Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  19 (1981) WR AŻ LI WOŚĆ  R OZ WI Ą Z AŃ   RÓWN AN IA  LI N I OWYC H   D RG AŃ   MEMBRAN Y N A  Z M I AN Y  WSP ÓŁ C Z YN N I KÓW  RÓWN AN IA ROMAN   G U T O W S K I  (WARSZAWA) I.  Wstę p P roblem  wraż liwoś ci  m odeli  matematycznych,  powstał   w  ostatn im  dwudziestoleciu a  wię c stosun kowo  n iedawn o.  Stał   on się   wkrótce jedn ym  z najbardziej  aktualnych proble- mów  badawczych  zarówn o  teorii ja k  i  praktyki  m odeli  matematycznych  opisują cych  zja- wiska  rzeczywiste.  W  problem ie  tym  wystę pują   dwa  gł ówne  zagadnienia,  a  mianowicie jakoś ciowe  i  iloś ciowe.  W  celu  wyrobien ia  sobie  bliż szego  poglą du  n a  oba  te zagadnienia, warto przedstawić  skrótowo  istotę  problem atyki wraż liwoś ci. Ograniczymy  się  tu do modeli w  postaci  równ ań  róż n iczkowych.  D la  m odeli  tych  formuł uje  się   szereg zagadnień  takich jak  istnienie  i jedn ozn aczn ość  rozwią zan ia,  cią gła  zależ ność  wzglę dem  wartoś ci  począ tko- wych i param etrów, stateczn ość ( n p . w sensie  Lapun owa) ze wzglę du n a zaburzenia wartoś ci począ tkowych,  lub  prawych  stron  równ an ia  i  in n e.  Wraż liwość jest  problemem  polegają - cym  n a  zbadan iu  zm ian y  rozwią zan ia  równ an ia  róż niczkowego,  powstają cej  wskutek zm ian y  któregoś  ze  współ czyn n ików  wystę pują cych  w  równ an iu.  Okazuje  się ,  że  zmiana stał ego współ czynnika  o pewną   niewielką   wartoś ć, n ie powoduje  bynajmniej  stał ej odchył ki od  starego  rozwią zan ia,  lecz  odchył kę   zmienną   w  czasie,  odn oś n ie  której  moż na  badać bą dź  jakoś ciowo  pewną   jej  m iarę   informują cą   n as  o  ograniczonoś ci  tej  odchył ki, lub  jej zachowan iu  się  z biegiem  czasu, bą dź  też m oż na tę  odchył kę  wyznaczyć  iloś ciowo.  Opisana powyż ej  koncepcja  poję cia  wraż liwoś ci  nie jest  jedyn a  i  istnieją   również  inne  koncepcje wraż liwoś ci, ja k  n a  przykł ad  wraż liwość  strukturaln a,  zajmują ca  się   badaniem  odchył ki od  starego  rozwią zan ia,  w  przypadku  zm ian y  struktury,  czyli  postaci równania róż niczko- wego, lub  zm ian y  iloś ci  stopn i swobody.  P ozostają c  przy  zmianie współ czynników, moż na badać również zm ian y in n ych ch arakterystyk  n iż sam o  rozwią zanie,  takich jak n a przykł ad widma  czę stoś ci,  lub  postaci  wł asnych,  w  liniowych  ukł adach  drgają cych.  W  każ dym z  rozważ anych  przypadków  należy  zdefiniować  odpowiednią   m iarę   wraż liwoś ci.  W  ni- niejszej  pracy  ogran iczym y  się   d o  badan ia  klasycznej  wraż liwoś ci,  to  znaczy  zmiany  roz- wią zania  spowodowan ego  m ał ą   zm ian ą  jedn ego  ze  współ czynników  równania.  Badanie  to przeprowadza  się   za  pom ocą   odpowiedn io zdefiniowanej  funkcji  wraż liwoś ci, którą  m oż na wprowadzić  w  rozm aity  sposób.  W  przedstawion ej  pracy  podan e jest  badanie  jakoś ciowe wprowadzonej  funkcji  wraż liwoś ci.  W  tym  zakresie  zagadnienie  moż na  zaliczyć  do  grupy jakoś ciowej  problem atyki  teorii  stateczn oś ci  specyficznego  rodzaju,  a  mianowicie  statecz- noś ci n a m ał e zaburzen ia stał ych współ czyn n ików równ an ia. Badanie takie powin n o poprze- dzać  zagadnienie  iloś ciowe  wyznaczenia  funkcji  wraż liwoś ci,  które  nadaje  problem owi 376  R .  GuTOWSKi wraż liwoś ci ostateczny wyraz praktyczny.  Jednakże nawet jakoś ciowe  zbadan ie  zachowania się   funkcji  wraż liwoś ci  i  stwierdzenie,  że jest  ona  n a  przykł ad  ogran iczon a,  lub  zm ierza  do zera  i  od  jakich  param etrów  fizycznych  zagadnienia  to  zależ y,  daje  pewne  interesują ce informacje  praktyczne  o  wraż liwoś ci  modelu  m atem atyczn ego,  w  postaci  równ an ia  róż- niczkowego,  n a  mał e  zaburzenia  współ czynnika. Z  praktycznego  pun ktu  widzenia,  badanie  wraż liwoś ci  w  sensie  om ówion ym  powyż ej pozwala  n a  przewidzenie, jak  znacznie  bę dą   się   róż niły rozwią zania  n p .  drgań  elementów wykonywanych  seryjnie,  dopuszczają c  pewien  rozrzut  param etrów  fizycznych  (mas, sztywnoś ci)  podczas  produkcji.  N a  podstawie  analizy  wraż liwoś ci  m oż na  równ ież  rozwią - zywać zagadnienie odwrotn e, to znaczy podać dopuszczalny  rozrzu t param etrów  fizycznych aby  odchył ka  rozwią zań  od  egzemplarza  wzorcowego  n ie  przekroczył a  z  góry  ż ą danej wartoś ci. N ależy  podkreś lić,  że  problem atyka  ta  został a  w  mniejszym  lub  wię kszym  stopn iu zbadana  dla  równań  róż niczkowych  zwyczajnych  [2],  [3].  D la  równ ań  róż n iczkowych o  pochodnych  czą stkowych  problem atyka  ta  znajduje  się   w  stadium  form uł owan ia  i  uzys- kiwania  pierwszych  rezultatów.  N iektóre  z  nich,  dla  zagadn ień  zawierają cych  jedną zmienną   przestrzenną   są   przedstawione  w  pracach  [4],  [5],  [6].  N iniejsza  praca  przed- stawia  problem wraż liwoś ci n a zmiany  współ czynników  równ an ia  dla  równ an ia  o pochod- nych  czą stkowych  z  dwiema  zmiennymi  przestrzen n ym i.  W  tym  przypadku,  ja k  również w  przypadku  wielu  zmiennych  przestrzennych  powstają   jakoś ciowo  n owe  problem y, w  porównaniu  z  przypadkam i,  w  których  wystę puje  jedn a  zm ienn a  przestrzen n a.  D la przejrzystoś ci  rozważ ań  zagadnienie  został o  przedstawion e  nie  n a  przykł adzie  ogólnego równania  o  pochodn ych czą stkowych  o  wielu  zmiennych przestrzen n ych,  lecz  n a  przykł a- dzie  drgań  membrany,  mają cej  zn an e  znaczenie  i  zastosowan ie  w  teorii  i  praktyce  drgań ukł adów  cią gł ych. 2.  Sformuł owanie  zagadnienia Rozważ my  równanie  róż niczkowe  drgań  m em bran y  prostoką tn ej  w  postaci •   82u  du+(1) gdzie m  —  masa  przypadają ca  n a  jedn ostkę   powierzchni  m em bran y, ix —  współ czynnik  tł um ienia  liniowego  zewnę trznego  drgań  poprzeczn ych, r  —  współ czynnik  sprę ż ystoś ci  podł oża  sprę ż ystego, T o  —  napię cie  membrany, F(x,  t)  —  sił a  wymuszają ca, u(x,  y,  t)  —'przemieszczenie  poprzeczne  m em bran y. •   N iech  boki  rozważ anej  membrany  prostoką tn ej  bę dą   odpowiedn io  równ e  a  i  b,  przy czym  b  <  a. Wprowadzamy  oznaczenia —  =   Ip,  —  =  c,  —  =   y,  — F  =   ; , m  '  m  m  '  m   J WRAŻ LIWOŚĆ  ROZWIĄ ZAŃ   377 gdzie  /?, c,  y  ozn aczają  stał e  d o d a t n ie .  R ó wn an ie  (1) przybiera  postać 8 2 u  „  8u  _  Idhi  .  82u ^  '  dt 2   dt  \ N iech  warunki  począ tkowe  mają  postać .  _N  .  .  3M ( X, V, 0) (3)  u(x,y,0)  =   yiC ^.J').  ^  a»Va(Xi)')i zaś  warunki  brzegowe  niech  mają  postać w(0,j> ,0  =   0»  «( a, y,  0  =   0, u(x,Q,  0  =   0,  «(x,fo,  0  =   0. Warunki  te  odpowiadają  przypadkowi  membrany  zamocowanej  wzdł uż  wszystkich boków. Zakł adamy, że  rozwią zanie  równania  (2) z  warunkami  (3) i  (4) jest znane. Zagadnie- niem,  które  chcemy  zbadać, jest  wraż liwość  rozwią zań  równania  (2)  na  zmiany  współ - czynnika  £, który jest równy  y lub  B lub  c. W tym celu wprowadzamy  funkcję  wraż liwoś ci w  postaci (5)  (o(x,  y,  t,  f)  =   lim N a  mocy  (5)  mamy  nastę pują cą  równość  przybliż oną (6)  u(x,y, t,£+Ai)- u(x,y,t,i)zco(x,} Jeś li  wyzn aczym y,  lu b oszacujem y  fun kcję  w(x, y,  t,  £ ),  wtedy  n a  podstawie  wzoru (6) m oż emy  wyzn aczyć  w  przybliż en iu,  lu b  oszacować  zm ian ę  funkcji  u(x,y,  t, f)  odpowia- dają cą  z m ia n ie / ( ^ p a r a m e t r u  §, R ó wn ież n a o d wró t , jeś li  róż n ica A u =   u(x,y,  t,  !j+A§)- —u(x,y,  t,  £) jest  z  góry  d a n a ,  wtedy  n a  m ocy  (6) m oż emy  wyznaczyć  w  przybliż en iu dopuszczaln ą  wart o ść  Ag. Wyprowadzim y  ró wn an ie ró ż n iczko we  dla funkcji  co(x, y,  t,  f) . R óż n iczkując równ an ie róż n iczkowe  (2) wzglę dem  |  =   y,  /?, c  otrzym ujem y  równ an ie  róż n iczkowe  wraż liwoś ci w  po st aci (~\   B co  dco  I d 2 a)  8 2 co gdzie 8 2 u  8 2 u  _ d la dx 2   dy 2 —u  dla  |  =  c . 378  R-   OU TOWSKI Warunki  począ tkowe  i  brzegowe  mają  postać (9) (10) =   0 , 8co((x,y,0,Q  ^   _5_ \ du(x,y,  0 , 1) 1  _  _ 3_ 3/   di  \   8t  8£ 8  d  , o > ( 0 , y , * , S ) - - | T « ( 0 , ; M , ©-   0.  toCa.y,  »,f)  - - g£u(p,y,t,ftm  o, o)(x, 0,  f,  I )  =  - vg- ufct, 0,  t, I )  =   0,  co(x, b,  t,  | )  =  - wrtt(x,  6,  t , O  =   0. Zagadnienie  polega  na  zbadaniu  zachowania  się  rozwią zań  równania  (7),  to  znaczy n a  znalezieniu  warunków  dostatecznych  ich  ograniczonoś ci,  lub  zmierzania  do  zera  przy t  - »  oo. 3.  Badanie  zachowania  się  rozwią zań  równania  róż niczkowego  wraż liwoś ci Jeś li  współ czynnik  f  nie ulega  zmianie, wtedy jest t u s O .  Jeś li  współ czynnik  £  zmienia się  o ń £,  wtedy  rozwią zanie  równania  (7)  odchyla  się  od  rozwią zania  zerowego.  Odchyle- nie  powyż sze  bę dziemy  mierzyli  za  pomocą  odległ oś ci  w  postaci gdzie  zakł adamy,  że (12)  c- yS2  >  0. Wprowadzona  odległ ość  speł nia  warunki Q(CO)  3S 0,  g(0)  =   0. Odległ ość  ta  nie  musi  speł niać  aksjomatów  przestrzeni  metrycznej. D la  pewnego  co(x,y,  t,  f)  odległ ość  bę dziemy  oznaczali  przez  c(t)  i  zakł adamy,  że jest  ona  jednoznaczną  i  cią głą  funkcją  czasu  t. Róż niczkując  odległ ość  (11)  wzglę dem  czasu  i  podstawiając  zamiast - r - j-   odpowiednie skł adniki  z  równania  (7)  otrzymujemy  po  przekształ ceniach o  o 3co  32ft>  3a)  32co  3co  32co  dco  82a> J o  o WRAŻ LIWOŚĆ  ROZWIĄ ZAŃ 379 Obliczmy  cał kują c  przez  czę ś ci  nastę pują ce  cał ki,  uwzglę dniając  przy  tym  warun ki brzegowe a  b a  b o a  b O  O a  b O  O a  b J J dt o  o a  b dco  d 2 w O  O C  C  dco  8 z co "J  J o  o J oo Wzór  (13)  przybiera  wię c  postać a  b Kir f  f  dm  d 2 m  ,   7  r  r  8w J  J  ~W- WdXdy  " " J i  ^ d 2 co o  o +  2 N a  mocy  (11)  m am y  wię c (14) Stą d  otrzymujemy g =  - 2 ^+2 J o  ó ~ a  b \ cp\ dxdy<  - 2 o  o f a  b a  b j f (15)  Q ^   - 2{]Q +  e +  f  J  cp 2 dxdy m  (1- 2P)Q+Jf

2(x,y,  t,  £)  moż emy  przedstawić  w  postaci y  y f  8   C • (°  \ xJ  y> t, c) =   I ~m(x,s,t,^ )dS=:  I  2co(x,s,t, o  o Stąd  mamy o  i  a  6  v J  J c o 2 ( x , j M , , T ) ^ =   [ J  J2fl)(x,  5, f, g)  d(o{- x>s>  l> *\   ds\ dxdy, (20)  °  °  '  °  ° J  J  '  J U  U 0  0  0  V0  0 Zmieniamy  kolejność  cał kowania  wzglę dem  y  i  s  stosując  wzór  D irich leta  w  postaci by  b  b ( 2 1 )  Jdy Jf(s, y)ds  =  /   ds ff(s,  y)dy, 0  0   Os przy  czym  w rozważ anym  przypadku,  fu n kc ja / we  wzorze  (20) nie zależy  od zm iennej y. N a  podstawie  (21)  otrzymujemy  wzór  (20) w  postaci a  b  a  b f  I co*(x, y,  t, i)dxdy  =   f  { f [ f 2a>(x, *, t, Ę )  doi{x>S>  U °  dy]  ds)dx. 0  0   0   l 0   L .   Ć S  J  ' WRAŻ LIWOŚĆ  ROZWIĄ ZAŃ   381 Jednakże  funkcja  podcał kowa  po prawej  stronie  nie zależy  od y  więc mamy a  b  a  b j  f  co 2 (x,y,  t, i)dxdy  =   f  J  2a>(x, s, t, g)  8a>^ X' g S J t '^ - (b- s)dxds. 0  0  0  0 Ponieważ  zmienna s  zmienia  się w granicach  0 ^  s < b więc ma miejsce  nierówność b- s  «S b.  Oznaczając  s  przez  y  otrzymujemy  więc a  b  a  b C  C  f \ j j  i !  C  r  f-\   Sco(x  y, t £) I  co (x, y, t, c)dxdy  ^  2o  I  \ co(x, y, t, Ę )\  r  dxdy. o o  o o Stosując  nierówność  Buniakowskiego- Schwarza  mamy \  fa>\ x,y,  t, i)dxdy <2b[j  j  co 2 (x,y,  t, OdxdyflJJr^ '^ '^ ]  dxdy?. oo  oo  "- o o  '  -1 Podnosząc  tę nierówność  obustronnie  do kwadratu  otrzymujemy  ostatecznie a  b  a  b (22)  f !»**&< **  H(%)*iy. 0  0  0  0 N a  mocy  (11) i  (18) mamy Oft)\ rfxrfj;  < - J  «P(s,f)exp[(l- 2^)(f-S)]ds. I  0  '  '  ' Y 0 Wobec  tego  na mocy  (22)  otrzymujemy a  b  t (23)  J J  a>2dxdy <—- f  # 0 , £)exp[(l  - 2p)(t- S)]ds, 0  0  ^ 0 J J 0  0 N ierównoś ci  (19) i  (23) moż emy  napisać  w postaci a  b  t (24)  J  J  w2dxdy  < N J  0(S, f)exp[(l  - 2/ S)(f-  s)]ds, o o  o gdzie N  = min I c- / 32  y Zał óż my,  że jest  speł niona nierówność (26)  1- 2/8 < 0 . Jeś li funkcja  0(^, ^) jest ograniczona dla t e [0,  oo),  wtedy  cał ka podwójna z kwadratu funkcji  wraż liwoś ci jest również  ograniczona, gdy zaś @(t, £) - * 0 dla  jt ->  oo, wtedy  cał ka podwójna  z  kwadratu  funkcji  wraż liwoś ci  ma również  tę wł asnoś ć. Zał óż my,  że  ma  miejsce  nierówność  (26) i  rozważ my  przypadek,  gdy  rozwią zanie u (x,  y, t, i)  równania  (2) oraz  pochodne wystę pują ce  w tym równaniu  są  ograniczone. Wtedy  funkcja  0  jest  również  ograniczona,  to znaczy (27)  0{t,S)  <   A =  const  <  oo,  fe [ 0, o o ) . 3g2  R-   G U TOWSKI N ierówność  (24)  przybiera  wtedy  postać a  b (28)  (  J o>2dxdy bo a  b ( J b o G dy  funkcja  u(x,y,  t,  | )  jest  nieznana, wtedy  w  przypadku  £  =   c  to  znaczy  cp =  - u moż emy  otrzymać oszacowanie  cał ki  podwójnej  z  kwadratu  funkcji  wraż liwoś ci  w  sposób nastę pują cy. D la  funkcji  u  moż emy  otrzymać  analogicznie  ja k  powyż ej  oszacowanie a  b / < Aexp[(l- 2P)t] + J e(s)exp[(l- 2/ ?)(t- s)]ds, o gdzie a  b Q(t)  = J J f 2 dxdy,  A ~  J  t=0 - 0   0 Stąd otrzymujemy  w sposób  analogiczny jak  w przypadku  nierównoś ci  (24) nierówność w  postaci a  b  t 0  -   J  ju2dxdy  <  iv(i4.exp[(l—2JS)I]+   J<2(s)exp[(l— 2j3)(t- s)]ds). o o  o Wobec  tego  na  mocy  (24) mamy a  b  t (30)  /  J  m2dxdy < N 2 J Uexp [(1 - 2/ 3)s] + 0   0   0 J 0   0 N a  podstawie  nierównoś ci  (30) moż na zbadać zachowanie  się  cał ki  podwójnej  z  kwad- ratu  funkcji  wraż liwoś ci  z  biegiem  czasu,  w  zależ noś ci  od  wł asnoś ci  funkcji  Q. N ależy podkreś lić, że w przypadku  membrany, w  której  równaniu  drgań  poprzecznych wystę pują  dwie zmienne przestrzenne x  i y,  nie udaje  się  uzyskać  informacji  bezpoś rednich o  funkcji  wraż liwoś ci  a>,  lecz  tylko  o  cał ce podwójnej  z  kwadratu  funkcji  wraż liwoś ci. Wynika  stąd  na  przykł ad,  że jeś li  oznaczymy  przez  u x   rozwią zanie  równania  (2)  dla §  T6 0, zaś przez  u 2   rozwią zanie  równania  (2) dla  /? =   0, to przy  (i -> 0 nie należy  spodzie- wać  się,  że  u 2   - *•   u^ .  N atomiast  powinno  być a  b  a  b J  J  u\ dxdy  - > )  J  u2dxdy  przy  /S - > 0 0   0   0   0 Podsumowując  uzyskane  rezultaty  moż na  stwierdzić  co  nastę puje.  Badając  wraż liwość drgań  membrany w oparciu o liniowy  model matematyczny drgań, za pomocą  wprowadzo- nej  funkcji  wraż liwoś ci,  nie  daje  się  uzyskać  wartoś ci  ograniczają cej  samą  funkcję  wraż li- WRAŻ LIWOŚĆ  ROZWIĄ ZAŃ   383 woś ci,  co  jak  stwierdziliś my  na  począ tku  jest  n a  ogół   nadzwyczaj  poż ą daną   informacją jakoś ciową   mają cą   sam odzieln e  znaczenie  praktyczn e.  Odnoś nie  funkcji  wraż liwoś ci moż emy  uzyskać  tylko  informację ,  że  cał ka  podwójna  z  jej  kwadratu  jest  ograniczona, iub zm ierza do zera, co wynika  ze wzoru  (24). W  nierównoś ci tej prawą   stronę   otrzymujemy ustalają c  wartość  stał ej  N ,  którą   moż na  wyznaczyć  znają c  wymiary  i  param etry  fizyczne m em bran y  (wzór  (25)) oraz  mają c  informację   o zachowaniu  się   rozwią zania  równ an ia  (1) membrany  z  n iezaburzon ym i  współ czyn n ikam i,  to  znaczy  znają c  funkcję   0  daną   wzo- rem  (16).  Skoń czoną   postać  oszacowan ia  (24),  w  przypadku  gdy  funkcja  0  jest  ograni- czon a  stał ą   X  (wzór  27)  przedstawia  wzór  (28).  Oznacza  to,  że  stosują c  model  liniowy membrany  w  postaci  równ an ia  (1), moż emy  w  przypadku  mał ej  zmiany  współ czynników równ an ia  spodziewać  się   tylko  mał ej  zm iany  cał ki  z  kwadratu  funkcji  wraż liwoś ci,  a  nie samej  funkcji  wraż liwoś ci.  Jest  to  podstawowa  cecha  charakterystyczna  i  trudn ość wystę - pują ca  przy  badan iu  m odeli  m atem atyczn ych  ukł adów  dynamicznych  cią gł ych,  zawiera- ją cych  wię cej  niż jedn ą   zmienną   przestrzen n ą ,  którą   trzeba  brać  pod  uwagę   przy  fizycznej interpretacji  wyników  dotyczą cych  badan ia  wraż liwoś ci,  lub  przy  badaniach  numerycz- nych. Wzór  (24)  podaje  oszacowan ie  cał ki  podwójnej  z  kwadratu  funkcji  wraż liwoś ci  przy zał oż eniu,  że  rozwią zanie  równ an ia  (1)  to  znaczy  również  i  funkcja  0  dana  wzorem  (16) są   zn an e. W  przypadku  gdy  zm ian ie  ulega  współ czynnik  c  ( p . równanie  (2)), wtedy  mo- ż emy  nie  rozwią zywać  tego  równ an ia  w  celu  wyznaczenia  funkcji  0  lecz  posł uż yć  się oszacowaniem  funkcji  0,  co  wystarczy  do  skon struowan ia  oszacowania  cał ki  podwójnej z  kwadratu  funkcji  wraż liwoś ci  dan ej wzorem  (30). Sens tego wzoru jest taki  sam jak  wzoru (24),  z tą  jedn ak  róż nicą, że p o prawej  stron ie wzoru  (30) nie wystę puje  już jawnie  funkcja  0 której  nie  trzeba  wię c  wyzn aczać.  N ależy jedn ak  podkreś lić,  że  wynik  ten został  uzyskany kosztem  dokł adn oś ci oszacowan ia,  to  znaczy  oszacowanie  (30) jest  „ grubsze"  niż  oszaco- wanie  (24), w  tym  samym  przypadku  badan ia  wraż liwoś ci  rozwią zania  n a  zmianę  współ - czyn n ika  c. Oszacowanie  to zachowuje jedn akże  te sam e cechy jakoś ciowe,  to znaczy moż na n a  jego  podstawie  wn ioskować  o  ograniczonoś ci  i  zm ierzaniu  do  zera  cał ki  podwójnej z  kwadratu  funkcji  wraż liwoś ci. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  B. H .  CMH PH OB, Kypc  eucuieu  MameMomuKu,  t.  IV Toe.  H3fl  Tex.- TeopeT.  JIH T.  M OCKBS, JleHHH- rpa«,  1951 2.  R.  TOMOVIC,  Sensitivity  analysis of  dynamic systems, N Y  1963 Mac  G raw  H ill. 3.  P . ToMOBnq, M . ByKo6PATOBHi,  O6utan meopun  nyscmeumeMbHocmu,  H3fl.  CoseTCKoe PaflHo, 1972. 4.  R.  G U TOWSKI,  Introduction  sur la stabilite du mouvement des systems  continus,  Laboratoire  de  mć ca- nique  des  solides,  L'U niversite  de Poitiers 1978. 5.  R.  G U TOWSKI, Statecznoś ć i  wraż liwoś ć  w ukł adach  mechanicznych,  rozdział   w: Wprowadzenie  do  sta- tecznoś ci  ruchu  ukł adów  cią gł ych,  Ossolineum  1978. • 6.  R .  G U T O WS K I ,  ^ yecmeumeAbJwcmb  petuenuu  ypaeuenuu  deuoiceHun  neKomopux  Kojieoame/ ibnux  cucmeM c  pacnpede/ ieuHUMu  napaAiempajuu,  Proceedings  of the VIII- th  International  Conference  on N onlinear Oscillations,  Prague, 1978. 3  Mech. Teoret.  i  Stos.  3/81 384  R.  G U TOWSKI P  e 3  io  M e M YBCTBH TEJILH OCTL  P E I I I E H H n  yP ABH E H H fl  JI H H E ftH LI X  K O J I E B A H H B MEMBPAH BI  OTH OC H TEJI LH O  H 3M E H E H H K  E r O  K O E cp O H U H E H T O B B  paSoTe  H ccneflyeTCH   qyBCTBH TejitH ocTB  penieH H fi  yp a B i i e m w  jiH H eMH bix  K0Jie6aH H ii  npjiM oy- rOJIBHOH   MeM6paHW  OTHOCHiejIbHO  H3MeHeHHH   KOecbtpHirHSHTOB  3T0rO  ypaBH eilH H .  ^yBCTBHTejIBHOCTL H ccjienycTCH   c  n oM oiubio  anpeflejie'H H oii  B  paSoT e  Ą >ym