Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  19  (1981) O  PEWNYCH  WŁ ASNOŚ CIACH  NAPRĘ Ż EŃ   W KOMPOZYTACH  LAMELKOWYCH STAN ISŁ AW  M   A  T  Y  S I A  K,  Z BI G N I E W  O Ł E S I AK  (WARSZAWA) 1.  Wstęp Badanie  stan u  n aprę ż eń  w  kom pozytach  wł óknistych  m oż na,  w  wielu  przypadkach praktycznych,  sprowadzić  do  rozpatrywan ia  oś rodka  sprę ż ystego  z  wtrą ceniami  (inkluzja- mi)  w  kształ cie lam elek.  I n kluzje  wł ókn iste  są  zwykle  gł ównym  elementem przenoszą cym sił y i obcią ż enia  dział ają ce  n a  cał y  obszar  kom pozytu. W  praktyce  m oduł  Younga wł ókien jest  znacznie  wię kszy  od  m o d u ł u  Youn ga  matrycy.  Przyjmiemy,  że  m ateriał   matrycy jest liniowo  sprę ż ysty, a  sztywność  wł ókien n a  tyle  wię ksza  od  sztywnoś ci  matrycy,  że  m oż na zał oż yć  ich  n ieodkształ caln oś ć.  Z ał oż en ie,  że  wł ókna  mają  kształ t pł askich  lamelek  pro- wadzi  do  uproszczen ia  an alizy  pozwalając  równocześ nie  wycią gnąć  wnioski  dotyczą ce n aprę ż eń w m atrycy  w przypadku,  gdy  wł ókna n ie odbiegają  zbytnio  od kształ tu taś my. Wyznaczymy  tu  stan  n aprę ż eń i  przemieszczeń  wystę pują ce  w  matrycy,  przede wszyst- kim  interesować  n as  bę dą  skł adowe  stan u  n aprę ż en ia  w  bezpoś rednim  otoczeniu wł ókien. Wyprowadzone  wzory  bę dą  przydatn e  przy  okreś len iu  wytę ż enia  w  matrycy  oraz  przy wyznaczeniu  n aprę ż eń  m ogą cych  prowadzić  d o  dekohezji  n a  granicy  mię dzy  wł óknami i  matrycą,  powstawan ia  szczelin,  przekroczen ia  granicy  plastycznoś ci  i  osią gnię cia  od- kształ ceń  trwał ych w  m atrycy,  it p . Skł adowe ten sora n aprę ż en ia i wektora  przemieszczenia zależą  od  współ czyn n ika  P oisson a  v.  Interesują ce jest  t o , że  n p. skł adowa  naprę ż enia nor- malna  do  powierzchn i  lam elki  osią ga  m aksym alną  wartość  dla  v  £  0,317.  Znajomość rozkł adu  n aprę ż eń  w  oś rodku  n ieogran iczon ym  pozwala  n a  oszacowanie  stanu  n aprę- ż enia  w  kom pozycie,  p o d  warun kiem ,  że  odległ ość  mię dzy  poszczególnymi  lamelkami (wł óknami)  n ie jest  m ał a  w  porówn an iu  do  ich  wymiarów  poprzecznych. N ie  zajmujemy się  w tej  pracy  waż ną  dla  kom pozytów  sprawą  uś redn ian ia wartoś ci  stał ych  materiał owych i  n aprę ż eń  [3, 7]. 2.  Stan  naprę ż eń w matrycy  w otoczeniu wtrą cenia  w kształ cie cienkiej taś my M ateriał  kom pozytowy  m oż na  traktować ja ko  oś rodek  sprę ż ysty  o skokowej niejedno- rodn oś ci, lub  w  przybliż eniu  ja ko  oś rodek  n iejedn orodn y z  cią gł ą,  ale  o duż ym  gradiencie, zmiennoś cią  przestrzen n ą  stał ych m ateriał owych. N ajstarsza  m etoda polega  n a rozpatrze- n iu  dwóch  lub  wię cej  ciał ,  z  których  jedn o  jest  matrycą,  a  pozostał e wtrą cen iam i,  przy uwzglę dnieniu  odpowiedn ich  warun ków  brzegowych  dla  każ dego  z  tych  ciał ,  w  tym  wa- run ków  cią gł oś ci  (zwanych  czasam i  warun kam i  n a  „ zszyciu")  przemieszczeń  i  n aprę ż eń n orm aln ych.  Z akł adamy tu, że  wtrą cen ia  wł ókniste, w  kształ cie  lamelek,  są  odpowiednio 398  S.  M ATYSI AK ,  Z .  O LE SI AK uporzą dkowane  oraz,  że  inkluzje  są   oddalone  od  siebie  tak,  że  odn oś ne  odległ oś ci  są  co najmniej  kilkakrotn ie  wię ksze  od  szerokoś ci  lub  gruboś ci  lam elek.  Z ał oż ym y,  że  material lamelek jest n a tyle sztywniejszy  od m ateriał u matrycy, że moż emy  przyją ć  jego nieodkształ - calnoś ć. M aterial  matrycy jest  sprę ż ysty, izotropowy  i  jedn orodn y.  Lam elka  jest  nieskoń- czenie dł uga o szerokoś ci  2a i pomijalnej  gruboś ci.  Przy  tych zał oż eniach przyjmiemy  dwu- wymiarowy  stan  odkształ cenia. W zależ noś ci  od  sposobu  przył oż enia  sił  rozpatrzym y  dwa przypadki  szczególne. Lamelka  zajmuje  nastę pują cy  obszar:  D  =  {(x,y,z);  \ x\  <  h,  \ y\  <  a,  z  eR},  gdzie (x,y,z)  oznacza  ukł ad  współ rzę dnych  kartezjań skich,  h  - 4 a. Przypadek  1.  Obcią ż enia  zewnę trzne  prostopadł e  do  powierzchni  lam elki. Przestrzeń  z  inkluzją   taś mową   jest  poddan a  rozcią ganiu  obcią ż eniami  a 0   w  kierunku osi  x,  prostopadł ym do  powierzchni  lam elki.  Wektor  przemieszczenia  w  dwuwymiarowym stanie  odkształ cenia  ma  postać  u(x,y)  =  (u,v,0). Rozwią ż emy  zagadnienie  brzegowe  teorii  sprę ż ystoś ci  sprowadzają ce  się   do  równań przemieszczeniowych  N aviera  w  postaci (2.1)  ( l - 2 v ) «a , w + % / ) a  =   0,  a, P  =  l,2(wx  =   u, u2  =   v), z  warunkami  brzegowymi (2.2)  « ( 0 , 3 0 - e ( Q . j O - 0,  \ y\ y)  = ~~a, oraz  jedn orodn e  warun ki  regularnoś ci  w  n ieskoń czon oś ci. O  WŁ ASNOŚ CIACH   N APRĘ Ż EŃ  W  KOMPOZYTACH   399 P rzypuś ć my,  że  z  rozwią zan ia  wyn ikn ie,  że  (f xy (0,y)  =   - $(y)H.(y- a),  y  e  R,  przy czym  s(- y)  =   s(y),  oraz  J ( J )  e J5f'  ( -   oo,  +  co).  Rozwią zanie zagadnienia  (b)  przyjmuje postać  n astę pują cą: u(x,y)  =  -   4 ( 1 _ ,  x^ c [ e xp ( - fx) ; y( £ );  £  - »  y], (2.6)  ff„ (x,  y)  =   -   2 ( ł 1 _ y )  &e[{\ - 2v- ix)exp(- fx)3( M * .  ^) -   -   2 ( 1_ y)  ^  K ~ ( 3 ~ gdzie  ^ s [  ;  ], i^cf  ;  ]  są  odpowiedn io  sinusową  i  kosinusową  transformacją  F ouriera, po n adt o  3(f)  =   ^ "«C ?( J O ;  .y - »  £].  s(y)  speł nia  warun ki  brzegowe  (2.5)2  i  (2, 5) 3s  które prowadzą  do  nastę pują cego  u kł adu  dualn ych  równ ań  cał kowych: (2.7)  " O . J ' ) - < r„ ( 0, y)  -   - . rs [ 5 ( f ) ;  |  - +   y]  =   0,  y  >  fl. Rozwią zanie  dualn ych  równ ań  cał kowych  (2.7)  m a  postać  [8]: (2. 8) gdzie  J t (a^ )  jest  funkcją  Bessela. P o  podstawien iu  wartoś ci  cał ek  [4] wystę pują cych  we  wzorach  (2.6)  otrzymamy nastę- pują ce  rozwią zanie  zagadn ien ia  uzupeł n iają cego: r 2c o s©   .  r_  1  , „   ,  „   .11 7 = ^ - s i n\ & - _ ( ©!  +  0 2 )  } ] / rira  L  ^  J) «r«(x, >)  - S r  {O - 2.) [l -  pjŁ j-  cos ( 0 - 1  ((9, + 02))] - (2.9) 4  M ech .  T eoret .  i  Stos.  3/ 81 400 S.  M AT YSI AK ,  Z .  O LE SI AK + rcos6> c o s —  (<9X + 6>2) Rys.  1 gdzie  r,  r lt   r 2   oraz  0,  9 it   0 2   są   okreś lone  wzorami  (rys.  1) y r = rx  =  ]/ x 2  +  ( y- o )2 ,  6>i •   arc tg r 2   a =   arc tg y- g x y+g x dla  x  =  0, ~J' ®  =   T  o r a Z T 7 1 ' 3 dla  x  =   0,  \ y\  >  a,  6>! =  @ 2   =  6  = - y  oraz  y Z  kolei  dla  x  =  0  otrzymujemy  nastę pują ce  skł adowe  przemieszczenia  i  naprę ż enia. Wzory  te podajemy  dla zagadnienia wyjś ciowego, tzn. superpozycji  rozwią zań  zagadnienia (a)  i  (b): «(O,)0  =   0, (2.10) \ y\ a 0 ..  ,  3~2v ffj,j,(U,   v)  = ——T— vt 3 —4v gdzie  H ( j)  oznacza  funkcję   H eaviside'a. Obliczmy  jeszcze  współ czynnik  intensywnoś ci  n aprę ż eń: K,  =  lim ską d,  po  podstawieniu  otrzymujemy O  WŁASNOŚ CIACH   N APRĘ Ż EŃ   W  KOMPOZYTACH   4 0 1 2 (2.11)  K t  ~   3 4 v Z  powyż szych  rozważ ań  m oż emy  wycią gnąć  dwa  nastę pują ce  wn ioski: 1.  lam elki  o  duż ej  sztywnoś ci  speł niają   rolę   kon cen tratora  naprę ż eń  w  matrycy, 2.  współ czynnik  intensywnoś ci  n aprę ż eń osią ga  najwię kszą   wartość  dla  v =   — J —  3 S  0,317. Przypadek  2.  Obcią ż enie  równoległ e  do  powierzchni  lam elki. Obecnie  przyjmiemy,  że  obcią ż enie  zewnę trzne  q 0   jest  równoległ e  do  osi  Oy,  przy niezmienionym  poł oż en iu  lam elki.  U kł ad  równ ań  róż niczkowych  nie  ulegnie  zmianie, podobn ie ja k  warun ki  brzegowe  n a  powierzchni  lam elki,  jedynie  warunki  w  nieskoń czo- noś ci  przyjmą   teraz  p o st a ć : ff:«- »0,  ff„ .- + 0,  a yy - +q o ,  dla  ]/ x2+y2- +  00 Również  w  tym  przypadku  wykorzystam y  zasadę   superpozycji.  Z agadnienie  (c) odpo- wiada  równ om iern em u  stan owi  n aprę ż en ia  wywoł anemu  w  oś rodku  sprę ż ystym  bez inkluzji  obcią ż eniami  q 0   przył oż on ymi  w  nieskoń czonoś ci.  Rozwią zanie  zagadnienia(c) otrzymamy  z  rozwią zan ia  zagadn ien ia  (a)  przez  cykliczną   zam ianę   współ rzę dnych: u(x,y)  =   —2u  () (2  12) a. Rozwią zanie  zagadn ien ia  (d)  otrzymujemy  przez  podstawienie  we  wzorach  (2.9)  wartoś ci (2.14)  < r o =   - - ^ « o- P rzez  superpozycję   rozwią zań  zagadn ień  (c) i  (d)  otrzymujemy  dla  x  =  0  rozwią zanie odpowiadają ce  przypadkowi  2  obcią ż eń  zewn ę trzn ych: H ( 0 ,  y)  =   0, (2.15) 4* 402  S.  MArysiAK,  Z .  O LE SI AK (2.i5)  3~ 4v  \ / a  - Icd0  M O ,  fl=^af Współ czynnik  intensywnoś ci  naprę ż eń  przyjmie  w  tym  przypadku  wartość (2.16)  Kj  =   - osią gając  maksymalną   wartość  dla  v  — 0. 3.  Wyniki  liczbowe  i  wnioski Z  otrzymanych  wzorów,  w  obu  przypadkach  obcią ż eń  m oż emy  obliczyć  kon cen trację naprę ż eń  oraz  współ czynniki  intensywnoś ci  n aprę ż eń.  D la  p o ró wn an ia  podajem y,  że odpowiedni  współ czynnik  intensywnoś ci  n aprę ż eń  szczeliny  G riffitha  w  dwuwym iarowym stanie  odkształ cenia  przyjmuje  wartość (3.1)  Ki  =  )/ nap 0 , gdzie  p Q   są   obcią ż eniami  prostopadł ym i do  powierzchn i  szczeliny.  Jak  widać  współ czynnik ten  nie  zależy  od  stał ych  m ateriał owych.  W  przypadku  in kluzji  m oż na  m ieć  wą tpliwoś ci ja k  należy  obliczyć  współ czynnik  intensywnoś ci  n aprę ż eń.  K aż da  ze  skł adowych  stanu n aprę ż en ia  wzrasta  nieograniczenie  w  otoczen iu  wierzch oł ków  inkluzji  i  niewiadome- , kt ó ra  z  nich bę dzie  decydują ca  przy  inicjacji  pę kan ia.  Wydaje  się ,  że  w  p rzyp ad ku  odkle- jan ia  się   m ateriał u  matrycy  od  inkluzji  decydują cy  wpł yw  bę dzie  m ieć  skł adowa  styczna ten sora  naprę ż eń,  w  przypadku  pę kn ię cia  n a  zewn ą trz  inkluzji  w  pł aszczyź n ie  lamelki skł adowa  n orm aln a  n aprę ż en ia. N a  rysunkach  2 - 7  przedstawiliś my  rozkł ad  poszczególn ych  skł adowych  n aprę ż en ia oraz  podaliś my  wykresy  sześ ciu  funkcji  stał ej  m ateriał owej  P o isso n a / x (?) —f6(v).  Okazuje się ,  że  każ da  z  wymienionych  skł adowych  n aprę ż en ia  zależy  w  in n y  sposób  od  stał ej Pois- son a,  osią gając  najwię ksze  wartoś ci  bą dź  n a  brzegach  przedział u  zm ien n oś ci,  lu b  przyj- mują c  ekstrem um  wewną trz  dziedziny  okreslon osci  v.  W  p rzyp ad ku  obcią ż eń  n orm aln ych do  powierzchni  lam elki  a 0 ,  n aprę ż en ia  ff xx (0,y)  osią gają  m aksim u m  dla  wartoś ci  stał ej 3 — 1/ 3  2—l/ 3 P oisson a  v,„  =   — J — ,  wtedy  / i (?'„,)  =   —j- —.  N aprę ż en ia  cr xy (0,  y)  o raz  ^„ .(O, y)  zni- kają   dla  v  =  0  i  przyjmują   odpowiednie  najwię ksze  wartoś ci  dla  m ateriał u  nieś ciś liwego. Z  kolei  przy  obcią ż eniach  równoległ ych  do  powierzch n i  lam elki  q 0   otrzym ujem y  najwię k- sze  wartoś ci  a xx (0,y)  oraz  o xy (0,y)  dla  v  =   0,  p o n a d t o  <7 xx (Q,y)  zn ika  dla  m ateriał u nieś ciś liwego.  N aprę ż en ia  a yj ,(0,y)  n at om iast  przyjmują   wartość  m in im aln ą   dla  v m v m 3- ] /3  2 + i / 3 -   — ^ —  wynoszą cą   f 6 (v m )  =   — - ± — ,  a  jednakowe  wartoś ci  najwię ksze  dla  v  =  0 i  v  =  0,5. J 3 2 1 0 ­1 ­2 y / a P»1­f1» !  :i  < a 0 • ff«(o, u) gp — 0,01 0,05 0  0,1  0,3 \ Rys.  2 t  t  t t y/a ­ 2  ­1 t  t t  t  t  t­ 0  1 2  3 f5(v — , (1­v 3­4i _ —•  ­ > 0,5 V 0,8 0,6 0,4 0,2 0  0,1  0,3 C I  I  I  I  I  I  I  I  I  I  I* Rys.  3 — — — " — ­ i = — , 0 U/a 2 , i  i _»_ "!jy(0, u) — • " • — r t * . '  f 3 ( v ) ­ 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 3­4v 0  0,1  0,3  0,5 Rys.  4 [403] 0,4 0,3 0,2 0 , i- y)(i- 2v; 3- 4v 0   0,1   0,3 Rys.  5 Rys.  6 f  t  f  Luk  t  t  t 10,4 0,2 0  0,1  0,3  0,5 I  I  ł   ł   ł * Rys.  7 [404] 0   0,1 O  WŁASNOŚ CIACH   NAPRĘ Ż EŃ   W  KOMPOZYTACH 405 0,01 0  .  30°  60°  90"  120°  150°  180° Rys.  8 a) b) 200 60°  90°  120°  150°  180° Rys.  9 Zaletą   przedstawioqego  tu  rozwią zania  analitycznego  dla  kompozytu  z  nieodkształ - calnymi  lam elkam i  jest  ł atwość  wycią gnię cia  interesują cych  n as  wniosków.  Rozwią zanie dla  lam elki  sprę ż ystej  prowadzi  d o  równ an ia  cał kowego  F redholm a I I rodzaju  n a  pewną funkcję   w  przestrzen i  tran sform at.  Rozwią zanie  m oż na  otrzymać n a  drodze numerycznej, z kolei  przem ieszczenia  i n aprę ż en ia otrzymujemy  przez  obliczenie  odpowiednich transfor- m at  odwrotn ych .  D yskusja  otrzym an ych  n a  tej  drodze  wyników  jest  trudn a  i  ucią ż liwa i  prowadzi  do  wzorów  przybliż on ych. 406  S.  M AT YSI AK ,  Z .  O LE SI AK 4.  Ogóln y  przypadek  obcią ż en ia Przypuś ć my,  że  równ om iern e  pole  n aprę ż eń  p 0   jest  n achylon e  p o d  ką tem  a  do po- wierzchni  lamelki.  Wtedy  wystarczy  do  wyprowadzonych  wzorów  podstawić (4.1)  ff0  =   j?o sin a,  q0  =   p0cosa. Odpowiedni  warunek  brzegowy  w  zagadnieniu  uzupeł niają cym  (b)  wzór  (2.5)  przyjmie postać (4.2)  »(0,J>)  =  - ^ - P o K s i n«  +  c o sa ) - c o sa ], do  wzorów  (2.9)  należy  wtedy  podstawić r.  i  i (4.3)  tr0  =   p 0  sin a +  cos a  co sa  . Rozwią zanie  ogólne  otrzymamy  przez  dodan ie, w  odpowiedn i  sposób,  d o  wzorów  (2.9) rozwią zań  zagadnienia  (a),  bę dą cego  uogólnieniem  rozwią znia  (2.4),  w  postaci 2/ Mi(x,y)  —  ~ p 0 x[v(sisia  +  co&a)—sina], 2/ j,v(x, y)  =   p 0 y[v(cosa  — sin a) —c o sa ] , (Ą   Ą \ a xx (x,y)  =  posina,  o xy (x,y)  =  0, f(x,y)  = =   const.  Ponieważ  rozwikł anie  tego  równ an ia  jest  ucią ż liwe,  a  najbardziej  interesuje  nas wartość  energii  w  bezpoś rednim  otoczeniu  wierzchoł ków  lam elki,  tzn .  p u n kt u  ( 0, a) wyprowadzimy  wzory  przybliż one,  wykorzystują c  rozwinię cia  asym ptotyczn e  dla  mał ej wartoś ci  rja  =   6  <̂  1  (por.  rys.  1).  Otrzymujemy  nastę pują ce  wzory: < ">  « , - *.  2 V T i O  WŁASNOŚ CIACH   NAPRĘ Ż EŃ  W  KOMPOZYTACH   4 0 7 [cd.] 1  3  1 ~ ^ sin ? > sin T ^ Wzór  n a  energię   wł aś ciwą   odkształ cenia  postaciowego  ma  post ać: 3)  4> f {x,y)  = 2 + +24<1 - ' ł y ks i n  I - W  podobn y  sposób  m oż na  wyprowadzić  wzór  n a wł aś ciwą   energię   obję toś ciową: 3  I 2 7t 'V Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  J. D .  ACH EN BACH ,  A  theory of  elasticity  with  microstructure for directionally  reinforced  composites. CISM   Courses  and  Lectures  n r 167,  1975, U dine. 2.  W. E.  CLAUSEN ,  A. W.  LEISSA,  Stress  and deflection analysis of fibrous  composite materials  under external load, AF ML- TR- 67- 151. 3.  I . N .  FRAN CEVIC,  D .  M .  KARF IN OS, Kompozicjonnyje  materiał y woloknistogo strojenja, Kijów, N aukowa D umka,  1970. 4.  I . S.  G RAD SZTEIN , I .  M .  R YŻ I K,  T ablicy integralow, summ, rjadow,proizwiedenij, N auka, Moskwa, 1971, 5.  Z,  H ASH IN ,  T heory  of fiber  reinforced materials,  N ASA  Contractor  Report,  N r  1974,  M arch 1972, 6. L. JEN TSCH , VII Sympozjum zagadnień i metod fizyki  matematycznej, Karl- Marx- Stadt,  18 -  22  VI1979, referat  sekcyjny  pt. Zagadnienia matematyczne teorii sprę ż ystoś ci dal  o jednorodnoś ci  skokowej. 7.  G . P.  SEN DECKIJ, Mechanics of composite materials, Academic  Press  1974, także wydanie  rosyjskie  M ir. Moskwa  1978. 8.  I . N .  SN ED D ON ,  Mixed  boundary value problems  in  the potential  theory,  N orth  H olland  P ubl.  Com, Amsterdam,  1966. 9.  G . A.  WAN - F O- F Y,  Prikladnaja  M iechanika,  1, 5, 111  (1965),  Kijów. 10.  G .A.  WAN - F O- F Y,  M iechanika  Polimierow,  4, 593  (1966). 408  S.  MATYSIAK,  Z .  OLESIAK P  e 3  IO  M e 0  H E KOTOP H X  CBOKCTBAX  H AIIPfl)KEH H £ ł  B  KOM ITO3H 1],H OH H BIX  MATEPH AJIAX C  J1EH TOOBPA3H BIM H   BOJIOKH AM H K0M II03im H 0H H bIH   M aTepH aJI  C JieiI T 006p a3H H M H   BOJIOKHaMH.  BblBe fle H bl  (J)Op- Ha  nanpH weH H H  a  nepeiviemeinm  B M aipim e  oicpyH i