Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  19 (1981) RÓWN AN IA  LI N I O WE J,  Z G I Ę C IO WE J  T E O R I I  P O WŁ O K O  WO L N O  Z M I E N N YC H   KR Z YWI Z N AC H STANISŁAW  Ł U K A S I E W I C Z  (WARSZAWA) Wstę p Równania teorii powł ok  o wolno zmiennych krzywiznach  był y tematem- wcześ niej szych prac  autora  [1, 2, 3],  w  których  wyprowadzono  podstawowe  równania  dla  tego  typu powł ok. N iniejsza  praca przedstawia  wyniki  dalszych  badań w  tym zakresie.  W  stosunku do  prac  poprzednich  zawiera  peł ne,  formalnie  ś cisłe  i'bardziej  konsekwentne  wyprowa- dzenie  równań podstawowych  oraz  ocenę  ich  dokł adnoś ci. Został y przeanalizowane  dwa warianty  równań  teorii  powł ok,  oparte  na  dwu  róż nych  miarach  tensora  zmiany  krzy- wizny  [4],  które  są   uznane  obecnie  za  najlepsze.  Wykazano,  że  w  przypadku  powł ok o  wolno  zmiennych krzywiznach  oba  te warianty  prowadzą   do  tej  samej  postaci  równań podstawowych. 1 .  Z a ł o ż e n ia  p o d s t a w o w e  - .• '• • ,':•; Zajmijmy  się   analizą   powł ok  wyniosł ych,  których  krzywizny  są   wolno  zmiennymi funkcjami  współ rzę dnych 01  i 0 2 .  Przez  okreś lenie  „funkcja  wolrio  zmienna" rozumiemy funkcję ,  której  stosunek  jej  pierwszej  pochodnej  do  niej  samej - jest  wielkoś cią   mniejszą od  jednoś ci  w  cał ym  obszarze,  za  wyją tkiem  otoczenia  punktów  gdzie  ta  funkcja  jest bliska zeru. D la tego  typu powł ok moż na uzyskać  uproszczone równania dobrze  nadają ce. się   do  obliczeń liczbowych.  W  omawianej  klasie  powł ok  znajdują   się   oczywiś cie  powł oki kuliste i powł oki walcowe, których krzywizny  są  stał e. Moż na wykazać,  że również powł oki odbiegają ce  od walca  i  kuli, lecz  o ł agodnie zmiennych krzywiznach  mogą   być  obliczone w  ten  sposób;  Obecnie  wykaż emy,  że  podstawowy  ukł ad równań powł ok cienkich moż na sprowadzić  do  ukł adu, dwu  równań  róż niczkowych  dla  ugię cia  normalnego  w  i  funkcji, naprę ż eń  0.  Funkcję  tę  definiujemy  w podobny sposób jak  w przypadku  pł askiego  zagad- nienia  teorii  sprę ż ystoś ci.  Staje  się   to  moż liwe  dzię ki  dokonaniu  pewnych  uproszczeń w  równaniach podstawowych,  U proszczenia  te są   dopuszczalne jeż eli  przyjmiemy  pewne dodatkowe  warunki  i  dokonamy  oceny  bł ę dów  popeł nionych przez  przyję cie  zależ noś ci uproszczonych. W  dalszych  rozważ aniach  bę dziemy  opierać  się   na  zał oż eniach  i  równaniach  teorii powł ok  cienkich podanych  w  pracach  KOITERA  i  SIMONDSA  [4, 6].  P onadto  przyjmiemy zał oż enie  dodatkowe  dotyczą ce  zmiennoś ci  krzywizny  powierzchni  ś rodkowej.  A  wię c zał oż ymy, że powł oka jest na tyle cienka, że moż emy pomijać  wyrazy  rzę du  (hJR)2  w po- równaniu z jednoś cią.  D alej przyjmiemy,  że odkształ cenia powierzchni  ś rodkowej  powł oki 168  ST . ŁUKASIEWICZ są   n a  tyle  m ał e,  że  m oż emy  pom ijać  wyrazy  rzę du  odkształ cen ia powierzchni  ś rodkowej  s w  p o r ó wn a n iu  z jedn oś ci  (e  4  1) . P o wyż ej:  h —  ozn acza  grubość  powł oki,  R—  mniejszy  z  gł ównych  prom ien i  krzy- wizn y  powierzch n i  ś rodkowej  powł oki.  l/ R  3  mm(b aP ). N a  razie  zajm iem y  się   tylko  zagadn ien iam i  liniowymi.  Aby  ocenić wielkość  wyrazów zawierają cych  róż ne  poch odn e  skł adowych  stan u  odkształ cenia  i  n aprę ż en ia,  wystę - pują cych  w  ró wn an iac h  teorii powł ok wprowadzim y  param et r L   charakteryzują cy  dhigość pół fali  przem ieszczen ia.  Przyjmijmy,  że  stan  przemieszczenia  powł oki  zmienia  się   zgodnie ze  wzo rem .  7i©„  .  n6 a w  =   wosin  .  Ba  =   % s m —  a  = 1 , 2 . gdzie  w —je st  ugię ciem  n orm aln ym d o  powierzchni  ś rodkowej, Q a   —  współ rzę dną   krzywoliniową   n a  powierzchni powł oki, Va.  —  skł adową   styczną   wektora  przemieszczenia wtedy  rzą d  wielkoś ci  tych wyrazów  wynosi o( w)  =   w 0 ,  o{va)  =  va0, P rzyjmujemy,  że  zajmować  się   bę dziemy  najczę ś ciej  spotykan ym i  przypadkam i,  dla kt ó rych  o( w0)  >  o(vaO). R zą d  wielkoś ci  poch odn ej skł adowej  wektora  przemieszczenia  m oż na  ocenić  n a  pod- stawie  zależ n oś ci dw  n  7iO a   .  I  8w _ ,   a  wiec  o ^80 a   "°  i oraz  o(w\ a ) =   ~o(w). Z ał oż ymy  dalej,  że p o d o bn ie zm ian a  stan u  n aprę ż en ia  towarzyszą ca  stanowi  zgię ciowemu m o że  być  sch arakteryzowan a  przez  tę   samą   odległ ość  L .  Przyjmijmy,  że  rozpatrywan a w  tej  pracy  klasa  zagadn ień  zgię ciowej  teorii  powł ok cienkich dotyczy  takich  przypadków, dla  kt ó ryc h  speł n ion e są   nastę pują ce  warun ki h 2 / R 2   <  1,  h2/ L 2  ^   1. P o n a d t o  przyjmijmy,  że  L 2/ R2  <  o ( l)  co  oznacza,  że  wyrazy  rzę du  (L / R)2  n ie  bę dą pom ijan e  w  p o ró wn an iu  z  jednoś cią.  M oż na  się   przekon ać,  że  powyż sze  zał oż enia  są speł n ion e  w  najczę ś ciej  spotykan ych  przypadkach  technicznych,  w  których  wystę puje zgin an ie  p o wł o k.  D alsze  zał oż enie  dotyczy  zmiennoś ci  prom ien i  krzywizny  powł oki. Aby  ocenić  wielkość  wyrazów  zawierają cych  poch odn e  ten sora  krzywizny  powierzchn i ś rodkowej  6a/ 3  przyjmujemy,  że  ten sor  ten  może  być  n p .  przedstawiony  w  nastę pują cy sposób ł >aB — gdzie  b afi0   jest  wielkoś cią   stał ą   i  przedstawia  ś rednie  krzywizny  powierzchni  ś rodkowej powł oki,  Q —je st  pewn ą   liczbą   bezwym iarową   mniejszą   od jedn oś ci  oznaczają cą   stosun ek RÓWN AN IA  LIN IOWEJ,  ZGIĘ C1OWEJ  TEORII  POWŁOK  1 6 9 przyrostu  krzywizny  do jej  wielkoś ci  ś redniej,  L R   jest  dł ugoś cią   ch arakteryzują cą   szybkość zmiany  skł adowych  ten sora  krzywizny  powierzchn i  ś rodkowej. Przyjmijmy,  że  bę dziemy  rozpatrywali  powł oki  dla  kt ó rych  stosun ek  L \ L R   <  1. Z  powyż szego  wyn ika,  że  rzą d  wielkoś ci  po ch o d n ej  ten sora  krzywizny  m o ż na  ocen ić ja ko Opierają c  się   n a  powyż szej  ocenie  m oż emy  stwierdzić  również,  że gdzie  K jest krzywizną   G au ssa. Przyjmijmy  dalej,  że  zm ian y  krzywizny  rozpatrywan ych  p o wł o k  są   n a  t yle  n iewielkie i  odbywają   się   n a  tyle  powoli,  że  m oż emy  pom ijać  wyrazy  rzę du w  porówn an iu  z  jedn oś cią.  Jeż eli  g  =   r n a x( g) ,  n iech  g  <§  1.  P owyż sze  warun ki  są   n aj- czę ś ciej  speł nione  w  tych  problem ach  techn iczn ych,  dla  kt órych  są   sł uszn e  zał oż en ia zgię ciowej  teorii  powł ok  cienkich.  P onieważ  g  <  1,  hjR  ~  0,05 — 0,001  <  1,  a  dł ugość fali  ugię cia  L   jest  rzę du  ]/ hR,  a  wię c  gdy  L jR  ~  L jL R   ~  ]/ij/_R  <  1,  pom ijan e  wyrazy wynoszą   kolejno  (przy  n p .  e  =   0, 3,  A/ i?  =   0,01),  0,3  •   10~ 3,  0,3  •   10~ 4,  1 •   l O " 3 . P odstawowy  ukł ad  ró wn ań  liniowej  teorii  powł ok,  po  wyelim in owan iu  sił   poprzecz- n ych , przyjmuje  n astę pują cą   postać  [4, 6, 7]  (przy  zm ien ion ych zn akach  t en so ra  m o m en t ó w i  zm ian y  krzywizny). —  równ an ia  równ owagi {8*- V$M- »%- l%W % + P*  m  0, =   0 ,  «j  = 1 , 2 —  równ an ia  zgodn oś ci  odkształ ceń ^ ) = o, gdzie  da/ i  jest  ten sorem  perm utacyjn ym , —  równ an ia  kon stytutywn e gdzie  Z> =   Eh3/ 12(1  - v2 )  jest  zgię ciową   sztywnoś cią   powł oki,  /i —  gruboś cią   p o wł o ki. <92  =   max(A/ Z,, |/ / z/ i?, ]/ e).  W  powyż szych  ró wn an iac h  S al>  ozn acza  skł adowe  t en so r a sił   bł onowych,  a  M afl  są   skł adowym i  ten sora  m o m en t ó w  gn ą cych,  % at)  i  e a p  przedstawiają ten sory  zm iany  krzywizny  oraz  ten sor  odkształ cen ia  powierzch n i  ś rodkowej.  Wszystkie wyż ej  wym ienione  wielkoś ci  są   ten soram i  sym etryczn ym i,  speł niają cymi  zasad ę   p r a c przygotowan ych.  P om ię dzy  rzeczywistymi,  n iesym etryczn ym i  sił ami  i  m o m e n t a m i  we- 170  ST .  ŁUKASIEWICZ wn ę trzn ymi  dział ają cymi  w  przekroju  powł oki  a  ich  symetrycznymi  reprezentacjam i istnieją   n astę pują ce  zależ noś ci (4)  W*"  =   S ap- b«Mvfl;  M ap  =   M Pa'. T en so r  zm ian y  krzywizny  ««/}  dany jest  wzorem gdzie  2/ /   =   6a  jest  ś rednią   krzywizną ,  a  iśT krzywizną   G aussa.  Ten sor  odkształ cenia  p o - wierzch n i  ś rodkowej  e a p  wynosi (6)  e a p  =   y  ( gdzie  u a   —  jest  skł adową   wektora  przemieszczenia  n a  powierzchni  ś rodkowej,  w —  prze- m ieszczeniem  n orm aln ym  d o  powierzchni  ś rodkowej. 2.  Przekształ cenia  równań  podstawowych P owyż szy  ukł ad  równ ań  róż niczkowych,  razem  z  warun kam i  brzegowymi  okreś la  stan n aprę ż en ia  i  odkształ cen ia  powł oki  o  um iarkowan ie  duż ych  ugię ciach.  Aby  sprowadzić powyż szy  ukł ad  do  postaci  bardziej  dogodnej  do  obliczeń  liczbowych  dokonujem y  n astę - pują cych  przekształ ceń .  Opierają c  się   n a  zał oż eniu  o  wolnej  zmianie  krzywizny,  pierwsze z  r ó wn a ń  równ owagi  m oż na przedstawić  w  postaci (7)  (S aP- 2b^ Mv% li +p a   =  0. Z ostaje  t u  pom in ię ty  wyraz  b^ M'^   zawierają cy  poch odn ą   ten sora  krzywizny.  D opusz- czaln ość  takiego  uproszczen ia jest  wykazana  w  dalej  przytoczon ych  rozważ an iach.  M ian o- wicie,  przyjmujemy  zgodn ie  z  zał oż eniami  zgię ciowej  teorii  powł ok,  że  odkształ cenia spowodowan e  zgin an iem  są   tego  samego  rzę du  co  odkształ cenia  stanu  bł onowego,  wtedy rzą d  wielkoś ci  skł adowych  ten sora  odkształ cenia  s a p  m oż na  ocenić  jako o(e a p)  -   o(x xP h). R zą d  wielkoś ci  pom ijan ego  wyrazu  wynosi  wię c Eh 3 podczas  gdy  rzą d  wielkoś ci  wyrazu  S al>\ p  wynosi P orówn ują c  oba  t e  wyrazy  ze  sobą   widzimy,  że  pominię cie  wyrazu  i*l / 3 M v^  daje  bł ą d ró wn an iu  (7)  rzę du  g———  =  g L   w  porówna L R R począ tkowymi  uproszczen ie  to jest  dopuszczalne. w  ró wn an iu  (7)  rzę du  Q  •   •—  =   o :  w  porówn an iu  z  jednoś cią.  Z godn ie  z  zał oż en iami L R R 172  ST .  ŁUKASIEWICZ Aby  obliczyć  wielkość  u\  wykorzystajmy  wyraż enie  (5) dla ten sora  zm iany  krzywizny «<*/?•   Wyraż en ie  to  m oże  być  przekształ con e  jeż eli  wykorzystam y  zależ ność  (6). M n o ż ąc  obie  stron y  ró wn an ia  (6) przez  b%  i  bp  otrzym am y  po  dodan iu I  i ( 14)  b^ E^ n + bpSsg,  — - ^ - b a ,{ugip- ł - up\ g) + —  bp(u6\ a +u a \ s)  —  2C a pw. D o d ają c  stron am i  równ an ia  (5) i  (14) otrzym am y  nastę pują ce  wyraż enie  dla  ten sora zm ian y  krzywizn y (15)  x a p+l gdzie  co^a — - =-   (I'AI« —«o|a) jest  ten sorem  obrotu  dookoł a n orm aln ej do powierzchni  ś rod- kowej. O st at n i,  podkreś lony  wyraz  jest  rzę du  QL / L R   W porówn an iu  z  pozostał ym i  wyrazam i zawierają cymi  funkcje  przemieszczenia  wa.  Jeż eli  o(wtt)  ~   o (w)  wtedy  w  porówn an iu z  pierwszym ,  najwię kszym  wyrazem  w\ a p jest  on rzę du  Q Z  =   ~QL 2J7IL R R.  P onieważ  przy- ję liś m y,  że o(u a )  <  o(w),  (odpowiada  to przypadkom  najczę ś ciej  spotykan ym  w techn ice), o raz  g  <  1, L / L R   <  1, L / R <  1 a  wię c  dla rozpatrywanej  klasy  powł ok  o woln o  zm ien- n yc h  krzywizn ach  podkreś lony  wyraz  jest  mał y  i  m oże być pom in ię ty.  Wtedy  otrzym am y (16)  4=   - gdyż  wyraz  (b^ co^ +b^ co^ cf11  =   0. Zajmijmy  się   teraz  drugim  wyrazem  równania  ( 1) 2 (17)  {S al>- b*Mrt)b a t Wykorzystują c  wyraż en ie  (9) otrzym am y (18)  (RaP+b«Mrf)b aP   =  - (d^ d^ ^ +K gdzie  o p erat o r  A^   ozn acza  nastę pują ce  wyraż enie (19)  A k 0  =   - d^ dH aP 0\ lll P rzekształ ć my  teraz  wyraż enie  (18)  wykorzystują c  toż sam ość  (13). M am y (20)  C^ M*  =  DCtfla^ Hl-  (1  - y Wykorzystajm y  w  powyż szym  równ an iu  wyraż enie  (16) dla ten sora  zm iany  krzywizny >Ą . Wyraż en ie  t o  zawiera  czł on  2baPe a p  który  jak  się  m oż na  przekon ać  p o  podstawien iu d o  ró wn an ia  równ owagi  (18) daje  wyraz  rzę du  h2/ R2  w porówn an iu z pozostał ym i  wyra- zam i  tego  równ an ia.  Aby  t o udowodn ić  zauważ my,  że wyraż enie  to m oż na wyrazić  przez funkcję   n ap rę ż eń  0  korzystają c  z  równ ań  kon stytutywn ych  (3) x (21)  ^ P on ieważ (22)  S%  =   Rl+lb^ M^   =   - {A&+2K0)+4HD>Ą - 2(\ - v)Db a f,d«W >c Xll RÓWN AN IA  LIN IOWEJ,  ZG IECIOWEJ  TEORII  POWŁOK  1 7 3 P rzekształ cają c  p o d o bn ie  drugi  wyraz  w  wyraż en iu  (21)  ot rzym am y (23)  &****&&*  -   - b«P&\ al3 P o  podstawieniu  d o równ an ia  (21)  m am y (24)  4=  4r { Jan +  (1 +v- )[bal)&\ al) +2HK0- 2(l  +v) Powyż szą   zależ ność  m o ż na  wykorzystać  d o obliczenia  x\ . Z auważ my,  że gdy  podstawim y  (24) do równ an ia  (16),  otrzym am y  p o  prawej  stron ie tego  równ an ia  wyrazy  rzę du  (D/ EhR2)xz.  Współ czyn n ik  D/ EhR2  stoją cy  przed  tym i wyraż eniami  jest  rzę du h 2 / R z   4  1;  (D/ EhR2  =   Eh2/ l2(l- v2)ER2). A  wię c  wyrazy  m n oż one przez  ten współ czyn n ik  m o ż na  p o m in ą ć w p o ró wn an iu  z wy- razem  xl  wystę pują cym  p o  lewej  stron ie  ró wn an ia  (16). Wtedy  otrzym am y  n astę pują ce wyraż enie  dla drugiego  wyrazu  równ an ia  równ owagi  (18) (25)  ^   )  ̂ } +  2(1 - Eh   l P orównajm y  teraz  wyrazy  zawierają ce  drugie  poch odn e  funkcji  stoją ce  w  n awiasie kwadratowym  w  (25)  z  wyrazem  A k 0  znajdują cym  się   p o  prawej  stron ie  powyż szego równ an ia  (25). Widzimy,  że wyrazy  te, zawierają ce  tego  sam ego  rzę du p o c h o d n e  funkcji  0 są   m n oż one przez  współ czynnik  DjEhR2  rzę du  hz/ R2,  a  wię c  m ogą   być w  tym  równ an iu pom in ię te.  Otrzymujemy  wię c (26)  ( S^ - bJ Af*)̂   =  A k 0- (4H 2 - (l+v)K)D[w\ ź  + Jest  to wynik  jaki  otrzym alibyś my  pomijają c  wyraz  2# "5fiap  w  wyraż en iu  (16).  Wyn ik ten  jest  interesują cy  gdyż  ozn acza,  że  w  równ an iu  równ owagi  rzutów  sił  n a  kierun ek n orm aln y  efekty  zm ian y  krzywizny  przy  m ał ych  odkształ cen iach  powierzch n i  ś rodkowej ea/3  <^ 1  m oż emy  obliczyć  t ak  ja k  dla  powierzchn i  odkształ cają cej  się   izom etryczn ie, t o  znaczy  przy  ea/ 3 =   0.  Wpł yw  tych  odkształ ceń jest ja k  się   okazuje  rzę du  h 2 / R 2 .  Jeż eli wykorzystam y  ten  wniosek  otrzym am y,  że  przekształ cają c  równ an ie  równ owagi  (26) m oż emy  przyją ć  dla ten sora  zm ian y  krzywizny i 11 )  Kp  =   - w|a / 5- ca / 9W. P rzekształ ć my  obecnie  ostatn i  wyraz  wystę pują cy  w  równ an iu  (26), p o  wykorzystan iu (15)  otrzym am y (28)  dPW b,*tt*  -   A k P odkreś lony  wyraz daje  w  równ an iu  (26) wyraż en ie  rzę du 12(1-  ̂ ° (S ^   ° m 174  S T . Ł U K ASI E WI CZ P orówn ajm y  teraz  ten  wyraz  z  najwię kszym  wyrazem  w  równ an iu  (26)  zawierają cym funkcję  n aprę ż eń, to znaczy  z  wyrazem  A k cf> rzę du  — - - —^ o(<£ ). Widzimy,  że podkreś lony wyraz  daje  bł ąd  rzę du  (h/ R)2  i  m oże być pom in ię ty.  Ostatecznie  otrzymujemy  równ an ie (28) w postaci (S afi - b^ M^ )b afi   =  A k (j> - ~(4H Z  - (l+v)K)D[Aw  + (4H 2   - 2K)w]  +  2(l- v)HDA k w. Z ajmijmy  się  obecnie  pierwszym  wyrazem  równ an ia  ( 1) 2 . (29)  M «  widzimy,  że jest  on rzę du  h2/ L 2  - 4 1 i  m oże  być  p o - m in ię ty. P owyż sze  równ an ie  zawiera  jedyn ie  dwie  n iezn an e funkcje  co i    i  może  być  uzn an e za  pierwsze  z  dwu podstawowych  równ ań  powł oki  o  woln o  zmiennych  krzywiznach. R ó wn an ie  t o m oż na  n ieco  uproś cić  jeż eli  do przekształ cenia  pewnych  m ał ych  wyrazów wykorzystam y  ró wn an ie  zgodnoś ci  odkształ ceń (2) x (32)  < W V , „ K =   p P orówn ując  zależ n oś ci  (30) i  (32)  widzimy, że 1 4 2HA   k   w  =  -   2KA  w -   4H 2 Kw  +  ^ i _  - |4 -  o(0). Jeż eli wykorzystam y  tę  zależ ność  do przekształ cen ia pewnych  m ał ych wyrazów  w rów- n an iu  (31) otrzym am y  równ an ie  w  którym  wyrazy  wynikają ce  z  udział u  odkształ ceń 4u2 bł on owych  i  obrotów  ( e a / ) i ojajj)  są rzę du  . .  — \ 7 T D "  O ( ^ > ) . W  porówn an iu z  wyrazem A k ,  kt ó rego  rząd  wielkoś ci  wynosi  (n2/ RL 2)o(0),  są  one  rzę du  h2/ L 2  a więc  mogą być po m in ię t e.  Ostatecznie  otrzym ujem y  pierwsze  podstawowe  równ an ie  w  postaci (33)  D[A+4H2- (3- v)K][A  + 4H2- 2K]w  + 4{l- v)DK(H2- k)w  + A k   wykorzystajmy  równanie  zgodnoś ci  odkształ ceń W  równaniu  tym  moż emy  odkształ cenia wyrazić  przez  sił y bł onowe, a  te  z kolei  przez funkcje  naprę ż eń  0  korzystając  z  wzorów  (3).  M amy  więc gdzie  S^ P o  podstawieniu  S lft  z  (8)  otrzymujemy i  2D P o  podstawieniu  do  równania  (2) t   i  wykonaniu  róż niczkowania  otrzymujemy (34) M oż na  się  przekonać,  po  wykonaniu  dość  pracochł onnych przekształ ceń,  że  ostatni wyraz równania  (34) zawiera jedynie wyrazy rzę du  drugich pochodnych funkcji  w m n oż one przez  współ czynnik  2D\ EhF?.  Przekształ ć my  jeszcze  powyż szą  zależ noś ć,  mam y Ostatni  wyraz  K\ ,,(j>\ K  w  porównaniu  z  wyrazem  poprzedzają cym  jest  rzę du  QL / L R . Jednakże gdy  porównamy  go  z najwię kszym  wyrazem  AA@  w równaniu  (34)  otrzymujemy, że pominię cie go  daje  bł ąd  rzę du  Q 2   =   QL zln2R2L R . Ponieważ  Q <  1;  (L / R)2  <  1;  L / L R   <  1;  n2  ~  10,  widzimy,  że  pominię cie  to  jest dopuszczalne  w  ramach  rozpatrywanego  warian tu  zgię ciowej  teorii  powł ok  cienkich, fe  <  1). Pomijając  wyraz  zawierają cy  pochodną  krzywizny  G aussa  K  otrzymamy (35)  < W £ a A [ | W  =  - L  {A(A4> + (1 - y)K0)  + (1 + v) ?D  1  2D D rugi  wyraz  równania  (2) 1   m oż na  przekształ cić, wykorzystując  zależ ność  (16).  Otrzy- mamy  wtedy ( l(36)  - df Trzeci  wyraz  Ke\   po  wyraż eniu  ea/ i  przez  funkcję  naprę ż eń  otrzymuje  postać (37)  KĄ  =  -   i gJ L X [J 0+ 2X0]. 176  ST .  Ł UKASIEWICZ D odając  wyrazy  (35), (36) i  (37) otrzymamy równanie zgodnoś ci  odkształ ceń w postaci 1  2D (38)  - ^ • {A(A0+2K^ )+(l- v)K(A+2K)0}- A k w+- ^ r̂ o(Aw)  =   0. P orówn ajm y  ostatni  wyraz  powyż szego  równania,  mnoż ony  przez  współ czynnik DjEhR?  %  wyrazem  A k  w.  Ponieważ współ czynnik  ten jest  rzę du  h2/ R2  wyraż enie  to może być  pom in ię te. Jeż eli  n ie  skorzystamy  ze  wspomnianych  przedtem  przekształ ceń i porów- n am y  ostatni  wyraz  równania  (34) z A k w  otrzymamy,  że jest  on  rzę du  h/ L 2  co również dowodzi,  że może  być  pominię ty.  Ostatecznie  moż emy  zapisać  równanie  (38)  w  prostej postaci (39)  - L-  [A + (l- v)K][A+2K]0- A k w  =  0. £ .11 W  wyniku  przekształ ceń  otrzymaliś my  ukł ad  dwu  równań  róż niczkowych  (38) i  (39) zawierają cych  dwie  nieznane funkcje  w i (j>,  które  mogą  być  uznane za podstawowe  rów- n an ia  powł oki o wolno  zmiennych krzywiznach.  Rozwią zanie  tych  równań  okreś la  w i   =   - d^ ^ - Ka*^ . Wyrazy  drugiego  z  równań  równowagi  (40)2  przyjmują  po  przekształ ceniach nastę- pują cą  postać S aS b afl   =   A k 0+D{[AH 2 - (l+v)K]H\ - 2H(\ - v)A k w}, ( 4 7 )  M ° %  =   - D{A[A  +  (4H2- 2K)]v/ +2(l- v)K(A+2H2)w+2(l~v)HA k w}, gdzie  A k   =   b aP R' fi . Po  dodaniu  otrzymujemy  równanie  identyczne  z  równaniem  (30)  otrzymanym  po- przednio. D rugie równanie podstawowe  wyprowadzone  n a podstawie  równania  zgodnoś ci odkształ ceń  (41)  t   przyjmuje  również  tę  samą  postać  co poprzednio, gdyż nie  wystę pują cy w  tym  równaniu wyraz KĄ  jest skompensowany  wyrazem  —  (bie Y p+bf,e va )  pojawiają cym się  w  wyraż eniu  (43)  dla  tensora  zmiany  krzywizny.  W  rezultacie  otrzymujemy  drugie równanie podstawowe  identyczne z równaniem (39). Równania dla  sił  przekrojowych  N aP  są  nastę pują ce (48)  N «P  - i  róż nią  się  od zależ noś ci w  poprzednio rozpatrywanym  wariancie  równań  podstawowych. 4.  Warunki  brzegowe Podstawowy  ukł ad  równań  (33, 39)  teorii  powł ok jest  ósmego  rzę du.  Pozwala  więc na  speł nienie czterech  warunków  brzegowych  na  każ dym  brzegu  powł oki, podobnie  jak ma  to  miejsce  w  klasycznej  teorii  powł ok  o  mał ej  wyniosł oś ci.  Warunki  te  mogą  mieć charakter  geometryczny  lub  statyczny. Jeż eli  geometryczne  warunki  brzegowe  są  wyraż one  przez  odkształ cenia  i  zmiany krzywizny  wtedy  trzeba wyrazić  odkształ cenia przez  funkcję  naprę ż eń, korzystając  z  wzo- rów  (3)  oraz  z  zależ noś ci  (8).  Zmiany  krzywizny  powierzchni  ś rodkowej  okreś lone  są równaniem  (15).  Ponieważ, jak  wykazano  poprzednio  wyrazy  zawierają ce  funkcje  skł a- dowych  tensora  odkształ cenia powierzchni  ś rodkowej  dają  w  podstawowych  równaniach (33) (39) efekty  rzę du  (h/ R)2  i (h/ L )2,  uzasadnione jest więc pominię cie ich również  w  wa- runkach  brzegowych  dotyczą cych  tych  równań.  Wtedy  moż emy  korzystać  z  wyraż enia (27) przy okreś leniu skł adowych tensora zmiany krzywizny.  Moż liwe jest również speł nienie warunków  brzegowych  w  przemieszczeniach.  Badamy  wtedy  speł nienie  warunków  brze- 17S  S T .  ŁUKASIEWICZ 8w gowych  przez  ugię cie  w  i - r—oraz  skł adowe  styczne  wektora  przemieszczenia  wa,  P oszuki- wan ie  skł adowych  u a   wym aga  scał kowan ia  zależ noś ci  (6). Statyczn e  warun ki  brzegowe  m oż na  wyrazić  przez  sił y  i  m om en ty  brzegowe.  Korzy- stam y  przy  t ym  z  zależ n oś ci  (4),  (8)  i  ( 3) 2 .  Konieczne jest  przy  tym  wprowadzenie  sta- tyczn e równ oważ n ych  sił  brzegowych.  P odstawowy  ukł ad równ ań  wraz  z  odpowiadają cymi im  waru n kam i  brzegowymi  m oże  być  w  ram ach  przyję tych  przybliż eń  wyprowadzony z  waru n kó w  wariacyjnych.  Jedn akże zagadnienie  to  bę dzie  przedm iotem  oddzielnej  publi- kacji. 5.  Wnioski Wyprowadzen ie  wyż ej  przedstawionych  równ ań  teorii  powł ok  o  woln o  zm ien n ych krzywizn ach  opiera  się   n a  zał oż eniu,  że  m oż emy  pomijać  wyrazy  rzę du  h2jR2,  h2/ L 2 w  po ró wn an iu  z jednoś cią   oraz  m ał e  wyrazy  okreś lone  w  §  1, wynikają ce  z  efektu  zmien- n oś ci  krzywizny  powierzchn i  ś rodkowej  powł oki. Przyję to  również,  że  dł ugość fali  ugię cia n aprę ż en ia  jest  rzę du  ~  y  Rh  i  L   <  R.  Ponieważ  wiele  problem ów  technicznych speł nia przyję te  warun ki,  równ an ia  te, dzię ki  swej  prostocie, mogą   być  uż yteczne  w  obliczeniach in ż yn ierskich. P owyż sze  równ an ia  są   równ an iam i  liniowej  teorii  powł ok  gdyż  wszystkie  efekty  n ie- lin iowe  wynikają ce  ze  zm ian y  geometrii  powł oki został y pom in ię te.  Jedn akże ł atwo m o ż na je  uogóln ić  n a  przypadek  nieliniowy  dotyczą cy  um iarkowan ie  duż ych  ugię ć.  Bę dzie  t o t em at em  n astę pn ej  publikacji.  .  .., Literatura  cytowana  w tekś cie •   •   .  •   i 1.  S. A.  ŁU KASIEWICZ;  Uzupeł nienie  równań  technicznej teorii powł ok. Rozprawy  inż ynierskie  11,  1 (1963). 2.  S. A.  ŁU KASIEWICZ;  T he  equation  of  the  T echnical  T heory of  Shells with the Effect  of.  T ransverse  Shear Deformations.  Q. Appl.  M ath.  1, 489- 497  (1971). 3.  S. A.  ŁU KASIEWICZ;  On  the equations of  the  T heory of  Shells  of  Slowly  Varying Curvatures.  Journal of  Appl.  M ath,  and Physics  (ZAM P)  vol.  22, 6  (1971). 4.  W. T.  K O I T E R ;  On the nonlinear T heory of thin Elastic Shells. Proceedings of  Kon.  N ed.  Ak.  Wet.  S.B. 69  N o  1,  1966. 5.  W. T.  K O I T E R ;  A  comparsion  between  John's  refined interior shells equations  and  classical shell  theory. Journ .  of  Appl.  M ath,  and Phys.  (ZAM P)  20,  642  -  652  (1969). 6.  W. T. K O I T E R ;  J.  G .  SIM M ON D S; Foundations  of  shell theory „T heoretical  and  applied Mechanics".  P roc. 13th  I U T AM   Congr.  M oscow  1972.  Springer- Verlag,  Berlin- Heidelberg- N ew  York  1973 p.  150- 175» 7.  W.  PIETRASZKIEWICZ;  Introduction to  the non- linear  theory of  shells. Mitteilungen  ans dem  Institut  fiir M echanics,  Ruhr- U niversitat  Bochum, 1977. P  e  3  so  M e yP ABH E H K J I  J I H H E flH O ft  T E O P H H   H 3 r H B A  OE OJI O^E K  C  M E flJI E H H O K P H BH 3H AM H . B  p a S o i e  paccM oipeH Bi  (ŁyHflaMeHTajiBHbie  ypaBHeHHH   le o p i m  OCOJIOMBK  C MenJieHHO  H3MeHH- KpjiBH3HaMH.  B  cpaBHeHHH  c  npeflbiflymBMH   paSoTajviH   aBTopa  cflecB  H S H   6ojiee  To^eH  u  C H - ypaBH eH H H ,  a  TaioKe  oneH Ka  TO*IHOCTH:  p e m e i n w. RÓWNANIA  LINIOWEJ,  ZGIĘ CIOWEJ TEORII POWŁOK  179 (bynflaMeHTaJiMibix  # H(p(bepeim.na.n:ŁHbix  ypaBH em ui  O SO JI O ^K H   CBCflCHa  i< CHCTeMe AH(Jj(pepeimHajibHMX  ypaBHCHHH   # J I H   H opM anbH oro  H 3ra6a  H  tpyHi- cnjiH   H anpjBKenH K. npoaH aJiH 3OBano  flsa  Bapn aH Tti  HHtJicpepeHUHaJibHbix ypaBJiemiH   H  p,OKH3ano >   via c  MeflneHHO  H3AieHHioiu;HMHCH  i