Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z2.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

2,  19  (1981)

STATECZN OŚĆ  I  STAN   ZAKRYTYCZN Y  SWOBOD N IE  P O D P AR T E J
TARCZY  TR AP EZ OWEJ  P OD D AN EJ  JED N OKI ER U N KOWEM U  Ś CISKAN IU

R YSZ AR D   G   R  Ą   D   Z  K  I  ( Ł Ó D Ź )

OZ N ACZ EN IA:

a  —  ką t  n ach ylen ia  boczn ych  krawę dzi  trapezu  d o  osi  Ox

2b  —  dł ugość wię kszej  podstawy  trapezu

2a —  wysokość  trapezu

A =   współ czynnik  kształ tu  tarczy
o
h —  grubość  tarczy  (h  — const)
/ —  p aram et r  ugię cia  tarczy

/ 0  —  p aram et r wygię cia  wstę pnego  tarczy

f  f
f*  =

 T
,f$  =~  — bezwymiarowe  parametry ugię cia
n  n

P*  i  P*
T
 —  bezwym iarowe  wartoś ci  sił y  P  obcią ż ają cej  tarczę   i  sił y  krytyczn ej  P

kt

P
n  =   —  współ czynnik  obcią ż enia  tarczy

k  —  współ czyn n ik  statecznoś ci
E  —  m o du ł   Yo u n ga

v —lic zba  P oisson a  (w  obliczeniach  przyję to  v  =   0,3)

EA3

12(1  - v2)

4b
2

—  pł ytowa  sztywność  zginania

n aprę ż en ia  bezwym iarowe
Eh

2

ffi,  0
y
,  x

xy
  —  n aprę ż en ia  stan u  bł onowego

a
xg,  Oyg, r

xyg
  —  n aprę ż en ia  stan u  zgię ciowego

d%
x
 —•  bezwym iarowe  n aprę ż en ia  zredu kowan e:

d zie:

r*  -=   T*   +   T*
'• xy ~  '• xyg



204  R.  G RĄ D ZKI

1.  Wstę p

Czę sto  spotykanym  elementem  noś nym  blachownicowych  lub  skrzynkowych  ustrojów
dź wigarowych  są   cienkie  tarcze, o kształ cie trapezu. Tarcze  te —ja ko  wydzielone  elementy
n oś ne ustrojów  dź wigarowych  — pracują   n a  ogół  w zł oż onym stanie  obcią ż enia.  Przenoszą
one  gł ównie  obcią ż enia  dział ają ce  w  ich pł aszczyź nie  i  z tego  powodu  mogą   ulegać  wybo-
czeniu.  P odstawowym  wię c zagadnieniem  przy  analizie  pracy  takich  tarcz jest  zagadnienie
utraty  statecznoś ci.  W  odniesieniu  do  tarcz  trapezowych  dotychczasowy  stan  wiedzy  n a
tem at  stanów  krytycznych  tych  tarcz  jest  stosunkowo  skromny.  N ieliczne  prace  z  tego
zakresu  uzn ać moż na  za  pierwsze  próby  poznania  zagadnienia.  Ten  stan  rzeczy  wynika  —
ogólnie  rzecz  biorą c —  ze  znacznie wię kszych trudnoś ci jakie  trzeba  pokonać przy  rozwią -
zywaniu  pł askich  zagadnień  teorii  sprę ż ystoś ci  tarcz  trapezowych'—w  stosunku  do  tych
jakie wynikają   przy  rozpatrywaniu  takich  samych  zagadnień  dotyczą cych  n p. tarcz prosto-
ką tnych  czy  koł owych,  tj.  tarcz  o  geometrycznie  prostszym  kształ cie.

W  odniesieniu  do  zagadnień  statecznoś ci  trudnoś ci  te  dodatkowo  rosną   z  uwagi  n a
dobór  odpowiedniej  funkcji  ugię cia  speł niają cej  warunki  brzegowe  zagadnienia,  a jedn o-
cześ nie  moż liwie  dokł adnie  opisują cej  kształ t  ugię tej  powierzchni  ś rodkowej  tarczy  tra-
pezowej  —  p o jej  utracie statecznoś ci. Zł oż oność —  z uwagi n a kształ t tarczy  trapezowej  —
postaci  tej  funkcji  prowadzi  w  dalszych  rozważ aniach  do  znacznej  komplikacji  otrzy-
mywanych  wzorów  i  w  konsekwencji  d o  wzrostu  trudnoś ci  natury  matematycznej.

Z  tego  wzglę du  znane  do  tej  pory  rozwią zania  zagadnienia  statecznoś ci  tarcz  trapezo-
wych  oparte  są   n a  daleko  idą cych  zał oż eniach upraszczają cych.  Powoduje  t o , że  przyję te
schematy  obliczeniowe  takich  tarcz  w  mał ym stopniu  odpowiadają   warunkom  podparcia
oraz  obcią ż enia  spotykanych  w  zastosowaniach  technicznych  istnieją cych  konstrukcji.

Z agadnieniem  statecznoś ci  tarcz  trapezowych  zajmowali  się :  B.  KLEI N   [5], L.  R OOTS
[6],  [7],  L.  P KEG IER  [8],  [9],  [10],  A.  POŁOZKOW  i  I.  G ORD IJEN KO [11],  [12],  Y.  ILLE i  G .  BAR -

SAN  [13].

Z agadnienie  • —  okreś lone  tytuł em  pracy  —  rozwią zano  w  oparciu  o  równania  nie-
liniowej  teorii  cienkich  pł yt sprę ż ystych  [2].

2.  G eometria  i  stan  obcią ż enia  tarczy

P rzedm iotem  rozważ ań  jest  cienka  izotropowa  tarcza  w  kształ cie  trapezu  równ o-
ram ien n ego  o  stał ej  gruboś ci  h,  swobodnie  podparta  wzdł uż  obwodu.  Tarczę   tę   opisano
w  prostoką tn ym  ukł adzie  współ rzę dnych  O,  x,  y,  z/ Oś  Oz  skierowano  prostopadle  d o
pł aszczyzny  O,  x,  y  pokrywają cej  się   z  pł aszczyzną   ś rodkową   tarczy  (rys.  2.1.)-   Począ tek
tego  ukł adu  przyję to  n a  osi  symetrii  trapezu,  w  poł owie jego  wysokoś ci.  Takie  przyję cie
począ tku  ukł adu  współ rzę dnych  umoż liwiło  ł atwiejsze  przeprowadzenie  odpowiedniej
analizy  porównawczej  przy  przejś ciu  od tarczy  trapezowej  do  tarczy  prostoką tnej.  W  przy-
ję tym  ukł adzie  współ rzę dnych  równoległ e  oraz  boczne  krawę dzie  tarczy  opisane  są   rów-
n an iam i  o  p o st aci:

(2.1)  x  =   ±a;   y  =  ±g(x),



STATECZN OŚĆ  I  STAN   ZAKRYTYCZNY  TARCZY  TRAPEZOWEJ 205

gdzie:

(2.2)

zaś

(2 . 3 )

g(x)  =   m(x- a)+b.

m  —  t ga  =
2a+H  '

G ranicznymi postaciami  tak  opisanej  tarczy jest:  trójką t—gdy  H  =   0,  tj. gdy  m  =   t ga  =

=   - —  oraz  prostokąt —  gdy  H  =  oo,  tj.  gdy  m  — tga  =   0.

Rys.  2.1.

D la  opisu  stanu  naprę ż enia  tarczy  w  kształ cie  trapezu  równoramiennego,  wykorzy-
stano — znane  %  teorii  sprę ż ystoś ci  [I], —  rozwią zanie  zagadnienia  pł askiego  klina,
obcią ż onego  w  swym wierzchoł ku  sił ą  skupioną.  Wartoś ci  skł adowych  a

x
,  a

y
i  r

xy
  bł ono-

wego  stanu  obcią ż enia  w  dowolnym,  punkcie  tarczy  okreś lone  są  wówczas  za  pomocą
nastę pują cych  wzorów.

(2 . 4 )

I" arctgm [g
2
(x)+m

2
y

2
]

z  '

av  =   —
g(x)y

2
m

2

m
2
y

2
]f arctgm  1  1  [ £ 2 0

1  1  -   ;  TT  1  l i
Y  m  1+ m  J

P  g
s
(x)ym

2..212 >

f arctgm
[  m

Rozkł ad  powyż szych  naprę ż eń  n a  krawę dziach  x  =•   ± fl  tarczy  przedstawion o  n a
rys. 2.1.



206 R.  G RĄ D ZKI

3.  Stan  krytyczny

An alizę   st an u  krytyczn ego  przyję tej  do  rozważ ań  tarczy  przeprowadzon o  dwiem a
m et o d a m i,  a  m ian o wicie:  m etodą   energetyczną   oraz  m etodą   ortogonalizacji.  U czyn ion o
t o  w  celu  sprawdzen ia  efektywnoś ci  wymienionych  m etod  z  pun ktu  widzenia  dokł adn oś ci
wyzn aczan ia  wartoś ci  obcią ż enia  krytycznego  dla  tego  typu  tarcz.  Z  uwagi  bowiem  n a
kszt ał t  t arczy  trapezowej  istnieją   trudn oś ci  dobran ia  takiej  postaci  funkcji  ugię cia,  kt ó ra
opisywał aby  —  w  m oż liwie  dokł adn y  sposób  —  rzeczywisty  kształ t  ugię tej  powierzchni
ś rodkowej  tarczy  po jej  utracie  statecznoś ci,  a  jednocześ nie  speł niał a  geometryczne  i  sta-
tyczn e  warun ki  brzegowe.  P orówn awcze  zestawienie  wymienionych  dwóch  m etod  rozwią -
zan ia  zagadn ien ia  —  p rzy  przyję ciu  w  obydwu  przypadkach  takiej  samej  postaci  funkcji
ugię cia  w  =   w(x,  y) —  pozwolił o  w  koń cowej  fazie  n a  wybór  tych  wyników,  które  w  bar-
dziej  ś cisły  sposób  opisują   zjawisko  u t rat y  statecznoś ci  rozpatrywanej  tarczy.

F u n kcję   ugię cia  w  =   w(x,y),  opisują cą   —  w  sposób  przybliż ony  —  kształ t  ugię tej

Rys.  3.1.



STATECZNOŚĆ  I  STAN   ZAKRYTYCZNY  TARCZY  TRAPEZOWEJ  207

powierzchni  ś rodkowej  tarczy  p o  utracie  statecznoś ci,  przyję to  w n astę pują cej,  t ró jp ara-

metrowej  p o st aci:

(3.1)  w(x,y) =  U
1
cos~+f

2
sm

W  celu  zilustrowan ia  wpł ywu  param etrów  kształ tu  tarczy  n a  postać  poszczególn ych
skł adn ików  funkcji  w — w(x,y)  przyję tej  wedł ug  wzoru  (3.1.),  n a  rys.  3.1.  p o ka za n o —
w  sposób  poglą dowy  —  wykresy  zm ian  poszczególnych  skł adn ików  tej funkcji  - wzdł uż
osi  symetrii  tarczy  (wzdł uż  osi  Ox)  dla  róż nych  wartoś ci  ką ta  a poch ylen ia  jej  boczn ych
krawę dzi.
P rzedstawione  t u  krzywe  odnoszą  się  d o  granicznego  przypadku  gdy  m =  t g a  =  0 o d po -
wiadają cego  tarczy prostoką tn ej  (krzywe „ a ") oraz do traczy  trapezowej  o ką cie  poch ylen ia
bocznych  ram ion  trapezu  wzglę dem  osi Ox  równ ym  a =   15°  —  dla  d wó ch  wartoś ci

stosunku  —  = X,  a  m ian owicie  dla X  — 0,3  (krzywe  ,,b")  oraz  X =  1,3  (krzywe „c").
o

Krzywa  przedstawion a  n a  rysun ku  „cl"  odpowiada  przekrojowi  X  =   con st  z wył ą czen iem

przekrojów  x  = ±a.

3.1.  Rozwią zanie  zagadnienia  metodą  energetyczną. P rzy  rozpatrywan iu  zagadn ien ia  statecz-
noś ci  tarczy  m etodą  energetyczną  uwzglę dniono  energię  sprę ż ystą  zgin an ia  tarczy  oraz
energię  sił  zewnę trznych  [2].

Energia  sił  zewnę trznych,  dział ają cych  w  pł aszczyź nie  ś rodkowej  tarczy,  okreś lona  jest
wzorem :

T .  - L

Odpowiednie  wyraż enie  okreś lają ce  energię  zgin an ia  m a  p o st ać :

ftn*  rr  DrrUd2w  d2w\ 2  „ , ,  J82wdzw  I d2w \ 2]\
J
  ,

(3.1.2)  U =
 T
jJ  {{_£   +

 w
)  - 2(1- ,) [-

ŵ
  -  ( ^ \ \ dxdy.

Krytyczne  wartoś ci  sił  P,  obcią ż ają cych  tarczę  wyzn aczon o  z  waru n ku [2]:

(3.1.3)  T =U

Krytyczną  wartość  tej  sił y  okreś lono  wzorem :

(3.1.4)  p ^ .

W  celu wyznaczenia  krytycznej  wartoś ci  sił y ś ciskają cej  tarczę  przyję to  —  w  pierwszym
przybliż eniu  —  dwuparam etrową  funkcję  ugię cia  o  p o st aci:

(3.1.5)
  W

(x,y) =

D o  rozwią zania  zagadn ien ia  zastosowan o  m etodę  Tim osh en ki —  R itza.  Wyn iki  obliczeń
pokazan o  n a  rys.  3.2.2.



208  R.  G RĄ D ZKI

3.2. Rozwią zanie zagadnienia metodą  ortogonalizacji. Równanie równowagi dowolnego elementu
tarczy  mają ce —  przy  uwzglę dnieniu  odkształ cenia jej  powierzchni  ś rodkowej  — postać:

(3.2.1)

moż na  zastą pić  równoważ nym  ukł adem dwóch równań [3]:

y
(3.2.2)

V 2 w + I ) -   =   0,

gdzie:

(3.2.3)

Przy  takim  uję ciu  zarówno  funkcja  w =   w(x, y)  jak  i  funkcja  M  =   Mix,  y)  muszą
speł niać  odpowiednio  geometryczne  i  statyczne  warunki  brzegowe.

D la tarczy przegubowo  podpartej wzdł uż obwodu muszą  być zatem speł nione warunki:

(3.2.4)  w =   0  i  M  =   0.

D la  wyznaczenia  przybliż onej  wartoś ci  siły  krytycznej  zał oż ono  funkcje  w =   w(x, y)

i  M  =  Mix,  v) w nastę pują cych postaciach:

f
x
 cos ™  + / 2 sin ~   + / 3 cos ̂ . J  [y

4 -   6y*g>(x) + 5g*(x)],

(3.2.6)  M(x,y)  =

gdzie: ; n t , /7J2 i »
73 —  podobnie ja k/ Ł , / ,  i/ 3  — są  nieznanymi swobodnymi parametrami.

Wyż ej  okreś lone  funkcje  w  — w(x- ,y)  oraz  M=M(x,y)  speł niają   odpowiednio
warunki  brzegowe  (3.2.4).  Podobnie jak  poprzednio  sił ę   krytyczną   i  w  tym  przypadku
okreś lono  wyraż eniem  (3.1.4).  Ponieważ  funkcje  w «•   w(x, y)  oraz  M  =   M(x,y)  nie
speł niają   ś ciś le  ukł adu  równań  (3.2.2),  w  celu  wyznaczenia  wartoś ci  współ czynnika  sta-
tecznoś ci  k  obcią ż enia krytycznego  tarczy zastosowano  metodę  ortogonalizacji.  Otrzymuje
się  wówczas nastę pują cy  ukł ad równań:

/   /
(3- 2.7)  S U >  + a

r°  r* r  jwi
V2w +   - =-   oMckcrfv  =  0 .

J  J  i  D \

P o  wykonaniu  obliczeń  otrzymano  ukł ad  sześ ciu  jednorodnych  równań  liniowych
zawierają cych  nieznane  swobodne  parametry f

ls
  f

3
  i / 3  oraz  m±,  m2  i  m3.  U kł ad  tych

równań  daje  rozwią zania  róż ne  od zera  tylko  wówczas, gdy  wyznacznik  tego  ukł adu jest
równy  zeru.  Wyniki  obliczeń  przedstawiono  na  rys.  3.2.1.



STATECZNOŚĆ  i  STAN   ZAKRYTYCZNY  TARCZY  TRAPEZOWEJ 209

Na  rys.  3.2.2.  przedstawiono  krzywe  k  =  k(ź i) otrzymane metodą   energetyczną   i  me-
todą   ortogonalizacji  dla  ką tów  a  =   7° 30'  i  a  =   15°  przy  zał oż eniu  tej  samej  dwupara-
metrowej funkcji  ugię cia  (3.1.5). Linie cią głe odpowiadają   rozwią zaniu  zagadnienia metodą
ortogonalizacji,  natomiast  linie  przerywane  rozwią zanie  metodą   energetyczną .  Z  wy-

Rys.  3.2.1.

Rys.  3.2.2.

kresów  tych  wynika,  'że  poprawniejsze  wyniki  otrzymuje  się   w  przypadku  rozwią zania
zagadnienia  metodą   ortogonalizacji,  ponieważ  z tej  metody  otrzymano mniejsze  wartoś ci
współ czynników  statecznoś ci k dla takich samych wartoś ci  współ czynnika  A. Zastosowaną
tu  metodę   ortogonalizacji  należy  zatem  uznać  za  wł aś ciwą   przy  rozwią zywaniu  posta-
wjóriego  zagadnienia.



21Q  R .  G R Ą D Z KI

4.  Stan  zakrytyczny

Analizę   stan u  zakrytycznego  rozpatrywanej  tarczy  trapezowej  przeprowadzono  przy
zał oż eniu,  że  powierzchnia  ś rodkowa  tarczy  nie  jest  idealnie  pł aska,  lecz  ma  wstę pne
wygię cie,  opisan e  funkcją   w

0
  =   w

o
(x,  y).  Rozwią zanie  tego  zagadnienia  przeprowadzono

w  oparciu  o  równ an ia  róż niczkowe  Karm ana  nieliniowej  teorii  cienkich  pł yt.  Postę pując
podobn ie ja k  przy  analizie  stanu  krytycznego,  ukł ad  dwóch  równań  Karm an a  zastą piono
równoważ nym  ukł adem trzech równań  o  postaci:

2
  8

2
wo ) l 2  32(w+ w„ )  B2(w+w

0
)  17  32w0\

j
  dx2  dy2

  [\ dxdyj

,An  t r a i l - ,  l l ^ *  5(W   +  W
0
)  d

2
0  8

2
(W   + W

O
)  „8

2
0  d

2
(w  +  W

0
)]

(4.2)  V2M+h  - 3-=   = - 5  h - 5- 5-  -   —5- 3  2 - 5—5  5—̂   =   0,

M
0(4.3)

gdzie:

(4.4)  M  =   -

Przy  analizie  stanu  zakrytycznego  tarczy  funkcję   ugię cia  w  =   w(x, y)  przyję to  w  nastę -
pują cej  postaci:

fj  jn  s  ->  /•   1  MX  r  .  r  -   , ,  .  ,  . ,  . ,(4.5)  w(x,  y)  =  / - z rr  cos - ~̂ [y4 -   6y 2g2( x) +  5g4(x)].
DO  za

Z ał oż on o,  że  wygię ta  wstę pnie  powierzchnia  ś rodkowa  tarczy  m a  taki  sam  kształ t
jaki  przyjmuje  tarcza —  idealnie  pł aska w  stanie  począ tkowym  —  po  utracie  statecznoś ci,
spowodowanej  przył oż onym  obcią ż eniem.  Taki  kształ t wstę pnego  wygię cia tarczy jest n aj-
bardziej  niekorzystny  z  pun ktu widzenia  pracy  tarczy  w  zakresie  zakrytycznym.  Tak  wię c,
funkcja  opisują ca  wstę pne wygię cie tarczy  ma postać:

(4.6)  wo(x,  y)  =  / 0  ~  cos ~  [y* -   6y
2
g

2
(x)  + 5g*(x)].

F un kcję   M  =  M(x,y)  —  podobnie  jak  przy  rozpatrywaniu  stanu  krytycznego  —
zał oż ono  ja ko  funkcję   z  jednym  swobodnym  parametrem  a  mianowicie:

(4.7)  M ( x, j; )  =

F un kcja  naprę ż eń  0  =   &(x, y)  przyję ta  d o  dalszych  rozważ ań  ma  postać:

Ł  _  . L
/ arctgm  1  \ ,   2

(4.8)  &(x, y)  = 0
o
  + &

s
=  Ł   _  . L   arctg

/ t  1  \   2

\   s  15  ,  , .  ,  381  .,  .  233  ,   fi.  v  189



ST AT E C Z N O ŚĆ  I  STAN   Z AKU YTYC Z N Y  TAR C Z Y  T R AP E Z O WE J 211

N ieznane  wartoś ci  współ czynników  ę
x
  i  cp

2
 funkcji  naprę ż eń  okreś lono  "w  zależ noś ci

od  współ czynników  /   i / 0 —  stosują c  metodę   ortogonalizacji.  Wówczas  otrzymano  wa-
runek :

(4- 9)  J  j
- a  - g(x)

V2V2< Z > - E
dx  dy dx

2
dy

2

W celu rozwią zania  ukł adu równań  (4.2.) i  (4.3.) zastosowano  metodę   ortogonalizacji,
otrzymują c  nastę pują ce  warunki:

•f  u

J dx ™  +
(4.10)

: dy

V2 w H

n  2

Rys.  4.1. Rys.  4.2.

=   0 .

Po  wykonaniu  obliczeń  i  wyrugowaniu  parametru  m
t
,  otrzymano  zwią zek  pomię dzy

obcią ż eniem  tarczy,  jej  parametrami  geometrycznymi  oraz  współ czynnikami  ugię cia.
Zwią zek  ten ma postać:
(4.11)  / *3r^^- j- f*2f*^M i4- f*rP *_- n P *.4- 2('^/ ^2l—  fZnPt  =   0.



212 R .  G ROD Z KI

Wyniki  obliczeń,  które  przeprowadzono  w  celu  okreś lenia  skł adowych  bł onowego
i  zgię ciowego  stanu  naprę ż eń, naprę ż eń  zredukowanych  oraz  ugię ć  tarczy  pi-zedstawiono
przykł adowo n a rys.  4.1. -  4.3.

CX= 1 O"

Rys.  4.3.

5.  Badania  doś wiadczalne

W  celu  sprawdzenia  poprawnoś ci  otrzymanych  wzorów  teoretycznych  oraz  ich  przy-
datnoś ci  do  obliczeń  praktycznych,  przeprowadzono  odpowiednie  weryfikacyjne  badania
doś wiadczalne.  Badania  te  został y  przeprowadzone  na  dwóch  róż nych  modelach  tarczy
trapezowej, wykonanych  z cienkiej  blachy  stalowej.  Wymiary  modeli został y tak dobrane,
aby  mieś ciły  się   one  w  zakresie  tarcz  obję tych  analizą   teoretyczną .  Najwię kszą   trudnos'c
stanowił o natomiast speł nienie zał oż onych warunków  obcią ż enia  tarczy  oraz  swobodnego
podparcia jej  krawę dzi.  W celu jak  najlepszego  zbliż enia  warunków  badań  do  warunków
przyję tych  w  zał oż eniach teoretycznych,  badania  te przeprowadzono  na  dwóch modelach
tarcz. M odele te róż niły się  mię dzy sobą   w istotny sposób.  Model pierwszy był  wycinkiem,
trapezowego  pasma  pł ytowego,  drugi  zaś  samodzielną   tarczą   trapezową ,  podpartą   prze-
gubowo  wzdł uż obwodu.

Schemat pierwszego stanowiska  przedstawiono na rys.  5,1. natomiast  schemat drugiego
stanowiska  n a  rys.  5.2. Badania przeprowadzono metodą   SOUTHWELLA  [2] i TERESZKOW-
SKIEGO  [14].  Wartoś ci  sił   krytycznych  otrzymane  z  doś wiadczeń  był y  o  kilka  procent
mniejsze  od  wartoś ci  sił   krytycznych  otrzymanych  z  rozwią zania  teoretycznego.

Rozkł ady  bł onowych  naprę ż eń  normalnych  w  pobliżu  dł uż szej  podstawy  trapezu
zweryfikowano  badaniami  tensometrycznymi  (rys.  5.3.)—- linie  przerywane.  Linie  cią głe
przedstawiają   rozkł ady  tych  naprę ż eń  otrzymane  n a  drodze  teoretycznej.



—2b=247mm  -

t
Al

c- c

A- A

„D"

• i-

h- 1mm

_8_

Z

5-   i

Rys.  5.t.

szczegńt „ D"

4  Mech.  Teoret.  i  Stos.  2/81 P.I31



214 R  G RĄ D ZKI

A- A

Rys.  5.2.

1
i
ii

i
ii
i
u
—  a —

f

U\  \
V

* .   p,

5v\̂
  V\   ^
\

p
\
J\

10
1

V

\

p 3 = i

6,
X

Rys.  5.3.

6.  Wnioski

1. Jak  wynika  z przeprowadzonej  analizy  porównawczej,  zastosowana  w  obliczeniach
metoda  ortogonalizacyjna  —  do  zmodyfikowanego  ukł adu  równań,  otrzymanego  przez
wprowadzenie  dodatkowo  funkcji  M  =  M(x,  y) —  okazał a  się ,  przy  badaniach  statecz-
noś ci  i  stanu  zakrytycznego  tarczy  trapezowej,  skuteczniejszą   od powszechnie  stosowanej
metody  energetycznej.

2,  Przyję te  w  obliczeniach  numerycznych  zakresy  zmiennoś ci  ką tów  a  pochylenia
ramion  trapezu  oraz  współ czynnika  X  kształ tu  tarczy —  odpowiadają   wię kszoś ci  para-
metrów  tarcz,  stosowanych  w  praktycznych  rozwią zaniach  konstrukcyjnych  dź wigarów
cienkoś ciennych.  Przeprowadzone  na  dwóch  modelach  weryfikacyjne  badania  doś wiad-
czalne  potwierdził y prawidł owość  otrzymanych, na drodze  teoretycznej  zwią zków  i z  tego
wzglę du  otrzymane  wzory  mogą   być  wykorzystane  w  obliczeniach  inż ynierskich  przy
projektowaniu  tego  typu  konstrukcji.



STATECZNOŚĆ  I  STAN   ZAKRYTYCZNY  TARCZY  TRAPEZOWEJ  215

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  S. P.  TIMOSHENKO  i  J. N .  G OOD IER,  T eoria  sprę ż ystoś ci, Arkady  1962.
2.  S. P.  TIMOSHENKO  i  J.  M .  G E R E ,  T eoria  statecznoś ci sprę ż ystej,  Arkady  1963.
3.  S. P .  TIMOSHEN KO,  S.  WOIN OWSKY- KRIEG ER,  T eoria pł yt  i  powł ok,  Arkady  1962.
4.  A.  S.  VOLMIR,  Gibkie plastinki  i  obolocki, Moskva  1956.
5.  B.  K LE I N ,  Buckling  of  Simply  Supported Plates  T apered  in Planform,  Journal  of  Applied  M echanics,

June.  1956  s.  207.
6.  L.  ROOTS, E.  SAKS,  Ob ustoicivosti trapecijevidnychplastin,  Tartu Riikliku  ulikooli  toimetised.  U ć ebnyje

zapiski  Tartuskogo  Instytuta  1971.  Vypusk  281.
7.  L.  ROOTS,  Ob  ustoicivosti plastinok  razliinoj formy  w ć astnosti trjeugolnych i  trapecijeviednych,  Tartru

Riikliku  ulikooli  toimetised.  U ć ebnyje  zapiski  Tartuskogo  Instytuta  1961.  Vypusk  102.
8.  L. M .  PREG IER,  O  vyborje  approksimirujuscich  funkcji  dla  rasć eta  trapjecijevidnych  plastin,  Sbornik

N aucnych  Trudov  Tomskogo  Inż enierno- Stroitelnogo  I n stituta  Tom  X  1962.
9.  L. M . PRBG IER, K voprosu izgiba trapjecijevidnych  i trjengolnychplastinpri  djeistvii popjerjeSnoj nagruzki

i  sil  w  srjedinnoj  plaskosti,  Sbornik  N aucnych  Trudov  Tomskogo  Inż enierno- Stroitelnogo I n stituta
Tom  X  1962.

10.  L. M .  PREQIER,  Zakritić eskaja  deformacija trapjecijevidnych  i  trjeugolnych  plastin,  T r.  Tomskij  Inż e-
niemo- Stroitielnyj  Institut  N r  11,  1964.

11.  A.  A.  POLOZKOV,  J. A.  G ORD IEN KO,  Issledovanije  ustoić iwosti  ravnobocnoj trapjecijevidnoj  plastinki
podkrepljennoj rebrom  ż estkosti,  Voprosy  nadież nosti  i  dolgoviecnosti  sjelchozrnasin,  Rostov  —  na  —
D on u,  1968.

12.  A. A.  POLOZKOV,  J. A.  G ORD IEN KO,  Ustoicivost trapjecijevidnych  plastin,  podkrepljennych  prodolnymi
rebrami ż estkosti,  Izviestia  Vyssich  U cebnych  2aviedjenii.  M asinosirojenie  N r  8  1966.

13.  V.  ILLE,  G .  BARSAN ,  Uber die  Stabilitat  der  allseitig frei  drehbar  gelagerten T rapezplatte,  An.  U niv.
Bucuresti.  M at- M ec. 1969  18,  N r  2.

14.  Z.  TERESZKOWSKI,  Doś wiadczalna metoda  wyznaczania  obcią ż eń  krytycznych  w  pł ytach,  Archiwum
Budowy  Maszyn,  17  z.  3.  1970.

P  e  3  IO  M e

H   3AKP P I TM ^I EC K0E n O BE flE H H E
T P An E LI E BH flH O fł   I I JI AC T H H K H   I I P H   C5KATH H

npn6jiH >KeH H oe  p eu ieir a e  n po6n eM w  n a  o cH o se flH (J>cJ)epeH qnajihH bix ypaBH eH H ił   H ejin -
Heś iHOii  T eopn n  TOH KH X  n n acTioioK  c  H a^aJitiM   n p o rn ó o M .  P em eH iie  3TH X  ypaBH eH H ii  ocymecTBJineTCH
npH   noM onm  MeTo.ua  EyC H OBa- F anepKim a.  Pe3yjiŁTaibi  MHCJieiiHbix  npH MepoB  npeflciaBJieH Ł i  B

.  T eo p eT H iec raie  pe3yjitTaTbi  npoBepeH O

S u m m a r y

BU CKLIN G   AN D   POST- BU CKLING  BEH AVIOU R  OF   TRAPEZOID AL  WEBPLATES  U N D E R
COMPRESSION

The  approximate  solution  of  the  title  problem  derived  on the basis  of  nonlinear  differential  equations
of  thin plates  with  initial  deflection.  Solution  of  these equations is  based  on the Bubnov- G alerkin  m eth od.
The  results  of  numerical  calculations  are  presented  in  diagrams  form.  Theoretical  results  are  verified  by
experiments.

POLITECHNIKA  ŁÓDZKA

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  4  marca  1980  roku.