Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z1.pdf M E C H A N I K A TEORETYCZN A 1  STOSOWAN A I ,  19  (1981) PEŁZAN IE  CIEN KICH   OBROTOWO- SYM ETRYCZN YCH   P OWŁOK  NA  P OD STAWI E  T E O R I I U STALON EG O PŁYN IĘ CIA G R Z E G O R Z  G   A  S  I  A  K  ( O P O L E ) 1.  Wstę p E. C.  BERNETT  [1], a  w ś lad  za  nim i inni badacze  (por.  [2,3]) zauważ yli,  że w  warun- kach  wysokich  temperatur  i  naprę ż eń krzywe  peł zania nie  posiadają   począ tkowej  czę ś ci wzmocnienia.  D oś wiadczenia  przeprowadzone  przez  N .  N .  M ALIN IN A i jego  współ pra- cowników  [2 -  4]  wykazał y,  że  w  przypadku  peł zania  w  zakresie  duż ych  odkształ ceń stopu  aluminiowego  P A7N J )  w  temperaturach  673,  723  i  748°K,  każ da  z  otrzymanych krzywych  peł zania posiada począ tkową   czę ść liniową   (por. rys.  1). Powyż szy  fakt  pozwala na  zastosowanie  teorii  ustalonego  pł ynię cia  w  badaniach  statecznoś ci  przy  peł zaniu. W  pracy  [4]  wykazano  również,  że  w  przypadku  liniowoś ci  począ tkowych  odcinków krzywych  peł zania  teorie  pł ynię cia  i  wzmocnienia  dają   rezultaty  identyczne,  a  wyniki obliczeń wedł ug tych teorii są   bardziej zbliż one  do danych doś wiadczalnych,  aniż eli  wyniki obliczeń,  otrzymane  w  ś wietle  teorii  starzenia. Zastosowanie  teorii  pł ynię cia  przy  peł zaniu w  zakresie  duż ych  odkształ ceń cienkich powł ok  napotyka  znaczne trudnoś ci  natury  matematycznej. D latego  w  literaturze mamy do  czynienia  z  pracami,  w  których  daje  się   rozwią zania  dla  najprostszych  przypadków powł ok,  takich jak  powł oka  sferyczna  i  nieskoń czenie  dł uga  powł oka  walcowa,  obcią - ż onych  stał ym  ciś nieniem  wewnę trznym  [5 - 11]. Próbę  ś cisł ego rozwią zania  powyż szego problemu wedł ug teorii pł ynię cia dla  dowolnej osiowo- symetrycznej  powł oki  zawierają   prace  [11 -  14].  W  pracach  [12,  13]  L.  M . K A- CZANÓW,  stosują c  fizyczne  zwią zki  teorii  ustalonego  pł ynię cia  przy  peł zaniu,  otrzymał ukł ad  sześ ciu  nieliniowych  równań  róż niczkowych  czą stkowych,  opisują cych  formę powł oki,  stan  naprę ż eń  i  odkształ ceń  oraz  zaproponował   numeryczną   metodę   rozwią - zania.  Sposób  ten  w  ś wietle  pracy  J.  ORKISZA  [11]  nie jest  poprawny  ze  wzglę du  na  to, że rozkł ad charakterystyk  ukł adu równań prac  [12,  13] nie pokrywa  się  z liniami, wzdł uż których poszukuje  się   rozwią zania.  Ten sam temat podejmuje  J.  ORKISZ  [11], który  opie- rają c  się   na  szerszych  zał oż eniach (dowolne  obcią ż enie,  zmienna grubość  powł oki,  strefa fał dów),  otrzymał  ukł ad  równań  róż niczkowych  stanu  równowagi  powł oki  prostszy  niż odpowiedni  ukł ad  podany  w  pracach  [12,  13].  P onadto  w  pracy  [11]  zaproponowano numeryczny  sposób  rozwią zania  wyż ej  wymienionych  równań,  lecz  nie  otrzymano  kon- kretnych  rozwią zań.  Próbę   numerycznego  rozwią zania  równań  wyprowadzonych  przez J.  ORKISZA  [11] podję to  w pracy  [14], która  zawiera  niektóre wyniki  liczbowe  dotyczą ce 1 1  Wedł ug  normy  G OST  odpowiada  to  stopu  aluminiowemu  D   16. 58 G .  G ASIAK jednej  powł oki walcowej.  W pracy  tej jednak  nie podano parametrów  peł zania  materiał u. Brak  jest  również  informacji  o  wartoś ci  współ czynnika  wzmocnienia  materiał u, przy którym  uzyskano  warunki  począ tkowe.  F akt  ten  uniemoż liwia  przeprowadzenie  analizy porównawczej  z  rezultatami  uzyskanymi  w  niniejszej  pracy. Podkreś la  się ,  że  bezpoś rednie  wyznaczenie  naprę ż enia  równoleż nikowego  według równania  wchodzą cego  w  zależ noś ci  fizyczne  ukł adu  równań  stosowanych  w  pracy  [14] 0  20  40  60  80  100  t  I s] R ys.  1.  Krzywe  krótkoczasowego peł zania  stopu  aluminiowego  P A7N ,  gdzie  a Q   oznacza  naprę ż enie po- czą tkowe  (w  chwili  t  =   O). jest ucią ż liwe  ze wzglę du n a przestę pny charakter tego równania. W  zwią zku  z  tym  w ni- niejszej  pracy  zastosowano  odmienną  aniż eli w  [14] formę   zapisu  równań  fizycznych. Celem  pracy jest  przeprowadzenie, na podstawie  teorii ustalonego  pł ynię cia przy peł - zaniu,  analizy  stanu  naprę ż enia i  odkształ cenia oraz  liczbowe  wyznaczenie  tak  zwanego „ czasu  krytycznego"  T* dla  szeregu  powł ok  o  począ tkowym  kształ cie  walca  koł owego przy  róż nych  dł ugoś ciach.  Pod  poję ciem  „czas  krytyczny"  T* W myśl  definicji  podanej przez  A.  S.  G RIG ORIEWA  [15] rozumie się   czas,  po  upł ywie  którego  powł oka w  procesie peł zania  traci  stateczność kształ tu. PEŁ ZAN IE  CIENKICH   POWŁ OK 59 2.  Zał oż enia  wstę pne  i  równania  powł oki Przyję to,  że  materiał  powł oki jest  plastyczny  nieś ciś liwy,  izotropowy,  obcią ż enie  do- wolne  osiowo- symetryczne,  a  sama  powł oka jest  wiotka,  to jest  może  znajdować  się  je- dynie  w  stanie  bł onowym  i  przenosić  tylko  naprę ż enia  rozcią gają ce. Rozpatrzmy  cienką,  obrotowo- symetryczną  powł okę  (rys.  2),  która  obcią ż ona  sta- tycznie  w  chwili  t  =  0  ulega  natychmiastowym  odkształ ceniom plastycznym,  a  nastę pnie qJX,Y) Rys.  2.  P owł oka  przed  odkształ ceniem  i  p o  odkształ ceniu zaczyna  peł zać wedł ug  teorii  ustalonego  pł ynię cia. Wprowadź my  w  tym  celu  dwa  ukł ady współ rzę dnych:  pierwszy ustalony X, Y  (typu Eulera), który  zwią zany  jest z nieruchomymi punktami  w  przestrzeni  i  opisuje  formę  powł oki  odkształ conej  oraz  drugi  ukł ad  r, f (typu  Lagrange'a),  gdzie  współ rzę dne  są  sztywno  zwią zane  z  okreś lonymi  czą stkami powł oki  i  charakteryzują  ich  stan  wyjś ciowy.  Posł ugiwać  się  bę dziemy  wielkos'ciami bezwymiarowymi,  które  definiujemy  nastę pują co: x  = H (2.D * - - £- < *2 K P i  = K •  y)  =   Tir^fty), , n gdzie  poszczególne  wielkoś ci  oznaczają:  Hi  i  H  grubość  powł oki  odpowiednio  przed odkształ ceniem i po odkształ ceniu, q n (X,  Y) i q s {X,  Y) obcią ż enie na jednostkę  powierzchni odkształ conej  powł oki  odpowiednio  w  kierunku  normalnym  i  poł udnikowym,  R t   dowol- ny  charakterystyczny  wymiar  powł oki,  a t   i  a 2   rzeczywiste  naprę ż enia  gł ówne,  K  stał a materiał owa  o  wymiarze  naprę ż enia. Oznaczając  kierunek poł udnikowy, równoleż nikowy  i normalny przez 1,2  i 3, to z uwagi na  zał oż ony  pł aski  stan  naprę ż enia  mamy  a 3   =   0. 60  G .  G ASIAK Z ależ noś ci  teorii  ustalonego  pł ynię cia przy  peł zaniu przyję to  w postaci  [16]: et -  ~   =   Cpf,  ix +£ 2 +e 3   -  0, (2.2) ,   , „ _: P1- P2  P2- P3 gdzie  C = T BK"\   hj =  - ~- =  - y  - yŁ   U  =   ] , 2, 3)  oznaczają  prę dkoś ci  odkształ ceń ustalonej  czą stki  w  powł oce, T jest  stał ą  o wymiarze  czasu,  B i m  są  parametrami  peł zania zależ nymi  od m ateriał u i temperatury, p t   i e;  oznaczają  intensywnoś ci  naprę ż eń i prę d- koś ci  odkształ ceń,  gdzie  w  rozpatrywanym  tu pł askim  stanie  naprę ż enia  okreś lone są odpowiedn io  zależ noś ciami 2 Pi ~   V P\  +  .?2 W  pracy  [11]  wyprowadzony  został   ukł ad  równań  róż niczkowych dx  £  coscp  dy  i  sin y 9 |  hx  cos?/) '  3£   fix  c o sy  ' dp x   p L   dh  |  c o sy  /   xQ s   \   p t   df ~W   =   h  di  +   hx 3  cosy  ^ " - P1  +   Jhl^ ~y  f  d$' (2.3) —  (- %-  i  sin X osip \  fh  x  ] dc? 3f  p L hx  cosy) dx  1  „   „_«,«  v  3h  1 ~  -   -   i-  Cprl(Pi+Pi)h, dr  2   r '  v ^ a  r i /   '  5 T  2 opisują cych  formę,  naprę ż enia  i  odkształ cenia  wiotkich  powł ok  obrotowo- symetrycz- nych  w ś wietle  teorii  ustalonego  pł ynię cia  przy  peł zaniu, gdzie f  ~ f(Jt)  oznacza  funkcję opisują cą  zmianę  gruboś ci  ś cianki  powł oki  w stanie  nieodkształ conym, ip oznacza  kąt zawarty  mię dzy  styczną  do poł udn ika a pł aszczyzną prostopadł ą do  osi  obrotu, natomiast co jest  znaczeniem  ip p o  odkształ ceniu. U kł ad  równań  (2.3) w powyż szej  formie  zastoso- wano  w pracy  [14]. W  niniejszej  pracy  w  miejsce  zależ noś ci  (2.3) 5, 6  wprowadzono  równania .  8x  ..  N  dh W pt + pi)  ~- r + x ( 2 P2- Pi)^ -  =  0, (2.4)  _ . •   M I które wynikają  bezpoś rednio z zależ noś ci fizycznych  (2.2). P on adto przyję to  stał ą  grubość ś cianki  powł oki  nieodkształ conej  ( / =   1).  N iewiadomymi  są tu funkcje:  x(f, z),  y(ł j, r), c;(f,  T ) ,  h(J;,  T), Pi(i, t)  i Pz($, r). Rozwią zanie problem ów n a podstawie teorii ustalonego pł ynię cia przy peł zaniu wymaga okreś lenia  stanu  wyjś ciowego  powł oki, opisanego  przez  warunki  począ tkowe  dla  r = 0: PEŁ ZAN IE  CIENKICH   POWŁ OK  61 *(£ », 0)  =   *o ( M ,  y(ft, 0) -   ?„ (&).  *t fi,  0) -   &o(fi), ( 2 - 5 )  fl»(&.0)«c> 0tf,).  P i( ft , O ) - l»t o ( fi).  P i ( *i , 0 ) - pM ( £ ») . gdzie  i =   0,  1,  2,  ..., «. Równania  róż niczkowe  stanu  równowagi  powł oki  ( 2. 3) t _ 4 , (2.4)  uzupeł niają  warunki brzegowe  (por.  rys.  2) : x(0,  T,) =   y(0,  tj)  -     należy  podstawić  sin y.  W  naszym  przypadku |  =   1  i  si n y  =   1.  P o n ad t o  zakł ada  się   Q s   =  0  i  Q„ =   Q o . W  tym  przypadku  podstawowe  ukł ady  równ ań  stan u  równowagi  powł oki  {23)^ ^ .^ i  (2.4)  sprowadzić  m oż na  do  p o st aci: dx  cosro  dp L   Pi  dh  cos

  ,   v  dx  >,  .  dh ( 4 . 1 )  - ^ - - S T ".  / ^ + )  +   ^ 2 ^ 2hp 1 '   P2  =   T C   '"  ~™ET ' ' m gdzie  <2o  ozn acza  obcią ż enie  począ tkowe  (wartość  obcią ż enia  Q  przy  T =   0),  a  7] jest osiową   współ rzę dną   p o wł o ki. U kł a d  ró wn ań  (4.1)  powin ien  speł nić  nastę pują ce  warun ki  brzegowe: x(0,  rj)  =   \ ,  y(0,  rj)  m  0,  h(0,  tj)  =   h 0J , Z  począ tku  problem  powyż szy  rozwią zywano  n a  podstawie  teorii  pł yn ię cia plastycz- n ego  D AVI SA- N AD AI  [17]  przy  r  =  0.  P rzy  obcią ż eniu  g7-  =   2o  rezultaty tego  rozwią zania stan owił y  waru n ki  począ tkowe  (2.5)  do  równ ań  (4.1)  w  przypadku  k  =  1.  P o  każ dym kr o ku  cał ko wan ia  równ ym  Ar  wyniki  zapisywano  w  pamię ci  maszyny.  Kiedy  otrzym an o k  rozwią zań,  ich  wyniki  wprowadzon o  d o  program u  i  rozwią zanie  zadan ia  statecznoś ci przy  peł zan iu  w  ś wietle  teorii  pł yn ię cia  przy  zadan ych  Q,  k  i  Ar  prowadzon o  do  chwli osią gn ię cia  przez  powł okę   „ czasu  krytyczn ego"  T *,  który  otrzym an o  z  warun ku gdzie  e  ozn acza  p a r a m e t r  charakteryzują cy  wielkość  odkształ ceń  w  powł oce. 5.  Analiza  wyników  obliczeń Wyż ej  opisan ą   m etodą   przeprowadzon o  obliczenia  powł ok  o  począ tkowym  kształ cie walca  koł owego  przy  róż n ych dł ugoś ciach  i  obcią ż eniach  począ tkowych  oraz  przy  róż nych p a r a m et r a c h  peł zan ia m at eriał u . PEŁZAN IE  CIENKICH   POWŁOK  63 Rezultaty  obliczeń  przedstawione  na  rys.  3- 8  otrzymano  korzystają c  z  warunków począ tkowych  (2.5)  wyznaczonych  przy  wykł adniku  potę gowego  wzmocnienia  materiał u a = ~-   [18]. Analizują c  rys.  3  stwierdzamy,  że  dla  tej  samej  powł oki, przy  róż nych  Q o3 czas  krytyczny  r*  otrzymuje  się   praktycznie  przy  tej  samej  wartoś ci  intensywnoś ci  od- kształ ceń  odnoszą cych  się   do  punktów równika  powł oki  ef  , czego  należ ało oczekiwać. Z  rys.  4  wynika,  że  w  miarę  zmniejszania  się   parametru  peł zania m,  wartość  T * szybko maleje.  W  charakterze przykł adu na  rys.  5-8  pokazane są   wykresy  zmian  naprę ż eń i  od- kształ ceń  wzdł uż poł udnika powł oki  dla  l t   =   0,5,  1,0  1,25  przy  m  — 10.  N a  rysunkach tych  linie  przerywane  dotyczą   powł ok  wyjś ciowych  (T  =   0),  natomiast  cią głe  dotyczą powł ok w chwili  osią gnię cia  czasu  krytycznego  T =   T* przy peł zaniu. Z analizy wykresów wynika,  że  dla  powł ok  o  dł ugoś ciach l 1   <  1 naprę ż enie równoleż nikowe  p 2   z  upł ywem czasu  T obniża  swą   wartość  w stosunku  do wartoś ci począ tkowej  (oznaczonej indeksem 0). 24 28 32 360 U  8   12   16   20   f Rys.  3.  Krzywe  peł zania dla  punktów  równika  powł oki  przy  róż nych  wartoś ciach  obcią ż enia  począ tko- wego  Q„. Rys.  4.  Krzywe  peł zania dla  punktów  równika  powł oki przy  róż nych  parametrach peł zania m ateriał u  ni. 64 G .  G ASI AK Obn iż en ie  wartoś ci  p 2   zaczyn a  się   w  pewnej  odległ oś ci  od  d n a  powł oki  (por.  rys.  5 i  6) i  dotyczy  jej  ś rodkowej  czę ś ci.  M aksym aln a  róż nica  w  wa r t o ś c iuj  m a  miejsce  na  równiku p o wł o ki.  Z jawisko  obn iż en ia  się   naprę ż enia/ >;, jest  wynikiem  bardzo  intensywnego  oddzia- ł ywan ia  n a  stan  n aprę ż eń  i  odkształ ceń  powł oki  sztywnych,  n ieodkształ caln ych  denek. Oddział ywan ie  t o  jest  t ym  silniejsze,  im  krótsza  jest  powł oka. R 0,6 (W 02 1 00=  055 L,«as m=1O C=500 • " " " " " % • — V- ——— ft p; 0,1 0.2 0.4 R ys.  5.  R o z k ł a d  rzeczywistych  n aprę ż eń  gł ówn ych j>i  i  P2  wzd ł u ż  p o ł u d n ika  p o wł o ki  dla  Ą   =   0,5 p rzy  G o  =   0, 55. 02 f  V-   —  L — 0,2  0.4  0,6  0,8  iecmb ciiAaea  &  16  npu  6OJIUUUX detfopMaifuxx,  H 3BeciH H   B Y 3 O B .  M aiuiiH OCTpoeH ne,  N s 4 ,  197.1. 3.  K ) . H .  E O H H O B ;  Hccjiedaeanue  yenoeuu  noji3ynecmu  6e3 ynpamienun,  H3BecTH5i B Y 3 O B .  MaiiiHHO- CTpoeH H e.  Hs  2,  1973. 4.  K ) . H .  B O H H O B ;  BpeMa  pa.3pyweHun  no  mexmmecKiui  meopuHM  noA3ynecmu,  H 3BC C T H J I  B Y 3 O B . M auiH H OcTpoeH iie.  >Ta  7,  1974. 5.  J I .  M .  K A ^ A H O B ;  T eopun  nomyHecmu,  H 3 «.  *H 3M aTrH 3.  M ocK Ba, 1960. 6.  J I . M .  K AM AH O BJ  Ocuosbi  MexauuKU  pa3pyuiettUH.  H 3fl.  „ H a y K a "  M ocKBa, 1974. 7.  C .  M .  K A I J ;  FIoMyiecmb  u pa3pyiueuue  mpyS  nod  deucmeueM anympeunoBo daejienuM, Hap,.  AH   C C C P j O T H ,  10  1957. 8.  F .  P . J .  R I M R O T T ;  Versageneit  beim  Kriehen,  I n g.  Arch .,  3,  27,  1958. 9.  JO.  H .  P A6 O T H O B ;  noMyuecnib  3/ ieMemnoe  KOHcmpyKvjuu,  H 3fl.  „ H a y K a ",  M ocKBa, 1966. 10.  J I . M .  K A I A H O B ;  O  epeMmu. paspyutenua  s  yenotunx  no/ i3yuecmu,  H 3B.  AH   C C C P ,  O T H   8,  1958. 11.  J .  O R K I S Z ;  Skoń czone  odkształ cenia  wiotkich  osiowo- symetrycznych  powł ok  z  uwzglę dnieniem  reolo- gicznych  wł asnoś ci  materiał u.  Z eszyt y  N a u ko we  P o lit .  K rako wskiej,  n r  11, K r a k ó w  1967. 12.  J I . M .  K AM AH O B ;  noMytecnib  6e3MOMewnnbix  o6ojiouen  spamenun  npu.  6oAbiuux  decfiopMayuRx. C 6. „ H c c jie A.  n o  yn p yro c T H  H  n jiaen raH OC Tu"-   I fefl.  J I F Y, 4,  1965. 13.  J I . M .  K A, I AH O B ;  O  epejuenu  pa3pytueHun  o6oAoueK  e ycAoeunx  no/ i3yiecmu,  M a T e p .  jieTH eii U IKOJIU n o  n p o S n .   sl <£>nameciai  a  reoMeTpH ^ecKH   HejiHHefiHbie  3aflaHH   TeopHH   njiaciH H   H   o6onoM eK", H 3fl.  J I T y ,  T a p T y  1966. 14.  J .  W I L K ;  Peł zanie  wiotkich  obrotowo- symetrycznych  powł ok  niesprę ż ystych  w  zakresie  skoń czonych odkształ ceń .  R o z p r a wy  I n ż yn ierskie,  2,  18,  1970. 15.  A .  C .  TP H ropbEB;  O  epejtenu  SH3KOZO  pa3pyuienuH  u  KpumuuecKOM  spejnenu  «  ycAoeu/ ix  noA3yttecmu, M T T ,  JN2 4,  1968. 16.  I ".  F AC H K ;  Eosibiuue  deipopMaą uu  IHOHKUX  O6OAOHSK nanaubnou  t^ uAUHÓpuuecKoU  0opMu,  JJ(HCcepTanHH H a  coH CKamie  yqeH oii  CTeneHH   K . T . H .  M ocKBa  1977. 17.  F .  F AC J I K J  HecyufaJt  cnocoSuocnn  6e3M0Menmuou OÓOAOHKU  nauaAbHou  ą uAUHÓpwiecKoU  UIHX fleopM ai(H H   n o  TeopH H   ycraH OBH BiuerocH   TeueHHH   TOH KH X  o6ojioieK  BpameH H H .  H a  ocHOBaHHH  COOT- PEŁZAN IE  CIEN KICH   POWŁOK  67 HomeHHH   ( 2.3) i_ 4  H  ( 2.4)  flaeTcsi  aH ajiH 3  pacnpeflejieH H H   nanpH »ceH H ii  H   fledpopM aipiH   n o  M epii^H aH y O6OJTOMKHJ a TaK>Ke n o n yieH O  Tai< H a3biBaeiwoe  „KpuTi- mecKoe  Bp eM ii"  n pH   n o n 3yiec T H   fljm paccMaTpw- S u m m a r y CREEP  OF   TH IN   AXIALLY- SYM M ETRIC  SH ELLS  BASED   ON   TH E  TH EORY  O F   PLASTIC FLOW The  paper presents an  exact  solution of  the stability  problem  of  the creep  in the range  of  large  defor- mations  of  thin  axially- symmetric  shells  based  on  the  theory  of  steady- state  plastic  flow. On  the  basis  of  eqs.  (2.3),_ 4  and  (2.4),  the  analysis  of  stress  distribution  and  deformations  along the  meridian of  the shell  are given  and  also  the so- called  „ critical times"  of  the creep  for  th e  shells  con- sidered  are  obtained. WYŻ SZA  SZKOŁA INŻ YNIERS KA OPOLE ZAKŁAD  MECHANIKI Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  23  lutego 1979  roku.