Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2, 19 (1981) WYBOCZEN IE  C I EN KI EJ  P OWŁ OKI  P R Z Y  OBCIĄ Ż EN IACH OBROTOWO  SYM ETRYCZN YCH   P O Z A  G RANICĄ   SP R Ę Ż YSTOŚ CI JERZY  Z I E L N I C A ,  M ARIA  K  W I E K  (POZN AŃ ) 1.  Wstę p, założ enia 1  oznaczenia W  pracy  wyprowadzono  zależ noś ci  oraz  przedstawiono  metodę   obliczeń  obcią ż eń krytycznych  dla  cienkiej  sprę ż yste- plastycznej  powł oki  w  kształ cie  stoż ka  ś cię tego  pod wpływem  podstawowych  obcią ż eń  typu  obrotowo- symetrycznego,  t j. : •—  poprzeczne ciś nienie równomierne, —  wszechstronne równomierne obcią ż enie hydrostatyczne, —  siła wzdł uż na ś ciskają ca  skierowana  wzdł uż tworzą cej. Wykorzystują c  podejś cie  SHANLEYA, dopuszczają ce  wzrastanie  obcią ż enia  i  rozwijanie się   stref  procesów  biernych  w  wyniku  powstawania  pozakrytycznych  ugię ć,  dla  każ dego z  wyszczególnionych  przypadków  podano zależ noś ci  dla  obliczania  obcią ż eń  krytycznych wedł ug  dwóch  podstawowych  teorii  plastycznoś ci,  tj.  teorii  deformacyjnej  i  teorii  plas- tycznego pł ynię cia. U wzglę dniono  ś ciś liwość materiał u  powł oki i przyję to  charakterystykę umocnienia  typu  liniowego.  D o  rozwią zania  równań  wyjś ciowych  wykorzystano  metodę ortogonalizacyjną . Przy  uwzglę dnieniu  niejednorodnego  rozkł adu  naprę ż eń  w  powł oce  w  stanie  przed- krytycznym  i  wprowadzeniu  badania  warunku  uplastycznienia  typu  H - M-H   uzyskano zależ noś ci  pozwalają ce  na  obliczanie  obcią ż eń  krytycznych  dla  powł oki  cał kowicie  lub czę ś ciowo  uplastycznionej, a nawet dla powł oki znajdują cej  się  przed  wyboczeniem. w stanie sprę ż ystym.  W  wyniku  analizy  stwierdzono,  że  zwią zki  wyjś ciowe  uzyskane  n a  bazie teorii  plastycznego  pł ynię cia  są   prostsze  i wygodniejsze  dla  praktycznego  wykorzystania. Przy  wykorzystaniu  teorii  deformacyjnej  obliczanie  obcią ż eń  krytycznych  wymaga  stoso- wania  metod  iteracyjnych  i  cał kowania  numerycznego. W  pracach  [4, 5] przedstawiono  analizę   statecznoś ci poza granicą   sprę ż ystoś ci  powł oki stoż kowej  obcią ż onej  wszechstronnym  równomiernym  ciś nieniem  hydrostatycznym  przy zał oż eniu  charakterystyki  umocnienia materiał u typu  potę gowego.  Wyprowadzone  w  tych pracach zwią zki wyjś ciowe posiadał y rozbudowaną   strukturę ;  stosowanie ich do obliczania obcią ż eń  krytycznych  był o  ograniczone  do  przypadków  gdy  cał a  powł oka  przed  utratą statecznoś ci  przeszł a  w  stan  plastyczny.  Tego  dość  silnego  ograniczenia,  zawę ż ają cego zakres  moż liwych  rozwią zań,  niniejsza  praca  nie  zawiera.  W  pracy  niniejszej  przyję to liniową   charakterystykę   umocnienia  materiał u  [6],  a  poprzez  cał kowanie  przez  czę ś ci po  ortogonalizacji  uniknię to  koniecznoś ci  róż niczkowania  współ czynników  macierzy sztywnoś ci,  które  z uwagi  n a  niejednorodny  stan  naprę ż eń w  stanie  dokrytycznym  zależą 2  Mech.  Teoret.  i  Stos. 2/81 3 82  J .  Z I E L N I C A,  M .  K WI E K od  - współ rzę dnych  geom etrycznych,  przez  co  zależ noś ci  wyjś ciowe  przyję ły  zwartą  postać. Z a kł a da  się  p o n ad t o , że  m ateriał   powł oki  jest  izotropowy  i  ś ciś ł iwy.  Obowią zują  hipotezy K irch h offa- Love'a  (w  powł oce panuje  pł aski  stan  n aprę ż en ia,  obowią zuje  h ipoteza  n ie- wydł uż aln ego  odcin ka  n orm aln ego)  i  zajmiemy  się  dowolną  formą  utraty  statecznoś ci. An alizę  opieram y  n a  koncepcji  wzrastają cego  obcią ż enia,  która,  pom im o  zł oż on oś ci, um oż liwia  uzyskan ie  zwią zków fizycznych  w  postaci rozprzę gnię tej  i daje  rezultaty  bardziej zbliż one  d o  dan ych  eksperym en taln ych.  P rzegląd  waż niejszych  prac,  tematycznie  zwią za- n yc h  z  niniejszą,  m o ż na  znaleźć  w  pracy  przeglą dowej  [2],  oraz  w  pracach  [1, 4, 5]. P on iż ej  zestawion o  waż niejsze  oznaczenia  stosowane  w  pracy: E c  —  m oduł   sieczny, E t  =   E j  —.m o d u ł   styczny  lub  m oduł   wzmocnienia  liniowego, E,  G  —  m oduł y  sprę ż ystoś ci  podł uż nej i  poprzecznej, v —•  liczba  P oissona, q —  równ om iern e  ciś nienie  dział ają ce  n a  powierzchn ię boczną  powł oki, a —  wszechstron n e  równ om iern e  ciś nienie  h ydrosta- tyczne, N a   —  sił a wzdł uż na rozł oż ona równ om iern ie, przył oż ona d o  górnej  podstawy  powł oki, q*,  a*, N *  • .— argum en ty  miejsca  zerowego, a i,  ej —  intensywność  n aprę ż eń  i  odkształ ceń, m,  2n —  param etry  —  liczba  pół fal  wzdł uż  tworzą cej  i  p o obwodzie  przy  wyboczeniu, CTpi  —  gran ica  plastycznoś ci, - Wio. N 2 o,  T XQ   —  sił y  stanu  bł on owego, w,  $> —  funkcja  ugię cia  i  funkcja  sił , e  x«>   s i2)  7i2  —  odkształ cenia  i  zm ian y  krzywizn  powierzchni podstawowej  powł oki, d s   =   a s jai,a Q   =   «re/ or,,  rs0  =   TsS/ ffi  —  wzglę dne  n aprę ż en ia  odpowiednio  w  kierun ku podł uż n ym,  obwodowym  i  styczne, Ai,£i  —  cał ki  num eryczne  w  równ an iu  statecznoś ci, ( ) »;  ( ) , e —  róż niczkowanie  wzglę dem  odpowiedniej  współ - rzę dn ej, s 1}   s 2   —  odległ ość  od  wierzchoł ka  d o  górnej  i  dolnej podstawy  wzdł uż  tworzą cej, li —  grubość  powł oki, §  —  kąt  pochylenia  tworzą cej  przy  podstawie. 2.  Sformuł owanie  problemu  i  podstawowe  zwią zki  wyjś ciowe R ozważ amy  cien koś cien ną  powł okę  w  kształ cie  stoż ka  ś cię tego,  swobodnie  p o d p art ą n a  brzegach ,  obcią ż oną  w  sposób  dowolny,  obrotowosym etryczny.  Z akł adam y,  że  przed u t r a t ą  stateczn oś ci  w  powł oce  istnieje  bezmomentowy  niejednorodny  stan  n aprę ż eń o  sił ach  wewn ę t rzn ych:  JV10,  N 20,  T i0,  T 20,  a  wymiary  powł oki  i  m ateriał   są  takie,  że WYBOCZEN IE  CIEN KIEJ  POWŁOKI  ,183 przy  aktywnym  i proporcjonalnym  narastaniu  skł adowych  tensora  naprę ż eń,  wyboczenie może  nastą pić  po osią gnię ciu  granicy  sprę ż ystoś ci.  Jeż eli  przyjmiemy,  ż e. w  chwili  wybo- czenia  powł oka  ulega  uplastycznieniu,  a  strefy  lokalnych  odcią ż eń  powstają   dopiero w  wyniku  ugię ć  powł oki,  wówczas  dochodzimy  do stosowanej  tutaj  koncepcji  wzrastają - cego  obcią ż enia.  Przy  takim  podejś ciu  rozwijaniu  się  stref  procesów  biernych  towarzyszy wzrost  obcią ż enia ponad wartość  krytyczną ,  a ką t pochylenia krzywej a t  =  ffj(w) w punkcie bifurkacji  jest n a ogół  róż ny  od zera.  Koncepcja  ta został a  zaproponowana1 przez  SH AN - LEYA  do analizy  wyboczenia  prótów  i zastosowana  przez  STOWELLA,  ILIU SZYN A  i  G RIG O- LUKA  dla pł yt i powł ok. Równania  statecznoś ci  powł oki  stoż kowej  został y  wyprowadzone  w pracy  [4]:  (  : ó / 3 + d Mcós/ 3+   w 2  //   1 \  sco (2.1) 1  1 w,sss'mp  — oysese  dy^Q  a+oeQ  ssscosp- \  — 6es e@+2deQ  .cosB —s  scosp ósStScosp  =  0 . Równanie  (2.1)x  wynika  z  warunków  równowagi  elementu  po  utracie  statecznoś ci, natomiast  (2.1)2 jest równaniem  nierozdzielnoś ci  odkształ ceń. dM s, ..., dN s, ...  oziiaczają wariacje  sił  i momentów wywoł ane  w powł oce przez  utratę   statecznoś ci,  ds S)   de @ , dy s&   — wariacje  odkształ ceń w powł oce. Wedł ug  hipotezy  Kirchhoffa- Love'a  wariacje  wydł uż eń  dowolnego  odcinka  powł oki zależą   od  wydł uż enia  elementu  powierzchni  podstawowej  i  zmiany  krzywizn de s   =  de l —x 3 d>c 1 ,  '• ',•   * (2.2)  de 0   =   de 2 — x 3   dx z , u gdzie  x 3   jest  współ rzę dną   normalną   do  powierzchni  podstawowej,  przy  czym  —= -   < - " Xs  "  +   2  '  ; Wariacje  krzywizn  w  powł oce  są   okreś lone  nastę pują co .  „ 1  1  sin/ S 11  1  tg/ ? Siły  i  momenty  w  powł oce jakie  powstaną   w  wyniku  utraty  statecznoś ci  uzyskamy cał kują c  po  gruboś ci  powł oki  wariacje  naprę ż eń (2- 5)  óN ap  =   J  d a  de  i  Sx  są  wekt oram i  kolum n owym i  odkształ ceń i zm ian  krzywizn (2.11)  da  =   {<5£i)  Ss 2 ,  Ss 12 },  3x  =   {ó?i;1,  dx2,  (5«12j. Z godn ie  z  koncepcją  SH AN LEYA  współ czynniki  E y  i  D l 7 zależą  od  przyję tej  teorii  plastycz- n oś ci,  m ech an iczn ych  wł asnoś ci  m at eriał u w  stanie  sprę ż ystym  i  plastycznym  i  od  stan u n aprę ż eń  w  powł oce  przed  u t rat ą  statecznoś ci.  Wartoś ci  ich  m oż na  znaleźć  w  pracach [4,  5] dla  obydwu  podstawowych  teorii plastycznoś ci,  dlatego  też w  pracy niniejszej  ogólnej ich  post aci  n ie  przytoczym y,  podam y  jedyn ie  ich  wartoś ci  p o  okreś leniu  charakterystyki m ateriał u  i  zdefin iowan iu  n aprę ż eń  stan u  przedkrytycznego  dla  poszczególnych  rodzajów obcią ż eń  zewn ę trzn ych.  D o  równ an ia  równ owagi  i  równ an ia  nierozdzielnoś ci  (2.1)  wsta- wiam y  wariacje  m om en tów  (2.8),  oraz  wariacje  odkształ ceń  p o  odwróceniu  równ an ia (2.7),  t j. gdzie  E jest  odwrócon ą  macierzą  sztywnoś ci. D o  r ó wn a ń  (2.1)  wstawiam y  równ ież  wyraż enia  okreś lają ce  krzywizny  (2.3)  oraz  wariacje sił   wyr a ż o ne  za  p o m o cą  funkcji  sił WYBOCZEN IE  CIEN KIEJ  POWŁ OKI  ]  85 (2.13) Pomimo  obrotowej  symetrii  obcią ż enia,  w  powł oce  panuje  niejednorodny  rozkł ad uaprę ż eń w stanie przedkrytycznym,  stąd  E;j i D y są funkcjami  argumentu s, a dla przy- ję tych  rodzajów  obcią ż eń  znikają  sił y  i naprę ż enia  tną ce, co powoduje  że  E a 3  =  E 3 a = =   D a 3 =  D 3 a =  0.  Po uporzą dkowaniu  równania  (2.1) przyjmą  postać \   - l s- l s Dł l i S S + D 1 2 , +   2 D l l i S — - D J J l 1 1 2 , ss  s 2  ,  1  1 (2.14)  - - j  ( D i 2  +  D 2 2 - D3 3 ) - i V2 0  lw,ee  3  3g- 'O%2^ >,eee0  =   0. 1  / -   -   2 - 1 M   3 3 ) I  2 i , s - ~   ia—  5 i  r_  i | E 2 ł . „ -  —( E 3 1  -   1 E i l l ł + - a S  S 3.  Rozwią zanie  równań Aby  wyznaczyć  obcią ż enie  krytyczne  należy  rozwią zać  ukł ad  równań  róż niczkowych czą stkowych  (2.14).  U kł ad  ten  sprowadzimy  do  równań  róż niczkowych  zwyczajnych wzglę dem  zmiennej s przez przyję cie  funkcji  ugię cia w i funkcji  sił  0  w postaci  podwójnych szeregów nieskoń czonych 0 0  0 0   0O  OD (3.1)  w(s,&) = ^   J?  wm„(s)cosn@,  0(s, 0)  — £  J£ ®mn(ś )cosn©. tir- .l  tu—I  n= s 1 m= - -l 186  J . ZlELNICA, M .  KWIEK P rzyjmują c  w pierwszym  przybliż eniu  po  jedn ym  wyrazie  tych  funkcji  i  podstawiają c do  (2.14)  uzyskam y  u kł ad d*w  d 3 w  ,-   2  ., d 2 w  ,  dw - n 2 w(a g - n 2 a 10 )  =  =   0, Współ czyn n iki  a ;  i  @t  równ ań  (3.2)  są   funkcjami  zmiennej  s.  U kł ad  równ ań  (4.2) scał kujemy  w  sposób  przybliż ony  m etodą   ortogonalizacyjną   G ALE R KI N A,  przyjmują c funkcje  w(s)  i 0 ( s)  w postaci (3.3)  w(s) =  wosin—is- Si),  0(s)  =  0osin —p(s- «i), speł niają cej  kin em atyczn e warun ki  brzegowe. Z go d n ie  z  m etodą   ortogonalizacyjną   ż ą damy  speł nienia  warun ków Ja  "i (3.4)  /  i ^ sM s)  =  0,  /  F 2 (s)0(s)  =   0, zi  Si gdzie  F^ {s)  i F 2 (s) oznaczają   lewe  stron y  równ ań  (3.2). P odstawiają c  (3.3) i  (3.2)  do  (3.4)  oraz  wykonują c  cał kowan ie przez  czę ś ci  wyrazów zawierają cych  zm ien n e  współ czynniki    0pi  j E i ,  Oi >  ff P i ,  Ot ^  «Tpi  \ h,  0t  <  avl O becn ie  przejdziem y  do  p o d an ia  wyników  dla  poszczególnych  przypadków  obcią ż eń. V/ VBOCZEN IE  CIEN KIEJ  POWŁOKI 187 4.  P o wł o ka  obcią ż ona  równ om iern ym  ciś nieniem  poprzeczn ym Sił y i  n aprę ż en ia bł on owego, przedkrytyczn ego  stan u  n aprę ż eń w powł oce są  o kreś lo ne nastę pują co N , n   =   aji  =   - 2tg/ ? O,  =   - sr (4.1) n atom iast  m oduł   sieczny  przyjmuje  wartość =   (T 0 ll  =   — qs t g/ S' qs\ / Q s o  <•   a„ (4.2) gdzie k  = 21  ——  — 11 o  ) Z godnie z (3.6) uzyskam y  n astę pują cy  zwią zek  okreś lają cy  wartość  obcią ż en ia  krytyczn ego (4.3)  q kT n   = " ( A i C0S P+^ nr A 2  + S 3 W  równ an iu  powyż szym ~  f  1  / l l H X  =   I  • — I - —I  —s a ^  AT \   * /  L j  / - J I I T T J  llV  j - I- 1  ,  1 , COS^CJ a s , s  J J r . si 7 s i l 1 2 ' '  I [   ds> C  l  1 3 =   ~  J 7 ^ ^ f  Ar  / j r t r  , 1 = J  AF YT I rfs, 18S J .  Z lELN IC A,  M .  KWIEK r  j  N  i  n s  I • S2 J33  =   J  —- - j3- - - Współ czyn n iki  wystę pują ce  w  zależ noś ciach  (4.10)  są   zwią zane  z  elem entam i  macierzy sztywnoś ci  n astę pują co D 1 2 ( s 2 )  D 1 2 ( S l ) d° 12 N (s 2 ) (4.5) =   D a ^ 5  b u  =   D 2 2 , =   D 1 1 D 2 2 - D ?2 - =   Di =   - D 1 2 , E lem en ty  m acierzy  sztywnoś ci  D a / ? i  funkcje  V̂ i  M  zależą   od  przyję tej  teorii  plastycz- noś ci  i  dla  dan ego  typu  obcią ż enia  i  przyję tej  charakterystyki  m ateriał u  w  zakresie  sprę - ż ystym  i  plastyczn ym  są   okreś lone  n astę pują co: a) teoria  deform acyjna  (TD ) DTD2 2  — 1. 1, 3 + -   ffpi (4.6)  D I ?  = + T " ( 3 3   = gd z ie  j- i  =   1—  2v. 2E ' • )• 3- ł - i, —  v, WYBOCZEN IE  CIENKIEJ  POWŁOKI 189 b)  teoria plastycznego  pł yn ię cia (TP P ) - .TPP  _ u  - DJP" = J vi 2Q S , 2( 3+  ( !+ «*) I J T P P  1  A T P P 3̂3  - 7 + 7.  3̂3 Jak  widać,  współ czynniki  wg  teorii  deformacyjnej  zależą   od  zmiennej  s  ja k  i  od  obcią - ż enia  zewnę trznego  q,  n at o m iast zgodn ie  z  teorią   plastyczn ego  pł ynię cia zależą   t ylko  od  s. W  zwią zku  z  tym  stosują c  teorię   plastyczn ego  pł ynię cia  obcią ż enie  krytyczn e  m o ż na otrzym ać  bezpoś redn io  ze  wzoru  (4.3);  pozostaje  jedyn ie  obliczenie  cał ek  n um eryczn ych A t   i Bi  (4.4), których  wyznaczenie  w  sposób  ś cisły jest zawił e. Wedł ug teorii  deformacyjnej obcią ż enia  krytycznego  bezpoś redn io  ze  wzoru  (4.3)  n ie  m oż na  obliczyć,  pon ieważ  prze- kształ cenie  tej  zależ noś ci  ze  wzglę du  n a  q  n ie  jest  m oż liwe.  W  zwią zku  z  t ym  p o d am y pewien  algorytm  iteracyjny.  P owł oka n a  którą   dział a boczn e  ciś nienie  ró wn o m iern e  traci stateczność w ten sposób, że wzdł uż tworzą cej  tworzy  się  jed n a  pół fala; dlatego  w  ró wn an iu (4.3)  przyję to  m  —  1,  n at o m iast  p o  obwodzie  powstaje  n  fal,  przy  czym  wart o ść  n  przy obcią ż eniu  krytycznym  zależy  od  param et ró w  geom etrycznych  powł oki.  Obcią ż enie krytyczne  q krn   stan owi  m in im aln a  spoś ród  wartoś ci  q*  =  q*(n)  dla  róż n ych  liczb  n  (n  = =   1 , 2 , 3 , . . . ) .  Obliczenia  bę dziemy  prowadzili  n astę pują co.  Z wią zek  (4.3)  zapiszem y w  postaci (4.8)  F i (q,ń )  = L l (q,n)~q  = O, gdzie  L i(q,  n)  ozn acza  prawą   stron ę   równ an ia  (4.3).  M am y  w  ten  sposób  funkcję   jedn ej zmiennej  q  i  p aram et ru  n.  Obliczenia,  polegają ce  n a  poszukiwan iu  miejsc  zerowych  (9*) funkcji  Fi(q,  n)  zrealizowan o  przy  pom ocy  ko m p u t er a  p o  opracowan iu  odpowiedn iej procedury.  N a rys.  1 przedstawion o  uproszczon y  algorytm  obliczeń.  Po wczytan iu  d an ych , w  tym  param etrów iteracji  e i  e t ,  n astę puje  start  obliczeń  od  q{  =   grmin  (przy  czym  qmin  < <  Qkrn)  przyję tego  n a  przykł ad  w  oparciu  o  wyniki  dla  teorii  plastyczn ego  pł yn ię cia. P o  obliczeniu  elem en tów  m acierzy  sztywnoś ci  d la  szeregu  wartoś ci  argum en tu  s  e  ( j j ,  s 2 ) przy  zadan ym kro ku  cał kowan ia i  przechowan iu  ich w  pam ię ci, n astę puje  obliczen ie  cał ek Ai  i  Bi  i  również  przechowan ie  ich  w  pam ię ci.  P ozwala  to  n a  zwię kszenie  efektywn oś ci obliczeń, gdyż we  wyraż en iach  n a  A t   i  Ą   n ie wystę puje  param et r n.  P o  obliczen iu  F t {q,  ń ) nastę pują   kolejne  obliczenia  d la  (q + kAq),  aż  d o  osią gnię cia  zm ian y  zn a ku  funkcji 190 J .  ZlELN ICA,  M .  KWIEK F l+k (q+kAq,  n).  W  t ym  m om en cie m etodą  interpolacji  liniowej  zostaje  ustalon a  i  zapa- m ię t ana  wartość  przybliż ona  argum en tu q*  odpowiadają ca  miejscu  zerowemu  przy  róż n ych wartoś ciach  n.  D alej  nastę pują  ponowne  przejś cia  przy  zmniejszonym  każ dorazowo  kro ku Aq  i  bad an ie  czy  osią gnię ta  został a  odpowiednia  dokł adn ość  (param etr  e).  Jak  widać z  rys.  1,  p ro ced u ra  przewiduje  również  każ dorazowo  badan ie  wpł ywu  n a  wynik  dokł ad- elem en ty m acierzy sztywnoś ci  D a„ ,43,b„ . Rys.  1 n oś ci  cał kowan ia.  D okon uje  się  tego  przez  zrealizowanie  pon own ych  przejść  ze  zmniej- szon ym  za  każ d ym  razem krokiem cał kowan ia, aż do speł nienia zwią zku  O ik r—crł kr)  <  £ i, gdzie  E 1  jest  p aram et rem  cał kowan ia,  a  < r|kr  i  crł kr  oznaczają  wartoś ci  argum en tu  miejsca zerowego  z  poprzedn iego  i  bież ą cego  przejś cia.  P o  speł nieniu  tych  warun ków  nastę puje WYBOCZEN IE  CIENKIEJ  POWŁOKI 191 wyprowadzenie  wyn ików  i  autom atyczn e przejś cie  d o  realizacji  dla  kolejnej  grupy  d an ych , przechowywanych  w  zbiorze  dyskowym .  Obliczenia  koń czą   się   po  wyczerpan iu  wszystkich warian tów.  R ezultaty  obliczeń  zostan ą   przedstawion e  w  ostatn im  rozdziale  pracy. 5.  Powł oka  obcią ż ona  wszechstronnym  równomiernym  ciś nieniem hydrostatycznym D la  tego  przypadku  obcią ż enia  sił y  i  n aprę ż en ia  bł on owego  przedkrytyczn ego  st an u n aprę ż eń wyraż ają   się   n astę pują co N , o   = as N 20   =   a Q h  =  — j / 3 as (5.1) M o d u ł   sieczny  przyjmuje  wartość E fc as W T t0   — =  0, (T,  >  (7,pl 7 ^ ]/ 3 as E, Wedhig  kryterium  statecznoś ci  (3.6)  dla  tego  przypadku  obcią ż enia  p o wł o ki  otrzy- mujemy  nastę pują cą   zależ n ość  n a  obcią ż enie  krytyczn e (5.2) <*krn  — \ - urj JB1cos/ S+ cos/ 3 cos3/ 3 ?12 - f  COS/? A 2   + - cos/ 3 cos3/ ? x 3/ Cał ki num eryczne wystę pują ce  w  równ an iu  stateczn oś ci  (5.2) sa'okreslon e  zależ n oś ciami (4.4).  Obowią zują   tutaj  równ ież  zależ noś ci  (4.5).  Współ czyn n iki  okreś lają ce  elem en ty macierzy  sztywnoś ci  dla  obcią ż enia  wszechstron n ego  i liniowej  ch arakterystyki  u m o c n ien ia są   n astę pują ce: a)  teoria  deformacyjna 1, • (5.3)  D I ? = r p l j/ 3  k t 192 J.  ZlELNICA,  M .  KWIEK D ff- '  )/3  h D T?  = ( 5 . 3 )  ^TD [cd.] 3 3   — 3  E  / l +   k l  \ E k  \   as}/ 3  J   l 1 E k  \   \   OT>/ 3  / b") teoria  plastyczn ego  pł ynię cia (TP P ) DTPP  _ii  = < (5- 4) 2 2 < T p l / 7 T P P 33   — 6( 1  - v>), 6 ( 1 - J - 2 ) + - P o d o bn ie  ja k  w  poprzedn im  przypadku,  wedł ug  teorii  deformacyjnej  współ czynniki zależą   o d  zmiennej  5  i  obcią ż enia  c,  n atom iast  zgodnie  z  teorią   plastycznego  pł ynię cia współ czyn n iki  t e  są   stał e,  co  bardzo  upraszcza  zagadnienie.  D la teorii  pł ynię cia  obcią ż enie krytyczn e  obliczamy  bezpoś redn io  ze  wzoru  (5.2), gdzie  cał ki  numeryczne  Ai  i  Bi  (biorą c p o d  uwagę ,  że  D j p p  i  N rPV  =   const)  m oż na  wyznaczyć  explicite.  Są   one  nastę pują ce +   C tcos2JT - J-   +  Sfcsin27r - j-   | (5.5)  A 2   = A 3   =   -   ^ r  rf22  ( ^ WYBOCZEN IE  CIENKIEJ  POWŁ OKI  193 x cos 2JI - y  +  S&inln m- gdzie (2fc)!2Jfc " "  TT '  Ł   / - si Jak widać, w oparciu o teorię deformacyjną  obcią ż enie krytyczne  może być  wyznaczone jedynie  w  oparciu  o poprzednio  omówioną  procedurę iteracyjną.  D la teorii  plastycznego pł ynię cia nie ma problemu w przypadku  gdy  powł oka traci stateczność w  stanie cał kowicie sprę ż ystym  lub  cał kowicie  plastycznym,  gdyż  tylko  wtedy  elementy  macierzy  sztywnoś ci (5.4)  są  okreś lone  jednoznacznie.  G dy  powł oka  traci  stateczność  w  stanie  sprę ż ysto- plastycznym,  pojawiają  się  problemy, które moż na pokonać n p. przez dokonanie podział u przedział u  <[5X, s2y  na  czę ś ci  i  sprawdzenie  dla  każ dego  kroku  warunku  uplastycznienia. Umoż liwi  to  wybranie  wł aś ciwych  wartoś ci  współ czynników  (5.4).  Oczywiś cie  jeż eli dokonujemy  podział u  na  wię kszą  ilość  czę ś ci  wynik  bę dzie  dokł adniejszy. 6.  Powloką  obcią ż ona  wzdł uż ną  silą  ś ciskają cą Sił y  i  naprę ż enia  w  bezmomentowym  przedkrytycznym  stanie  naprę ż enia  są  nastę- pują ce (6.1)  N 10   =   o.h  =   - tf«- y-,  N 20   =   0,  T 1 0  =   T 20  = 0 ,  cr£ =  W . - p -y • Moduł  sieczny  przyjmuje  wartość =   • ,   o,   >  or., (6.2) E ,  er, <  < rpi, 194 J .  Z lELN I C A,  M .  K WI E K gdzie ,  h  IE K rytyczn ą   silę   ś ciskają cą   obliczymy  z  zależ noś ci (6.3)  N akT   = E h 3 h 2 cos/ 3 ' 1 2 'm ? cos/ ? mfcos/ 9  \   : cos3/ ? C ał ki  ^ ;  i  5t-   obliczamy  wedł ug  zależ noś ci  (4.4)  i  (4.5),  n atom iast  elementy  m acierzy sztywn oś ci  d la  om awian ego  przypadku  obcią ż enia  są   n astę pują ce: a)  teoria  deform acyjna 1  - f- ""* DTD   _1  i  — T D  — 3  .  a  D l? =   1, j ^ i p  or, > «rpl> ( 6.4) iVT D  = H S - 2(1 + »), 1—  vz, =  \ - 2v. b)  teoria  plastyczn ego  pł ynię cia T- jTPP • L'22 (6.5) a,   sg  an 2, 1 2(1 - ) nTP P  I   E - l  f5- 4v). WYTOCZEN IE  CIEN KIEJ  POWŁOKI  195 Jak  widać  z  powyż szych  zależ noś ci,  jeż eli  do  obliczeń  zastosujemy  teorię   deformacyjną , wtedy  obcią ż enie  krytyczne  m oż na  znaleźć  wył ą cznie  w  sposób  iteracyjny,  n at om iast  przy wykorzystaniu  teorii  pł ynię cia,  gdzie  elementy  macierzy  sztywnoś ci  są   stał e  i  nie  zależą od  obcią ż enia,  problem  się   upraszcza.  Ponieważ  w  tym przypadku  funkcje  podcał kowe w  wyraż eniach  (4.4) nie  są   zawił e,  po  scał kowaniu  uzyskamy 1 2  C 1 2 2 2 )  | f c } c o s Si  L\   S2  / .  2m?t  11  1  [ 7  \ s i \   2mn —  cos—= —5! + ja/   I 1 ) f . |C f c - l n - —} L\   S 2  / .  • • • .••   „   .  2mn +   Ą sm *i  . 11  , j  2  IT  S 2  \ lr<  1  s i  \   2 m 7 r  ,  o  '  2 l l m  1i \ i+d 23 mt\ ln  C k - l n—  cos—j~ S i+S ksta—= —  s J J l  •   I  *i  L\   S2l  I n  2mn  1 —  Si  +  OfcSin  — j —  Sj  i, ( 6 ' 6 )  -   i  JV cos 1m% I .  2mn • ] }• N 1  ,  ,  [,  s2  f/_  ,  Si \   2m7r  _  .  2m7t+   y  fc33mf  jln  I C f c - l n ~I  cos —- {—  s1  + S ksm  —j—  sA>, mn;\ 2 \ l  ,  sA  2mn  _  .  2mn  1 - J- J  |C f c - l n y- l c o s—j—  Si+ SjjSin—^—sx  , (2T)1 _  V D la  rozważ anego  przypadku  obcią ż enia powł oki w  celu  obliczenia  obcią ż eń  krytyczn ych należy  dokon ać  m inim alizacji  wzglę dem  dwóch  param etrów, t j.  min.  M o że  wystą pić tutaj  również  przypadek  wyboczenia  osiowo  symetrycznego  (« =   0) i  wówczas  zależ n ość n a  obcią ż enie  krytyczne  sprowadza  się  do  zwią zku 0 ::]• 196 J.  ZlELNICA,  M .  K.WIEK 7.  Obliczenia  numeryczne  i  wnioski W  oparciu  o  przedstawion y  algorytm  (rys.  1)  opracowan o  program  w  ję zyku F O R T R AN - I V,  a  obliczenia  zrealizowan o  n a  kom puterze  OD RA- 1305.  I stotn ą  rolę w  u ru ch o m ien iu  p ro gram u  i  wykon an iu  obliczeń  num erycznych  stanowił a  m oż liwość ko rzyst an ia  ze  zdaln ej  koń cówki  konwersacyjnej  p o d  sterowaniem  systemu  operacyjnego G E O R G E - 3, J a ko podstawowe  d o  obliczeń przyję to  nastę pują ce  d a n e: E  -   2,09  •   105  M P a , E*  =   9 •   103  M P a ,  ffp,  =   72  M P a ,  v  =   0,33,  st  =   32  cm ,  s2  =   81  cm , p  =   20°,  e  =   e t  = =   0, 001.  D a n e  róż n ią ce  się  od  wym ienionych  zaznaczon o n a  wykresach. N a  rys.  2  przedstawion o  wyniki  obliczeń  dla  przypadku  obcią ż enia  powł oki  równ o- m iern ym  ciś n ien iem  boczn ym  q.  Wykres  przedstawia  zależ ność  obcią ż enia  krytycznego £kr  =  tfkr/ tfpi od  gruboś ci  powł oki-A  =   h[Q a \   gdzie  ą a   =   s^ ctgfj  jest prom ien iem  krzywizny powierzch n i  ś rodkowej  przy  mniejszej  podstawie.  Wyniki  p o d an o  zarówn o  dla  teorii deform acyjn ej  (TD - lin ia  cią gł a),  ja k  i  d la  teorii  plastycznego  pł ynię cia  (TP P - linia  prze- rywan a).  J a k  widać,  w  m iarę  wzrostu  gruboś ci  powł oki  obcią ż enia  krytyczne  równ ież ro sn ą  i  t o  w  sposób  zbliż ony  do  lin iowego.  Z m ienia  się jedn ak  postać  utraty  stateczn oś ci; im  gru bo ść  wię ksza,  t ym  tworzy  się  m niej  fal  p o  obwodzie  odkształ conej w  wyniku  u t rat y st at eczn oś ci  powł oki.  Obydwie  teorie  d ał y  tutaj  zbliż one  wyniki,  z  tym  że  stosując  teorię WYBOCZEN IE  CIEN KIEJ POWŁOKI 197 plastycznego  pł ynię cia uzyskuje  się   nieco wyż sze  obcią ż enia  krytyczne.  N admienić należy również,  że  w  cał ym  badanym  zakresie  powł oka,  tracił a  stateczność  w  stanie  sprę ż ysto- plastycznym.  D la  przyję tej  grupy  danych  uwzglę dniono  ś ciś liwość  materiał u  powł oki. Ponieważ  w  szeregu  pracach  dotyczą cych  statecznoś ci  pł yt  poza  granicą   sprę ż ystoś ci nie  uwzglę dnia  się   ś ciś liwoś ci  materiał u, dla  tego  przypadku  przeprowadzono  ponownie 6  8  10  12  14- 10""  h Qkr 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 I n=2 I •   /   / / / / /I /' / / / I IS,/ / / 6Pi=61  MPa h =0.9 cm I  »40em / A / / ]   /   i v,f-  canst q A. . . _ j _  j 20  40 Rys,  4 60 80 3  Mech.  Teoret.  i  Stos.  2/81 198 J .  Z lELN I C A,  M .  KWI E K obliczen ia  p rzy  zał oż en iu  nieś ciś liwoś ci.  Kolejny  wykres  pokazuje  rozbież noś ci  jakie wynikają   w  obcią ż en iach  krytyczn ych  przy  uwzglę dnieniu  i  bez  uwzglę dnienia  ś ciś liwoś ci m a t er ia ł u .  P rzedst awion e  n a  rys.  2  krzywe  obrazują   zależ ność (7.1) przy  zm ieniają cej  się   gruboś ci  powł oki,  dla  obydwu  teorii  plastycznoś ci.  Stwierdzono, że  rozbież n oś ci  są   wię ksze  dla  mniejszych  gruboś ci  powł oki,  czyli  dla.  przypadków  gdy proces  uplastyczn ien ia  w  chwili  u t rat y  statecznoś ci  jest  jeszcze  niewiele  zaawansowany. W  m iarę   rozwoju  procesu  uplastyczn ien ia  rozbież noś ci  maleją ;  jedn ak  teoria  plastycznego pł yn ię cia  wykazuje  wyż sze  wartoś ci  tych  rozbież noś ci  niż  teoria  deformacyjna.  Wynika stą d  wn iosek,  że  n ie  uwzglę dnienie  ś ciś liwoś ci  m ateriał u,  (co  pozwala  uzyskać  prostsze zwią zki)  m o że  być  z  techn iczn ego pu n kt u  widzenia  sł uszne  dla  powł ok  tracą cych  statecz- n ość  przy  zaawan so wan ym  procesie  uplastycznienia. N a  kolejn ym  rysun ku  po kazan o  jak  zmieniają   się   obcią ż enia  krytyczne  ze  zm ian ą ką ta  poch ylen ia  tworzą cej  przy  podstawie,  przy  zachowaniu  stał ego  ś redniego  prom ien ia powł oki.  Obliczen ia  wyko n an o  d la  teorii  defonnacyjnej  z  uwzglę dnieniem  ś ciś liwoś ci m at eriał u .  W  obliczen iach  wykorzystan o  opracowan y  algorytm  iteracyjny  i  zwią zek  (4.3). Z auważ yć  m o ż na  tutaj,  że  przy  wzroś cie  ką ta  (3 obcią ż enia  krytyczne  nieliniowo  rosną , przy  wzrastają cej  jedn ocześ n ie  iloś ci  fal  wyboczenia.  Wzrost  ten  staje  się   mniej  gwał towny 0.025  - 0.020 - - 0.015  - 0.010  - 0.005  - Rys.  5 WYBO C Z E N I E  CIEN KTEJ  P O WŁ O K I 199 dla ką ta  /? >  60°,  gdy  stoż ek  zbliża  się   kształ tem do walca.  Wyniki  przedstawione  na tym wykresie  odpowiadają   stosunkowi  gruboś ci  do  dł ugoś ci  powł oki  h/ l =  0,015.  Przepro- wadzono  również  obliczenia  przy  zmieniają cym  się   ką cie  /3  dla  wię kszych  stosunków  h/ l, tj.  dla powł ok o wię kszej  gruboś ci,  a wyniki  przedstawiono n a rys.  5. Istotnym celem tego wykresu jest  pokazanie  rozbież noś ci  pomię dzy  dwoma  podstawowymi  teoriami  plastycz- noś ci.  Jak  widać  róż nice  są   niewielkie  dla  h/ l =   0,015,  natomiast dla  wię kszych  gruboś ci rozbież noś ci  rosną ,  przy  czym  teoria  plastycznego  pł ynię cia daje  zawsze  wyż sze  wartoś ci. W  oparciu  o  obliczenia  stwierdza  się ,  że  rozbież noś ci  był y  stosunkowo  niewielkie  dla powł ok  tracą cych  stateczność w  stanie  sprę ż ysto- plastycznym.  G dy  cał a powł oka przeszł a przed  wyboczeniem  w  stan  plastyczny,  rozbież noś ci  gwał townie  wzrastał y. Kolejnym  etapem analizy  numerycznej  był y  obliczenia  obcią ż eń  krytycznych  powł oki ś ciskanej  osiowo  siłą  rozł oż oną  równomiernie na  obwodzie podstawy.  Obliczeń dokonano dla  obydwu  teorii plastycznoś ci,  opierają c  się   na zależ noś ciach  (6.3) do  (6.6) i  (7.1) i pro- cedurach, opisanych  uprzednio. Powł oka ś ciskana  siłą   wzdł uż ną   może po  utracie  statecz- noś ci  pofalować  się   zarówno  w  kierunku  wzdł uż nym  jak  i  po  obwodzie,  zależ nie  od parametrów fizycznych  i geometrycznych. Stą d wynika  konieczność minimalizacji  zarówno wzglę dem  parametru m jak  i n. N a rys.  6 pokazano jak  zmieniają   się   obcią ż enia  krytyczne dla  róż nych iloś ci  fal  wyboczenia  m  i  n. D la  tej  grupy  danych uzyskano  obcią ż enie  kry- tyczne równe N akT   =   1,217  MN / m  przy  m  =   2 i  n  — 6.  Przeprowadzono  również  analizę 1.20- 16 Rys.  6 3« 200 J .  Z lELN IC A,  M .  KVVIEK wpł ywu  zmiany gruboś ci  powł oki na obcią ż enia krytyczne, co przedstawia  rys.  7.  Wymiary dobrano  w  ten  sposób,  że  dla  dolnych  wartoś ci  badanego  zakresu  powł oka  tracił a  sta- teczność  w  stanie  cał kowicie  sprę ż ystym;  wyniki  dla  obydwu  teorii  był y  zgodne,  przy wię kszych  gruboś ciach  nastę powało wyboczenie  w  stanie  sprę ż ysto- plastycznym,  rozbież- noś ci pomię dzy TD  i T P P był y niewielkie. Jak widać z wykresu, podobnie jak w poprzednich przypadkach,  wraz  ze  zmianą   gruboś ci  powł oki krytyczna  sił a  ś ciskają ca  wzrasta  w  przy- bliż eniu  liniowo,  przy  maleją cej  liczbie  fal  obwodowych  n.  Zauważ yć  należy  również, że  niż sze  wartoś ci  obcią ż eń  krytycznych  uzyskiwano  dla  badanej  grupy  danych  przy niesymetrycznej  formie  utraty statecznoś ci. N a  zakoń czenie należy  podkreś lić,  że  odpowiedź  na pytanie  która  z przyję tych  teorii plastycznoś ci  da  wyniki  bliż sze  rzeczywistoś ci  powinien  dać  eksperyment.  Pewną   próbę Rys.  7 wyjaś nienia  uzyskiwanych  rozbież noś ci  dla  problemów  wyboczenia  pł yt  i  powł ok przed- stawił  ostatnio R.  N .  D U BEY  [1] doszukują c  się  przyczyn w obrocie gł ównych osi naprę ż eń, a  wł aś nie teoria przyrostowa  pomija  wpływ tych obrotów na pł ynię cie plastyczne. Pomimo że  w  pracy  przyję to  liniową   charakterystykę   umocnienia materiał u, wyniki  i zapropono- wana  metoda  mogą   być  z  powodzeniem  zastosowane  dla  innych  charakterystyk,  n p. odcinkowo- ł amanej  lub  potę gowej. WYBOCZENIE  CIENKIEJ  POWŁOKI  201 Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  R. N . D U BEY,  On Bifurcation  in Elastic- Plastic Solids,  N uclear Enginnering an d  D esign, 49,  3, 217  -  222, 1978. 2.  3 .  EC. FpH roJiioKj  T eopemuuecuoe u  sKcnepUMenmanbuoe  uccjiedoeame ycmoumieocmu  moimux o6o/ wver< 3a  npedeAOM  ytipyeocmu,  M exaH H Ka3  ycioHTjHBOCTB  H  rmacTiraH ocTBj  H .  H . ,  1967. 3.  H .  RAMSEY,  Elastic Buckling  of  a  Conical Shell  under  Axial  Compression,  I n t .  J.  of  M ech.  Sci.,  19/ 5, 1977. 4.  J.  ZIELN ICA,  Statecznoś ć  powł oki  stoż kowej poza  granicą  sprę ż ystoś ci, Rozprawy  Inż ynierskie,  20,  3, 431  - 454, 1972. 5.  J.  ZIELN ICA,  W.  OSMÓLSKI,  W yznaczanie  obcią ż enia  krytycznego  cienkiej powł oki  stoż kowej  w oparciu o  teorię  plastycznego pł ynię cia,  Arch.  Bud.  Masz.,  23,  2,  283  -  299,  1976. 6.  M.  Ż YCZKOWSKI,  Obcią ż enia zł oż one  w  teorii plastycznoś ci, P WN ,  W- wa,  1973. P  e  3  IO  M e BBI I iy^ H BAH H E  T O H K O K  KOH P F iE C KOfł   OBOJI O^KH   I I P H OC E- C H M M ETP H M EC KHX  H ArpY3KAX  3A  n P E flE J I O M   YI I P y r O C T H B  paGoTe npeflCTanneHo  MCTOS  onpeflejieHHH   Harpy3oi<   TOHKOH   KOHHHCCKOH  O6OJIOMKH   npi- i  H anpn- >KennHx npeBbimaiomnx  npefleji  yn pyrocn i  npH  cneflyioirjux  oce- ctwiMeTpmiecKnx  iiarpy3i