Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1, 19  (1981) ZAG AD N IEN IA  KON C EN TRAC JI  N AP RĘ Ż EŃ   W  OTOC Z E N I U   OTWOR ÓW  W  OŚ R OD KU N I E JE D N OR OD N YM .  C Z Ę ŚĆ  I I . i W.  1.  A N D   R E J E  w  ( M O SK WA) W  pracy  tej  wyprowadzon e  są  równ an ia  sprę ż ystego  i  sprę ż ysto- plastyczn ego  zagadn ie- n ia  gruboś ciennego  walca  i  gruboś cien n ej  kuli  z  m at eriał u n iejedn orodn ego.  P rzyt oczon e są  pewne rozwią zan ia  dla  róż n ych  ch arakterystyk  m ech an iczn ych zależ nych  od  p ro m ien ia. Wyniki  obliczeń  mogą  być  wykorzystan e  do  oceny  st an u  n aprę ż eń  w  po bliżu  otworów w  oś rodku  n iejedn orodn ym .  P rzytoczon e  są  także  pewn e  wyniki  obliczeń  dotyczą cych zadan ia  o  masywie  sprę ż ystym  z  pustką  kulistą,  z  uwzglę dnieniem  sił   obję toś ciowych. 1,  N iech  gruboś cien ny  walec  sprę ż ysty,  o  prom ien iu  wewn ę trzn ym  a  i  zewn ę trzn ym b  jest  obcią ż ony  równ om iern ym i  ciś n ien iam i,  odpowiedn io  p a   i  p b .  M at eriał   walca  jest n iejedn orodn y  i  w  ogóln ym  przypadku  jego  sprę ż yste  ch arakterystyki  —  m o d u ł   Yo u n ga i  współ czynnik  P oisson a  są  dowoln ym i  funkcjami  p r o m ien ia :  E(r)  i  v(r).  P rzytoczm y podstawowe  równ an ie  w  biegun owych  współ rzę dn ych  /• ,  6.  R ó wn an ie  r ó wn o wa gi: R ówn an ie  zgodnoś ci  odkształ ceń: (1.2)  i L e ± + J l Z dr  r P rawo  H o o ke ' a : £ r  =   lir)  fo- ' (1.3)  e e   -   £ ~ y  [cr o - v [ R ozpatrując  dostateczn ie  dł ugi  walec  i  przyjmując  dla  prostoty  e 2  =   0  (w  p rzyp ad ku E,  =  e 0   róż n ice  bę dą  n iewielkie),  z  ostatn iego  ró wn an ia  (1.3)  znajdujemy  a z ,  i  wyraż ając z  (1.1)  a 0   przez  a r   otrzym am y  wzory  n a  er  i  e0 (1- 4) 1  rf V £, =   —W "  lc'([  ~2v)- vro' r ], 4 2 W.  I,  AN D REJEW Tutaj  i  dalej  prim  oznacza  róż niczkowania  wzglę dem  promienia.  Podstawiając  (1.4) do (1.2)  otrzymamy  podstawowe  równanie  rozwią zują ce  na  a r : l - 2r  E' D la  v  — const  równanie  (1.5)  upraszcza  się a  w  przypadku  materiał u  nieś ciś liwego  (v —  0.5)  przyjmuje  najprostszą  postać: Cał kę  ostatniego  równania  moż emy  otrzymać  w  postaci  ogólnej  dla  dowolnej  funkcji E(r).  Oznaczając  y  =  a' r ,  dostaniemy stąd i  ostatecznie (1.6) £(/• ) —  3 - D rugie naprę ż enie CT0 ł atwo znajduje  się z  (1.1). pczywiś cie, z  (1.6)  otrzymuje  się  roz- wią zanie  dla  materiał u  jednorodnego  (JE  = const) E (1.7) a r   =  c 2 - c x 2r 2  " W  przypadku  materiał u  ś ciś liwego  (v =   const  #   0.5)  rozwią zanie  równania  (1.5a) istotnie  zależy  od  postaci  funkcji  E(r)  i  dla  pewnych  zależ noś ci  może  być  sprowadzone do  równań  klasycznych.  Tak  na  przykł ad, jeś li E  =   E o r",  to  równanie  (1.5a) jest  równa- niem  Eulera .  ,  1— 2v  n ) ar  =   0 . W  przypadku  zależ noś ci  E{r)  odcinkami  liniowej  (na  rys.  1. jest  ona  pokazana  dla oś rodka  nieograniczonego  (b - *  co)) równanie  (1.5a)  sprowadza  się  do  hipergeometrycz- a  c Rys.  1. ZAG AD N IEN IA  KONCENTRACJI  NAPRĘ Ż EŃ 43 nego,  a  w  przypadku  v  = 0.5  rozwią zanie  otrzymuje  się   w  sposób  elementarny  przy  po- mocy  wzoru  (1.6)  dla  obszaru  a <  r  <  c i  (1.7)  dla  przedział u  c ^  /•   <  co.  N a  Rys.  2. przytoczone są  pewne wykresy naprę ż eń a r   i o"8 dla przypadku  c  — 3as pa  =   0, pb  ~  — yH i  róż nych wartoś ci  k x   =  - ~ .  Widać,  że wykresy  a t   zmieniają   się   nieznacznie  w  porów- naniu  z naprę ż eniami w  zagadnieniu jednorodnym,  podczas gdy  naprę ż enia  a B  w  pobliżu - 2,0r - 1,5 brzegu  pustki  maleją   znacznie  w  miarę   zmniejszania  się   parametru  k u   przy  tym  maksi- mum  naprę ż eń  może  przesuwać  się   od  brzegu  pustki  w  gł ą b  masywu. 2.  W  zagadnieniu  gruboś ciennej  kuli  sprę ż ystej,  obcią ż onej  na  wewnę trznym  brzegu (r  =  a) ciś nieniem p a ,  a  na  zewnę trznym  (r =   b) ciś nieniem pb,  przy  takich samych zał o- ż eniach  jak  w  rozpatrywanym  powyż ej  zagadnieniu  rury  gruboś ciennej,  wś ród  podsta- wowych równań róż nić się  bę dzie  równanie równowagi,  które  we współ rzę dnych  kulistych r,  d,  (p ma  postać (2.1) dr Oprócz tego, uwzglę dniają c,  że  a B   — a ę   i wyraż ając  na podstawie  (2.1) a 0  przez    ^L l- V  E  l- vE  '  l- v W  przypadku  v  =  const  równanie  przyjmuje  postać (2.3a)  *  \   .  -   1 - *  - 44  W.  I.  AN D REJEW a  dla v  — 0.5 ma  najprostszą  postać (2.3b) Ostatn ie  równanie  pozwala  otrzymać  rozwią zanie  w  postaci  cał ki r  E(r)dr (2.4)  < rr=   c  +  Cj P rzytoczymy  n iektóre  rozwią zania  otrzymanych  równań  dla  róż nych  zależ noś ci  £"(/• ). W  przypadku  materiał u  ś ciś liwego  (y — const  ^   0.5) dla funkcji  £(/• ) =  E o  r" równanie (2.3a)  sprowadza  się  do  postaci (2.5)  Q2s"+(4- n) Q s'- 2kns=  0. Tutaj  o =  — ,  k =  —  - ,  s  = —- ,  gdzie  j5- pewne  ciś nienie  charakterystyczne. Rów- «  1 —v  / ? n an ie  (2.5) jest  równaniem  Eulera, którego  rozwią zanie  zapisuje  się w postaci ( 2.6)  s  ==  CIQ^  +  CZQI 1, gdzie ( n - 3)2 W  przypadku  zależ noś ci  przytoczonej  na rys. 1., równanie  (2.3a)  w  obszarze  a <   /•   < c przyjmuje  postać (2.7)  e ( e + yl) s" +  (30+ 4,4)5'~ 2/ cs  =  0, gdzie  A  — —^  =Ą—.  Podstawiają c  g = A(x—  1),  5 =  j( x)  otrzymamy  hipergeome- (h—Ł ja tryczne  równanie  Gaussa (2.7a)  x(x- l)y"  + (3x + \ )y'- - 2ky  =  0, kt ó re  w  skróconej  postaci  da  się  zapisać  [1]  nastę pują co (2.7b)  / / («, /?, y, y, x) .  0, ze  stał ymi y =   - 1 P ostać  rozwią zania  równania  (2.7b)  zależy  od  obszaru  zmiennoś ci  zmiennej  x,  która zwią zana  jest  z  r  zależ noś cią (2.8)  X s , J _  +   i, N a  rys. 3.  pokazan e  są obszary  zmiennoś ci  x w zależ noś ci  od parametru  A.  Zauważ my, że  poł oż en ie krzywych  ograniczają cych  te obszary  xr a a x  dla A  < 0 i  xmin  dla J4 > 0  nie zależy  od  wartoś ci  k t   =  - = Ł -   i  k 2   = —r,  równocześ nie  poł oż enie  krzywych  x mia   dla Ł o   u ZAG AD N IEN IA  KONCENTRACJI  NAPRĘ Ż EŃ 45 A  < 0 i xm a x  dla A > 0 zależy  od k 2. W ten  sposób,  obszar  zmiennoś ci x  m oż na  rozbić na  dwa. A mianowicie, A < 0 x ^  0, oraz A > 0 x ^  1. Wówczas  rozwią zanie  równ an ia (2.7b)  jest  znane  tylko  dla obszaru  0 < x <  1,  a  rozwią zanie  dla pólprostych  x <  0 i  x > 1 otrzymuje  się przy  pomocy  okreś lonych  podstawień.  Oddzielnym  przypadkiem est  .4 =   0, gdy  X jest  nieokreś lone, ale  w  tym przypadku  bezpoś rednio z (2.7)  otrzymuje- my  równanie  Eulera. Przytoczymy  rozwią zanie  dla  przypadku  A >  0.  Podstawienie  £ =  — ,  y(x) = —  M~ a??(£) sprowadza  rozwią zanie  równania  (2.7b)  do rozwią zań  równania (2.9)  H( ai ,p i ,y l ,r l ,i)  =  0, dla  obszaru  0 ̂   £ < 1. Przy  tym (2.10)  oq =  a,  & =  a - y  +  1,  yt =   B - / J + 1, jeś li yx  nie jest liczbą  cał kowitą.  Rozwią zanie  równania  (2.7b)  wyraża  się  przez  hipergeo- metryczne  funkcje  F- t   [2] i po  nie  skomplikowanych  przekształ ceniach moż na  otrzymać wyraż enie  dla  naprę ż eń: (2.11) Tutaj l - l 1- f ']} gdzie  *!, / ? , ,  y,  zgodne  są z  (2.10),  a  a 2 =  a j - yi  +  1,  /S2 =  / ?i- yi +  l,  Vi =   2 - yl t a 3  =  oit + 1,  f}3 =  ĵ i +  l,  ..., y4 =  y2 +  l-   Stał e  rozwią zania  (2.11)  moż na  wyznaczyć z  warunków  brzegowych  dla  i  «•  | Ł   i  £ «•  fa,  odpowiadają cych  brzegom  kuli  a  i  A. W  przypadku  gdy  yt  jest  liczbą  cał kowitą,  co jest  moż liwe  tylko  dla  wartoś ci  v  =   - = T- 46 W.  I .  AN D REJEW (dla  O <  v  <  0.5  y L   zmienia  się   od  3  do  1+ 2) / 3,  przy  czym  jedyną   liczbą   cał kowitą w tym przedziale jest y x   =  4) rozwią zania  równania  (2.9) moż na sprowadzić przy pomocy podstawienia do  rozwią zania  równania =   o. Rozwią zanie  powyż szego  równania jest  również  znane i moż na je  znaleźć  np. w  [1]. Jak  już  zauważ yliś my,  w  przypadku  4̂ =   0  równanie  (2.7)  przechodzi  w  równanie Eulera - 2ks  =  0, które  jest  szczególnym  przypadkiem  równania  (2.5)  dla  n  ~  1.  Parametry  a  i  /?, wystę - pują ce  w  rozwią zaniu  (2.6)  są   rzeczywiste,  ponieważ  k — \ - 2v —jest  zawsze  dodat- nie.  Rozwią zanie  (2.4)  jest  waż ne  w  obszarze  liniowej  zależ noś ci  E(r)  (a ^  r <  c), dla ;•   >  c  waż ne jest  rozwią zanie  zadania jednorodnego.^Przytoczymy  pewne  wyniki  obliczeń dla  danego  przypadku  przy  warunkach  brzegowych  /•   =   a,  p a   —  0,  r  =  b  -> co, p b   = =   —yH.  N a  rys.  4.  przytoczone  są   wykresy  zależ noś ci  współ czynnika  koncentracji \ a B (r  =  a)\ naprę ż eń  k a   = od  współ czynnika  Poissona  przy  róż nych  zależ noś ciach 0,05 E i/ E o.  Zauważ my,  że  strefa  niejednorodnoś ci,  dana  zależ noś cią   ale  jest  w  tym  przy- padku  ś ciś le  okreś lona  (dla  A  =   0, —  =   - J- \ -  Z rysunku  widać, że przy silnej niejedno- rodnoś ci  AV pobliżu  brzegu  (Ej / E o — mał e)  wpł yw  współ czynnika  Poissona  może  być dostatecznie  duż y. 3.  Rozpatrzymy  sprę ż ysto- plastyczne  zadanie  o  równowadze  gruboś ciennej  kuli  przy tych  samych  zał oż eniach co  w  p.  2.  Bę dziemy  zakł adać,  że  w  każ dym  punkcie  materiał speł nia  warunek  idealnej  plastycznoś ci,  przy  tym  moduł   Younga  i  granica  pł ynię cia  a r są   funkcjami  promienia (3.1) ZAG AD N IEN IA  KONCENTRACJI  N APRĘ Ż EŃ   47 Przy  przejś ciu  do oś rodka  nieograniczonego  (zewnę trzny  promień  kuli  b - * co),  takie funkcje  asymptotyczne  dostatecznie  dobrze  opisują   rzeczywiste  zależ noś ci.  Oprócz  tego, jak  zwykle w sprę ż ysto- plastycznych  zadaniach bę dziemy  zakł adać,  że  materiał  jest  nie- ś ciś liwy  (v =  0.5).  Rozwią zanie w strefie  sprę ż ystej  zgodnie z (2.4) przyjmuje  postać Drugie  naprę ż enie  otrzymano  z  równania  (2.1),  indeks  odpowiada  strefie  sprę ż ystej. W  przypadku  symetrii  ś rodkowej  warunki  plastycznoś ci  H ubera- Misesa  i  Treski- - Saint  Venanta  mają   jednakową   postać (3.3)  o 0 - o r   =   xa r {r),  « » ± 1 . Podstawiają c  ten  zwią zek  do  (2.1),  po  scał kowaniu  otrzymujemy ( 3- 4 )  - . - l)( m- Z )/a Tutaj  indeks/ >  odpowiada  strefie  plastycznej.  Stał e  C l 5  D, C2,  oraz promienie  brzegów strefy  plastycznej r {  okreś la  się  z warunków  brzegowych  n a powierzchni kuli r  =  a,  a r  =   - p a , (3.5)   r  =   b i  na  wspomnianych  granicach r  =  r t ,  a re —  a rp , (3.5a)  Cffle—Cfre  ~  ^^T^Ti)' Drugi  ze  zwią zków  (3.5a)  odpowiada  punktowi  przejś cia  materiał u  w stan  uplastycznie- nia,  u —jest  przemieszczeniem  promieniowym. Przed  wyznaczeniem  stał ych, należy  zbadać  zagadnienie  powstawania  stref  plastycz- nych.  N a podstawie  zwią zków  (3.2) przejś cie  w stan  plastyczny  zachodzi przy  speł nieniu warunku Po  znalezieniu  maksimum  funkcji  F(r),  otrzymamy  równanie  okreś lają ce  r s  — prom ień , od  którego  zaczynają   pojawiać  się  odkształ cenia  plastyczne ( Tutaj  a =   (3- 7n )(A:r- 1),  /8 =   ( 3+ n ) ( Aj- l),  y  =   ( B + n - m X ^ - l X i fc r - l ).  W  zależ- noś ci  od wartoś ci  n, m, )ti, k T  zachowanie  się   funkcji  F(f)  może znacznie  się   róż nić. N a 48 W.  I .  AN D REJEW Rys.  5. podaliś my  cztery  róż ne postacie  tej  funkcji.  Widać,  że  funkcja  F(r) może nie  po- siadać  maksimum  (krzywa  I),  a  w  przypadku  jego  istnienia,  może  ono  znajdować  się wewną trz  ś cianki  kuli  (krzywa  3) lub  na  zewną trz jej  (krzywe  2 i  4). W  ostatnich dwóch przypadkach  powstają   oczywiś cie  odkształ cenia plastyczne  na wewnę trznym lub zewnę trz- nym  brzegu  kuli.  W przypadku  braku  maksimum, pozostaje  okreś lić  najwię ksze  wartoś ci F(r),  (np.  na  krzywej  I  dla  r  =  a).  Moż liwe  są   również  funkcje  posiadają ce  minimum, np.  dla  n  <  — (m +  3).  W  tym  przypadku  odkształ cenia plastyczne  powstają   kolejno  na powierzchniach  kuli  i  przy  zwię kszeniu  obcią ż enia strefy  ł ą czą   się . Łatwo  znajdujemy  ciś nienie,  gdzie  najpierw  pojawią   się   odkształ cenia  plastyczne. Okreś lając  Cj.  dla  zagadnienia  sprę ż ystego,  zgodnie  z  (3.6)  znajdziemy (3.8)  p s   =  (p a - p b ) s   = 3  « +  3 Tutaj  k 2   =  - T-.  Z  (3.8)  moż na  także  okreś lić  znak  *:, jeś li  tylko  znak wyraż enia  znajdu- ją cego  się   w  pierwszym  nawiasie  kwadratowym  przy  znanych  k,  n i  k 2   jest  znany. N p. d lań  >  0, te =   sign  (p a - p b ). W  zależ noś ci  od miejsca  wystą pienia  strefy  plastycznej  może być  róż ny  dalszy  sposób rozwią zywania.  Rozpatrzmy  przypadek,  gdy  odkształ cenia plastyczne  powstają   wewną trz ś cianki  kuli:  a  <  r s   <  b.  Przy  zwię kszeniu  ciś nienia  p,  strefa  plastyczna  rozszerza  się Flrli , V'-- - :':. Ib  _ a/b  1  a/ r Rys. S. w  obie  strony  aż  do momentu gdy jedna  z granic pokryje  się   z jedną   z powierzchni kuli, a  nastę pnie,  do  cał kowitego  przejś cia  kuli  w  stan  plastyczny.  Oznaczają c  granice  strefy plastycznej  przez  r L   i  r 2   (p. rys.  6). i  dwukrotnie  speł niają c  warunki  (3.5) i  (3.5a), znaj- dujemy  osiem zwią zków  dla  oś miu  niewiadomych: C t ,  C 2 ,  C 3 ,  C 4 ,  D,  rt,  r2  i  B,  gdzie C*3  i  CĄ . —  stał e  rozwią zania  zagadnienia sprę ż ystego,  typu  (3.2) dla  drugiej  (wewnę trznej lub  zewnę trznej) strefy  sprę ż ystej,  a  B — stał a  wystę pują ca  w wyraż eniu na przemieszcze- nia  w  strefie  plastycznej (3.9)  U p  =   7 T Ostatni  zwią zek  otrzymuje  się   drogą   cał kowania warunku  nieś ciś liwoś ci.  Przemieszczenie w  strefie  sprę ż ystej  okreś la  się   z  prawa  H ooke'a  (2.2)  i  zwią zku  Cauchy'ego  u =   s 6r . U kł ad  oś miu  równań  dla  okreś lenia  powyż ej  wymienionych  stał ych, może  być  sprowa- dzony  do  dwóch,  z  których  jedno jest  liniowe (A? ' ZAG AD N IEN IA  KONCENTRACJI  NAPRĘ Ż EŃ 49 a  drugie  przestę pne P 2xo- (3- 11)  - J- —  =  l n lf- + n + 3 W  celu  wyznaczenia  z  tych  zwią zków  promieni  rj  i  r 2   przy  danym  /?  >  p s   stosuje  się nastę pują cą   metodę   odwrotną . Wybierają c  dowolną   wartość  r t   z  przedział u  [a, r s ],  z  (3.10)  znajdujemy  odpowiada- ją cą   wartość  r 2   i dla  otrzymanej  pary wartoś ci  r u   r 2   z  (3.11) okreś la  się  konieczne ciś nie- nie/ *. (Przy dojś ciu  strefy  plastycznej  do jednej  z powierzchni kuli  otrzymuje  się   przypadek zwyrodniał y  i  dalsze  obliczenia  prowadzi  się   jedynie  przy  pomocy  zwią zku  (3.11)  dla /• j  =   a  lu b  r 2   =   b). N a  rys. 7 pokazaliś my  zależ ność p(r l}   r 2 )  dla  przypadku  o r   =   a T a   =   const, fc, =  0.1, n. =  2,  6 ->  oo  (fc2  =   0). Wedł ug  tego  wykresu  moż na  dla  danego  ciś nienia  p  okreś lić 3,0 ~  strefa  odkształ ceń plastycznych 1  r,/ a  1,5  ,  2,0 p/ a Rys.  7. Rys.  8. granice  strefy  plastycznej.  Znają c  je,  pozostał e  6  stał ych  moż na  okreś lić  bardzo  ł atwo z  pozostał ych zwią zków.  N a  rys.  8  pokazane  są   przemieszczenia  punktów  brzegu  pustki w zależ noś ci  od ciś nienia  dla  róż nych  stopni niejednorodnoś ci  sprę ż ystej.  Kół ka  na  krzy- wych  odpowiadają   począ tkowi  odkształ cenia  plastycznego. N a  rys.  9  pokazaliś my  jeszcze  jeden  przykł ad  obliczenia  dla  przypadku  b - > co (k z   =   0), n  = 2, k  m 0.5, m  «=  2 i  róż nych wartoś ci  k T .  W  tym przykł adzie  odkształ cenia plastyczne  pojawiają   się   na  brzegu  pustki  (/•   =   a), a  przy  powię kszeniu  ciś nienia,  strefa plastyczna  (okreś lona  promieniem  /• ) rozprzestrzenia  się   w  gł ą b  masywu.  N a  podstawie przeprowadzonych  obliczeń,  na  rys.  10.  podaliś my  wykresy  przemieszczeń  punktów brzegu  pustki  w  zależ noś ci  od  ciś nienia,  dla  róż nych  wielkoś ci  plastycznej  niejednorod- noś ci.  Porównują c  wykresy  na  rys.  8 i  10  moż na  zauważ yć,  że  przy  duż ych  ciś nieniach niejednorodność  plastyczna  znacznie  bardziej  wpł ywa  na  przemieszczenia,  niż  sprę ż ysta. Jest to zwią zane  z tym, że przy  duż ych ciś nieniach, kiedy  strefa  plastyczna jest dostatecznie 4  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1/81 50 W.  I.  AN D REJEW duż a, jej  rozmiary  mał o  zależą   od  wielkoś ci  sprę ż ystej  niejednorodnoś ci,  a  znacznie od plastycznej. 4.  N a  zakoń czenie  rozpatrzymy  zagadnienie  o wpł ywie  sił  obję toś ciowych  i  asymetrii obcią ż eń  zewnę trznych  na stan naprę ż enia w pobliżu  pustki  kulistej.  Peł ne sformuł owanie zadania  podane jest  w  [3]. W  celu  rozwią zania  zadania posł uż ono się   algorytmem  zapro- Rys.  9. Rys.  10. ponowanym  w  [4].  Programy  i  obliczenia  wykonali  A.  B.  Zoł otow,  W.  I.  Prokopiew, B.  N .  Sidorow  i  autor  niniejszej  pracy.  Poniż ej  krótko  przedstawimy  metodę   obliczeń i  wyniki. N a  Rys.  11.  pokazany jest  schemat  obliczeniowy  zadania,  zgodnie  z  którym,  z nie- jednorodnej  sprę ż ystej  pół przestrzeni wycina  się   ś cię tą   kulę   o  promieniu  R^ ,  a—jest Rys.  11. promieniem  pustki.  Z  powodu  symetrii  wzglę dem  osi  Oz  wystarczy  rozpatrzyć  poł owę kuli.  W  zwią zku  z przyję tą   geometrią   i  obcią ż eniami  oddział ywują cymi  na  rozpatrywany obszar,  warunki  brzegowe  mogą   być  zapisane  w  nastę pują cej  postaci ZAG AD N IEN IA  KONCENTRACJI  N APRĘ Ż EŃ 51 0 =   0,  a  < r 6  =   jc,  a  ^  r  < H v  =   0; =   o (4.1) r  = H arc cos  - =— JTVoo —  sin 20, cosO 0  ^  0 <  arc cos H tf° =  0, =  0. N a  każ dy  element  rozpatrywanej  przestrzeni  oddział ywują   sił y  obję toś ciowe R  =   ycosć ?, 6  =  ysinO. (4.2) W rozpatrywanej  metodzie  mechaniczne stał e  materiał u moż na przyją ć  jako  dowolne funkcje  dwóch  współ rzę dnych, jednak  obliczenia  przeprowadza  się   dla  moduł u  Younga danego w postaci  (3.1) iv  — const.  Sposób  przyję ty  w  obliczeniach  pozwala  na  wypro- wadzenie równań równowagi  na cyfrowej  maszynie  matematycznej. W  tym celu konieczna jest znajomość  funkcjonał ów  energii  odkształ conej strefy  i  pracy  sił  zewnę trznych.  W roz- wią zaniu  zadania  stosuje  się   metodę   elementów  skoń czonych,-  w  której  obszar  dzieli  się kulistymi  i  stoż kowymi  powierzchniami  na  skoń czoną   liczbę   podobszarów.  Zakł adają c, że  wewną trz  (z',/ )- tego  elementu  wszystkie  odkształ cenia  i  naprę ż enia  są   stał e,  moż na dla  niego  napisać  funkcjonał   energii (4.3) gdzie 0 tJ   = •   vu, V u   = Oj a)  / ( !)  = 0,  jeś li  0 H arccos  5—  1 r> COS0  ' punktowi  wę zł owemu  odpowiadać  bę dzie  funkcjonał o wartoś ci  ś redniej w obję toś ci,  ograniczonej linią  kropkowaną   na rys.  12. Zgodnie z twier- dzeniem  o  skoń czenie  wymiarowych  operatorach liniowych  [5], dany  funkcjonał   moż na jednoznacznie  przedstawić  jako  macierz  współ czynników  ukł adu  liniowych  równań algebraicznych,  która  odpowiada  równaniom  równowagi. 52 W.  I .  AN D REJEW W  celu  obliczen ia  prawych  czę ś ci  liniowych  równ ań  algebraiczn ych  wykorzystuje  się wzory  (4.1),  (4.2).  D la  (?5./ )- tego  p u n kt u  wę zł owego F'ti  — RjVu+  [POL .RK(jeś li  r  =   RaJlsu, (4.4) Fjj  =  QjVi^ Yq^ R^ zm  r  -   Rrx>)]s u , gdzie cosdj  i  — c Rys.  12. 3- Pco  i ?m —•  oznaczają   n orm aln e i styczne ciś nienia, przył oż one n a zewnę trznej powierzchni, d an e  wzoram i  (4.1). D la  okreś len ia  współ czyn n ików  ukł adu  i jego  rozwią zan ia  m etodą   G aussa  wykorzy- stuje  się   p ro ced u ry  w  ję zyku  Algol.  Z auważ m y,  że  wzdł uż  prom ien ia  obliczaliś my  nie- równ om iern ą   siatkę , zagę szczają cą   się   przy  brzegu  pustki. W  wyniku  obliczeń, wyznaczono n ap rę ż en ia  w  ś ro d kach  elem en tów,  a  w  celu  obliczenia  n aprę ż eń  n a  gran icach  obszaru zast o so wan o  ekstrapolację   liniową .  P rzed  przejś ciem  do  om ówien ia  wyników  należy powiedzieć  kilka  sł ów  o  oszacowan iu  dokł adn oś ci  obliczeń.  Pierwszą ,  ocenę   cał kową p rzep ro wad zam y  n a podstawie  an alizy  speł n ien ia warun ku  równ owagi  n a  osi  Oz  (rys. 13). C a ł ka  z  obcią ż eń  powierzchn iowych  i  sił   obję toś ciowych  (Weryfikację   przeprowadzono d la  p rzyp ad ku  R x   <  H") Rys.  13. Z AG AD N I E N I A  K ON C E N TR AC JI  N AP R Ę Ż EŃ 53 .1/2 n/ 2 / < o porównywano  z  obliczoną   cał ką   z  naprę ż enia  cr0, oddział ywują cego  na warstwę   poziomą h  =  dtp j  a o rdr Róż nica  pomię dzy  tymi  cał kami dla  pewnych  wariantów  obliczeń  nie przekraczał a 0.4%. Druga  weryfikacja  polegał a  na  porównaniu  naprę ż eń  cr 0  w  punkcie  Ir =   a,  9 =  —I  dla przypadku jednorodnego  (k t   =   1) i  rozwią zania  zadania  o  ś ciskaniu  w trzech kierunkach masywu  z  pustką   kulistą   (p.  [3]).  W  punkcie  tym, jak  pokazuje  analiza  analogicznego zagadnienia  pł askiego  z  otworem  walcowym,  wpł yw  cię ż aru  wł asnego  oś rodka  i  asy- metria  obcią ż eń  zewnę trznych  nie  powinny  się   róż nić  od  bardziej  prostego  rozwią zania. W  rozpatrywanym  zadaniu,  odpowiednie  porównanie  pokazał o, że  w  danym  przypadku też  ma  to  miejsce,  róż nica  w  wielkoś ciach  naprę ż eń  a„ wynosił a  okoł o 2%, co jest  dobrą dokł adnoś cią   dla  metody  elementów  skoń czonych. N a  rys.  14.  pokazaliś my  wykresy  trzech  skł adowych  naprę ż enia  wzdł uż  poziomego promienia  dla  dwóch  wersji  obliczeń:  zadanie  jednorodne  (k t   =  1)  i  niejednorodne (ki  =  0.5)  dla  v  =   0.23,  y  =   21.1  Pa. - zo N a  podstawie  tych wykresów  moż na wycią gnąć  dwa  podstawowe  wnioski. 1.  Wpływ  sił  obję toś ciowych  i  asymetrii  obcią ż enia  zewnę trznego  daje  istotne róż nice w naprę ż eniach a 0   i  ( »- T) Z AG AD N I E N I A  KON C E N TR AC JI  N AP R Ę Ż EŃ   55 toś ci  0, współ czynnik  proporcjonalnoś ci moż na  okreś lić  z rozwią zania  zadania  Łaniego dla  kuli  gruboś ciennej.  Ponieważ  rozwią zanie  ostatniego  zadania  moż na  otrzymać  sto- sunkowo  ł atwo,  to moż na  również  przeanalizować  róż ne postacie  niejednorodnoś ci  dla szeroko  zmieniają cych  się  wartoś ci parametrów. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  3 .  KaMKE; CnpasouHUK  no  oStiKHoeeHHUM  durfifiepemfuaAbHUM ypaanemiHM,  H ayica3 M . 3 1976,  421. 2.  F .  E E H T M E H , A.  SpflEH H i  Bucuiue  mpamą eudewnubie  ^ yumpiu,  rumpzeoMempumcKan  fiyHKą tm,  cfiyHKifuu Jleoicandpa,  H a yio , M . ,  1965. 3.  W  I .  AN D R E JE W;  Zagadnienie  koncentracji  naprę ż eń  w pobliż u  otworów w  oś rodku  niejednorodnym, cz.  I,  M TiS  3,  1980. 4.  A. B.  3OJIOTOB, B. H .  C H AOP OB; AjKopurnMU3a- ą un  icpaeeux sadai  cmpoumenbuou  JitexanuKU  na  9BM, GrpOHTejibifflH   MexaHHKa  H  pacueTBi  coopy>KeH H fi,  Na  5,  1975. 5.  B .  A.  H J I Ł H H ,  H .  I \   I I O 3 H H K ;  JIuueuHaH ame6pa,  H a yK a ,  M . j  1974. P  e 3  IO  M e BOIIPOCŁI  KOH U EH TPAliH H   H AnP^«CEH H fł   BBJIH 3H OTBEPCTH ń  B  HE0Z(HOPOfl;H0fl  C P E^E.  H.  H p a 6 o i a  HBJiHeTca  npoflOJitfceHHeiw  H  pa3BH TneM I   ^lacTH . B Heft  paccmaTpH BaioTCH   pe3yjib- coScTBeHHBix  HCcneflOBaHHH   aBTopa  B  Bo n p o ce  KOH ueH TpamiH   nanpH weH H H  B cpefle.  IIpH BefleH bi  penieH H H   yn p yr o ft  H  yn p yro - n jiad H H ec K o ił   aafla*!  AJI H   TojicTocTenH bix H   m a p a  c  pa3HHraHhiMH   3aK0HaMH   HeoflHopoflHOCTH.  P accM aTpH BaeicH   TaKJKe  3a^ aya o H anpH JKeinrii  B 6 J I H 3 H   nofl3eMH oft  c4>epiwecK0H   n on ocTH   c  yneTOM   co6ciBeH H oro  Beca  cpeflbi  u MeTpHH  BH enmeft  H arpy3KH , p e in e m i e  K o ro po ii  n on yqeH O  HHCJieHHbM   MeioflOM. S u m m a r y STRESS CON CEN TRATION  I N   TH E N EIG H BOU RH OOD  O F  H OLES I N  A N ON H OM OG EN EOU S M E D I U M .  P AR T I I . Author's  results  are considered  referring  to the  stress  concentration in a  nonhomogeneous medium. The  solutions  are discussed  to elastic  and  elasto- plastic  problems  in the  case  of a  thick- walled  cylinder and  a sphere  with  various  laws  of  nonhomogeneity. We also  envisage  the  numerical  solution  the  stress concentration  problem  in the neighbourhood  of an underground  spherical,  cavity  taking  into  account the  forses  of  gravity  and asymmetry  of an extermal  load. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 6  kwietnia  1979  roku.