Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  19,  (1980 ZAG AD N IEN IE  SZ C Z ELI N Y  W  WARSTWOWEJ  P Ł YC I E  P O P R Z E C Z N I E I Z O T R O P O WE J BOGDAN   R  O G  O W  S K I  (Ł ÓD Ź ) 1. Wstę p Teoretyczne  badanie  zagadnień  mechaniki  anizotropowych  ciał   warstwowych  osł a- bionych  szczelinami  rozpoczę to w  ostatnich latach. Pł askie zagadnienie  szczeliny  w  paś mie ortotropowym  zł ą czonym  z  pół pł aszczyznami  rozwią zano  w  [1],  a  w  paś mie  zł ą czonym z  pół pł aszczyzną   w  [2]. D la  anizotropowych  ciał  warstwowych  nie zbadanymi  pozostają   przestrzenne i w  szcze- gólnoś ci  osiowosymetryczne  zagadnienia  szczelin.  Zagadnienie  szczeliny  w  warstwie poprzecznie  izotropowej  rozpatrzono  w  [3]  i  [4],  a  w  ciele  nieograniczonym  w  pracach [3- 6]. W  niniejszej  pracy  rozwią zano  zagadnienie  pł askiej  szczeliny  koł owej,  usytuowanej w  pł aszczyź nie  ś rodkowej  warstwy  poprzecznie  izotropowej,  zł ą czonej  z  dwoma  innymi poprzecznie izotropowymi  warstwami  identycznymi  ze sobą . 2.  Równania  podstawowe  i  ich  rozwią zania Zagadnienie  równowagi  sprę ż ystego,  jednorodnego  ciał a  poprzecznie  izotropowego może  być  rozwią zane  za  pomocą   funkcji  f a {r,  z),  które  w  przypadku  osiowej  symetrii są   rozwią zaniami  równań (2.1)  ( aj+ r- ^+ c-2 ??)?.  =  0;  « -   1, 2. Funkcje  cpjr, z)  speł niają   ukł ad  czą stkowych  równań  róż niczkowych  równowagi i  okreś lają   w  walcowym  ukł adzie współ rzę dnych  (r, O,  z) skł adowe wektora  przemieszcze- nia  (w, 0, w)  i  tensora  naprę ż enia  (p rr ,  a & a,  &zz,0,0,  a rz )  za  pomocą   wzorów  [7] (2.2)  u  =   9r(fcc>i+ cj2), a„  =   ^ (2 . 3 ) 2* 528  B.  ROG OWSKI W  zwią zkach  (2.1),  (2.2),  (2.3)  przyję to  dla sym boli  róż n iczkowan ia  oznaczenia P a r a m et r y  s a ,  k  zależą  od stał ych  m ateriał owych.  Obliczam y  je ze wzorów  [7] V  2  /'i , 2(2.4) fc  = w  kt ó rych • + 1 ± . (2- 5) - 1 , H- 4-.  r- 4L T ech n iczn e  stał e  m ateriał owe  £ ,  ł>  charakteryzują  wł aś ciwoś ci  sprę ż yste  m ateriał u w  pł aszczyzn ach  z =   con st  (izotropowe),  n at om iast  E 1 ,v 1 ,G 1   w  kierun ku  osi z, równ o- legł ej  d o osi sprę ż ystej  symetrii  m at eriał u. Biorąc  p o d  uwagę  n ierówn oś ci  jakie  speł niają  techn iczn e  stał e m ateriał owe (2.6)  i_„ > JL> o,  l~v- 2vl- §- >0, iii  j&i stwierdzam y,  że stał e  e, Q, fi  są  rzeczywiste. Z  zależ n oś ci  (2.5) i  (2.6)  wynikają  n ierówn oś ci 6 >  0,  g | 0 ,  fi  >  - 1 , zaś  z  ró wn ań  (2.4)  zależ n oś ci W  p r zyp a d ku  Q >   — 1  p a r a m et r a jest rzeczywisty  dodatn i bą dź równy zeru, dla  Q <  — 1 przyjm uje  wartość  urojon ą.  Współ czyn n ik  f$  jest  rzeczywisty  dodatn i  dla  Q >  1,  równy zeru  dla g  =   1 i  urojon y  dla Q < 1. W  p r zyp a d ku  g >   — 1,  tj. gdy speł n ione są  n ierówn oś ci (2.8)  JL >Vl JL   =  V2   l u b - l < e < 0, co  n ajm n iej  je d e n  z  p aram et ró w  a , (5 je st liczbą  rzeczywistą.  Rzeczywiste  m ateriał y  mają t akie  wł aś ciwoś ci,  że ich  stał e  sprę ż ystoś ci  speł niają  altern atywę  (2.8)  (na  przykł ad  kom- po zyt y) .  Teoretyczn ie  m ogą  wystę pować  również  takie  m ateriał y  dla  których  Q <  — 1 i wówczas  p aram et ry  a , /? przyjmują  wartoś ci  urojon e  a =   /<*,/? =  //? ( a, /? —  rzeczywiste). ZAG AD N IEN IE  SZCZEU N Y  W  WARSTWOWEJ  PŁ YCIE  529 Jeż eli  wykon am y  tran sform ację  H an kela  w  równ an iu  (2.1),  to  stwierdzam y,  że  fun kcje CO (2.9)  # „ ( ! ,  z)  =   J f , {9 » . ( r , z ) ; r ^ Ś }=  J  rcp a (r,z)J t (.Sr)dr, o sp eł n iają  r ó wn a n i a (2.10)  ( ^ - - ^ ^ J0 a = o .  a = 1 ) 2 . W  zależ noś ci  (2.9)  &C V   ozn acza  operator  tran sform acji  H an kela  rzę du  v  zdefin iowan y za  pom ocą  3 v (£r),  funkcji  Bessela  pierwszego  rodzaju  i  rzę du  v. P rzechodząc  w  rozwią zan iach  równ ań  (2.10)  do  orygin ał ów  otrzym ujem y  funkcje przemieszczeń  (pjj,  z),  które  zapisan o  w  postaci (2.11)  cpjr,  z)  =   ^ ^ +   U a ( £ ) c h sa fz ] ;  f  -> r };  a  =   1,  2  (n ie  su m o wan e) , gdzie  AJJ;),  B a ($)  (a  =   1,2)  są  n iezn an ym i  funkcjami  p aram et ru  tran sform acji  £. P ola  przemieszczeń  i  n aprę ż eń  okreś lirny  jeż eli  uwzglę dnimy  zależ noś ci  (2.11)  w  zwią z- kach  (2.2)  i  (2.3). Otrzymujemy  wzory (2.12)  u(r,z)  =   -   t (2.13) z)];  |  - »•   r }, (2.14)  < r2Z (r, z)  = — s 2 z)];  £  - +  r), (2.15)  ff„ (r,z)-   - S 1 ~ S 2 + ^ 2 c h s 2 | l z + B 2 s h 5 2 ^ z ) ;  f  - »•   r }, (2.16)   0, (3.2)  a xrU (r,  8) =  0;  r > 0. W  pł aszczyź n ie  z =  0 m am y  warun ki  brzegowe  m ieszanego  typu (3.3)  a zrl {r,  0 ) -   0 ;  r>0, (3- 4)  a zzl (r,  0) =   - p(r);  0 < r < 1, (3.5)  w , ( r , 0 ) =   0;  r  S* 1. ZAG AD N IEN IE  SZCZELINY  W  WARSTWOWEJ  PŁ YCIB  531 Warunki  cią gł oś ci  są  postaci (3.6)  [«,(r.  o, )]!1  =   Iwft,  Ó^ JY =   0;  r>  0, (3.7)  [or„ ,(r, OJ]?  =   |[( r r t ( r ( 3,)]', 1 =  0;  r ^  0, gdzie [/ i]!1  oznacza skok  funkcji / , przy przejś ciu  z warstwy  I do warstwy I I . Z  zależ noś ci  (2.12) -  (2.15)  otrzymujemy (3 . 8 ) (3.9)  n>i(r,z)  =   ^ X ^ +   fcIC42chs2i£ z+ .B2sriS2i£ z)];  I  - > '*}, (3.10)  ffM l(jr,z)  =   7- (3.11)  a zrl (r,z)  =  - ^ fz);£- vr}, gdy  (r, z) e Ą  oraz  . (3.12)  u n (r, Z )  =   -   G i n a ( f c n  +   ; ) ( 5 i i i _ ; ^  ( l ( z - Ó1 ) ) ] ;  |  -> r }, (3.14)  a zzll (r,z)= + D 1 chs lll C(z- d 1 ))+s in (C 2 sh.s 2U C{z- d 1 )+D 2 chs 2n i(z- d l ))];  S - *  r}, (3.15)  o zrll (r, Z )  =   - ^ ( z - 51 ) ] ;  |  - •   r }, dla  (r, z) e i 3 n . V W  szczególnoś ci  dla z =   0  otrzymujemy  z  (3.9),  (3.10),  (3.11) (3- 16)  Wl(r, " o)  - (3.1.7)  o zxl (r,  0)  . (3.18)  ffzrI(r,0)= 532  B.  ROG OWSKI Z  warunku  brzegowego  (3.3) i zależ noś ci  (3.18)  otrzymujemy (3.19)  A^ i)  =   - AM  =  - / ( #, gdzie / (f)  jest  nieznaną  funkcją. Równania  cią gł oś ci  pola  przemieszczeń  i  naprę ż eń  dane  za  pomocą  wzorów  (3.6) i  (3.7) przechodzą, po  uwzglę dnieniu  zależ noś ci  (3.8) -  (3.15), w ukł ad równań algebraicz- nych,  z którego  moż emy wyznaczyć  C a(£ ), />„(£) za  pomocą i?a(f)  i Otrzymujemy (3.20) ) • >2H • **2\s)  r  T"  •   o  ' "~ gdzie g -   Gu (3.2D   f2  =  * =   «u*~ sab Warunki brzegowe  (3.1) i (3.2), po uwzglę dnieniu  (3.14) i (3.15) i wykorzystaniu  (3.20), prowadzą do ukł adu równań algebraicznych, z których moż emy wyznaczyć 2?a(f) za pomocą nieznanej  funkcji  / (£ ). Rozwią zanie  tego  ukł adu ma  postać (3.22)  B ^ ^ A g L ,  B2(|)= / (|)A|_;  (»..«>. gdzie (3.23)  h(x)  = +  (a 3  +a 1 )chx(oc 1   rj t   + a 2 r)2) -   (a3 ZAG AD N IEN IE  SZCZELINY  W  WARSTWOWEJ  PŁ YCIE  532 £3.24)  I 2 (x)=  - ( a i + «5 ) c h x( a1 j? 1 + / 9 2 ? 7 2 ) +  ( a 1 - as ) c h x ( a 1 7 7 1 - / 32 7 ? 2 ) - - ( a2 + a 6 ) c h x( j9 1 ? 7 1 +  / 92ł ? 2) +   ( a 2 - a6 ) c h x ( / ? 1 T j 1 - i ?2 t j 2 ) - ( «1 r\ x + a.2r}2) + ( a 3 - a7 ) c h x ( a ! jjj  -   a 2?? 2) — (3.25)  m (x)  =  (.a 1 Wystę pują ce  we  wzorach  (3.23),  (3.24)  i  (3.25)  współ czyn n iki  ^  obliczam y  za  pom ocą, wzorów fl7,s  = (3.26)  a 9 > 1 0  = a 0  =   - 12  —  S 2 i 5 l i w  których <*i  =   S n + s 2 I ,  a 2  =   sin+sza> Pl  =   S i l "  S 2I.  P2  =   Sln- S2H. Z zależ noś ci (3.22) obliczymy kombinację  stał ych 5 X ( |)  i  B 2( (3.28)  T ^ _ F un kcja  /(^r) jest  odpowiedn ią  kom bin acją  funkcji  ^(pc) i  I 2 (x).  O kreś lona jest  o n a  wzo r em (3.29)  l(x)  =   ( 534  B.  ROG OWSKI gdzie af  =   c c i/ S r V  i =   2,  4,  6, 8,  10, (3.30)  *  „ _,  .  t  _ n  11 1? Ok  —  s 2lPl  »fc!  K =   U,  1 1 ,  I Z , przy  czym  a ( ,  «fc dan e  są  za  p o m o cą  wzorów  (3.26). Wpro wad zim y  funkcję  M ( x) ( x  =   f<5)  taką, że (3.31)  M ( x)  =   l - gdzie  funkcja  l(x)  jest  okreś lona  wzorem  (3.29), a funkcja  rń (x)  za  pom ocą  wzoru  (3.25). P odstawien ie  zależ n oś ci  (3.19)  do  wz:oru  (3.16)  i  wykorzystan ie  reguł y  transformacji H an kela  pro wad zi  do  okreś len ia  przem ieszczeń  pun któw  leż ą cych  w  pł aszczyź nie  zawie- rają cej  szczelin ę co (3.32)  w,(r, 0) -  ~   J  f(C)J 0 (£r)di, 6 .gdzie ( 3 < 3 3 )   *  =   GjJ^ +l)(s n - s 2l j je st  p aram et rem  m ateriał owym. N ap rę ż en ia  wystę pują ce  w  t ych  pu n kt ach  okreś limy  ze wzoru  (3.17)  podstawiając (3.28)  i  uwzglę dn iając  (3.31) (3.34)  c zzl (r,  0) =  -   - 1-  J  t[l- M(W ]UfrW e)de. o F u n kcje  p aram et ru tran sform acji  A a (^ ),  BJI- ),  C a(£ ), £><*.(£) został y okreś lone za pom ocą n iezn an ej  funkcji  / ( !) i  wzorów  (3.19),  (3.20),  (3.22). Z a  po m o cą  funkcji  / ( £ )  m oż emy  okreś lić  przemieszczenia  i n aprę ż en ia  w m ateriał ach wypeł n iają cych  warstwy  rozpatrywan ej  pł yty  n iejedn orodn ej,  wykorzystując  w tym  celu zależ n oś ci  (3.8)  -  (3.15)  i  wzory  jakie  otrzym am y  dla  a rri (r,  z),  a eei (r,  z)  ze  zwią zków <2.16)  i  (2.17). R ealizacja  m ieszan ych  warun ków  brzegowych  (3.4),  (3.5)  prowadzi  do  równ ań  wzglę- d e m  n iezn an ej fun kcji/ (£ ).  Jeż eli w  tych warun kach  uwzglę dnimy  zależ noś ci  (3.32) i (3.34), t o  otrzym ujem y  ró wn an ia <3.35)  /  KfiW - M(.£8)]J 0 (£r)d£  = p(r)a 2 ;  0 < r < 1, 0 co   y <3.36)  /  fW MSrW   = 0;  r >  1./ o R o zp at rywan e  zagadn ien ie  został o  sprowadzon e  do dualn ych  równ ań  cał kowych (3.35),  (3.36),  z  kt ó rych  wyznaczymy  n iezn an ą  funkcję  / ( f) ,  okreś lają cą  poszukiwane fizyczn e  wielkoś ci.  F un kcja  M(Ę d),  wystę pują ca  w równ an iu  (3.35) i  dan a  za pom ocą wzorów  (3.31),  (3.29),  (3.25) jest zależ na  od  stał ych m ateriał owych  warstw i stosun ku  ich ZAG AD N IEN IE  SZCZELINY  W  WARSTWOWEJ  PŁ YCIE  535 gruboś ci.  F un kcja  ta  zależy  także  od param et ru  <5, okreś lają cego  stosun ek  gruboś ci  p ł yty h  do  prom ien ia  szczeliny  a. G dy  wł aś ciwoś ci  sprę ż yste  warstw  są  iden tyczn e,  to  ze  wzorów  (3.26),  (3.27),  (3.30) otrzymujemy «i  =  a 4  =   a5  — a8  =  a 9  =  a1Q  =  alt  =  ai2  =   0 a%  = a%  =   af0  =  a*i  =   a i2  =   0 a 2   =  a 6  =   2 s 1 s 2 a ( / c - l ) 2 . ( 3 3 7 )  a 3 = « 7 =   - 2Sls2P(k  - I) 2 , a*  = a * =   2s1 J 2 a 2 / 3- 1 ( / < :- l)2 , aS=  =   Ss^sl/ S- H fe- l)2. U wzglę dniając  zależ n oś ci  (3.37)  w zwią zkach  (3.25) i  (3.29), a te w  (3.31)  otrzym ujem y postać  funkcji  M (x) dla warstwy  jedn orodn ej  [3] (3.38)  M ( x) =   1  - ( a  =   SX +  S2,  /? =   5 i - s2 ,  x  =   f<5). Przejś cie  graniczn e  ó2- >•  oo(?72  - >•   oo)  wykon an e  dla  przypadku  oc2£R+  we  wzorach (3.25)  i  (3.29)  prowadzi  do okreś len ia  funkcji  M ( x)  za po m o cą  wzoru r* An\   nsr*A  i  aich 00 , (dł ugość  prom ien ia  szczeliny  dą ży  d o  zera  lub  ciał o  n ieo gran iczo n e) , to  M ( f S) - * 0 i równ an ia  (3.35),  (3.36) przechodzą  w zn an e ró wn an ia  opisują ce  zagadn ie- nie  szczeliny  w ciele  n ieogran iczon ym ,  które  dla przypadku  izotropii  p o d a n o  w  [8]  (s. 96 wzory  3.4.1 i  3.4.2). 4.  Równanie  cał kowe  F redholma, współ czynnik  intensywnoś ci  naprę ż enia, przemieszczenia  i  energia  szczeliny R ówn an ie  (3.36)  jest  speł n ione  toż sam oś ciowo  przez  reprezen tację  cał kową (4- 1)  fiS)  =  i / — a2 J  gir)sm(.ir)dx,  g(0) =  0. 536  B.  ROG OWSKI Podstawiając  zwią zek  (4.1)  do  równania  (3.35)  sprowadzamy  je  do  równania  cał ko- wego  typu  Abela  wzglę dem  nieznanej  funkcji  g(r) 1  00 (4.2)  ^ J g' ( r ) ; r]  =  l / ~  J  s(rj)dr, J  £M(SÓ)J 0 (ir)sm(Crj)dg+pCr);  O *  r <  1, ^  ^  o  o gdzie  J / X jest  operatorem Abela  pierwszego  rodzaju  zdefiniowanym  wzorem  [8] (4.3)  ^ ( ^ Stosując  w równaniu  (4.2)  odwrotny  operator  Abela (4.4)  y T x  [*W;  tr] -   ~   J / I [r/ t(r); r] i  wykonując  w  tym  równaniu  cał kowanie  z  uwzglę dnieniem  g(0)  =  O oraz  wzoru  [9] (4.5)  - =-  L^=^L  =  C 0 S f T > dx  J  ^ x 2 - r 2 otrzymujemy 1   CO  T 2  C  f  . . .  /   2  f  rp(r)dr (4.6)  g(x)  =  —  I g{j{)dr>  M(C8)sin(l;ri)sin(t;T )dI;+1/  —  I  - ;  0 <   T <  1. o  o  r  o  K '  ' Równanie cał kowe  (4.6) zapiszemy  w postaci i (4.7)  S( T) =  J - K ( T,  i?)y(j?)d»7+l»*(T);  O  <   T o gdzie  symetryczne ją dro  K(x,  T \ ) jest zdefiniowane  wzorem 00 (4.8) K(r, rf)  =  —  f o i p*(r)  jest daną  funkcją  okreś loną  za pomocą cał ki (4- 9)  ^ ) Równanie cał kowe (4.7), okreś lają ce  funkcję  g(r),  która wyznacza poszukiwaną  funkcję za  pomocą  wzoru  (4.1), jest  równaniem  cał kowym  F redholma  drugiego  rodzaju. Istnienie  i  jednoznaczność  rozwią zania  tego  równania  zależą  od  zachowania  się  ją dra, zdefiniowanego  wzorem  (4.8), a więc  okreś lonego  za pomocą funkcji  trygonometrycznych i  funkcji  M(x)(x  =   £3), zależ nej  od  stał ych materiał owych warstw,  stosunku ich  gruboś ci ( h  \d =   — I . " I ZAG AD N IEN IE  SZCZELINY  W  WARSTWOWEJ  PŁYCIE  537 Ją dro  zapiszemy  w  postaci  równoważ nej  do  (4.8) 00 (4.10)  Kird'1,  rid'1)  =   —  d- 1  f  M(x)sin(xr ] d- 1 )sm(xr6- 1 )dx, x  =   | < 5 e <  0, o o ) ,  d- 1  =- —•   . Analizują c  wzory  (3.31), (3.29), (3.25), okreś lają ce  funkcję   M(x),  oraz zależ noś ci  (2.7) i  (3.27)  okreś lają ce  parametry  a t ,  fo  (i  =  I , II)  moż emy  stwierdzić,  że  funkcja  M(x) posiada  nastę pują ce  wł asnoś ci: a)  D la  dowolnych  wł aś ciwoś ci  sprę ż ystych  materiał ów mamy (9, (4.11)  limx"M (x) =  {_  .  ..  „   „   . x- ,o  10,  dla  n  =   2 , 3 , 4 , . . . (9,  dla  «  =  1 10, G ranica  g  ma wartość  skoń czoną   i  wynosi: (4 12)  z  m  -   2(a 5 +a 7 +a s +at+af l - a* l 2- ao)+a9~a*o +2(a 1 - a 2 )f} 2 r] z dla  warstwy  niejednorodnej, (4.13,  , - ' - w  przypadku  warstwy  jednorodnej,  przy  czym (4.14)  g=0,  gdy  P =  0  albo  a  =   0. W  przypadku  /? =   0,  odpowiadają cym  e  =   1,  mamy  ze  wzorów  (2.4)  i  (2.7)  zależ ność 4 s x s 2  =  a. 2- p2 która  uwzglę dniona  w  (4.13)  prowadzi  do  (4.14).  Przypadek  /?  =   0,  a =   2  odpowiada izotropii. W  przypadku  a  =   0  mamy  /? =   2  wx,s2  i  ze  wz;oru  (4.13)  otrzymujemy  (4.14). b)  D la funkcji  M(x)  mają   miejsce  nastę pują ce  asymptotyczne równoś ci (4.15)  M(x)  ~  - e -3 *"' "*,  gdy  aj  s R + ,  x  - +  oo, (4.16)  .  M (x) ~   - e -2 ^ "!- 1 - *^ ),  gdy  ax  i  a2  6 R + ,  x ^ o o . Tak  wię c (4.17)  limx"M(x)  =   0;  n =   1, 2,  ..., a x  e # + x- »co W  przypadku  rzeczywistych  wartoś ci  parametru  a2  i  urojonych  ax  musimy  zbadać zachowanie  się   funkcji  M(x)  przy  x  dą ż ą cym  do  nieskoń czonoś ci. Moż emy  posł uż yć  się w  tym  przypadku  funkcją   M(x)  daną   wzorem  (3.40), która  zachowuje  się   dla  duż ych  x tak jak  funkcja  M(x),  dana  wzorem  ogólnym. Jeż eli a 1   i a 2  przyjmują   wartoś ci  urojone, to należy dla takich, teoretycznie moż liwych, materiał ów  zbadać  zachowanie  się   funkcji  M(x)  przy  x  dą ż ą cym  do  nieskoń czonoś ci. 538  B.  ROG OWSKI Biorą c  p o d  uwagę   wniosek  wynikają cy  ze  wzoru  (2.8)  m oż emy  stwierdzić,  że  gdy zach odzi (4.18)  - P~~> to  ma  miejsce  wł asność funkcji  M(x)  okreś lona  wzorem  (4.17). c)  Jeż eli  a L   s  R +   lub  a 2   eR+,  to funkcja  M(x) jest  cią gła  w  przedziale  (0,  oo). Wniosek  ten  wynika  z  analizy  wzorów  (3.31),  definiują cego  funkcję   M(x)  i  (3.25), okreś lają cego  funkcję   m(x). Funkcja m(x) jest róż na od zera dla każ dego  x  e  (0, oo), gdy aŁ  e R+  lub  a 2  e R+.  •   • Jeż eli  warstwa  wewnę trzna  rozpatrywanej  pł yty  niejednorodnej  wypeł niona jest  ma- teriał em  o parametrze Q {  <  — 1, tzn. nie zachodzi  (4.18), to funkcja  M{x) może nie mieć wł asnoś ci  (4.17).  Ponadto jeż eli  dla  obu  materiał ów mamy  g;  <   —1,  to  mogą   wystą pić punkty  niecią gł oś ci  tej  funkcji. W  przypadku  analizy  zagadnienia  w  tej  klasie  materiał ów, teoretycznie  moż liwych, należy  zbadać dla  danych materiał ów zachowanie się  funkcji  M(x) przy x  -> oo i cią gł ość tej  funkcji.  Wł asnoś ci funkcji  M{x)  okreś lone przez  (4.11) i  (4.17) oraz cią gł ość tej  funkcji w  przedziale  (0, oo) zapewniają   zbież ność cał ki  (4.10), okreś lają cej  ją dro  równania cał ko- wego  F redholma. Z  wł aś ciwoś ci  funkcji  M(x),  mają cych  zawsze  miejsce  w  przypadku gdy  speł niona jest  alternatywa  (4.18)  wynika,  że ją dro  równania  cał kowego zagadnienia jest  cią głą   funkcją   i  mamy  oszacowanie (4.19)  VT , i? «< 0 , l> |X( T , ifl|< C i . Wystę pują ca  w równaniu  cał kowym  (4.7)  funkcja  p*( r) ,  zdefiniowana  wzorem  (4.9), jest  także  ograniczona (4.20)  Vr e < 0 , l > | p *( r ) | < C 2 . Równanie  cał kowe  (4.7), okreś lają ce  poszukiwaną   funkcję   g(x), jest regularnym rów- naniem  cał kowym  F redholma drugiego  rodzaju  to  znaczy  równaniem  o ją drze  cią głym i  cał kowalnym  z  kwadratem.  Wyznacza  ono jednoznacznie  poszukiwaną   funkcję   g{r), należ ą cą   do  przestrzeni  funkcji  cią gł ych. Z a pomocą  funkcji  g(x) moż emy wyznaczyć fizyczne  wielkoś ci  interesują ce nas w oma- wianym zagadnieniu. Przemieszczenia  brzegu  szczeliny  otrzymujemy  z  zależ noś ci  (3.32), która po  uwzglę d- nieniu  (4.1) prowadzi  do wzoru 1  00 (4.21)   W l (r, 0) -   l / i -   m J  g{x)dT  J  70(fr)«ł n(f  T ) # . *   o  o U wz gl ę d n i a jąc  w  ( 4.14)  zwią zek 0  xr ?  I  0 (4.22)  /   70(fr)sin(fT)df  =   , o  [(r2- r2)  2, Z AG AD N I EN I E  SZCZELIN Y W  WARSTWOWEJ  PŁ YCIE  5391 okreś limy  przemieszczenia  brzegu  szczeliny  za  pomocą  wzoru (4.23)  W &;  0) =  l / -   xa  f  - ^ 2 £ L ;  0  <  r  <  1. P arametr  materiał owy  % dany jest  wzorem  (3.33). Energia  szczeliny  jest  zdefiniowana  wzorem  [8] i (4.24)  W = 2na2  J  rp(r)w l (r,O)dr. o Po  uwzglę dnieniu  zależ noś ci  (4.23)  i  zamianie  porzą dku  cał kowania  znajdujemy,  że energia  szczeliny jest  okreś lona  przez  funkcje  P*{T )  i  g(r)  w  postaci  nastę pują cej: i (4.25)  W  =   27ta3K }  p*(T )g(r)dr, o gdzie  funkcja  p*(r)  dana  jest  za  pomocą  wzoru  (4.9). Współ czynnik  intensywnoś ci  naprę ż enia  [8] (4.26)  JV=   lim  ]/ 2( r- l) {< r,r i( r, 0) }, > i okreś limy  uwzglę dniając  (3.34)  i  (4.1)  w  definicji  (4.26).  P o  przekształ ceniach  uwzglę d- niają cych  wzór  rekurencyjny  dla  funkcji  Bessela  i  równoważ ny  wzór  dla  cał ki  niewł aś ci- wej  z  iloczynu  funkcji  Bessela  i  funkcji  trygonometrycznej  oraz  pominię ciu  skł adn ika, w którym  nie  wystę puje  osobliwość  dla  r  =  1  otrzymujemy (4.27)  N   • - S.  Stale  ciś nienie,  iteracyjne  rozwią zanie  równania  cał kowego W  przypadku  gdy  p(r)  =  p 0   jest  stał ą  otrzymujemy  z  (4.9) (5.1)  P *( T ) D la  tego  przypadku  zapiszemy  równanie  (4.7)  i  zależ noś ci  (4.8)  (4.23),  (4.25),  (4.26) za  pomocą  funkcji  tp{t)  takiej,  że (5.2)  g(r)  =  l/ ~p 0 f(r);  0  <  r  <  1. M am y: i (5.3)  V»(T)  =   /   K(r,  rj)f(r])d7i+r;  0  <  r  <  1, o i (5.4)  K(z, rj)  =  —L .  d~ x  f MixJ 71  J 540  B.  ROG OWSKI (5.5) i (5.6)  .  W =  4xpla3  f  T ip(z)dr, o {5.7)  N  = »- .'•"  Jeż eli we wzorze  (5.4) wykorzystamy  rozwiniecie funkcji  trygonometrycznych w szereg potę gowy  wzglę dem  parametru  8~\   to ją dro  K(r,  rj)  zapiszemy  w postaci (5.8)  K(j,  v) gdzie (5.9)  K<">(r, 17)  =   ( 2 ( ^ oraz" 03 (5.10)  /„  =   —  f  M (x)x2nrfx;  w =   1, 2, 3, . . . o Szereg  (5.8)  jest  zbież ny  bezwzglę dnie  i  jednostajnie  dla  każ dego  T, r)  e  < 0 , 1 > , gdy  parametr  ó "1  speł nia nierówność gdzie  d  >  0 jest kresem ją dra  ^T(T, rj) (wzór (4.19)). Cał ki  / „ , okreś lone  za  pomocą   (5.10), są   zbież ne  gdyż  dla  rzeczywistych  materiał ów mamy  wł aś ciwoś ci  (4.11)  i  (4.17)  cią gł ej  funkcji  M(x). Warunek  (5.11) stanowi  ograniczenie zastosowania  rozkł adu (5.8) do takich przypad- ków,  w  których  parametr  d~ x,  równy  stosunkowi  promienia  szczeliny  a  do  gruboś ci warstwy  h, jest na ogół  mał y. Zależ y to od stał ej  C t . Rozwią zanie  równania  cał kowego  (5.3)  moż na  otrzymać  teraz  na  drodze  iteracyjnej VO (T )  = (5.12) ( ) =   T +  J  K(r,  vj)ipr(ij)dri;  (r  =  0,1,2,  . . . ) Proces iteracyjny  wymaga  obliczenia kolejnych zbież nych cał ek danych wzorem (5.10). Szybkość  zbież noś ci  (5.8), a zatem i  procesu iteracyjnego  (5.12) zależy  w  istotny spo- sób  od  wartoś ci  parametru  d~ x.  W  przypadku  gdy  grubość  warstwy  wewnę trznej  dą ży do  nieskoń czonoś ci  (ciał o  nieograniczone) mamy (5.13)  y( T )  -   Vo(T) «  T. d la  dowolnej,  skoń czonej  rozwartoś ci  szczeliny. ZAG AD N IEN IE  SZCZELINY  W  WARSTWOWEJ  PŁYCIE  '  541 Jeż eli  warstwa  wewn ę trzna  o gruboś ci  h t   jest  zł ą czona z pół przestrzen iam i poprzeczn ie izotropowymi  (M(x)  zdefiniowana  wzorem  (3.40)),  t o  p a r a m et r  ó'1  n ależy  zastą pić param etrem  dj1  =  - j —. "i W  tym  przypadku  zbież ność  procesu  iteracyjnego  jest  szybsza.  Stosują c  proces  itera- cyjny  opisany  za  pom ocą   wzoru  (5.12)  otrzym ujem y,  przy  zał oż en iu  ó " 1  =   - p  <  1, przybliż one  rozwią zan ie (5.14)   w (T )  = U wzglę dniając  zależ n ość  (5.14)  we  wzorach  (5.5),  (5.6),  (5.7)  i  wykon ują c  cał kowan ie otrzymujemy  wzory  okreś lają ce  deformację   i  energię   szczeliny  oraz  współ czyn n ik  in ten - sywnoś ci  n aprę ż en ia (5.15) - ry- Z iiau  i  - r~z^ i  >{',  0  <  r  <  1, (C  1  &\   "\ j\ f  •   v n  / i  I  1  [  T  /S — 3  ^  ̂ r  Ji—  5  i 3  L  3  15  ^ 18 0 0 ± 3 U  360J (5.17) W  przypadku  gdy  warstwa  ze  szczeliną   jest  zł ą czona z  pół przestrzen iam i  poprzeczn ie izotropowymi  n ależy  w  rozwią zan iach  (5.15),  (5.16),  (5.17)  podstawić  w  m iejsce  ó " 1 param etr  ó j 1  = - r - .  W  tym  przypadku  funkcja  M(x),  okreś lają ca  wzorem  (5.10) 1  cał ki / „ ,  zdefiniowana jest zależ noś cią   (3.40). Jeż eli iph(.t) jest rozwią zan iem  dla  pł yty  warstwowej a  VCO(T)  =   T  dla  ciał a  n ieogran iczon ego,  t o  VA(T)  - +   ^CO(T)  p rzy  h x   —>  oo  jedn ost ajn ie wzglę dem  r e < 0 , l > . 3  Mech.  Teoret.  i  Stos.  4/81 542  B.  ROG OWSKI W  p rzyp ad ku  h Ł   - + oo^ ó' 1  - *  0)  otrzymujemy  rozwią zan ia  w  postaci  [3] (5.18)  w w (r,Q (5.19)  . (5.20) Wzory  (5.18),  (5.19),  (5.20)  przechodzą   w  zn an e  rozwią zan ia  dla  nieograniczonego ciał a  izotropowego  [8], gdy  podstawim y  w  n ich  stalą   m ateriał ową o t rzym an ą   ze  wzoru  (3.33)  za  pom ocą   przejś cia  granicznego  s x \   ->  1,  s i n   - > 1,  k t - y  1, G u   =   G. Współ czyn n ik  intensywnoś ci  n aprę ż en ia  w  n ieogran iczon ym  ciele  poprzeczn ie  izotro- powym  jest  t aki  sam  ja k  w  przypadku  ciał a  izotropowego.  W  rozpatrzon ym  w  pracy  za- gadn ien iu  szczeliny  w  pł ycie  warstwowej  an izotropia  m ateriał u  wpł ywa  n a  wszystkie fizyczne  wielkoś ci  i  n a  współ czynnik  intensywnoś ci  n aprę ż en ia. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  K.  AR I N ,  An  Orthotropic L aminate Composite Containing a L ayer  with  a Crack,  I n t.  J. Engng Sci.,  15 p .  545, 1977.' 2.  M . R .  G E C I T , Fracture of  a Surface L ayer Bonded to a Half Space,  I n t.  J. Engng Sci.,  3, 17 p. 287,  1979 3.  B.  R OG OWSKI ,  Zagadnienie szczeliny w  ciele poprzecznie izotropowym, Zeszyty  N aukowe P Ł , N r  340, Budownictwo  z. 25, s.  7, 1979. 4.  B.  R OG OWSKI ,  Pierś cieniowa  szczelina w ciele poprzecznie izotropowym,  Zeszyty  N aukowe P Ł ,  N r  370, Budownictwo  z.  27, s.  47,  1981. 5.  M . D AH AN ,  Facteur d'intensit  de  contrainte  pour  un milieu  infini transversalement isotrope  avec fissure plane  circulaire „ C .r. Acad.  Sci." AB  290 N r 2 B19- B21, 1980. 6.  M . D AH AN ,  M . PRED ELEAN U , Penny — shaped crack in a transversely isotropic solid,  Lett. Appl. Engng Sci.  Vol.  18 N o 8 p .  1067,  1980. 7.  B. R OOOWSKI ,  Funkcje przemieszczeń  dla oś rodka poprzecznie izotropowego.  Mech. Teoret. i  Stos. 1,  13 s.  69,  1975. 8.  I . N .  SN ED D ON ,  Metoda  transformacji cał kowych w  mieszanych zagadnieniach brzegowych  klasyczną teorii  sprę ż ystoś ci, P WN  Warszawa  1974. 9.  A.  ERD ELYI  E d,  T ables of Integral  T ransforms Vol. 1, Mc G raw- H M, 1954. P  e 3  IO  M  e 3 AJ W I A  T P E m H H H   B  T P E XC JI O H H O K TP AH C BEP C AJI feH O- H 3OTP OI I H Of"i  I I JI AC T H H K E . 3aflaMa  Tpem n H H   flora  TpexcjiOHHOH.,  6ecKOHeKeH H aa  CHMiweipiratio  OTHOCHTCHBHO  rpaH eśł   njiaciH H KH  H H arp u weH a  BH yipeH H biM ZAG AD N IEN IE  SZCZELINY  W  WARSTWOWEJ  PŁYCIE  543 KpaeBan  sanava  CBefletia  K  p e u ie m n o  m rrerpaJibH oro  ypaBH em M   peflrojibina  BT o p o ro c  HeH3BecTH0H   dpyHKueft,  peuiaiom eft  3afla^iy3  H  H^poiw  3aBncHin,HM   OT  (pyHKUTiH, KOTopaa yn p yr u e  CBoiicTBa  cocTaBH bix  M aiepn an oB  ruiacTHHKH   H   OTH oineH ae  HX  Tajim m i. (J)opMyjibi  fljia  KO3cJx]}HU,eBTa  HHTeHCHBHOCTH   HanpHHteHHK,  3H eprn ii  H  nepeiviemeH H H M acn roro  cjiyqan  n o c r o sn n o r o flaBJieH H H  flaKO HTepaił HOHHoe pem eH H e S u m m a r y CRACK  PROBLEM   OF   TRAN SVERSELY  ISOTROPIC TH R E E  LAYERED ELASTIC  PLATE A  penny —  shaped  crack  problem  for  a  transversely  isotropic,  symmetrical,  three  layered  elastic plate is  considered. The crack is situated  in an elastic symmetry  plane and axially  loaded. The  mixed  boundary- value  problem  has  been  reduced  to a  F redholm integral  equation  of  the second kind. Expressions  for  th e stress  intensity  factor,  crack  energy  an d  crack  opening  displacements  are  derived by  means  of  the  solution  of  an  integral  equation.  In  th e  case  of  uniform  pressure  th e  iterative  solution of the equation and expressions  for  the physical  quantities are presented as functions  of  the  ratio of  a  crack length  and  a  plate  thickness. INSTYTUT  IN Ż YN IERII  BUDOWLANEJ POLITECHNIKI ŁÓD ZKIEJ Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  30  wrześ nia  1980  roku