Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z2.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

2, 19 (1981)

ZASAD Y  WARIACYJN E  M ECH AN IKI  DLA  ZM IEN N YCH   OBSZARÓW
I  I C H  WYKORZYSTAN IE  W  OPTYM ALIZACJI KON STRU KCJI

K R Z YSZ T O F   D  E M  S  ( Ł Ó D Ź )

1.  Wstę p

Z asady  prac  przygotowan ych  oraz  uzupeł niają cych  prac  przygotowanych  są   podstawfe
wariacyjnego  sform uł owania  zagadnień  statycznej  równowagi  ciał a  pod dział aniem  ze-
wnę trznych  i  wewnę trznych  sił .  N ajczę ś ciej  kształ t  ciał a  jest  z góry  okreś lony  i  wariacji
podlegać mogą   pola n aprę ż eń,  odkształ ceń i przemieszczeń. Istnieje jedn ak  szereg zagadnień
w  których  istotn ym  jest  uwzglę dnienie  zmiany  kształ tu  brzegu  ograniczają cego  ciał o,
lub  jakiejkolwiek  powierechn i  wewną trz  rozpatrywanego  ciał a.  Zagadnieniami  takimi
mogą   być  problem y  optymalizacji  kształ tu ciał a,  zagadnienia  propagacji  pę knię ć,  transfor-
macji  faz przy  krzepnię ciu it p.

W  przedstawionej  pracy  zajmiemy  się   wyznaczaniem  wspomnianych  zasad  waria-
cyjnych  w  przypadku  gdy oprócz  wariacji  pól n aprę ż eń,  odkształ ceń  i  przemieszczeń
należy  również  rozpatrywać  wariację   obszaru  zajmowanego  przez  ciał o.  N astę pnie wyko-
rzystamy  te  zasady  przy  wyznaczaniu  warun ków  optymalnoś ci  kształ tu  brzegu  ciał a.
N aszą   analizę  ograniczymy  d o m ateriał ów sprę ż yś cie  nieliniowych  z potencjał ami naprę ż eń
i  odkształ ceń  W (a

t
j)  oraz  U(BIJ)  takim i, że

dW   dU

D alej  przyjmiemy,  że W(<r,7) i  U(sij)  są  jedn orodn ym i  funkcjami  rzę dów  (n+l) i  (k+l),

takim i,  że

(2)  a
u
e

u
  = a

tJ
- Ę ^ ~  =  (ji+\ )W {o

ti
)  -   - T ~ «M   =   (k+l)U(s

u
),

gdzie  kn =  1. D la jedn oosiowego  stanu  n aprę ż en ia  zależ ność  naprę ż enie- odkształ cenie
jest  opisan a  zatem  przez  zwią zek  e =  ca",  gdzie c oraz n są  param etram i materiał owymi.
D la  n — 1, zwią zki  (1) odpowiadają   materiał owi  sprę ż yś cie  liniowemu,  podlegają cemu
prawu  H ooke'a.

2.  Z a sa d a  p rac  przygotowan ych  przy  równoczesnej  wariacji  pola  przemieszczeń  i  kształ tu  brzegu

N iech dan e ciał o  sprę ż yste  B, zajmują ce  obszar  Vi  ograniczone brzegiem S znajduje się
w  stanie  równowagi  statycznej  p o d dział aniem  dan ych  sił  powierzchniowych,  rys.  1.
P owierzchnia  gran iczn a  skł ada się  z dwóch  czę ś ci  S

t
 i S

u
. N a czę ś ci  brzegu  S, dan e są  sił y

powierzchniowe  T ° =  a^ nj, zaś n a brzegu  S
u
  zadan e  są   przemieszczenia  w( =   w°.



270 K.  DEMS

R ozpatrzm y  nieskoń czenie  mał ą  wariację  konfiguracji  ciał a  B  okreś loną  przez  cią głe

i róż niczkowanie  pole wektorowe  <5<pt =   dcpiix) takie, że  dowolny  pu n kt P  ciał a  przechodzi

w  p u n kt  P*  zgodnie  z  zależ noś cią

(3)  P- +P*\ xf*'

Rys.  1.  Ciał o  B  podparte  na  S„  i  obcią ż one  na  brzegu  S,  poddanym  wariacji

W  wyniku  transformacji  (3)  obszar  pierwotny  V  przechodzi  w  obszar  V*  zaś  brzeg  S,
przechodzi  w  brzeg  Sf.  O funkcji  dq>

t
  zał oż ymy  pon adto, że  zn ika  ona  n a  brzegu  S

u
,  tak,

że  kształ t  brzegu  podpartego  nie  ulega  zmianie  podczas  wariacji  kształ tu  ciał a.

Oznaczmy  naprę ż enia,  odkształ cenia  i  przemieszczenia  ciał a  B  przed  wariacją  kształ tu
przez  cy,  £ij  i  w;.  P ola  te  speł niają  odpowiednio  równ an ia  równowagi,  warunki  nieroz-
dzielnoś ci  oraz  warunki  brzegowe  n a  S

t
  i  S

u
.  R ozpatrzm y  teraz  wariację  pól  statycznych

i  kinematycznych.  D la  pola  przemieszczeń  moż emy  n apisać,  rys.  2a,  [1]

(4 )

Rys.  2a) wariacja  i  przedł uż enie  pola  przemieszczeń  b)  przedł uż enie  pół a  naprę ż eń  poza  brzeg  S
t

gdzie  wariacja  dui je st  o kr e ś lo na  p r zez

(5)  diii  =   uf(x)—u,(x)+u
t<k

(pć )  5<p
k
  =  5u

t
+Ui

tk
d<p

k

i  speł nia  warunek

(6)  dut  =   O n a S , , .

Z auważ my,  że  <5w; przedstawia  cał kowitą  wariację  tą ,  podczas  gdy  dui  jest'wariacją
przemieszczeń  dla ustalonej konfiguracji  pierwotnej  ciał a B.  Wariacja  odkształ ceń  wyraż ona
jest  analogicznie  do  (5) i  wynosi



Z ASAD Y  WAR I AC YJN E  M EC H AN IKI  W  OP TYM ALI Z AC JI  KON STR U KC JI  271

oraz

(8)  «8 ( x*) - «i i ( x) +   a«y( *) '
Rozpatrzmy  teraz  statycznie  dopuszczalne  przedł uż enie  pola  naprę ż eń  okreś lone  przez,
rys. 2b

(9)  ff|J(**)  =  aijfr)  +  "o .  *(*) M  •

Z atem  pole  n aprę ż eń jest  okreś lone  również  poza  brzegiem  S, i speł nia ponadto  rów-
nania  równowagi,  skoro [1]

(10) tH.f(x*)  = <y
UJ

{x) + a
ihk}

{x)6q>
k
  =  0.

Siły  powierzchniowe  n a  brzegu  S?  wywoł ane  naprę ż eniami  (9) wynosić  bę dą

(11) Tt(x*)  -  oftx*)nf,
gdzie  w,* jest jednostkowym  wektorem  normalnej  zewnę trznej  do  brzegu  Sf.  D la  konfigu-
racji  F * moż emy  zatem  napisać

(12)  J  <»fl «f/ dV*  =  /   <fM,odSB +   /   T f«fd S ?.

Sprowadź my  teraz w równ an iu  (12) cał kowanie po  obszarze  V* i powierzchni Sf  do cał ko-
wania  po obszarze  V i  powierzchni  S,.  U wzglę dniając  w jakobianie  przekształ cenia  (3)
jedynie  wielkoś ci  rzę du  pierwszego  ze  wzglę du  n a  d<p

k
  otrzymamy  [1]

(13)  dV*=(l  + d<p
k
JdV,

podczas  gdy  element  powierzchniowy  nfdŚ f  wyrazić  moż emy  przez  [2]

(14) nfdSf m  (nj+njd<p
k
,

k
- n

k
ó(p

k
,j)dS

t
,

gdzie  nj jest  jednostkowym  wektorem  normalnej  zewnę trznej  do pierwotnego  brzegu  S
t
.

U wzglę dniając  zatem  zwią zki  ( 4- 11)  oraz  (13) i  (14),  równanie  (12)  przedstawić
moż emy w postaci

(15)  J

.  =   J f, u ?d 'S„ +   f  (cfij + au

Pomijają c  czł ony  wyż szego rzę du niż pierwszy  ze wzglę du  n a  5<p
k
,  ósij i  Su

t
  oraz  wyko-

rzystują c  równość

(16)  /   a
u
s

u
dV  =  ft

i
u?dS„+  j  T ft

h
dS

f
,

v  s
«

  s
>  ;

równanie  (15) moż emy  przedstawić  w postaci

(17)  ja
u
d- e

t]
dV=  j  T ?8titdS

t
+  {[(ondcpj- ctudcpkMjń tdSt,

v  s,  .  s,
która  przedstawia  poszukiwaną   zasadę   prac przygotowanych.  Stosują c  dalej  do  ostatniego
czł onu  po  prawej  stronie  równ an ia  (17)  twierdzenie  Stokesa,  moż emy go przekształ cić do
cał ki  krzywoliniowej  p o  krzywej  F  ograniczają cej  powierzchnię   S,. Otrzymamy  zatem

(18)  /   o
t
jds

u
dV=  j  T fdutdSt-

v  s
t
  '  '  •   •



272 K.  D EMS

gdzie  t[  jest jednostkowym  wektorem  stycznym  do  krzywej  F,  dcpf  przedstawia  wariację
punktów  powierzchni  S

t
  n a  krzywej  V  zaś  e^j  jest  symbolem  permutacyjnym.

Jaż eli  teraz  uwzglę dnimy,  że  wariacja  kształ tu  powierzchni  S
t
  n a  ograniczają cej  ją

krzywej  F  wynosi  zero,  dcpf  =   0,  ostatni  czł on  po prawej  stronie  (18) znika  i  zasada  prac
przygotowanych  przy  równoczesnej  wariacji  pola  przemieszczeń  i  kształ tu  powierzchni
obcią ż onej  przyjmuje  postać

(19)  /   a
u
  6e

u
dF   =   JT ?  óu,dS

t
.

v  s
t

Rozpatrzmy  teraz  postać  zasady  (19)  jeż eli  brzeg  S
t
  skł ada  się  z  czę ś ci  obcią ż onej  Si-

na,  której  dział ają  niezerowe sił y  powierzchniowe  T °  ^  0 i której  kształ t jest z góry  dany,
b(p

k
 =   0  n a  S

T
,  oraz  nieobcią ż onej  czę ś ci  S

o
  której  kształ t  podlega  wariacji,  T f  =   0,

dcp
k
  #   0  n a  £ „ ,  rys.  3a.  W  takim  przypadku  równanie  (19)  przyjmie  postać

(20) J  ary de,jdV  =   J  T f  dutdS T.
V ST

N iech  teraz dane bę dzie  dwufazowe  ciał o  sprę ż yste  B  ograniczone ustalonym  brzegiem
S  =  S

u
uS

t
  i  zajmują ce  obszary  V

x
  i  V

2
  rozdzielone  brzegiem  wewnę trznym  S

c
,  rys.  3b.

Przyjmiemy,  że  konfiguracja  ciał a  doznawać  może nieskoń czenie  mał ych  wariacji  okreś lo-
nych  transformacją  (3), gdzie  teraz  funkcje  <5<p;  znikają  n a  cał ym, brzegu  zewnę trznym  S.
W  wyniku  tak  okreś lonej  transformacji  kształ t  brzegu  wewnę trznego  S

c
  może  podlegać

wariacji,  podczas  gdy  zewnę trzny  brzeg  S  nie  ulega  zmianie.

Rys.  3a) Ciał o podparte na S
u
  i obcią ż one na  ST  ze swobodnym brzegiem So poddanym wariacji, b) Wariacja

kształ tu  wewnę trznego  brzegu  S
c

N iech  naprę ż enia,  odkształ cenia  oraz  przemieszczenia  oznaczone  bę dą  odpowiednio
przez  a\ j\   a\ f,  e\ f,  e\ f,  «}X)  oraz u\ 2}  i niech speł niają  odpowiednio  równania  równowagi,
warunki  nierozdzielnoś ci  oraz warunki  brzegowe  na  S„ i  £ , . P on adto  n a  brzegu  wewnę trz-
nym S

c
  przemieszczenia  u

t
  =  w£  i sił y powierzchniowe  T f  — a^ rij muszą  być cią głe podczas

gdy  ich  gradienty  mogą  doznawać  niecią gł oś ci.  M oż emy  zatem  napisać  [3]

(21)
[uf]  = 0, [Tf]  =   [ffjnj

,  [ 7 Y. J -

=  0 ,
na

gdzie  symbol  [ ]  oznacza  skok  odpowiednich  wielkoś ci  n a  powierzchni  S
e
  obliczany  jako

ich róż nica w  obszarach  V
t
  i  V

2
,  n p.  [/;]  =  / /  1}(x)  - fl2\ x)  dla x  e  S

c
.  Jednostkowy  wektor

normalnej  n a  S
c
  rij  jest  skierowany  n a  zewną trz  obszaru  V

v
.



Z ASAD Y  WARIACYJN E  MECH AN IKI  W  OPTYM ALIZACJI  KON STRU KCJI  273

R ozpatrzm y  teraz wariację   pól przemieszczeń  u\ l)  i iĄ z>  okreś loną   przez  (5) i speł niają cą

warunki

(22)  du
t
  =   0  n a  S,„  du

t
  =   du,  na  S

t
,  [du{\   =   0  na  S

c
.

U wzglę dniając  ostatn i  z  warun ków  (22)  oraz  równ an ie  (5),  wariacje  pól  przemieszczeń
n a  S

c
  speł niać muszą   warun ek

(23)  [Su
t
] + [Ui,

k
]df

k
=0,  na  S

e
,

Piszą c  teraz dla  obu  czę ś ci  ciał a  zasadę   prac przygotowanych  (19)  i uwzglę dniając  cią gł ość
sił   wewnę trznych  n a  powierzchni  S

c
  otrzymamy

(24)  fW   detfdVt  +  [ a\ f &l\ ?dV
2
  =   f  T ?  du

t
dS

t
+

Vi V2 St Sc

gdzie  T °  oznaczają   dan e  sił y  powierzchniowe  n a  brzegu  obcią ż onym  S
t
,  zaś  T f  są   po-

wierzchniowymi  sił ami  wewnę trznymi  n a  powierzchni  S
c
.  Wykorzystują c  w  (24)  warunek

(23)  oraz  równość

(25)  [ut,
k
]d(p

k
 =  K , , ] ^ , , ,

gdzie  Scp„  oznacza  skł adową   n orm aln ą   wariacji  brzegu  S
c
,  zasada  prac  przygotowanych

dla  równoczesnej  wariacji  przemieszczeń  i  kształ tu  brzegu  wewnę trznego  S
c
  przyjmuje

postać

(26)  /   <rtf><JStfW1+   fa\ r  de\ pdV2  =   f  T ?dutdS t-   J  T ^ u^ dę
Vi

3.  Z asada  uzupeł niają cych  prac  przygotowanych  przy  równoczesnej  wariacji  pola  naprę ż eń i  kształ tu brzegu

Wykorzystują c  notację   poprzedn iego  pun ktu zał oż ymy  teraz, że transformacja  V  - *•   V*
poł ą czona jest  z  równoczesną   wariacją   n aprę ż eń  oraz,  że  pole  n aprę ż eń of} jest  statycznie
dopuszczalne  i  speł nia  odpowiednie  warunki  brzegowe.  M am y  zatem

(27)  afjfa*)  =  % ( x) + d ffy ( x)  =   <yu+6au  +  aijikd(pk,

gdzie

(28)  0 ffw - < r !ł ( x) - < ro ( x)

i  statyczn a  dopuszczalność  pola  n aprę ż eń wymaga,  aby

(29)  afj,f  =   a
iU  3

 +  8a
Ut  3

+erw,  w  8cpk  =   0 .

Stą d

(30)  S5
UtJ

  =  0  w  V,

zaś  sił y powierzchniowe  n a  brzegu  Ą *  są   okreś lone  przez

(31)  r f( x*) =  afj(x*)nf.

Oznaczają c  teraz  cał kowitą   wariację   sił  powierzchniowych  przez

(32)  <5 Tf  =   T ? (x*) -   T f  (x)  =   8a
u
  n

s
  + a

u
 drij



274 K.  D EMS

i  wykorzystując  równ ość [2]

(33)  ónj =  nf- iij  =  n
J
n

k
n

l
d(p

k
,

l
- n

k
d<p

kiJ
,

oraz  uwzglę dniając  (27)  otrzymamy z  (32)

(34)  Sdunj<=  dT ?- T ?n
k
ni6ip

k
,i~fftj,

k
njdip

k
+aijn

k
d(p

ki
j,  na  S

t
.

Przedł uż ając  analitycznie  pola  przemieszczeń  i odkształ ceń z V do  F * m oż emy  napisać

uf(x*)  =  u
t
(,x)+u

llk
(x)d(p

k
,

Bfj(x*) =   e
u
(x)+E

iJik
(x)d<p

k
.

Z atem w konfiguracji  V*  napiszemy

(36)  (afjefidV*^   f  tfi,?dS„+  JT fuldSf.
V* Su Sf

Postę pując  podobn ie  jak  w poprzedn im  punkcie  zastą pimy  cał kowanie  w  obszarach
V* i Si* przez  cał kowanie p o obszarach  Vi  S,. Wykorzystując  (13),  (14) i  (27 -  35) otrzy-
mamy,  pomijając  czł ony  wyż szego  rzę du  ze wzglę du  n a  ó(p

k
 i Sa-

t
j

r u + ( 5 f f u ) £ u d F =   ftfu?dS u+
ś

( 35)

( 37)
v  ś „  s

t

~  n
k
n, d<p

ki
 1) + {cs

ik
  dcpj -  a

u
  d<pdu

ti
  jn

k
]dS,.

Odejmując  teraz  (16) od (37)  otrzymamy  poszukiwaną  zasadę  uzupeł niają cych  prac
przygotowanych  w postaci

(38)  J datjStjdV =   Jdt
t
utdS

u
+  j  [8T ?u

t
+ r fn , ( %  Ł - ns n , % , +

V S„ St
+  (<y

lk
d<pj~a

iJ
dę

k
)u

tyJ
n

k
]dS

t
.

N iech  teraz  powierzchnia  S
t
 bę dzie  sparam etryzowana  ortogon aln ym  krzywoliniowym

ukł adem  współ rzę dnych  a, /?, rys. 4, pokrywają cych  się z  liniami  gł ównych  krzywizn
na  S

t
 i niech a

k
, b

k
  oznaczają  jedn ostkowe  wektory  styczne  do linii  a i /?, zaś dq>

a
,  6(p

b
,

d(p„ oznaczają  skł adowe  wariacji  pun któw  powierzchni  S
t
 w kierun kach  a, fł , n, przy  czym

zachodzi

(39)  df
a
  = a

k
d(p

k
,  d(p

b
 = b

k
d<p

k
,  ó<p„  =  n

k
d(p

k
.

Rys.  4. Parametryzacja  powierzchni  S  krzywoliniowym  ortogonalnym  ukł adem  współ rzę dnych  (a,  /?)



Z ASAD Y  WARIAC YJN E  M EC H AN IKI  W  OP TYM ALI Z AC JI  KON STR U KC JI  275

U wzglę dniają c,  że  dla  dowolnej  funkcji  f(x)  cią gł ej  i  róż niczkowalnej  n a  S, zachodzi

(40)  f,k  = ^ - f,
a
a

k
  +  - —l

fi
b

k
+f

in
n

k
,

gdzie A2  i B2  są   współ czynnikami pierwszej  formy  kwadratowej  powierzchni  5, ,  równanie
(38)  przekształ cimy d o  postaci

(41)  fdd
u
e

t
jdV*=  jdt

t
uUS„+  JÓT ?u

t
dS

s  sJ
k
dS

t
+  f  [{T ?

gdzie  H  oznacza  ś rednią   krzywiznę   powierzchni  S
t
.  W  równaniu  (41)  wykorzystano

pon adto  równość

(42)  2Hn
k
  =  - ^-   [(BaO,  a + ( A b k ) , „}.

Jeż eli  n a  krzywej  ograniczają cej  powierzchnię   S
t
  znikają   wariacje  6cp

k
, to  ostatnia

cał ka  po  prawej  stronie  (41)  staje  się   równa  zeru  i  poszukiwana  zasada  uzupeł niają cych
prac przygotowanych  przy  równoczesnej  wariacji  pola  naprę ż eń i kształ tu brzegu  obcią ż o-
nego  przyjmuje  postać

(43)  (dd
l]BlJ

dV~  Jdt
l
ufdS

u
+  fdT ?

Ul
dS

t
+  j{[(T ?ud,

n
- 2T !u

t
H-

V S„ S,  i ,

-   Oy*ulwfc""  T °
k
u,}  dcp

k
dS

t
.

Zauważ my,  że  zasada  (43)  (jak  również  (19)) jest  sł uszna  zarówno  w  przypadku  gdy  sił y
powierzchniowe  n a  S,  są   sił ami  zachowawczymi  jak  również  w  przypadku  sił  niezacho-
wawczych.

N iech  teraz  powierzchnia  S
t
  skł ada  się   z  obcią ż onej  czę ś ci  S

T
  o  zadanym  kształ cie,

T f  T^ 0  d<p
k
  =   0  n a  S

T
,  i  nieobcią ż onej  czę ś ci  S

o
  której  kształ t może  podlegać  zmianom,

T°  =   0  d(p
k
 j=  0 n a  S

o
.  W  takim przypadku  z  równ an ia  (43)  otrzymamy

(44)  /   Sa
u
  e

tJ
dV=  j  dt

t
uf  dS„-   }  a

t]
  s

u
 d<p„dS

0
.

V S„ So

Wprowadzają c  n a  iS0  lokaln y  prostoką tny  ukł ad  współ rzę dnych  (yk)  z  osią   ys  normalną
do  S

o
  i  osiami  y

x
  i  y

2
  leż ą cymi  w  pł aszczyź nie  stycznej  do  S

o
,  z  równania  (44)  otrzy-

mamy  zasadę   uzupeł niają cych prac przygotowanych  w postaci

(45)  J  Sa
tJ
e

tJ
dV  =   J  dtrfdS,,-   Ja

u
s

kl
d

9n
dS

0
,  k, I =   1, 2,

gdzie  ostatni  czł on  p o  prawej  stronie  przedstawia  iloczyn  „ wewnę trznych"  naprę ż eń
i  odpowiednich odkształ ceń.

Równie  ł atwo otrzymać moż emy  zasadę   uzupeł niają cych prac przygotowanych  w  przy-
padku  wariacji  kształ tu  wewnę trznej  powierzchni  S

c
  ciał a  dwufazowego  rozdzielają cego

materiał y  o róż nych wł asnoś ciach sprę ż ystych,  rys.  3b. Korzystają c  z notacji  wprowadzonej



276  K.  D EM S

w  poprzedn im  punkcie  oraz  uwzglę dniając  cią gł ość  przemieszczeń  oraz  sił  powierzchnio-
wych  i  ich  wariacji  n a  S

c
,  z  równ an ia  (43)  napisanego  dla  obu  czę ś ci  ciał a  otrzymamy

(46)  f Safs^ dV,  +   /  Sd\ fs^ dV
2
  =  f  8t,u?dS

u
 +  J{[(T ?uf),M-

V  Ś  S

U wzglę dniając  teraz warunki  (21)  oraz  równość

(47)  [a
u
  By]  =   [a

kl
]  e

kl
  + a

in
  [e

in
]  n a  S

c

gdzie  o- fti i  e,
d
  (k, I =  1,2)  oznaczają  „ wewn ę trzn e" n aprę ż en ia i odkształ cenia w  kierunku

osi  k,  I  leż ą cych  w  pł aszczyź nie  stycznej  do  S
c
  i  ff

(
„  =   T f  (z =   1, 2,  3; «  =   3)  są  „ ze-

wn ę trzn ym i"  naprę ż eniami  dział ają cymi  n a  niecią gł ych  odkształ ceniach  [£;„] =   [«?,„],
z  równ an ia  (46)  otrzymamy  poszukiwaną  zasadę  uzupeł niają cych  prac  przygotowanych
w  postaci

(48)  /   ódjp a\ pdV
t
  +  J  dafP s\ fhlV

2
  =  J  dt

t
u?dS

u
-   J  [a

M
]  s

kl
  d%dS

e
  k, I .  1, 2.

Vi V2  S„ S„

gdzie ostatni  czł on  po prawej  stronie przedstawia  iloczyn  skoku  „ wewn ę trzn ych" naprę ż eń
i  odpowiednich odkształ ceń, które  są  cią gł e.

4.  Warunki  optymalnosci  kształ tu  brzegu  ciał a

Rozpatrzymy teraz problem optymalnego projektowania  kształ tu brzegu  ciał a.  D yskusję
naszą  ograniczymy  do  projektowania  kształ tu  konstrukcji  przy  którym  osią ga  on a  mini-
malną  podatn ość  (maksymalną  sztywnoś ć)  w  klasie  ciał   o  dan ym  z  góry  cał kowitym
koszcie  materiał u. Tego  rodzaju  projektowanie  propon owan e  był o  p o  raz  pierwszy  przez
WASIU TYN SKIEG O  [4].  G eneralne  sformuł owanie problem u  trójwymiarowego  rozpatrywane
był o  przez  M R O Z A  [5, 6], który  podał   globalne  warunki  optym alnosci  w  przypadku  pro-
jektowania  kształ tu  brzegu  swobodnego  ciał a,  a  rozszerzenie  n a  inne  ograniczenia  roz-
patrywane  był o  przez  PRAG ERA  [7].  D EM S  i  M R Ó Z  [8, 9]  rozpatrywali  zagadnienia  wielo-
parametrowej  optymalizacji  kształ tu  brzegu  swobodnego  i  wewnę trznego  konstrukcji
wykonanych  z  materiał ów  fizycznie  nieliniowych.  W  pracy  [8]  rozpatrzon o  pon adto
algorytm  numerycznego  rozwią zania  problem u  metodą  elementów  skoń czonych. P roblem
optymalnego  kształ tu  skrę canego  prę ta  pryzmatycznego  rozwią zywany  był   przez  D EM SA
[10].  W  przedstawionej  pracy  rozszerzymy  rozważ ania  zawarte  w  pracach  [8, 9] n a  zagad-
nienie  optymalnego  projektowania  kształ tu  brzegu  obcią ż onego  konstrukcji  wykonanej
z  materiał u fizycznie  nieliniowego,  przy  czym  rozpatrzym y  obcią ż enie  sił ami  zachowaw-
czymi,  jak  również  sił ami  niezachowawczymi,  zależ nymi  od  konfiguracji  brzegu.  D alej
wykaż emy  równoważ ność  warunków  optymalizacji  przy  projektowan iu  n a  m in im um
podatn oś ci  i  m aksim um  sztywnoś ci  konstrukcji.

R ozpatrzm y  ciał o  B  pokazan e  n a  rys.  ł   i  wyznaczmy  warun ki  optym alnosci  kształ tu
brzegu  obcią ż onego  przy  projektowaniu  n a  m in im um  podatn oś ci.  C ał kowity  koszt  ma-
teriał u  konstrukcji  okreś limy  jako

(49)  C=cV



Z ASAD Y  WARIAC YJN E  M EC H AN IKI  W  OP TYM ALI Z AC JI  KON STR U KC JI  277

gdzie  c jest  jedn ostkowym  kosztem  m ateriał u, zaś V oznacza  obję tość  ciał a.  Przyjmijmy
cał kowitą   energię   uzupeł niają cą   ja ko  m iarę   globalnej  podatn oś ci  konstrukcji

(50)  n
a
 = [ W (<x

u
)dV-  fttfdS..

v  k

Zauważ my,  że dla jedn orodn ej  funkcji  gę stoś ci  energii  uzupeł niają cej,  z  uwagi  n a  (2),

zachodzi

dla

(52) nB =  ~ ~ Y J
 tiU°dS"  d l a

i  cał kowita  energia  uzupeł niają ca  jest  proporcjon aln a  do  pracy  sił  powierzchniowych

na  S„ lub S,. P roblem  optymalizacji

(53)  m in . n
a
  dla  C <  C o

gdzie  C o jest  dan ym  z  góry  cał kowitym  kosztem  m ateriał u  konstrukcji,  może  być  za-
stą piony  przez  poszukiwan ie  warun ków  stacjonamoś ci  funkcjonał u

(54)  7i'
a
{a

u
  ,cp

k
,X)  = n

a
 + X(C-   Co)

gdzie  A jest dodatn im m n oż n ikiem Lagran ge'a.  Pierwsza  wariacja  funkcjonał u  (54) z uwagi

na  Gij, ę
k
  i  X wynosi [1]

(55)  & ^ =  J8d
u
l^ - dV+  Jwn

k
d<p

k
dS

t
-   fót,u?dS

u
  + Ac f  n

k
d<p

k
dS

t
+dK(C- C

0
).

v
  0i3

  s,  s
u
  s

t

Wykorzystują c  zasadę   uzupeł niają cych  prac  przygotowanych  (43) otrzymamy  warunek

stacjonamoś ci

(56)  Sn'
a
=  f{[W +(T ?u

i
),,- 2T ?u

i
H- c,

u
e

i
j\ n

k
- T 9

k
i

ll
}d<p

k
dS

t
  +

+  J dTfutdSt+ Xc  jnkd<pkdS t+8X(C- C0)  =   0.
s,  s,

R ozpatrzm y  teraz  wariację   sił  powierzchniowych  dT f. W  przypadku  zachowawczego  pola
sił   napiszemy

(57)  T?  =   T ?Mx)]

i  wariację   sił  powierzchniowych  spowodowaną   zmianą   kształ tu brzegu  S
t
  okreś limy  przez

(58)  5T ?=n
k
dcp

k
.

U wzglę dniając  teraz  (58)  w  warun ku  stacjonam oś ci  (56) oraz  wykorzystują c  (39) otrzy-
m am y

(59)  5n'
a
 =  /   [W +{T fu

i
),

n
~2T fu

t
H- a

u
e

lj
+Xc\ 8(p

n
dS

t
+8X{C- C

0
)  =  0.

8  M ech .  T eoret.  i  Stos. 2/ 81



278  K.  D EMS

Z  uwagi  n a  niezależ ność  wariacji  dcp,,,  6X z  równ an ia  (59)  otrzymujemy  lokalne
warunki  optymalnoś ci  kształ tu  brzegu  obcią ż onego  sił ami  zachowawczymi  w  postaci

(60)  < r ( J e ( J - ^ + 2Ti
o wi ff- ( T P «i ) , > .  =  Xc  na  S t,  C =  Co.

Jako  przykł ad  niezachowawczego  pola  sił , rozpatrzmy  sił y  powierzchniowe  zależ ne od
pun ktu  i  konfiguracji  powierzchni  S

t
,  T °  =   T °(x

k
,  S

t
),  dan e  w  postaci

(61)  T ? =   p(x
k
)n

u

gdzie  tii  oznacza wektor  jednostkowy  normalnej  zewnę trznej  do S
t
,  zaś p(x

k
) jest  funkcją

pun ktu.  Tak wię c  równanie  (61)  przedstawia  sobą   obcią ż enie  brzegu  zmiennym  ciś nie-
niem p  skierowanym  stale  wzdł uż  normalnej do  powierzchni  S,.  Tego  rodzaju  obcią ż enie
wystę puje  przy  projektowaniu  n p . zbiorników  ciś nieniowych,  zapór  wodnych  itp.

Wykorzystują c  (33), wariację   sił  (61) spowodowaną   zmianą   kształ tu  brzegu  przedsta-
wimy w postaci

(62)  dT f  =  dpix^ nt+pix^ dnt  =  p,
k
n

l
df

k
+p(n

i
n

k
d<p

k>
„- n

k
d(p

k
_

l
),

zaś  pracę   wariacji  sił  dT f  na przemieszczeniach  z/; wyrazimy  przez

(63)  f  SJfUtdS,  =  / {P l»llM , fl
r - ( p B( H I ) i I I + ( p «ł ) 1|]»l t + ( p B, ) .*M i}%d S t .

s,  s
t

U wzglę dniając  teraz  (61)  i  (63)  w  (56) oraz  wykorzystują c  (39) otrzymamy  warunek
stacjonarnoś ci

(64)  6n'
a
 =  J[W - a,j8ij+(pud,t  + ̂ c]óip

n
dS

t
 + dX{C- C

0
)  = 0,

ską d  z uwagi n a niezależ ność  wariacji  dcp,,,  6X otrzymamy  lokalne  warunki  optymalnoś ci
kształ tu  brzegu  obcią ż onego  niezachowawczymi  sił ami  normalnymi  do  brzegu

(65)  GijSij—  W ~(j>Ut)
7
i  —  Xc  n a  S

t
,  C  =  C

o
.

Poszukiwane  warunki  optymalnoś ci,  korzystają c  z poję cia  energii  potencjalnej,  otrzy-
mamy  stosują c  podobny  tok  postę powania.  Przyjmijmy  energię   potencjalną

(66)  n
u
  =   /   U(e

tJ
)dV-   [  T ?u

t
dS

t
,

v  s
t

jako  miarę   globalnej  sztywnoś ci  konstrukcji.  P roblem  optymalizacji  sformuł ujemy  teraz
nastę pują co

(67)  max. n„  dla  C < C o .

Warunki  optymalnoś ci  wyznaczymy  rozpatrują c  funkcjonał

(68)  K(ut,  T , 0 ,  <p
k
,  X) =   7i

u
~X{C- C

o
),

którego  pierwsza  wariacja  wynosi

(69)  bn'
u
  =  j- j—  61,jdV+  jUn

k
d(p

k
dS

t
- d  jT fu

t
dS

t
- Xc  j'n

k
d<p

k
dS

t
-

S
'
J  «i  s,  s,

~SX(C- C
0
)  = 0.



Z ASAD Y  WAR I AC YJN E  M E C H AN I KI  W  OP TYM ALI Z AC JI  K ON STR U K C JI  279

Wariację   pracy  sił  powierzchniowych  wyrazimy  jako

(70)  <5  J  T fUidS
t
  =   J  dT futdSt+T fdUidSt+T futdidSt).

St  S,

Wykorzystują c  teraz  (5)  oraz  równość  [2]

(71)  8(dS
t
)  =   (S<p

k
,

k
- n

k
d<p

k>n
)dS

t
,

równanie  (70) przedstawimy  w  postaci

J CJ j  W |«o ,  =   I  OX  iUtuijt+  1 i  OUiClot- jr[\ ^ l t  Ui)  n  — Z11  M filjllfc  0<pkuot  —
J

s,  s,
- T ?,

k
u

t
3<p

k
dS,+- ~- KT ?u

t
Ba

k
d(p

k
).

ei
+(T fu

l
Ab

k
d<p

k
),

l
,]dS

t
,

gdzie ostatni czł on p o prawej  stronie staje  się  równy  zeru, jeż eli n a krzywej F  ograniczają cej
powierzchnię   S

t
  wariacja  ó(p

k
 =  0.

Wykorzystują c  teraz  w  równ an ie  (69)  zasadę   prac  przygotowanych  (19)  oraz  rów-
nanie  (72)otrzymamy  warunek  stacjonarnoś ci  funkcjonał u  (68)  w  postaci

(73)  <K  =   /   {[t / - ( T P u( ) , , 1+ 2T i°u iH ]n fc + T ?, , u t }ó ^d S( -   /   6T ?utdS t-
s

t
  s

t

- Ac  jn
k
dę

k
dS

t
- dk(C- C

0
)  =  0.

\

Jeż eli powierzchnia  S
t
  jest  obcią ż ona zachowawczym  ukł adem sił  (57), których  wariacja

wyraż ona  jest  przez  (58),  z  równ an ia  (73)  otrzymamy  lokalne  warunki  optymalnoś ci

(74)  U- (T ?u
t
),„+2T ?u,H  =  Xc  na  S„  C =   C o .

W  przypadku  niezachowawczego  pola  sił   (61),  którego  wariacja  okreś lona  jest  przez
równania  (62 -  63),  lokaln e  warun ki  optymalnoś ci  kształ tu  brzegu  S,,  otrzymane  z  rów-
nan ia  (73)  przyjmują   postać

(75)  ,.  ,  , ;:  U -   (pu,), t  =   Xc  n a  S„  C  =   CQ.

Zauważ my  równocześ nie,  że  równoważ ność  globalnych  warunków  (56)  i  (73)  lub
lokalnych  (60)  i  (74)  oraz  (65)  i  (75)  wynika  bezpoś rednio  z  równoś ci

(76)  U+W = ctijSij.

Jeż eli  teraz  optymalizacji  bę dzie  podlegać  kształ t  brzegu  swobodnego  S
o
  ciał a  (T ° —

=  dT °  =   O n a A ,  równ an ia  (56, 73)),  t o z  równ an ia  (56)  otrzymamy  lokalny  warunek
optymalnoś ci  w postaci

(77)  o,js
u
-   W =  Xc  n a  S

o
,  C  =   C

o
,

lub,  z ró wn an ia (73),  [8]

(78)  U  =  Xc  na. S
o
,  C=  C o .

8*



280 K.  D EMS

Równie  ł atwo  otrzymać  moż emy  warunki  optymalnoś ci  kształ tu  brzegu  wewnę trz-
nego  ciał a,  rys.  3,  rozdzielają cego  materiał y o  róż nych  wł asnoś ciach  sprę ż ystych  w  klasie
ciał   o  danym  cał kowitym  koszcie  materiał u  okreś lonym  teraz  przez

(79)  C > - e1 7 1 +  c a 7 a < C o ,

gdzie  c
x
  i  c

2
  są  jednostkowymi  kosztami  obu materiał ów.

M inimalizacja  cał kowitej  energii  uzupeł niają cej  n
a
,  przy  wykorzystaniu  zasady  uzu-

peł niają cych  prac  przygotowanych  (48)  prowadzi  do  lokalnych  warunków  optymalnoś ci
kształ tu  powierzchni  wewnę trznej,  danych  w  postaci  [9]

(80)  [a
u
]  s

kl
  -   [ W ] =   A(ct -   e j  n a  S

c
,  C  =   C o ,

zaś  maksymalizacja  energii  potencjalnej  m
u
,  przy  wykorzystaniu  zasady  (26),  prowadzi

do'warunków  optymalnoś ci postaci  [9]

(81)  [ U ] - T f[ U iJ  =   Kc^ - cz)  na  S
c
,  C  =   C o .

5.  Przykł ad  optymalizacji  kształ tu  brzegu obcią ż onego

Jako  prostą   ilustrację   wykorzystania  otrzymanych  w  poprzednim  punkcie  warunków
optymalnoś ci  rozpatrzmy  problem  optymalnego  projektowania  gruboś ciennej  rury  koł o-
wej  obcią ż onej  stał ym  ciś nieniem  wewnę trznym  p

w
  i  zewnę trznym  p

z
,  rys.  5.  R ura  o  we-

Rys.  5.  Rura  koł owa  poddana  stał emu  ciś nieniu wewnę trznemu i  zewnę trznemu

wietrznym  promieniu r
w
  i zewnę trznym r

z
  wykonana jest  z materiał u liniowo  sprę ż ystego.

Problem  optymalizacji  ograniczony  jest  do  wyznaczenia  wartoś ci  promieni > w  i  rz,  dla

których  podatność  rury  osią ga  minimum,  przy  zachowaniu  stał ego  pola  powierzchni

przekroju  poprzecznego  rury.  Zakł adają c  cał kowity  koszt  rury  jako  proporcjonalny

do pola powierzchni jej  przekroju  otrzymamy

(82)  C = C T ( r z
2 - r2 w ) .

Cał kowita  energia  uzupeł niają ca  rury,  odniesiona  do  jedn ostki  jej  dł ugoś ci,  wynosić
bę dzie

(83) n,



Z ASAD Y  WAR I AC YJN E  M EC H AN I KI  W  OP TYM ALIZ AC JI  KON STR U KC JI  281

gdzie  o>  i a
t
  oznaczają   naprę ż enia  promieniowe  i  obwodowe,  zaś E i v są   stał ymi  sprę -

ż ystoś ci.  Równanie  równowagi

(84)  - r̂(ror)~ot  =   0 ,

uzupeł nione jest  warun kam i  brzegowymi

T ?  = - a
r
  =  +p

w
,  T° -   0  dla  r =  r

w
,

( 8 5 )  T °  =  a
r
 =  -

Pz
,  T ? =  0  dla  r = r

z
.

Powyż sze  równania  uzupeł nimy  warunkiem  stacjonarnoś ci  (65), wyraż onym  przez  naprę -
ż enia w postaci

( o ' . + P w )
2 - 2 p ^ ( l - v)  =  2lcE,  dla  r =  r

w
,

( 8 6 )
  (a

t
+

Pz
)

2
- 2pl(l- v)  = 2XcE,  dla  r - r ..

Równanie  (84) speł nimy  toż samoś ciowo,  przyjmują c  pole  naprę ż eń  w postaci  [11]

(87) cTr = ~  +  B,   at= - ~-

zaś  warunki  brzegowe  (85) są   speł nione,  gdy

(88)  ^  =   _ ^ _ ^ ( p 2 _ j p w ) )  B ^
' z ' W

Warun ki  optymalnoś ci  (86), przy  uwzglę dnieniu  zwią zków  (87) i przedstawimy  w  po-
staci

2rl(p
w
~p

z
)

2
- Vl(r

2

z
- rl)

2
(l  - v)

  2

( 8 9 )
  2rltp- p)

2
~j,l{rt  - rlY{\ ~v)

Ograniczenie  n ał oż one  n a cał kowity  koszt  materiał u rury, z uwagi  na (82)  wyrazimy

w  postaci

(90)  rt- rl  = ą

gdzie  q >  1  jest dan ym  kosztem  wzglę dnym  projektowania.
Rozwią zując  ukł ad  równ ań  (89 -  90)  wyznaczymy  poszukiwane  wartoś ci  optymalnych

promieni r
w
 i r z

• yi/«
(3- v)

Pw
- (l+v)p

z

przy  czym  musi  zachodzić

(92)

Jeż eli  nierówność  (92) nie jest  speł niona, równania  warunków  optymalnoś ci  (89) nie mają
rozwią zań  rzeczywistych.
P odatn ość  rury  (83), wykorzystują c  (87) i  (88) przedstawimy  w postaci

2qE



282 K.  DEMS

•  Rysunek  6  przedstawia  zm ianę   podatn oś ci  rury  o  ustalon ym ,  koszcie  wzglę dnym
projektowania  w  przypadku  v  =   0.3  jako  funkcję   prom ien ia  wewnę trznego  r

w
,  dla  usta-

lonego  stosunku  ciś nień  p
w
/ p

z
.  D odatkowo  pokazan a  jest  zm ian a  wartoś ci  n aprę ż eń

Rys.  6.  Zmiana  podatnoś ci  rury  i  naprę ż eń  obwodowych  w  funkcji  promienia  wewnę trznego  (v =   0.3,
q=  25, p„jp

z
  =   2).

obwodowych  a, n a wewnę trznym  i zewnę trznym  brzegu  rury.  Ł atwo zauważ yć,  że  wartoś ci
t

w
  i  r

z
  speł niają ce  warunki  optymalnoś ci  (91)  odpowiadają   globalnem u  m in im um podat-

noś ci  rury.

6.  Wnioski

Wyznaczone  zasady  prac  przygotowanych  i  uzupeł niają cych  prac  przygotowanych
tworzą   podstawy  d o rozpatrywania  szerokiej  klasy problem ów  optym alnego  projektowan ia
konstrukcji.  W  przedstawionej  pracy  rozpatrzon o  problem  projektowania  sztywnoś cio-
wego  konstrukcji.  Jednakże  rozszerzenie  n a  inne  kryteria  optymalizacyjne,  ja k  n p .  po-
datn ość  dynamiczna,  statecznoś ć,  projektowanie  naprę ż eniowe  [7]  czy  też  projektowanie
n a  minimum dowolnego  funkcjonał u  zależ nego  od  pół  n aprę ż eń  i  odkształ ceń, m oże  być
uzyskane  równie  ł atwo,  skoro  znane  są   odpowiednie  zasady  wariacyjne.

Otrzymane  warunki  optymalnoś ci  tworzą   ukł ad  nieliniowych  równ ań  pozwalają cych
wyznaczyć  param etry  generują ce  kształ t optymalnego  brzegu.  Rozwią zanie  takiego ukł adu
jest  ogólnie  moż liwe  przy  zastosowaniu  procesów  iteracyjnych  analizy- syntezy,  co  był o
dyskutowane  w  [8], gdzie  do  rozwią zania  problem u  optymalizacji  kształ tu  brzegu  wyko-
rzystano  m etodę  elementów  skoń czonych.

N ależy  również  wspomnieć,  że  wyznaczone  zasady  wariacyjne,  oprócz  problem ów
optym alnego  projektowania,  pozwalają   n a  rozpatrywanie  w  podobn y  sposób  problem ów
o  innej  „ n at u rze"  fizycznej,  jak  n p .  propagacja  pę knię ć,  transformacja  faz  itp.,  gdzie
kształ t  nieznanej powierzchni  stanowi  czę ść  rozwią zania.



ZASADY  WARIACYJNE  MECHANIKI  W  OPTYMALIZACJI  KONSTRUKCJI  283

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  I.  M.  G ELFAN D ,  S. W.  F OM I N ,  Rachunek  wariacyjny,  PWN ,  Warszawa,  1972.
2.  R.  H I LL,  Aspects  of  Invariance  in  Solid  Mechanics,  Advances  in  Applied  Mechanics,  18,  1978,

1- 75.
3.  R.  H I LL,  Discontinuity relations in  mechanics  of  solids, Progress  in  Solid  Mechanics, vol.  I I ,  N orth

H olland  P ub.  Comp.,  Amsterdam,  1961.
4.  Z. WASIUTYŃ SKI,  A.  BRAN D T,  T he present stage of knowledge in the field of optimum design of structures,

Appl.  Mech.  Revs.,  16,  341 -  350,  1963.
5.  Z .  M R Ó Z ,  L imit  analysis of  plastic  structures subject to  boundary  variations.  Arch.  Mech.  Stos.,  15,

63,  76,  1963.
6.  Z .  M R Ó Z ,  Optimal design of  structures of  composite  materials,  I n t. J.  Sol.  Struct., 6,  859 -  870,  1970.
7.  W.  PRAG ER,  Optimality criteria  in structural design,  Proc. N at. Acad.  Sci. U .S.A.,  61, 794 -  796,  1968.
8.  K.  D EM S,  Z .  M R Ó Z ,  Multiparameter  structural slupe  optimization by  the finite  element  method,  I n t.

J.  N um.  Meth.  Eng.,  13,  247- 263,  1979.
9.  K.  D EM S, Z .  M R Ó Z ,  Optimal shape design  of multi- composite structures,  J. Struct. Mech.  8, 3, 309 -  329,

1980
10.  K.  D EM S,  Multiparameter  shape optimization of  elastic bars in  torsion,  Int. J.  N um. M eth. Eng.  15,

1517- 1539,  1980
11.  Y.  C.  F U N G ,  Podstawy  mechaniki  ciał a stał ego,  PWN ,  Warszawa,  1969.

P  e 3  IO M  e

BAPH ALJH OH H BIE  I I P ABH JI A  M EXAH H KH   Ę 1W  I I EP EM EH H BI X  OBJIACTEH
H   H X  H C n O J I L 3O BAH H E RJUL   On TH M AJI H 3AI TH H   KOH C TP YKIJH H

B  pa6oTe  BŁiBe#ein>i  BapHarraonHbie  npaBHJia  MexaHHKH  SJIH   ory- iaa,  Kor- fla  dropMa rpaHimt>i3
OKpywcaiomefi  Tejio,  MosKei  H3MCHHTBCJI.  PaccMOTpeHW  coxparonoiirHecji  vs. HecoxpaHsnomnecH  nojiH
CHJI  B  3aBHCHM0CTH   OT KOHdpHTypaiTIIH   rpaHHL(bI.  IIp0aHajIH3HpOBaHa  BO3M0JKH0CTB  0nTHMajIH3aqHH
(popMbi rpaH H in a, oi<py>KaK>meH  yn p yr o e Tejio3  c TO^IKH  3peH iw iYiHHHMaJiH3aurni ee yciyirn iBocTH   H  on pe-
fleneubi  Heo6xoflHMŁie  ycjioBH a  oniHMajitHOCTH   flna  cjiy^aa  H3MeHHiomnxcH   HarpyH<eHHbix  H   cBo6ofl-
H wx  rpaH H ii,  a  Tai<H<e  flji«  cjiy^aa  H3MeHHiomeftc5i  BHyipeHHeH   rpaH H ą bi,  pa3fleJiH »meH   M aiepn an H
c  pa3nipiH biMH   ynpyruM H   CBOHCTBaMH.

S u.m  m a r y

TH E  VARIATION AL  P R I N C I P LES  O F   M ECH AN ICS F O R  VARIABLE  D OM AIN S AN D   TH EIR
U TILIZ ATION   F OR  STRU CTU RAL  OPTIM IZATION

The  paper  provides  the  virtual  displacement  and  stress  principles  in  the case  when  the simultaneous
variation  of  external  or  internal boundaries bounding an elastic  body  is  considered. Both the  conservative
and  nonconservative, dependent on boundary configuration  load systems  are considered. N ext, we consider
the  problem  of  mean compliance design  of  a  structure with  unspecified  in  advance  shape, The optimality
conditions  are  generated  for  the  case  of  optimal  shape  design  of  loaded  and  free  external  boundaries  as
well  as  for  design  of  interfaces  separating  materials  of  different  stiffness.

POLITECHNIKA  ŁÓDZKA

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  4  marca 1980  roku.