Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2.  19  (1981) O  WYKORZYS TANIU  FU N KCJI  WŁ AS N YCH  D O  O P I S U  D RGAŃ  WYM U S ZONYCH  P OD ATN IE P OD P ARTYCH  AS YM ETRYCZNYCH  WAŁ ÓW JANUSZ  K O L E N D A  (GDAŃ SK) 1.  Wstęp D rgan ia  linii  wał ów  z  uwzglę dnieniem  asymetrii  sztywnoś ci  gię tnej  i. podatnoś ci  funda- m en tów  rozpatrywan o  w  pracach  [1],  [2]  i  [3] przy  zał oż eniu, że  wymuszenia  mogą  być traktowan e jako  sił y  skupion e.  D rgan ia  wymuszone  podatn ie  podpartych  asymetrycznych wał ów  przy  obcią ż eniach  rozł oż on ych  n ie  był y  dotychczas  analizowane  w  literaturze. Z agadn ien ie  to  rozpat rzon o  pon iż ej,  przy  czym  do  rozwią zania  wykorzystano  funkcje wł asne  drgań .  P rzyję to,  że  funkcje  wł asne  drgań  podatn ie  podpartego  asymetrycznego wał u  są  zn an e.  Sposób  ich  wyznaczenia  przedstawiono  w  pracach  [4]  i  [5]. W  niniejszej pracy  rozpatrzon o także  przypadek  wymuszeń  skupionych.  • , 2.  D rgania  podatnie  podpartego  asymetrycznego  wał u  przy  obcią ż eniach  rozł oż onych Obliczeniowy  sch em at rozpatrywan ego  ukł adu  przedstawiono  n a  rys.  1. Zachowuje  się oznaczenia  i  zał oż enia, jak  w  pracy  [5]. Przyjmuje  się,  że n a  pierwszy  odcinek  wał u. dział a 5  ' • X i I  < * 2  *1 3 to / < <- ! A > 1 > x 1 2 > S i ' i E x , t ) —  x, X ! l , , ( I 6 1 , , C. =  x  — • u!Vi * ( •   / • A, , Si m E, , ( i;, ) , , ( i3 ) ?, iy?, , - ^ 7\   i  •   - 'I  < < t n > > Rys.  1. w pł aszczyź nie x lx ,  x 12   obcią ż enie rozł oż one q 12 (x,  t)  i drgania  tego  odcinka w ruchomym ukł adzie  współ rzę dn ych  x xi>   x 12 ,  x i3   opisują  się  niesprzę ź onymi  równ an iam i: (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) Si»i - £ i«?»i  =  0,  O -   - jf,  ( ) ' -   - gj-» = Q.12, $M- cyu  -  o. 3 3 2  J .  KOLEN D A N a  skutek  podatn oś ci  konstrukcji  podpierają cej  mogą  wystą pić  sprzę ż enia  pom ię dzy drganiam i  u ixu   u ix2>   u ix3   oraz w«4. Warun ki,  jakie  speł niają  macierze  podatn oś ci  dynamicznej  konstrukcji  podpierają cej w  poszczególnych  przypadkach  sprzę ż eń,  om ówiono  w  pracy  [3]. R ozpatrując  ogólny przypadek  drgań  wymuszonych  przy  sprzę ż eniach  pom ię dzy  w/ w drgan iam i  zakł ada się, że  znane  są  czę stoś ci  niethim ionych  drgań  swobodnych  u kł adu  a> k  i  funkcje  ufcg\ x), stanowią ce  skł adniki  funkcji  wł asnych  drgań  podatn ie  podpartego  asymetrycznego  wał u [5] (2.5)  u$ a =£u%i\   a  = 1 , 2 , 3 , 4 ,  fc= l,2,  . . . .  i  = 1 , 2 . li=- r Jak  ukazan o w pracy  [4], w ogólnym  przypadku  sprzę ż eń  drgan ia  swobodn e  podatn ie podpartego  asymetrycznego  wał u  opisują  się  zależ noś ciami (2.6)  «»*( *, O w  których  funkcje  czasu  T ^ 1 ' "  są  identyczne  dla wszystkich  sprzę ż onych  drgań  u ixa (i  = =   ł , 2 ,a  =   l , 2 , 3 , 4 ) ,  gdyż  wpł yw  param etrów  ukł adu  i  sprzę ż eń  n a am plitudy  drgań uwzglę dniają  funkcje  uf x 't  [4],  [5], F unkcje  T ( S''*)  są rozwią zaniami  równ ań (2.7)  T  0  w  równ an iach  (2.1),  (2.3)  i  (2.4)  okreś lone  są  zależ noś ciami  (2.6) i  wyraż eniem 4 (2.14)  7CI(I/O-  =  £  rg• «. F un kcje  T ^ ' ' 1 )  są  rozwią zaniami  równ ań Qi (2.15) w  których  qf£  wynoszą: (2.16) a  = 1 , 2 , 3 , 4 . G dy  drugi  odcin ek  wał u  również  poddan y  jest  wymuszeniom  rozł oż onym,  to  należ y, podobn ie  dodać  do  funkcji  rik'M>  odpowiednie  czł ony.  P rzykł adowo,  jeś li  pł aszczyzna Xt ,  X 3   jest  poziom a  i  wał   przedstawiony  n a  rys.  1  znajduje  się  w  polu  sił   wywierają cych n a  jedn ostkę  dł ugoś ci  i- tego  odcin ka  pionowe  obcią ż enia  Q t (x,t)  =  const,  t o  drgania ż - tego  odcinka  oraz  funkcje  T (*lł rt  m oż na  przedstawić  w  postaci  (2.6)  i (2.17)  & W  celu  wyznaczenia  poszczególnych  funkcji  T ^ ' r t  (2.17)  należy  odnieść  obcią ż enia  Qi do  ruch om ych  ukł adów  współ rzę dnych  obu  odcinków  wał u.  Jeś li  ruchomy  ukł ad  współ - 334  J .  KOLENDA rzę dnych  x 21 ,  x 21 ,  x 23   drugiego  odcin ka jest  obrócon y w  kierun ku  wirowania  wał u  o  ką t <52 wzglę dem  ruchom ego ukł adu współ rzę dnych xil,x12,xl3  pierwszego  odcinka i w  chwili t  =   0  oś  x 12   jest zwrócona pion owo  w  dół ,  to przy  prę dkoś ci  ką towej  wirowania  wał u co 0 obcią ż enia  rozł oż one w  ruchom ych ukł adach  współ rzę dnych wynoszą   w  dowohiej  chwili  t: 2 i 2  Q i 0 ,  # 1 3 q 22   =  Q 2 cos(a> Q t+d 2 ),  q 23   =  —  Q 2 siti(o) o t+d 2 ). F unkcje  - cf  ̂ są   zatem rozwią zaniami  równ ań (2.19)  Cg- rt +  (co k +fi,  f-   1.2.  «  =   2,  3 w  których  ^  są   zgodnie  z  (2.16)  i  (2.18)  nastę pują cymi  funkcjami  czasu: 'i l ^  =   QiCOScM  —Ji—; 0  (!= - /•   0 p= > —r fu 2 %dx (2.20)  gfe'  =   Q2cos(coof +  ó 2) - j —5-   , 0   fi =   - r W  celu  uwzglę dnienia  tł um ienia  wewnę trznego  w  wale  oraz  w  filmie  olejowym  ł oż ysk i  w  konstrukcji  podpierają cej  wał   wykorzystać  m oż na  pewne  relacje,  dotyczą ce  drgań swobodnych  ukł adu  niezachowawczego  [5].  W  pracy  [5]  zał oż on o,  że  tł um ion e  drgania swobodne  podatn ie  podpartego  asymetrycznego  wał u  mogą   być  opisane  zależ noś ciami (2.6),  w  których  funkcje  uf x '^   są   wyznaczane  ja k  dla  ukł adu  zachowawczego,  n atom iast funkcje  T<*tW  są   przy  zastą pieniu  czę stoś ci  co k   zespolonym i  czę stoś ciami  a> k   =  co k +joo k drgań  swobodnych  ukł adu z  tł umieniem rozwią zaniami  r ó wn a ń : (2.21)  t < *^ + 2S l t T < *' «+  Kwk+fiw0) 2 +El]T*">  -   0. Przyję cie  analogicznego  zał oż enia w  odniesieniu  do  opisu  drgań  wym uszonych  przy wykorzystaniu  funkcji  wł asnych  prowadzi  w  przypadkach  rozpatrywan ych  w  niniejszej pracy  do zastą pienia  (2.12) równaniem (2.22)  l i  d o  wprowadzenia  podobn ych  zmian  w  równ an iach  (2.15),  (2.19). O  WYKORZYSTANIU   FU N KCJI  WŁ ASNYCH   335 3.  D rgan ia  podatn ie  podpartego  asym etrycznego  wał u  przy  wymuszeniach  skupionych Wykorzystanie  funkcji  wł asnych do opisu  drgań  podatnie podpartego  asymetrycznego wał u  przy  wymuszeniach  skupionych  nie  róż ni  się w istotny  sposób  od podobnego  zagad- nienia  przy  obcią ż eniach  rozł oż onych.  Przykł adowo, jeś li  nie wystę pują  obcią ż enia  rozł o- ż one i w pł aszczyź nie x llf   x l2   dział a w punkcie x =  i  prostopadle do osi wał u sił a skupiona fi 2 (t),  to równanie  (2.2)  przyjmuje  postać: (3.1)  (eAW h^ - alu^ +foU  ̂ + iEIz)^   = £(*- £>/ &(*), gdzie  <5  oznacza  dystrybucję  D iraca. Poszukując  drgań  wymuszonych  wał u w postaci  (2.6) należy  rozł oż yć  funkcję  8(x- C)fi 2 (t)  w szereg  wedł ug  ukł adu  funkcji  wł asnych  drgań gię tnych  pierwszego  odcinka w pł aszczyź nie x 11}   x 12 : (3.2) Zważ ywszy, że (3- 3) 6 otrzymuje  się w odróż nieniu od (2.9) (3.4)  giV =  fUt J  Z  [u^ (x)fdx • O  / »—c F unkcje  T < *' / ' ) są rozwią zaniami  równań  (2.12)  (lub  (2.22) przy  uwzglę dnieniu  tł umienia w  ukł adzie), do których  należy  podstawić  (3.4). Rozpatrzenie w  oparciu  o zasadę  superpozycji  przypadków  dział ania wię kszej  liczby sił   skupionych  lub równoczesnego  wystę powania  obcią ż eń  skupionych  i  rozł oż onych nie nastrę cza trudn oś ci. 4.  U wagi  koń cowe D rgan ia  wymuszone  bardziej  zł oż onych  ukł adów  z  asymetrycznymi  wał ami  (np. ukł adów  rozpatrywanych  w pracach  [1] i  [2]) mogą  być  wyznaczane  analogicznie jak  w p. 2  i 3 niniejszej  pracy.  P rzedstawione w p. 3 podejś cie  stanowi  alternatywny  sposób roz- wią zania  zagadnienia  drgań  podatn ie  podpartych  asymetrycznych  wał ów  przy  wymu- szeniach  skupionych  w stosun ku  do  metody  opisanej  w pracy  [1]. W  metodzie tej  stosuje się  macierze  przejś cia,  odnoszą ce się do poszczególnych  odcinków  obliczeniowych.  Biorąc pod  uwagę,  że wymaga  się przy  tym dokonania  podział u wał u  (linii  wał ów)  na odcinki obliczeniowe  m.in. w miejscach  dział ania sił  skupionych,  wykorzystanie  funkcji  wł asnych do  analizy  drgań  wymuszonych  może się okazać  bardziej  celowe  w przypadkach  wystę po- wania  sił  skupionych  w  odpowiednio  licznych  przekrojach  wał u. 336  J.  KOLEN DA Literatura  cytowana  w  tekś cie li  J.  KOLEN D A,  Drgania  wymuszone  linii wał ów z  uwzglę dnieniem  asymetrii sztywnoś ci gię tnej  i podatnoś ci fundamentów.  Metoda identyfikacji podatnoś ci fundamentów  linii wał ów,  Mech. Teor.  i  Stos., 4,  16,1978. 2.  J.  KOLEN D A,  Uś ciś lony  opis drgań wymuszonych  linii  wał ów z  uwzglę dnieniem  asymetrii sztywnoś ci na zginanie i  podatnoś ci fundamentów, Mech.  Teor.  i  Stos.,  1,  17  1979. 3.  J.  KOLEN D A,  W ymuszone drgania gię tne podatnie podpartego  asymetrycznego wał u. Mech. Teor.  i  Stos. 3,  18,  1980. 4.  J.  KOLEN D A,  Sprzę ż one  drgania prę tów z  wię zami zależ nymi  od  czę stoś ci,  W  Redakcji  Zeszytów  N auk. Politechniki  G dań skiej,  Bud.  Okrę towe 5.  J.  KOLEN DA,  Swobodne  i  wymuszone  drgania podatnie podpartego  asymetrycznego wał u,  Zeszyty  N auk. Politechniki  G dań skiej,  nr  319,  Budownictwo  Okrę towe  32,  1980 P  e 3 so  M  e O  H CIIOJ1B3OBAH H H   COECTBEH H fclX  O O P M   flJM   OI I H C AH H JI  BLIH Y>KflEH H LIX KOJIEEAH H H   AC H M M ETP H tffiC KH X  BAJIOB  H A  nOflATJTH BLIX P a 6o T a  KacaeTCH   BbiH y> K flem ibix  H 3rii6H biXj  n poflO JiBH bix  H   K P V T H I I L H M X  K o n e 6 a m r i i H 3rH 6H OH   >KeCTKOCTH,  OnHCaHHWX  HeCOnpHHCeHHBIMH   JIH H eH H blMH B  TjaCTHBIX  n p 0H 3B0^ H bI X.  YH H TblBaeXCH   COnpflHCeHHJI MeHCfly  KOJieSaH H H MH   BCneflCTBH e noflKpenjieHHH   Bana  H   TpeHHe  B  cHCTewe.  PacciwaTpHBaeTCH   cjiyqaa  pacnpeflejieH H bix H   cocpe# oToqeH H bix  B03MymeHHH.  P euieH H a  npeflcraBJMeTCH   n p a  noiwomH   pa3JioHopMaM. S u m m a r y U SE  OF   MOD ES F OR  D ESCRIPTION   OF   F ORC ED  VIBRATION S  OF   F LEXIBLE SU PPORTED ASYM M ETRICAL  SH AF TS The  paper deals with flexural,  longitudinal  and torsional forced  vibrations  of a shaft  with an  asymmetry of  a  flexural  rigidity,  being  governed  by  non- coupled  linear  partial  differential  equations.  The  couplings between  vibrations  due to  the flexibility  of  the  shaft  support  as  well as  a  damping  in  the analysed  system are taken into account. The cases  of distributed  and discrete loadings  are  considered. Solutions are  expressed in  terms  of  the  normal  modes. P OLI TE C H N I KA  G D AŃ SKA IN STYTU T  OKRĘ TOWY Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  9  paź dziernika  1979  roku.