Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  19  (1981) WYZN ACZEN IE  WSP ÓŁCZ YN N IKÓW  U D ERZEN IA  W  UKŁADZIE  O  DWU   STOPN IACH S WO B O D Y  Z  N I E L I N I O WO Ś C IĄ   T YP U   D U F F I N G A  I  H E R T Z A H E N R YK  W O J C I E C H O W S K I  ( G LI WI C E ) 1.  Wstę p Obiektem  badań  teoretyczn ych  jest  zachowawczy,  nieliniowy  ukł ad  dwumasowy (rys.  1), którego  ruch  wym uszony  został   obcią ż eniem  nieokresowym  o  znanym  przebiegu czasowym,  t j.  o zn an ym  kształ cie  im pulsu. p( t ) a  ., o Rys.  1. U kł ad  taki  m oże  być  m odelem  dynamicznym  róż nych  urzą dzeń  technicznych  pracują - cych  udarowo.  U derzen ia  wystę pują ce  w  eksploatacji  urzą dzeń  technicznych  mogą   sł uż yć z jednej  strony ja ko  sposób  przekazywania  energii  n p . m ł oty,  z  drugiej  strony  są   ź ródł em niepoż ą danych  n adm iern ych  sił   dział ają cych  n a  elementy  konstrukcji. W  pierwszym  przypadku  celem  dział alnoś ci  kon struktora jest  optymalizacja  przekazy- wania  energii  przez  odpowiedn i  dobór  param etrów  ukł adu,  zaś  w  drugim  minimalizacja skutków  uderzen ia.  Stą d  też  an aliza  dynam iki  ukł adów  uderzeniowych,  zwł aszcza  nie- lin io wych —  bliż szych  rzeczywistoś ci,  jest  zagadnieniem  technicznie  waż nym.  U kł adom nieliniowym  o  dwu  stopn iach  swobody  poś wię cono  szereg  prac  m.in.  [2],  [6],  [7],  [10], [11],  [12],  [13],  [14], w których  rozwią zano  zagadnienie  drgań  swobodnych  przy  warunkach począ tkowych  Xj(0)  =   x u   x 2 (G)  =  x 2 ,  xx( 0)  =   x2(0)  -   0,  albo  też  zagadnienie  drgań wymuszonych  h arm on iczn ie.  Jak  wiadom o  [3]  warunki  począ tkowe  m c h u  wzbudzonego uderzen iam i  m oż na form uł ować  dwojako. Pierwszy  sposób,  m atem atyczn ie  prostszy,  polega  n a  tym ,  że  obcią ż enie  traktuje  się jako  impulsowe  (w  sensie  D iraca)  i  wtedy  analiza  ruchu  wymaga  tylko  opisu  drgań  swo- bodn ych  przy  okreś lon ych  prę dkoś ciach  począ tkowych.  Sposób  ten  moż na  stosować gdy  dł ugotrwał ość  obcią ż enia  jest  m ał a  wobec  najkrótszego  okresu  drgań  wł asnych. G dy warun ek  ten n ie jest  speł niony, stosuje  się   drugi  sposób.  Wymagana  tu jest  znajomość czasowego  przebiegu  obcią ż enia,  czyli  kształ tu im pulsu  sił y uderzenia.  Obliczenia  rozdziela się   n a  dwa  etapy. W  pierwszym  etapie  bada  się   ruch  wymuszony  sił ą   o  znanym  przebiegu  czasowym i  zerowych  warun kach  począ tkowych,  celem  okreś lenia  stanu  kinematycznego  w  koń cowej 316  H .  WO JC I E C H O WSK I chwili  obcią ż enia.  Te dane  sł użą  ja ko  warunki  począ tkowe  dla nastę pują cej  potem  auto- nomicznej  fazy  m ch u .  Zauważ my,  że najwię ksze  przemieszczenia  (odkształ cenia)  mogą wystą pić  zarówno  w pierwszej  jak i  drugiej  fazie  ruchu,  czego  nie da się   rozstrzygną ć n a  gruncie  metody  pierwszej. W  tym  sensie  drugi  sposób  podejś cia  jest  ogólniejszy, a zarazem  prowadzi  do wyników dokł adniejszych.  Wymaga  on jedn ak  znajomoś ci  kształ tu impulsu  obcią ż enia, który  zależy od  szeregu  czynników,  przede wszystkim  od  geometrii  powierzchni  styku  oraz  sprę ż ystych lub  sprę ż ysto- plastycznych  wł asnoś ci  zderzają cych  się  ciał . W  przypadku  uderzenia  ciał   sprę ż ystych,  zagadnienie  stykowe  opisuje  się  znanymi wzorami  H ertza  lub  ogólniejszymi  Sztajermana.  Chcą c  rozwią zać  zagadnienie  uderzenia dwóch  ciał   sprę ż ystych,  z których jedn o  (bijak)  jest  swobodne,  zaś  drugie  (ciał o uderzone) jest  podparte w okreś lony  sposób,  trzeba  badać  ukł ad  zł oż ony co  najmniej z dwóch  m as, pomię dzy  którym i  zachodzi  oddział ywanie  typu  H ertzowskiego. Ten  sposób  uję cia  zagadnienia  reprezentowany  jest  w p . 4  niniejszej  pracy. N ieliniowość  typu  H ertzowskiego  sprawia  szczególnie  dużo  kł opotów  przy  próbach analitycznego  rozwią zania  zagadnień  dynamicznych.  Aby  un ikn ą ć  dodatkowych  kompli- kacji,  przyję to  warun ki  począ tkowe  jak przy  obcią ż eniu  impulsowym,  czyli  wedł ug  spo- sobu  pierwszego. W  p . 3  przeprowadzono  obliczenia  wedł ug  sposobu  drugiego,  w  szczególnoś ci dla trójką tnego  impulsu  obcią ż enia.  P on adto przyję to,  że wię zy  n ał oż one  n a ciał o  uderzone mają   charakterystykę   nieliniową   typu  D uffinga. W  p. 2 wyprowadzono  ogólne  równ an ia  i  wzory  dla dowolnego  sposobu  obcią ż enia i  dowolnego  typu  nieliniowoś ci  charakterystyk  sprę ż yn. Rozwią zanie  nieliniowe  ukł adu  równ ań  ruchu  uzyskan o  stosują c  m etodę   optymalnej linearyzacji,  po uprzednim  wprowadzeniu  współ rzę dnych  gł ównych. Wyniki  obliczeń  został y  zilustrowane  wykresami  współ czynników  uderzenia,  które uzyskano  drogą   rozwią zań  numerycznych z pomocą   kom putera. 2.  Lin earyzacja  ukł adu  zachowawczego  o dwu stopn iach  swobody  wzbudzonego  uderzeniowo Rozpatrywać  bę dziemy  ukł ad  przedstawiony  n a rys.  1 obcią ż ony  w ten  sposób,  że  n a masę   irij,  dział a  sił a  o znanym  przebiegu  czasowym  P(t) dla te  [0,  T ] ,  kt ó ra  równ a się zero  dla t >  %.  Sił y sprę ż ystoś ci f i (x 1 - x 2 ),f 2 (x 2 )  są  n a  ogół   nieliniowymi,  nieparzystym i funkcjami  odkształ cenia  sprę ż yn,  które  moż emy  przedstawić  ja ko  sum ę   skł adn ika  linio- wego, i nieliniowego  piszą c w postaci: (2.1)  fi(x 1 - x 2 )=  (.Xi- x 2 )k i - S i (x l - x 2 ), (2.2)  f2(x 2 )=k 3 x 2 S(x 2 ) l (2.3)  SixJ- S^ Xi- Xz)  m  S 2 ( Xl - x 2 ). R ówn an ia ruchu ukł adu w przedziale czasu  /  e [0,  oo]  po  uwzglę dnieniu  (2.1 -  2.3) moż emy n apisać S =  S 2 (x 1 - x 2 ), z  zerowymi  warun kam i  począ tkowymi,  gdzie  H(t) jest  funkcją   skokową   Heaviside'a. WYZ N AC Z AN I E  WSP Ó Ł C Z YN N I K Ó W  U D E R Z E N I A  317. P rzekształ cimy  te równ an ia  wprowadzają c  współ rzę dne  gł ówne q x ,  q 2   ukł adu  liniowego (to  jest  w  równ an iach  (2.4)  przyjmujemy  S t   =  S 2   =   P  =   0) .  Mię dzy  współ rzę dnymi; n aturaln ym i  x u   x 2 ,  a  współ rzę dnymi  gł ównymi  q lt   q z   zachodzą   znane  zależ noś ci  [5], [8],  [16] gdzie (2.6)  « - _  '  "  ' Współ czynniki  postaci  drgań  wł asnych  ukł adu  liniowego  g u   Q 2   okreś lone  są   wzorami (2.7)  ffi  -   —  ' (2. 8)  0 2 -   — są   kwadratam i  czę stoś ci  drgań  wł asnych  ukł adu  liniowego  [3] m 1 m 2 Róż niczkowe  równ an ia  ruch u, we  współ rzę dnych  gł ównych  mają   postać: (   '  '  ?2- + «829a  =   - *a ( 3 i . «i ) + ffa ( 0 [ H ( 0 - 5 ( t - r ) ]. 0( ,  / / ;,  i  =   1,2  wyznaczono  obliczają c  pracę   uogólnionych  sił   5 1 ;  S 2,  P(t)  na  odpo- wiadają cych  im  przemieszczeniach wirtualnych  dx t ,  dx 2 ®i(<ł u l (q l ,ą 2 ),  i  = 1 , 2 . N ieliniowe  wyraż enia  (2.12)  zastę pujemy  wyraż eniami  liniowymi (2.13)  Ft  =  wU>,  i  = 1 , 2 z  odpowiednio  dobran ym i  czę stoś ciami  w x ,  m 2   zastę pczego  ukł adu  liniowego. N iech r„i  =   Ft  - F*,  i  =  1.  2 oznacza  róż nice  mię dzy  funkcjami  nieliniowymi  (2.12)  i  liniowymi  (2.13),  zaś (2.14)  m ot   =  r ul q t   =  jĄ - r p f f t ) ,̂  <  = 1 , 2 , są   m om en tam i tych  odchyleń . 318  H .  WOJCIECH OWSKI N ieznane  kwadraty  czę stoś ci  oĄ ,  \   zastę pczego  ukł adu  liniowego  dobieramy  w  ten sposób,  aż eby  cał ki  z kwadratów  momentów  odchyleń (2.15)  D h  =   J  ml 2 dqidq 2 , w  obszarze  D  ~  \   „ \ - Qi  ^   92  < 62 miał y  wartość  minimalną   (<2i, 2 2  są   maksymalnymi  wartoś ciami  współ rzę dnych qu  q2). Z  warunków  koniecznych  n a  ekstremum  funkcji  IiipĄ ,  (Ą ),  T 2 (co 2 L , ml) (2.16)  #V0,=   - TT- 0, otrzymujemy  dwa  równania,  z  których  wyznaczamy  oĄ ,oĄ : Ci  22 5 i  =   A n 5 n   j  I   ^i(3i> <ł z)<ł idqidq 2 , S i  - Qs Amplitudy  (2i  =   m a x^ ^ J ) ,  Q 2  =   m a x^ 2 ( 0  znajdujemy  rozwią zując  liniowe  równania t  t qi+cofq,  =   X t P(t),  i  =   1, 2  dla  O  <  * < T '  ? + w ? g  =   O,  i  = 1 , 2  dla  (  >  T . U kł ad  dynamiczny,  którego  ruch  opisany  jest  równaniami  (2.18)  nazwiemy  ukł adem liniowym  równoważ nym.  Przedstawioną   metodę   linearyzacji  moż emy  również  stosować do  ukł adów  autonomicznych, obliczają c  kwadraty  zastę pczych  czę stoś ci  wzorami  (2.17). N atom iast  Q t ,  Q 2   znajdujemy  jako  maksimum  (wzglę dem  t) rozwią zań  równań (2.19)  ft+ otfflt- O,  i -   1,2 przy  danych warunkach  począ tkowych. W  teorii  uderzenia  szczególnie  interesują cy  jest  przypadek  wymuszenia  ruch u  przez udzielenie  tylko  masie  m x   pewnej  prę dkoś ci  począ tkowej,  tzn .  gdy  warunki  począ tkowe są   nastę pują ce: (2.20)  X l ( 0 )  =   x2(0)  =   i a ( 0 )  =   0,  Jci(O) =   Vi. Rozwią zując  zadanie  począ tkowe  (2.19),  (2.20)  znajdujemy  wyraż enia  dla  obliczenia 6 1 .  &  [3] (2.21)  C - T - Ł,  Q2=   g V Obliczmy  jeszcze  zastę pcze  współ czynniki  sztywnoś ci  k u , k 2z  ukł adu  zlinearyzo- wanego.  W  tym  celu  do  (2.9) zamiast k it  k 2   podstawiamy  k u ,  k 2z .  Otrzymamy wówczas WYZ N AC Z AN I E  WSP Ó Ł C Z YN N I K Ó W  U D E R Z E N I A  319 (2.22)  < 2 4 1 - ł "   2 ' 4 p  +  ̂   - i^ig przy  czym  6?  =   a\  — c\ ,  gdzie (2.23)  cf  =  - ^ i ^ - . P o  przekształ ceniach otrzym am y .  tn\ oĄ m x m 2 K- 2Z k2 iS —2a 1 m 2 k 2z   + cjm 2 (m 1 +m 2 )  =   0. P o  rozwią zaniu  tego  ukł adu  równ ań  otrzymujemy (2.24) 1  1 k  ( + i ) Z agadn ien ia  dyn am iki  ukł adu  przedstawionego  n a  rys.  1 m oż na  rozwią zywać  przy  uż yciu rozm aitych  m etod,  zn an ych  w  dynamice  nieliniowych  ukł adów  dyskretnych  [1],  [4]. U zyskane  wzory  n a  zastę pczą   czę stość  wł asną   wymagają   w  konkretnych  przypadkach korzystan ia  z  pom ocy  ko m pu t era.  Wydaje  się   jedn ak,  że  obran a  droga  postę powania prowadzi  do  celu  szybciej  n iż  n p .  bezpoś rednie  cał kowanie  numeryczne  róż niczkowych równ ań ruch u. Z apropon owan a  linearyzacja  we  współ rzę dnych  gł ównych  q 1 ,  q 2   m a  tę   zaletę   w  po- równ an iu  z  linearyzacja  we  współ rzę dnych  n aturaln ych  x lt   x 2 ,  że  dla  ukł adów  wzbu- dzonych  uderzeniowo  o  wiele ł atwiej jest  wyznaczyć  maksymalne  wartoś ci współ rzę dnych gł ównych niż n aturaln ych . 3.  Rozwią zanie  szczególne  dla  ukł adu  z  nieliniowoś cią   Duffinga N iech  w  ukł adzie  przedstawion ym  n a  rys.  1  charakterystyki  sprę ż yn  bę dą   okreś lone n astę pują co: / i  —  ( xi~x2)ki, f2  = Obcią ż enie  m a  ch arakter im pulsu  trójką tn ego: P ( 0  =   P o — ,  dla  t e [ O , T j , gdzie  P o   jest  m aksym aln ą   wartoś cią   sił y  uderzenia,  a  r f  —  dł ugotrwał oś cią   jej  dział ania. Wprowadzają c  nastę pują ce  ozn aczen ia: b  = 1 /   y ,  x l   = bx 1 ,  x 2   =   bx 2 , k, 320  :  H .  WO JC I E C H O WSK I równania  ruchu sprowadzamy  do postaci  bezwymiarowej: I  '  x 1 +x l - x 2   =  P (T )  dla 0 <   T «$  T 0 x3—Xj  =   — ć x\  —  S(x2), x' 1 +x 1 —x 2   =  0  dla  T >  T 0 , p'x 2  + (\ +c)x 2 - x i   =   S(x 2 ). X,,  x 2   są   bezwymiarowymi  współ rzę dnymi,  P(r) =   2   P { t ) ,  x\   =  ,  ,  / =   1 , 2 , 772 ^  ?t f^  O T W  celu  rozwią zania  ukł adu równań  (3.1)  zlinearyzowano je  stosują c  m etodę  podan ą wp . 2. Przekształ camy  równania  (3.1) wprowadzają c  bezwymiarowe  współ rzę dne  gł ówne q t   =  bg t , i = 1, 2. Równania  te we współ rzę dnych  gł ównych  przyjmują   postać r ) ,  dla  O  <   T <  r n , f = l , 2 ,  dla  r  >   T 0 ,  H ( ( T )  =   O, gdzie: P arametry  Xf, Q i;   WQ,-, /  =   1, 2 są   nastę pują ce (3.4)  .  I" (3.5)  Su2 =  \ - (3.6)  S 3 0 1 l 0 2 = i  +   ^ ± i U kł ad  równań  (3.2)  zastę pujemy  równoważ nym  ukł adem  liniowym ofq t   ==  A, P ( T ) ,  dla 0 <  r <   T 0 , cj i   +  Q)fq i   = 0 ,  T >   T 0 ,  i  =   1 , 2 , w  którym  kwadraty  czę stoś ci  oĄ , a>2> obliczone  wzorami  (2.17), w  tym  przypadku  bę dą miał y postać: U)\   =   COoi +  cAi^f (- -̂ ylf Q\ Q\   + }Ą (3. 8) 7Ą   m  w W  celu  wyznaczenia  am plitud  Q x   =  m a x ^ r ) ,  Q 2   = max.q 2 (r)  należy  obliczyć  maksy- T  r malne  wartoś ci  funkcji  bę dą cych  rozwią zaniami  ukł adu równ ań  (3.7), w  którym  podsta- wiamy  za  XiP(r)  wyraż enie  XiP o r,  gdzie  P o   = WYZ N ACZ AN IE  WSPÓŁCZYN N IKÓW  U D ERZEN IA  321 Z  okreś lenia  współ rzę dnych  gł ównych wynika,  że  rozwią zania  które  we  współ rzę dnych n aturaln ych x y ,  x 2   speł niają   zerowe warunki  począ tkowe,  muszą  je  speł niać także we współ - rzę dn ych  gł ównych. Rozwią zanie  równ ań  (3.7),  speł niają ce  zerowe  warunki  począ tkowe,  ma  postać  cał ki D uh am ela ,  T 1  D  r* (3.9)  qt(r)  =   - LA-  tsinat(r- t)dt,  i=  1, 2, (Ot  J o lu b (3.10)  §,(T) -   - Ę - P rzemieszczenia  # J ( T )  są   w  przedziale  0  ^  r  ^  T 0 rosną cymi  funkcjami  czasu,  co  wynika z  wzorów  (3.10).  Z at em  m aksym aln e  wartoś ci  Q lt   Q 2   wystą pią   dla  r >  r 0 . Rozwią zanie  ukł adu równ ań  (3.7)  dla  T >  T 0 m a  postać _  To (3.11)  q l {r)=  ^ - {  UmT oi{r- t)dt,  i  =   1,2 *"'.  5  , . lub C ( T )  =   4 ^  [ T si n a > T  +   cosa3( 3 . 1 2 )  C ( ( T )  j  [ 0 j 0 C0f  l\   O)t i T \ ,  i =   1 , 2 J Obliczone  m aksim um  tych  funkcji  ze  wzglę du  n a  r (3.13)  Q i- - ^r^,'  i-   1,2, C O ; gdzie r  2  2 T  2  1 1 / 2 ( 3. 14)  / ł (  =   T o + ^ = 2 "  = Asin WjT 0- - ^ r ^ - C O SC O iTo  ,  1 = 1 , 2 . L  w t  wi  WX  J C e l e m  n i n i e jsz yc h  r o z w a ż ań  je s t  o b li c z e n i e  wsp ó ł c z yn n i k a  u d e r z e n i a  /*,  r o z u m i a n e go j a k o  s t o s u n e k  m a k s y m a l n e j  sił y  z wr o t n e j  w  sp r ę ż yn ie  m a x F ( f )  d o  m a k sym a l n e j  wa r t o ś ci t sił y  wymuszają cej  P o .  D la  ukł adu  o  dwu  stopn iach  swobody  trzeba  obliczyć  dwa  współ - czynniki  uderzenia m a xF ^ O  m a x f 2 ( 0 (3.15)  At- -S  .  A2 = - L p  . "o  •   "o  • gdzie: Ft(O  =   k u [x i (f)- x 2 (t)],  F 2 (t)  =   kj,*a(Oi kiz>  ku  są   zastę pczymi  współ czynnikami  sprę ż ystoś ci  ukł adu  zlinearyzowanego. Z nają c  współ rzę dne  gł ówne  m oż emy  powrócić  do  współ rzę dnych  n aturaln ych  i  p o odpowiedn ich  przekształ cen iach  n apisać  wzory  przybliż one  (wynikają ce  z  oszacowania 322 H .  WOJCIECH OWSKI funkcji  typu  maxAsm((o 1 t+(p 1 )+Bsm(m 2 t+

  fc2z  obliczono wzorami  (2.24) (3.18) Czę stoś ci  a> lt   co 2   ukł adu  zlinearyzowanego  oraz  współ czynniki uderzen ia / x 1 , / i 2  są  funk- cjami  nastę pują cych  param etrów  P o ,  c,  / 3,  r0.  Z ł oż ona  budowa  powyż szych  wzorów uniemoż liwia  przeprowadzenie  wprost  ogólnej  dyskusji  wpł ywu  poszczególnych  para- metrów  n a wartość  a ^ ,  ai 2   lub fj, lt   ji 2 . D latego  obliczono  wielkoś ci  ftjls  a> 2,  filt  (J, 2  J a k o  funkcje  r 0 ,  traktują c  pozostał e param etry jako  stał e. Wyniki  obliczeń przedstawia  rys. 2. 5  10  15  20  25  30  35  40  45  TD Rys.  2. 4.  U kł ad  dwumaSowy z nieliniowoś cią   H ertza D la  ukł adu  jak  n a  rys.  1 wyznaczmy  m aksym alną   sił ę   w  sprę ż ynie  poś redniej  oraz maksymalne  ugię cie  sprę ż yny  skrajnej,  jeś li  charakterystyki  sprę ż yn  są   okreś lono  nastę - pują co: / i  -  ka&gnixt- x^ Xi I  1  dla  Xi- x t   >  0 przy  czym  s gn ( x 1 - x2 )  =  ( _ 1  ^  „ WYZ N AC Z AN I E  WSPÓŁCZYN N IKÓW  U D ERZEN IA  323 h  -   k 2 x 2 ,  P(t)  =   0. Przyjmujemy  warun ki  począ tkowe: (4.1)  Xi(0)  =   x2( 0)  =   i a ( 0 )  =   0,  kM  =   VQ. R ozpatrywan y  u kł ad dynamiczny  modeluje  uderzenie  quasi- sztywnego  bijaka1'  w  ciał o quasi- sztywne  n ieswobodn e, n a kt ó re  są   nał oż one liniowe  wię zy  sprę ż yste  o sztywnoś ci  k 2 . Przez  m 1   należy  rozum ieć m asę   bijaka,  przez  m 2   —  masę   ciał a  uderzonego,  zredukowaną do  pu n kt u  uderzen ia.  Sprę ż yna  poś redn ia  imituje  podatn ość  lokalną   (k h )  zderzają cych się   ciał   i  dlatego  jej  charakterystykę   przyję to  w  postaci  hertzowskiej  [3]. R ówn an ia  ru ch u  m as  podczas  trwan ia  ich  kon taktu  są   nastę pują ce: 1 x 1   + k H sgn(x 1 - x 2 )\ x 1 - x 2 \ 3 l 2   =  0 *•   '  '  m 2 x 2 - k ll sgn(x 1 - x 2 )\ x 1 - x 2 \ i l 2   + k 2 x 2   =  0, z  warun kam i  począ tkowymi  (4.1). D odajmy  z  obu  stron  równ an ia  (4.2a) czł on  k 2 (x x   — x 2 )  zaś  do równania  (4.2b)  czł on —  k 2 (xi~x 2 )  oraz  wprowadzim y  oznaczenia fc 2  _  b  x  _  b x  x  _  b x ~rT  —  u,  Xi  —  0Xx,  X2  —  O X2 , ki  .  m,  „   k„ m 2  m t   y/ bk 2 x  =  Ht,  gdzie  G  =   m 2 g i  przepiszmy  równ an ia  (4.2  po)  uwzglę dnieniu  (4.3)  w  postaci  bezwymiarowej (4- 4)  .? - Xi  <=   asgn(x 1 - x 2 )\ x 1 - x 2 \ 3 l 2 - x 1 +x 2   =   - S ^ ,  x2). P rzekształ cam y  równ an ia  (4.4)  wprowadzają c  współ rzę dne  gł ówne  q u   q 2   ukł adu (4.4),  w  którym  S,_(xi,x 2 )  =   0.  We  współ rzę dnych  gł ównych  równania  (4.4)  bę dą   [5]: (4.5)  ? J  +   W § I ? I =   ^ i(\ - Qt)Si(ai,g 2 ,)  i  = 1 , 2 gdzie: (4.6)  ^ = 1 _ ;  im  1,2, (4 . 7 ) (4 . 8 ) N ieliniowy  ukł ad  równ ań  (4.5)  zastę pujemy  ukł adem  liniowym (4.9)  < ? i + . 3 ? flł - 0,  i  = 1 , 2 . J )  Ciał em  quasi- sztywnym  nazywamy  ciał o  lokalnie  odkształ calne  [3]. 324 H .  WOJĆ IECH OWSKI Kwadraty  czę stoś ci  obliczamy  korzystają c  z  wzorów  (2.17),  które  w  tym  przypadku bę dą   n astę pują ce: (4.10) AQ 2 Q Q -   A 2 q L fil  !02 - 2.  - (4.ii)  s i - - = = =-   r  r 42,21  I  I gdzie: (4.12) ~  ABq l - B 2 q 2 ]qldq l dq 2 , Aż eby  obliczyć  cał ki  we  wzorze  (4.10)  i  (4.11)  w  których  wystę puje  sgn(Aq 1 +Bq 2 )  należy zbadać znak  wyraż eń  A  i B.  Ponieważ  X l   >  0,  X 2   >  0,  /9 >  0  wię c  ^  >  0  i 5  >  0.  D zie- limy  obszar  cał kowania n a  dwa  obszary  M i  N prostą   o  równ an iu  Aq l +Bq 2   =   0.  N ależy wyróż nić  dwa  przypadki  przy  uwzglę dnieniu,  że  —  >  0. i> —  A —  przypadek  I  Q 2   <  —  ^ i> —  4̂  — —  przypadek  I I  Q 2   >  —  2 i i> W przypadku  pierwszym  obszar  cał kowania jest podzielon y jak  n a  rys.  3, a podobszary  M N   okreś lone n astę pują co: M   = B 92  <   Qi N 02  N ^ Rys. 3. D la  drugiego  przypadku  rys.  4 m am y: M  = - Qt — - 22 - fii< fil 22 WYZN ACZAN IE  WSPÓŁCZYNNIKÓW  UDERZENIA  325 W  obszarze  M  speł niony jest warunek  Aqj_+Bq 2   <  0,  w i ę c s g n ( ^ i + 5 2̂ )  =   - 1 , p o n a d to \ Aq 1   + Bq 2 \   =  — Aq 1   — Bq 2 .  W  obszarze  S m a r n y  Aq i Ą - Bq 2   >  0,  wię c =   1 oraz  \ Aq 1   + Bq 2 \   =   Aq 1 +Bq 2 . U wzglę dniając  powyż sze  p o  obliczeniu  cał ek  otrzym am y: —  A  — w  przypadku  pierwszym,  czyli  dla  Q 2   ^  —-   Q x ( 4. 13)  a i ^ + [ 2 3A Q 2 Ql i Q2QI Q 2 Q 11 L 21 6! J 3Q1 tL Q1 721 w  przypadku  drugim ,  czyli  Q 2   ^  —  Q t (4.15)  ii  - (416)  u*- E2+2al  1 6  [ ( B Q (4.16)  ^ ^ - {BQ 2 1 jl 2 ]  J -  A 2 , _  j 2 3 3 5 2  L  GiGJ  Q16J  J  3 B I  2 , 2 _  (AQi+BQ 2 ) 9 ! 2 ]  (BQj- AQj1'2  _ QiGi  J  QiG!  QiQl  f Łatwo  m oż na  wykazać,  że  dla  warun ków  począ tkowych  (4.1)  m aksym alne  wartoś ci współ rzę dnych  gł ównych bę dą 11  Mech.  Teoret.  i  S tos.  2/ 81 326  , , . . . .  H .  WOJCIECHOWSKI 7i  ^ Vo (4.17) gdzie:  V o   -   —  V o . Wartoś ci  a> l5  w2  obliczono  n a kom puterze  traktują c  param etry  a,  /S  ja ko  stał e,  Vo  jako zmienne.  Rozwią zując  ukł ad  równ ań  (4.9) moż emy  powrócić  do współ rzę dnych n atural- nych x l ,  x 2 ,  które bę dą   okreś lone  n astę pują co: (4.18)  _ x z U kł ad równań  (4.2), podobn ie jak i równoważ ny  m u  (w sensie przyję tej  m etody rozwią - zania)  ukł ad  (4.9),  opisuje  ruch  ś rodków  m as podczas  ich kon t akt u ,  czyli  dla  t e  [0,  r k ] gdzie  t k   jest  nieznanym  czasem  kon t akt u .  M oż na  go  wyznaczyć  z  warun ku (4.19)  X ] ( T ) - X2 ( T )  =   0, bowiem  w  koń cowej  chwili  uderzenia  przemieszczenia  ś rodków  obu m as są   jedn akowe. M aksymalną   sił ę   uderzenia  F=  m.axF{%)  wyznaczono  z  równ an ia r (4.20)  J?(T) -   k u (x t - x 2 ), w  którym  . F ( T ) jest  bezwymiarową   wielkoś cią   reprezentują cą   stosunek  sił y  uderzenia  F(t) —  k do  cię ż aru  m 2 g,  bezwymiarowa  zastę pcza  sztywność  k iz   =  • - —-  dan a jest  wzorem  (3.18). / Ca Wyniki  obliczeń przedstawia  rys.  5 i 6. Z  kolei  obliczmy  m aksym alne  ugię cie  sprę ż yny  skrajnej.  Jest  t o wielkość  o tyle  intere- sują ca,  że w  przyję tym  m odelu  reprezentuje  m aksym aln e  odkształ cenie  ciał a  uderzanego, wynikają ce  z jego  podatn oś ci  ogólnej.  P onieważ  omawiane  m aksim um  wystę puje  z reguł y w  drugiej  fazie  ruchu, czyli  dla t  >  r k ,  przeto należy  najpierw  okreś lić  stan  kinematyczny ukł adu  w  chwili  t  =  r k   a  mianowicie  ^ ( T ^ )  =   x 2 (r k ),  X^ T ^ ),  X 2 ( T / I ) .  P ostulujemy  sprę - ż ysty  charakter  uderzenia  tzn.,  że  współ czynnik  restytucji  R  =   1.  D alszy  ruch  ciał a m a wię c  charakter  swobodnych  drgań  oscylatora  harm on iczn ego  o  masie  m 2   z  liniowymi wię zami  sprę ż ystymi  o  sztywnoś ci  k 2 .  Współ czynnik  uderzen ia  p,  zdefiniowany  jako stosunek maksymalnego  ugię cia  dynamicznego sprę ż yny  o sztywnoś ci  k 2   d o jej  statycznego ugię cia  pod  cię ż arem  bijaka  okreś lony  jest  wzorem  [9] (4.21)  p  = Wyniki  obliczeń przedstawiono n a rys( 7, n atom iast n a rys. 8 pokazan o  wpł yw podatn oś ci lokalnej  n a współ czynnik uderzenia. 5.  U wagi  koń cowe  i  wnioski U kł ad  dwumasowy  rozpatrywany  w  p .  2  wraz  z  przyję tym  sposobem  obcią ż enia, może  być  modelem  rozm aitych  mechanizmów  o  dział an iu  udarowym .  P odczas  pracy takiego  mechanizmu, n a m asę   Wi  (reprezentują cą   n p .  bijak,  tł ok  itp.) dział a  obcią ż enie WYZN ACZAN IE  WSPÓŁCZYNNIKÓW UDERZENIA 327 im pulsowe.  D ruga  m asa  poł ą czona jest  z  pierwszą   wię zami  sprę ż ystymi,  liniowymi,  zaś z  podł oż em  (tzn .  osł oną ,  obudową ,  ł oż yskami  itp.)  wię zami  nieliniowo- sprę ż ystymi. P ozwala  t o  uwzglę dnić  duże  (geometrycznie nieliniowe)  odkształ cenia tego  ciał a, które m oże  być  uform owan e  n a  kształ t  belki,  wał u  it p. Rys.  7. 10  15  20  25  30  35  fy Rys.  8. 328  H .  WO JC I E C H O WSK I Jak  widać  z rys.  2 (i wielu  innych  przedstawionych  w pracy  [15]) w zakresie  badan ych param etrów  m aksim um  współ czynnika  fx 2  jest  wię ksze  od  m aksim um  ,«,, a  zm ian y  tych współ czynników  wraz  ze wzrostem  T 0 mają   ch arakter  oscylacyjny.  Ze wzglę dów  wytrzy- mał oś ciowych  korzystne jest  tak  dobierać param etry  ukł adu, aby odpowiadał o  im  lokaln e m inim um  współ czynników  uderzenia.  N atom iast dla ukł adu z  nieliniowoś cią   H ertza [15] m oż na  przyją ć,  że fi jest  funkcją   tylko  prę dkoś ci  bijaka  i  stosun ku  m as,  bowiem  zmienia się   on nieznacznie  (w  zakresie  badanych  sztywnoś ci)  przy  zmianie  sztywnoś ci  lokalnej (rys.  7, 8),  a jego  wzrost  jest  liniowy  przy  wzroś cie  prę dkoś ci  bijaka  V o . N a  wartość  maksymalnej  sił y  uderzenia  duży  wpł yw  m a  podatn ość  lokaln a  a,  przy czym  jak  widać  n a rys. 6 ze wzrostem  podatn oś ci  lokalnej  roś n ie  wartość  tej  sił y. L it erat u ra  cytowan a  w  tekś cie 1.  H . H . Eorojiio6oBj  1 0 . A.  MHTPonoJiBCKHiij  AcmmniomunecKue  Memodu  e  meopuu  He/ iuneuHbix  KO- jieBanuu,  M o c r a a 1958. 2.  W.  BO G U S Z ,  N ormal  modes  nonlinear  vibrations  in two  degrees  of  freedom  systems,  Z a ga d n ien ia  d rgań n ielin iowych,  P WN ,  Warszawa,  1963. 3.  R .  G R YD O Ś,  T eoria  uderzenia  w  dyskretnych  ukł adach  mechanicznych,  P WN ,  Warszawa  1969. 4.  C H .  H AYASH I ,  Drgania  nieliniowe  w  ukł adach  fizycznych,  WN T ,  Warszawa  1968. 5.  Z .  D Ż YG AD Ł O,  S.  K AL I S K I ,  L.  SO L AR Z ,  E .  WŁ O D AR C Z YK ,  Drgania  i fale  w  ciał ach  stał ych,  P WN ,  War- szawa  1966. 6.  Z .  M AG I E R A- U L L R I C H,  Drgania  normalne  ukł adów  nieliniowych  o  dwóch  stopniach  swobody,  p r a c a d o kt o rska,  P olitech n ika  P o zn ań ska, 1970. 7.  SL . F .  I I AH O BK O ,  CnocoB  npmtoft  Auneapusaifuu  s  tie/ iuHeunbix 3adawx  meopuu  ynpytux  KO/ ieBaiiuu, H H > K .  CSopHHK, 13, M ocKBa 1952. 8.  SL . F .  I I AH O BK O ,  OCHOBU npuKJiadHoii  meopuu  ynpyiux  KojieBauuii,  M a u m n o c r p .  M o c n sa 1967. 9.  H . K .  C H H T K O ,  Ę uHauuKa  coopysiceiiuu, roerpoH iraflaT,  M ocKBa 1960. 10.  R . M . R O SE N BE R G ,  C . P .  AT K I N SO N ,  On  the  natural  modes  and their  stability  in  nonlinear  two- degree- of- freedom  systems,  J o u r n a l  of  Applied  M ech an ics,  3, 1959. 11.  R . M .  R OSE N BE R G ,  N ormal  modes  of  nonlinear  dual- mode  systems,  J o u r n a l  of  Applied  M ech an ics,  2, 1960. 12.  P .  M .  P o3Eii6epr:l  O  ceo6oduux  iwjie6anunx  nopjuajibiioeo muna  nejiuueuiiux  cuemiM  oBuieto  KJiacca c  deyMH cmeneHHMu  ceoBodu,  C 6o p .  n e p .  H H ocrp.  craTbeft,  M exaiiH Ka  5,  69,  1961. 13.  W.  SZ E M P LI Ń SKA- STU P N I C KA,  Postacie  drgań  przy  rezonansie  nieliniowego  ukł adu  o  dwóch  stopniach swobody,  Arch iwum  Budowy  M aszyn ,  9, 1962. 14.  W.  SZ E M P LI Ń SKA- STU P N I C KA,  N ormal  modes  of  a  nonlinear  two  degrees- of- freedom  system  and  their properties,  Z agadn ien ia  drgań  n ielin iowych ,  5,  P WN ,  Wa r sza wa  1963. 15.  H . WO JC I E C H O WSK I ,  Uderzenie  w  ukł adzie  nieliniowo- dyskretnym  o  dwu stopniach  swobody,  p r a c a  d o k- t o rska,  P olitech n ika  Ś lą ska,  1978. 16.  S.  Z I E M BA,  Analiza  drgań ,  P WN ,  Warszawa  1957. ' , '  P e 3 to  M  e  ;  • O n P E flE JI E H H E  flH H AM H ^IECKH K  K03<*<3>H H .H EH TOB  B  C H C T E M E  C  flBYM JI ,  C T E n E M M H   CBOEOAH   C H EJI H H Efł H OC TBK)  T H I I A  ,n,yci>HHrA  H   TEPIJA B  d a i Ł e  paccMaTpH BaeicH  cn oco6  nił HeapH3ai.rHH   HenmreHUOH   KOHcepBaTHBHOH   cH ereM w  c  ^Byjwa cieneiM M H   CBoSoflbr  BO36y>Kfle'HHoH   H enepjKwraecKOH   H arpy3Koft  H JI H   yn apoM .  JlHHeapH3au,HK>  H e- ypaBHeHHii  #BH>i(eHHJi  npoBe# eH o n o c n e  npeflBapirreJiBH oro  BsefleiniH   jwiaBHbix WYZN ACZAN IE  WSPÓŁCZYNNIKÓW  UDERZENIA  329 Oco6eHHO  npoBOAHJiHCb  HccJieflOBaHHJi  CHCieMM,  KOTopoK flBH >KeH H e 6bijio  BhiHyjKfleHHO  H arpy3Koił Tun a  TpexyrojiLH oro  H Mnyjibca.  KpoMe  Toro  paccM aTpH Baeica  flByxM accoBas  cH crenia, B KOTopbix n p y- >KHHa coeflH H H iomaa  M accw  HMeeT xapaKTepncTH Ky  THna Tepu;a.  ,H,BH>KeHHe TaKoił   cH weMbi  BO36y>i