Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z2.pdf


M E C H A N I K A
TEOR ETYC Z N A
I  STOSOWAN A

2,  19  (1981)

O  JEDNOZNACZNOŚ CI  ZASADY  NAJMNIEJSZEGO  SKRĘ POWANIA
(NAJMNIEJSZEGO  PRZYMUSU)  GAUSSA

N .  C Y G A N O W A  ( T U Ł A)

W  pracy  P.  STACKELA  [1]  zawarty  jest  ś cisły  dowód  jednoznacznoś ci  zasady  G aussa
dla  ukł adów  z  przytrzymują cymi  (udierziwajuszczimi)  i  nieprzytrzymanymi  (nieudierzi-
wajuszczimi)  holonomicznyini  i  liniowymi  nieholonomicznymi  wię zami  pierwszego  rzę du
i  zbadane  są   przypadki  osobliwe.

Przy  zał oż eniu  regularnoś ci  poł oż enia  ukł adu istnieje  jeden  i  tylko  jeden  ukł ad  przy-
spieszeń,  który  dla  danego  stanu  ruchu  speł nia  zasadę   najmniejszego  skrę powania.

Rozpatrzmy  dowód  Stackela  dla  ukł adu z  wię zami  przytrzymanymi.  N iech ukł ad  ,,«"
punktów  materialnych  jest  zwią zany  „k"  holonomicznymi  wię zami

(1)  / I . ( X I , 0 - 0,  ( p -   1, 2,  . . . .  fc),

z których  dla  prę dkoś ci  w  postaci wynikają   warunki
3 "

t % =  Q  0«-   1.2, ...,*),
i  „ / " liniowymi  nieholonomicznymi wię zami  pierwszego  rzę du

(3)  J VI ( XI , O

Poł oż enie  (x^   ukł adu  nazywamy  regularnym  jeś li  równania  (2)  i  (3)  stanowią   razem
ukł ad  m  =  k+l  równań  liniowych  wzglę dem  rzutów  prę dkoś ci

3n

(4)  EF0i(xi'  O *i + *«( xi i  0  =   0,  (g  =   1, 2,  . . . ,  m),

przy  czym  co najmniej  jeden  z wyznaczników  m  —•  rzę du  macierzy  (F Oi)  róż ny jest od zera,
w przeciwnym  przypadku  poł oż enie nazywamy  osobliwym.
Róż niczkując  równania  (4)  wzglę dem  czasu  otrzymujemy  liniowe  równania  wzglę dem
rzutów  przyspieszenia

3n

gdzie  H
e
(Xi,  x

t
,  t)  są   funkcjami  drugiego  stopnia  wzglę dem  x

t
.

Przy  poł oż eniu  osobliwym  przynajmniej  jedn o  z  równań  (5)  jest  zastą pione  równa-
niem  drugiego  lub  wyż szego  stopnia  wzglę dem  przyspieszeń.

7  M ech.  T eoret.  i  Stos.  2/ 81



262  N .  C YG AN O WA

Z  równ ań  (5)  m oż na  okreś lić  „ m "  skł adowych  przyspieszeń  jako  liniowe  funkcje
pozostał ych  In—m  skł adowych.  D alej,  w  celu  okreś lenia  przyspieszenia  ukł adu  punktów
przy  istnieniu  wię zów  i  sił   rzeczywistych,  przytacza  się  jedn ą  z  zasad  m echan iki  anali-
tycznej.

Zgodnie  z  zasadą  G aussa  przyspieszenia  rzeczywiste  okreś la  się  z  warun ku  minimum
skrę powania

3n

przy  uwzglę dnieniu  warunków  (5) dla  przyspieszeń.
Istnienie  minimum funkcji  Z  wynika  z jej  dodatn iej  okreś lonoś ci.  W  dowodzie  korzy-

stamy  z faktu,  że dla regularnego poł oż en ia ukł adu, skrę powanie  charakteryzuje  się jednym
minimum,  inaczej  mówią c,  że  zasada  G aussa  przy  tym  istotn ym  ograniczeniu  okreś la
ruch jednoznacznie.

N iech  Z  okreś la  minimum dla  wartoś ci  przyspieszeń  x
t
  =   f,.  Wówczas  speł niona jest

nierówność  Z(Ś i + ik)  >  Z ( f; )  dla  wszystkich  dostatecznie  mał ych  ukł adów  wartoś ci  ut
takich,  dla  których  odpowiednie  wartoś ci  przyspieszeń  ki + tii  speł niają  warun ki  (5), tzn.
speł niają cych  warunki

(6)  E F n u i  =   °>  fe  =  1, 2 ,  . . . , m ) .
(= i

Z  równań  (6) wynika,  że jeś li  ukł ad wartoś ci  u
t
 jest  dopuszczalny,  to  dopuszczalny jest

również ukł ad wartoś ci  Ł 7; =   gu
iy
  gdzie  g  jest dowolną  dodatn ią  lub  ujemną  liczbą. Z tego

powodu  i z  równoś ci

3 »  3 »

(7)  Z(li + V
t
) =   Z(l,) +£m,

t
Uf  + 2]?  (m, I - X

t
) U

t
,

1 = 1 i= i

wynika,  że

3 «

(8)

dla  dostatecznie  mał ych  dopuszczalnych  wartoś ci  u
t
.  Oczywiś cie  równanie  (8) speł nione

bę dzie  również  dla  dowolnych  dopuszczalnych  wartoś ci  w;.
Zał oż ymy,  że  skrę powanie  osią ga  m in im um  również  dla  wartoś ci  przyspieszeń  x

t
  = r\ i.

Róż nice jj—1 ( ,  jak  ł atwo zauważ yć,  speł niają  warun ki  (6) i  mogą  być  przyję te  za  dopusz-
czalne  wartoś ci  wielkoś ci  m,  tzn.  m oż na  przyjąć  ??,•   =   ki + ui-   Wówczas  z  równ an ia  (7)
wynika,  że  Z(?j;)  >  Z ( f;) -   Z atem ,  zał oż enie  istnienia  dwóch  minimów  skrę powania
doprowadził o  do  sprzecznoś ci.

Jednoznaczność  zasady  G aussa  zostaje  n aruszon a  przy  osobliwym  poł oż eniu ukł adu.
Jeden  taki  osobliwy  przypadek  bada  dokł adn ie  Stackel.

P un kt  m aterialny  o  masie  jednostkowej  porusza  się  p o  powierzchni  stoż ka

(9)  x2+y2- z2  =   0,



O  JED N OZN ACZN OŚ CI  ZASADY  NAJMNIEJSZEGO  SKRĘ POWANIA  2 6 3

Z  równania wię zów  (9) wynikają   warunki

(10)  xx+yy- zż  =  0,  xx+y'y- zż + xz+y2- ż2  =  0,

(11)  xdx+ydy~z8z =  0,

które  są   speł nione  przez  prę dkoś ci,  przyspieszenia  i  wirtualne  przesunię cia  pun ktu.
N iech  w chwili  t  pun kt  materialny  znajduje  się  w  stanie  spoczynku  na górze  stoż ka.

W  tym  osobliwym  poł oż eniu  równanie  (11),  okreś lają ce  wirtualne  przemieszczenia,  nie
n akł ada  n a nie ż adnych  ograniczeń,  tzn.  jest  nieprzydatne.  Wirtualne  przemieszczenia
dla  osobliwego  poł oż enia należy  okreś lić  oddzielnie.  Okreś lając  jako  takie,  które  prze-
prowadzają   pun kt  materialny  z  danego  poł oż enia w  drugie  poł oż enie zgodne z wię zami,
otrzymujemy  warunek

(12)  (dx)2  + (óy)2~(óz)2  = 0.

Warunek  (10)  dla  przyspieszeń  w poł oż eniu osobliwym  również jest  nieprzydatny.  Łatwo
zauważ yć,  że dla rzutów  przyspieszeń  n a górze  stoż ka  powinien  być speł niony warunek

(13)  x2+y2- 'ż2  m,  0,

gdyż  pun kt  materialny  może  oczywiś cie  pozostawać  tylko  wtedy  na górze  stoż ka, gdy
n a  począ tku  ruchu  wektor  przyspieszenia  leży  n a jego  powierzchni.

Z asada  przemieszczeń  wirtualnych  ł ą cznie  z zasadą   d'Alamberta  tutaj  oczywiś cie  jest
nieważ na,  ponieważ  warunek  (12) dla przemieszczeń  wirtualnych jest nieliniowy. Jednakże
zasada  najmniejszego  skrę powania  daje  moż liwość  okreś lenia  ruchu aczkolwiek  niejedno-
znacznie.

Znajdziemy  minimum  skrę powania  Z =  (x—X)z  + (y— Y)2 + (ż —Z)2  przy  warunku
(13). Otrzymamy  dwa  rozwią zania,  co również jasn o  wynika  z przedstawienia  geometrycz-
nego.  Skrę powanie Z geometrycznie  oznacza  odległ ość  mię dzy  dwoma  punktami (x, y, z)
i  (X,  Y,Z),  a  okreś lenie  minimum  skrę powania  przy  uwzglę dnieniu  warunku  (13)  spro-
wadza  się   do znalezienia  najmniejszej  odległ oś ci  pun ktu  (X,  Y, Z)  od powierzchni  stoż ka.
Rozwią zanie  dadzą   dwa pun kty  n a powierzchni  stoż ka.  Odcinki  od wierzchoł ka  stoż ka
do  obydwu  pun któw  dają   wielkość  i  kierunek  poszukiwanego  przyspieszenia.  Odcinki te
leżą   n a prostych  otrzymanych  przy  przecię ciu  powierzchni  pł aszczyzną ,  przechodzą cą
przez  oś  stoż ka i wektor  sił y.

R ozpatrzony  sposób  okreś lenia  przyspieszeń  jest nieprzydatny tylko w tym  przypadku,
gdy  wektor  sił y znajduje  się  n a osi  stoż ka. W  każ dym, bą dź  razie jest jasne, że w przypadku
poł oż enia  osobliwego  m oż na  stosować  tylko  zasadę   G aussa.

Jeś li  idzie  o  niejednoznaczność  w  przypadku  osobliwym,  Stackel  zauważ a:  „ N ie-
prawidł owe  był o by  odrzucenie  zasady  mechaniki z  tego  powodu,  że przy  znanych  wa-
run kach  przyspieszenie  jest  niejednoznacznie  okreś lone.  Przyczyna  może  tkwić  w posta-
wieniu zadania. R uch zachodzą cy w pobliżu  wierzchoł ka stoż ka nie może być mechanicznie
okreś lony.  Tutaj  przyję ta  jest  niedopuszczalna  idealizacja"  [1, s.  10].  Przykł ad  Stackela
rozpatruje  także  N ordh eim  traktują c  go bardziej  szczegół owo  [2, s.  66].  Z  przykł adu
widać, że  dla  poł oż enia osobliwego  zasada  wirtualnych  przemieszczeń  wspólnie  z  zasadą
d'Alamberta  nie są  równoważ ne zasadzie  G aussa, zasada  G aussa daje  moż liwość  okreś lenia
przyspieszenia,  chociaż  nie jednoznacznie, .n atom iast  pierwsza  z  wymienionych  zasad



264  N .  C YG AN O WA

nie  może  być w  ogóle  zastosowana.  Wynika  stą d,  że dla  osobliwego  poł oż enia  zasady
najmniejszego  skrę powania  n ie  m oż na  otrzym ać  z  zasady  dopuszczalnych  przemieszczeń
i  zasady  d'Alajnberta.  Z asadę  G aussa  dla  poł oż enia osobliwego  przyjmuje  się ja ko  aksjo-
mat.

Jednoznaczność  zasady  G aussa  dla wię zów  nieprzytrzym anych  udowadn ia  się analo-
gicznie.
N iech oprócz holonomicznych i nieholonomicznych wię zów  (1) i (3), n ał oż on ych n a  ukł ad,
dział ają  dodatkowo  holonomiczne i  nieholonomiczne  nieprzytrzym ane  wię zy

(14)  gv(*t,t)>  ( /   =   1, 2, . . , , &') ,
3 «

(15)  j J - Y ^ f o . O Xf  +  V j i f a . O *  0 ,  ( A ' =   1 , 2 , . . . , / ' )
1  =   1

Zał oż ymy,  że dla danego  stanu ruchu w chwili  t współ rzę dne prę dkoś ci  speł niają  s równań

in

(16)  y^ 7j
ai
(x

i
,t)k

l
+v

ao
(x

i
,t)=Q,  ( e r - 1 , 2 , . . . , *;  s - f e ' + Z1 ) ,

wywodzą cych  się z wię zów  (14) i (15).
Poł oż enie (x)  ukł adu w chwili  t nazywamy  regularnym, jeś li  przy  pom ocy równ ań  (16)

i  (4)  m + s  rzutów  prę dkoś ci  może  być  przedstawionych  jako  liniowe  funkcje  pozostał ych
3n  — m — s  rzutów  prę dkoś ci.  Rzuty  przyspieszeń  speł niają  (5) i  warun ki

3»

(17)  ^ v
at
(Xi,t)Xi+K

a
(x

t
,x

u
t)>0,  (ff=   1,2,  ...,»),

odpowiadają ce  równoś ciom  (16), które  są speł nione przez  prę dkoś ci  pun któw w rozpatry-
wanej  chwili ruchu.

Twierdzenie  o  jednoznacznoś ci  zasady  G aussa  dla  nieprzytrzym anych  wię zów m a
miejsce  także  przy  zał oż eniu  regularnoś ci  poł oż en ia.  W  przestrzeni  euklidesowej  R

3
„

wielkoś ci  x
h
  skrę powanie  Z  dla  czę ś ci  przestrzeni,  zawierają cej  pun kty  x

t
,  speł niają ce

wspomniane  warunki  (5) i  (17), jest  cią gła  funkcją  pun ktu,  dodatn io  okreś loną  i  dlatego
osią ga  przynajmniej  w jedn ym  pun kcie  wartość  m inim alną.

Zał oż enie regularnoś ci  poł oż enia nie jest w tym  przypadku  konieczne, jest  on o  istotne
dla dowodu jednoznacznoś ci zasady.  N iech wartość  m in im aln a skrę powania jest  osią gnię ta
dla wartoś ci  przyspieszeń  x

t
  =   £ j, stąd  dla wszystkich  dostatecznie m ał ych dopuszczalnych

wartoś ci  ukł adów  (M;)  m a  miejsce  nierówność

Ponieważ
3n

Z({
t
+u

t
)  -   (l

wynika  stą d,  że dla dostatecznie  m ał ych  dopuszczalnych  ukł adów  wartoś ci  w( speł niony
jest  warun ek

3n

(18)  X  <m1t- Xdth > 0,
f = l



O  JED N OZN ACZN OŚ CI  ZASADY  NAJMNIEJSZEGO  SKRĘ POWANIA  2 6 5

W  przypadku  regularn ego  poł oż en ia ukł adu  m oż na  pokazać,  że  warunek  (18)  speł niony
jest  także  przy  dowoln ych  dopuszczalnych  ukł adach wartoś ci  w;.  I  rzeczywiś cie,  wartoś ci
f,  speł niają   warun ek  (17), tzn .

3n

1 =   1

Wartoś ci  wielkoś ci  Ut  są   dopuszczaln e,  jeś li  odpowiadają ce  im  wartoś ci  przyspieszeń
Ż i + Ui  speł niają   warun ki  (17), tzn .  dla  dopuszczalnych  ukł adów  wartoś ci  u

t
  speł niona jest

nierównośćnierówność
3n  3n

(19)
,  =   I  , =   i

Ł atwo  udowodn ić, że jeś li  ukł ad  wartoś ci  ui jest dopuszczalny,  to dopuszczalny jest  także
ukł ad  wartoś ci  (9«j,  gdzie  0  <  0  <  1.  Jeż eli  ukł ad  wf  jest  dopuszczalny,  to  speł nia  on
zwią zek  (19),  ale  wówczas,  jak  ł atwo  zauważ yć,  speł niony  jest  zwią zek

3H   3«

(20)
1 = 1  1 =   1

Wielkoś ci  © m oż na  przyją ć  n a  tyle  m ał e,  że  warunek  (18)  bę dzie  speł niony dla  wielkoś ci
©U\ ,  tzn . bę dzie  speł n ion a n ierówn ość

3fl

z  której  wynika  dla  ©  >  0  speł nienie nierównoś ci

3 H

J  0,

dla  dowolnych  dopuszczaln ych wartoś ci  tii.
P rzy  pom ocy  tej  n ierówn oś ci  ł atwo  m oż na  teraz  udowodnić  jednoznaczność  zasady

G aussa, przeprowadzają c  rozważ an ia  analogiczne do tych, przy których pomocy dowodził o
się   jedn ozn aczn ość  zasady  dla  wię zów  przytrzym anych.

W  pracy  P .  Stackela  p o d an o  również  geometryczny  dowód  jednoznacznoś ci  zasady
G aussa.

P odstawiają c
1  ..

yt  ~  -   \   i  i  i) 5
l/ m ,

skrę powanie
3n  3n

yf
1  =   1  '  1 = 1

m oż na  traktować ja ko  kwadrat  odległ oś ci pun ktu 3«- wymiarowej  przestrzeni  euklidesowej
i?3 n  od  począ tku  ukł adu  współ rzę dnych.  Warun ki  (5),  które  speł nione  są   przez  rzuty
przyspieszeń  w  przypadku  wię zów  przytrzym an ych  (1)  i  (3)  zapiszą   się   w  postaci



266  N .  C YG AN O WA

3 "  ,  •   .

(2i)  Z j 7 ^ f e ! y ' + H o  =  °'  ( e ~   l | 2 f  i " ' m ) l
i= i  '

Warunki  (21)  wydzielają   w  przestrzeni  euklidesowej  R
3
„  podprzestrzeń  euklidesową

7?3„_„,. Z asada najmniejszego  skrę powania  wymaga  wyznaczenia  pun ktu tej podprzestrzeni,
znajdują cego  się   najbliż ej  począ tku  ukł adu  współ rzę dnych.

Z  teorii  wielowymiarowych  przestrzeni  euklidesowych  wiadom o,  że  szukan a  naj-
mniejsza  odległ ość jest  prostopadł ą   z  począ tku  ukł adu  współ rzę dnych  do  podprzestrzen i
R

3n
- ,„,  oraz  że  istnieje  jedn a  i  tylko  jedn a  taka  prostopadł a.

Wykorzystują c  geometryczną   interpretację ,  Satckel  rozpatruje  potem  okreś lenie
przyspieszeń  przy  pomocy  zasady  najmniejszego  skrę powania  w  przypadku  ogólnym,
gdy  wystę pują   wś ród  wię zów  nieprzytrzym ane  wię zy.

Przy  zał oż eniu regularnoś ci  poł oż enia ukł adu  mają   miejsce  liniowe  zwią zki  pomię dzy
wielkoś ciam i;';,  odpowiadają ce  równ an iom  (5)

(22)

i nierównoś ci
3 «  •   .

/ no\   V  n  i.   _L  R  • ->  n  (n  1 0   B\   •

odpowiadają ce  warun kom  (17).
Równania  (22)  wyznaczają   w  przestrzeni  euklidesowej  R

3n
  podprzestrzeń  euklidesową

R
3n

-
m
,  a  nierównoś ci  (23)  wyznaczają   w  tej  ostatniej  jedn ospójn y  wypukł y  obszar  S

N
,

ograniczony  podprzestrzeniami  euklidesowymi  Â — 1,  N - 2,...,2,  1—wym iarowym i,
prcy  czym  N   =   3n —m .  Okreś lenie  przyspieszeń  przy  pom ocy  zasady  najmniejszego
skrę powania  sprowadza  się   zatem  do  zadania  geom etrycznego:

Przez  liniowe  równ an ia  i  nierównoś ci  wyznaczony  został   obszar  w  przestrzeni  eukli-
desowej.  N ależy  okreś lić  najmniejszą   jej  odległ ość  od  dan ego  p u n kt u  przestrzeni.  Przy
wyznaczaniu  najmniejszej  odległ oś ci  t o , że  istnieje  tylko  jedn a  taka  najmniejsza  odległ ość
wykazano  analitycznie; spotykamy  dwa  takie  przypadki.

D any  jest  pun kt  O,  począ tek  ukł adu  współ rzę dnych,  m oże  należ eć  d o  obszaru  S
N

wł ą cznie  z  granicą ,  wówczas  najmniejsza  odległ ość  dotyczy  samego  pun ktu  O.  P un kt  O
może  leż eć  na  zewną trz  obszaru  S.

N iech  OT —prostopadł a  do  podprzestrzeni  RN , do  której  należy  S
N
,  wówczas  OT   —  jest

najmniejszą   odległ oś cią   pun któw  R
N
  od  O.

Jeś li  pun kt  T  należy  do  obszaru  SR, to  O T także jest  szukaną   najmniejszą   odległ oś cią.

W  tym  przypadku  pun kt  T leży  n a  granicy  obszaru  S
N
  i  przestrzeni  R

3n
•   Jeś li  pu n kt  T

nie  należy  do obszaru  S
N
  to m in im um odległ oś ci wystę puje  dla pewnego  pu n kt u A,  róż nego

od  T .  P un kt  A  leży  n a  granicy  obszaru  S
N
  i  podprzestrzen i  R^ .

Z agadnienie jednoznacznoś ci zasady najmniejszego  sluę powan ia  został o dalej  rozwinię te
i  zbadane przez  A.  PRZEBORSKIEG O  [3],

W  odróż nieniu  od  badań  Stackela,  który  ograniczał   się   do  idealnych holonom icznych
i  liniowych  nieholonomicznych  wię zów  pierwszego  rzę du,  P rzeborski  przeprowadził



O  JED N OZN ACZN OŚ CI  ZASADY  NAJMNIEJSZEGO  SKRĘ POWANIA  2 6 7

badan ie  zasady  G aussa  dla  najbardziej  ogólnego  przypadku  holonimicznych  i  n ieholo-

nomicznych  wię zów  z  tarciem .  A.  P rzeborski  sformuł ował   zasadę   G aussa  w  postaci  obej-

mują cej  wszystkie  przypadki  fizycznej  realizacji  wię zów:

„ P rzy  każ dej  fizycznej  realizacji  wię zów,  w  każ dym  momencie  czasu,  w  którym  poł o-

ż enie  ukł adu  jest  regularn e,  ruch  ukł adu  odbywa  się   w  taki  sposób,  że  odpowiadają ce

wymuszenie  osią ga  wartość  m inim alną   przy  zał oż eniu,  że  przyspieszenie  speł nia  warunki,

n ał oż one  wię zami  an alityczn ym i"  [3,  s.  285].  W  „ Wykł adach "  Przeborskiego  spotykamy

się   z  prawidł owym  rozpatrzen iem  zasady  najmniejszego  skrę powania  z  uwzglę dnieniem

regularnoś ci  ukł adu.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  P.  STACKEL,  Bemerkungen  zum  Prinzip  des  kleinsten  Zwanges  Heidelberg, 1919.
2.  L.  N ORD H EIM ,  Die  Prinzipe  der  Dynamik.- Handbuch  der  Physic, V.  5,  Leipzig,  1927.
3.  A.  PRZEBORSKJ,  W ykł ady  mechaniki teoretycznej, t.  2.  Warszawa,  1935.

P  e  3  IO  M e

OB  O J I H O S H E ^ H O C T H   n P H H I T H riA  H AH M EH BIIIErO  nPH H YMCflEH H fl  rAYCCA

H enieqKOMy  yqeHOMy  LL  H I ieK ejn o  npH H aflJiewH T  HCCjieflOBamie  oflH OSH araociH   n p r a n p m a  F aycca

flJIH   CHCTeM   C  yflep5KHBaK>HJ,KMH   H   Heyflep>KHBalOIX(HMH   HfleanEHblMH   roJIOHOMHMMH   H   JIMIieHHblMH

HeronoHOMHbiMH   CBH3HMH  n e p B o r o  n o pn flK a.  fljia  p e r yjia p H o r o  rtonoJKeH H fl  CH CTCMBI  n p m m u n  T aycca

o n p e^ ejin eT  flBH H teinie  onH OStiaM ao,  B  cH H ryn apn oM   cjiy^iae  —  H eoflH osn atm o.  ^an Ł H efiin ee  pa3BHTHe

3T O T  Bo n p o c  n oJiy^H Ji  B  HCcneffOBaHHH   A.  I I in e S o p c K o r o .  ITm e6opcKH ii  n poBeji  HCCJieHOBamie  npH H -

F a yc c a  flJiH   caM oro  o 6 m e r o  c jiy^ a n  roJiOHOMHbix  H  nerojioH OMH Lix  CBHaeił   c

S u m m a r y

ON   U N IQU EN ESS  OF   G AU SS'  LEAST  CON STRAIN T  PRIN CIPLE

A  G erman  scholer  P.  Stackel  has  investigated  the uniqueness of  G auss' principle for  a  system, with
restrained  and  nonrestrained ideal  holonomic  and  linear  nonholonomic  constraints of  the first  order.
F or  a regular position of a system the G auss'  principle determines the mction  uniquely, while in a singular
case  non- uniquely.  The subsquent  development of  the problem can be  traced in  A.  Przeborski's papers
who  has investigated G auss' principle for  the  most general case of holonomic and  nonholonomic constraints
with  friction.

Praca  został a zł oż ona w  Redakcji dnia 24  stycznia  1980 roku.