Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z3.pdf M E C H A N I K A TEORETYCZ N A I  STOSOWAN A 3,  19  (1981) DRGANIA  GEĘ TNE  BELKI  WYWOŁAN E  P ORU SZ AJĄ C YM   SIĘ   U KŁAD EM   D YSKRETN YM STAN ISŁAW  K  AS  P  R Z  Y  K,  RYSZ ARD   Z  I  E R  N   I C K  I ,  ( K R AK Ó W) W  pracy  an alizowan e  są   swobodn e  drgan ia  gię tae  belki  elastosprę ż ystej  wym uszon e poruszają cym  się   po  n iej  ze  stał ą   prę dkoś cią   ukł adem  o  dyskretn ym  rozł oż en iu  m asy. Z agadnienia tego  typu są  rozważ ane w pracach  [1, 2, 4, 5] przy zał oż en iu a priori,  że  funkcje wł asne  i  wartoś ci  wł asn e  belki  n ie zależą   od param et ró w  poruszają cego  się   u kł a d u dys- kretnego. W pracach tych  drgan ia  ukł adu przybliża  się  pierwszą   h arm on iczn ą , tj.  pierwszą postacią   drgań  wprowadzają c  w  ten sposób  u kł ad  dyskretno- cią gły  do  u kł ad u  o  dwóch stopniach  swobody. W  pracy  [3] p o kazan o ,  że  funkcje  i  wartoś ci  wł asne  belki  w  przypadku  ustalon ego poł oż enia  ukł adu  dyskretn ego  n a  belce  zależą   równ ież  w  istotn y  sposób  od  p a r a m et r ó w ukł adu  dyskretn ego.  Wykorzystują c  ideę   wyznaczania  funkcji  wł asnych  [3], w  pracy  [6] pokazan o,  że  sił a  w  lin iowym  elem encie  sprę ż ystym  ł ą czą cym  belkę   z  m asą   sku pio n ą w  istotny  sposób  zależy  od  drgań  belki. Celem  niniejszej  pracy  jest  przedstawien ie  nowej  przybliż on ej  m etody  an alizy  drgań zachowawczego  u kł a d u  przedstawion ego  n a  rys.  1. w ( x , t ) | Rys.  1 Oznaczenia: v —  prę dkość  przem ieszczan ia  się   ukł adu  dyskretn ego  B -  C p o belce O -  A, m — m asa  ciał a  B,  m 0   — m asa  ciał a  C,  El—  sztywn ość  zgin an ia  belki,  QF—gę stoś ć belki  n a  jedn ostkę   belki,  k —  współ czyn n ik  sprę ż ystoś ci,  w(x,  t) —  przem ieszczen ie pun któw  belki,  z(t)  —  przem ieszczen ie  ś rodka  m asy  ciał a  B, I — dł ugość belki  O - A, a  — współ rzę dna poł oż en ia  ciał a  C n a belce m ierzon a od p u n kt u 0, a e  [0,  / ],  d(x — a) —  im pu ls D iraca  w  pun kcie  a. Przyję te zał oż enia: 1.  U kł ad  dyskretn y  B - C  po ru sza  się   ze  stał ą   prę dkoś cią   v. 2.  C iał o  C  w  czasie  ru ch u  n ie  odrywa  się   od  belki. 3.  Jeż eli  ukł ad  B -  C  znajduje  się   w  pun kcie  o  współ rzę dn ej  x  =  0, to belka  O -  A p o - zostaje  w  spoczyn ku. 424  S.  KASPRZYK,  R.  ZIERN ICKI 4.  z(0)  =   z 0 ,  ż (0)  =  ż 0   dla  x  =   O — warunki  począ tkowe  ukł adu  B- C. 5.  U kł adem  o  cią gł ym  rozł oż eniu  masy  jest  pryzmatyczna  belka  sprę ż ysta  swobodnie podparta  o  stał ej  sztywnoś ci  EL 6.  Amplitudy  drgań punktów belki  są mał e tzn. są tego samego rzę du co ugię cia statyczne przekroje  poprzeczne  nie  ulegają  odkształ ceniu  oraz  pozostają  pł askie. 7.  W ukł adzie pominię to wpł yw tł umienia, bezwł adnoś ci obrotowej  przekroi poprzecznych oraz  ś cinania. D rgania  ukł adu przedstawionego  na  rys.  1  są  opisane  ukł adem równań: {f f l »|r  +k[z(t)- w(vt, 0]}, d 2 z dt 2 z  warunkami  brzegowymi (2)  H>(0, O =  O, oraz  począ tkowymi (3)  w(x,0)  =   0 Przytoczymy te wyniki  z pracy  [3], z których bę dziemy korzystali  w dalszej  czę ś ci  niniejszej pracy. Przyjmując  v  —  0 i  m 0   =   0 w  ukł adzie równań  (1), otrzymujemy  zagadnienie  rozwa- ż ane  w  [3],  t j.: 01. ( ) A  ,  ,  ,   s /n- T- 2- +fcz  =   kw(a,  t), z  warunkami  brzegowymi  (2)  oraz  począ tkowymi (5)  w( x> 0) = / 1( x) ,  i ^ ! = / 2 ( x ) ,  , ( 0 ) - zt J Ogólnym  rozważ aniem  ukł adu  równań  (4) jest: (V w(x, t) - £ xn(x)Tu(t),  2(0  - n- =l gdzie : (8 ) x  dla  x  35  a 0  dla  x  < a, D RG AN IA  G IĘ TNE  BELKI 425 Wektory  wł asne  (X„(x),  A„)  =   y„  problemu  (4),  (2)  odpowiadają ce  róż n ym  war- toś ciom  wł asnym  są   ortogon aln e  z  wagami  M,  m,  tzn. (9) ym,y«>  =   J[MXm(x)X„(x)+mAmAn]dx  = 0  dla  m  ^   n y  >  0  dla  m =   n, gdzie:  QFI  =  M,  n,  m  e IN . W  dalszej  czę ś ci  pracy  przyjmiemy  y  =   1,  wynika  to  z  odpowiedniego  un orm owan ia {X n {x),A n ). Z  (5),  (6),  (7),  (8)  i  (9)  wyznaczamy  stał e,  które  dla  warun ków  począ tkowych  (6) w  chwili  t  =   t 9   wynoszą : (10)  C ln   =   F i 8 c o sjyB fo - ^ an sin c a n fQ ,  C2„  =   Y„siaa>„t0+Y2ncoscont0, gdzie: Y ln   =   f[MX m (x)f i (x)+mA„z 1 ]dx,  Y 2n   =   —  ( [MXn(x)f3(x)+ mAnz3]dx. o  "  o Stał e  R„,  Q„  i  A„  wyzn aczam y  z  równ an ia: m l ,  „ (11) — smX„l  shA„Z sm / lna m E J gdzie: =   sin A^ l-   a)+sh.  A n (l- a) Wartoś ci  wł asne  X n  wyliczamy  z  równ an ia  otrzymanego  z  przyrównania  d o  zera  wyznacz- nika  macierzy  współ czynników  (11). 1.  Przedstawimy obecnie ideę  metody otrzymywania przybliż onego  rozwią zania  równ ań  (1) z  warunkami  (2)  i  (3).  Przy  zał oż eniu  m  >  m 0 ,  przyjmujemy  m0  =   0. 1.1.  Przedział   [0, a]  dzielimy  n a  n  równych  czę ś ci  pun ktam i  x o ,Xi.  ...,x„,  przy  czym 0  = x 0   <  x t   <  x 2   ...  <  x t   <  ... x„ _ !  <  x„  — a. 1.2.  U kł ad  ciał   B -  C znajdują cy  się   w punkcie x  =   0 dla  t e  0, —  przenosimy  w  czasie zerowym  do  pun ktu  x t   — —  i  pozostawiamy  go  w  tym  pun kcie  dla  /  e  — ,  —-   . W  tym  przedziale  czasu  jest  wzajemne  oddział ywanie ukł adu  B -  C i belki  w  pun kcie x  =  x 1 .  Przeniesienia  dokonujemy  tak,  aby  wektory  prę dkoś ci  wzglę dnych  belki w  punkcie  x x   i  ciał a  C  był y  sobie  równe.p   x   y y 1.3.  Wyznaczamy  rozwią zanie  z l —,  A  oraz  MMX, —,  t\ . 426 S.  K AS P R Z YK ,  R .  ZrERNrcKi 1.4.  N ast ę p n ie, jeś li  t  =   —  u kł ad  B - C  przenosim y  sposobem  podan ym  w  punkcie  1.2 2a do  p u n k t u  belki  o  odcię tej  x 2   =   — • 1.5.  P o st ę po wan ie  t o  powtarzam y  tak  dł ugo,  aż  ukł ad  ciał   B - C  znajdzie  się   w punkcie x  =   a,  a  n ast ę pn ie  wyznaczamy  rozwią zanie  z(a,  t)  i  w(x,  a, t).  Sposób  przemiesz- czan ia  ciał  B -  C p o  belce przedstawion y  w pu n kt ach 1.2  - 1.5 n azwan o porównawczym ru ch em  skokowym .  Powyż sze  postę powan ie  ilustruje  rys.  2. p rzebieg  rzeczywisty  u kt o d u  c ia ł   B- C  d o  pun ktu  x= a I —  przebieg  przybliż ony  dojazdu  u kt a d u  citrt  B- C  do  punktu  x= a Rys.  2 Uwaga  1.  Z  przedstawion ej  w  pu n kt ach  1.1  - 1.5  m etody  postę powan ia  wynika,  że w, z,X,  ...  zależą   równ ież  od  param etru —  i  dla  krótkoś ci  zapisu  ozn aczym y: t=o Rys.  3 U wzglę dn iając  powyż sze  zał oż en ia, rozpatrzym y  kolejne  etapy  ruch u  ciał   B -  C po bel- ce  O - A. W  ch wili  t  =  0  u kł ad  B - C  znajduje  się   n a lewej podporze (rys.  3). Z godn ie z zał oż eniem 3 belka  pozostaje  w  spoczyn ku.  W  tym  przypadku  m am y  warun ki  począ tkowe: (12) D R G AN I A  G I Ę TN F.  BELKI 427 Z  (6),  (7), (8)  i  (11)  otrzym ujem y  rozwią zan ie  dla  x (13)  wm(x,t)  =  0,  z(0  ^ Krok  pierwszy =  0, t e  0, —  , z|a/ n,t)r x,- Ax- a/n w(x,a/ n,t) R ys.  4 U kł ad  dyskretn y  B -  C znajduje  się  w pun kcie x x   = —  dla t  e n L nv\ (rys.  4) i p o bu d za belkę   do drgań .  Jest  t o  wię c  u kł ad  dyskretno- cią gł y,  którego  drgan ia  wyzn aczam y  z (6), (7)  i  (8) dla  n astę pują cych  warun ków  począ tkowych: (14)  ^ 0)(h)  =   z 2 cosco 0 t 1 —z 1 co 0 sw.a>oti, wf 0 ) ( x,  t  ) =   O,  w(0)(;e  O  =   0,  t  = D la  pierwszego  kr o ku  funkcje  wł asne  (8) mają   p o st a ć : (15)  X^ (x)  «•   jRi^sinA^ +  • 2pF Z  (10) dla  xx  =  —  wyliczam y  stale w  zależ noś ci  od U o) Z  (7)  otrzymujemy (17) r  ,  >-, L  \ nj\ ( 1 428 S.  KASPRZYK,  R.  ZIERN ICKI Wobec  (7)  i  (14)  otrzymujemy: ) -  o, (18) fc~l — Mnoż ąc pierwsze  dwa równania (18) przez MXy>(x) oraz trzecie i czwarte przez m^j1', a  nastę pnie  dodają c  pierwsze  do  trzeciego  i  drugie  do  czwartego  otrzymujemy: (19) L z1c o s«M 1  +L =   m ^ 1 '  [z2co sft > 0 ?j  - J x ]. Cał kują c  stronami (19) w przedziale  [0, 1] oraz wykorzystują c  (7), (9) i  (14) wyliczamy stale  Cft\ ( 2 0 ) gdzie Wykorzystują c  (6), (15), (16),  (17)  i  (20)  otrzymujemy  rozwią zanie  ukł adu (1) z wa- runkam i  (2)  i  (3),  (m 0   =   0)  dla  te  0, —  . L  nv \ Krok  i- ty. x,= iAx= - iq/n t  x I  w(x,ia/ n,+ ) Rys.  5 D RG AN IA  G IĘ TNE  BELKI  429 W  /- tym  punkcie  (x  =   x t ,  t t   — tt t )  warunki  począ tkowe  są   nastę pują ce: Rozwią zanie  (6)  w  i- tym  kroku  ma  postać: 0 0 w«\ x, 0 = (22) Funkcja  wł asna  (8)  dla  / - tego  kroku  ma  postać: (23) gdzie: 2QF  sin[A«>Z]  " J  '  '  ~~  '  '  • • • '"- '• Wobec  (7) funkcja  TS() dla  z- tego  kro ku  wyraża  się   wzorem Z  (6) i  (21)  otrzym ujem y  u kł a d  równ ań ( 2 4 )  fc=' J t = l 0 0 Mnoż ąc  pierwsze  dwa  równania  ukł adu  (24)  przez  mAj]  i  dwa  ostatnie  przez  MXf>, a  nastę pnie dodają c  stronami pierwsze  do  trzeciego  oraz  drugie  do  czwartego  równania otrzymujemy  odpowiednio: -   0 . 430 S.  KASPRZYK,  R.  ZIERN ICKI C ał kując  st ro n am i  u kł ad  równ ań  (25)  w  przedziale  [0, / ]  oraz  uwzglę dniając  (7),  (8) i  (9)  wyliczam y  C[%  C $ ,  tzn . (26) gdzie (27) it t ),  (i  -   1,  2 , . . . , «) , Yfk = (i  = 1 , 2 ,  . . . , h ) . U waga  2. We  wzorze  (26)  dla  i  =   1  należy  wstawić  odpowiedn io: Uwaga  3. Jeś li  przyjm iem y: to  z wzoru  (10) otrzym ujem y  wzór  (27). D la n- tego kro ku  l x  =   a, t  =   — I  należy  podstawić w  powyż szych  wzorach  i  — n. Obliczenia  numeryczne  wartoś ci  wł asnych. Obecn ie  przedstawim y  wyn iki  obliczeń  num erycznych  wartoś ci  wł asnych  i  czę stoś ci wł asn ych rozważ an ego  zagadn ien ia uzyskan e  n a  maszynie  cyfrowej  C YBE R  72. Obliczono kilkan aś cie  kolejn ych  wartoś ci  wł asn ych  X s  w zależ noś ci od poł oż en ia u kł adu  B -  C n a belce dla n astę pują cych  dan ych :n  =   100, wi  =   16,5749 [ k G s 2 m - ł ] , £ /  =   2, 1- 9, 785-   10s [kG m2], QF  =   5,51  [ k G s 2 n r 2 ] ,  k  =   5 •   10*  [ k G n r 1 ] ,  /  =   6  [m]. Wyn iki  obliczeń  przedstawion e  są  n a  rys.  6- 12. 2.2  - 2.0 1.8 1.6  = 1.4- 1.2 ~ 1.0 0.8 0.6 0.2 1   1   1   1 - - - - 1   1   1   1 1   1   1   1   1 x  - : A0   - 1   1   1   1   1 0  0.6  1.2  1.8  2.4  ' 3. 0  3.6  4.2  4.8  5.4  6.0 I  x  L / N Rys.  6 2412 2144 1876 1608 1340 1072 804 336 268 n I  I  I  I - - - - - _ I  1 I  1  1 _ - • l O j - - - W\   - l—ł  1—1  1»- I UÓ  0.6  1.2  1.8  2.4  3.0  3.6  4.2  4.B  5A  60 I  xL/ N Rys.  7 0.286, 0.6  1.2  1.8  2.4  3.0  3.6  4.2  4.8  5.4  6.0 l x  L / N Rys.  8 57 56 55 54 5 3 u , 52 51  . 50 49 48 540 538 536 534 532 *  530 528 526 524 522 520 0.6  1.2  1.8  2.4  3.0  3.6  4.2  4.8  5.4 |xL/N Rys.  9 0.6  1.2  1.5  2.4  3.0  3.6  4.2  4.8  5.4 I x L / N Rys.  10 1.5720 1.5718 1.9716 1-5714 1.5712 K 1.5710 1-5708 1.5706 1.5704 1.5702 1.5700 1  I I I  I I r  j"—\  y  \o>3 - ! / 1 1 1 V r 1 1 V N - ­ _ I O 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4,8 5.4 6.0 I »L/N Rys.  11 1510 1509 1508 1507 1506 1505 L 1S04 1503 1502 1501 1500 U " ­  >  1  •  ­ 1 '  1—  1  I  < * £ O 0.6 1.2 1.8 2£ 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 I < L / N Rys.  12 2674 6  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/81 [431] 432  -  S.  KASPRZYK,  R.  ZIERN ICKI Wnioski 1.  W  przedstawionej  metodzie  funkcje  wł asne  oraz  wartoś ci  wł asne  (czę stoś ci  własne) belki  zależą   nie  tylko  od jej  parametrów  lecz  również  od  parametrów  poruszają cego się  po niej ukł adu dyskretnego. Takie podejś cie pozwala na dokł adniejszą   analizę  drgań rozważ anego  ukł adu. 2.  Jeś li  w  przedstawionej  metodzie zwię kszymy liczbę   „n"  punktów podział u to ruch po- równawczy  poruszają cego  się   po belce ukł adu dyskretnego  zbliża  się   do  ruchu rzeczy- wistego. 3.  Przedstawiona w pracy metoda analizy drgań gię tnych belki  wywoł anych  poruszają cym się  ukł adem dyskretnym może być również zastosowana  do bardziej zł oż onych układów dyskretnych  poruszają cych  się   po  belce. 4.  Przeprowadzone obliczenia  na  maszynie  cyfrowej  (dla  dwóch  przypadków) pokazały, że poł oż enie ukł adu dyskretnego  na belce sprę ż ystej nie ma duż ego wpływu  na wyż sze wartoś ci  wł asne ukł adu. 5.  Róż nica wartoś ci  wł asnych ukł adu dyskretno- cią gł ego  typu  (1, oo) i wartoś ci własnych belki swobodnie podpartej i z tymi samymi warunkami brzegowymi  maleje dla wyż szych wartoś ci  wł asnych. 6.  W zbiorze czę stoś ci wł asnych ukł adu dyskretno- cią gł ego pojawia  się  dodatkowa czę stość wł asna, która jest mniejsza od pierwszej czę stoś ci wł asnej belki. Pojawienie się  tej czę stoś ci spowodowane jest uwzglę dnieniem parametrów ukł adu dyskretno- cią gł ego przy wyzna- czaniu  funkcji  wł asnych. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  A.  S.  D M I TR I E V, Kritić eskoje skorosti dviienija podressorennogo gruza. Problemy  Masinostroenija, Vyp. 5 s.  29 -  33,  Akademija  N au k  U krainskoj  SSR,  N aukowaja  D um ka  1977. 2.  A.  G .  G ALĆ EN KO,  S. I .  KON A§CEN KO,  O  kolebcmijach  balki pri  dvizenii po  nej  gruppy gruzów i  gruza s  polsirujuscej siloj,  Tr.  D nepropetrovsk. Transzeldovizdat,  1963. 3.  S.  KASP RZ YK,  D AN O - T H I N H, Drgania swobodne zachowawczego  ukł adu dyskretno- cią gł ego.  Zagadnienia D rgań  N ieliniowych,  z.  19,  1979. 4.  G . F .  KRAVCEN KO,  O  kolebanijach  svobodnogo  opertoj  balki pri  dvizenii po  nej  sistemy podressorennych gruzów.  P rikł adnaja  M echanika. T.  I I I , N o, 8,  Moskva  1967. 5.  A. B.  M ORG AVSKIJ,  O  vHjanii ressorov  na velcinu dinamiceskogo effekta  ot podriznoj nagruzki, Sb.  Issle- dovanija  p o  teorii  sooruź enij,  Vyp.  XI V  s.  67 -  72.  Moskva  1965. 6.  J .  WAP I E N N I K,  R .  ZIERN ICKI,Porównanie  sił  sprę ż ystych w  ukł adzie dyskretnym idyskreno- cią gł ymtypu ( 1,  co).  Zeszyty  N aukowe  AG H ,  z.  728  Kraków  1979. P  e 3 jo  M e KOJIEEAHHil  BAJIKH   BHHy^KflEHHBIE  ^ m M E »AH H ^I E C KO0  CH CTEMOfł   H 3  COCPEJliOTOqEHHLIMH   IIAPAMETPAMH. B  craTŁe  poccM aipbiBaeTcH   MaTeMaTinecKaH   MOflenb  H J I S  aH ajnrea flH H aM H qecKoro peaKipn o  6HJIKH n o  KOTopoft flBH >KeTCH  M exaH M eci