Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z1.pdf M E C H A N I K A TEORETYCZN A I  STOSOWAN A 1, 19  (1981) OFORMOWANIU  DWUWYMIAROWYCH  ZAGADNIEŃ  BRZEGOWYCH  TEORII SPRĘ Ż YSTOŚ CI AN D R Z E J  G A Ł K A  (WAR SZ AWA) Waż niejsze  oznaczenia Wskaź niki  k, I, ...  przebiegają  ciąg  {], 2, 3}  i  odnoszą  się do kartezjań skiego  u kł a du współ rzę dnych  w  przestrzeni  fizycznej.  Wskaź niki  a, /S, y, . . .  przebiegają ce  równ ież  ciąg {1, 2, 3}  i  wskaź niki  K, L , M, ...  przebiegają ce  ciąg  {1, 2}  odnoszą  się do  krzywolin io- wego  ukł adu  współ rzę dn ych  w  wyróż nionej  konfiguracji  x x .  Współ rzę dne  m at erialn e oznaczone są przez X  =   (Xs)  i zam ien n ie przez X  =   ( Z , Y), Z  =   (ZK). Wskaź n iki  A,  B,...; a, b, ...; 'Q, fj  ...;v,  / *, v, ]l  przebiegają  skoń czone  ustalon e  cią gi  liczb  n at u raln ych ,  przy czym  £, r; <  6. Stosujemy  konwencje  sumacyjną  E in stein a. B T  —  obszar  zaję ty  przez  ciał o  B w  ustalon ej  chwili  r. B R   — obszar  zm ien n oś ci  współ rzę dn ych  Lagran ge'a. B x ,  B R ,T I R   — dom kn ię cia  obszarów  odpowiedn io  B r ,  B R ,IJ R . DB r ,dB R ,  —  brzeg  obszaru  odpowiedn io  B r ,B R . e k —jednostkowe  wektory  bazy  w  przestrzen i  fizycznej. g a   — wektory  bazy  n aturaln ej  krzywoliniowego  u kł adu  współ rzę dn ych w  wyróż n ion ej  konfiguracji  x v . g a  — wektory  bazy  dualn ej. Sap — Smgp — skł adowe  ten sora  metrycznego n,  h —jed n o st ko we  wektory  n o rm aln e  d o  dB R , dB r . x  = x k e k   — wektor  poł oż en ia  czą stki  w  przestrzeni  fizycznej. X k (X,  t) — funkcje  deform acji,  x  =  %k(X,  t)e k . C   =   C«isg a  ®  g'1 — lokał ny  m etryczn y  ten sor  deformacji. T z   =   T k*e k  ®  g x   — pierwszy  ten sor  n aprę ż en ia  P ioli- Kirchhoffa 7 =   T at)g a   ® gp — drugi  ten sor  n aprę ż en ia  P ioli- Kirchhoffa  (odn iesion y  d o  B x ),  T x  = -   V*' . Qr — gę stość  masy  n a jedn ostkę  obję toś ci  obszaru  B T . b  =  bk(X,l)e k   — zewnę trzne  obcią ż enia  masowe, p  — p k {X, t)e k  — zewn ę trzne  obcią ż enia  brzegowe, r  =  rk(X, t)e k  — wewnę trzne  sił y  reakcji, s  =  sk(X, t)e k —  brzegowe  sił y  reakcji, a(C)  — funkcja  energii  odkształ cen ia, y(T )  — funkcja  energii  kom plem en tarn ej, ( • ) , a—o peracja  róż n iczkowan ia'czą stkowego,  (• ),« = (  • ) 70  A.  G AŁKA Wstę p W  teorii  powł ok,  w  celu  sprowadzenia  trójwymiarowych  zagadnień  brzegowych  do aproksymują cych  je zagadnień  dwuwymiarowych,  stosuje  się  róż ne  metody.  Wś ród  nich moż na  rozróż nić  dwa  podejś cia  [I].  Podejś cie  bezpoś rednie  oparte na modelu  powłoki jako  tzw.  powierzchni  Cosseratów i drugie  poprzez  uproszczenie  równań  klasycznej  me- chaniki, kontinuum. Metody te został y wyczerpują co  omówione w monografii  NAGHDI'EGO [1]. W pracach  [2],  [6] przedstawiono  odmienną   metodę   formuł owania  zagadnień  dwu- wymiarowych,  opartą   na  równaniach  mechaniki  oś rodków  cią gł ych z wię zami  wewnę trz- nymi,  przy  czym  wię zy  zakł adano  tylko  dla deformacji.  Metoda  przedstawiona  w  [2] zostanie w tej  pracy  rozszerzona  poprzez wprowadzenie  wię zów dla naprę ż eń. Przyję cie  wię zów  dla naprę ż eń  pozwala  w pewnych  przypadkach  otrzymać  prostsze równania i wierniej  opisać  stan  naprę ż enia i odkształ cenia w  ciele. 1.  Zał oż enia i  sformuł owanie  problemu Przedmiotem  rozważ ań  jest  ciał o  B  z  materiał u  hypersprę ż ystego,  które  w  pewnej ustalonej  konfiguracji  zajmuje  obszar  B r .  Zał oż ymy, że obszar  ten da  się   parametryzować współ rzę dnymi  X  — {Z,  Y) e B R ,  gdzie  domknię cie  obszaru  B R  jest  postaci B R  =  IJ R  x x  [—/?, A]/ 7K  jest  obszarem  regularnym  na pł aszczyź nie,  (—h,h)  odcinkiem,  Z=  (Z 1, Z 2 )eII R ,  Ye(- h,h). W  pracy  zostanie  podany  sposób  opisu  przestrzennych  zagadnień  mechaniki  rozwa- ż anego  ciał a  przy  pomocy  dwuwymiarowych  zagadnień  brzegowych.  Jako  podstawę rozważ ań  przyję to  nastę pują ce  równania  mechaniki  oś rodków  cią gł ych  z  wię zami dla deformacji  i naprę ż eń [4]: 1°.  Równania  ruchu  i  kinetyczne  warunki  brzegowe T vT r   + e r b+Q r r=   Gz x,  XeB R , T r n T   = p r +s r   XedB R . 2°.  Równania  konstytutywne  dla  ciał a  hypersprę ż ystego 3°.  Równania  definicyjne  obcią ż eń  zewnę trznych ,  t) =  i(x,  t,  x, A  . gdzie  !>(• ), p T ()  są  danymi funkcjami  lub funkcjonał ami, 4°.  Wię zy  dla  deformacji h r (X,  t, z, VJC, q, Vą ) =  0  XBB &) V  -   1, .... I, R h (X,  t, i, q) -   0,  Xe  dB R ,  M   =  1, 2, ... / „ 5°.  Wię zy  dla  naprę ż eń h v \ X,  t t  T , vr ,  &, V3)  =  0,  XeB R>   v =  1, 2,  .. RĄ X,  t, T , 9) =  0,  XedB R ,  p -   1, 2, ...  /„ O  FORMU ŁOWAN IU   DWUWYMIAROWYCH   ZAG AD N IEŃ   7 1 W  równaniach  wię zów  funkcje  h v (- ),  i?,,(- ),  h'{- ),  J?**(- ) są  zn an ym i  fun kcjam i,  róż n icz- kowalnymi  w  swoich  n aturaln ych  dziedzinach.  F un kcje  q =  (qA(X,  t)),  A=  1, 2, ... I A   < 3 i  3 =  (#CCX", ż ))> f  =   1, 2, ... 7{ < 6  stanowią   dodat kowe  n iezn an e  pola  kin em a- tyczne  i  kin etyczn e. 6°.  Warun ek  idealnoś ci  wię zów  dla  deformacji (1.6)  j  Q T rd%dv T +  f  s r dy.da T   =   0, który  winien  być speł n ion y  dla dowolnej  funkcji  di,  takiej,  że  ukł ad  funkcji  (d%,  óq) speł nia  ró wn an ia: W ł _ ,  dla Ih.   dx   + iJ iL a, =  o,  dla  A" s dB R 1°.  Warun ek  idealn oś ci  wię zów  dla n aprę ż eń / nr DdT dv R   = 0,  gdzie  D=  ( VZ ) T ( VZ ) - C, który  winien  być speł n ion y  dla dowolnej  funkcji  ST  takiej,  że  ukł ad  funkcji  (dT ,  69) speł nia  ukł ad  r ó wn a ń : ^ r  +  4 ^ V T + 4 ^  +  ^ V »  0  dla  XeBR, a r ó r  +  ^ F  a d =  °'  dl a  * W  pracy  (w pun kcie 2) wyspecjalizujemy  wię zy  dla deform acji  (1.4) i wię zy  d la n ap rę - ż eń  (1.5) tak, by n a podstawie  wyż ej  przytoczon ych  ró wn ań  otrzym ać  dwuwym iarowe zagadnienie  brzegowe,  którego  rozwią zanie  pozwala  okreś lić  stan  przem ieszczen ia, od- kształ cenia  i  n aprę ż en ia  w  trójwym iarowym  ciele  hypersprę ż ystym.  P o rozwią zan iu  przy pomocy  otrzym an ych  ró wn ań  dan ego  zagadn ien ia  dyspon ujem y  wewn ę trzn ymi  sił am i reakcji  r i s t   (1.1) o raz  n iezgodn oś ciami  deform acji  D,  (1.7) 2,  wywoł an ym i  wię zami dla naprę ż eń,  kt ó re  p o  wprowadzen iu  odpowiedn ich  n o r m  dają   pewną   m oż liwość  ocen y dokł adnoś ci  rozwią zań  wzglę dem  n iezn an ych  rozwią zań  odpowiedn iego  zagadn ien ia trójwymiarowego. 2.  Równania  wię zów Wię zy  dla deform acji  przyjmiemy  w  postaci X k (X,  t) =  0\ X,  y>*(Z,  0),  Xe  B R ,  ZeII R . (U)  a,{Z,  W A {Z, t), tf K {Z, 0) =  0,  Zen R ,  v -   1, 2,... / , P„(Z, y> A (Z, 0) =  0,  Zedn R ,  ft -   1, 2, . . . /„ 72  A.  G AŁKA wię zy  dla n ap rę ż eń  w  postaci (2.2)  T #  =  lF^ (X,  n"(Z,  t), &(X,  0),  XeB R ,  Z eJJ R . W  przyję tych  ró wn an iach  wię zów  funkcje  <&*(• )•  «„(• )»  $.(• )>  W att(- )  są   danymi a priori funkcjam i  rózn iczkowaln ym i  w  swoich  n aturaln ych  dziedzinach,  n atom iast  yA(Z,t), A=  1,2, ...I A ,  Jc a (Z, t),  a «  1, 2,  ...  / a,  # ( * , 0 .  C  -   1,2, ... 7 t < 6 są   nowymi  niewia- dom ym i  fun kcjam i.  F un kcje  y4f^> 0  nazwiemy  uogóln ion ym i  deformacjami  a  funkcje &(X,  t) i na{Z, f)  uogóln ion ym i  n aprę ż en iam i.  P ostulowan ie  wię zów  w  postaci  (2.1) ma jasn y  sens  kin em atyczn y  w teorii  pł yt  i powł ok.  Kin em atyka  brył y jest  tam  sprowadzana, przy  p o m o cy  tego  typu  wię zów,  d o kinem atyki  powierzchn i.  Informacje  dotyczą ce  stanu n aprę ż en ia,  dają ce  się   an alityczn ie  wyrazić  w postaci  (2.2),  m oż na  przy  pom ocy  wprowa- dzon ych  wię zów  (2,2)  wykorzystać  do wierniejszego  opisu,  otrzym an ym i  niż ej  równa- n iam i,  stan u  n aprę ż en ia  i  odkształ cen ia  w  rozpatrywanym  ciele. 3.  Równania  ruchu i  kinetyczne  warunki  brzegowe C elem  otrzym an ia  równ ań  ruchu  i  kinetycznych  warun ków  brzegowych  o  dwóch zm ien n ych  n iezależ n ych  przekształ cim y  warun ek  idealnoś ci  wię zów  (1.6) do  postaci w  której  wystę pują   cał ki  p o  obszarze  B R   =  11 R  x ( — h,h)  i  dB R  =  (dri R x.([  — li,h])u u  (T I R  x { — /z)) u  (1I R   x {/?}).  P o dokon an iu  zm ian y  obszarów  cał kowan ia z B x  na B R  i przeję ciu  dv z  — \ ''gclI7 R dY,  ds T  — jds R   oraz  uwzglę dnieniu  zależ noś ci (3.D  to*- *,«V.  s d z i e  ***- 4rar. wyn ikają cych  z  przyję tych  równ ań  wię zów  (2.1), ,  warun ek  idealnoś ci  wię zów  deforma- cyjnych  (1.6)  m oż na  zapisać  w  postaci [6]: (3.2)  /   s A (Z, t) df A dl R   +  f  r A (Z,  t) óf A dn R   -   0, gdzie  został y  wprowadzon e  wielkoś ci h s A (Z,t)=  J  Ą Ak idY,  ZedJJ x , (3- 3)  - \ r A (Z,t)=  J  Q x T *0 Ak \ / gdY+[s*0 Ak j] r= _ hth ,  Zell R , - h kt ó r e  n azwiem y  uogóln ion ym i  sił am i  reakcji.  F unkcje  dipA  w  przypadku  wystę powania wię zów  ( 2.1) 2,  (2.1) 3  n ie są   dowoln e,  lecz  speł niają   zależ noś ci (3.4)   ̂ ^ t>'  s v A  =  o,  Z e  dIJ R - d*JJ R ,  —r-  bw A \   = 0 ,  Ze  8*11  R . O  FORMUŁOWAN IU   DWUWYMIAKOWYCH   ZAG AD N IEŃ   73 Symbol  [.']r»- *.*  ozn acza  sum ę   wartoś ci  wyraż en ia  w  n awiasie  dla  Y  —  —h  i  d la y  =   h,  yij,  oznacza  poch odn ą   funkcji  ipA(Z,t)  w  kierun ku  stycznym  d o  brzegu  dII R , C*1T R skoń czony  zbiór  pun któw  brzegu  obszaru  FI R   w  których  n orm aln a  m oże  d o zn awać skoku,  [ - ]B*H  sum a  skoków  wyraż enia  w  nawiasie  w  pu n kt ach  Z  e  d*I7 R . Warun ek  (3.2)idealn oś ci  wię zów  bę dziemy  realizować  przyjmują c (3. 5) s A  (Z,  t)  =  X" ~ r -   ^ K +  ^'  - T - T  +  K  - ~ T  -   I A ~   - T-   ,  Z  e  577». gdzie  A", X", X"  są   dowoln ym i  róż n iczkowaln ymi  funkcjami,  kt ó r e  n azywać  bę dziemy funkcjami  wię zów  odpowiedn io  dla  (2.1) 2  i  (2.1) 3,  TV jest  wektorem  jedn ostkowym ,  zew- nę trznie  n orm aln ym  d o  dIJ R   w  pł aszczyź nie  7 = 0 .  M oż na  wykazać,  korzystają c  z  (3.4), że  zwią zki  (3.5)  speł niają   warun ek  idealnoś ci  wię zów  (3.2)  toż sam oś ciowo P o  podstawien iu  d o  (3.3)  wyraż eń  Q r r k  i  J * odpowiedn io  z  równ ań  ru ch u  (1.1)  i  kin e- tycznych warun ków  brzegowych  (1.1) 2 i wykon an iu  potrzebn ych przekształ ceń ,  otrzym am y równania  ruch u (3.6)  H5, x +h A +f A +T A   = i A ,  A -   I ,  ...,I A i  kinetyczne  warun ki  brzegowe (3.7)  H*N K   - gdzie - h h (3- 8)  / „ ( Z , t ) =   / - A - u h p A (Z,t)=  J  p k M jdY,  ZedI7 R . P o  wykorzystaniu  równ ań  wię zów  (2.1)j  i  (2.2)  i  równ ań  definicyjnych  obcią ż eń  zewn ę trz- nych  (1.3)  ostatn ie  zwią zki  m oż na  zapisać  w  postaci H *(Z,  0 =  H J(Z,  fA(Z,  t), tf K (Z,  t), n"(Z,  t); [&(X,  t]), hjz,  t)  = h A (z,  ę A (z,  t\   y A K (z,  t), K°(Z,  ty,  mx,  <)]), (3.9)  f A (Z,  0  =  f A (Z,  f A (Z,  t), vi( Z ,  0)> p A (Z,t)- p A (Z,y> A (.Z,t)), iA(Z,  I)  =   QABV 74  •   "  A!  G AŁ KA gdzie  HA(- ),  h A (')   s ^  funkcjami  zm iennych  Z,  yi*,  ff K ,  n"  i  funkcjonał ami  zmiennych &- {X, t),  zdefin iowan e  cał kami Hi(  • )=  f ( 3. 10)  ~ " M )  -  - - h Ay> ?K/ A(- ),PA(- )<  6AB(- ),  6ABC(),  są  funkcjami  zm ien n ych  Z ,  y A ,y>? K : h hi.  ) -   /   Qrb\ X,  t, 0k,  t ai ) Ak YgdY+ [p k (X,  t, &)0 Ak ]] fa - h , h   Zen R , (3.11)  pA- ) li  I' ~h 4.  Równania  zgodnoś ci  deformacji Wa r u n ek  idealn oś ci  wię zów  (1.7)! p o zmianie  obszaru  cał kowan ia B r  na £ f i ,  uwzglę d- n ien iu  zależ n oś ci (4.1) gdzie  W afl = —z- — ,  W %P  =   t  ,  wynikają cych  z  przyję tych  wię zów  d la  naprę ż eń, i  wprowadzen iu  wielkoś ci  D a (Z, t)  i  D^ {X, t) ( 4 2 )  D . ( Z , Ó - D C (X, f) *  D ^.lff, kt ó r e  n azwiem y  uogóln ion ym i  n iezgodn oś ciami  deformacji,  m oż na  zapisać  w  postaci (4.3)  J  ą ^ / ^ B^  J D a d7i?dn R   =  0. Z e  wzglę du  n a dowoln ość  funkcji  &- (X,  t), 7t"(Z, t), z warun ku  (4.3)  otrzym am y (4.4)  D c  =  0,  D a  = 0. P o  podst awien iu  do (4.2)  wielkoś ci  D af)  z  równ ań  ( l. 7) 2  i  uwzglę dnieniu  (4.4)  otrzymamy ró wn an ia  zgodn oś ci  deform acji (4.5)  ^ **"  l)  ~ "—  ft O  FORMUŁ OWANIU   DWUWYMIAROWYCH   ZAG AD N IEŃ   7 5 gdzie  wielkoś ci  C„,  Q ,  które nazwiemy  uogólnionymi  odkształ ceniami  są  zdefiniowane wzorami (4.6)  C.(Z,  t) -   /   C aP W f]/ gdY,  Q(X,  t) =   C afs W f, - h Równania  zgodnoś ci  deformacji  (4.5)  po  uwzglę dnieniu  równań  wię zów  (2,1)^  moż na zapisać  w  postaci C.(Z,  0  =   Ć a (Z,   f A ,  y £ , 7i"\   [&}), (4 7) gdzie A%B  =   J * (4. 8)  " *   , - h  - h Współ czynniki  ^4̂ i"B,  - 4 ,̂  ^4O3 5^i,,  B*A>BC, w  ogólnoś ci  zależą  od  y 4,  JI°,  i?c.  W  przy- padku  gdy  funkcje  W af>{ • )  wystę pują ce  w  równaniach  wię zów  są  liniowymi  wzglę dem uogólnionych  naprę ż eń n"  i  # c to  wymienione  współ czynniki  od  nich nie zależ ą. 5.  Równania  konstytutywne Równania  konstytutywne  dla  materiał u  hypersprę ż ystego  przyjmiemy  w  postaci odwrotnej  do  (1.2) V5- 1)  C«/ J  =   ~gjW ' gdzie  y( r )  jest  funkcją  energii  komplementarnej.  Po  podstawieniu  ostatnich  zwią zków do  zależ noś ci  (4.6)  otrzymamy  uogólnione  równania  konstytutywne gdzie  y(- ) jest  funkcją  otrzymaną  z  funkcji  energii  komplementarnej  y(T )  przez  podsta- wienie  T aP  =   ?*P(X, &{X,  t),  n°(Z,  0 ) , (5.3)  y( •)  s  y(X,  #{X.  i), n°{Z,  i))  ­  yCF*?), A F( •) jest funkcją   zmiennych Z,  n"  i  funkcjonał em ft;(X, t)  okreś lonym cał ką h (5.4)  T( • )  m r(Z,  n- (Z, t);  [̂ (AT, 0])  =   /   9(X,  &(X,  i), n°(Z,  t))]/gd?. -h 16  A.  G AŁKA 6.  Konstrukcja  dwuwymiarowych  zagadnień  brzegowych R ó wn a n ia  wię zów  (2.1)  i  (2.2),  równ an ia  ruchu  (3.6),  kinetyczne  warun ki  brzegowe (3.7),  ró wn an ia  zgodn oś ci  deformacji  (4.7)  i  zwią zki  kon stytutywn e  (5.2)  tworzą   podsta- wowy  u kł ad  ró wn ań  d la  podstawowych  niewiadom ych  funkcji:  uogóln ion ych  naprę ż eń • 7if(Z,t),& : (X,t),  uogóln ion ych  deformacji  ipA{Z,t)  i  funkcji  wię zów  Xv(Z,t),  ?Jl(Z,t), Ź J(Z, t).  Wykaż em y,  że  powyż szy  ukł ad  równ ań  prowadzi  do  dwuwymiarowych  zagad- n ień  brzegowych  dla  funkcji  y>A(Z,  t). Z  ró wn ań  kon stytutywn ych  (5.2),  i  równ ań  zgodnoś ci  deformacji  (4.7),  otrzymamy zwią zki  m ię dzy  uogóln ion ym i  deformacjam i  i  uogóln ion ym i  naprę ż eniami ( 6. 1)  r  ~  C;(x>VA>V''?K>Jl''>'8'*y Z ał oż ym y, że  w  przypadku  gdy  w  równ an iach  wię zów  dla  n aprę ż eń  (2.2)  wystę pują   funkcje # c  zależ ne  od  trzech  zm ien n ych  przestrzen n ych,  speł niony jest  warunek (6.2)  di Z  ró wn ań  (6.1)  m oż emy  wtedy  wyznaczyć  0*(X, t) ja ko  zn an e  funkcje  X,  y>A, rpf K ,  n": P odstawiają c  (6.3)  do  (4.7), ,  (5.2),  oraz  do  ( 3.9) , , 2  wyeliminujemy  z  podstawowego u kł a d u  ró wn ań  n iezn an e  funkcje  ^ (X,  t)  i  otrzym am y  zam kn ię ty  ukł ad  równań  n a  po- szukiwan e  funkcje  ipA{Z, t),  XV(Z,  t), ~X7'(Z, t),  X"(Z, t),  n"(Z,  t) Z estawim y  ten  ukł ad  równ ań 1°.  R ó wn a n ia  wię zów «„ (Z, y>A(Z,  t), f* K {Z,  0 )  = 0 ,  Z  eH R ,  v  -   I , 2,  .. ( 6 ' 4 )  Ą , (Z, y>A(Z,  f))  = 0 ,  Z e  dll R ,  p  -   1, 2,  ... 2°.  R ó wn a n ia  ruch u  i  kin etyczn e  warun ki  brzegowe HA,K  + hji+fA~t~ r A  — 'A>  ZeFI R , 3°.  R ó wn a n ia  definicyjne H B L , h A   =   h A (Z,   W B ,  y> B L ,  7 f A   m.  f A (Z,  y B ,   W B L ) , PA  =   PA(Z,  y B ) , r A =  -   \ X'' —  - f-   +  X v  ~~- x  ,  Z  ei.7R T  >   A.  I  ] " • -   „  vs\ *. v   «  '- 'P /t  - iv  v^ - V  «„   " * p  I  rw  ~i  T T '  ~dwA'Ji'  Z e d n * > O  FORMU ŁOWAN IU   DWUWYMIAROWYCH   ZAG AD N IEŃ   7 7 4°,  Równania  zgodnoś ci  deformacji (6.7)  C a   =  C a (Z,   V A ,   V f K ,  n"; 5°.  Równania  konstytutywne (6.8)  C a  -   \ - ~r(Z,  n»; [&(X, Q])J &(X,  t) =  fr(X, fA, y & n») W.przypadku  gdy w  równaniach  wię zów  dla  naprę ż eń  (2.2)  n ie wystę pują   funkcje ^ (X,t),  wtedy  y(- )  nie zależy  od - &;(X,  t).  Równania  (6.1)  są   speł nione  toż samoś ciowo a  w równaniach  ( 6. 6) l i 2 ,  (6.7)  i  (6.8)  HA(),  hA{),  C„ (• ) i f(  • ) są  funkcjami  zmiennych Z,  y A ,f?K,n°- Przy  zał oż eniu gdzie =   C a (Z, z równań  (6.7) i (6.8)  moż na wyznaczyć  na(Z,  t) jako  znane funkcje  Z, yA,  y>AA K K Podstawiają c  te  zwią zki  do  (6.6), i 2  otrzymamy  lA  + 2I r+I fl  równań  n a  niewiadome funkcje   W A (Z, t),  A =  1, ... I A ,  A"(Z, t),  X"(Z, t),v -   I , . . . J,  Ą z,  t),ji  -   1, ... / „ .  Elimi- nują c  funkcje  wię zów,  moż emy  tą   drogą   dojść  do dwuwymiarowych  zagadnień  brzego- wych  dla y>A(Z, t). Przedstawiony  wyż ej  sposób  konstrukcji  dwuwymiarowych  zagadnień brzegowych  zilustrujemy  niż ej  n a przykł adzie. 7.  Przykł ad W  wyróż nionej  konfiguracji  «r  wprowadź my  ortogonalny  ukł ad  współ rzę dnych o  wektorach  bazy g a   taki, że g 33   = g 3 g 3   =   1. Wię zy  dla  deformacji  przyjmijmy  w postaci (2.1) l5  zaś wię zy  dla naprę ż eń  w  postaci T 1 1  =  §l(X,  t),  T 22  =  &2(X,  t),  T 12  =  &*(X,  t), (7.1)  T K3  =  nK(Z, T 3 3  =   W (X, t), gdzie  # (Af,  t)  f  -> 1, 2, 3,  nK(Z, t),  K =   1, 2  są   nieznanymi  funkcjami  — uogóln ion ym i naprę ż eniami,  Ą7(.Y, 0  jest  znaną   funkcją .  Zał oż ymy, że materiał   ciał a jest  jedn orodn ym izotropowym  materiał em  H ooka.  Trójwymiarowe  równania  konstytutywne  (5.1)  mają wię c  postać 78 A.  G AŁ KA gdzie  E„p jest  tensorem  odkształ cenia  G rcena, Saint  Venanta 1 1+ v  , 2E ~  ~g gaflgyd- Każ demu  z  uogólnionych  naprę ż eń  odpowiada  uogólnione  odkształ cenie które  oznaczy- my  odpowiednio  przez  C t (X,  t) i  C K (Z,  t). W przypadku  przyję tych  wię zów dla  naprę ż eń (7.1) funkcje  Q ( - ) i  C K {- ) nie zależą  od &C(X, t) i T CK(Z, t).  Równania  (6.1) na  podstawie (4.8),  (4.6)x  i  (5.2)!  bę dą  miał y  postać (7.3) gdzie ViX, t) -  Y (C : - g ( \ =  - Er£ii> L i2   — =   i 3 1  =  L 23  — L 32  =  0, 1+V =   gil, = 0, ^ ,  B KL   =   ***, ». Waru n ek  (6.2) jest  speł n ion y.  Z  równ ań  (7.3) m oż na  wyznaczyć ftCX, i) ,   o = y(jf.  o ] , gdzie L iv  są elementami macierzy  odwrotnej  do macierzy  o elementach  L iv '(g 11 ) 2 ,  W 2 ,  0 (7.6) 0, 0, Równania  zgodnoś ci  deformacji  (6.7) n a podstawie  (4.8)2  mają  postać gdzie =  2 J (Z- )'] - h O  FORMUŁOWANIU   DWUWVMIAROWYCH   ZAG AD N IEŃ   7 9 Równania  konstytutywne  (6.8)  mają   postać (7.8)  -   ...•   C K gdzie L 1 2  = ' 0 •• Z  równań  (7.7)  1  (7.8)  otrzymamy (7.9)  7tK(Z,t)=  ~ Wielkoś ci  i/ *,  / ^  wystę pują ce  w równaniach  ruchu  (6.5)  p o  uwzglę dnieniu  ró wn ań  wię zów (7.1),  zwią zków  (7.5),  (7.9)  i  wyznaczeniu  cał ek  w  ( 3. 10) l j 2  są   znanym i  funkcjami  Z, f A (Z,  t),  rp* K (Zt).  Otrzym am y  wię c  równ an ia  róż niczkowe  n a  funkcje  y>A(Z,  t).  Jeż eli znajdziemy  rozwią zanie  tych  równ ań  t o  z  (7.9)  i  z  (7.5)  wyznaczymy  nK(Z,  t)  i  ^ {X,  t). Ruch  ciał a  okreś lony  jest  funkcją   deformacji  (2.1)!  a  n aprę ż en ia  zwią zkami  (7.1). Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  P. M .  N AG H D I ; T he  theory of  shells and plates, H andbuch  der  Physik,  vol.  VI  a/ 2,  s.  425- 640,  Beriin- H aidelberg- N ew  York  1972. 2.  Cz.  WOŹ N I AK;  Constrained  Continous Media  III,  Partly  Discretized Bodies, Bull.  Acad.  P olon .,  Ser. "  Sci.  Techn.,  21,  4,  1973. 3.  Cz.  WOŹ N IAK;  N on- linear mechanics  of  constrained  material  continua. I.  Foundations  of  the  theory, Arch.  Mech.  Stos.,  26,  1,  Warszawa  1974. 4.  Cz.  WOŹ N IAK; N on- linear Mechanics of  constrained material continua.  II.  Ideal  constraints for  deforma- tion and stresses.  Arch.  M ech.  Stos.,  28,  2,  Warszawa  1976. 5.  Cz.  WOŹ N I AK;  On  the  N on- Standard Continuum  Mechamics. II.  Continua  with Kinetic and  Kinematic  — Kinetic  Constraints,  Bull.  Acad.  P olon.  Sci.,  Ser.  Sci.  Techn.  24,  1,  1976. 6.  Cz.  WOŹ N IAK,  M .  KLE I BE R ;  N ieliniowa mechanika konstrukcji  P WN   (w  druku). P  e  3  IO  M  e O  n O C T P O E H H H   c&flBYXM EPH LIX  KPAEBLIX  3 AH A1 !  B  T E O P H H   y n P YT O C T H B  pa6oTe  npe,HJio>KeH   MeTOfl,  B  KOTOP OM  Kjiacc  npocTpaH CTBeH H Lix  3afla^i  MexaimKH   r wn e p yn p y- r o r o  Tejia  peuiaeTCH  n p n  noiwomn flByxM epH fcix K paeBt ix  3 a a a y.  HcxoflHOH   T O I K O H   H BJI JJI OTC H   T p ex- MepHbie  ypaBHeHHH  MexaHHKH  cnJiouiH Lix  cpefl  c  BHyTpeHHHMH   CBH3aMH   [ 4 ] .  ITpHHHTO  H Aean tH Ł ie CBH3H   H JIH  fledpopM aiiH H  I I  H anpH weH H H .  ITocjie  ynoTpe6jieH H H   n pH H i;n n oB  HReajibHOCTH  nojiy*ieH O cHcTeMy  ypaBHeHHHj  KOTopan  S J I H   on pe# ejieH H bix  npeflnoJiojKeH H H   flaer  BO3M OJKH OCTB  n ocrpoH K H flByxiwepH bix  KpaeBwx  3aflaTi  anpoKCH M H pyiomnx  cooTBeTCTByioiilyio  TpexiwepH yw 80  A.  G AŁKA S u m m a r y C O N ST R U C T I O N   O F  TWO- D IM EN SION AL BOU N D ARY  VALU E  PROBLEM S I N  TH E THEORY OF   ELASTICITY T h e  purpose  of  the  paper  is  the  reduction  of  a  class  of  three- dimensional  problems  of  hyperelastic body  to  two- dimensional  ones.  Th e equations  of  continuum mechanics  with  internal  constraints  are used [4].  F o r deformations  and stresses  the ideal  constraints are  assumed.  By  means  of  the principles  of  ideality the  system  of  equations  h as  been  obtained  which,  under  some  assumptions,  gives  the  possibility  of con- struction  of  two- dimensional  problems  approximating  the  corresponding  tree- dimensional  problem. UNIWERS YTET  WARSZAWSKI JN S TYTU T  M ECHANIKI Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  5  listopada 1979  roku.