Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z3.pdf M E C H A N I K A TEORETYCZN A I  STOSOWAN A 3,  19  (1981) WARUNEK  UTRATY  STABILN OŚ CI  KON WEKCJI SWOBOD N EJ  W  WARSTWIE  P OR OWATE J BARBARA  B O R K O W S K A - P A W L A K,  WŁODZIMIERZ  K O R D Y L E W S K I  (WROCLAW) Wstę p W  ostatniej  dekadzie  obserwuje  się   wzrost  liczby  publikacji  dotyczą cych  konwekcji swobodnej  w oś rodkach porowatych.  Problematyka ta  ma szereg aspektów  technicznych takich jak  ekstrakcja  ropy z ł upków, poprawa wł asnoś ci materiał ów izolacyjnych  i niektóre zagadnienia  technologii  chemicznej.  Peł ni  również  waż ną   rolę   w  zagadnieniach  geofi- zycznych. Z  teoretycznego  punktu  widzenia  konwekcja  swobodna  spowodowana  gradientem temperatury  dostarcza jednego  z  najprostszych  przykł adów niestabilnoś ci  ruchu w mecha- nice  pł ynów.  Klasycznym  obiektem  jest  tu  warstwa  pł ynu  ograniczona  dwoma  nieprze- nikliwymi  pł aszczyznami,  z  których  dolna  ma  wyż szą   temperaturę . LAPWOOD   [1]  wykazał ,  że  dla  liczby  Rayleigh'a  Ra  =   4n2  rozwią zanie  trywialne równań ruchu pł ynu  i  bilansu  energii  cieplnej  w  warstwie porowatej  staje  się   niestabilne, co  utoż samia  się   z  wystą pieniem  konwekcji  swobodnej.  Liczne  badania  doś wiadczalne potwierdził y ten rezultat wykazują c,  że konwekcja  swobodna wystę puje  dla liczb  Rayleigh'a wię kszych  od pewnej  wartoś ci  krytycznej, która zawiera  się  w granicach: 32,3  <  Ra  <  43. N a  przeł omie lat  60  i  70- tych,  seria  prac eksperymentalnych  [2],  [3],  [4] wykazał a,  że ruch konwekcyjny  w warstwie porowatej staje  się  niestabilny po przekroczeniu przez liczbę Rayleigh'a  wartoś ci  zawierają cej  się   w  zakresie  240  <  Ra  <  280.  Od  tego  czasu,  proble- mowi  teoretycznego  okreś lenia  tzw.  drugiej  liczby  Rayleigh'a  poś wię cono  wiele  uwagi. Z matematycznego punktu widzenia  zagadnienie polega  na wyznaczeniu  wartoś ci  krytycz- nej liczby  Rayleigh'a,  dla  której  nietrywialne  rozwią zanie  równań  ruchu  i  bilansu  energii staje  się   niestabilne. W  dotychczasowych  pracach  teoretycznych  rozwią zań  poszukiwano  numerycznie metodą   róż nic  skoń czonych  lub  metodą   G alerkina; ich  stabilność  badano  metodą  G aler- kina,  również  numerycznie. STRAUS  [5]  stwierdził ,  że  nieregularne  fluktuacje  ruchu  pł ynu  w  warstwie  porowatej pojawiają   się , gdy  Ra  >  380.  CALTAGIRONE  [6] wykazał , że ruch konwekcyjny  w  warstwie porowatej przestaje  być stabilny  dla Ra  >  384. Jednakże póź niejsze  prace nie potwierdził y poprawnoś ci tych rezultatów.  Schubert i Straus  [7] stwierdzili,  że  druga  liczba  Rayleigha zawiera  się   w  przedziale  300  <  Ra  <  320.  H ORN   [8] odkrył  fluktuacyjny  charakter  kon- wekcji  swobodnej  w warstwie porowatej  dla Ra  >  300. Tak  wię c, druga  liczba  Rayleigh'a nie jest jeszcze  okreś lona  i  wydaje  się ,  że wymagane  są   bardziej  staranne  studia  nad  za- gadnieniem  utraty  stabilnoś ci  ruchu  w  oś rodku  porowatym. 8  M ech .  T eo ret .  i  Stos.  3/ 81 4 6 4  B.  BORKOWSKA,  W .  KORDYLEWSKI C elem n in iejszej  pracy jest okreś lenie drugiej  liczby  R ayleigh a  m etodam i analitycznymi. I n spiracją   był y  m ię dzy  in n ym i  prace  LOR E N TZ A  [9],  R U E LLE  i  TAKE N SA  [10]  oraz  MARS- D EN A  [11]  dotyczą ce  klasyczn ego  zagadn ien ia  konwekcji  swobodn ej  Ben arda.  Wyjś ciowy pro blem  an alizy  u kł a d u  równ ań  róż n iczkowych  czą stkowych  zredukowan o  metodą   Ga- lerkin a  d o  ba d a n ia  pewn ego  u kł ad u  równ ań  róż n iczkowych  zwyczajnych.  Wyznaczono pierwszą   n ietrywialn ą   gał ą ź  rozwią zań  stacjon arn ych  odpowiadają cą   począ tkowej  fazie wystę powan ia  kon wekcji  swobodn ej  w  warstwie  porowatej  oraz  zbadan o  jej  stabilnoś ć. Wykazan o ,  że  d la  liczby  R ayleigh 'a  R a  =   3 0 J I 2  m a  miejsce  bifurkacja  H opfa,  stą d  dla R a  >   3 0 J I 2  kon wekcja  musi  mieć  ch arakter  fluktuacyjny.  Z ał ą czone  przykł ady  obliczeń n a  m aszyn ie  an alogowej  wskazują ,  że fluktuacje  mają   n iestabiln y  ch arakter, lecz  w  odróż- n ien iu  od rozpatrywan ego  przez  LO R E N T Z A  [9] przykł adu, trajektorie  n ie są   ograniczone, S pis  oznaczeń u{u x ,u z )  —  bezwym iarowa  prę dkość  (skł adowe  w  kierun ku  x  i  z) T  —be zwym ia r o wa  t em perat u ra P  —  bezwym iarowe  ciś n ien ie t  —  bezwym iarowy  czas h  —  dł ugość  ko m ó r ki y  —  wekt o r  o  skł adowych  (0, 0,  1) g  —  przyś pieszen ie  ziem skie a  —wsp ó ł c zyn n ik  rozszerzaln ość  termicznej k m   —t e r m i c z n a  dyfuzyjność T o   —t e m p e r a t u r a  zimnej  (górnej)  powierzchn i AT  —r ó ż n i ca  t em p erat u r  m ię dzy  gorą cą   (dolną )  i  zim n ą   (górn ą )  powierzchnią warstwy C p   —c i e p ł o  wł aś ciwe Q  —  gę stość (Q c p)m  —j e d n o s t k o w a  p o je m n o ś ć  c i e p l n a  n a są c z o n ej  su b st a n c ji  p o r o wa t e j QC P   —je d n o st k o wa  p o jem n o ść  ciep ln a  m at eriał u  p o r o wa t ego H  —  bezwym iarowy  współ czyn n ik  H  =   p k  —  p r z e p u sz c z a l n o ść JA  —l e p k o ś ć  dyn am iczn a v  —  lep ko ść  kin etyczn a e  —  p o ro wat o ść 2 .  Sformuł owanie  problemu R o zwa ż a na  jest  substan cja  porowat a  n asą czona  pł yn em , um ieszczon a  mię dzy  dwiema p o zio m ym i  n ieprzen ikliwym i  pł aszczyzn am i  w  ziemskim  polu  grawitacyjnym  (R ys.  1). Odległ ość  m ię dzy  pł aszczyzn am i  jest  równ a  jedn ostce  dł ugoś ci.  Przyjmuje  się ,  że  dolna WAR U N E K  U TR ATY  STABILN OŚ CI  465 pł aszczyzna ma wyż szą   temperaturę  niż górna, co jest  przyczyną   wystę powania  konwekcji swobodnej. W celu uproszczenia analizy, rozważa się  pionowy przekrój warstwy  (Rys. 1). Bezwymiarowe  równania  ruchu  pł ynu  wraz  z  równaniem  cią gł oś ci  oraz  tran sportu energii  cieplnej  mają   postać (1)  divw  =  0, rł T1 ot =   V2 T . (0,1)  (1,1) .'• / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / z z=1 jf  v  I zimna  powierzchnia gorą ca  powierzchnia \   \   \   W  \   \   \   \   \   \   "\   w  \   x  \   \   •  \   \   \   w  x  w  \   \   \   \ ( 0 , 0 ) - ^^  (1,0) Rys.  1.  Pionowy  przekrój  warstwy  porowatej. Równania  te uzyskano  drogą   skalowania  prawa  D arcy'ego  oraz  równania  przewod- nictwa  cieplnego  wzglę dem  zmiennych hKT  '  k  '  h  ' kt ó r e  o d p o wia d a ją :  c za so wi,  d ł u go ś c i,  t e m p e r a t u r z e ,  c iś n ie n iu  o r a z  p r ę d k o ś c i.  P a r a m e t r y : liczba  P r a n d t l a  P r  i  lic zba  R a yl e i gh ' a  R a  o k r e ś lo ne  są   n a st ę p u ją c o: km K  k m P rzyjm u je  się   n a st ę p u ją ce  wa r u n k i  b r z e go we : u  =   0  d l a  z  =   0,  1. ^  T ^ l  d l a  z  =   0 ;  T =   0  d l a  z = l . W  r o z wa ż a n ym  p r z yp a d k u  d wu wym i a r o wym  wygo d n ie  je st  wp r o wa d z i ć  fu n kc ję p r ą du  ę   z d e fin io wa n ą   n a st ę p u ją co (2)  L̂- «.f  1 f= - «,- U kł ad  równań  (1) moż na  wówczas  zapisać  jako c)x~  dx  '  dz  dz  '  dx ' 8* 466  B.  BORKOWSKA,  W.  KORDYLEWSKI gdzie  6  =   T - T a   jest róż nicą   temperatur  odpowiadają cych  stanom wystę powania  i braku konwekcji  swobodnej.  Temperatura  w  stanie  bez  konwekcji  jest  funkcją   tylko  zmiennej z  (T a   =   I- z). Warunki  brzegowe  dla  problemu  (3)  przedstawiają   się   nastę pują co (3a)  f  »  & =   0  dla  z  =  0, 1. Zagadnienie  brzegowe  (3),  (3a)  posiada  nieskoń czenie  wiele  rozwią zań.  W  celu  ogra- niczenia ich iloś ci rozważ ać sieje  bę dzie w obszarze  ograniczonym w tzw. komórce podsta- wowej.  Wysokość jej jest  równa  1, natomiast dł ugość wyznacza  się   na  podstawie  analizy stacjonarnego  liniowego  problemu  wł asnego,  który  ma  postać 00  _ dx (4) z  warunkami  brzegowymi; ę   =  ©  =   0  d la  z  =  0,1, (4a)  80 w  =  - r-   =   0  dla  x  =   0, h. 8x gdzie  h jest  szukaną   dł ugoś cią   komórki. Wartoś ci  wł asne  problemu  (4),  (4a)  tworzą   cią g  nieskoń czony  o  wyrazach  danych wzorem (5)  Ray  -   - —-   (i2h2+fy,  i, j  =1,2,.... n 2 Pierwsza  wartość  wł asna  R a i a  =   (1+ A 2)2- —y  jest  wartoś cią   wł asną   prostą   tzn. odpowiada jej  tylko jedna  funkcja  wł asna. Ma to duże znaczenie (jak  to się  póź niej okaż e) przy  badaniu  stabilnoś ci  stanów  stacjonarnych  odpowiadają cych  tej  wartoś ci  wł asnej. Wartość  h  =   1 minimalizuje  pierwszą   wartość  wł asną   R a ^ R a n  =   An2  dla  h  —  1), której  odpowiada  minimum  energii  ukł adu. Z tego wzglę du uzasadnione są  przyję cie  w charakterze komórki podstawowej  kwadratu o  boku  równym  1. 3. Aproksymacja  Galerkina W  celu  analizy  stabilnoś ci  rozwią zań  problemu  brzegowego  (3),  (3a) przedstawia  się je  w  postaci  szeregów  F ouriera co  co  co  co r  J^ _I  J / J  /  ijrij'  ^ _j  J/ _J  U  kl> / = 1  }m\   fc= 0/ = l gdzie  ukł ad  funkcji  {ip tJ ; 0 kl ]  postaci ipu =  2sinIJixs'mIT jz;  i,j,  I =   1,2,  ... ® kl   =   2cos77/ czsin/ 7/ z  k =   0, 1, 2,  ..., WAR U N E K  U TR ATY  STABILN OŚ CI 467 jest  ukł adem  orton orm aln ym  zupeł n ym w przestrzen i  funkcji  typu  L 2  ( [ 0,  l ] x  [0,  1]) speł niają cych warun ki brzegowe  (3a), n at om iast / Sy i a.u  są  n ieokreś lon ymi współ czyn n ikam i zależ nymi tylko  od  czasu.  Badanie zachowan ia  się   tych współ czynników  w  czasie  pozwala okreś lić  wł asnoś ci  dyn am iczn e  (stabilnoś ć)  rozwią zań  ukł adu  równ ań  (3),  (3a). W celu okreś lenia  zależ n oś ci  mię dzy  współ czyn n ikam i  /?,„„ i a rs   należy  wyraż enia  (6)  podstawić do ukł adu równ ań  (3), wym n oż yć  pierwsze  z równ ań przez  ?/;,„„   drugie  przez  & rs   oraz  scat- kować je  po  kwadracie  jedn ostkowym  [0,  l ] x  [0, 1].  Otrzymuje  się   wówczas  n astę pują cy nieskoń czenie  wym iarowy  u kł ad  równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych P r  a dars CO  DO  0 0  DO •  y y y v, Z  Z Z  Ĵ < i- ji  sgn(Z - ./ )(< 5|i_fc| gdzie: O™" wskaź niki  w, n, r, s, zmieniają   się  t ak jak  wskaź n iki  z, j ,  k, I wystę pują ce  w  wyraż en iach ( 6) ; funkcje  gŁ i  /?;_&  okreś lone  są  n astę pują co: (4  dla  k  Ą>  0, \ 2 ] / 2  dla fc =  0, "Y  dla i­k  ź 0, 4- dla  j~/ c  =  0, < 5S = n atom iast  ^*  jest  deltą  K ron eckera  zdefiniowaną d l a  a =   Z>  a  =   i —  fc;  i + k;  l—j;  l+j gdzie dla  a ?£   o  o  =  r,s Analiza  ukł adu  równań  (8)  jest  zadaniem  trudnym  i  zł oż onym.  M etoda  G alerkina pozwala  sprowadzić  ten  nieskoń czenie  wymiarowy  problem  do skoń czonego  wymiaru przez  obcię cie  bazy  ortonormalnej  do  skoń czonej  iloś ci  elementów. W  pracy  rozważa  się ukł ad  równań  oparty  na  podbazie  sześ ciu  elementów (9) p r  dt   r  •   2T I "* 1  # 1 2  -   ,  R* - -̂ dT= - ^1+ ^ai2' ] / 2 y 2 4 6 8  B .  BORKOWSKA,  W .  KORD YLEWSKI Zasadniczym  problemem jest  teraz  znalezienie  stanów  stacjonarnych  ukł adu  dynamicz- nego  (9)  oraz  okreś lenie  ich  stabilnoś ci. 4.  Stany  stacjonarne Stany  stacjonarne  (punkty  stał e)  ukł adu  dynamicznego  wyznacza  się   przez  przyrów- nanie jego prawych  stron do zera. Tabela  1 podaje  zestawienie punktów stał ych dla ukł adu równań w zależ noś ci  od  wartoś ci  liczby Rayleigh'a  Ra, może ich być  1, 3 lub  7. Z tabeli 1 wynika w  szczególnoś ci,  że zero  (punkt 0) jest punktem stał ym dla  dowolnej  wartoś ci Ra. Jeż eli  wartość  parametru Ra  przekracza  4n2  (pierwsza  wartość  wł asna problemu liniowe- go  (4)), pojawiają   się  dwie gał ę zie niezerowych rozwią zań  stacjonarnych A t   i A 2   co utoż sa- miane  jest  z  pojawieniem  się   konwekcji  swobodnej. P unkt  (0, 4n2)  jest zatem punktem bifurkacji  rozwią zania  zerowego  z prostej  wartoś ci wł asnej  Ra  =   4n2.  W  ogólnoś ci  punktem bifurkacji  rozwią zania  x Q (p,) ukł adu dynamicz- nego  x  =   F{x([i),  / J.)  Z wartoś ci  wł asnej  / J 0  nazywa  się   punkt  (x(jz 0 ),  / n 0 ) taki,  że  w do- wolnie  mał ym jego  otoczeniu pojawia  się   nowe, dodatkowe  rozwią zanie  tego  ukł adu. Jeż eli wartoś ci  parametru Ra przekraczają   25n2,  pojawią   się   cztery  nowe gł ę zie rozwią - zań  stacjonarnych  B t ,  B 2 ,  B 3)   J?4  przy  czym  interesują ce  jest,  że  nie  rozwidlają   się   one z  rozwią zania  zerowego. D alsza  czę ść  pracy  poś wię cona  jest  (zgodnie  z  jej  celem  okreś lonym  poprzednio) analizie  stabilnoś ci  gał ę zi  rozwią zań  niezerowych  A L ,  A 2   odpowiadają cych  stanowi po- czą tkowemu  wystę powania  konwekcji  swobodnej. Pierwszym  krokiem  w  tym  kierunku  jest  zbadanie  stabilnoś ci  rozwią zania  zerowego, z  którego  rozwidlają   się   te  gał ę zie. 5.  Stabilność  stanów  stacjonarnych Stabilność punktu stał ego ukł adu dynamicznego bada się , wyznaczają c  wartoś ci własne jego zlinearyzowanej  postaci. Jest on stabilny  tylko  wtedy,  gdy  czę ś ci rzeczywiste  wartoś ci wł asnych  są   ujemne. Linearyzują c  ukł ad  równań  (9)  w  otoczeniu  rozwią zania  zerowego,  otrzymuje  się 1  d^ i  _  ,  Ra  , a'  ,   R a  ' =   —  P i 2  +   - j —- a1 2 , (1 0) =   - 4n2a! 02i P r P r dt dt dt da! 02 dt d0i' 12 dt "P  Ts  £   *£ S  S    ̂ ^ .  < s | t -   ^ i  ̂ N | t -   « 1 » „a  «a   ̂ >•   > .  ^ 1   Nfl  1 rt  - 4  ~ 5 ł   ł   •   i   ̂ %  3s ,  es  |  ta  c s  «  f o )  N  a  M M s i  «a  a  i  s  a  a |  °   ̂ ^  ̂ i£ , S !  !?• #  fe* 3  I  I  !  1  I  i a  x  x  x  N"  x  ?r i  >  "  ̂ ^  ">- i  - |-|  _ |  - 1  ~   1 H  I "  «§   ̂ ^ +   t  +   +  ̂ V   ̂ !^ -w  i  S  C  C  S" - "  "!  >  >  ^  > ż  1 1 >   C  5. 14691 470 B .  BORKOWSKA,  W.  KORDYLEWSKI gdzie  zmienne  z  indeksem  „ prim "  oznaczają   odchylenie  od  punktu  stał ego.  Wartoś ci wł asne  okreś lone  są   nastę pują co ( U ) •̂ 3 ,4  — W  punkcie  Ra =  An2-   wartość  wł asna  7 n   przecina  oś urojoną ,  zatem  rozwią zanie ze- rowe  staje  się   niestabilne.  Jednocześ nie  jak  był o  wspomniane  w  poprzednim  punkcie pojawiają   się  dwa rozwią zania  niezerowe  (Rys. 2), odpowiadają ce  wystą pieniu  konwekcji swobodnej. 0,1 6 5 4 3 2 1 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 > ~̂~~—  '  '  ' /   ^ ^ * ^ ^ _  ni - - - - - On / 1  1  1  1 i  ~ ~ : r̂ - \   . - ^ " - 4  * l  I  I 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0.02 0 - 0 . 02 - 0 . 04 - 0 , 06 - 0 , 08 - 0,10 - 0,12 - 0,14 I  |___̂ _ 1   2   3 Ra/ 4 TT2 R ys.  2.  Bifurkacja  niezerowych  rozwią zań  stacjonarnych  z  rozwią zania  trywialnego. Stabilność  gał ę zi  nietrywialnych  w  pewnym  otoczeniu  punktu  bifurkacji  moż na ok- reś lić  na podstawie  twierdzenia  o bifurkacji  z prostej  wartoś ci  wł asnej  [12] (s.  39). Zgodnie  z  twierdzeniem  tym, jeż eli  pochodna  wartoś ci  wł asnej,  która  „powoduje" niestabilność  rozwią zania  zerowego  po parametrze w punkcie bifurkacji  jest  dodatnia, to rozwidlają ca  się   z  niego  gał ą ź  nietrywialnych  rozwią zań  jest  stabilna. W  punkcie  bifurkacji  (0347r 2)  ukł adu  równań  (9) zachodzi WAR U N E K  U TR ATY  STABI LN OŚ CI 471 zatem  gał ę zie  rozwią zań  A 1   i  A 2   są   stabilne  w  pewnym  otoczen iu  wartoś ci  p a r a m et r u Ra  =   An2,  a  co  za  tym  idzie,  stabilny  jest  ruch  konwekcyjny  pł yn u  dla  liczb  R ayleigh 'a mał o  róż n ią cych  się   od  An2. Z  postaci  rozwią zań  stacjon arn ych  A x ,  A 2   (Tabela  1) wynika,  że  am p lit u d a  kon wekcji swobodnej  roś n ie  wraz  z  liczbą   R ayleigh'a.  D oś wiadczen ia  wykazują ,  że  od  pewn ej  war- toś ci  krytycznej  liczby  R ayleigh 'a  ruch  pł yn u  staje  się   fluktuacyjny  [1],  [2].  Sugeruje  t o , że  z  gał ę zi  A t   (lub  A 2 )  rozwidlają   się   rozwią zania  okresowe. 6.  Stabilność  rozwią zań  okresowych P rzypadek  rozwidlen ia  się   z  dan ej  gał ę zi rozwią zań  stacjon arn ych  okresowego  rozwią - zania  nazywa  się   bifurkacją   H o p fa;  ś ciś lej  p u n kt  (x(/ u 0 ),  fi 0 )  n azywa  się   p u n kt em  bifur- kacji  H opfa  u kł ad u  równ ań  róż n iczkowych  x  =   F(x,  / n), jeż eli  speł n ion e są   dwa  warun ki (i)  iv(*(i«o)>  ,«o)  po siad a  dwie  czysto  urojon e  wartoś ci  wł asn e (ii)  Jeż eli  Si(fi)  jest  czę ś cią   rzeczywistą   wartoś ci  wł asn ej,  to  dla  fi  =  / x 0   zach odzi SiC«o)  =   0, d/ j, > 0. Istnieją   dwa  typy  bifurkacji  H opfa —  superkrytyczn y  i  subkrytyczn y.  W  pierwszym przypadku  pojawiają   się   stabiln e  rozwią zania  okresowe  dla  wartoś ci  p a r a m et r u wię kszego od wartoś ci  krytyczn ej,  w  drugim  n atom iast rozwią zan ia  okresowe  są   n iestabiln e  i  istnieją dla  wartoś ci  param et ru  mniejszych  od  wartos'ci  krytyczn ej  (Rys.  3).  W  celu  okreś len ia pun ktu bifurkacji  H opfa  n a gał ę zi A x   (lub A 2 )  lin earyzuje  się  u kł ad  równ ań  (9) w  otoczen iu rozwią zania  n ależ ą cego  d o  gał ę zi  A t   (lub  A 2 ). *~- ^stabilny  punkt  stał y Rys.  3.  Typy  bifurkacji  H opfa  a) superkrytyczny  b)  subkrytyczny. Linearyzacja  t a  prowadzi  d o  dwóch  odseparowan ych  od  siebie  p o d u kł a d ó w  rów- n ań (12a) 472 B .  BORKOWSKA,  W .  KORD YLEWSKI 1 ' 1 2 R a  ' Pr  dt <12b) J/ 2 2  ' n* | / 2 e  2  ' — $7t  a 12 ,dt  "™  ,/2 gdzie  / S n ,  a 0 2 ,  a l x  są   odpowiednimi  współ rzę dnymi  punktu  stał ego  Av  lub  A2. a) - 0,2 - 0,2 b) C ) - 0.4 - i 1.0 - 0.2 - - 0,2 - 0,2 - 0.03  - Rys.  4.  Trajektoria  rozwią zań  ukł adu  równań  (9)  n a  pł aszczyznach  fazowych  («oi. « n ) i  («02,«u) dla  wartoś ci  liczb  Rayleigh'a  a)  R a  =   247t2,  b)  R a  =   30jr2,  c)  R a  =   36n2. Z postaci ukł adu równań (12a), (12b) widać, że jego równanie charakterystyczne moż na przedstawić  w  postaci  iloczynu  dwóch  równań: (13a) (13b) A+ (6jt 2+ P r)A2+ 2w2(R a+ 2P r)A+ 47i: 2P r(R a- 47r2)  =   0, oraz ^K które  są   równaniami  charakterystycznymi  podukł adów  równań  (12a)  oi  (12b). Badają c  znaki  wyróż ników  równań trzeciego  stopnia  (13a) i  (13b) moż na ł atwo  wyw- nioskować, że  oba posiadają   jeden pierwiastek  rzeczywisty oraz parę  pierwsiastków zespo- lonych  sprzę ż onych.  Zatem, równanie  charakterystyczne  zlinearyzowanego  ukł adu rów- nań  (9) speł nia warunek  (i) wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  wł asność tę  posiada  równanie  (12a) albo  (12b). WAR U N E K  U TRATY  STABI LN OŚ CI  473 Równanie  charakterystyczne  (13a)  moż na  zapisać  w  postaci  iloczynowej  nastę pu- ją co (14a)  ( A - S H A - S K A - c O -0 gdzie: S, S —•  pierwiastki  zespolone,  sprzę ż one « —  pierwiastek  rzeczywisty. Porównują c  współ czynniki  przy  odpowiednich  potę gach  k  w  równaniach  (13a)  i  (14a) otrzymuje  się   ukł ad  zależ noś ci: (14b)  |S | 2 +  2aS 1  =   27t 2( 2P r+ R a) , - a | S |2  =   4OT2Pr(Ra- 47i2),  gdzie  S t   =   R e S . Korzystają c  z warunku  (ii)  (Sj  =   0) wyznacza  się  krytyczną   wartość  liczby  Rayleigh'a (15)  Ra  = P r - ó r c2 Zwykle  dla  substancji  porowatych  wartoś ci  osią gane  przez  liczbę   P randtla  są   bardzo duże (rzę du 105- 109),  przyjmują c  wię c we wzorze  (15), że P r - •   co otrzymuje  się  Ra  - *•   co. Podobnie  przedstawiają c  równanie  charakterystyczne  (13b)  w  postaci  iloczynowej (16a)  (X- q){X- q){X- P)  =   0, gdzie: q,q  — pierwiastki  zespolone /? — pierwiastek  rzeczywisty oraz porównują c  współ czynniki przy  odpowiednich potę gach w  równaniach  (13b)  i  (16a) otrzymuje  się   nastę pują cy  ukł ad  zależ noś ci \ q\ 2 +20q t   = (16b) q x   =   0,  gdzie  q x   =   R eg. Przyjmują c  w  ukł adzie  (16b)  q t   = 0 ;  wyznaczona  z  niego  krytyczna  wartość  liczby Rayleigh'a  wyraża  się   wzorem ( P r + 6 7 r w (17)  R a j r  -   — Jeż eli  P r - y  00 to  R a»  - *  3QJI 2. Wynika  stą d  pun kt  (A ± ,  30JT 2) jest punktem bifurkacji  H opfa  oraz, że  dla  wartoś ci  para- metru  Ra  >  30ra2  gał ą ź  rozwią zań  stacjonarnych  A y   staje  się   niestabilna. 474  B.  BORKOWSKA,  W.  KORDYLF.WSK.1 Okreś lenie  typu  bifurkacji  H opfa jest  prostym  problemem, wymaga  bowiem  zbadania stabilnoś ci  rozwią zań  okresowych.  MARSDEN  i  MCCRACKEN  [11]  podali  algorytm,  który pozwala  rozstrzygną ć  typ  bifurkacji.  W  pracy  [13]  autorzy  wykazali,  korzystają c  z tego algorytmu,  że R a  =   30JC 2 jest subkrytycznyrn  punktem bifurkacji  H opfa.  N ie  przytacza się tu  dł ugich  i  zł oż onych  obliczeń,  bowiem  o  typie  bifurkacji  moż na  także  wywnioskować na  podstawie  prezentowanych  n a  rysunkach  Aa, 4b,  Ac rozwią zań  ukł adu  równań  (9). Przedstawiają   one  trajektorie  rozwią zań  na  pł aszczyznach  fazowych  ( a 0 1 ) a 1 2 )  oraz («02, «n )  dla  trzech  wartoś ci  liczby  Rayleigh'a  Ra  «•   24T Z2,  3Cte2, 36n2.  Wynika  z nich, że  dla  Ra  <   30OT2  konwekcja  swobodna  jest  stabilna,  po  przekroczeniu  drugiej  liczby krytycznej  Rayleigh'a,  ruch  pł ynu  nabiera  fluktuacyjnego  charakteru. 7.  Zakoń czenie D okonano  analizy  stabilnoś ci  ruchu dla dwuwymiarowej  konwekcji  swobodnej  w war- stwie  porowatej.  Zastosowano  metodę  G alerkina obcinają c  nieskoń czone szeregi  trygono- metryczne  do  sześ ciu  wyrazów. Przyjmują c  nieskoń czoną   wartość  liczby  Prandtla  wykazano,  że  gał ą ź  rozwią zań stacjonarnych,  odpowiadają cych  stadium  począ tkowemu  konwekcji  swobodnej,  traci stabilność  dla wartoś ci liczby  Rayleigh'a  Ra  =   3Cte2. W punkcie tym ma miejsce  bifurkacja H opfa  do  rozwią zań  periodycznych.  Poprzednie badania  autorów  [13] oraz  wyniki  obli- czeń n a maszynie analogowej  wskazują , że bifurkacja  ma charakter subkrytyczny.  Oznacza to  że  rozwią zania  periodyczne, które  zjawiają   się   dla  wartoś ci  liczby  Rayleigh'a  bliskich 30a:2  muszą   być  niestabilne. M imo, że uzyskany  rezultat zgadza  się  z wynikami  badań doś wiadczalnych  i ostatnimi rezultatami  obliczeń numerycznych, problematyce tej  należy poś wię cić jeszcze  dużo uwagi ze wzglę du  n a jej  podstawowe  znaczenie dla  analizy  stabilnoś ci  ruchu w  oś rodkach poro- watych. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  E . R.  LAP WOOD ,  Convection of  a fluid  in a porous medium, P roc. Cambridge  Phil. Society  vol.  44  p.  508 (1948). 2.  M .  COMBARN OU S  and  B.  Le  F U R ,  T ransfert de  chaleur par  convection  naturelle dans une couche poreuse horizontale,  C. R.  Acad.  Sci  Paris  269  B.  1000  (1960). 3.  J. P .  CALTAG IRON E,  M .  CLOU PEAU   and  M.  COMBARNOUS,  Convection naturelle  fluctuante  dans une couche poreuse  horizontale.  C. R.  Acad.  Sci.  Paris  273  B,  833  (1971). 4.  R .  N .  H O R N E , M . J.  O 'SU I XI VAN ,  Oscillatory  convection  in a porous medium heated from  below,  J. Fluid M echanics  (1974)  vol.  66  p .  2  str.  339. 5.  J. M .  STRAU S,  L arge  amplitude  convection  in porous media,  J.  F luid  M echanica  (1974)  vol.  64,  p. 1, s.  51. 6.  J. P .  CALTAG IROM E, T hennoconvective instabilities in a horizontal porous layer, J. F luid M echanics  (1975) vol.  72,  p .  2,  str.  269. 7.  G .  SC H U BERT,  J .  M .  STRAU S,  T hree —  dimensional and  multicellular steady  and  unsteady  convection in fluid—saturated  porous  media at  high Rayleigh number,  J .  F luid  Mechanics  (1979),  vol.  94,  p. 1, str.  25. WARU N EK  UTRATY  STABILNOŚ CI  475 8.  R. N .  H O R N ,  T hree —  dimensional  natural  convection  in  a confined porous medium  heated from  below, J.  Fluid  Mechanics  vol.  92,  p.  4,  str.  751  (1979). 9.  E.  LOREN Z,  Deterministic N onperiodic Flow, J.  Atmospheris  Sciences  vol.  20  (1963). 10. D .  RU ELLE, F .  TAKEN S,  On  the N ature  of  T urbulence,  Commus. m ath. Phys.  20  167-   192  (1971)  by Spinger — Verlag  (1971). 11.  J.  MARSD EN ,  M. M CCRACKEN ,  T he Hopf Bifurcation and Its  Application,  Springer- Verlag,  N ew  York (1976). 12.  D . H .  SATTIG ER,  Group T heoretic Methods  in Bifurcation T heory, Springer- Verlag,  N ew  York  (1979). 13.  B.  BORKOWSKA,  W.  KORD YLEWSKI,  Stabitity  of  two dimensional Convection  in a porous L ayer.  R aport serii  P REP RIN TY  68/ 80  Politechnika  Wrocł awska,  Wroclaw  (1980). P  e 3 10  M e YCJ1OBH E  n O T E P H   C TABH JI Ł H OC TH  ECTECTBEH H OflE  KOH BE KI JH H B  n O P H C T O M  CJIOE nonH TKa  aHajrjaraa  CTaGnjiŁHOCTH   RByxpa3M epnoii  ecrecTBeH H oit  KOHBeKU.HH   B nopHCTOM cn o e.  IIpHMeHflH   Mexofl  rajiep u H H a ,  cjicTezwa  flByx  flH cJjdjepennH ajiBH Lix  qacTHfcix  ypaBH eH ira  6hvm 3aMeHena  m e c iwo  HHiJxbepeHiiHanbHbimH   ypaDHeHHHMK.  OnpefleneH O  o6nacTi>  erauKOH apH bix  peuieH H H , H ayanBH oii  CTaflHH   ecrecTBeHHOH   K O H BC K U H H .  H a xo fla m a n c n  B  D TOH   o6nacTH   TO«i