Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZN A I  S TOSOWANA 4,  19,  (1981) O N   T H E  N ON STAN D ARD   AN ALYSIS  AN D   T H E  I N TE R R E LATI O N   BE TWE E N   M E C H AN I C S O F   M ASS- P OI NT  SYSTE M S  AN D   C ON TI N U U M   M E C H AN I C S CZESŁ AW  W O Ź N UK  (WARSZAWA) IN TRODUCTION .  M ethods  of  the  nonstandard  analysis,  introduced  for  the  first  time by  A.  ROBIN SON ,  [1, 2],  and  then  developped  in many  publications,  cf.  [3 -  I I ],  are  based on  the  fact  that  for  every  mathematical  structure  931 there  exists  another  structure  * 931 which  is  called  an  enlargement  of  9K. By  the mathematical  structure  we mean  here  a  pair 931 =   (X, M), where X  is an infinite  set of elements called  individuals11'  and  M  is  a  system of  relations  (of  an  arbitrary  order,  i.e.,  including  also  relations  between  relations  and between  individuals  and relations, etc.) for  which X  is its „ underlying"  set. The  enlargement *9Jt  =   (*X, *M)  is  a  model  of  StR =   (X, M),  i.e.,  every  statement  about  93i  (expressed in  a  certain  formal  language)  which  is  meaningfull  and  true  is  also  meaningfull  and  true as  a  statement  about  *9Jlt 2 ) .  At  the  same  time  *9#   is  an  extension  of  93?,  i.e.,  X  c  *X and M  c  *M; elements of X  and those  of M a r e called  standard  entities  of  *93?. If Z is an infinite  set  then  *X  is  a  proper  extension  of  X,  i.e.,  *X  contains  nonstandard  elements. Moreover,  every  infinite  set  consisting  of  standard  entities  only  is  not  contained  in  the structure  * 93?  and  is  called  external  in  * 931 (is  not  an  element  of  *M ).  Entities  belonging to  *M  are  called  relations  internal  in  *93?.  I t  must  be  emphasized  that  the  statements which  are  meaningfull  and  true  for  90? are  also  meaningfull  and  true  for  *93?  provided that  we  interpret  them  exclusively  in  terms  of  the  totality  of  internal  entities  only  (indi- viduals  and  relations  of  * ffll). Following  [6]  we  recapitulate  the  key  properties  of  an enlargement  *93? =   (*X,  *Af)  of  9ft  =   (X,  M)  by  the  principles  stated  below: 1.  Permanence  Principle. Every  mathematical  statement  which  is  meaningfull  and true for  931  is  also  meaningfull  and  true for  *93t, provided  that it is interpreted exclusively in  terms  of  internal  entities,  i.e.,  entities  of  *M . 2. Extension Principle.  Every  mathematical  notion which  is  meaningfull  for  SCR  is  also meaningfull  for  *93?.  I t  follows  that  any  entity  of  SCR  extends  naturally  and  uniquely  to an  entity  of  *93?.  The  extended  entity  is  called  standard  in  *93?. 3.  Enlargement  Principle.  Every  standard  set  *S  of  *93?(3>  which  is  infinite,  and  only, in this case, contains nonstandard elements, i.e., *S"\ S  ^  0 ,  where  S is a set of all  standard elements  of  *S. ( 1 )  We  assu m e  t h a t  elem en t s  of  X  a r e  n o t  sets,  i.e.,  if  x  eX  t h e n  x  =£  0  a n d  t h e  a sse r t io n  /  e  x  is always  false,  cf.  [11],  p .  11. ( 2 )  We  h ave  a ssu m ed  t h a t  a  sin gle  fo r m a l  la n gu a ge  describes  b o t h  st r u c t u r e s  9JI a n d  * 9JŁ . ( 3 )  Sets  a r e  t reat ed  as  a  special  kin d s  of  r e la t io n s;  I f  r  e M   t h e n  t h e  c o r r e sp o n d in g  st a n d a r d  e n t it y of  *M  will  be  d en o t ed  by  *r.  T h u s  *S  is  a n  ext en sio n  of  a  set  S  in  M. 512  C z.  WOŹ N IAK 4.  Externity  Principle.  Every  infinite  set  S  which  consists  of  only  standard  elements does n ot belong  to  *M  (is said  to be external  in *9K). The  enlargement  *2Jt  of  a  given  mathematical  structure  9Ji  is  not  defined  uniquely. However,  from  a  point  of view of  applications, all we need is  that such enlargement exists and  has  the  relevant  properties  outlined  above.  Putting X  =  R  and  assuming  that  M  is the  set  of all relations for  which the real number system  R is the underlying  set ( 4),  we  shall refer  the  enlargement  * 501  =   (*X, *M) to  as  a  nonstandard  model  of  analysis.  We  have RŚ £  *R  where  R  is  a  set  of  all  standard  real  numbers  in  *9Jt  Moreover,  *R  constitutes a  non- Archimedean ordered field,  i.e., it contains positive  numbers which  are  greater  then any  standard  number  (infinite  positive  real  numbers). The  reciprocals  of  infinite  positive real  numbers  are  infinitesimal  numbers;  they  are  positive  and  smaller  then  any  positive standard  real  number.  The set  of  all  infinitesimal  numbers  is  denoted by  ^(0)  and is  said to be the monad of zero.  By the monad of  an arbitrary  standard number r,r  e R, we mean the  set (i{r)  :=  {a\ a e *R, a—r e / u(0)}.  Every finite  number of  *R (i.e., the number which is  n ot  unfinite)  can  be  uniquely  represented  by  a  sum  r  =   °r+e,  where  °r  is  a  standard number  and  e  is  an  infinitesimal  number,  °r e  R,  e e ^(0).  The  number  °r  is  called  the standard  part  of  a  finite  number  r.  Analogously, in  every Euclidean  space  *Rn  we  define the  set  R", R"  c  *R", of  standard  points, and for  every point x  e *R" we define  its monad fi(x)  putting  fx{x)  :=   {}>}\ Q(X,y)  6/ ^(0)},  e:*R"x*R"  - +  *R  being  the  distance  function in  *R  . Points  of  *R  with  all  finite  coordinates are said  to  be finite.  Every  finite  point  x has a unique representation x  =   "x+8,  with °x as a standard point and 5 as an infinitesimal vector  (all  components  of  S  are  infinitesimal  numbers).  F or  further  informations  the reader  may  consult  ref.  [1, 2, 8, 11]. I n  this  paper  we  are  to show  that, using  the methods of  the nonstandard analysis,  the fundamental  relations  of  continuum  mechanics  (for  an  elastic  response) can  be  derived directly  from  the  N ewtonian  mass- point  mechanics  (cf.  also  [14]).  To  do  this  we  shall include  the  basic  relation  of  N ewtonian  mechanics into  a  certain  structure  9JI =   (X,  M) and  then  reinterpret them within  an  enlargement  *SR  =   (*X, *M)  of  5CR. This procedure was  detailed  in  [12] and in a simplified  form  will be outlined in Sec. 1. Then we shall  prove that  there  exists  a  class  of  „ nonstandard"  mass- point  systems  which  have  „ standard" properties  of  some  continuous systems.  The presented  approach has  two main  advantages. F irstly,  it  treats  the continuum mechanics  as  a  special  case  of  the N ewtonian  mass- point mechanics. Secondly, it yields an interpretation of the  basic  concepts of continuum mecha- nics  (such as a mass density, body  force, stress tensor, strain energy function, etc.) in terms of  the  concepts  of  mass- point  mechanics.  In the first  case  the non- standard approach to continuum  mechanics is  conservative  because  any  standard  result  that has  been  obtained by  nonstandard methods can be also  obtained without using  these methods,  [2]. However, the  methods  of  the  nonstandard  analysis  are  more  desirable  from  a  purely  analytical point  of view, mainly  by  the avoidance  of passages to a limit  at different  stages,  [5]. They are  also  more  desirable  from  an  heuristic  point  of  view,  namely  the  obtained  standard w  The set M  of  „ all" relations based  on R contains only relations  of  a definite  type,  i.e.,  we  exclude from  M   certain  abnormal  relations  such  as  sets  containing  simultaneously  individuals  and  sets  of  indi- viduals,  etc,  cf.  [1, 2, 9]. O N   THE  NONSTANDARD   ANALYSIS  513 relations  of  continuum  mechanics  describe  certain  properties  of  some  „ n on stan dard'' mass  point  systems  and  are  not limit  cases  of  the  relations  of  mass- point  mechanics.  As we have mentioned above, the nonstandard passage from  N ewtonian mass- point mechanics to  continuum mechanics  also  yields  an  interrelation  between  the known  continuum con- cepts  and  those  of  the  mass- point  mechanics.  Such  interrelation  can  be  formulated  only in  nonstandard  terms.  It  must  be  also  emphasized  that  the  nonstandard  formulation  of the  N ewtonian mass- point  mechanics  yields  more  extensive  class  of  mathematical  models of the real bodies  then the classical  formulation.  The nonstandard terms used  in a  descrip- tion  of  different  phenomena within  mechanics  have,  as  a  rule, well  determined  physical meaning.  F or example,  the  infinitesimal  interpartide  distances  or  the infinitesimal  masses of points can be  treated  as  distances  and  masses,  respectively,  which  can n ot be  neglected but  are too  small  to be  measured  in  a class  of  problems  under  consideration,  [12]. At  the same  time the standard  parts  of finite  numbers  can  be treated  as  suitable  approximations due to the character of  the mathematical models  of  physical  problems  we  deal  with. 1.  N onstandard  model  of  N ewtonian  mechanics. To  develop  N ewtonian  mechanics  of  mass- point  systems  within  certain mathematical structure  9Jt =   (X,  M),  we  shall  assume  that  R  <=  X  and  Ji  c  X,  Ji  being  certain infinite  but countable set of elements called  points. Since we  are to deal with  finite  systems of points, we shall  assume  that there is known  an arbitrary  but fixed  sequence Q(g( %t{P),  *t(2) ) ) . t el  (Q:R 3   XR 3  -»  R  is  a  distance  function)  will  be  treated  as  a  value  of  an interaction force between points P,  Q e D in this motion. As a basic statement of N ewtonian mechanics we  shall  assume  that  for  every  N ewtonian  mass- point  system  (D,  (m P ) Pe o,{fp)peD, (°1PQ)(P,(?)DOD)J  a motion  of its  point  system  D  has  to satisfy  the relation (1.1) ( ) f P ( t ( ) , t ( ) ) 2 QeD\ { P} PeD,teI, 514  C z.  WOŹ N IAK where  we  have  denoted (1.2) We have  tacitly  assumed  here t h at ^F  is a set of all unconstrained N ewtonian mass- point systems  (cf.  also  [12]).  Substituting  RH S of  Eqs.  (1.2) into Eqs.  (1.1) we  arrive  at  the well known  N ewtonian equations. Every motion of a point system  D satisfying N ewton equation (i.e.,  Eqs.  (1.1)  with  the  denotations  (1.2)) will be  referred  to  as  motion  of  a N ewtonian mass- point  system  (D,  (m P ) PED ,  {f P ) PeD ,  O W ^ ^ D - B) • Passing  to  an  enlargement  *3ft  =   (*X, *2K)  of  9ft  =   (X,  M),  we  obtain  *R  <=  *X, *J{  c  *X.  A  sequence  „   = ' *J(,  D„  — n, where n runs overall  positive  integers  *N +  (finite and infinite). n = X The set  C(D)  (here an d  in "what follows  D  — D n   for  some n e *N +)  analogously  as  before, is  the  set  of  all  internal  injections  x.Da  P - +  %{P)  e  *R3,  which  will  be  called  configu- rations  of  D.  Symbol  /   stands  now  for  an  arbitrary  internal interval  of  *R.  An  arbitrary internal  continuous  mapping  la  t- *it t e  C{D),  such  that  k,{P),  yc,(P)  exist  for  every t  s  I,  P e  D,  is  said  t o  be a  motion  of  D. The  set Jf  extends  uniquely  to  a  standard  set *JV  of  all  quadruples  s  =   (D , (m P ) PeD ,  {f P ) PeD ,  (O> Q) ( P , Q ) 6D < , D ),  where  fP:*R 3 x*R 3  -> - v  *R3  and  a PQ :  *R +  - +  *R,  a PQ   =   a QP ,  are  sufficiently  regular  internal  functions.  An arbitrary  element 5 of  *JV will be called  a N ewtonian mass- point system  with  D as  a point system  (without  any  specification;  mind,  that  D  =   D„ for  some  n e  *N +),  m P   as  a  mass of  P, f P (x t (P),  x,(P))  as an external  force  acting  on P and CTP0(p(xt(P), ̂ tiQ)))   a s  a value of  an interaction between  P,  Q in an arbitrary  motion of  D (by the definition  every motion is  an  internal  mapping).  By  ./ / "  we  shall  denote  the  set  of  all  quadruples  (D, (m P ) P< = D , {Jp)peD,{opą j iPi Q^ DaD )  consisting  exclusively  Of  standard  elements  (here  D  =  D n for  some  standard n, n e  N +);  elements of  Jf  will be called  standard mass- point  systems(5>- I t  is  obvious  th at  JV  $  *Jf,  i.e.,  there exist nonstandard  mass- point  systems  (cf.  also  the Enlargement  Principle).  Such  systems  have  no  counterparts  in  the  known  formulation of  mechanics.  Thus,  in  the  nonstandard  model  of  N ewtonian  mechanics,  we  deal  with more  extensive  class  of  mass- point  systems  (i.e.,  more  extensive  class  of  mathematical models  of  certain  physical  phenomena)  then  that  in  the  classical  (standard)  model  of N ewtonian  mechanics.  The  basic  statement  of  N ewtonian  mechanics  (which  can  be  for- mulated  within  a  certain  formal  language,  cf.  [2], p .  60),  formulated  above,  is  also  true in  *93t  =   {*X,  *M).  ft  m e a n s  t h a t  fo r  every  s  =   {£»,  (m P ) PsD ,  (f P ) PeD ,  {0PQ)(P,Q- ,<=D°D), motion  of  D  has  to satisfy  Eqs.  (1.1), (1- 2). Thus  the form  of  N ewton's  equations  of mo- tion  remains  unchanged  after  passage to  a non- standard model  of  N ewtonian mechanics. At  the  same  time  these  equations  now  describe  more  extensive  class  of  mathematical models  of  physical  phenomena then the ,,standard"  equations.  G enerally  speaking,  within nonstandard  model  of  N ewtonian  mechanics  we  can deal with point systems  D  which  are infinite  from  the  „ stan dard"  point  of  view  (i.e.,  D  =  n  where  n e  *N \ N   is  a fixed  but ( 5 )  M ind  that  uV  is  an  external  relation  (cf.  the Externity  Principle). 516  C z.  WOŹ N IAK gular  standard  region  *Q  in  *R3,  such  that  Q  =   °x R (D)  is  a  standard  representation  of x R (D)  in  R3.  It means  that  the nonstandard  discrete  set  x R (D)  in  *R3  has  the features  of a  certain  standard  region  *Q  and  a  nonstandard  point  systems  D  in  every  configuration x e  C S (E>)  has  certain  properties  of  a  standard  but  „ continuous"  system (9). Let  D  be  a  nonstandard point  system  (£>  — £>„)  for  an  infinite  positive  integer  n) and x be its arbitrary  configuration  such that x  e  C S (D)  (i.e. x(D) has a standard representation in  a  form  of  a  closure  of  a  certain  regular  standard  region).  Let  Q  =  °x(D)  stands  for a  standard  representation  of  x(D)  and  let  us  define 0}, The  foregoing  sets  are  said  to  be  S- boundary  and  S'- interior  of  *Q,  respectively,  cf.  [2] p.  107 - 108.  N ow  putting  Boundx(D )  =   x(D)nd s *Q,  Intx(D ) a  x(D)nint s *Q,  we  shall refer  Bound x(D)  and I n tx(D ) to as  a boundary  and an interior, respectively,  of  a  discrete set  x{U)  in  *J?3.  I t  means  that  to  every  configuration  x,x  e  Cs(£>),  of  a  nonstandard point system  D, we  can uniquely assign a set of boundary points and a set of interior points. Analogously, denoting  by  S an arbitrary  smooth  surface  in Q  =   °x(D)  and putting L s   : — =   {x\ - / i(x)n*S  =£  0 },  L s   c  *.R3, we  shall  refer  the set x(D)nL s   to as  a  discrete  material surface  in  x(D).  Thus we  conclude  that for  every x  e  C S (D)  there exists one- to- one corres- pondence between  certain  discrete  subsets  of a discrete  set x{D) in *Ri  and certain smooth manifolds  of  a closure  of  a regular  region  Q  in R3.  This correspondence is not only  formal but  also  gives interpretation  of  a  material  smooth  surface  or  a  boundary  of  a  continuous body  in more  physical  terms  of  configurations  of  mass- point  systems. N ow  let  /   =   ( T 0 ,  T t)  be an  open interval  in R  and let  *Is  t  - +  xt  e  CS(D)  be  a certain motion  of  a  nonstandard  point  system  D.  Let  us  define  the  function  QXIB  (0,t)^ > - +p(&,  t)  e J ? 3  setting  p(0,  t)  =   °x t (P)  with  0  =   °x R (P),  for  every  P e D,  tel.  Let p :Q x /  —•   R3  be  a  function,  such  that p('  , t) is  smooth in i2 and invertible  in Q  for  every tel  (i.e.,  detV^(ć >, ?)  >  0, 0  eQ),  having  continuous  first  and  second  time  derivaties, and  satisfying  conditions:  p(0,  t)  =  °x t (P),p(0,  t)  =   °k,(P),  p{0,  t)  =   ox,{P),'0  = " ^ ( P ) ,  for  every  t e *1, P e  D.  F unction  /?(- •) will  be  referred  to  as  the  deformation function  (related  to  the  reference  configuration  x R   E  C S {D))  for  a  motion  *J s  t  -> x t   e e  CS(Z>). M otions  of  Z>  for  which  there  exist  deformation  functions  (related  to  a  certain reference  configuration  x R :D  -+  *i?3)  will  be  called  5- regular(10).  Putting  q(0 P ,  t)  = =  x t (P),  P  6 D,  t  e*I,  we  can  define  the  function  q:x R (D)x  */ - •  *R3,  representing the motion  of  D  by  use  of  the „ microcoordinates"  0 P   e x R {D~),  P  e D.  I t can be  seen that the  deformation  function  for  this  motion  (if  it  exists) is  nothing else but  a  standard  part of  the function  q, i.e., / > (• )=   °q( • ) (c.f.  [2], p.  115, for  the definition  of  a  standard  part of a function). In  the  sequel  we  are  to  show  under  which  conditions  a  motion  a  nonstandard  point system  D  (provided  th at  D  belongs  to  a  certain  nonstandard  N ewtonian  mass- point system)  can  be  S- regular. ( 9 )  Th e problem  of  different  interpretations  of  discrete sets of  points  in  *R3  has  been  detailed  in  [13]. ( l 0 >  A  terminology  used  here  slightly  differs  from  that  used  in  [13], O N  THE  NONSTANDARD  ANALYSIS  5IT 3.  Mass­distribution  in  certain  nonstandard  Newtonian  mass­point  systems Let xR e CS(D) be fixed  reference  configuration  of a point­system  D(D =  D„  for some infinite  n,  ne*N\N)  belonging  to  a  certain  Newtonian  mass­point  system  s  =  (D,. (mP)peD,  (fp)psD, (ffpQ)(F,Q)eD,fl)­  We  have  °xR(D)  = Q,  Q  being  a  regular  region  in R3  (c.f. Sec. 2). Let A be an arbitrary  subset of *i?3. To every /I we shall  assign  (provided that  xR  is fixed)  the subset  DR(A) of D,  putting (3.1)  DR(A):={P\PEDAXR(P)€A}. Thus  BR(A)  is a  set of  points  of D  which  in the  reference  configuration  xR  occupy  the places  in *R3 belonging  to  A. Now let 6  be an arbitrary  point  in S­interior  of  *Q, 0  e ints*i3,  and let i\  stands for an  arbitrary  but fixed  positive  standard  number.  Setting  rm — i\/m  for m  =  1,2, 3, ... {m runs  over  the sequence  of all  positive  integers,  finite  and unfinite)  and  denoting  by B{0,  rm) the ball in *R 3 with  a center  0  and a radius  r, we shall  construct  the  sequence (3.2)  Qm(&)  = ­ ­ I ­  • £  mP)  m =  1 , 2 , 3 , . . . , l B ( 0 , rm) where  voli?(0, rm) =  Ar^n/'h  is a volume of B(&,  ;•„,). We see that  gm(0)  is a mean  mass density  (in a ball with  a center  0  e ints*i2  and a radius  /­„,) of a mass­point  system  under consideration  in  its  reference  configuration.  Sequences  (3.2) are  obviously  not  conver­ gent"». In  what follows  we shall apply the known  concept of an F­limit  of an infinite  sequence {«(„}, ne*N  of points an in a certain  metric  space (*T, g) (cf. 2, p. 109). The space  (*T,  Q} is  an  extension  of a  metric  space  (T, Q),  where  Q is a  distance  function  in  T and  hence a  distance  function  in *T. In the sequel  * Twill always  stand for a  Euclidean  space  *Rk, k being  a fixed  positive  standard  integer.  We say that  point  a, ae  *T, is a .F­limit  of  {<*„},. a e .Flimff„,  if and only  if for  every  e e R+  there  exists  n0 e N +  such  that  c>(a,  an) <  E for  all finite  n,n  > n0.  If a e .Flimm(0),  0  eQ.  We have  assumed  here  that  every  infinite sequence  {£m(<=>)}, 0  e ints*Q,  has such  finite  F­limit  QR(0),  that  QR( •) is a  continuous (11)  The concept of a limit in an enlargement  * 331  of a certain  structure  9JŁ is analogous  to t h at of a  limit  in the structure  SDJ: (cf. t h e Extension  Principle  in I n troduction ).  F or example,  th e real  n um ber r e*R is, by definition, a limit point of a sequence  {r m }, m e *JV, in *R, if for every e e *R+ an d for every v B *N  there  exists  the natural  number  n, n > v, such  that  \ r—r„\   < e. < 1 2 )  F inite points in T a r e  also called near- standard  points, cf.  [2], p .  93. 518  C z.  WOŹ N IAK function  defined  on  Q  (mind,  that  Q  <=  mt s *Q,  where  Q  is  a  set  of  all  standard  points in  ints*,Q). The  existence  of  a function  QR( • ) depends  only  on  mass  distribution  (mP)PeD and on the choice of the reference  configuration  x R   of D, x R   e  C S {D). The standard function Q R :*Q  - +  *R+  (if  it  exists)  will  be  called  ^- density  of  mass  in  a  reference  configuration x R   of a  mass- point system. In what follows we shall assume that for the system  (D,  (m P ) PED , (fp)peD, (<7pQ\ p,Q)eD°D)  there  exists  the  reference  configuration  x R eC s (D)  with  the S'- density  of mass  Q R .  I t means that the mass- point  system  under consideration has certain property  of  a material continuum which will be referred  to  as. S'- regular  mass- distribution in  a  configuration  x R .  We  can  observe  that the masses  m P ,  for  every  P e D,  have  to  be infinitesimal. The interrelation between  the „ discrete" mass distribution x R {D)  3  0 f - >  m(0P)  s  *R + , where  m{0 P )  =  m P ,  and  the  „ continuous"  standard  mass  distribution  Q R :*Q  ->  *R+, «an  be  written  down  explicity  due  to  the following  theorem  on F- limits  (cf.  [2], p.  110). N amely,  if  {<*„},  n e  *N ,  is  an  internal  sequence  of  points  a n   e *T   having  F- limit, then there  exists  an  infinite  natural  number  X, X e*N \ N ,  such  that  Flima„  =   a,  for  every infinite  v  and v  <  X (mind, that F- limits  are not uniquely  defined). Since  every  infinite  sequence  (3.2)  is  internal  and  is  assumed  to  have  5- limit(13),  we obtain '4 for  every  0  e Q  c  *Q.  The RH S of Eq.  (3.4) represents  the standard part of  an  arbitrary standard  number  in  a  bracket  (i.e., for  an  arbitrary  infinite  positive  integer  v, such that v  <  X o ).  U sing  g- material  coordinates  © P ,0 P   — x R (D),  and  setting  m P (&)  =  m P ,  we obtain, an  alternative  form  of  Eq.  (3.4), given by ( 3 - 5 ) for  every  0  BQ  C *Q.  Eqs.  (3.4)  or  (3.5)  yield  the direct interrelation between  the „dis- crete" mass  distribution in a nonstandard mass- point system  and a standard „ continuous" mass  distribution.  The physical  sense  of  Eqs.  (3.4)  or  (3.5) is  evident;  the values  of „coiT- tin uous"  mass  density  at  every  standard  point  0  e Q  of  *Q  are  obtained  (if  they  exist) as  standard  parts  of  mean  mass  densities  in  a ball  with  a center  in  a  point 0,  provided that  the  radius  /•„   of  this  ball  is  infinitesimal  but,  roughly  speaking,  not  too  small  (i.e.,   >   rx c   for  some  infinite  X o   and  v e  *N \ N ). 4.  D istributions  of  external  and  internal  forces  in  certain non- standard  N ewtonian  mass- point  systems. N ow  let  • / €  t ­+  xt  e CS(D)  be  an  arbitrary  S­regular  motion  of  the  nonstandard point  system  and  let  us  construct  the  sequences tl3>  We  confine  ourselves  to  mass­point  systems  with  ^­regular  mass­distribution  in  a  reference •configuration  »«. O N  THE  NONSTANDARD  ANALYSIS  519 (4.1) for every 0  e ints*.Q, t e*I.It  can be easily seen that bm(0,  t), dm(0, t) are mean densities of external and internal forces (in a ball with a center 0  and a radius rm =  rl y/?H, m e *JV +) for a certain  S­regular  motion  of a mass­point  system  under  consideration. As a rule, the sequences (4.1) are not convergent. However, it may  happen that the sequences  {bm{0,  t)}, {dm(0,  t)}  have  S­limits  for  every  0  eints*,Q,  t e */.  In what  follows  we shall  confine ourselves  only  to  such  non­standard  mass­point  systems  s =  (D, (tnP)PBD,  (fP)PsD, (&PQ)<.P,Q) Rz, dR:QxI­+  R 3,  respectively),  such  that AK(0,t)=  Slimbm(0,t). (4.2) dR{0,  t) =  Slimdm(0,  t);  0  e ints*i3, t e */. From  the foregoing  assumption  it  follows  that  bR(0,  t) =  Slimbm(0,  t), dR(0,  t) = =  Shmdm(0,t)  for  every  standard  ( 0 , / ) e f i x / c  *Ł2x*I. The  standard  functions bR:*Qx*I­+  *R 3,  dR:*Qx*T­+  *R 3 will  be  called  S­body  force  and  S­density  of in­ teraction,  respectively,  related  to a reference  configuration  x s , Xg 6 CS(D). Since the infinite  sequences bm{0, t), dm{0, t) are internal, then  by virtue of a  theorem on F­limits (cf. Sec. 3) we obtain (4.3) for  every  standard  (0,t)eQxl  cz  *Qx  */, v e  *N\N. Thus  we conclude,  that  the. Newtonian  mass­point  system  under  consideration,  in an  arbitrary  S­regular  motion  of its point  system  D, has certain  features  of  a  material continuum.  These features  are expressed  by the existence  of uniquely  defined  continuous fields  bR:Q xl' ­> R 3, dR\Q x T­> R 3, characterizing the distribution of external and internal forces. At the  same  time Eqs.  (4.3) yield an interrelation  between  the system  of forces in a  „discrete" mass­point  system and a certain  „continuous"  distribution  of forces  (5­body force  and S­density  of interaction). The physical interpretation  of the  RHS  of Eqs. (4.3) is rather  clear; we deal here  with  certain  mean  densities  of forces  in an infinitesimal  ball B(0,rr)  which,  roughly  speaking,  is not sufficiently  small  (has an infinitesimal  radius r,  but greater  then  rx,  X = m a x ^ ,  A2)). 520  C z.  WOŹ N IAK 5.  Passage  to  standard  laws  of  motion. F rom  now  on  we  shall  assume  that  the  N ewtonian  nonstandard  mass- point  system S =   (Z>, (m P ) PeD ,  (fp) PeD ,  (CPQ\ P,Q)ŁD=D)  under  consideration  satisfies  all  assumptions introduced  in  Sees.  3.4.  Thus  we  assume  that  there  exists  the  reference configuration x R :  D  -»  *Ri,  such that  Q  a  °x K (D)  is a  closure of a  certain  regular region Q  in  JR3  and such  that  the  function  Q R :Q  -> R+,  defined  by  Eq.  (3.4),  exists  and is  continuous  in  Q. Moreover,  we  assume that  for  every  S- regular  motion  of D  there exist functions  b R :Qx x  / - »  R3,  d R :Qxl- +  R 3 ,  defined by  Eqs.  (4.3), which are continuous in Qxl.  A N ewto- nian  mass- point system  satisfying  the forementioned  conditions  will  be  called regular. N ow  the  question arises  which  necessary  conditions  are  imposed  on  ^- regular  motion of  D  (if  it  exists)  by  N ewton's equations of  motion  (1.1),  (1.2) for  a regular N ewtonian mass- point system. To  obtain  these conditions  let us  observe  that  for  every  0  e Q,  t e / , me  *N ~ +,  from Eqs.  (1.1) it follows  that 2 2   ^C i O .  «.(©) -  o. volB(0,r m) QeD\ { P) where  *7g  t - >•   x t   e  C{D) is a motion  of the point system D. Let Eqs. (5.1) be  satisfied  by a  certain  S- regular  motion. I t means that (5.2) hold  for  every  PeD,  te*I,  where  u,(P),u,(P),ii,(P) are  certain  infinitesimal  vectors in  *R3.  Substituting the RH S  of Eq. (5.2) into  Eq, (5.1) and putting m =  V,  where v < A, 1  =  max(A0, ^ i, ^2) and v € *N\N,  cf.  Eqs.  (3.5),  (4.3),  we  shall  arrive  at  the  relation (5­3)  eR(&)p(&, t)  =  bR(0,  t) + dR{0,  t), which has to  hold  for  every  0  eQ,  t el.  Passing from  Eqs.  (5.1),  (5.2)3 to  Eqs.  (5.3)  we have taken  into account formulas  (3.5), (4.3) and  a relation (5.4) PeDR(B(e,rv)) In order to prove that Eqs. (5.4) holds let us observe that the RHS of the foregoing  formula can be interpreted  as S­limits  of internal sequences (5.5) vol  B(0,rm) '  PaD O N  THE  NONSTANDARD  ANALYSIS  521 But  the existence  of F­limit  of an infinite  sequence  {a,,}, n e  *N, of points  in  a  certain metric space  *T depends  only  on  terms an for  neN.  Because all  these  terms  for  sequence (5.5)  are  infinitesimal  (it  follows  from  the  fact  that  all  such  terms  of  sequence  (3.2)  are finite)  then  S­limit  of  this  sequence  is equal to  zero  and  Eq.  (5.4)  hold  for  every  0  e  Q. Eqs.  (5.3)  constitute  the  interrelation  among  the  deformation  function  p.QxI  ­v JR.3, S­density  of  mass  QR:Q ­> R +,  S­density  of  interaction  dR:Qx.I  ­» R 3  and  S'­body  force bR:Q x !'­>  R 3.  Thus Eqs. (5.3) can be called standard  laws of  motion  and  their form  coin­ cides with that  of laws of motion  for  a certain material  continuum,  occupying  in the  refe­ rence configuration  a regular  region  Q in R3.  Because the interactions  have  been  assumed non­local, we do not  deal here with any contact forces  (which are  introduced  and  detailed in  [15]). It must be emphasized that Eqs. (5.3) have to  hold only if the motion  of a nonstan­ dard point  system  D,  satisfying  Eqs.  (1.1),  (1.2), is S*­regular.  At  the  same  time  Eq.  (5.3) (in  which  p(0,t)  ­  °xR(P),  0  s  °xB(P),  cf.  (5.2)3(  together  with  Eqs.  (3.4),  (4.3)  re­ present  the necessary  condition  imposed  on the  ^­regular motion  of a  regular  Newtonian mass­point  system  (provided  that  such  motion  exists). 6.  Passage  to  standard  constitutive  relations. Now  let  us  substitute  the  RHS  of  Eqs.  (5.2)li2 into  Eqs.  (4.3)^  Setting 4/"i>O(0, t),p(0,  t);iit(P),  «,(P)) m - / , ( P ( 0 , t)+ut(P),i>(@, t)+ut(P))-fP(P(0, t),K&, 0 ) . let  us  assume  that  the  relation holds for every infinitesimal  u,(P),  «,(P). Let us also define  the function  pR:QxR 3xR3 ­y  R3  by means of (6.2)  pR( In Eqs.  (6.1), (6.2), as usual, we have v e *N\N  and v  <  1 for  a certain infinite  positive integer  A. Thus we conclude that if the conditions  of the form  (6.1) are satisfied  for  every 0  e Q  then  we can  characterize  the  S'­body  forces  by  the  formulas (6.3)  bR(0,  t)  =  pR(0,p(0,  0,  p(0,  0),  e*Q,t  el, with  the  RHS  of  Eqs.  (6.3)  defined  by  Eqs.' (6.2). Eqs.  (6.2),  (6.3) yield  the  interrelation between  the „continuous"  S­body  force  and  the  „discrete"  distribution  of external  forces in  the  regular  Newtonian  mass­point  system  under  consideration.  This  interrelation  is valid  under  the  conditions  that  the  value  of  S­body  force  in  any  ^­regular  motion  of  a nonstandard  point  system  D  (cf.  Sec. 2)  depends  only  on  the  deformation  function  for this  motion.  It  can  be  shown  that  such  situation  will  take  place  if  the  external  fields  in *i?3,  determining  the  form  of  functions  fP:  *R 3 x *R3  ­> *jR3,  are  standard. 522  C z.  WOŹ N IAK N ow let us detail  th e possible in terrelation  between  th e S'- density  of in teraction d R (0, t) an d  t h e deform ation  fun ction  p{ • ) of an  arbitrary  S'- regular  m otion  of a  n on st an dard po in t  system  D. T o this  aid we shall  use  E'q.  (4.3)2jwith  t h e fu n c t io n s/ P Q :*i? 3  xi ? 3  - *  *R3 defined  by E q.  (1.2).  F o r  every  5- regular  m otion *fs t  - >•  x, e C S (D) with  the  deform ation fu n c t i o n  i 2 x / s  (0 ,t)  - > p(0 ,t)e  R3  ( wh e r e  p(0,  t) =   °x,(P)  wit h  0  =   °x R (P)  cf. Sec.  2) we  h ave (6.4)  ic t (P)=p(0 P ,t)  + w t (P);  0 P   =  x R (P),PeD,te*f, wh ere  n ow p :*Q x *I- >  *R3 stan ds  for  an extension  of the  deform ation  function  (which can  be called  a stan dard  deform ation  function)  an d n>t(P)  are  infinitesim al  vectors  in *R3, I n stead  of S- m aterial  coordin ates  0  =  °x R (P)  (m acro- coordin ates), which  have  been  used before  (cf. E q. (5.2)),  we apply  n ow Q- material  coordin ates  0 P   = x R (P) (micro- coordi- n ates). If w t {P)  — 0, P e D, t e*I, th en  E q.  (6.4) will represen t a special  5- regular  m ot ion of  D in  wh ich  m aterial  poin ts  are „ fro zen "  in a  certain  stan dard  „ m aterial  c o n t in u u m "; m o t io n  of t h is  „ m at erial  c o n t in u u m "  is  described  by a  stan dard  deform ation  function p:*Qx  *IB (0, t) - yp(0,  t) e *R3  (i.e., by an extension  of a  deform ation  fun ction for th e  m o t io n  of D). I n  wh at follows  we sh all  confine  ourselves  to a certain  subclass of a class of all  S- regular m o t io n s  of a p o in t  system  D un der con sideration . This subclass  con tain s  m otion s in which th e  values  of a fun ction  w,{P), P e D,t e */ , in Eq. (6.4) are n o t only  infinitesim al  but also,  ro u gh ly  speakin g,  „ sufficiently  sm all".  To be m ore  precise  we shall  assume  t h a t for every  p air  (P, Q) of in teractin g  m aterial  poin ts  (i.e., poin ts  for which f PQ (  • ) is n o t  identi- cally  equ al  t o zero)  in t h e subclass  of m otion s  un der  con sideration  we  have (6.5)  w t (P)- w,(Q)  =  E(P, Q,  t)[x t (P)- x t (Q)], where  E(P, Q, t) is a certain  3 x 3 m atrix  of infinitesim al  n um bers.  E q. (6.5)  can be also writ t en  do wn  in a  form where  by a(x), x s  (x t  t x 2 ,Xz)  e *R 3 , we den ote the set of all triples y=  (y lt   y 2 , y 3 ) e *i?3, such  t h a t  y\  =  E\  xj, i,j  =   1, 2, 3,  where  Ej are in fin itesim al  (cf. also  [2], p . 79).  By virtue  of E q .  (1.2), for a class  of S- regular  m otion s  of D satisfying  Eq.  (6.5), we obtain (6.6)  f PQ (x r (P),  x t (Q))- f PQ (p(0 P ,  t),p(Q Q ,  t))ea(f PQ (x t {P),x t {Q))), for  every  P, Qe  D,P^   Q,t  e*I.  I t m ean s  t h at ,  roughly  speakin g,  th e in teraction s in a  m o t io n  determ in ed by E qs.  (6.4),  (6.5) are „ n early  th e  sam e"  as th e in teraction s in  a m o- t io n  ch aracterized  by E q .  (6.4) wit h  w,(P) =  0 for every  P e D,  t e *7.  M o t io n s  of D satisfying  E q .  (6.5)  (for every  pair of in teractin g p o in t s P, Q an d every t e */ ) will be  called strictly  5*- regular. F o r  m o t io n s  of D wh ich  are strictly  ^- regular  it can be shown  t h at  the S- density  of in t eract io n s  is un iquely  determ in ed  by th e deform ation  fun ction .  N am ely  from  E q. (6.6) it  follows  t h a t (6- 7)  ( ôTik̂ E% O N  THE  NONSTANDARD  ANALYSIS  523 ( 6 - 7 ) [ c O n t ] \volBCe,r,) .  r  Q'ib\{P) for  every  0  e Q, v e *N\N  and v <  X. Introducing  the  functionals 1 (6.8) v o l J ? i defined  for  every  0  eQ  on the  space  of  all deformation  functions  p:QxIa  (0, t)­> ­> p{0, t) e R3  (and hence on the  space of all standard  deformation  functions  p:*Q x *IB­ 9  ( 0 , 0  ­> />(0, 0 e  *­#3)  a Qd taking  into  account  Eqs.  (4.3)2 and  (6.7), we arrive  at the relation (6.9)  dR(0,t)  = DR(0,p{­  , 0 ) ;  0eO,teI, Eqs.  (6.9),  (6.8) characterize  the  interrelation  between  the  „continuous"  ^­density dn( •, 0  of interactions and  the  „discrete" distribution  of interactions in the regular  New­ tonian  mass­point  system.  This  interrelation  holds in any strictly  S­regular  motion  of the point  system  D  under  consideration<14). Formulas  (6.3),  (6.9) can  be  interpreted  as the  constitutive  relations  of a certain  non­ local  elastic  „material  continuum",  motion  of which  is described  by an arbitrary  defor­ mation  function  p:QxIa  (6>, t) ­>p(0,  t) eR3.  The properties  of  this  „material con­ tinuum"  are uniquely  determined  by the properties  of a regular  Newtonian  mass­point system,  provided  that  we  confine  ourselves  to the strictly  S­regular  motions  of its point system. 7.  Conclusions. Summarizing the  obtained  results  we  shall formulate  the following  assertions:, 1.  Every  S'­regular  motion  of an arbitrary  regular  Newtonian  mass­point  systemas> (if  it exists)  has to  satisfy  Eq. (5.3)  together  with  Eqs.  (3.5),  (4.3)  and  with  p(0,  t) = =  °xt(P),  0  e °xR(P),  for every  P e D, r e / . 2.  If there  exists  strictly  ^­regular  motion  of a certain  regular  Newtonian  mass  point system then the deformation  function  for this motion  has to satisfy  Eqs.  (5.3),  (6.3),  (6.9) with  denotations  (3.4),  (6.2),  (6.8). 3.  Every  regular  Newtonian  mass­point  system  uniquely  determines  certain  non­local elastic  „material continuum"  with governing relations  (5.3),  (6.3),  (6.9).  The continuous fields in these governing relations are expressed in terms of Newtonian  mass­point  mecha­ nics by Eqs.  (3.4),  6.2),  (6.8) for every  strictly  ^­regular  motion  of the  Newtonian  mass­ point  system  under  consideration  (if it  exists). <14>  This interrelation  also  holds  in any S­regular  motion  satisfying  Eq. (6.7) " 3 )  A motion of the Newtonian  mass­point  system  was defined  in Sec.  1 as the motion  of its  point system  satisfying  Newton's  equations  (1.1),  (1.2). 524  C z.  WOŹ N IAK I t  must  be  remembered  that  every  regular  N ewtonian  mass- point  system  is,  by  defi- nition, a nonstandard  N ewtonian mass- point  system.  The number  of  points in this  system is equal to a certain fixed infinite  natural number and the masses  of points are  infinitesimal. F or  the  class  of  motions  under  consideration  (for  S- regular  motions)  also  the values of • external forces  acting  on the points as well as the values of interactions between  the points are infinitesimal.  The assertions listed  above, which interrelate certain nonstandard „discre- t e"  functions  (i.e.,  defined  on. x R (D)  c  *R3)  with  standard  continuous  fields  (defined on  °x R {D)  cz R 3 )  can  be  expressed  exclusively  in  terms  of  the  nonstandard  analysis.  On the  other  hand,  resulting  relations  (5.3),  (6.3),  (6.9),  which  can  be  interpreted  as  descri- bing  certain  „ material  continuum",  are  standard.  Thus  the  method  of  the  nonstandard analysis applied  to  N ewtonian mass- point  mechanics  makes  it possible to define  the class • of  nonstandard  mass- point  systems  (which  were  called  regular  N ewtonian  mass- point systems)  having  properties  of  material  continua  (for  more  general  approaches  cf.  [13]). I n  this  paper,  starting  from  N ewtonian  mechanics,  we  have  derived  governing  relations of  a  nonlocal  continuum mechanics; passage from  N ewtonian  mechanics  to the  relations of  the  elasticity  theory  will  be  described  in  the  next  paper  (cf.  also  [15]).  However,  the non- standard  methods  can  be  also  applied  directly  to  some  problems  of  continuum me- chanics,  [16,  17]. f References 1.  A.  ROBIN SON , N on- standard analysis.  N ederl. Akad.  Wetensch.  Proc. Ser. A  64,  (1961). 2.  A.  ROBIN SON ,  N on- Standard  Analysis.  N orth- H olland  P ubl.  Comp., Amsterdam  (1966). 3.  A.  R.  BERN STEIN ,  A.  ROBIN SON ,  Solution of  an  invariant  subspace problem of  K.  T .  Smith  and  P.  R. Halmos.  Pacific  J.  M ath .  16  (1966). 4.  A.  ROBIN SON ,  E.  ZAKON ,  A  Set- T heoretical Characterization of  Enlargements.  Proc.  of  Int.  Symp.  on Applications  of  Model  Theory  to Algebra, Analysis  and Probability.  Pasadena,  California  1967.  H olt- R in ehart  and  Winston,  N ew  York  (1969). 5.  P . J.  KELEM EN ,  A.  ROBIN SON ,  T he nonstandard  k$%(x):  model. Journ .  M at. Phys.  13  (1972). • 6.  A.  ROBIN SON ,  P .  ROQU ETTE,  On  the  Finiteness T heorem of  Siege!  and Mahler  Concerning  Diophantine Equations.  J.  N um ber  Theory  7  (1975). 7.  A.  ROBIN SON , Selected Papers, Vol. 2, N onstandard Analysis and Philosophy.  Editors: W.  A. J.  Luxem- burg,  S.  Korn er,  N orth- H olland  P ubl.  Comp.,  Amsterdam  (1979). 8.  M .  M ACH OVER,  J.  H I R SC H I ELD , L ectures on  the  N on- Standard Analysis.  Lecture N otes  in  M athematics, N o  94,  Springer  Verlag  (1969). 9.  W.  A.  J.  LU XEMBU RG ,  A  General  T heory  of  Monads.  Appl.  of  Model Theory  to  Algebra, Analysis  and P robability,  H olt- Rinehart  and  Winston  (1969). 10.  Contributions  to  N on- Standard  Analysis, Symposium  at  Oberwolfach,  N orth- H olland  Publ.  Comp., Amsterdam  (1972). 11.  M .  D AVI S,  Applied N on- Standard  Analysis,  John  Wiley  and  Sons,  N ew  York  (1977). 12.  C z.  WOŹ N I AK,  Analiza  niestandardowa  w  mechanice  newtonowskiej punktu  materialnego  (N onstandard analysis  in  N ewtonian  mass- point  mechanics,  in  Polish), M ech. Teor.  i  Stos.  19  (1981),  3 13.  C z.  WOŹ N I AK,  N on- Standard  Analysis  and  Material  Systems  in  Mechanics. Bull.  Acad.  Polon.  Sci. Ser.  Techn.  N o  1- 2,  1980. 14.  Cz.  WOŹ N I AK,  On  the N on- Standard  Interrelation  Between Mass- Point Mechanics and  Continuum  Me- chanics, Bull.  Acad.  P olon .  Sci.  Ser.  Sci.  Techn.  N o  11- 12,  1981. 15.  Cz.  WOŹ N I AK,  On  the  N on- Standard  Model  of  the  T heory  of  Elasticity.  Bull.  Acad.  Polon.  Sci.  Ser. Sci.  Techn.  N o  1 H 2 ,  1981. O N   TH E NONSTANDARD   ANALYSIS  525 16.  Cz.  WOŹ N IAK,  E.  WI ER Z BI C KI ,  On  the formation of  Implicit  Constraints and  Free- Boundary  Problems for  Elastodynamics  by  the  N on- Standard  Analysis  T echnique.  Bull.  Acad.  P olon .  Sci.  Ser.  Sci.  Techn . N o  11- 12,  1981. 17.  Cz.  WOŹ N IAK,  K.  N OBI S,  N onstandard Analysis  and Balance Equations in  the  T heory  of  Porous  Media. Bull.  Acad.  P olon.  Sci.  Ser.  Sci.  Techn.  N o  11- 12,  1981. P e 3 IO M e H E C TAH flAP TH BI H   AH AJ I H 3  H  CB.S3B  M E JK Jiy  M E XAH H K OH  M ATE P H AJI BH BI X  T O ^I E K H   M E XAH H K O fl  K O H T H H YVM . B  p a 6 o i e  floKa3aH O,  w o  yt m T biBas  MeTOflfci  H ecTaH flapTH oro  aHajiH3a  H 3  ypaBHeHHH   MexaHHKH H io io H a  cHCTeMbi  MaTepHajiLHbrx  To^eK  MOHtHa  BH BeciH   HenocjieflCTseHHO  djyH flaMeirraJiBH bie  yp a B- H em ra  MexaHHKH   KOHTHHyyM   6e3  npHMeHeHHH  anpoKCHMan,HH  H  rpaH H iH Bix S t r e s z c z e n i e O  N   ESTAN D AR D OWEJ  AN ALI Z I E  I  Z WI Ą Z KU   M I Ę D ZY  M E C H AN I KĄ   P U N K T Ó W M AT E R I ALN YC H   A  M E C H AN I KĄ   K O N T I N U U M W  pracy  wykazano,  że  korzystają c  z m etod niestandardowej  analizy  moż na wyprowadzić  podstawowe równania  mechaniki  kontinuum bez stosowania  aproksymacji  i przejść granicznych  bezpoś rednio  z  równ ań mechaniki  N ewtona  ukł adów  punktów  materialnych. INS TYTUT MECHANIKI UNIWERSYTET WARSZAWSKI 2  M ech .  T eoret .  i  Stos. 4/ 81