Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z1.pdf M E C H A N I K A TEORETYCZN A I  STOSOWAN A 1,  19  (1981) O  PEWN EJ  I N TE R P R E TAC JI  M E TOD   EN ERG ETYCZN YCH  DLA  P R OBLE M ÓW  F I LT R AC JI U STALON EJ B O G D A N   W  O S I E W I C Z   ( P O Z N A Ń ) 1.  Sformuł owanie  problemu  I zależ noś ci  podstawowe W  pracy  wykaż emy,  że poszukiwan ie  rozwią zania  problem ów  filtracji  ustalon ej m e- todami  energetycznymi  przez  minimalizację   fun kcjon ał u  energii  jest  równ oważ ne  z m i- nimalizacją   metodą   najmniejszych  kwadratów  waż onych  bł ę dów wyznaczenia  skł adowych wektora  prę dkoś ci  filtrują cej  cieczy. Zał oż ymy,  że  filtracja  odbywa  się  w  trójwym iarowym  an izotropowym  obszarze fil- tracji  F a osie  ukł adu współ rzę dn ych pokrywają   się  z gł ównymi  osiam i  an izotropii  o ś ro d ka (rys.  1). Przy  takich  zał oż en iach problem  filtracji  sprowadza  się  d o  wyzn aczen ia  funkcji Rys.  1, Oznaczenia  (piaski  obszar  filtracji  dla uproszczenia  rysunku). h(x,  y, z),  opisują cej  rozkł ad  cis'nienia  piezom etrycznego,  speł niają cej  w obszarze  filtracji równ an ie  róż n iczkowe , , .  d  / ,  dh\   d  / ,  Bh\   d  / .  Bh\  , _   n   .   s   „ U)  - a-   \ kx- ir-1 +  —  \ k>- T - + - T"  \ k*- x-  + 2 =   0.  (x,y,z)eV, dx  \   8x I  oy \   dy I  Bz \   dzj a  n a  brzegu  S m ieszane  i  n iejedn orodn e  warun ki  brzegowe (2)  h(xyz) = g,  (x,y,z)eS 1 , oraz (3)  ucosa+ ucosyS +  wcosy  =  q,  (x,y,z)eS 2 , 106  B.  WOSIEWICZ W  zależ noś ciach  powyż szych  przez  k x ,  k y ,  k.  oznaczono współ czynniki  filtracji  odpo- wiednio  wzdł uż  osi  x,  y, z,  przez  u, v,  w  skł adowe  wektora  prę dkoś ci  wzdł uż  tych  osi, przez  Q, g,  q  odpowiednio  wydatek  ź ródeł   wewnę trznych,  zadane  na  brzegu  S t   ciś nienie piezometryczne  oraz  wydatek  przez  brzeg  S 2   a  przez  a,  /?, y  ką ty  jakie  tworzy  normalna do  brzegu  S  z  osiami  współ rzę dnych. Zwią zek  pomię dzy  skł adowymi  wektora  prę dkoś ci  a  ciś nieniem  piezometrycznym dan y  jest  za  pomocą   prawa  D arcy'ego oh u  =   —  k x - z~, 8x ,  8h (4)  v=- k y - ^ , .  dh w = —k. Bz ' Alternatywnie  zagadnienie  sprowadza  się   do  znalezienia  takiej  funkcji  h  (x, y, z), która  minimalizuje  funkcjonał   energii i  speł nia  zasadniczy  dla  tego  problemu  warunek  brzegowy  (2). W  m etodach  energetycznych  stosowanych  do  zagadnień  filtracji  ustalonej  poszukuje się   przybliż onego  rozkł adu ciś nienia  piezometrycznego  h  w  postaci (6)  h(x,y,z) gdzie  liczby  H t {i  =  1,2,  ...,ń )  są   szukanymi  współ czynnikami  (w  metodzie  elementów skoń czonych  są   t o  wprost  wartoś ci  ciś nień  piezometrycznych  w  wyróż nionych  punktach obszaru  filtracji)  a  zn an e  funkcje  N - ,(x, y, z)  stanowią   zbiór  funkcji  bazowych  (ukł ad współ rzę dnych) w  rozpatrywanej  przestrzeni  funkcyjnej.  P o wyznaczeniu  współ czynników Hi  przez  minimalizację   funkcjonał u  (5)  moż emy  także  wyznaczyć  przybliż one  wartoś ci skł adowych  wektora  prę dkoś ci  u, v,  w  n a  podstawie  prawa  D arcy'ego. 2.  F unkcjonał   bł ę du  wyznaczenia  skł adowych  wektora  prę dkoś ci  i  jego  minimalizacja Jako  m iarę   bł ę du  przybliż onego  rozwią zania  problemu  filtracji  uznać  moż na nastę - pują ce  wyraż enie (7)  e  =  - r-  (u- u)2  + ~ j —(v-   i) 2   + —  (w -   ii')2. ICX  Ky  Kg Z ależ ność  (7) jest  waż onym  bł ę dem  kwadratowym  wyznaczania  skł adowych  wektora prę dkoś ci.  Jako  wagi  przyję to  odwrotnoś ci  współ czynników  filtracji.  Wartość  bł ę du  e jest  oczywiś cie  funkcją   poł oż enia  a  także  zależy  od  sposobu  aproksymacji  skł adowych wektora  prę dkoś ci. O  PEWNEJ  IN TERPRETACJI  METOD   1 0 7 Jako  najlepsze  rozwią zanie,  w  sensie  metody  najmniejszych  kwadratów,  m oż na uzn ać ie,  które  cał cetakie,  które  cał ce (8)  E  = nadaje  najmniejszą   wartoś ć. / /   / nadaje  najmniejszą   wartoś ć. Wykaż emy  teraz,  że  wyznaczenie  liczb  H x   przez  minimalizację   funkcjonał u  (8)  jest równoważ ne  minimalizacji  funkcjonał u  (5). Wyraż ając  u, v, w poprzez funkcję   h(x, y, z)  za  pomocą   formuł   (4) moż emy  funkcjonał (8)  zapisać  w  sposób  nastę pują cy / Ostatnia  cał ka  w  powyż szej  zależ noś ci  ma  dla  każ dego  konkretnego  zadania  stał ą - wartość  (choć  oczywiś cie  inną   dla  róż nych  zadań ), w  ż aden  bowiem  sposób  n ie  zależy ona  od wyboru  przybliż enia  funkcji  h(x, y, z)  za  pomocą   wyraż enia  (6). Wartość  tej  cał ki oznaczymy  przez  C x . D o  ostatniego  skł adnika  w  pierwszej  cał ce  zastosujemy  teraz  twierdzenie  G aussa- Ostrogradzkiego  w  postaci C C C (   8 ~ h  d ~ h  d ~ h \ j- ,  C f C r ( d u (10)  H _ _ + a _ _  +   w  \ dV+  /j  _ _ J  J  J  \   8x  By  8z j  J  JJ  \  dx _  + \   dy  dz =  I Wyraż enie  w  nawiasie  drugiej  cał ki  obję toś ciowej  jest  dywergencją   wektora  prę dkoś ci. Jest  zatem  równe  wydatkowi  ź ródeł   wewnę trznych  Q  w  obszarze  filtracji.  Wyraż enie w  nawiasie  w  cał ce  po  powierzchni  S  przedstawia  natom iast jednostkowy  przepł yw  q przez brzeg  obszaru  filtracji.  Wartość  tego  wydatku  przez  czę ść  S 2   brzegu  jest  okreś lona na  podstawie  warunku  brzegowego  (3). N a czę ś ci  Si  brzegu  wartość  rzeczywistego  wydat- ku  CJ nie jest  n atom iast znana.  P amię tać jednak  należ y,  że rozwią zania  zagadnienia  brze- gowego  (1),  (2)  i  (3)  a  także  problemu  wariacyjnego  (5)  i  (2)  poszukiwać  należy  wś ród funkcji  h(x, y, z)  speł niają cych  zasadniczy  dla  tego  problemu  warunek  brzegowy  (2)  [1]. N a  brzegu  S t   musi  być  zatem  speł niona  zależ ność 0  0  h(x>  y,  z)  =   h(x, y, z)  =   g(x,  y, z)  (x, y,  z)eS 1 . Tym  samym  wartość  tej  cał ki  po  brzegu  S x   jest  dla  konkretnego  zadania  stał ą ,  nieza- leż ną   od  wyboru  funkcji  h(x, y,  z).  Oznaczymy jej  wartość przez  C 2 . Podstawiają c  do  funkcjonał u  (9)  wyraż enia  wynikają ce  z  twierdzenia  G aussa- Ostro- gradzkiego  (10)  i  wykorzystują c  wnioski  z  przeprowadzonych  powyż ej  rozważ ań  uzy- skamy (u, 108  B.  WOSIEWICZ P orównują c  funkcjonał y  (5) i  (12) widać,  że róż nią   się   one tylko  o stał y  skł adnik, jest bowiem : (13) Poszukują c  przybliż onego  rozwią zania  problemu  filtracji  poprzez  minimalizację funkcjonał u  (5)  lub  funkcjonał u  (12)  uzyskać  musimy  identyczne  wyniki.  Tym  samym teza,  że  m etody  energetyczne  dla  problemów  filtracji  ustalonej  traktować  moż na  jako procedurę   minimalizacji  metodą   najmniejszych  kwadratów  waż onych  btę dów  wyznacza- n ia  skł adowych  wektora  prę dkoś ci  filtrują cej  cieczy  został a  wykazana. W  identyczny  sposób  interpretować  moż na  metody  energetyczne  dla  innych  proble- m ów  fizycznych  opisanych  równaniem  (1) i  warunkami  brzegowymi  (2) i  (3). Wystarczy tylko  podać fizyczną   Interpretację  funkcjonał u  (8) i  wyraż eń  w  formule  (10). D la proce- sów  fizycznych  w  których  konieczne jest  uwzglę dnienie  warunku  brzegowego  trzeciego rodzaju (14)  ucosa + vcosfi + wcosy+ah =   q,  (x,y,z)  e S 3 , gdzie  iloczyn  ah  uwzglę dnia  takie  zjawiska  jak  na  przykł ad  straty  konwekcyjne  i  radia- cyjne,  funkcjonał   (8)  musi  zostać  rozbudowany  o  skł adnik (15)  2Jf  da(h- h)2dS. S3 Skł adnik  ten m oż na interpretować jako  waż ony  bł ą d  kwadratowy  wyznaczenia  funkcji / ;  n a  czę ś ci  S 3   brzegu. 3.  Wyprowadzanie  funkcjonał u  bł ę du  wyznaczenia  skł adowych  wektora  prę dkoś ci W  podobn y  sposób  moż na, jak  się   wydaje,  zinterpretować  metody  energetyczne  dla innych  zagadnień  brzegowych.  Wystarczy  jedynie  odgadną ć  postać  takiego  funkcjonał u m etody  najmniejszych  kwadratów,  którego  minimalizacja  jest  równoznaczna  z  minima- lizacją   funkcjonał u  energii  dla  danego  zagadnienia  brzegowego  i  nadać mu  odpowiednią interpretację  fizyczną .  Tą   drogą   w  pracy  [2] zinterpretowano na  przykł ad metodę  elemen- tów  skoń czonych  w  zagadnieniach  teorii  konstrukcji  jako  procedurę   minimalizacji  wa- ż onych  bł ę dów  wyznaczenia  skł adowych  dewiatora  i  aksjatora  naprę ż eń. Jedn akże  w  pewnych  przypadkach  odpowiednią   postać  funkcjonał u  bł ę du  moż na, jak  się   okazuje  wydedukować  wprost  z postaci  równania  róż niczkowego  problemu  i jego interpretacji  fizycznej.  Rozpatrzmy  równanie  róż niczkowe (16)  An  =   / gdzie A jest  operatorem róż niczkowym  problemu a / i  u są   daną   i szukaną   funkcją   w pew- nej  przestrzeni  funkcyjnej.  W  przypadku  gdy  operator  A jest  operatorem dodatnio okre- ś lonym  m oż na  wprowadzić  operator B taki,  że  A  =   B 2  i  dowieść  [1] istnienie ograniczo- nego  operatora  B "1  do  niego  odwrotnego.  W  tym  wypadku  rozwią zanie  równania  (16) jest  równ ozn aczn e  rozwią zaniu  równania (17)  Bu  =   B- 1/ . O  PEWN EJ  IN TERPRETACJI METOD 109 Ponadto funkcjonał y  metody energetycznej  dla równania  (16) i najmniejszych  kwadra- tów dla równania (17) róż nią  się  wtedy tylko o stał y skł adnik [1]. Z tego wynika,  że w przy- padku  dodatnio  okreś lonego  operatora  A  zastosowanie  metody  energetycznej  do  proble- mu opisanego  równaniem  (16) prowadzi  do tego  samego wyniku  co zastosowanie  metody najmniejszych  kwadratów  do  równania (17). Problemem  pozostaje  oczywiś cie  konstrukcja  równania  (17).  Nie wydaje  się   bowiem moż liwe  podanie  efektywnej  drogi  znalezienia  operatora  B  w  każ dym  przypadku.  P o- nadto  operator  B "1  jest  przecież  poszukiwanym  rozwią zaniem  problemu,  zachodzi  bo- wiem  B- 1Bw  =   u. Tym  samym  konstrukcja  równania  (17) jest  w  zasadzie  równoznaczna znalezieniu  poszukiwanego  rozwią zania. Tym  niemniej  jeż eli  uda  się   rozł oż yć  operator  równania  róż niczkowe  o  (16)  na  ilo- czyn  dwóch  identycznych  operatorów  B  moż na  także  zinterpretować  prawą   stronę   rów- nania  (17).  Tym  samym  uzyskać  moż na  funkcjonał   metody  najmniejszych  kwadratów dla  równania  (17),  funkcjonał   o  okreś lonej  interpretacji  fizycznej. Idą c tą  drogą   wykaż emy,  że wprowadzony  a priori funkcjonał   (8) jest w analizowanym problemie  identyczny  z  funkcjonał em  metody  najmniejszych  kwadratów  dla  równania (17). W  przypadku  problemów  filtracji  ustalonej  operator  A  z  równania  (1) jest  dodatnio okreś lony  i  daje  się   przedstawić  w  postaci  iloczynu  dwóch  identycznych  operatorów macierzowych  wzglę dem  siebie  transponowanych.  Istotnie,  moż na  sprawdzić  bezpo- ś rednim  rachunkiem,  że (18)  A  =   B r B gdzie  macierzowy  operator  B  ma  postać (19) B  =   KD  = - \ 'k x   0  0 0  _  j/ fe,  0 0  0  -   l/j xd Ty d dz Tym  samym  zależ ność  (17)  dla  problemu  opisanego  równaniem  (1)  moż na  zapisać  na- stę pują co ,/ r  dh\ (20) KD / J  = y  x   dx nr   8h - yk • '  8y -   8h Prawa  strona powyż szej  równoś ci  nie jest  dana w jawnej  postaci. Aby  jednak  równość był a speł niona winna  być  ona  równa  stronie  lewej.  Biorą c  pod  uwagę   prawo  D arcy'ego (4) widzimy,  że  lewa  strona  zależ noś ci  (20)  przedstawia  podzielone  odpowiednio  przez VK,  Vk y ,  \ / k z   skł adowe u, v, w wektora  prę dkoś ci.  Moż na wię c  napisać,  że no B.  WOSIEWICZ (21) dh_ dx ~dy dh dz fkx V \ / ky w P o d s t a wi a ją c  t e r a z  w  m ie jsc e  h  wa r t o ść  p r z yb l i ż o ną  h  r ó w n a n i e  ( 21)  n i e  b ę d zie  oczy- wi ś c ie  s p e ł n i o n e.  J a k o  n a jle p sz e  p r z yb li ż e n ie  m o ż na  u wa ż ać  t o ,  k t ó r e  m i n i m a li z u je  funk- c j o n a ł   m e t o d y  n a jm n i e jsz yc h  k w a d r a t ó w  d l a  t e go  r ó w n a n i a -   2 (22) £   = )/ kx w - KD /1 dV. Wykonując  dział ania  w  funkcjonale  (22)  z  wykorzystaniem  formuł   (4) uzyskamy u  lT-   dh\ 2  I  v  ,T-   dk\ 2  .  /   w (23)  E  = ih (w  —w)w)2 Otrzymaliś my  zatem  wyjś ciowy  funkcjonał   (8).  Innymi  sł owy  wprowadzony  poprzed- nio  funkcjonał   (8)  jako  cał ka  z  waż onych  bł ę dów  kwadratowych  wyznaczenia  skł ado- wych  wektora  prę dkoś ci  jest  identyczny  z  funkcjonał em  metody  najmniejszych  kwadra- tów  dla  równania  (17).  F unkcjonał   ten  istotnie  róż ni  się  od  funkcjonał u  metody energe- tycznej  dla  równania  (1) tylko  stał ą  co  wykazano  poprzednio. Zastosowane  tutaj  postę powanie  może  być, jak  się  wydaje  uż yte  do  interpretacji  po- dobnych  zależ noś ci  dla  innych  procesów  fizycznych. 4.  M etoda  elementów  skoń czonych W ś r ód  m e t o d  e n e r ge t yc z n yc h  st o so wa n yc h  d o  r o z wi ą z ywa n ia  z a ga d n i e ń  filt r a c ji  usta- l o n e j  n a jwi ę k sze  u z n a n i e  z d o b y ł a  o s t a t n i o  m e t o d a  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  ( M E S )  [3]. M o ż na  j ą  o c z ywi ś c ie  t a k ż e  t r a k t o w a ć  j a k o  p r o c e d u r ę  m i n i m a l i z a c ji  b ł ę du  wyzn ac zan ia s k ł a d o w y ch  w e k t o r a  p r ę d k o ś ci  w  se n sie  n a jm n i e jsz yc h  k w a d r a t ó w .  M a  t o  o  t yle  waż ne z n a c z e n i e  p r a k t y c z n e ,  że  z  je d n e j  st r o n y  p o z wa l a  n a  i n t e r p r e t a c ję  n i e k t ó r y c h  wł aś ciwoś ci r o z w i ą z ań  u z y s k i wa n y c h  z a  je j  p o m o c ą  a  z  d r u gi e j  st r o n y  u m o ż l i wia  o gó l n e  wn io sko wa- n i e  o  z b i e ż n o ś ci  m e t o d y  o r a z  w a r u n k a c h  i  k r yt e r i a c h  t e j  z b i e ż n o ś c i.  D l a  p r z y k ł a d u: ( i)  R o z w i ą z a n ia  p r z yb l i ż o ne  m i n i m a l i z u ją ce  ś r e d ni  b ł ąd  k wa d r a t o w y  m a ją  ja k  wia- d o m o  [2]  t e n d e n c ję  d o  o sc yla c ji  w o k ó ł   wa r t o ś ci  d o k ł a d n y ch  a  z a t e m  p r ę d k o ś ci  obliczon e m e t o d ą  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  b ę dą  t a k ż e  wyk a z ywa ć  t a k ą  n a t u r ę .  I st o t n i e ,  t a k a  oscy- O  PEWN EJ  IN TERPRETACJI  METOD I I I lacja  skł adowych  wektora  prę dkoś ci  jest  powszechnie  obserwowan a  w  M E S,  szczególn ie w pobliżu  osobliwoś ci  w  rozkł adzie prę dkoś ci. Z tego  też  powodu ja ko  ostateczn e  wartoś ci przyjmowane  są   zwykle  wartoś ci  uś redn ione  z  róż n ych  elem en tów. D la  ilustracji  tego  faktu  w  tabeli  1  zestawiono  u/ k*  i  vjk y   obliczone  w  wę ź le  23  dla obszaru filtracji  i  podział u  n a  elem enty  przedstawion ego  na  rys.  2.  Obliczenia  wyko n a n o za pomocą  program u  zreferowan ego  w  pracy  [4]. Tabela  1 Prę dkoś ci  obliczone z  elementu 27 28 29 36 37 38 Wartoś ci  ś rednie Wartoś ci  dokł adne ;( k x - 0 , 5 27 - 0 , 3 38 - 0 , 3 52 - 0 , 5 27 - 0 , 5 32 - 0 , 3 52 - 0 , 4 38 - 0 , 4 43 V k f - 0, 223 - 0, 412 - 0, 412 - 0, 587 - 0, 587 - 0, 767 - 0, 498 - 0, 483 Rys. 2. Obszar  Filtracji,  warunki  brzegowe  i podział  na elementy  dla zadania  przykł adowego  (a)  oraz  n u- meracja  wę zł ów  i  elementów  W otoczeniu  wę zła 23. (ii)  Bł ą d  bezwzglę dny  wielkoś ci  uzyskanych  przez  m inim alizację   bł ę du  kwadratowego może być  tego  sam ego  rzę du  dla  wszelkich  wartoś ci  (duż ych  i  m ał ych)  obliczon ych  t ym sposobem. Tym  samym  n ależy  liczyć  się   z  wię kszymi  bł ę dami  wzglę dnymi  wyzn aczen ia  skł ado- wych  wektora  prę dkoś ci  dla  obszarów  gdzie  prę dkoś ci  t e  są   m ał e.  W  tabeli  2  zestawion o przykł adowo  wartoś ci  u/ k x   i  v/ k y   obliczone  dla  wę zł ów  leż ą cych  wewną trz  obszaru  fil- tracji  z  rys.  2  wzdł uż  prostej  x  =   0,25.  Obliczone  bł ę dy  wzglę dne  wskazują   ist ot n ie  n aj- wię ksze wartoś ci  dla  prę dkoś ci  m ał ych  co  do  m oduł u.  Jest  to  szczególnie  widoczn e  w  tym przypadku  dla  skł adowej  v. 112 B.  WOSIEWICZ Tabela  2 Wę zeł 8 13 18 23 28 33 38 M E S - 0, 074 - 0, 165 - 0, 280 - 0, 438 - 0, 663 - 0, 988 - 1, 464 H k x D okł adnie - 0, 077 - 0, 167 - 0, 283 - 0, 443 - 0, 672 - 1, 006 - 1, 497 Bł ą d wzglę dny  w  % 3,9 1,2 1.1 1,1 1,3 1,8 2,2 M E S - 0, 215 - 0, 264 - 0, 354 - 0, 498 - 0, 717 - 1, 046 - 1, 534 V k y D okł adnie - 0, 207 - 0, 255 - 0, 342 - 0, 483 - 0, 699 - 1, 024 - 1, 509 Bł ą d wzglę dny  w % 3,9 3,5 3,5 3,1 2,6 2,1 1,7 (iii)  Zbież ność  metody  elementów  skoń czonych,  traktowanej  jako  procedura mini- malizacji  bł ę du  kwadratowego  wynika  z  poniż szego  twierdzenia  [5]: Jeż eli:  1) cią g  elementów  BN,,  (n =   1, 2, ...) jest  zupeł ny w  rozpatrywanej  przestrzeni funkcyjnej,  do której  należą   zarówno poszukiwania  funkcja  u jak  i znana funkcja/ z  rów- nania  (16)  2)  równanie  (17)  ma  rozwią zanie  oraz  3)  istnieje  ograniczony  operator od- wrotny  B " 1  wówczas  ukł ad  równań  uzyskiwany  metodą   najmniejszych  kwadratów  ma jedn o  i  tylko jedno  rozwią zanie,  które przy n -> oo  zapewnia  zbież ność  u„  do  u jak  i Bu„ d o B - 1 / . Zupeł ność  elementów  ~BN n   oznacza  tutaj  fakt,  że  funkcje  bazowe  w  MES muszą   być tak  dobrane aby  ze wzrostem  n  dowolnie  dokł adnie  przybliż yć  rzeczywisty  rozkł ad  prę d- koś ci.  N atomiast zbież ność  u„  ~> u  oraz  B«„   do  B~ 1/  oznacza  w  przypadku  problemów filtracji  ustalonej zbież ność zarówno funkcji  h  (x,  y,  z),  opisują cej  rozkł ad ciś nienia piezo- metrycznego,  jak  i  skł adowych  wektora  prę dkoś ci  filtrują cej  cieczy  do  wartoś ci  dokład- nych. Pamię tać jedynie  należ y, że poję cie zbież noś ci  odnosi się   tutaj  do zbież noś ci według normy  w  analizowanej  przestrzeni  funkcyjnej. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  C .  T .  M H XJ I H H ; BapuaifuoHnue  Memodu  e MarneMamutecKoii  c/ iuMKe,  H 3fl.  H ayua, MocKBa, 1970. 2.  L. R.  H E R R M AN N ;  Interpretation  of  finite  element  procedure  as  stress  error  minimization  procedure, J.  Eng.  M ech.  D iv.  98,  1972,  1330- 1336. 3.  O. C.  ZlENKiEwrcz; Metoda  elementów  skoń czonych,  ARKAD Y,  Warszawa  1972. • 4.  B.  WOSI EWI C Z ,  S.  F RĄ CKOWIAK;  Program  obliczeń pł askiej filtracji  ustalonej na  EMC  ODRA  1204, Wiad.  M el.  i  Łą k.,  1/ 1979,  s.  25- 27. - 5.  S. G .  M I C H LI N ,  C. L.  SM OLICKI;  Metody  przybliż one  rozwią zywania równań  róż niczkowych  i  cał ko- wych,  P WN ,  Warszawa  1972. O  PHWNEJ  IN TERPRETACJI  METOD   1 1 3 P  e  3  w  M   c K H H TEPnPETAlJiH H  3H EP rETH ^ECKH X  METOJIOB PEIHEHKLS 3ARAVL  CTAUHOHAPHOfl  4>HJIbTPAUHH B  KaiecTBe  MepBi  O U I H SK H   n pn 6n H > Ken n oro pemenH H  3ap,a^ ui  cpujibTpannu  B  Bapu aiwo iu io ft  ( p o p - jwyjmpoBKe  (5) H  (2) H JI H   3i