Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA 1  STOSOWANA 2,  19  (1981) AN ALIZA  KON STRU KC JI  PRĘ TOWO- TARCZOWYCH   M ETOD Ą ELEM EN TÓW  SKOŃ C Z ON YCH E U G E N I U SZ  R  U   S  I  Ń   S  K  I  ( WR O C Ł AW) 1.  Wstę p W  metodzie  elem en tów  skoń czonych,  jak  wiadom o,  istotn ą   sprawą   jest  wyzn aczen ie macierzy  sztywnoś ci,  za  pom ocą   której  wyraża  się   sił y  uogóln ion e  w  wę zł ach  w  funkcji przemieszczeń  wę zł owych.  W  kon strukcjach  prę towo- tarczowych  wystę pują   elem en ty prę towe  i  tarczowe.  Z n an e  są   w  postaci  jawnej  m acierze  sztywnoś ci  zarówn o  p rę t a,  ja k i  tarczy,  kt ó re  został y  om ówion e  m .in .  w  [1],  [2], ...,  [9].  D la  przeprowadzen ia  an alizy konstrukcji  prę towo- tarczowej  i  skrócen ia  czasu  liczenia  n a  E M C ,  celowe  jest  okreś len ie w  postaci  jawnej  m acierzy  sztywnoś ci  elementu  prę towo- tarczowego.  P ozwoli  t o  bez- poś rednio  podzielić  kon strukcję   tylko  n a  elem enty  prę towo- tarczowe. 2.  Okreś lenie  macierzy  sztywnoś ci  elementu  prostoką tnego  prę towo- tarczowego Istnieją   dwie  drogi  okreś lenia  m acierzy  sztywnoś ci  n a  drodze  energetycznej  lub  też, jak  to  czyni  się   w  niniejszej  pracy,  m etodą   superpozycji,  polegają cej  n a  zł oż en iu  m acierzy sztywnoś ci  ram own icy  skł adają cej  się   z  4  prę tów  i  m acierzy  sztywnoś ci  sam ej  tarczy (rys.  1).  M acierz  sztywnoś ci  elem en tu  prę towo- tarczowego  wyraża  się   ró wn an iem (2.1.) Rys.  1. P rostoką tny  element  prę towo- tarczowy. gdzie:  [&,] —  m acierz  sztywnoś ci  ramownicy  prę towej, [k t ] —  m acierz  sztywnoś ci  elementu  tarczy. P rostoką tny  elem en t  tarczy  poł ą czony  jest  z  dowoln ym i  elem en tam i  p rę t o wymi  n,  p, r,  s  wzdł uż  krawę dzi  tarczy  w  sposób  cią gły  (rys.  1). P rzy  form uł owan iu  funkcji  kszt ał t u 254 E .  RUSIŃ SKI tarczy,  w  celu  zapewn ien ia  cią gł oś ci  poł ą czenia  prę tów  z  tarczą ,  przyjmuje  się   jedn akowe przem ieszczen ia  dla  tarczy  i  prę tów  w  miejscu  poł ą czen ia. 2.1.  Macierz  sztywnoś ci  prostoką tnego  elementu tarczy.  P rzedstawiony  n a  rys.  2  typowy  ele- m e n t  p ro st o ką t ny  o  wę zł ach  i,  j ,  k,  I  n um erowan ych  odwrotn ie  d o  ruch u  wskazówek Rys.  2.  Prostoką tny  element  tarczy. zegara,  m a  począ tek  u kł ad u współ rzę dnych w wę ź le i.  M acierz sztywnoś ci  takiego  elem entu m a  p o st a ć : (2.1.1.) [k t ]  =   — 12(1  - v2) Zl z 2   - Z3  = z s   - z 4 46 a 46 a 26 a 2a ~b HO Z- l }d- 3.) 2a a 6 —- ( 1- v),  z 4  =6 a 3 2 3 4o (1- 3.) zs (1+ v) ^ 4 26 \   (1 a - + 6 ( 1 - 1 , 3 3 2 - ,) 0 3 1 - {(1- 3.) z s 1( 1+ , ) , 4 3 - 3 3 T (l- 3») 1 y  (1- 3)0 z 6 2 1 - 1 ( 1 - 3 .) ft 3 z* Wyprowadzen ie  m acierzy  sztywnoś ci  prostoką tn ego  elem entu  tarczy  dla  ukł adu współ rzę dn ych  w  ś rodku  cię ż koś ci  został o  przedstawion e  w  pracach  [2  i  4]. 2.2.  Macierz  sztywnoś ci  ramownicy  jednoobwodowej.  R ozważ ana  ram own ica  jest  zbudowan a z  czterech  p r ę t ów  (n, p,  r  i  s)  poł ą czon ych  ze  sobą   sztywno  (rys.  3).  M acierz  sztywnoś ci [k r ]  takiej  ram own icy je st zbu dowan a  z m acierzy  sztywnoś ci  [k] poszczególnych  elementów p rę t o wych  t ran spo n o wan ych  d o  u kł ad u  współ rzę dnych  ram own icy.  Wyprowadzenia AN ALI Z A  KON STRU KCJI  PRĘ TOWO- TARCZOWYCH 255 macierzy  sztywnoś ci  prę ta  obustron n ie  utwierdzon ego  przedstawion o  m ię dzy  in n ym i w  pracach  [1],  [4],  [5],  [6],  [8]. M acierze  sztywnoś ci  przykł adowego  prę ta  „ « "  m a  p o st a ć : Rys.  3.  Ramownica  prostoką tna  jednoobwodowa. (2.2.1.) a 0 12ET,. a 3 S 0 6E 7, „ a 2 4EJ- Zn a Y EF„ a 0 0 EF „ a M 0 12E / , „ a 3 0 0 12E / r „ a 3 0 6E / , „ a 2 a 0 6EJ ZH a 2 4E / I n a Transformację  poszczególnych  m acierzy  sztywnoś ci  prę t ów  (2.2.1.)  przedstawić  m o ż na zależ noś cią (2.2.2.)  ...  [k m]  =   [C]T  [k m]'  [C] gdzie: [C] —  m acierz  tran sform acji  z  u kł adu  globaln ego  ram own icy  do  u kł a du  lo kaln ego prę ta  o wym iarze  (3 x 3), [C ] T  —  macierz  tran spon owan a  macierzy  tran sform acji.  M acierz  tran sform acji  m a postać cos/ 3  sin/ 3  0 — sin/ ?  cos/ ?  0 0  0  1 0 o (2. 2. 3 ) 0  0 0  0  0 0  0  0 0  0  cos/ S  sin £   0 0  0  - sin /3  cos/ 3  0 0 0   0 0 0  1 256 E .  RU SIŃ SKI W  tym  przypadku  ką t  /S  przyjmuje  dwie  wartoś ci  (rys.  3), zależ nie  od  poł oż enia prę ta w  ramownicy,  0°  lub  90°.  Uwzglę dniając  (2.2.1)  i  (2.2.2)  oraz  dokonują c  przekształ ceń macierz  sztywnoś ci  ramownicy  (rys.  3)  przedstawić  moż na  w  postaci (2.2.4) [kr]  = [k"l [kj- 0 • ] j] l] [k [k [k i- jl j- f] k- jl 0 0 [kf_  k ] [kpk- ki [k[- k] [k [/< [k i - I 0 k — I ' - ; ] ,] „/ " „k" gdzie:  elementy  [&,- _;] są   podmacierzami kwadratowymi  o wymiarach  (3 x 3). Podmacierze te  wyznaczono  w  postaci  jawnej  i  przykł adowo  wynoszą : a  b3 b 2 0 \ 2J,  F, 'a3  b 4 ( - L̂  +   ^ a  b (2.2.5) a 0  - 12/ Zj 0 0 12/ ,„ a 3 6/ z„ n i\ 0 0 a2 2J2n e l*2 0 gdzie  a i  b,  J z ,  F  oznaczają   odpowiednio: dł ugoś ci prę tów, moment bezwł adnoś ci na  zgi- nanie  i pole przekroju  prę ta. 2.3.  M acierz  sztywnoś ci  elementu  prostoką tnego  prę towo- tarczowego.  P o  o kr e ś le n iu  m a c ie r z y sztywnoś ci  prostoką tnego  elementu  tarczy  (2.1.14)  oraz  macierzy  sztywnoś ci  ramownicy (2.2.4)  przeprowadzono  dodawanie  dwóch macierzy  wedł ug  (1).  D odawanie  to  nie  jest wykonywane  wprost,  gdyż  macierz  opisana  równaniem  (2.1.14)  jest  o  wymiarze  ( 8x8) i w tej macierzy wystę pują   tylko przemieszczenia u x ,u y ~w każ dym wę ź le. N atomiast w wę z- ł ach,  ramownicy  oprócz  przemieszczeń  liniowych  u x ,  u y   wystę puje  obrót  a. z   wzglę dem osi  z.  D latego  też  do  wę zł ów  tarczy  wprowadza  się   dodatkowo  zerowy  pozorny  obrót a! z  =  0 wzglę dem  osi z, w wyniku  czego uzyskuje  się  macierz sztywnoś ci  tarczy  o wymiarze (12 x  12).  P o  przekształ ceniach  i  dodaniu  obu  macierzy  otrzymano  w  jawnej  postaci macierz  sztywnoś ci  elementu  prostoką tnego  prę towo- tarczowego  (tabl.  1). AN ALIZA  KONSTRUKCJI  PRCTOWO- TARCZOWYCH 3.  M acierz  sztywnoś ci  elementu  trójką tnego  prę towo- tarczowego 257 Postę pując  podobnie jak  wyż ej wyznacza  się  macierz sztywnoś ci  elementu  trójką tnego, skł adają cego  się  z tarczy poł ą czonej na swoich krawę dziach  w ogólnym  przypadku  z trzema dowolnymi  prę tami  (rys. 4). Rys.  4.  Trójką tny  element  prę towo- tarczowy. Kolejność  numeracji  wę zł ów  jest  przeciwna  do  ruchu  wskazówek  zegara:  i—j—k. G rubość  tarczy  jest  stał a  i  wynosi  t.  U kł ad  współ rzę dnych  lokalnych  jest  zaczepiony w  wę ź le.  Rozważa  się   pł aski  stan  naprę ż eń.  Stan  przemieszczeń  wewną trz  elementu jest podobny  jak  w  elemencie  prostoką tnym  (rozdz.  2).  Wyznaczoną   w  ten  sposób  macierz sztywnoś ci  elementu  trójką tnego  prę towotarczowego  zamieszczono  w  tablicy  2. 4.  Program  P RTA Przedstawiono  obliczenia  konstrukcji  z  podział em  na  elementy  prę towo- tarczowe, wg  metody  elementów  skoń czonych,  został   zaprogramowany  na  maszynę   cyfrową ,  pod nazwą   PRTA.  Program  ten  napisano  w  ję zyku  F ORTRAN   1900  i  uruchomiono  go  n a maszynie  cyfrowej  serii  OD RA  1300.  Obliczenia  moż na  prowadzić  dla  dowolnych  kon- strukcji  pł askich  obcią ż onych  w  pł aszczyź nie,  skł adają cych  się   z  elementów: —  prę towo- tarczowych  (prostoką tnych  i  trójką tnych), —  prę towych  (ramy pł askie), —•   tarczowych  (prostoką tnych i  trójką tnych). Prę ty  o stał ym przekroju,  w poł ą czeniu z tarczą  stanowią   jej  uż ebrowanie  lub  wzmocnienie brzegów.  Obcią ż enie  zewnę trzne  musi  być  przykł adane  w  wę zł ach  elementu. W  danych  do  programu  należy  podać  wielkoś ci  geometryczne  prę tów,  tarcz  i  obcią ż eń zewnę trznych.  Jako  wyniki  otrzymuje  się   przemieszczenia  poszczególnych  wę zł ów  kon- strukcji,  siły wewnę trzne  w  prę tach i  tarczach. Ponadto  otrzymuje  się   naprę ż enia pocho- dzą ce  od momentu gną cego  o g ,  ś ciskają ce  lub  rozcią gają ce  a c   i sumaryczne  crsum  —w  prę - tach,  odkształ cenia  bezwzglę dne  e x ,  s y ,  y xy   oraz  naprę ż enia  a s ,  cry  i  xxy  — w  tarczach. Ograniczenia  programu  stanowi  ogólna  liczba  elementów  m  <  300,  co  wynika  z  po- jemnoś ci  pamię ci  operacyjnej  maszyny  serii  OD RA  1300.  Jednak  jest  ona  zupeł nie wystarczają ca  dla  celów  praktycznych. 258 E.  RU SIŃ SKI 5.  Przykł ad  liczbowy "W  celu  sprawdzen ia  poprawn oś ci  dział ań  program u  wykon an o  szereg  obliczeń  testują - cych .  U zyskan e  wyniki  obliczenia  prostych, konstrukcji  prę towo- tarczowych  porówn ywan o z  wyn ikam i  otrzym an ym i  m etodam i  analitycznym i  [10,  11, 12].  P orówn an ie  t o  wykazał o, że ju ż  przy  p o d ziale  na niewielką   liczbę   elem entów uzyskuje  się   dobrą   zgodność  z  wynikami o t rzym an ym i  z  rozwią zań  an alityczn ych.  P rzeprowadzon o  przykł adowo  obliczenia  kon- strukcji  prę towo- tarczowej  obcią ż onej  czterem a  sił ami  skupionym i  (rys.  5).  Kon strukcję 1=1.0 Rys. 5. P rzykł ad konstrukcji  prę towo- tarczowej: a) ukł ad obcią ż eń, b) rozkł ad naprę ż eń stycznych.  MES — m etoda  elementów  skoń czonych,  A„ — rozwią zanie  ś cisł e. p o d zielo n o  n a  dwa  pro st o ką t ne  elem enty  prę towo- tarczowe  (Tablica  1)  zawierają ca p o  4  wę zły  każ dy,  w  elem en tach t ych  wystę pują   tylko  2  prę ty  n a  przeciwległ ych  bo kach . Wart o ś ci  n aprę ż eń  w  p rę t ach  omawianej  konstrukcji  (rys.  5)  wedł ug  rozwią zania  [10] wyn oszą : P (T4  =   — or,  =   a6  =   — o3  =   — ,  a2  =   6ŁIX  crep^H e- cKJiafl^aTbix  KOHcrpyKi;HH 3JieMeHT0B.  IIpH BefleH bi  B  H BH OM  BHfle  iwaipim bi  H Kn e- CKJiaflqaToro  a n e M e im  c  Tpeiwst  creneHHMH  CBo6oflbi.  B  crepHCHe- CKnaffiaTOM   ojieiH eirre  y^ł ieH a  jim 6aH (Jiopiwa  ce^em ra;  Kawfloro  crrep>KHn:.  On peflejieH ti  T an we  M aipH aBi  >KeCTiH oft  CKJiaflKH H   paMHOH   KOHCTpyKi(HHj  cociosH ueft  H3 4  cTepwH eii.  IIporpaM M a P R T A  H an acaH a  Ha H 3biKe  « t O P T P A H 1900  H  TecTHpoBaHa  Ha i(HdppoBOH   BbumcjiHTeJibHOH   iwaiiiKHe  OJI .P A  1300. P a6oTa npHAtepoiw. S u m m  a r y AN  AN ALYSIS  OF  T H E R OD - SH I ELD   CON STRU CTION S BY  TH E F I N I T E  E LE M E N T  M E T H O D The  way  of  calculating any rod- shield construction by th e finite  element m ethod is  shown  in  the paper. The  rigidity  matrix  of  the  rod- shield  construction  elements  of  a  rectangular  an d  trian gular  shape  with three degrees  of freedom is given.  I n a rod- shield element any shape of  the  rod cross- section  may  be  applied. 260  E .  RU SIŃ SKI T h e  rigidity  matrix  of  a rectangular  shield  and  of  a four  bars  frame  is  also  given  in  the paper. The PRTA program m e  was  writen  in  the  F OR TR AN   1900  language  and  was  tested  on  the  OD RA  1300  computer. Th e  paper  is  illustrated  with  an  example. POLITECHNIKA  WROCŁAWSKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  5  marca 1979  roku. Fn  12IH  , a  b3  l  "l kr  ,] -   Ex t 8(1 - v) 12/ Zn  F 5 «3  '  b  + " * S t  T46  2a ~ l  12(1 - vz)  L a  b (1- ,)] t  I"  4b  a ~ 2  12(1  v2) L  a  b  J t  V2b  2a 12(1— v2)  L a  b t  r 4a  2b " 4  1 2 ( 1 - i -2 )  I  b  ]  a (1- ,)] ( - vj Ci) Zj  =   1  ( 1 —  V)  I 0-' i£(x  v }  |_  o  a  j  {ny V y /  64,,  / 2 ,  \ \   a 2  '  b  j Y rt / ( l- 3v) 8( 1- v2 ) 0 jr  _  12/ 8p a  '  ó 3  '  " ' M u J m \   n  1 — • n i  p  1 1 a  i n r  prę ta  elementu ( ^ )  nr  wę zła  elementu Tablica  1. Macierz  sztywnoś ci  prostoką tnego  elementu  prę towo- tarczowego ?( l- 3v) 8(1  - v2 ) 12/ z,   m , a 3  " = 6/ 2„ rt2 ; 8(1  - v) 124,,  Ą «3  ' i 0 c 2 2/ z„ a 6hP b% «% a 2 4 ( V+ - T) r 2 ? 8 ( 1 - x) 0 b3 8 ( 1 - v 2 ) 6 4 P 6 2 124P  / ^ 6 3  '  0  ' " J 8(1  - x) 2 0 *(l- 3v) 8(1  - v2 ) b 0 f 8(1  - v) F,  \ 2IZr b  a3 / 0 o 0 b2 o 2IZV b b2 64, a2 \   b  a j 124,  „, b 3 / (l- 3v) 8( 1- 0 6/,, b2 *i 2 8(1- 1.) 0 Fr 1  " 2 a ta- *) 8( 1  - v2 ) 0 F f  124, a  i 3 r(l- 3») 8(1  - v2 ) 0 r 8( 1- K) 2 0 / ( I - 3V ) 8 ( 1  —v 2 ) 124r a 3 a 2 8( 1- v) 124,  J7. ,  _, a 3  A 64, b% o 24S 0 0 0 0 64, a 2 24, a 64, ft2 64, a2 \ a  +   b) a d 2   =  a 2 +b 2 abt A,= 2(1  - v2) / I  l- v =   A2[ —  +\   a2 e 2   = 1 F  F • Tu  - I  p ~a~  ~d 7* F p   12/ z d 3 e s   - t* 6  *~ en  < m  ~- r- ,]  =   EX 124 b a 7' J d '• + • b \ 2I 2 p V+1 lab Tablica  2.  M acierz  sztywnoś ci  trójką tnego  elementu  prę towo- tarczowego fl T A 2 ab 0 A^ 1- V lab 124.  l- v e*. T 2a2 2 / z - 1 a 2 a  d R \ ll Zr   l- v lb 2 \ - v 2ab_ 6/ r, ft2 124 V * 64 1- V - ^ 2 -   A2 ~b~ ab d 2 "X* e 4 A2_ 0 2 4 d 6  - - 6LZp d 2 4   T  _( -  __".