Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  19 (1981) AN ALIZA  N IESTAN D ARD OWA  W  M EC H AN I C E  N EWTON OWSKIEJ P U N KTU   M ATERIALN EG O CZESŁAW  W O Ź N I AK  (WARSZAWA) Spis  treś ci Wstę p 1.  Co  to jest  analiza  niestandardowa? 1.1.  Systemy  relacyjne 1.2.  Modele  niestandardowe 1.3.  Liczby  rzeczywiste  w  analizie  niestandardowej 1.4.  Przestrzenie  metryczne  w  analizie  niestandardowej 2.  N iestandardowy  model  mechaniki  N ewtona 2.1.  Analiza  niestandardowa  a  mechanika 2.2.  Podstawowe  relacje  mechaniki  N ewtona 2.3.  N iestandardowa  interpretacja  czasoprzestrzeni  G alileusza 2.4.  N iestandardowa  interpretacja  równań  N ewtona 3.  N iestandardowe  podejś cie  do  poję cia  wię zów 3.1.  Standardowe  reprezentacje  funkcji  wewnę trznych 3.2.  N iestandardowe  podejś cie  do  wię zów  zewnę trznych 3.3.  N iestandardowe  podejś cie  do  wię zów  wewnę trznych 3.4.  Uwagi  i  wnioski Literatura  cytowana Wstę p Mechanika  newtonowska  punktów  materialnych,  podobnie  jak  i  inne  dział y  fizyki teoretycznej, jest teorią   opisują cą   pewną   klasę   zjawisk fizycznych  przy pomocy  odpowied- nich  modeli  matematycznych.  Modele  te  formuł owane  są   z  reguł y  w  ramach  aparatu poję ciowego  analizy  matematycznej.  Tym  samym  wszystkie  wartoś ci  dowolnej  funkcji liczbowej  (wystę pują cej  w  znanych  w  mechanice  modelach  zjawisk)  są   wielkoś ciami „tego samego  rzę du" tj. należą   do tzw.  archimedesowych  systemów  wielkoś ci.  Oznacza to, że dla każ dych  dwóch  dodatnich skalarowych  wielkoś ci  fizycznych  a, b, które są   porówny- walne  (tj. a  =  b lub  a  <  b lub  a  >  b), istnieje  zawsze liczba  naturalna n taka, że na >  b. Tworzenie  matematycznych  modeli zjawisk  uwzglę dniają cych  wielkoś ci  „róż nych rzę dów" wymaga  zastosowania  bardziej  ogólnego  aparatu  analitycznego,  dysponują cego  niearchi- medesowymi  systemami  wielkoś ci.  Systemy  takie  spotykamy  w  tzw.  analizie  niestandar- 356  C z.  WOŹ N IAK dowej,  w  której  prócz  liczb  rzeczywistych  „ stan dardowych "  mamy  także  do  czynienia z  liczbami  „ nieskoń czenie  m ał ym i" i „ nieskoń czenie  wielkim i"  co  do  wartoś ci  bezwzglę d- nej. Począ tek  rozwoju  analizy  niestandardowej  przypada  n a  rok  1961,  w  którym  został a ogł oszona  praca  A.  ROBIN SON A  [1].  Wprawdzie  istnienie  niearchim edesowych  systemów wielkoś ci  był o  znane już  wcześ niej,  niemniej  dopiero  w  [1]  wykazan o,  że  mogą   być  on e konstruowane  przy  pomocy  pewnych  procedur  prowadzą cych  do  rozszerzenia  poję cia liczby  rzeczywistej.  Peł ny  wykł ad  podstaw  analizy  n iestan dardowej  zawiera  m on ografia A.  ROBIN SON A [2]  z  roku  1966  (por.  także  opracowanie  M .  M ACH OVERA  i  J.  H I R SC H F E L- D A  [3] oraz monografię   M .  D AVIESA  [4]). Warto  n adm ien ić, że  A.  R obin son , bę dą cy  twórcą niestandardowej  analizy,  był  też  współ autorem  (wraz  z  P. J.  Kelemenem ) pierwszej  pracy poś wię conej  zastosowaniu  metod  analizy  niestandardowej  w  fizyce  teoretyczn ej,  [5]. Przeglą d  prac  A.  Robinsona  na  tem at  niestandardowej  analizy  zawiera  drugi  tom  opra- cowania  [6]. Szereg  prac  dotyczą cych  róż nych  zagadnień  an alizy  n iestan dardowej  oraz  jej zastosowań  moż na  znaleźć  w  opracowaniach  pokonferencyjnych  [8,  9]. Korzystanie  z  wielkoś ci  „ nieskoń czenie  m ał ych "  lub  „ n ieskoń czen ie  d u ż ych"  w  m e- chanice  N ewtona  pun ktu  materialnego  jest  fizycznie  um otywowan e;  przykł adowo  sko- kowa  zmiana  prę dkoś ci  pun ktu  materialnego  prowadzi  do  n ieskoń czon ej  wartoś ci  przys- pieszenia, zderzeniom pun któw  materialnych towarzyszą   n ieskoń czone  wartoś ci  sił  a  skoń - czone  zmiany  pę du,  krę tu  lub  energii  mogą   zachodzić  w  nieskoń czenie  mał ych  przedzia- ł ach  czasu.  Wprowadzenie  do  mechaniki  niearchimedesowych  systemów  wielkoś ci,  ty- powych  dla  analizy  niestandardowej,  umoż liwia  n adan ie  wielkoś ciom  n ieskoń czon ym charakteru  iloś ciowego  (tj.  traktowan ie  ich  tak  samo  jak  liczb  skoń czon ych)  i  gł ę bsze wniknię cie  w  strukturę   wymienionych  powyż ej  sytuacji  fizycznych. Zasadniczym  celem  pracy  jest  sformuł owanie  podstaw  i  opis  n iektórych  zagadn ień mechaniki N ewtona  (mechaniki skoń czonych  ukł adów pun któw  m aterialn ych) przy  uż yciu analizy  niestandardowej  jako  aparatu  matematycznego  teorii.  W  ram ach  takiego  sfor- muł owania  moż emy  tworzyć  nowe  modele  matematyczne  zjawisk,  które  opisuje  i  bada mechanika.  Są   to  modele  nie  mają ce  znanych  odpowiedn ików  w  dotychczasowym  sformu- ł owaniu  mechaniki  N ewtona.  W  szczególnoś ci,  jako  przypadek  równ ań  m echan iki  skoń- czonych  lecz  „niestandardowych'- '  ukł adów  pun któw  m aterialn ych  otrzym am y  zn an e równania  mechaniki  kon tin uum .  Tym  samym  an aliza  n iestan dardowa  jest  pom ostem mię dzy  mechaniką   „ dyskretn ą "  a  mechaniką   kon tin uum  m aterialn ego.  Z astosowan ia analizy  niestandardowej  w mechanice przedstawione  w  pracy  mają   wię c dwojaki  ch arakt er; z  jednej  strony  prowadzą   do  pewnych  „ stan dardowych "  sformuł owań  (analiza  n iestan - dardowa  jest  wtedy  stosowana  jako  m etoda), z  drugiej  strony  otrzymujemy  relacje,  które mogą   być  wyraż one  wył ą cznie  przy  wykorzystaniu  poję ć  n iestan dardowych  (n p.  relacja mię dzy  tensorem  naprę ż enia  a  oddział ywaniami  pun któw  m aterialn ych). Przedstawione  poniż ej  opracowanie  skł ada  się   z  trzech  rozdział ów.  R ozdział pierwszy  to  wprowadzenie  do  analizy  n iestan dardowej,  korzystają ce  z  cytowanych  ju ż monografii  [2, 4]  oraz  pierwszych  ustę pów  opracowan ia  W.  A.  J.  LU XEM BU RG A  [7]. D rugi  rozdział   podaje  podstawy  m echaniki  N ewton a  jako  fragmenty  pewnego  systemu relacyjnego  i  omawia  niestandardowe  rozszerzenie  tego  systemu.  P rowadzi  to  do  n iestan - 358  C z .  WO Ź N I AK n p. zbiory  utworzone z elementów indywiduowych  i zbiorów  tych elementów. D la  każ dego reT ir  Ą=0,  zbiór  BT nie  musi  zawierać  wszystkich  relacji  typu  T ;  W  szczególnoś ci  może być  zbiorem  pustym.  System  relacyjny  zawierają cy  wszystkie  relacje  wszystkich  typów nazwiemy  zupeł nym; w  systemie  takim  dla  każ dego  r  -   ( T ,  , ...,  T„ )  m am y  B T i   x  ... -   x £ 7 „ e J ? ( T i  T j|) ,  n>  1. N iech  9Jt =   C 8t)Ter  bę dzie  danym  (niezupeł nym) systemem  relacyjnym  oraz  niech (A T )reT   bę dzie  zupeł nym systemem  relacyjnym  takim ,  że  A o   =   B o .  Relacje  należ ą ce  d o A T \ B t ,  x  e  T , nazwiemy  wtedy  zewnę trznymi  (wzglę dem  W )  a  relacje  należ ą ce  do  B r   — relacjami  wewnę trznymi  (wzglę dem  9JZ). Z biór  wszystkich  relacji  wewnę trznych  wszyst- kich  typów  oznaczymy  przez  M.  Z  definicji  A 0 \ B 0   =   0    b  (liczba  n,  wystę pują ca  w  definicji  archimedesowego  systemu  wielkoś ci, por.  Wstę p,  jest  skoń czoną   liczbą   naturalną ). W  powyż szych  rozważ aniach  pojawiają   się   w  sposób  naturalny  takie  podzbiory  zbio- ru  *R jak  fi(a),  *R\ R,  R,  *N \ N ,  N .  Jako  zbiory  elementów  indywidualnych  (relacji typu  0)  są   to  wię c  relacje  typu  (0). Zachodzi pytanie, czy  relacje  te należą   do  *M, tj. czy są   relacjami  wewnę trznymi.  Celem  wykazania,  że  relacja  *N \ N   jest  zewnę trzna  (tj.  że zbiór  nieskoń czonych  liczb  naturalnych  nie  należy  do  *B m )  weź my  pod  uwagę   zdanie „ każ dy  nie pusty  podzbiór zbioru liczb  naturalnych zawiera  element najmniejszy".  Zdanie to, jako  prawdziwe  w  systemie  relacyjnym  S01 (dla  B o   = R) jest  także  prawdziwe  w jego rozszerzeniu  *S0l  (gdzie  *B O   — *R).  Z  drugiej  jednakże  strony  nie  istnieje  najmniejsza nieskoń czona liczba  naturalna (gdyby  n był o taką  liczbą , to n — 1 był oby liczbą   skoń czoną, co nie jest prawdą ). Tym  samym  zbiór  *N \ N   jest relacją   zewnę trzną. Podobnie zewnę trz- nymi  są   wszystkie  powyż ej  wymienione  podzbiory  zbioru  *R, D owody  powyż szych  twierdzeń  wraz  z  dokł adnym omówieniem wprowadzonych  poję ć a  także  niestandardowe  uję cie  rachunku  róż niczkowego  i  cał kowego  jest  tematem trze- ciego  rozdział u  monografii  Robinsona  [2]. AN AL I Z A  N I E STAN D AR D OWA  361 1.4.  Przestrzenie metryczne  w analizie  niestandardowej.  P rzestrzenią  metryczną  nazywamy parę  (T , Q)  gdzie  T  jest  pewną  przestrzen ią  pun ktową  a g :  T xT - *  R jest  funkcją,  która każ dej  parze  p u n kt ó w  x,  yeT   przyporzą dkowuje  nieujemną  liczbę  Q{x,y)  (odległ ość pun któw  x,y),  przy  czym  dla  dowolnych  x,  y,  zeT   m am y:  1°  Q(X,)>)  =   g(y,  x),  2° Q(X,  y)  ~  0  tylko  gdy  x  =  y,  3°  Q(x,y)  + Q(y, z)  >  Q(X S  Z).  Celem  zastosowania  analizy n iestan dardowej  do  teorii przestrzen i  metrycznych  wprowadzimy  zupeł ny  system  relacyjny 9J£  =   (B r ) reT   w  kt ó rym  5"c  B o   i  R  <=  B o ,  t j.  w  którym  przestrzeń  T  i zbiór  R  są  relacjami typu  (0).  Relacje  te  są  stan dardowym i  relacjam i  w  rozszerzeniu  *S0l  =   (*- Br)t6r  sys- t em u flK. Tym  sam ym  *T <= *B 0 ,  *R <=  *B 0 ,  gdzie  wł asnoś ci zbioru  *R liczb  rzeczywistych został y  om ówion e  w  po przedn im rozdziale.  Z biór  standardowych  pun któw  przestrzeni *T oznaczym y  przez  T .  M on adą  dowoln ego  p u n kt u  x  e*T   nazwiemy  zbiór  fi(x)  punktów  y takich ,  że  g(x,y)  jest  liczbą  infinitezymalną.  G alaktyką  dowolnego  pun ktu  x e * T  naz- wiemy  zbiór  G(x)  p u n kt ó w  y,  takich ,  że  Q(X, y)  jest  liczbą  skoń czoną;  wszystkie  pun kty stan dardowe  należą  oczywiś cie  do  jedn ej  galaktyki,  którą  nazywamy  gł ówną. Topologię  w  przestrzen i  *T t   której  bazą  jest  zbiór  wszystkich  kul  B(x,r);  = =   {y\ g(x,  y)  <  / '},  xe*T ,  re*R+,  nazywamy  g- topologią.  W  przestrzeni  *T   wprowa- dzim y  także  topologię,  której  bazą  bę dzie  zbiór  tzw.  S- kul,  S(x,  r)  : =   {y\ °Q(x,y)  <  r}, x  e  *T ,  r  e  R+,  o  stan dardowych  prom ien iach  r  (symbol  °Q(x,y)  oznacza  czę ść  standar- dową  skoń czonej  odległ oś ci  Q(X,  y)  dowolnego  pu n kt u y  kuli  od jej  ś rodka  x);  wprowadzo- ną  topologię  nazywam y  »S- topologią  (stan dardową  topologią ).  Topologia  ta  odgrywa waż ną  rolę  w  zastosowan iach  an alizy  n iestan dardowej  w  mechanice. Korzystając  z  5- to- pologii,  dla  dowoln ego  (wewn ę trzn ego  lub  zewnę trznego)  podzbioru  D,  Dc  *T ,  wpro- wadzimy  poję cia  jego  S- wnę trza,  .S- domknię cia  oraz  5- brzegu.  D la  zbiorów  wewnę trznych m oż na  wykazać,  że  zbiory:  S- intD  : =   {X\ / J,(X) C  D],  .S- CIOSJD   : =   {x\ / Ą x)  n  D  j=    n 0 ; w  powyż szej  definicji  e,  n 0   są  liczbam i  stan dardowym i.  Ł atwo  zauważ yć,  że  gdy  x  jest F - granicą  cią gu  (x„)  t o  każ dy  p u n kt  należ ą cy  d o  m on ady  [i(x)  jest  także  F- granicą  tego cią gu.  W  czwartym  rozdziale  tej  pracy  bę dziemy  korzystać  z  nastę pują cego  twierdzenia: eż eli  x  jest  F - granicą  cią gu  wewnę trznego  (x„ )„ E*N  w  *T ,  to  istnieje  nieskoń czona  liczba n aturaln a  X,  X e  *N \ N   t aka,  że  odległ ość  Q(X, X„ ) jest  infinitezymalną  dla  wszystkich n ieskoń czon ych  m  speł niają cych  warun ek  m  <  X.  Tym  samym  każ dy  pu n kt  x m   gdzie m  <  X  i  m  e  *N \ N   jest  F - granicą  cią gu  wewnę trznego  (x„ )„ e»N . N iech  D  bę dzie  dowoln ym  podzbiorem  w  gł ównej  galaktyce  przestrzeni  *T ;  symbolem °D  oznaczymy  wtedy  podzbiór  *T zawarty  w  T   (tj. zł oż ony  wył ą cznie z  pun któw  standar- dowych)  zdefiniowany  przez  °D  :=  {x\ x  e  T A/ J,(X)HD  ^  0}.  N iech  n a st ę p n ie/: D  - +   *R bę dzie  funkcją  o  dziedzin ie  D,  przyjmują cą  jedyn ie  wartoś ci  skoń czone  i  taką,  że  dla  każ- dego  x  e D  m am y/ ( ) * (x) n  D)  <=  ̂   (f(x)).  Tym  samym  dla każ dego  x  e D  istnieje  dokł adnie jeden  p u n kt °x  e °D  oraz  dla  każ dego f(x),  x  e D,  istnieje  dokł adn ie jedn a  liczba  standar- dowa  y,yeR,  dan a przez y  =   °f(x)  (tj. bę dą ca czę ś cią  stan dardową liczby / ( *) )  i taka sama dla  wszystkich  x  e/ j,(°x)nD.  Przyjmując  °y  s  °f(°x)  dla  każ dego  °x  e°D,  zdefiniujemy 362  Cz,  WOŹ N IAK funkcję   °f:  °D  - *•   R.  F unkcję   tę   nazywamy  czę ś cią   stan dardową   funkcji  / :  D  - > *i?, M oż na  wykazać,  że  gdy  funkcja  / :  D  - »  *R jest  zdefiniowana  i  S- cią gla  (tj.  cią gła  w S- topologii)  na  wewnę trznym  zbiorze  D,  to jej  czę ść  stan dardowa  °f  jest  jedn ostajn ie  cią - gł a n a  °D.  G dy  D jest zbiorem  wewnę trznym  w  *T  to  °D  jest  zbiorem  dom kn ię tym w  T . Szersze  omówienie  wprowadzonych  tu  poję ć  oraz  dowody  powyż szych  twierdzeń moż na  znaleźć  w  czwartym  rozdziale  monografii  A.  ROBIN SON A  [2]. 2.  Niestandardowy  model mechaniki  Newtona. 2.1. Analiza  niestandardowa a  mechanika.  Analiza  n iestan dardowa  w  m atem atyce  znajduje zastosowanie  jako  metoda  dowodzenia  „ stan dardowych "  twierdzeń ;  celem  wykazan ia prawdziwoś ci  pewnego  zdania  w  systemie  relacyjnym  9)1 =   (B T ) reT   wystarczy  wykazać jego  prawdziwość  w  systemie  rozszerzonym  *93t  =   ( *.8r) T er  co  zwykle  zdecydowan ie upraszcza  dowód.  N iezależ nie  od  znaczenia  analizy  n iestan dardowej  ja ko  m etody  dowo- dzenia  „ stan dardowych"  twierdzeń,  przedm iotem  badań  mogą   być  rozszerzon e  syste- my  *9K.  Traktują c  mechanikę   N ewtona jako  pewien  fragment  m atem atyki  sformuł ujmy ją   w  postaci  zbioru  zdań  prawdziwych  w  pewnym  zupeł n ym  systemie  relacyjnym  W   = =   {B X ) ZS T -   Tym  samym  relacje  mechaniki  N ewtona  zan urzym y  w  zbiorze  M  relacji  sys- temu  9Jt.  Poję cia  pierwotne  mechaniki  bę dą   odgrywać  rolę   elementów  indywiduowych (relacji  typu  zero)  a  prawa  i twierdzenia  mechaniki bę dą   zdan iam i prawdziwymi  w  syste- mie  relacyjnym  9JI.  Wprowadzają c  nastę pnie  rozszerzenie  *SR  =   (*2?r) r er  systemu  W bę dziemy  rozpatrywać  mechanikę   w  ram ach  analizy  n iestan dardowej  w  podobn y  sposób, jak  w  poprzednim  rozdziale  w  ram ach  analizy  n iestan dardowej  był y  badan e  n iektóre elementy  teorii  przestrzeni  metrycznych.  Wszystkie  prawa  i  twierdzenia  m echan iki  nic zmieniają   przy tym swej postaci bę dąc zdaniam i prawdziwymi  w systemie  rozszerzonym  *9Jt. M ówią c  poglą dowo,  procedura  taka  nie  zmienia  treś ci  samej  m echan iki  lecz  wyraża  tą treść przy pomocy bardziej  bogatego  aparatu an alityczn ego. N awią zując  do uwag  przedsta- wionych  we  wstę pie  ł atwo  zauważ yć,  że  zastosowanie  analizy  n iestan dardowej  pozwoli na  jednoczesne  rozpatrywanie  w  mechanice  wielkoś ci  „ róż n ego  r zę d u"  (skoń czon ych i  nieskoń czonych); konsekwencją   tego  bę dzie,  mię dzy  innym i, nowa  in terpretacja  wię zów w  mechanice  N ewtona  oraz  moż liwość  otrzym ania  „ st an dardowych "  równ ań  m echan iki kon tin uum jako  przypadku  szczególnego  mechaniki skoń czon ych  (lecz  niestandai- dowych) ukł adów  pun któw  materialnych. P rzydatność  mechaniki do  opisu  pewnych  zjawisk  przyrody  rozstrzyga  doś wiadczenie. Tym  samym  wartoś ciom  liczbowym  uzyskanym  z  teorii  win n y  odpowiadać  zbliż one  do nich  wartoś ci  liczbowe  uzyskane  w  rezultacie  pom iarów  badan ego  zjawiska.  P onieważ wartoś ci  pomiarowe  są   liczbami  wymiernymi  „ st an dardowym i", przeto  tylko  liczby  stan- dardowe,  uzyskane  z  teorii korzystają cej  z  aparatu  n iestan dardowej  analizy,  mogą   sł uż yć za  podstawę   weryfikowania  przydatnoś ci  teorii  do  opisu  badan ego  zjawiska.  N ie  oznacza to  jedn ak,  że  wielkoś ci  niestandardowe,  wystę pują ce  w  n iestan dardowym  m odelu  me- chaniki  N ewtona, nie  mają   jasnej  interpretacji  fizycznej.  Jak  wykaż emy  w  dalszych  roz- waż aniach,  zastosowanie  aparatu  analizy  niestandardowej  umoż liwia  gł ę bszy  i  peł niejszy AN AL I Z A  N I E STAN D AR D OWA  363 opis  analityczny  pewnej  klasy  zjawisk  fizycznych,  dostarczają c  nowych  modeli matema- tycznych  tych  zjawisk.4' 2.2.  Podstawowe  relacje  mechaniki Newtona.  M echnikę   N ewtona  punktu  materialnego  bę - dziemy  rozpatrywać  najpierw  w  ram ach  pewnego  zupeł nego  systemu  relacyjnego  S0t = =   (A r ) xs r-   Przyjmiemy  w  tym  celu,  że  zbiór  A o   elementów  indywiduowych  zawiera  jako podzbiory  nastę pują ce  przestrzenie  nieskoń czenie  elementowe: 1°  czterowymiarową   rozmaitość  róż niczkową   E,  bę dą cą   przestrzenią   zdarzeń  p, peE, 2°  czterowymiarową   przestrzeń  wektorową   V,  bę dą cą   przestrzenią   translacji  czaso- przestrzennych  v,  v  eV, 3°  przestrzeń  Ji,  której  elementy  nazwiemy  punktam i  materialnymi  P,  P e  Jt, 4°  trójwymiarową   przestrzeń  wektorową   F,  której  elementy  nazwiemy  sił ami  / , feF, 5°  zbiór  liczb  rzeczywistych  R. Wymienione  powyż ej  elementy indywiduowe  p, v,  P, f  systemu  501 interpretujemy  jako poję cia  pierwotne  m ech an iki;  ich  zbiory  E,  V, Ji,  F  oraz  zbiór  R  są   relacjami  typu (0), tj.  E, V, J4,F,RE  A m ,  • Zgodnie  ze  znanymi  aksjom atam i  odnoś nie  czasu  i  przestrzeni  w  mechanice N ewtona (por.  n p.  [11])  wprowadzimy  jako  relację   typu  (0) podzbiór  S,  Sc  V, który  interpretu- jemy  jako  trójwymiarową   przestrzeń  wektorową   translacji  czystoprzestrzennych.  P onadto wprowadzimy  relację   typu  (0, 0,  0),  daną   funkcją   g:  ExV  - *  E  przyjmują c,  że  V  dział a w  E  jako  abelowa  grupa  translacji,  tranzytywnie  i  swobodnie.  Podzbiory  E p   m  {p}  + S w  E  interpretujemy,  dla  dowolnego  p  e E,  jako  przestrzenie  zdarzeń  równoczesnych  ze zdarzeniem  p  (przestrzenie  zdarzeń  równoczesnych).  Wektory  należ ą ce  do  V\ S  nazy- wamy  wektorami  czasowymi. W  mechanice N ewton a moż emy posł ugiwać  się   róż nymi ukł adami jednostek  fizycznych przy  pomocy  których  wyraż amy  dł ugoś ci  przedział ów  czasowych,  odległ oś ci  czystoprze- strzenne,  wielkoś ci  sił   oraz  masy  pun któw  materialnych.  W  zwią zku  z  tym  wyróż nimy nastę pują ce  zbiory  relacji: 1°  Z biór  T  e  A( (OtO )),  gdzie  elementami zbioru  T są   formy  liniowe  T : K~> R, speł nia- ją ce  warunek  K e r r  =   5* (tj.  r{u)  — 0  dla  każ dego  x e  T o r a z  u e S)  przy  czym  dla  każ dej pary  r 1}   r 2 eT   istnieje  © e  R,  0  #   0,  takie, że  x x   — 0z 2 .  Z biór T  nazwiemy przestrzenią form  czasowych  a  r(p  — q)  nazwiemy  odległ oś cią   zdarzeń  p,  q e E  w  formie  czasowej  T, XBT . 2°  Z biór H  e  / 4((O,o,o))> gdzie elementami zbioru  H  są   iloczyny  skalarowe  h:  SxS  - *•   R, przy  czym  dla  każ dej  pary  h x ,  h 2   e  H  istnieje  s  e R+  takie,  że  h t   — s 2 h 2 S) .  D owolny element  h,  he  H,  nadaje  przestrzeniom  zdarzeń  równoczesnych  E p   strukturę   przestrzeni *'  Zauważ my  takż e, że ograniczenie  wielkoś ci  stosowanych  w  teorii  fizycznej  do wielkoś ci  „ pomia- rowych",  które są  liczbami wymiernymi,  oznaczał oby rezygnację   nie tylko z aparatu analizy niestandardo- wej  lecz  także  z  klasycznego  rachunku  róż niczkowego. 5 )  Z miana  iloczynu  skalarowego  h\  - > h 2   nie  zmienia  ką tów  mię dzy  dowolnymi  wektorami  u, W GS  lecz  jedynie  ich dł ugoś ć: lh(u,  W )  h 2 {u,  w) u, u)hi(w,  w)  ~\ / h 2 (ii,  u)h 2 (w,  w) hi{u,  u)  - >  h 2 (u,  n). 364  C z.  WOŹ N IAK metrycznych  (E P ,Q);  liczbę   q(x,y)  =  \ / h(x- y,x- y),  x,ysE p ,  nazwiemy  odległ oś cią zdarzeń równoczesnych x, y e E p w  metryce okreś lonej  iloczynem skalarowym  h, h e H. 3°  Zbiór eA w ,o,o- »,  gdzie elementami zbioru 0  są  iloczyny  skalarowe  95: Fx  F- *  R, przy  czym  dla każ dej  pary  q> t , 

{f,f)  w zależ noś ci  od wyboru  funkcji  9?,  9? e 0. 4°  Zbiór  Af e ^ a o , 0 ) ) , gdzie  elementami zbioru  M  są   odwzorowania  m: Jt  -> R + , przy  czym  dla  każ dej  pary  m L  ,m 2 eM  oraz  każ dej  pary  P, QeJt  mamy  m 1   (P)/ / m y {Q)  -   m 2 (P)/ m 2 (Q).  Liczbę   m(P) nazywamy  masą   pun ktu  materialnego  dla przyję tej  miary  m, m e M.  D la  każ dej  pary  m 1 ,m 2   e M  istnieje  / j, > 0  takie,  że m^ = =   ł *>m 2 . U kł ad  elementów  indywiduowych  e t  e S,  a t  e F,  e 0  e V\ S,  P o  e Jt  taki,  że  dla przyję tych  ( T , h,  t)=f k (: 6)  Wskaź niki  (', j , k  przebiegają   tu i  dalej  cią g  I , 2,  3. 7>  Zał oż ymy  takż e,  że dla każ dego  naturalnego  n istnieją   ciał a  jj- elementowe,  3S  — {P ly   ..., / >„}, oraz,  że  podzbiory  81 należ ą ce  do  uniwersum  materialnego  °ll są   rozł ą czne  (por. także  uwagę  po wzorze).8'  Tu i  dalej  oznaczamy:  r s  (r 1, r2, r 3 ) ,  r =   (f1, P,  P),  Q = (r u  r 2 ) s  ^ P T i  zakł adamy  r{P, t) #   r(Q,  t)  dla każ dego  P #  g,  teI. ^ - r 2 ,  r t - AN AL I Z A  N I E STAN D AR D OWA  365 A  V  V w  k t ó r ym / p ( - )  oraz  f PQ (  • ) = . / Q P ( - )  są   zn an ym i  dla  każ dego  ciał a  SS i  dostatecznie regularn ym i  funkcjam i.  Jedn ocześ n ie  zakł adam y, że  dla  dowolnych  P,Qe&  istnieje  cią g. pu n kt ów  P o   =  P,Pi,  ...,P k   =  Q  należ ą cych  do  @  i  taki,  że  / p , p ( ł l ( - )  &  0  dla  i  = =  0,  1,  . . . , / c - l.  Tym  sam ym  dla  każ dych  ^ ^ J j E * , ^  Ą=  @2,  mamy  Ś Blr\ Ś 82  =  0. Wartość  funkcji  fp(t,  - )a k   jest  wypadkową   sił   zewnę trznych  dział ają cych  n a  pun kt  P w  chwili  t,  wartość  funkcji  f PQ (- )  jest  wielkoś cią   oddział ywania  pun ktu  Q  na  pun kt  P w  ciele  S3. R ówn an ia  (2.2)  i  (2.3)  przedstawiają   relacje,  należ ą ce  do  systemu  W ,  bę dą ce  ograni- czeniam i  n arzucon ym i  n a  ruch  i  rozkł ad  sił  dla  dowolnego  ciał a  !%  e "U;  po  wyrugowaniu funkcji  fk(P,  t)  otrzym am y  równ an ia  N ewton a  tego  ciał a.  W  powyż szym  sformuł owaniu podstaw  m ech an iki  N ewt o n a  (w  którym  obowią zują   zależ noś ci  (2.3))  mamy wię c do  czy- n ien ia  wył ą cznie  z  ciał am i  swobodn ym i.  U n iwersum  m aterialn e  °U jest  zbiorem  ciał   swo- bodn ych .  M ech an ikę   N ewton a  tych  ciał   bę dziemy  n atom iast  traktować  jako  zbiór  zdań pewnego  ję zyka  form aln ego  L ,  prawdziwych  w  systemie  relacyjnym  50t  =   (A Z ) T ET . 2.3.  Niestandardowa  interpretacja  czasoprzestrzeni  Galileusza.  N iech  teraz  system  relacyjny *S0t  =   (?A r ) reT   bę dzie  rozszerzeniem  systemu  relacyjnego  501 =   (A r ) xeT ,  zawierają cego relacje  m echan iki N ewton a  dla  swobodn ych  skoń czon ych  ukł adów pun któw  materialnych. Tym  samym  zbiór  elem en tów  indywiduowych  *A 0   zawiera  w  sobie  przestrzeń  zdarzeń  *E, przestrzeń  translacji  czasoprzestrzen n ych  *V,  przestrzeń  m aterialną   *Jt,  przestrzeń  sił *F  oraz  zbiór  liczb  rzeczywistych  *R.  Wszystkie  relacje  wymienione  w  poprzednim  pod- rozdziale  są   relacjami  stan dardowym i  systemu  *9Jl  i  bę dą   oznaczane  tymi  samymi  sym- bolam i  co  poprzedn io,  poprzedzon ym i  gwiazdką . N iestan dardowa  in terpretacja  czasoprzestrzen i  G alileusza  wykorzystuje  relacje  *E,. *V,  g,  *T,  *H, *R, gdzie  odwzorowan ia  g;  *Ex  *V  - *  *E oraz  %: *V  - *  *R, h;  *Vx *V^ >*JR, T e  *T ,  li 6  *H,  mają   t e  sam e  wł asnoś ci  co  poprzedn io.  P rzestrzeń  wektorową   translacji czysto  przestrzen n ych  *S  m oż emy  zdefiniować  ja ko  *S  :  =   {u\ t{u) =   0}.  Ponieważ  dla każ dej  pary  form  czasowych  r x ,  r 2   e  *T  istnieje  a  e  *R,  « ^ 0 ,  takie, że  r t   =   a r 2 ,  przeto definicja  przestrzen i  *S  n ie  zależy  od  wyboru  formy  r.  W  zbiorze  zdarzeń  *E  wyróż nimy podzbiór  zdarzeń  stan dardowych  E,  Ecz  *E, podobn ie  w  przestrzeni  translacji  *V  wyróż- nim y  zbiór  translacji  stan dardowych  V,  V<=•   *V. Jeż eli  v  jest  translacją   stan dardową ,  t j. v  e  V, t o  każ dą   translację   '»  =   lv,  gdzie  A jest dowolną   liczbą   in fin itezym aln ą ,  2.e/ j,(0),  nazwiemy  translacją   infinitezymalną .  Z biór wszystkich  translacji  in fin itezym aln ych  oznaczym y  przez  ix v {0);  tworzą   one  podgrupę translacji  zbioru  zdarzeń  *E.  Tym  samym  każ demu  zdarzen iu  x  e*E  moż emy  przypo- rzą dkować  m on adę   tego  zdarzen ia  / *E(X),  kł adą c  fi E (x)  :  =   {y\ y  =   x + 'v,  'vefi v (0)}. D owolną   translację   postaci  v  -   v Q   + 'v,  gdzie  v 0   e  V,  'v  e ^ ( 0 ) ,  nazwiemy  skoń czoną, oznaczają c  przez  G v {0)  zbiór  tych  tran slacji.  N iech  x  ~  y  wtedy  i  tylko  wtedy  gdy x—y  s  G v (0).  Relacja  ~  jest  w  *E  relacją   równ oważ n oś ci  i  dzieli  przestrzeń  zdarzeń  *E n a  rozł ą czne podzbiory  G E (x),  kt ó re  nazwiemy  galaktykam i  zdarzeń .  G alaktykę   zdarzeń do  której  należą   wszystkie  zdarzen ia  stan dardowe  nazwiemy  galaktyką   gł ówną . Z biór  / n s (0)  =   (t v (0)n*S  nazwiem y  zbiorem  przestrzennych  translacji  infinitezymal- nych,  n atom iast  zbiór  G s (0)  ea G r (0)n*S  nazwiemy  zbiorem  przestrzennych  translacji skoń czon ych.  Z ach odzi  / i s (0)c  G s (0),  przy  czym  każ dą   przestrzenną   translację ,  która 366  C z.  WOŹ N IAK nie jest  skoń czona  nazwiemy  nieskoń czoną.  N iech  x,  y  e  *E.  N iech  X  ~  y  wtedy  i  tylko wtedy  gdy  x- ye/ j, s (0).  Relacja  ~  jest  relacją  równoważ noś ci  i  dzieli  zbiór  zdarzeń  *E na  rozł ą czne  podzbiory,  które  nazwiemy  przestrzennymi  m on adam i.  Z darzen ia  należ ą ce do  tej  samej  przestrzennej  monady  (są  to  zdarzenia  równoczesne)  nazwiemy  nieskoń czenie bliskimi.  P odobnie  relacja  ~ ,  gdzie  teraz  x  ~  y  wtedy  i  tylko  wtedy  gdy  x- y  e  G s (0), dzieli  zbiór  *E  na  rozł ą czne  podzbiory,  które  nazwiemy  przestrzennym i  galaktykam i. Z darzen ia należ ą ce do tej samej przestrzennej  galaktyki  (są  to także zdarzen ia  równoczesne) nazwiemy  skoń czenie  przestrzennie  odległ ymi.  Z darzen ia  równoczesne  należ ą ce  do  róż- nych  przestrzennych  galaktyk  nazwiemy  nieskoń czenie  przestrzennie  odległ ymi. N iech  *E X  bę dzie przestrzenią  wszystkich zdarzeń równoczesnych  ze zdarzen iem  x  e  *E, *E X :  = {y\ y  =  x+u,ue  *£ }.  Każ dy  zbiór  p E (*E x ):  =   {y\ y  e  fi  (z),  z  e  *E X },  nazwiemy zbiorem  zdarzeń  prawie  równoczesnych;  każ da  para  zdarzeń  równoczesnych  jest  więc też  parą  zdarzeń  prawie  równoczesnych.  Każ dy  zbiór  G E (*E X ):  =   {y\ y  e  G E (z),  z  e  *E X ] nazwiemy  zbiorem  zdarzeń  skoń czenie  odległ ych  w  czasie.  Z darzen ia,  które  nie  są  skoń- czenie  odległ e  w  czasie  nazwiemy  nieskoń czenie  odległ ymi  w  czasie. N iech  r,  h  bę dą  dowolnymi  lecz  ustalonym i  elem entam i  stan dardowym i  z  *T ,  *H, odpowiednio, tj. niech  T e  T , h e H.  Wtedy  zdarzen ia  x, y  e  *E są  prawie  równoczesne  gdy r(x—y)  e fi(0), n atom iast są  one skoń czenie odległ e w czasie  gdy  r(x~y)  e  G(0).  P odobn ie zdarzenia równoczesne x, y e *E należą  do jednej  przestrzennej  m onady gdy  h{x—y,  x—y)  e € fi(0)  natomiast  należą   do  tej  samej  przestrzennej  galaktyki  gdy  h(x—y,x—y)eG(0). Powyż sze  warunki są  konieczne i wystarczają ce.  Oznaczają c  przez g(x,  y)  =  \ fh(x—y,  x—y) odległ ość  zdarzeń  równoczesnych  x,  y,  mamy  Q{X, y)  e  JJL {0)  dla  zdarzeń  równoczesnych należ ą cych  do  tej  samej  monady  (x,y  są   wtedy  zdarzen iam i  nieskoń czenie  bliskim i)  oraz Q{X, y)  e  G(0) dla zdarzeń równoczesnych  należ ą cych  do tej  samej  galaktyki  (x, y  są   wtedy zdarzeniami  skoń czenie  przestrzennie  odległ ymi). Oznaczmy  przez  °r(v)  i  °h(u l ,  u 2 )  czę ś ci  stan dardowe  liczb  r(v),  h(u t ,  u 2 )  dla  dowol- nych  v,  u t ,  «2  G  Gv(0).  Odwzorowania  °r :  Gv{0)  - +  R,  °h  : Gv{0)  x Gv(0)  - > R,  nazwiem y odpowiednio  S- miarą   czasową   i  S- miarą   przestrzen n ą .8'  5- miara  czasowa  przyporzą dko- wuje  każ dej  parze  zdarzeń  (x, y)  skoń czenie  odległ ych  w  czasie,  y  e  G E {*E X ),  liczbę   stan - dardową   °r(y- x) >   którą   nazwiemy  S- upł ywem  czasu  od  zdarzen ia  x  do  zdarzen ia  y  mie- rzonym  w  T. jS- upływ  czasu  pomię dzy  zdarzeniam i  prawie  równoczesnymi jest  równy  zero. S- miara  przestrzenna  przyporzą dkowuje  każ dym  dwóm  zdarzen iom  skoń czenie  przes- trzennie  odległ ym  (a wię c równoczesnym)  liczbę   stan dardową   °Q(X, y)  =   \ / °h(y- x,  y- x), którą   nazwiemy  5- odległ oś cią   przestrzenną   tych  zdarzeń  mierzoną   w  h.  S- odległ ość  zda- rzeń  nieskoń czenie  bliskich  jest  równa  zeru.  D la  zdarzeń  nieskoń czenie  odległ ych  w  czasie 5- upł yw  czasu  nie jest  okreś lony,  podobn ie  ja k  dla  zdarzeń  nieskoń czenie  przestrzen n ie odległ ych  nie jest  okreś lona  ich  ^- odległ oś ć.  Z biory  S- miar  czasowych  i  przestrzen n ych oznaczymy  odpowiednio  przez  °T ,  °H.  D la  każ dej  pary  °r l ,  °r 2   e°T   istnieje  niezerowa liczba  standardowa  a,  taka, że °r l   =  « °T 2  . P odobn ie dla  każ dej  pary  °hi,  °h2  e  °H  istnieje dodatn ia  liczba  standardowa  /? taka,  że  °h 1   =  fi°h 2 . Z godnie  z  wł asnoś ciami  ^- miar  °r,  °h,  zdarzen ia  prawie  równoczesne  bę dziemy  in- terpretować jako  zdarzenia, których nie moż na rozróż n ić przy  pom ocy  bę dą cych  do  naszej 8 )  Litera  „ 5 "'  oznacza,  że  wartoś ci  tych  form  są   liczbami  standardowymi. AN AL I Z A  N I E STAN D AR D OWA  367 dyspozycji  ś rodków  p o m iaru  czasu;  podobn ie  zdarzen ia  nieskoń czenie  bliskie  i  równo- czesne  interpretujem y  ja ko  zdarzen ia,  których  nie m oż na  rozróż nić przy  pomocy  stoją cych do naszej  dyspozycji  ś rodków  pom iaru  odległ oś ci. Z darzen ia nieskoń czenie odległ e w czasie (nieskoń czenie  odległ e  w  przestrzen i)  bę dziemy  n atom iast  interpretować  jako  zdarzenia, upł yw  czasu  (odległ oś ć) mię dzy  którym i, z uwagi n a  ograniczoność  ś rodków  pomiarowych, również  n ie  podlega  pom iarowi.  Tym  samym,  korzystając  z  aparatu  analizy  niestandar- dowej,  moż emy  m ówić  o  pewnej  skali  rozpatrywan ego  zjawiska,  rozróż niając  w  nim wielkoś ci  „ róż n ego  r zę d u ".  W  powyż szych  rozważ an iach  formy  T, h  (na  podstawie  któ- rych  utworzyliś my  S- miary  T °,  h°)  był y  dowolne  lecz  standardowe,  r  e  T e  *T , he  He  *H.  Celem  opisu  przy  pom ocy  liczb  stan dardowych  upł ywów  czasu  i  odległ oś ci „ nieskoń czenie  m a ł yc h"  i  „ n ieskoń czen ie  wielkich ",  należy  wprowadzić  odpowiednie n iestan dardowe  formy  czasowe  T E * 2 \ r  i  przestrzen n e  he*H\ H;  przypadki  takie bę dą  rozpatrzon e  w  osobn ej  pracy. 2.4.  Niestandardowa  interpretacja  równań  Newtona.  U niwersum  m aterialne  *%  jest  podzbio- rem  zbioru  T Jl  (gdzie  *M  jest  przestrzenią  pun któw  m aterialnych)  zawierają cym  skoń- czenie  elementowe  rozł ą czne  podzbiory  zbioru  *Jl  zwane  ciał am i.  P on adto  dla  każ dego me*N   istnieje  ciał o  38 =  {P x ,  . . . ,  P m },  38 e * *R+.  Oznaczając  ten  rozkł ad  symbolem  mes, m am y  m@: 3$  B  P  - > m(P)  e  *R+, Jeż eli  p u n kt  m aterialn y  P jest  p u n kt em  stan dardowym ,  P  e Ji,  to jego  masa  m(P)  wyra- ż ona  w  dowolnej  stan dardowej  mierze  m  e Mc  *M je st  liczbą  stan dardową;  stwierdzenie odwrotn e  n ie  jest  prawdziwe. N iech  h  i   p o   + te o   + r k (P,  t)e k   e  *E, przy  czym  funkcje  rk(P,  • ):  / - >  *R,fk(P,  • ): / - *  *R,  k  — 1, 2,  3,  są  funkcjami  wewnę t- rznym i  (mogą cymi  przyjm ować  takie  wartoś ci  n iestan dardowe)  speł niają cymi  znane  wa- run ki  regularn oś ci9'. N iech  teraz  u kł ad  stan dardowych  elem en tów  indywiduowych  e ;  e  *5,  a (  £  *F, e 0   e  *V\ *S,  P o   e  Jt,  bę dzie  inei'acyjnym  ukł adem  odniesienia  dla  standardowych  form h,  cp, T  oraz  stan dardowej  funkcji  rozkł adu  m a sy1 0'.  Obowią zuje  wtedy  postać  (2.2) 9 )  Aby  n ie  wp r o wa d za ć  d o d a t ko wyc h  o zn aczeń ,  elem en ty  in dywiduowe  i  relacje  n ależ ą ce  d o  system u *3Jt,  wystę pują ce  w  (2.4) i w  dalszych  wzo r a c h ,  ozn aczyliś my  tym i  sam ym i  sym bolam i  co relacje  n ależ ą ce  d o 501  i  wystę pują ce  w  (2.1)  -  (2.3). 1 0 )  Z  zał oż en ia  tego  w  o st a t n im  ro zd ziale  p racy  zrezygn ujem y,  wprowadzając  d o  rozważ ań  t akże n iest a n d a r d o we  elem en ty  z  *H,  *&,  *T ,  *M. 2  M ech .  T eoret .  i  Stos.  3/ 81 368  C z.  WOŹ N IAK drugiego  prawa  dyn am iki  N ewton a,  przy  czym  wystę pują ce  w  (2.2)  funkcje  są   teraz wewnę trzne  lecz  nie koniecznie  stan dardowe.  Rozpatrują c  wył ą cznie  ciał a  swobodn e  (uni- wersum  materialne *6U  skł ada się  tylko  z takich ciał , po r. poprzedn i podrozdział ) przyjmie- my,  że  wypadkowe  sił y  dział ają ce  n a  pun kty  m aterialne  ciał a  są   okreś lone  wyraż eniem postaci  (2.3).  Tym  samym  przyjmiemy,  że (2.5)  m(P)Yk(P,  t)  =  h{t,  r{P, t), i'(P,  t)) + tel, gdzie  fp(- ),  / P Q ( - )  są   znanymi,  dostatecznie  regularn ym i,  funkcjami  wewnę trznymi, przy  czym  obowią zują   nadal  uwagi  wymienione  po  wzorze  (2.3).  U kł ad  3/z  równ ań  (2.5) (gdyż  k  =  1,2,2,  oraz  S$ =  {P V ,  ...,  P,,}),  który  nazwiemy  równ an iam i  ruch u,  jest  ukł a- dem  równań  róż niczkowych  zwyczajnych  dla  3n  funkcji  wewnę trznych  rk(P,  • ):  / - »  *i?, okreś lają cych  ruch  ciał a  SB z  uniwersum  m aterialnego  *  są   z n a n ym i  m e t r yk a m i  o d legł o ś cio wymi w  p r ze st r ze n ia c h  E u k li d e sa .  K a ż d ej  fu n kcji  ip  p r z yp o r z ą d ku je my  st a n d a r d o wą   m u lt i- fu n kcję   S ę :X- +  2 Y ,  k ł a d ą c (3•  1)  S v (x):  - --  {y \ y e YAM G Ony|/ i(x)njD (y)]  Ą>  0 } , gdzie  OD(W):  =  {x|x  eX  A[/j,(x)nD(yi)]  • £ 0 } . Tym  samym  Sv(x)  a  °(y>[ft(x)nD(ip)]),  x  e°B(ip).  D zie d zin ą  S- efektywną  ip  n azwiem y p o d z b i ó r  D e (%p) z b i o r u  0D(yi),  z ł o ż o ny  z  p u n k t ó w  x  d la  kt ó r yc h  S v (x)  i= 0 : (3- 2)  Dfy>):  =   {x\ x  £  °D(y>) A S 9 (X)  #   $}, F u n kc ję  we wn ę t r zną  tp:*X- >  *Y,  cią głą  i  t a ką ,  że  D e (ip)  #   0,  n azwiem y  wł aś ciwą;  m u lt i- fun kcję  S v   bę d ziemy  n a z ywa ć  wt e d y  S- r ep r ezen t a c ją  fun kcji  y>.  Jeż eli  fu n kcja  ip je st  — .S- cią gła  n a  D(yf)  ( t j.  y)[fi(x)nD(y>)]<=  ft[y>(x)]  d la  k a ż d e go  x  e D(f)  o r a z  p rzyjm u je  war- t o ś ci  t ylko  w  gł ó wn ej  ga la kt yc e  p r z e st r z e n i  * 7  ( t j.  n[y(x)]nY  ^  0  d la  ka ż d e go  x  e D(y>)) wt ed y  je st  wł aś ciwa  o r a z  m o ż na  wyka z a ć ,  że  S y ,(x)  =   {°ip(x}}  d la  ka ż d e go  xe°D(ip). T ym  sa m ym  ^ - r e p r e z e n t a c ją  fu n kc ji  S- cią gł ej  %p  je st  jej  czę ść  st a n d a r d o wa  °y>  ( jeż eli 370  C z .  WO Ź N I AK istnieje).  Ogólniej:  S v (x) =  {> ( x) }  dla pewnego  xe°D(y>)  gdy  f[p(x)nD(ip)]<= dla  pewnego  z e D(ip).  P odzbiór  dziedziny  S- efektywnej  D e {yi)  funkcji  wł aś ciwej  ip,  dla którego  S v (x) =  {°f(x)},  oznaczymy  przez (3.3)  D^ ip): =  {x\ x  e°D (y)AS„(x) =  {y},yeY}, i  nazwiemy  dziedziną  S- jednoznacznoś ci.  M amy  więc  D t  (yi) a  D e (y>)  cz  °D(ip). Kł adąc  *X =  *R,  *Y =   *R3  oraz  f.*R  - *  *ii 3 ,  dokon ajm y  teraz  S- reprezentacji ruchów  r :*J ?- + *J ?3 ,  prę dkoś ci  i- :*/? - >•   *i?3  i  przyspieszeń  r:*R  - > *R3  p u n kt u  ma- terialnego.  Przyjmiemy,  że  /  =   D{r)  jest  stan dardowym  przedział em  czasu,  D{r)  = =  i'o,ti) c  *• & W i  e- R.  oraz, że r ( • )  jest  funkcją  cią głą  w  D (f)  mają cą  w £»(»• ) cią głe pierwszą  i drugą  pochodną.  Z akł adamy takż e, że funkcje  r, r, i' są funkcjami  wł aś ciwymi. Rozróż nimy  nastę pują ce  przypadki: 1°  D t (ip)  =  °D(y)  dla  ip e{v, r,'r}.  Istnieją  wtedy  funkcje  stan dardowe  °r,  °r,  °Y okreś lone  n a °D(r)  a tym  samym  dla  każ dej  chwili  t e °D(r)  ^- reprezentacja  ruchów,  prę d- koś ci i przyspieszeń  jest jednoznaczna,  tj. S v (t)  -   {°f(t)},  t e (t 0 ,  tt) <=  R, dla  y  e {r,  r, r}. 2°  D e {%>)  -   °D(ip) dla  ip e {r, r, r}.  D la  każ dej  chwili  t e °D(y)  istnieje  >S- reprezentacja ruchów,  prę dkoś ci  i  przyspieszeń,  lecz  dla  t e D e (ip)\ D l (f)  jest  on a n iejedn ozn aczn a. W  szczególnoś ci,  standardowej  chwili  t e Deir^ D^ r)  przyporzą dkowujemy  wieloele- mentowy  zbiór  prę dkoś ci  S^ (t)c:R3  a  chwili  t eD^ r^ D^ r)  przyporzą dkowujemy wieloelementowy  zbiór  „ stan dardowych "  poł oż eń  S- (t) pu n kt u  m aterialn ego. 3°  °D(r)\ D e (ip)  & Q  dla  pewnego  f  e{r, r, r}.  D la  t  e°D(r)\ D e (y>)  n ie  istnieje moż liwość  liczbowego  porównania  rezultatów  teorii  z  eksperym en tem .  Z biory  Ą , (0 wartoś ci  standardowych  są  bowiem  puste  dla t e °D{r)\ D e (y>)  co  ozn acza,  że  n iektóre spoś ród  wartoś ci  rk(s),  rk(s),  rk(s)  są  nieskoń czone  dla każ dego  s e / u(t), t e  °D(r)\ D e (ip), gdzie  y>e{r, >','f}. 3.2.  Niestandardowe podejś cie  do wię zów zewnę trznych.  Wię zami  zewnę trznymi  dla  ukł adu punktów  materialnych  nazwiemy  takie  ograniczenia  n akł adane n a poł oż en ia i  prę dkoś ci punktów  materialnych,  które  są  wywoł ane  sił ami  zewnę trznym i.  P oniż ej  wykaż emy,  że sił y  zewnę trzne  dział ają ce  na swobodny  pu n kt  m aterialny  mogą  prowadzić  do  pewnych ograniczeń  dla  czę ś ci  standardowych  wektorów  poł oż enia i prę dkoś ci  tego  p u n kt u ;  ogra- niczenia  takie  mają  więc  charakter  pewnych  „ st an dardowych "  wię zów. Przyjmując  3$ =  {P} rozpatrzymy  ukł ad zł oż ony z tylko jedn ego  pu n kt u  m aterialn ego 0 standardowej  masie m  = m(P)  e R+.  R ówn an ia ruchu (2.5) redukują  się wtedy  do postaci mt{f)  =  f(t,  Ą t),  f ( 0) , t e I (tu i dalej  ozn aczam y: t  s  (>• *), /   ==  (/ *), b m (bk),  k -   1, 2, 3, etc).  Zał óż my,  że funkcja  f:Ix*R2x*R3  - >•   *R3  jest  sumą  funkcji  stan dardowej  *( • ) 1  wewnę trznej  s(- ),  a  równania  ruchu  mają  postać (3- 4) m(t  K0 . w  której b:Ix  *R3  x *R3  - •   *R\  s: *R3  - > *R\  są cią gł ymi funkcjami,  przy  czym  °D(b)  = =   Z>e(6) =  D1(b)  = °IxR 3 xR 3 .  Niech  ponadto  °D(s)\ D e (s)  #  0,  D^ s^ D^ s)  <£  % gdzie  D e (s)  jest  nie  pustym  dom knię tym  i  spójnym  podzbiorem  w °D(s) =  R3.  T ym sa- mym  istnieje  okreś lona  na °D(b)  czę ść  stan dardowa  °b  funkcji  b  (gdyż  S b (r) =  {°b(r)} dla  każ dego  re°D(b)),  n atom iast  nie istnieje  n a  °D(b)  czę ść  stan dardowa  funkcji  s. AN AL I Z A  N I E STAN D AR D OWA  371 Warun ek (3.5)  reDMl  r=°r(t),  te°I, jest  ograniczeniem  n ał oż on ym n a  czę ś ci  stan dardowe  wektorów  poł oż enia  rozpatrywanego p u n kt u  m aterialn ego.  Relację   (3.5) nazwiemy  relacją   S- wię zów  zewnę trznych  a  sił y s(r(t)),  te  I,  bę dziemy  in terpretować  ja ko  sił y  reakcji  utrzymują ce  S- wię zy.  S- repre- zentacja  funkcji  s:*R3  - * *R3  prowadzi  do  warun ku (3.6)  peS s (r);  veD e (s), w  którym  dowolny  wekt or  p  speł niają cy  (3.6)  nazwiemy  S- reakcją   dla  (standardowej) konfiguracji  r  p u n kt u  m aterialn ego.  Jeż eli  dla  dowolnych  (standardowych)  warunków począ tkowych  zgodn ych  z  (3.5)  istnieje  funkcja  r:°I- >  R3  speł niają ca  dla  prawie  każ dego t e°I   relację   stan dardową (3.7)  mf(t) = b(t,r(t),ir(t))+p(t),  p(t) eS,(r(t)),  r(t)eD e (s), to  powiemy,  że funkcja  wewn ę trzna  n iestan dardowa  s:*i?3  - > *R3  generuje  S- wię zy zewnę trzne. P on ieważ funkcja  s charakteryzuje  dział an ie  sił y  zewnę trznej, wię zy te  nazwie- my  zewn ę t rzn ym i.11' P odam y  teraz  dwa  przykł ady  funkcji  s:*R3  - > *R3 generują cych  5- wię zy  zewnę trzne: 1°  N iech  D i( s)  bę dzie  regularn ym  obszarem  D w R3 o gł adkim  brzegu  8Q  oraz D e {s)  = Q. N iech  p o n ad t o  S s (r) = {0} dla każ dego  r e Q  oraz  S s (r)  = {0+ln(r)\   A ̂  0} dla  każ dego  r e dQ,  gdzie  n(r)  jest  wektorem  wewnę trznie  n orm aln ym  do dQ. F unkcja s(  •  ) generuje  wtedy  S- wię zy beztarciowe  a każ dy  „ st an d ard o wy"  tor pun ktu  materialnego (okreś lony  relacjam i  (3.7))  znajduje  się  w  Q. 2°  N iech  D e (s)  bę dzie  gł adką   zam kn ię tą   powierzchnią   II w i?3.  N iech  pon adto s s( r )  = {0 +  fai(r); l  G  R] dla  każ dego  r ell,  gdzie  n(r)  jest  wektorem  norm alnym  do  77. F un kcja s generuje  wtedy  S- wię zy  idealn e  dwustron n e  a każ dy  „ stan dardowy"  tor pun ktu m aterialn ego  znajduje  się  n a powierzchn i  U.  W  przypadku  tym  D t (s)  —  0. 3.3.  Niestandardowe  podejś cie  do wię zów  wewnę trznych.  Wię zami  wewnę trznymi  dla  ukł adu pun któw  m aterialn ych  nazwiem y  ogran iczen ia  n akł adan e' n a wzajemne  odległ oś ci  posz- czególnych  p u n kt ó w;  zakł adam y jedn ocześ n ie,  że  ogran iczen ia  te są  utrzymywane  dział a- niem wył ą cznie  sił  wewn ę trzn ych.  Tym  samym  przedm iotem rozważ ań  bę dzie  teraz ukł ad zł oż ony  co  najmniej  z dwóch  p u n kt ó w  m aterialn ych .  Z ał oż ymy, że są  to pun kty  o stan- dardowych  m asach m(P)  e R+, P eSS,  poddan e dział an iu standardowych  sił  zewnę trznych, tj.  sił  okreś lon ych  stan dardowym i  funkcjami  f P :Ix*R 3   x*R 3  - » *R 3 .  Zał oż ymy  takż e, że  funkcje/ pQ:  *R+  - >  *R w  równ an iach  ruch u  (2.5) są  sum am i funkcji  cią gł ych stan dardo- wych  b PQ : *R+  - *  *R i funkcji  cią gł ych  wewnę trznych  lecz  niestandardowych  t PQ :  *R+  - * - > *R,  gdzie  b PQ  =  b QP , t PQ   =  t QP .  R ówn an ia  ruch u  mają   wię c  postać (3.8)  m(P)V(P,  t) = f P  (t, r(P, t),V(P,  t))+ QeB P C.  (M  t  <=  f n )  Przytoczone  tu rozważ ania  ł atwo  uogólnić  n a przypadek,  w  którym  s:Ix*R3x*R3  ->  *R3 tj. ;cja  s zależy  od argumentów  t, r, r.  Wtedy  (r,r) e De(s(t,- ))  oraz p e S s (t,- )(.r, f). 372  C z.  WOŹ N IAK Wykaż emy,  że dla  odpowiednio  dobranych funkcji  t PQ   rozpatrywan y  ukł ad  m aterialn y moż na  interpretować  jako  pewien  ukł ad  ze  „ st an d ard o wym i"  wię zami  wewnę trznym i. W  tym celu  przyjmiemy,  że  funkcje  t PQ   speł niają  warun ki  °D(t PQ )  = Ii,  D c (tp Q )  = »  [«P Q ,  PPQI  D x {t PQ )  =   (a.p Q , p PQ ),  gdzie  a. PQ ,  f} PQ   są  dan ym i  dodatn im i  liczbam i  stan- dardowymi,  f} PQ  > a P Q .  Zał óż my  pon adto,  że  w  przedziale  czasu  /   wszystkie  pu n kt y r(P,t),Pe@,teI,  znajdują  się  w  gł ównej  galaktyce  przestrzen i  *i?3.  Argum en t  Q funkcji  t PQ   speł nia  warunek (3.9)   Q eD a (t PQ ),  em°Q(r(?,t),r(Q,t)),  te°I. Relację  (3.9)  nazwiemy  relacją  S- wię zów  wewnę trznych,  in terpretując  t PQ   ja ko  wielkoś ci sił   reakcji  utrzymują cych  te wię zy. S- reakcjami  wię zów  nazwiemy  sił y  wewnę trzne  o wiel- koś ciach (3.10)  <ł ?QeS ha (Q) przyjmując  pon adto, że S, PQ (Q)  =  {0} dla c e f l ^ y ,  S tpQ (fi PQ )  =  ^ ~ u {0},  S tpQ (a. PQ )  = =   i? + u {0}.  Oznacza  t o ,  że  S- reakcje  wię zów  są  równ e  zeru  gdy g e ( a P Q ,  / SPQ),  prze- ciwdział ają  zbliż aniu  się  punktów gdy  Q =  a PQ   oraz  przeciwdział ają  ich  oddalan iu  się gdy £) =  fipQ. N iestandardowe funkcje  wewnę trzne  t PQ   =  t QP ,  P, Q e Ś S,  speł niają ce  powyż sze warunki,  prowadzą  do standardowej  relacji m(P)r(P,t)=f P (t,r(P,t),r(P,t))+ 2 S eS tpQ (Q(r{P,t),r(Q,t))),   e (r(P,  t),r(Q,t))eD e (t PQ ). Powyż sza  relacja  opisuje  pewien  stan dardowy  ruch ukł adu.pun któw m aterialn ych, podda- nego wię zom wewnę trznym.  G dy dla każ dej  pary P,Q  e3$  m am y  b PQ   =  0 oraz KeHHH   flH CKpeTH OH   MexaHIIKH   MOHCHa  BH BeCIH 4>yHflaMeHTaJiBHŁi  „ C TaH flaptH Bie"  cooTH oin eH iia  Mexai- iin