Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA STOSOWANA 2, 19 (1981) N I E I Z OTE R M I C Z N Y,  LAM IN ARN Y  PRZEPŁYW  N TEN EWTON OWSKEEJ CIECZ Y  W  KRÓTKIEJ  R U R Z E KAZIMIERZ  R U P  (KRAKÓW) 1.  Wstę p D o  licznej  grupy  substancji  wykazują cych  wł asnoś ci  nienewtonowskie  należą   roztwory i  stopy  polim erów  o  duż ej  m asie  czą steczkowej,  oraz  liczne  zawiesiny  ciał   stał ych w  cie- czach.  N ieizoterm iczn e  przepł ywy  wymienionych  pł ynów  odgrywają   podstawową   rolę w  takich  gał ę ziach  przem ysł u  jak  przemysł   tworzyw  sztucznych,  wł ókien  sztucznych, farb  i  lakierów,  farm aceutyczny  i  in n e. Z agadn ien ie  nieizoterm icznych,  lam in arn ych  przepł ywów  cieczy  nienewtonowskich był o  przedm iotem  wielu  p rac.  Z a  pom ocą   metody  rozdzielania  zmiennych  okreś lono w  [1] pole tem peratury cieczy  speł niają cej  empiryczne równanie Ostwalda  de Waele w przy- padku  pł askiego  przepł ywu  C ouette przy  termicznych warun kach  brzegowych  pierwszego rodzaju. W  pracach  [2] i  [3] an alizowan o  pole  tem peratury w  podobn ych cieczach lecz  w  przy- padku  przepł ywu  przez  rury  koł owe  z  uwzglę dnieniem  efektów  dysypacji  wiskotycznej. Z akł adają c  w  [2]  i  [3]  stał ą   tem peraturę   ś cianki  rury  rozwią zano  równanie  energii  cieczy za  pom ocą   m etody  perturbacji. Eksperym entalną   an alizę   dotyczą cą   nieizotermicznych  przepł ywów  cieczy  pseudo plastycznych  realizowanych  w  rurach  koł owych  ogrzewanych  stał ym  strumieniem  ciepł a przedstawion o  w  pracach  [4] i  [5]. W  niniejszej  pracy  podję to  próbę   analitycznego,  przy- bliż onego  rozwią zania  równ an ia  energii  cieczy  pseudo plastycznych  i  dilatantnych w  przy- pad ku  przepł ywu  przez  ru rę   koł ową .  N a  ś ciance  rury  zał oż ono  konwekcyjną   wymianę ciepł a,  a  wię c  term iczn e  warun ki  brzegowe  trzeciego  rodzaju. D o  rozwią zania  t ak  postawion ego  problem u  wykorzystano  w  pracy  ackł owmetodę  ą K arm dn a- P oh lh ausena  [6]. Otrzym an e  wyniki  przedstawion o  w  sposób  graficzny,  a  w  jedn ym  szczeaólnym  zrp- y padku  porówn an o  z  in n ym i  otrzym anym i  za  pom ocą   m etod  ś cisł ych  [7]. Oznaczenia . .  JC  •   •   •   • • • • • ••   :  •   :  .• • '• • '• • a  = ,  współ czynnik przewodzenia  tem peratury Bi =  — ~ -   liczba Biota 12  Mech.  Teoret.  i  Stos. 2/81 338  K.  R O P c p   ciepł o  wł aś ciwe k  współ czyn n ik  przewodn ictwa  ciepln ego m  p aram et r reologiczny  w równ an iu (1) n  wskaź n ik pł ynię cia p e =   " w » ' r »  liczba  P ecleta a r  współ rzę dna r,  prom ień  rury /   t em perat u ra t 0   t em perat u ra  począ tkowa T m   t e m p e r a t u r a  ś r e d n ia V  p r ę d k o ść y  wsp ó ł r z ę d na  m i e r z o n a  o d  ś c ia n ki  r u r y cc  współ czyn n ik  przejm owan ia  ciepł a d  bezwym iarowa  grubość  termicznej  warstwy  przyś ciennej Q  gę stość  cieczy H  dyn am iczn y  współ czyn n ik  lepkoś ci  pł yn u  n ewton owskiego r xr   n aprę ż en ie  styczne 2.  An aliza  problem u R ozważ ać  bę dziemy  n ieizoterm iczn y  przepł yw  cieczy  n ien ewton owskiej  o  niezmien- n ych  wraz ze zm ian ą   tem peratury  wł asn oś ciach  fizycznych  realizowan y  w  rurze  koł owej. N a  ś ciance  rury  zał oż ono  waru n ek  konwekcyjnej  wym ian y  ciepł a.  Wa r u n ek  taki odpowiada  wym ianie  ciepł a  pom ię dzy  cieczą   a  ś cian ką   ru ry  zgodn ie  z  prawem  N ewton a. Opisan e  wyż ej  zagadnienie  rozwią zane  zostan ie  w  tej  p racy  przy  n astę pują cych  zał o- ż en iach : 1) przepł yw  cieczy  jest  ustalon y,  lam in arn y  i  ch arakteryzuje  się   osiową   symetrią 2)  ciecz  posiada  w  przekroju  wejś ciowym  stał ą   t em p erat u rę 3) uwzglę dniamy  efekty  dysypacji  wiskotyczn ej, 4) pom ijam y  wpł yw  przewodn oś ci  cieplnej  cieczy  wzdł uż  osi  przepł ywu  (P e > 100). Wł asnoś ci  reologiczn e  rozważ an ych  w  pracy  cieczy  opisywać  bę dziemy  za  pomocą zn an ej  zależ noś ci  potę gowej  [1, 2, 3] (2.1)  r zr   m  - m dr dv dr Z ależ n ość  (2.1)  zwan a  jest  równ ież  równ an iem  em piryczn ym  Ostwalda  d e  Waele. N ależy  zaznaczyć  że  zależ ność  (2.1) opisuje  w  sposób  dostateczn ie  d o kł ad n y  wł asnoś ci reologiczn e  znacznej  grupy  cieczy  „ c zyst o "  lepkich  ale w  zakresie  u m iarkowan ych  szyb- koś ci  ś cin an ia.  N at o m iast  dla szybkoś ci  ś cin an ia  zm ierzają cych  d o  zera  lu b d o nieskoń- czon oś ci  zależ n ość  (2.1)  traci  in terpretację   fizykalną .  W  zależ n oś ci  od  współ czynnika pł yn ię cia n zależ n ość  (2.1)  obejm uje:  ciecze pseudoplastyczn e  (» <  1), ciecze  n ewton owskie (n  — \ ,m  =   JA), ciecze  dilat an t n e (n >  1). P R Z E P Ł YW  N IEN EWTON OWSKIEJ  CIECZY  W  KRÓTKIEJ  RU RZE  ,339 U wzglę dniając  zał oż enia  1- 4  oraz  zależ ność  (2.1)  równanie  energii  cieczy  m oż na zapisać  w  postaci « i \   v  dt  k  •   8  I  8t  \ (2.2)  QC„V- ^ —  ̂ ^ —  \ r- - ~  )+m óz  r  ar  \   dr  I  dr gdzie: dv  ' 1IN ~ 1 dvY dr]  ' - [- fen N =  ± - n 1  dp  ]N ' m a x r + i  r s  LN +l  5  I  2m  dz  J " D rugi  skł adnik  prawej  strony  równ an ia  (2.2)  reprezentuje  wewnę trzne  ź ródło  ciepł a powstał e  w  wyniku  dysypacji  wiskotycznej.  R ówn an ie  róż niczkowe  (2.2)  rozwią zane zostan ie przy  nastę pują cych  warun kach  brzegowych: (2.3a)  z  <  0,  0  <  r  <  r s ,  t=  *o(con st), (2.3b)  z  >  0,  r  =   0,  - |L  =   0, (2.3c)  z > 0 ,  r  =  r s ,  - f c A.  ct(t- t'). Schem at  rozważ anego  przepł ywu  przedstawiono  n a  rys.  1.  D la  uogólnienia  dalszych rozważ ań  wprowadzim y  nastę pują ce  wyraż enia  bezwym iarowe: (2.4a)  Z  - (2.4b)  y  = (2.5)  r  = P odstawiają c  do  (2.2)  wyraż enia  (2.4a),  (2.4b),  (2.5)  oraz  uwzglę dniając  liczbę   Brink- m an a (2.6)  Br  = otrzym am y \ L. i)  [ i — \ v'—y)  j Pe r r s t- t * Warun ki  brzegowe  (2.3a),  (2.3b)  i  (2.3c)  zapiszemy  odpowiednio (2.8a)  ;Ż -<  0,  O«d;y  0,  _ y= l , -   _ - = 0 , (2.8c)  Z > 0 , Ł  j> =   0,  — | ^ + - 1 15* 340 K.  R U P R ówn an ie  róż niczkowe  (2.7)  wraz  z  warun kam i  brzegowymi  (2.8a),  (2.8b)  i  (2.8c) rozwią zane  zostanie  za  pom ocą   metody  K arm an a—P oh lh ausen a [6]. Z godnie  z  ideą   przewodnią   zastosowanej  metody  rozwią zanie  równ an ia  (2.7)  przy warun kach  (2.8a),  (2.  b)  i  (2.8c) przeprowadza  się   w  dwóch  obszarach  oddzielnie, rys.  1. Pierwszy  obszar  charakteryzuje  się   nieuformowanym  procesem  wymiany  ciepł a. W  obszarze  tym  grubość  termicznej  warstwy  przyś ciennej  n arast a  od  zera  do  jedn oś ci. obszar I  *t- —obszarll—»U —*  peVni uformowana wymiana  ciepła obszar  wlotu termicznego  — «- Rys.  1.  Schemat  przepł ywu  w  obszarze  wlotu  termicznego. D rugi  obszar  charakteryzuje  się   bardziej  uform owan ym  procesem  wymiany  ciepł a. W  tym  obszarze  grubość  termicznej  warstwy  przyś ciennej  traci  interpretację   fizykalną . Wprowadzają c  do  rozważ ań  poję cie  gruboś ci  termicznej  warstwy  przyś ciennej  <5, oprócz  warunków  (2.8a),  (2.8b)  i  (2.8c)  obowią zują   w  pierwszym  obszarze  p o n a d t o : (2.9a) (2.9b) y  =   < 5( z), ar 3j> =   0 . Z godnie  z  ideą   zastosowanej  metody  funkcję   aproksymują cą   dokł adn e pole  tempera- tury  w  pierwszym  obszarze  przyjmujemy (2.10) T =   a o +a 1 T =   1, 0  <  y Współ czynniki  funkcyjne  w  (2.10)  wyznaczamy  w  oparciu  o  warun ki  (2.8c),  (2.9a) i  (2.9b). Wynoszą   on e: 2  2Bi  2Bi (2.11) 4+ <5Bi  ' 1 2Bi W  celu wyznaczenia nieznanej funkcji  d  =   ó(Z ) cał kujemy  równ an ie  (2.7) w  granicach od  0 d o  <5(Z) po  zmiennej y  otrzymiją c: P R Z E P Ł YW  N I E N E WTON OWSKI E J  C I E C Z Y  W  KR ÓTKI E J  R U R Z E 341 (2.12) j  {[1- 0-J (1- 30 - (1- y)dT 8y +  Br o f  (1- U wzglę dniając  reguł y  róż niczkowania  cał ki  p o  param etrze  (reguł a  Leibniza)  oraz uwzglę dniając  warun ek  (2.9b)  równ an ie  (2.12)  przyjmuje  postać: 6 (2.13)  ~ 6 + Br  [  (l- y)N +2dy. J P odstawiają c  (2.10)  i  (2.11)  d o  wyraż enia  (2.13)  po  wykonaniu  cał kowania  otrzymu- jem y  równanie róż niczkowe  zwyczajne (2.14)  1 db gdzie, (2.15) N +3 1  2 ł"JV+4  T  JV+5  ' Bi< 52|. R ówn an ie  róż niczkowe  (2.14)  cał kujemy  przy  nastę pują cym  warunku  (2.16) (2.16)  Z  =   0,  (J -   0 otrzym ują c N +3 C ał kę   (2.17)  m oż na  stosun kowo  ł atwo wyznaczyć  w  sposób  analityczny  w  przypadku pom inię cia  efektów  dysypacji  wiskotycznej  to jest  gdy  Br  =   0.  I  tak  posł ugują c  się   tabli- cam i  cał ek  [8]  otrzym an o  p o  scał kowaniu  (2.17)  w  przypadkach : 342  K.  R U P a)  Br  =   0,  N   =  1  (ciecz newtonowska) (2.18) 150  T \   120Bi  80  /   \   18  15Bi i2  /   "  i  \  6  '  5Bi  15Bi2  /   Bi 2  \ 3 T  5Bi  T  15Bi2 1  /   16  64.  128  \   /   4+ <5Bi T  Bi3  \   3  5Bi  15Bi2 b)  Br  =   0,  N   =   2  (ciecz pseudoplastyczna) (2.i9)  zw-   - ^ + ( 4 - - -s ^ ) « s " + [ : j o s r + w - ^ 1  2  8  32  \ o ,  .  1  ./   64  .  16 12  15Bi  45Bi2  315Bi3  /   Bi  \   105Bi3  15Bi2 1  /   512  128  32  \ ,  1  /   52048  512 Bi2  \   105Bi3  15Bi2  5Bi  /   T  Bi3  \   105Bi3  ~  i5Bi 2 4+ (3Bi 5Bi Z e  wzglę du  na  dużą   pracochł onność przy  analitycznym  cał kowaniu  wyraż enie  (2.17) scał kowano  również  numerycznie  metodą   Simpsona  dla  kilku  wybranych  wartoś ci  para- metrów  Bi,  Br  i  N .  P odobnie jak  w  pierwszym  obszarze  również  w  drugim  obszarze  wy- miany  ciepł a  pole  temperatury  cieczy  aproksymujemy  wielomianem  drugiego  stopnia (2.20)  T =  b o +b 1 y+b 2 y 2 ,  0  <  y  <  1. Jak wspomniano  wyż ej  w  drugim  obszarze  wymiany  ciepł a  grubość  termicznej  warstwy przyś ciennej  traci  sens. Współ czynniki  funkcyjne  b 0 ,  b y ,  b 2   wyznaczamy  w  równaniu  (2.20)  w  oparciu  o  wa- runki  (2.8b)  i  (2.8c).  Ostatecznie  wyraż enie  (2.20)  przyjmie  postać (2.21)  T = T / "i  ]  •   :•   '  . Aby  wyznaczyć  nieznany  współ czynnik  b 1   w  równaniu  (2.21)  podstawiamy  ostatnie  do równania  (2.7). Równanie  (2.7) cał kujemy  nastę pnie  po  zmiennej  y  w  granicach  od 0  do  1. P o  uporzą dkowaniu  otrzymujemy  równanie  róż niczkowe  zwyczajne db,  2  ;  •   2Br (2.22) 4 + B i  1  1  4 + B i  1 Bi  4  JV+ 3  Bi  JV+ 5 Równanie  (2.22)  moż na  ł atwo  cał kować  analitycznie  w  ogólnej  postaci,  a  wię c  dla dowolnych  wartoś ci  parametrów  Bi,  B r i  Ń . P o  scał kowaniu  (2.22)  otrzymuje  się   ... (2.23)  MZ)~ P R Z E P Ł YW  N I E N E WTON OWSKI E J  C I E C Z Y  W  KR ÓTKI E J  R U R Z E  343 g d z i e :  •  •   . . . .  ..• .- ...•.  - .-. • .,.,- .• !• / ,•  • ;... M  -   , 1  4 +   Bi  1  1  4 +   Bi  1 2  Bi  T ~  7 7 + 3 *"~ B i " +  iV+ T Stał ą   cał kowania  w  równaniu  (2.23)  wyznacza  się  z  warunku  spójnoś ci  rozwią zań w  pierwszym  i drugim  obszarze. Warunek  spójnoś ci  (zszycia)  ma w  rozważ anym  przypadku  postać  ;  • :• • • •. 2 B i  .- .• • ..  - = . • :  •   ' • • , r j , , • , . , :' (2.24) 4+ Bi W  (2.24)  Z j  oznacza  wartość  bezwymiarowej,  współ rzę dnej  Z w  rozwią zaniu dla pierwszego  obszaru,  dla  której  ó ( Z 1 ) =  1. :Warunek  (2.24) wynika  z porównania temperatury cieczy na koń cu pierwszego  obszaru i  n a  począ tku  drugiego. U wzglę dniając  (2.24)  w  wyraż eniu  (2.23)  stał a  cał kowania  wyniesie  . \   •   • (2.25)  • .... ^ [ i - ^ e x p c M z , ) , ; :  • • :,:;::';:• • Podstawiają c  .(2.25)  do (2.23)  otrzymamy  zależ ność  okreś lają cą   współ czynnik  funk- cyjny fej ( Z ) .  W dalszvm  cią gu  odstawiamy  wymieniony, współ czynnik b t   ( Z )  do  wyraż enia (2.21)  otrzymują c  w  rezultacie  pole  temperatury  cieczy  w  drugim  obszarze. M a  ono postaćć Ostatecznie  m oż na  powiedzieć,  że pole  temperatury  cieczy  w pierwszym  i  drugim obszarze  wvmiany  ciepł a  opisują   wyraż enia  (2.10)  i  (2.26)  odpowiednio..  D ysponują c powyż szymi  rozwią zaniami  wyznaczamy  liczbę  N usselta charakteryzują cą   proces wymiany ciepł a. Odnoszą c  współ czynnik  przejmowania  ciepł a  cc do róż nicy  temperatur  pomię dzy tem peraturą   ś rednią   cieczy  i  temperaturą   powierzchni  wewnę trznej  rury  liczbę   N usselta wyznaczamy z zależ noś ci (2.27)  .  N u = 2 a ^  2 l d T ^ k  T m \ dy W  wyraż eniu  (2.27)  T m  jest  tem peraturą   ś rednią   cieczy,  którą   należy  wyznaczyć  z zależ- noś ci  .  .  i , ;  j:vT (i- y)dy  '  ; :'  , ; : . ' , (2- 28)  T . - Ł  - •   ,;.,,...;. w /   n\ - y)dy 344 K.  R U P D la  pierwszego  obszaru  wymiany  ciepł a  tem peratura  ś rednia  cieczy  wyznaczona  z  (2.28) wynosi 2(N +3)  SBi  \   ( 1- < 5)N + 5  _ 5BT [  P ~   2(2.29)  T . - l  — JV4- 1  4+ <5Bi Ai_  2A±   l__ ~d 2  <52  N ~+3~ 12 gdzie  ^  i  ^2  okreś lone  są   zależ noś ciami  (2.15). Odpowiednia  tem perarura  ś rednia  w  drugim  obszarze  wvmiany  ciepł a  m a  postać I  B r  f  Bi  Br  | (2.30)  T'"  =  \ ^ MIŃ T W  +  V^ +^ '  M(N +J)  \ W  celu  zobrazowania  przeprowadzonych  rozważ ań  wykon an o  przykł ady  liczbowe.  U zys- kane  wyniki  przedstawiono  w  sposób  graficzny. Wartoś ci param etrów Bi, Br i N   zał oż ono  identyczne w  obu  obszarach  wvmiany  ciepł a. N a  podstawie  zależ noś ci  (2,29)  i  (2.30)  sporzą dzono  zależ ność  graficzną   zm ian  tempera- rury  ś redniej cieczy wzdł uż osi rury.  Z ależ ność powyż szą  przy  pom inię ciu efektów  dysypacji wiskotycznej  przedstawiono  n a rys.  2. M  0 , 8 - 0,05  0,10  0,15  0, 20  0,25 z  ' .   • • • • ' • •' Rys.  2.  Ś rednia  temperatura  cieczy  wzdł uż  osi  przepł ywu  dla:  Bi  =   1,  Br  =   0. W  celu  dokonania  analizy  porównawczej  przytoczon o w  tablicy  2.1  rozwią zanie  ś cisłe otrzymane  w  [7]  dla  nastę pują cych  wartoś ci  param et rów:  Bi  =   2,  Br  =   0 , A r = l  (ciecz newtonowska, brak  faktów  dysypacji  wiskotycznej). Wyniki  liczbowe  zamieszczone w  tablicy  2.1  pozwalają   stwierdzić,  że  rozwią zanie  przybli- ż one  otrzymane  w  pracy  aproksymuje  wystarczają co  dokł adn ie  w  pierwszym  i  drugim obszarze  wymiany  ciepł a  odpowiednie  rozwią zanie  ś cisł e. W  celu  przedstawienia  efektów  dysypacji  wiskotycznej  n a  rozkł ad  tem peratury  ś redniej cieczy  wzdł uż  osi  przepł ywu  wykon an o  rys.  3.  N a  rysun ku  tym  przedstawion o  krzywe dla  nastę pują cych  wartoś ci  param etrów  Bi  =   1, 4;  Br  =   1,2;  N   =  2, 2/ 3 . Wpł yw  param etrów  Bi,  Br  i N   n a  zmiany  liczby  N usselta  wzdł uż  osi  przepł ywu  cieczy przedstawiono  n a  rysunku  4. PRZEPŁYW  NIENEWTONO .VSKIEJ  CIECZY  W  KRÓTKIEJ  RURZE 345 Tablica  1.  Porównanie  wyników  otrzymanych  w  pracy  z  wynikami  rozwią zania  ś cisł ego Lp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bi = Z 0,00008 0,00183 0,00732 0,01721 0,03106 0,03911 0,05500 0,07000 0,10000 = 1,  Br = 0, T  [7] (roz.  ś cisłe) 0,99986 0,99666 0,98690 0,97003 0,94748 0,93479 0,91049 0,88833 0,84589 N=  1 T 0,99985 0,99653 0,98657 0,96940 0,94634 0,93333 0,90825 0,88520 0,84082 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 I  « M"«ťť 1- Br=1,E 2- 3- 4- 5- 6- t 1, 1, 1, 2, 2, !.._ 1- )i=i, 1, 4, 4, 4 4 i  i n=0,5 1,5 0,5 1,5 0,5 1,5 u  11 ~ i  1 1 1 1 1 1 1 1 t  i  i  1 1 1 1 1 0,001  0,01  0,1  Z  1,0 Rys.  3. Oddział ywanie dysypacji wiskotycznej  na zmiany  ś redniej  temperatury cieczy  wzdł uż osi przepł ywu. 4 N u h \ ' - i i  i Br=2. /  2, /r^ Br=1, /  1 I  ! I Bi=4, 4 Bi=1, 1, n=1,5 0,5- n=1,5 0,5 0  0,02  0,04  0,06  0,08  Z  0,1 Rys.  4.  Przebieg  zmian  liczby  N usselta  wzdł uż  kierunku  przepł ywu. 346  K.  R U P 3.  Uwagi  koń cowe Z astosowanie  metody  cał kowej  Karm an a- P ohlhausena do  rozwią zania  postawionego w  pracy  problem u  umoż liwia  uzyskanie  wyników  charakteryzują cych  się   stosun kowo wysokim  stopniem  aproksymacji  rozwią zania  ś cisł ego  w  obu  rozważ anych  obszarach. Z akł adają c  róż ne  wartoś ci  param etrów  Bi,  Br  i  N   okreś lono  ich  wpł yw  n a  pole  tem- peratury  cieczy.  Stwierdzono, że w  przypadku  braku  wewnę trznych  ź ródeł  ciepł a  (Br  =   0) przy  tej  samej  wartoś ci  liczby  Biota  tem peratura  ś rednia  cieczy  pseudoplastycznych («  =   0,5)  jest  wyż sza  od  tem peratury  ś redniej  cieczy  newtonowskich  («  =   1)  i  cieczy dilatantnych  (n =   1,5). P rzeanalizowano  również  oddział ywanie  dysypacji  wiskotycznej  n a  pole  tem peratury cieczy  stwierdzają c  jej  istotny wpł yw  zwł aszcza  n a  zm iany  tem peratury  ś redniej.  Z  rysunku 3  wynika,  że efekt  dysypacji  wiskotycznej  wyraź nie  zmniejsza  oddział ywanie  zm ian współ - czynnika pł ynię cia n n a  przebieg  tem peratury ś redniej  cieczy  zwł aszcza  w  obszarze  Z  x  1. N a  rysunku  4  ł atwo zauważ yć,  że  wartość  liczby  N usselta  zależy  szczególnie  od  zmian liczby  Biota. Warto  zaznaczyć,  że  zależ ność  (2.18)  i  (2.19)  w  przypadku  zał oż enia  Bi  - >•  oo  mogą sł uż yć  do  okreś lenia  pola  tem peratury  cieczy  przepł ywają cej  w  rurze  koł owej  o  stał ej temperaturze  ś cianki.  ~  , «- Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  E. M.  MrrwALLY,  Heat  T ransfer in Plane  Couette Flow with Additional Pressure Gradient  Including Entrance Effects for  a  N on- N ewtonian  Fluid, AIChE  J.,  6,  24,  1978. 2.  Y. P.  SH I H , J.  D .  TSOU , Extended L eveque  Solutions for  Heat  T ransfer  to Power L aw  Fluids  in  L aminar Flow in a  Pipe, Chem.  Eng.  J.,  IS,  1978. 3.  S. M.  RICHARDSON , Extended L eveque  Solutions for  Flows  of  Power  L aw  Fluids  in Pipes and  Channels, I n t.  J.  H eat  Mass  Transfer,  10, 22,1979. 4.  R.  MAHALING AM,  L. O.  TILTON ,  J. M.  COULSON ,  Heat  T ransfer in  L aminar  Flow of N on- N ewtonian Fluids,  Chem.  Eng.  Sci.,  30,1975. 5.  C.  E.  BASSET, J. R. WELTZ ,  N on- N ewtonian  Heat  T ransfer  in the T hermal Entrance Region of Uniformly Heated H orizontal  Pipes,  AICH E  J., 21,1975.  -   - .'.-.  ;  .  :. 6.  A. K. MOHAN TY,  S. B.  ASTHAN A, L aminar flow  in the  entrance region  of  a  smooth pipe, J. F luid  Mech., 3,  90,1979. 7.  J. SCHEN K, Y. M.  D U MORE, Heat  transfer  in  L aminar flow  through  cylindrical tubes,  Appl.  Sci.  Res.,  1, A4  1953. 8.  J. M.  RYZYK,  J. S.  G RADSZTEJN ,  T ablice cał ek, sum, szeregów i  iloczynów, P WN ,  W- wa,  1964. P  e 3  IO  M  e H E H 3OTE P M I TOE C KOE ,  JIĄ M H H APH ÓE  T E ^ E H H E  H E H Ł I OTOH OBC KOH H A  TEPMHTCECKOM   H O ^AJI Ł H O M   y^ AC T K E  TP YBLI . HccneflOBaHHH   BJIH JIH H JI  TeiuioBoro  rp am raH o ro  ycJioBHH   TpeTtero  pofla  Ha  n epeH oc  Terma n p a  BbiHyMyjeHHOH   jiaMH H apnoił   KOHBeKtriiH   B  IKH KIOTOH OBCKOH   WKHflKocTH   Ha  Ha îajibHOM   TennoBOM Kpyrjioft  T pyfei  peinaeTCH   ypaBH emie  3HeprHH   HHTerpajn>HbM   MeioflOM.  HeHtiOTOHOBCKoe cpeflbi  oxapaKiepn30BaH o  creneH H oił   MOflejiŁW.  P acciKaTpireaioTca  oflnopoflH bie  H   n o jm o c r t io P R Z E P Ł YW  N I E N E WTON OWSKI E J  C I E C Z Y  W  K R ÓTK I E J  R U R Z E  347 pa3BH T We  n pOlbH JI H   CKOpOCTH.  CBOH CTBa  }KHflKOCTH   CMHTaWTCH   nOCTOHHHHMH.  YiH T H BaeT C JI  3(j)CJ)eKT BM flejieH H H   T e n n a  3 a  CTST  B H 3 K O H   fluccmiaijH H .  C fle n a H   B B I B O H ,  I T O  t m c ji o  E H O 3  *I H C J I O  BpH H KiwaH a u  KO3(bcbHn,HeHT  „n"  M o ryT  0K a 3t iBa T b  BjiH H H H e  H a  n o K a jibH o e  M H C JI O  H yc c e ji t T a .  C paBH eH H e  n o n y - • qeH H tix  pe3yjiBTaTOB  c  H m eio m H M H ca  pemeH H H iviH   fljw  H B M T O H O B C K H X  >KHflK0CTeń  n o K a 3 a n o  x o p o i n e e cooTBeTC TBH e  M ewfly  H H M H . S u m m a r y LAM IN AR  F LOW  OF  A  N ON - N EWTON IAN  F LU I D   I N  TH E TH ERM AL  EN TRAN CE  REG ION OF  A  SMOOTH   PIPE To  investigate  the  influence  of the  temperature  boundary  condition of the  third  kind  on  the  laminar heat  transfer  of a  pipe,  the  energy  equation  is solved  by applying  the  momentum  integral  method.  The power- law model characterises  the  non- N ewtonian  behavior.  U niform  and fully  developed  velocity  profiles are  considered.  Constant fluid  properties  are  assumed.  The effect  of heat generation  by viscous  dissipation is  included.  It is  concluded  that  there  can  be a  significant  influence  of Biot  number,  Brinkman  number and flow  index  non mean temperature and local N usselt number. The results  are compared with the available solutions  for  N ewtonian  fluid  an excellent  agreement  has been  found. P O L I T E C H N I K A  KRAKOWSKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  10  kwietnia  1980  roku.