  [1],  natomiast  do wyzna- czenia  czasu  cał kowitego  zniszczenia  S.  PIECHN IK  i  M.  CHRZANOWSKI  W  [6],  wykazują c, że jest  on  nieznacznie wię kszy  od  czasu  powstania  pierwszych  pę knię ć. D latego  w niniej- szej  pracy  ograniczono  się   do  obliczania  czasu  powstania  pierwszych  pę knię ć,  przyjmują c prawo  zniszczenia  kruchego  za  Ł. M.  KACZANOWEM   [3]: z  warunkiem  począ tkowym  y>(t  =   0)  =   1,  gdzie: yj — funkcja  charakteryzują ca  rozluź nienie  materiał u (y>  —  0  dla  czasu  zniszczenia), m axa x   —  maksymalne  naprę ż enie  rozcią gają ce, A,  m —  stał e materiał owe. 1.  Sformuł owanie  problemu P rę t  pryzmatyczny,  prosty,  o  dowolnym  kształ cie przekroju  poprzecznego,  wykonany z  materiał u podlegają cego  prawu  fizycznemu  (0.1), którego  pierwotne  poł oż enie w prze- strzeni identyfikujemy  z  konfiguracją   począ tkową,  poddany jest  mimoś rodowemu  rozcią - ganiu. Celem  pracy  jest  znalezienie: 1 —  stanu  prę dkoś ci  odkształ cenia, 2 —  stanu  naprę ż enia, 3 —  stanu  przemieszczenia, 4 —  czasu  powstania  pierwszych  pę knię ć. W analizie  przyję to  zał oż enia: (a) —  wielkoś ci  kinematyczne  (prę dkość  zmiany  krzywizny,  prę dkość  odkształ cenia osi prę ta)  są   stał e  w  czasie, (b) —  w  czasie  pracy  prę ta, aż  do momentu powstania  pierwszych  pę knię ć, przemieszcze- nia  i  ich  pochodne  wzglę dem  zmiennych  okreś lają cych  poł oż enie punktów  prę ta są   wystarczają co  mał e,  aby  sł uszne był y: zasada  zesztywnienia,  pominię cie wpływu przemieszczeń  w  pł aszczyź nie  przekroju  poprzecznego  na jego  kształ t  i  wielkoś ć, oraz  liniowe  zwią zki  geometryczne  Cauchyego, (c) —kin em atyczn e  warunki  brzegowe  odbierają   ruch  prę ta jako  ciał a  sztywnego  (sześć niezależ nych  równań  wię zów), (d) —  pobocznica  prę ta  wolna  jest  od  obcią ż eń, (e) —  zniszczenie  materiał u  opisuje  prawo  kruchego  pę kania  (0.2). 2. Rozwią zanie problemu 2.1. Matematyczna postać zagadnienia.  Konfigurację   pierwotną   prostego  prę ta  pryzma- tycznego  identyfikujemy  z  obszarem  w  trójwymiarowej  przestrzeni  Euklidesowej  spara- metryzowanej  kartezjań skim  ukł adem współ rzę dnych  (x. y. z),  przy  czym  przyjmujemy REOLOG ICZN E  EFEKTY  PRĘ TÓW 29 oś  z  jako  równoległ ą   do  osi  prę ta.  Z  konfiguracją   aktualną   tego  prę ta  zwią ż emy  ukł ad krzywoliniowy  {x„,y a ,  z a ),  w  którym  linie  z„  są   wyznaczone  zdeformowanymi  wł ókn am i pierwotnie  równoległ ymi  do  osi  z,  a  linie  x a   i  y a   są   zawarte  w  zdeformowanych  przekro- jach  poprzecznych. Przyjmujemy  a  priori,  że  miejsce  geometryczne  pun któw  przekroju  poprzecznego (z  =   const.),  w  których  odkształ cenie  e 2   =  0 jest  prostą   / .  Rodzinę   prostych  o  kierun ku /  przyjmujemy  jako  linie  współ rzę dnych x„  natomiast  rodzinę   prostych  z  nią   ortogon al- nych  i  zawierają cych  się   w  zdeformowanych  przekrojach  poprzecznych  utoż sam iamy z y„.  Jeż eli  począ tek  tego  krzywoliniowego  ukł adu  współ rzę dnych przyjmiemy  w  punkcie należ ą cym  do  prostej  / ,  wówczas  równanie  przyrostów  Aw a   przemieszczeń  pun któw pł aszczyzny  z  =   const,  wzdł uż  osi  z a   moż na  przedstawić  w  postaci: (2- 1)  Aw„  =   B(t)  •   [y tt  +  i,Qt„  y a )  •   t] •   Az a , gdzie  wielkość  v g (x B ,  y a )  okreś la  prę dkość  przemieszczenia  równoległ ego  d o  osi  y a   (zwę - ż enie przekroju)  (rys.  1). N a  podstawie  zał oż enia  (b)  konfigurację   aktualną   m oż na utoż- samić  z  konfiguracją   począ tkową   [(x a ,  y a ,  z a )  s  (x, y, z)],  a  przemieszczenia  v a (x a ,  y g )  •   t Rys.  1. 30 A.  K I S I E L ,  S.  P I E C H N I K zan iedbać  ja ko  m ał e  wzglę dem  r„ .  Wykorzystują c  zał oż enie  (a)  m oż na  przyją ć  B(t) = =  B o   •   t.  Z  zależ n oś ci  (2.1)  otrzym uje  się   wówczas (2.2)  Aw a   =  Aw  =   B Q - yAz- t, c o  m o ż na  zapisać  także  w  postaci Aw  -   Aw  •   t. Z  lin iowych  zwią zków  geom etryczn ych  C auch y'ego  otrzymujemy (2- 3) ską d (2- 4) «,  =   k z (x,  y,z)- t  =  l u n  ^ L * AZ e z (y)  -   Bo •   .F •   f , N i e  ogran iczają c  ogóln oś ci  rozwią zan ia  przyję to  B (>   >  0. Aby  zagadn ien ie  postawion e  w  p.  1 rozwią zać  dla  dowoln ego  kształ tu  przekroju  po- przeczn ego,  ukł ad  współ rzę dn ych  (x, y,z)  należy  zwią zać  z  pewnym  charakterystycznym u kł ad em  współ rzę dn ych  dla  każ dego  przekroju.  N iech  bę dzie  n im  ukł ad  gł ównych  cen- t raln yc h  osi  przekroju  poprzeczn ego  (osie  x*,  y*)  i  osi  prę ta  (oś  z)  (rys.  2) . \ (2.5) lu b (2.6) Rys.  2. Z wią zki  tran sform acyjn e  przedstawiają   się   wię c  w  sp o só b: X*  — x  •   c o sa +  (j/  — a)  •   sin a, j ' *  =   — x  •   sin a + (y — u) •   cos a, x  =   x*  •   cos a— y*  •   sin a, y  — x*  •   si n a + j; *  •   cos a +  a, gdzie a  —  ką t  m ierzon y  przeciwn ie  d o  ruch u  wskazówek  zegara  od  osi  x  do  osi  x* REOLOG ICZN E  EFEKTY  PRĘ TÓW a —  m iara  odległ oś ci  ś rodka  cię ż koś ci  przekroju  poprzeczn ego  S od  osi x,  ró wn a  współ - rzę dnej  y(S).  Wielkość  « jest  zależ na  od  czasu,  jed n ak  n a  podstawie  r o zu m o wa n ia prowadzą cego  do  zależ noś ci  (2.2)  m oż na  przyjąć  a(t)  =   con st. 2.2.  Stan  naprę ż enia i odkształ cenia.  Wykorzystując  zał oż en ia  (a)  i  (d)  o r a z  zwią zki  fi- zyczne  (0.1), w prosty  sposób  m oż na  okreś lić  ten sory  prę dkoś ci  odkształ ceń i n ap rę ż eń, które  speł niają  kom plet  równ ań  geom etrycznie  liniowej  teorii p eł zan ia: (2 . 7 ) e s = =   k y =   - 0 , 5 - flo - y. £ X y  =  £xz  =  Ż yz  =   0 > śz  =   B o   •  y, =   C™  =  c xz   —  a yx   — 0, (2 . 8 )  ff2  , Z  zależ noś ci  (2.6) i (2.7)  wyn ika,  że  w  pun ktach  leż ą cych  n a  osi x prę dkość  odkształ cen ia h.  oraz  n aprę ż en ia a z  są równ e  zero,  stąd  oś  tę  bę dziemy  dalej  nazywać  osią  oboję tn ą. Statyczne  warun ki  brzegowe  speł n ione są w sposób  ś cisły  jedyn ie  dla  r o zkł a du  obcią- ż eń  q vx   przył oż onych  d o  ś cianek  poprzeczn ych  prę ta  (rys.  3) : W  innych  przypadkach  wykorzystujem y  zasadę  d e Sain t- Ven an ta. Rys. 3. 2.3.  Stan  przemieszczenia.  Okreś lone  powyż ej  odkształ cen ia  pozwalają  z  ró wn ań C auchy'ego  wyznaczyć  nastę pują ce  funkcje  przem ieszczeń : (2.9)  u(x,y,z,t)=  - 0,5-  B 0 - x- y  t+a Q   + b a - y + c 0 -   z, (2.10)  v(x,  y,  z,  i) =   - 0, 25  •  B 0 {- x z +y 2 +2  •  z 2 )  •   t+d o ~b 0   •  x+f 0   •  z, (2.11)  w(x,y,z,t) =  B Q - yz-  t+e 0 - c 0 -   x- f 0 -   y, gdzie  stał ą B o   należy  wyznaczyć  ze  statycznych  waru n kó w  brzegowych  n a  ś cian kach  p o - przecznych  prę ta,  n at om iast  stał e  a 0 , b 0 ,  c 0 ,  d 0 ,  e o ,f o  — z  kin em atyczn ych  wa r u n kó w brzegowych  dla  czasu  t =  0.  P rzy  pom in ię ciu  zał oż enia  (c), wielkoś ci  a0—f0  n ależy  t rak- tować ja ko  liniowe  funkcje  czasu  t, a dodatkowych  sześć  stał ych  wyznaczyć  z  wa r u n kó w począ tkowych  n ał oż on ych  n a  prę dkoś ci. Stał a  B o   posiada  in terpretację  prę dkoś ci  gł ówn ej  krzywizn y  powierzch n i  oboję tn ej k Q ,  co pokazan o  niż ej  (rys.  4).  P rzyję to  n astę pują ce  ozn aczen ia: Az 0   =   g o (t)  •   ń cp{t)  — dł ugość  wł ókna  równ oległ ego  d o  osi  z  przed  deform acją, kt ó re  w czasie  /  n ie  dozn aje  odkształ ceń, 32 A .  KI SI E L,  S.  PlECH N IK Az(y,  t)  =   [Qo(O+y]'  Acp(t) —  dł ugość  wł ókna  równ oległ ego  do  osi  z,  odległ ego  o  y  od powierzch n i  oboję tnej  (utworzon ej  z  osi  oboję tn ych  każ- dego  przekroju  poprzeczn ego),  zm ien n a  w  czasie  defor- m acji, Qo(t) —  prom ień  gł ównej  krzywizny  powierzchn i  oboję tn ej, Q(t) —  prom ień  gł ównej  krzywizny  osi  prę ta, a —  odległ ość  osi  prę ta  od  osi  oboję tn ej, A(p(t)  —  kąt  mię dzy  są siednimi  przekrojam i, «O ( O J  * O —  gł ówna  krzywizna  powierzchn i  oboję tnej  i  jej  prę dkoś ć. Rys.  4 Z  rys.  4  odczytujem y: £ z(y,  0  =   £z(y)'  t  =  lim ską d,  o raz  z  (2.3) P on ieważ więc t)- Az 0 =   lim  - ^ Q 0 (t)  • =  B 0 - t. -  -   «o(0, B o - 1  =  x o (i),  B o   — x o (t)  —  con st. 2.4.  Zredukowany  ukł ad  sił  wewnę trznych  w  ukł adzie (**,  y*,  z)  W  celu  praktyczn ego  zasto- sowan ia  ot rzym an ych  wyn ików  n ależy  skorzystać  z  zasady  de  Sain t- Ven an ta.  Ponieważ zred u ko wan y  u kł ad  sił   wewn ę trzn ych  n a  ogół   podawan y  jest  w  ukł adzie  gł ówn ych  cen- t raln ych  osi  przekroju  poprzeczn ego,  dlatego  w  tym  wł aś n ie  ukł adzie zredukowan o  obcią- ż en ie  p rzył o ż o ne  do  ś cian ek  poprzeczn ych  prę t a. REOLOG ICZN E  EFEKTY  PRĘ TÓW  33 Z  równań  równ oważ n oś ci  wyn ika: (2.12)  N z (2  13) F Z  budowy  macierzy  n aprę ż eń  (2.8)  widać  od  razu,  że Q x .  =  Q y *  =   M z  =   0. Aby  uzyskać  wygodn e  wielkoś ci  do  tablicowan ia,  wprowadzon o  u kł ad  wsp ó ł rzę d n ych bezwymiarowych  (xr,  y',  z'),  zdefin iowan y  zwią zkami x*  =  x' •  r, y*  =   y'  •  r, z  -   z'. Jakobian  tego  przekształ cen ia  J(x',  y')  =  r,  gdzie  r jest  dowoln ą   stał ą   o  wym iarze dł ugoś ci.  W  niniejszej  pracy  przyję to,  że  r jest  prom ien iem  k o k  o ś ro dku  w p u n kcie  S> zawierają cego  cał y  przekrój  poprzeczn y. D la  wygody  obliczeń,  cał kowan ie przeprowadzon o w  ukł adzie współ rzę dn ych  (x, y, ź ) okreś lon ym  zwią zkami  (2.6).  P rzekształ con o  wię c  zwią zki  (2.12) -  (2.14),  podstawiają c naprę ż enie a z  wyraż one w ukł adzie  (x, y,  z) i przedstawion e  zależ noś cią   ( 2.8) : (2.15)  N t   =  a 0 -   By"  •   ,- <1+ 2- ">/" •  jf  s gn ( / )  •   | y | V W , F' (2.16)  M xt   =   o-o  •  Bh"'  •   ?- cl+ 3- ")/"  •  f  f  sgn (y')  •   I / I 1 ' "  • [ - *'  •   sin a +  ( y ' - a ')  •   cos /"  •  ) Jsgn(y')  • tyf'"  •   [- xr  •   cosa- (y'- a')  •  sina]dF'. V D alej  przyję to  ozn aczen ia: (2.18)  B N =  ao- By- r^ 2 "*", (2.19)  B M  =   a 0  •   B 1 '"  •   r < 1 +  3- «V»  =   B N   •   r, (2.20)  N '  = Jj  sgn(y')  •   {y'l^ dF', F' (2.21)  M' x .  =  J / s g n ( / ) -   l/ l1/ "-   [~x'  •  sina+  (y'  - a')  •   cos '|1/ " •   l- x' •  cos  a~{y'- a')- sina]dF'. F" Wielkoś ci  N ',  M' x *,  My* zależą   tylko  od  kształ tu przekroju  poprzeczn ego F' i jed n ej  st ał ej m ateriał owej  n.  Zwią zki  (2.15) -  (2.17) m o ż na wię c  zapisać  w  p o st a c i: (2.23)  ,  N   =  B N - N ', 3  M ech .  T eoret.  i  Stos.  1/81 34 A.  KI SI E L,  S.  PIECH N IK (2.24)  M xt =B M - M' xt , (2.25)  M yt   =  B M - My t . Z  zależ noś ci  (2.24)  i  (2.25)  moż na  wyznaczyć  wielkość  B M   jako  funkcję  momentu M = =   \ M\   =  (M^  +  M^ )1!2. Z  (2.19)  oraz  warunku  B o   > 0  wynika  B M   > 0,  więc (2.26)  B M   =   MJ(M' x l+M'*yi\ Korzystając  z  ostatniej  zależ noś ci  oraz z  (2.19)  moż na  wyznaczyć  stał ą  B o   jako  funkcję momentu  M: (2.27)  B o   =   (To" •   r~ l~ 3  • " •   ( M £ + M ; 2 ) " " ' 2  •   M". Podstawiając  (2.26)  do  (2.23) -  (2.25)  otrzymujemy: (2.28)  N - r/ M  =  N 'l(M' x l- (2.29)  M X JM  =  cos *  (x*, M) = (2.30)  M y jM  =  sin *  (x*, M)  = Z  postaci  zwią zków  (2.28) -  (2.30)  wynika,  że dla ustalonego  kierunku  wektora  mo- mentu M i ustalonego  stosunku N / M (niezależ nie od wielkoś ci  N  i M), kąt zawarty mię dzy osią  oboję tną  x i  osią  x*  oraz  miara  odległ oś ci a osi oboję tnej  od ś rodka  cię ż koś ci  S (od tych  wielkoś ci  zależą  wartoś ci  N ', M x *  i M yt )  pozostają  stał e. Jest to wł asność ogólna dla dowolnego  zwią zku  fizycznego  typu ff;j-  =  fft}(ś jj)  przy  zał oż eniu, że moż na go przedsta- wić jedną  funkcją  cią głą  w  obszarze  przekroju  poprzecznego  (por.  [2]). F akt  ten  jest  cenną  wskazówką  dla przejrzystego  tablicowania  funkcji  (2.28) -   (2.30), bą dź  innych  wielkoś ci,  które  opisano  niż ej.  Ponieważ  nie jest  moż liwe  przedstawienie zamknię tych wzorów  n a cał ki  (2.20) -  (2.22) dla dowolnego  kształ tu obszaru  F', w pracy wyprowadzono  odpowiednie  wzory  i  uł oż ono  program  na maszynę  cyfrową  dla obszaru opisanego  dowolnym  wieloką tem.  Posł uż ono  się  przy  tym  nastę pują cym  algorytmem: a)  W  celu  uniknię cia  niejednoznacznoś ci  w  przypadku  przekrojów  wklę sł ych  bą dź wielospójnych,  należy je podzielić n a skoń czoną  ilość  wieloką tów  wypukł ych. b) Cał kę po cał ym  obszarze  oblicza  się jako  sumę  cał ek  po wieloką tach  wypukł ych. c)  Cał kowanie po wieloką cie  wypukł ym  oparto na spostrzeż eniu, że każ dy  taki wie- lokąt  moż na w sposób jednoznaczny podzielić na skoń czoną  ilość  trapezów  o  pod- Rys. 5. RnOLOG ICZN E  EFEKTY  PRĘ TÓW  3 5 stawach  równoległ ych  do  dowolnie  danego  kierun ku.  Z akł adają c,  że  tym  kierun - kiem  jest  oś  oboję tna  x  (rys.  5),  wzory  na  cał ki  (2.20) -  (2.22)  dla  pojedynczego trapezu  moż na  przedstawić  w  sposób: M' x ?  =   ( M . ; D  _ JV'D   •  a) •   cos (t  -   t k )  =   0,  czas  powstania  pierwszych  pę knięć  m oż na  okreś lić wzorem (2.31)  t k   =   1/ [A •   (m +1)  •   ( cr z m a x) '"], gdzie  A,  m  są   stał ym  M ateriał owym i. 3.  Zebranie wyników i podsumowanie Podstawiają c  we  wszystkich  zależ noś ciach  wielkość  okreś loną   zależ noś cią   (2.27), otrzym an o: a)  Stan  odkształ cenia e x   =   s,  =   - 0 ,5  •  y'  •   (M x 2 ,+M' y i)~ nl2   •   lM/ (ff 0   •   r3)]"^ •   t, (3.1)  e a  =   y  •   {M'xl  4- M ; 2 , ) - "'2  -  [M/ (tf0  •   r 3 ) ] "  •   t, "Wprowadzają c  oznaczenie (3.2)  s'(y')  —  y'ftM'Ji+M'yl)"!2, moż na  krótko  zapisać: —  maksymalną   prę dkość  odkształ cenia (3.3)  m ax  •   e z   =  e s (y'  =  y^ „)  =  e'(y'  =   y' max )  •   [Af/ (tr0  ' r 3 )]" —  prę dkość  odkształ cenia  osi  prę ta (3.4)  e 0   =   i , 0 "  =   a')  =   e'(y'  -   a1)  •   [M/ (a 0   •  r 3 )]". 3 * 36  A.  KISIEL,  S.  PIECH N IK Wielkoś ci  s'(y'  =   y' mlL K )  i  e ' ( /   -   a')  są  bezwymiarowe  i  zależą  tylko  od  kształ tu  prze- kro ju  poprzeczn ego  i jed n ej  stał ej  m ateriał owej  n —  są  więc wielkoś ciami wygodnymi do t ablico wan ia. b)  St an  n aprę ż en ia ffx = ffy =   0 , (3.5)  a z   =   M   •  r " 3  •   (M'/ .+M'2)- 1'2  •   sgn ( / )  •  )|/ |V», Oznaczając  bezwymiarową  wielkość  naprę ż enia  w  sposób (3.6)  ff'(y')  =   (M'Ji+M'yir1'2  •   sgn  ( / )  •   |/ |i/ » maksymalną  wartość  naprę ż enia  rozcią gają cego  moż na  wyznaczyć  z  zależ noś ci (3.7)  m ax •   a z   =>  a'{y'  =   y' max )  •  M/ r 3 . c)  St a n  przem ieszczen ia  (w  ukł adzie  współ rzę dnych  (x',y',z)): u(x',  / ,  z, t)  ==   - 0 ,5  •   eto" •   r - *- »'"  •   (M.;2, +  M ; , 2 r "' 2  •   M " •   /   •   x'  •   t+a Q +b 0   •  y' + c 0   •  z, (3.8)  v(x',  y',  z,  0  =   - 0 , 25 •   cró" •   r'^ 2"  •   (M'Ji+M'yi)- '1'2  •   M " •   (y'2- x'2+2  - z2)  •   ł  + +  d o - b o   •   x'  + e 0 -   z; w(x',  y',  z,  0  =   o- o" •  r - 1 " 3 "  •   (M' x l + M' y l)- "' 2   •   M"- y'- z-  t+f Q - c 0   •   x'- g 0   •  y'. P onieważ  stał a  £ 0   posiada  interpretację  prę dkoś ci  krzywizny  powierzchni  oboję tnej, więc  wprowadzono  bezwymiarową  wielkość (3.9)  *ó  =   ( M ; 2 , + M ; 2 ) - "'2 , ską d: (3.10)  B a   =   ^ • fr o "- r -1 - 3 - "- M ". d)  Czas  powstania  pierwszych  pę knięć (3.11)  t k   =   1/[A  •   (m +  1) •   ( t f'0'  =   ^,ax))m] •  O W 1 . Analogicznie  oznaczono  bezwymiarowy  czas  zniszczenia (3.12)  4  =   l/ [(m +  l)  •   (a'(r'  =   y^ ) ) "- ]. Z  postaci  zwią zku  (2.27)  wynika,  że  wszystkie  wielkoś ci  okreś lone  w  tym  punkcie zależ ą , od  cał ek  (2.20) -  (2.22),  które  w  istotny  sposób  są  zależ ne  od  sił   dział ają cych  na prę t.  Stąd  rzeczą  korzystną  jest  ich  tablicowanie.  Ponieważ jednak  ze  wzorów  przedsta- wiają cych  rozwią zanie  zagadnienia  moż na wybrać  pewne  bezwymiarowe  wielkoś ci  zależ ne od  tych  wł aś nie  cał ek, więc  program  na  maszynę  cyfrową  tak  uł oż ono,  aby  bezpoś rednio te  wielkoś ci  tabelaryzować. P rzykł adowe  wyniki  przedstawiono  w  postaci  wykresów  n a  rysunkach  6  i  7.  Moż na się  nim i  w  prosty  sposób  posł uż yć  przy  wstę pnym  wymiarowaniu  mimoś rodowo  rozcią- ganych  elementów  prę towych  konstrukcji  pracują cych  w  warunkach  peł zania ustalonego, bą dź  (interpretując  wielkoś ci  kinematyczne jako  statyczne)  w  warunkach  fizykalnie  nie- liniowej  teorii  sprę ż ystoś ci.  D la  celów  dokł adnego  projektowania  należy  posł uż yć  się program em .  P rogram  i  sposób  jego  wykorzystania  oraz  numeryczny  przykł ad  przedsta- wiono  w  sprawozdaniu  realizacji  problemu  wę zł owego  05.12,  temat  13.1. REOLOG ICZN E  EFEKTY  PRĘ TÓW 37 Rozwią zane  w  niniejszej  pracy  zagadnienie  mimoś rodowego  rozcią gania  pozwala na  ł atwe  wykorzystanie  otrzymanych  tu  wyników  w  analizie  wyboczenia  w  warunkach peł zania  ustalonego,  umoż liwiając  jego  rozwią zanie  bez  powszechnie  wprowadzanych przez  autorów  ograniczeń,  dotyczą cych  dowolnoś ci  kształ tu  przekroju  poprzecznego prę ta  i jego  obcią ż enia. o !*• > o to " o p - o 5.0 cn o 7,0 8,0 " O 2 O o  o o  - "vj  CD  w  b ' 'li •   *« 1 £ ' i l 3 5 -   i 9 II - - i ; -   I I , 1 ! - - - - 1   1   . Ol  c_i  Ln o  o  o r  i \ \ \ \ A  '• \ 1 \ \. • 1 1   : t  ' j1 - I I | " 1 1 1| 1 1 \ -   \ - i \ \ 1   1 l i DZD  : ILTIUJ- \ \ l\ O O "1 m. N D - - I _»  _*  NJ Ul  O  Ul  Oo  o  o  o I!1  '  '  k \ \ \ \ \   \ \   \ 1   \   K \ -ł  \   - !  \ j 1 i1 - t i 1 1 A  -\\ i 1 1 \ \ \ \ \ \   ' • ,   A Ln  c - *  Is- 1  ro  LJ )  Ul  O  l ^  Qo  o  o  o  o  o i\;  s !\   f W  s- \ \ \  \. \   X  . 1  \   "s> 1   \ 1   \ N\\\\\\  .\\\\\\\\\\\\  -\\\ 1  i  i  i  i  i  i w a 1 II I 1 ii -  1 i 1 -   I ii ł  i! 1 t  r~ Q *<" u L - i i t1 1 o  p o  o "—>•   f N j  U J  " { - • 1 :  1 1i 1 F 1 I i | [ - - i 1 1 - - - _ 1 Rys.  6. °  ° - o —* ui o Di o ~--J "CO lO O O O O O o  p  o p .  L\ 1,0 I­O "o LJ O i.O U l 6,0 7,0 s z s. o I ­ ­ ­ I I o •A 1 i ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ \ \ \ \ \ i—i—r~ Jl \ \ \ \  \  . \  S \ \ \ \ \ I I I n—r \ \ \ \ \ \ N II \ i" Rys.  7. [381 REOLOG ICZN E  EFEKTY  PRĘ TÓW  39 Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  M .  CH RZAN OWSKI;  Zniszczenie  kruche prę tów mimoś rodowo  rozcią ganych  przy  uwzglę dnieniu  peł zania ustalonego,  Rozpr.  I n ż. T .  16,  z.  4,  1969. 2.  A.  JAKU BOWICZ,  T echniczna teoria zginania prę tów  dla pewnego przypadku  materiał u  fizykalnie  nieli- niowego,  Rozpr.  I n ż.  T.  10,  z.  3,  1963. 3.  Ł. M.  KACZAN ÓW;  T ieorija polzuczesti, F itmatgiz, M oskwa  1960. 4.  F . K. G .  OD QVIST;  On  theories of  creep rupture, P ubl. nr  136  Institutionen  fSr  hallfasthetslara,  K u n gl. Tekniska  H ogskolan,  Stockholm, 1961. 5.  S.  P IECH N IK; Combined tension- bending  creep for  a solid bar, Trans, of  the Royal  Inst.  of  Technology, nr  194,  Stockholm  1962. 6.  S.  PIECH N IK; Peł zanie prę tów pryzmatycznych  przy  ł ą cznym obcią ż eniu, Zeszyty  N aukowe P olitechniki Krakowskiej,  n r  1,  Bud.  Lą d.,  Kraków  1963. 7.  S.  PIECH N IK,  M.  CH RZAN OWSKI;  T ime  of  total  creep rupture  of  a  beam  under  combined  tension  and bending,  Inst.  J.  Solids  and  Structures, vol.  6,  1970. 8.  I. N .  RABOTN OW;  Poł zuczest'  elementów  konstrukcji,  M oskwa  1966. P  e  3  IO  M e P E OJI OrOT E C K H E  3< J> *EKTLI  B  H 3rH BAE M LI X  H   PA3TKrEEBAEM BIX M E TAJI JI I M E C KH X  BAJIKAX ITpHHHMaa  creneH H biH   3aiKHeft  o  npojraBOJiBHOH   dpopme  n on epeTffloro ceiieH H H .  I TpeflnojiaraH j  H TO  HeKOTopŁie  napaiweTpw  He(J)opMa^HH   BbinojiH H MT  CHCTeMy  ypaBH eH H H 3 noiKeH na  CH JI  H c n o jia a io m e r o  TO^IH O  cTaTjjqecKH e  K paeBwe  ycjioBim,  a no^yiieH O  Bee KoivinoHeHTbi  TeH 3opoB  H anpaH KH a.  I I pH B BŁreH CJiemia  H eonpeflejieH H Bix  napaiweTpoB. S u m m a r y REOLOG ICAL  EF F ECTS I N   METAL  BEAMS  U N D E R  BE N D I N G   AN D  TEN SION The  problem  of  simultaneous  tension  and  bending  of  prosmatic  bar  of  arbitrary  cross- section  shape has  been  solved  in  the  case  of  the  steady  state  creep  law  in  the  power  form  (Odquist's  law)  and  linear Cauchy  and  N avier  relations. Assuming  that  certain  parameters  of  deformation  satisfy  the  system  of  equations.The  m ethod of the  application  of  loads  satisfying  exactly  the  boundary  conditions  was  shown,  an d  the  components  of the  stress  tensor, rote of  strains  and  displacements  have  been  obtained  as  well as  th e time of  crack  initia- tion  (according  to  Kachanov).  The  state  of  the bar  deformation  was  subjected  to  detailed  analysis.  The numerical  algorithm  of  unknow  parameters  of  deformation  has  been  given. P O LI T E C H N I K A  KRAKOWSKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  19  marca  1979  roku.