Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4, 19,  (1981) PŁASKA  FALA  SI LN E J  N IEC IĄ G ŁOŚ CI  WE  WSTĘ P N IE OD KSZTAŁCON YM   I Z OTR OP OWYM   M ATERIALE SP RĘ Ż YSTYM SŁAWOMIR  K O S I Ń S KI  ( Ł Ó D Ź ) 1. Wstę p silnej  niecią gł oś ci  oraz  fale  przyspieszenia  był y  przedmiotem  rozważ ań  wielu autorów  m.in.  D .  R.  BLAN D A  [1]  i  P.  J.  CH EN A  [6]. W  pracy  [3]  Z .  WESOLOWSKI  podał metodę , która  w przypadku  przybliż enia  adiabatycznego,  umoż liwia  wyznaczenie  prę dko- ś ci  propagacji  fali,  amplitudy  oraz  skoku  entropii  w  oś rodku  wstę pnie  odkształ conym. Rozwią zanie  dla  prę dkoś ci  propagacji  U v  i  amplitudy  H bazuje  n a  rozwinię ciu  U v   i H w szereg  potę gowy  param etru m, który  jest  moduł em  amplitudy  fali.  Wielkość  m  traktuje się  jako  mał y  param etr — jego  wartość  należy  przyją ć  zgodnie  z  warunkam i  fizycznymi zadania. N astę pnie wyznacza  się  prę dkość propagacji  U„ oraz  amplitudę  H i skok  entropii w  funkcji  amplitudy  H, skok  jest  rzę du  m3. W  pracy  rozwią zano  powyż szym  sposobem  zagadnienie  propagacji  pł askich  sprę ż y- stych  fal  silnej  niecią gł oś ci  w  obszarze  nieograniczonym,  dla  m ateriał u I I  rzę du.  Przed frontem  fali  silnej  niecią gł oś ci  przyję to  jednorodny  stan  odkształ cenia.  N a  wykresach przedstawiono  wpł yw  skł adowych  tensora  odkształ cenia  n a  prę dkość  propagacji  fali akustycznej,  która jest  zerowym  przybliż eniem  dla prę dkoś ci  fali  silnej  niecią gł oś ci,  oraz wpł yw  wielkoś ci  skoku  m  n a  prę dkość  fali.  Wykresy  wykonano  dla  stali  i  alum in ium . 2.  Zwią zki podstawowe Podstawowe  wzory  tego  pun ktu podane zostaną   zgodnie  z pracami  [2], [3],  [4]. Ruch  ciał a  opisany  jest  zwią zkami (2.1)  x'  =  x\ Xa,  t), gdzie  Xa  — są   współ rzę dnymi  pun ktu  materialnego  w  konfiguracji  odniesienia  B R ,  x l — współ rzę dnymi  pun ktu  materialnego  w  konfiguracji  aktualnej,  a  t — czasem.  P rzez  xi oznaczane  są   skł adowe  gradientu  deformacji JF". Zwią zek  mię dzy lewym  tensorem odkształ cenia Cauchy- G reena B, a ten sorem odkształ - cenia  D  jest  nastę pują cy (2.2)  Z) =   1 ( 5 - 1 ), gdzie  przez 1 oznaczono tensor  metryczny. 546  S.  KOSIŃ SKI P on ieważ w pracy  bę dą   rozważ ane  jedyn ie  m ał e  przemieszczenia,  przyjmuje  się   zał o- ż en ie  o  utoż sam ien iu  t en so ra  D z ten sorem mał ych odkształ ceń E,  którego  skł adowe  bę dą ozn aczan e  e'y. Z go d n ie  z p rac am i  [3],  [4] przez  a jest  ozn aczan a  gę stość  energii  sprę ż ystej  n agrom a- dzon ej,  odn iesion ej  d o jedn ostki  m asy w B R ,  a przez r\   en t ropia. W  ciele  sprę ż ystym  a  = =   cr(xa, rj).  Wprowadzim y  oznaczenie M F  —  ozn acza,  że  p o ch o d n a  dotyczy  obszaru  przed  fron tem  fali  silnej  niecią gł oś ci. D la  m at eriał u  izotropowego  gę stość  energii  sprę ż ystej  n agrom adzon ej  odniesionej d o  jed n o st ki  m asy,  m o ż na  wyrazić  ja ko  funkcję   n iezm ien n ików  tensora B i en tropii (2.4)  ff=   a(h,h,h,n)- W  dalszych  rozważ aniach  kon ieczn a  jest  znajomość  wyraż eń  dla  poch odn ych of|, afUm,  «, P, y =  1, 2, 3; i, k,  m = 1, 2,  3 (zgodnie z (2.3)).  Wyraż enie  dla  poch odn ej  af k m o ż na  zn aleźć  w  [2]  (s.  37).  P och odn ą  af^   obliczymy  róż niczkując  (2.4). Jeś li  dan y jest  m o d u ł   skoku  gradien tu  deformacji  *„ (2- 5)  m -   |H *| =  (ff'tf, )*  =  (. gdzie  g"P, g ik   ozn aczają   skł adowe  ten sora  m etrycznego  w  ukł adzie  {Xa} i  {V} odpo- wiedn io .  Wówczas  d la  okreś lon ego  kierun ku  propagacji  fali  N a   m oż na  wyznaczyć  z wa- r u n ku  propagacji  [3],  prę dkość  propagacji  U„ oraz  kierun ek  tego  skoku.  Warun ek  pro- pagacji  wyprowadzon y  z dokł adn oś cią   do m3 jest  nastę pują cy (2.6)  af^ HkN a N p +  I  af^ HkHmN a N ^ N Y +  i  af^ ó n H k H'"H n N a N ll N Y N 9   + + i . fW.   G w  H'^ H'- H- N ^ N S  =   Ul  H,. Aby  wyznaczyć  przybliż one  wartoś ci  U„ i if',  stosujemy  rozwinię cie  obu  wielkoś ci w  szeregi  potę gowe  p aram et ru  m,  aproksym ację   peł n ego  rozwinię cia  potę gowego  ogra- n iczym y  d o  dwóch  pierwszych  wyrazów  rozwinię cia. ( 2 7 )  H/ m  = U,(m).m  U D +mU v . P o  wstawien iu  wyraż eń  (2.7)  do  (2.6)  otrzym am y C2  8") ł p -   UlS lk )H k - 2H t U v U v +~&&,H k H m N a N ^ N Y   =  0, P Ł ASKA  F ALA  SI LN E J  N iEdĄ OŁ OŚ cr  547 oraz o  o # < # , =   1, (2- 9) H'H t   =  0. o  i Ostatnie  cztery  równania  pozwalają  wyznaczyć  dla danego  skoku  m,  {/„,  U„,  oraz o  i H  i  H. 3.  Zwią zki  dla materiał u II rzę du Zgodnie  z  propozycją  M urnaghana, dla niezbyt  duż ych  odkształ ceń,  moż liwa  jest nastę pują ca  postać  energii  sprę ż ystej  nagromadzonej  w jednostce  obję toś ci  materiał u izotropowego  [4] (s.  309) (3.1) gdzie ix, A stał e  Lamego l,m,n  —  stał e  sprę ż ystoś ci  I I  rzę du A,  B, C, D,n,m  — współ czynniki  przy  czł onach z entropią T o   — temperatura  począ tkowa  oś rodka  w stanie  naturalnym W  wyraż eniu  powyż szym  dodano  czł ony  uwzglę dniają ce  entropię. Zał oż ono,  że deformacja  wstę pna  w  obszarze  przed  frontem  fali  silnej  niecią gł oś ci opisana  jest  wzorami (3.2) gdzie:  X lt   X 2 ,  K z  — stał e U kł ady  współ rzę dnych  {Xa},  {**}  są  pokrywają cymi  się ukł adami  kartezjań skimi. G radient deformacji  przy takim opisie ruchu jest niezależ ny od współ rzę dnych Xai  czasu t, funkcje  afi; offy dla materiał u jednorodnego pozostaną  stał e w czasie i przestrzeni. Otrzy- mujemy "Aj  0  0 (3- 3)  {£}'  =   0  A2  0 . 0  0  A3. T  — 3 2  1 2  1 2 • *  3  —  A I ^ A 548  S.  KosiŃ sia oraz Zi  =   Af (3.4) - »3 Z akł adam y,  że  powierzchnia  niecią gł oś ci  jest  pł aszczyzną   o  równaniu (3.5)  X*(0  =  / (O  ^«  -   iV"  -   ( 1, 0, 0). Biorą c  pod  uwagę   równanie  powierzchni  niecią gł oś ci,  otrzymamy  tensor  akustyczny postaci (3.6)  Q ik <= oU  *i fc -   1, 2, 3. D la  gradientu  deformacji  {̂ }F  oraz  tensorów  {- Bij'}F  i {CC"3}F skł adowe  tensora  akustycz- nego  Q ik   zgodnie  z  (5.21)  w  [2]  wynoszą 2 ( 3.7)  " "  Q K   L ffl2  =   °23  =   O1! 3  =   0- We  wzorach  powyż szych  i  dalej  wprowadzono  oznaczenia n  o\   8 a  S2cr  #   9 3(T dI K   oI K 0l L   dI K dI L dI M Biorą c  pod  uwagę  pierwsze  równania  (2.8) i  (2.9)  otrzymamy o  o rozwią zania (3.10) są   nastę pują ce 0 0 2  " 0  0 oil. =   U 0 0 0 ( ± 1. ( 0 , i (0,0 0,0); :l, 0) ; , ± i ) ; H\ \ N , 0 0 HL N . o  o Z erowe  przybliż enia  U v   i  H  są . wię c  rozwią zaniami  równania  propagacji  fali  akustycz- n ej. Wyraż enie  ogólne dla trzeciej pochodnej ajfó  zajmuje  dużo miejsca,  oraz m a skompliko- waną   budowę ,  dlatego  niż ej  podane zostaną   istotne  dla  opisywanego  tu przypadku,  war- toś ci  trzeciej  pochodnej P Ł ASK A  F ALA  SILN EJ  N I E C I Ą G Ł OŚ CI 549 1 a\ \ \   = QQR (3.11) offi = —8R . 111  _  - 111  _  „.111 # 222  —  "333  —  0112 —  °232  —  CT123  —  "233  ~  ^322  —  U  • Z  drugiego  równ an ia  (2.8)  i  (2.9)  m oż emy  obliczyć  przyrosty  prę dkoś ci  i  skł a d o we am plitudy  1  rzę du  dla  kierun ku  podł uż n ego i  obu  kierun ków  poprzeczn ych .  Z akł ad am y. że  trzy  zerowe  przybliż en ia  prę dkoś ci  fali  silnej  niecią gł oś ci  są   róż n e. o  o D la  fali  podł uż nej  U v ,  / / ( + 1 ,  0,  0)  otrzym am y (3.12) La\\\. Skł adowe  am plitudy  dla  tej  fali  speł niają   równ an ia i  o H l H t   =   0. P o  rozwią zaniu  otrzym am y  H  =   (0, 0,  0) o  o D la  fali  poprzecznej  o  kierun ku  X2,  U V ,H  —  ( 0,  ± 1 , 0 )  m am y 4U U (3.14) co  daje  ostatecznie o  i H ( H '  =   0, - Ł r„2)],  0,  0 ) . ;550  S.  KOSIŃ SKI o  o Analogicznie  dla  fali  poprzecznej  o  kierunku  X3,  U v ,  H  =   ( 0, 0,  ± 1) mamy 1  !  iu V"  =   —o —^ 3 3 3  =   0 , 4U, • (3.15) 0 (oii- c 0  I U  =   0 . Ostatecznie  otrzymamy 1  o Jak wynika  z przytoczonych powyż ej  wzorów jedynie prę dkość fali  podł uż nej  zwię ksza • się.  F ale  w  dwóch  pozostał ych  kierunkach  poprzecznych,  przy  przyję tym  przybliż eniu, propagują  z  prę dkoś cią  równą  prę dkoś ci  fali  akustycznej. Weź my  pod  uwagę  podł uż ną  falę  silnej  niecią gł oś ci,  wstawiając  do  (2.7)!,  (3.10)! i  rozwią zanie  dla  (3.13)  otrzymamy (3.16)  £ T=  Hi+m.O,  0). Biorąc pod  uwagę  warunki  zgodnoś ci  w [3], <3.17)  [x£]  =   # £iVa  dla  a  =   1,2,  3  oraz  i  =   1, 2, 3. Stwierdzamy,  że  skoku  może  doznać tylko  jedna  skł adowa  gradientu  deformacji  x{. • Chcąc  dobrać  wielkość  skoku  m,  skł adowych  gradientu  deformacji,  tak  aby  skł adowe tensora  odkształ cenia  D,  który  tu  redukuje  się  do  tensora  E,  nie  przekroczył y  granicy • sprę ż ystoś ci  materiał u  zauważ ymy,  że j_ Biorąc  pod  uwagę  (3.2),  (3.17)  oraz  fakt  iż jedynie  [x\ ] = m / 0  otrzymamy rID 11 }  =  l ^ i F  +  K p ,  =  ~ >(3.1o)  *  *• Przypadek  X x   <  0  zgodnie  z  (3.2)  nie jest  fizycznie  moż liwy.  Zależ ność  (3.18)  jest podstawą  dla  przeprowadzonej  dalej  analizy  numerycznej.  Przy zał oż eniu D  =  E, czł ony rzę du wię kszego  niż m w (3.18) nie mają "istotnego znaczenia, wobec tego wyraż enie  (3.18) upraszcza  się  do  postaci (3.19)  p > " ]  =   [xj]  =,  ±m   =   [ 8 " ] , - ostateczna  modyfikacja  moż liwa  jest  dalej  w  oparciu  o równanie (4.5). P Ł ASKA  F ALA  SILN EJ  N I E C I Ą G Ł OŚ CI 551 Rozpatrując  wył ą cznie  fale  sprę ż yste,  moż na  stwierdzić,  że  maksymalny  skok  skł ado- wej  tensora  odkształ cenia, może  być  równy  podwojonej  granicy  sprę ż ystoś ci  e s ,  ale  je- dynie  w  przypadku  kiedy  przed  frontem  fali  silnej  niecią gł oś ci  skł adowa jest  równa  gra- nicy  sprę ż ystoś ci  materiał u  ze  znakiem  przeciwnym  niż  skok.  W  nastę pnym  pun kcie pracy  biorąc  pod  uwagę  przybliż enie  izentropowe  obliczono  prę dkoś ci  fal,  gdy  odkształ - cenia  przed frontem  fali  silnej  niecią gł oś ci zmieniają  się  w  granicach  ±e s ,  a  m oduł   skoku odkształ cenia 0  ^  m  s£  2e s. 4.  P rzybliż en ie  izen tropowe Zgodnie  z  uwagami  w  § 2.2  w  [1] jako  pierwsze  przybliż enie  przyję to  równanie  (3.1) z entropią r\   =   0. D o obliczeń przyję to  stał e sprę ż ystoś ci  wg.  tabeli  1 zamieszczonej  w pra- cy  [5], stał e v lt v 2 ,  v 3   podane przez  Smitha, Sterna i  Stephensa przeliczono  n a  stał e M ur- naghana  l,m,n.  Stał e  te  wynoszą Tabela  1 oś rodek F e Al fi- 10- 6 0.821 +  0.005 0.276 +  0.001 A- 10"s 1.11 ± 0.01 0.57 ± 0.02 m - 10 -6 - 6.36 +  0.56 - 4. 01 +  1.38 «•   i o - 6 - 7.08 +  0.32 - 4.08 ± 1.36 M 0 - 6 - 4.61 ± 0.85 - 3.11 ± 1.25 Stał e w tabeli wyraż one są w kG / c m 2 .  Wartoś ci  stał ych l,m,n  wahają się w d o ść zn aczn ych gran icach.  Bardzo  istotn ą  sprawą  dla  dalszych  obliczeń  jest  ustalen ie  odkształ cen ia  od- powiadają cego  granicy sprę ż ystoś ci dla stali i  alum in ium  e s .  Obliczen ia  dla  stali  p rzep ro - wadzon o  dla  odkształ ceń  zmieniają cych  się  w gran icach  - 85  •   10~ 4 4 e ^ 85 •   10~ 4, a  dla  alum in ium  - 30  •   10~ 4  <  e «?  30 •   10~ 4. P o  wstawieniu  do  (3.7) współ czyn n ików  (3.8)  obliczon ych  dla  rj =   0  ( zakł adam y, że en t ropia  w  stanie  n at u raln ym  wyn osi  zero),  oraz  p o  zastą pien iu  skł adowych  ten sora  B skł adowymi  ten sora  D  =   E t zn . B iJ  =   1 + 2  - DiJ  = 1 + 2 -   eiJ, A2  =  l + 2 e „   (nie  sumować) i  wstawieniu  danych z tabeli  1 otrzymano z  (3.7) dla  stali  nastę pują cy  wzór {1.37- 13,22 «n - 4.06 •(4.1)  Ul-   ^ - - ^ , - ^ . n - w-   • !!/ , - We  wzorze  powyż szym  przyję to  Q R  =   7.85  t/ m 3, pon adto  przyję to =   a 3 e 1 — 1 <  a 3 1,  — 2 2 . N a  rys.  1  sporzą dzono  wykresy  dla  e u  zmieniają cego  się  w  granicach  + 8 5  10~ 4 i dla - 2  <  K<2. 552 S.  KOSIŃ SKI 85  50  25  0  25  50 o Rys.  1.  Wykres  prę dkoś ci  l/ o podł uż nej  fali  akustycznej  w  stali. 8 5  »1O" 4 W  an alogiczn y  sposób  otrzym ujem y  wyraż enia  dla  prę dkoś ci  fal  poprzeczn ych •   °  2-   107- 9.81  ,„   ...  ™2 (4.2) przy  ozn aczen iach I lustrację   graficzną   wzoru  (4.2)  przedstawion o  n a  rys.  2.  Wyraż enie  dla  prę dkoś ci - 1 = = = = = ___——- — 1 1 — _, H ===== - • ——" fc"3 2 \   i Cv ^* - 01 rn/ s 3400 3300 3100 3000 I  I Fe —  ' i  i i . _  - 2  ~ •I  e 3 3 85  50  25  0  25  50  85  *10'4 o Rys.  2.  Wykres  prę dkoś ci  Uv  poprzecznej  fali  akustycznej  w  stali. U v   o t rzym am y  z  (4.2)  wstawiają c  e 2 2  w  miejsce  e33.  Wykres  iden tyczn y ja k  w  przypadku wzo ru  (4.2). G d y  o bszar  przed fron tem fali  silnej  niecią gł oś ci n ie jest wstę pnie  odkształ con y z (2.8)! i  (3.10)  o t rzym am y U B =   5852  m / sek,  Uo  = =   3201  m/ sek P Ł ASKA  F ALA  SI LN E J  N I E C I Ą G Ł O Ś CI 553 Widzimy,  że  zerowe  przybliż enia  prę dkoś ci  fali  silnej  niecią gł oś ci  w  oś rodku  nieod- kształ conym przed frontem fali,  są  równe prę dkoś ci fali  podł uż nej  i poprzecznej w danym oś rodku.  Z rys.  1 wynika,  że  maksymalne  róż nice w  prę dkoś ciach wystą pią  przy  K  — 2, o  o dla  e n  =   85 •   10" 4   U„ =   5454  m/ sek,  a  przy  e u  =   - 85- 10- *,  U„ =   6224  m/ sek. Róż nica prę dkoś ci wynosi  770  m/ sek.  N a rys.  2 wystą pi  analogiczna  sytuacja  dla  L   =  2, przy  zmianie e 3 3  przed  frontem  fali  z  85 •   10~ 4  na  —85  lO"*, róż nica prę dkoś ci  wyniesie 313  m/ sek. Analogiczne  wyraż enia  dla  zerowych  przybliż eń  prę dkoś ci  fali  w  aluminium,  przy Q R   — 2.65  t/ m 3  są  nastę pują ce yi = 2-   107- 9.81 2.65 {0. 56- 9. 47£ l l ~ 2. 85K e i l }5(4.3) (4.4) Wykresy  wzorów  (4.3) i  (4.4) przedstawiono n a rys.  3, 4. Zakres zmiennoś ci odkształ - ceń  przyję to  + 3 0 - 10 "4 .  D la  obszaru  nieodkształ conego przed  frontem  fali  otrzymamy odpowiednio 2 •   107  •   9 81  m 2 2.65  {0. 13- 0. 728„- 1. 46X, .3 a},  - ^ \ '——_ 1 1   1 =====5 V v  V 1  1 T  1 PR k - =6439" m/ s 6600 6 4 0 0 * ^ 6200 1   1 Al i  i - <= - 2 - 1  _ 1 2 - eit 30 20  10  0  10  20 o Rys.  3.  Wykres  prę dkoś ci  Uv podł uż nej  fali  akustycznej  w  aluminium. 30» U. = =   6439  m/ sek,  Uv  - =   3219  m/ sek. o Najwię ksze  róż nice prę dkoś ci  U v   wystą pią  dla  K  =  2,  przy  zmianie odkształ cenia £ u "przed  frontem  fali  z  30 •   10~ 4  n a  —30  10~ 4  róż nica prę dkoś ci  wyniesie  461  m/ sek. D la o prę dkoś ci  U o  rys.  4,  przy  takiej  samej  zmianie  odkształ cenia róż nica  prę dkoś ci  wynosi 230  m/ sek. Wstawiając  wartoś ci  współ czynników  (3.8)  do  pierwszego  równania  (3.11)  oraz  bio- 554 S.  KOSIŃ SKI 1. - 1  1 1 • US- 3219 ,, m/ s 3300 3100 3000 I  I Al I  I — 30  20  10  0  10  20  30- 10"4 o '  Rys.  4.  Wykres  prę dkoś ci  V« poprzecznej  fali  akustycznej  w aluminium. rąc  p o d  uwagę  (3.12),  przy  stał ych  sprę ż ystoś ci  podan ych  w  tabeli  1,  oraz  zm ian ie  skł a- dowych  t en so ra  B  n a  D  =  E,  dla  stali  otrzym am y (4.5) U, =  —ii_ i?1  =   ± 1, pon ieważ  C7„   >  0  zgodn ie  z  [4]  m oż liwa  jest  tylko  n astę pują ca  sytuacja  -~ j s r ' =   - i ,  x 1 > o i przy  i J 1  =   1,  X l   <  0,  zachodzi  równ ież  n ierówn ość  £/„  >  0,  ale  warun ek  aby  X 1   <  0, zgodn ie  z  (3.2)  n ie jest  fizycznie  m oż liwy. Sko k  en t ro p ii  wyn osi  [3] (4.6) 12 Wo bec  (4.5)  i  (3.16)  licznik  tego  wyraż en ia  oraz  a n   ja ko  tem peratura bezwzglę dna,  są zawsze  wię ksze  od zera, wobec czego  [rj] >  0. Sprawdzenia  tego  do ko n an o zgodnie z  uwagą w  [1]  §  2.2,  w  m yśl  kt ó rej  dopuszczaln e  jest  izen tropowe  przybliż enie  w  przypadku  fali siln ej  n iecią gł oś ci, jedyn ie  wtedy,  kiedy  zostan ie  stwierdzony  fakt,  że  m ał a  zm ian a  v\   przy propagacji  fali  okaże  się  rzeczywiś cie  d o d at n ia. o Z go d n ie  z  uwagam i  przy  wzorze  (4.5)  stał a  X x   >  0  stąd  m am y  H1  =  —1 . Jednocześ nie bio rąc  p o d  uwagę  ( 2.7) !  otrzym am y H 1 / ™  = H 1  =   mH1  =   - m. M o d u ł  sko ku  w skł adowych  gradien tu  deformacji  m  (2.5) jest co najwyż ej  równy  ((3.19)) =   2 - 8 5 - l C T4 . PŁASKA  FALA  SILNEJ  N IECIĄ G ŁOŚ CI 555- Przy  przyję ciu  ozn aczen ia  K  jak  w  (4.1),  otrzym am y  zgodn ie  z  ( 2.7) 2  n ast ę pu ją ce wyraż enie  dla  prę dkoś ci  fali  silnej  niecią gł oś ci 0  1  m (4.7)  U u   =  U v - h— n   {26.38+  173. 24e 1 1 + 27. 6K e 1 1 }- m3  — -K  J  i  i  °  l  x  i ;  '  sek Odkształ cenie  przed  fron tem  fali  wah a  się   w  gran icach  ± 8 5 •   10~ 4,  wartość  m  w  r ó w- n an iu  (4.7)  dobieram y  tak,  aby  p o  skoku,  po  stron ie  B  powierzch n i  niecią gł oś ci,  skł adowe stanu  odkształ cenia n ie  przekroczył y  granicy  sprę ż ystoś ci.  Ł atwo  zauważ yć,  że  n ajwię ksza wartość  skoku  m oże  wynieść  2 •   85  •   10~ 4.  Weź my  pod  uwagę   (3.19),  dla  H1  <  0  o t rzy- m am y I D 1 1 ]  =   [ e 1 1 ]  =   [ xl]  =   ( x J ) B - ( x ł )F  =   - 2-   85-   10- *. Z akł adają c  (x\ )F  =  85  •   10~ 4  m am y  (x})B  =   - 85  •   10 "4 ,  przypadek  ten  ilustruje rys.  5.  P rzy  wartoś ci  skoku  m  =   2  •   85  •   l O " 4  gran ica  sprę ż ystoś ci  m at eriał u  n ie  został a przekroczon a.  N a  rys.  6  przedstawion o  wzór  (4.8)  dla  K  =   2,  oraz  dla  pię ciu  wart o ś ct 2- 85- 10- 85- 10" 85- 10" B Rys.  5. K=2 m/s 6400 ———obszar  plastyczny — — o b s z a r  sprę ż ysty m= 2- 85- 10~'t 1.5- 85- 10~ 85 60  50  35  25  0  25  42,5 50 Rys.  6. Wykres  prę dkoś ci  U« w  funkcji  skoku  m  dla  stali. 8 5  >  10" 556 S.  KOSIŃ SKI skoków  skł adowej  gradien t u  deform acji  mniejszych  n iż  om ówiony  wyż ej,  graniczny 2  •   85  •   10~ 4,  lin ia  cią gła  ozn acza  obszar  sprę ż ysty,  przerywana  plastyczny.  N ajwię kszy i przyrost  prę dko ś ci  mU v   uzyskuje  się  w pun kcie  C  rys.  6. P rzyrost  prę dkoś ci  wynosi  w tym p u n kcie 274  m / sek. >  °  m P orówn ując  wartość  prę dkoś ci  U v   = =   5852 (Rys.  6)  przy n ieo d kszt ał co n ym  obszarze  przed  powierzchnią  niecią gł oś ci,  z  prę dkoś cią  fali  silnej  nie- F e obszar  plastyczny —  obszar  sprę ż ysty 1 1 0  25  50 Rys,  7.  Wykres  prę dkoś ci 85  1,5- 85  2- 85  - 1CT* w  punktach  A,  C  w  zależ noś ci  od  skoku  m  dla  stali. cią gł oś ci,  stwierdzamy  wzrost  prę dkoś ci  o  119  m/ sek, punkt  A  rys.  6.  Prę dkość  fali  U„ wynosi  5971  m/ sek. W  analogiczny  sposób,  w  oparciu  o  te  same równania  otrzymujemy  nastę pują ce  wy- raż enie  dla  prę dkoś ci  U B   fali  w  aluminium (4. 8) U v   =  U v + l {19.02+  112. 24 £ l l  18. •   m, ozn aczen ie  K  ja k  w  (4.1) Skok  w  skł adowych  gradien tu  deformacji  jest  co  najwyż ej  równy  (zgodnie  z  (3.19)) m  =   60  •   10 - 4 , i O d p o wied n ie  wykresy  przedstawion o  n a  rys.  8.  N ajwię kszy  przyrost  prę dkoś ci  mU v uzyskuje  się  w  p u n kcie  C  rys.  8.  P rzyrost  prę dkoś ci  w  tym  pun kcie  wynosi  172  m/ sek. o P o r ó wn a n ie  wartoś ci  prę dkoś ci  U v   = =   6439  m/ sek,  przy  n ieodkształ co- P Ł ASK A  F ALA  SI LN EJ  N I E C I Ą G Ł O Ś CI 557 obszar  plastyczny obszar  sp r ę ż ysty 50- 10 30- 1Q-1 20 - 1Q-1 10- 10 20  10  0  10  20 Rys.  8.  Wykres  prę dkoś ci  Â> w  funkcji  skoku  m  dla  aluminium. 3 0   "10"1 m/ s 6700  - I  I o b sz a r  p last yczn y o bsza r  sp rę ż ysty "0  10  20  30  40  50  60 Rys.  9.  Wykres  prę dkoś ci  W> w  punktach  A,  C  w  zależ noś ci  od  skoku  m  dla  aluminium. nym  obszarze  przed  powierzchnią   niecią gł oś ci,  wykazuje  wzrost  prę dkoś ci  o  82  m/ sek w odniesieniu do prę dkoś ci fali  silnej niecią gł oś ci. Prę dkość U v  wynosi  6521 m/ sek.  (Rys. 8). 5.  Przybliż enie  adiabatyczne Rozpatrzmy adiabatyczną   falę   silnej  niecią gł oś ci. W wyraż eniu  (3.1) zostanie  uwzglę d- niona  entropia.  W  warunkach  adiabatycznych  przed  frontem  fali,  entropia jest  stał a. Jeż eli w obszarze tym propaguje  fala  silnej  niecią gł oś ci, stał a wartość  entropii ulega  zmia- nie. Entropia przyjmuje  nową   wartoś ć, która  nie zmienia  się ,  aż  do  czasu przejś cia  przez obszar  nowej  fali  silnej  niecią gł oś ci.  Poprzednio  w  punkcie  4  rozpatrywaliś my  przybli- ż enie  izentrópowe,  zał oż yliś my,  że  entropia  przed  frontem  fali  wynosi  zero.  Obliczmy 4  M ech .  T eoret.  i  Stos.  4/ 81 558 S.  K O SI Ń SKI przyrost  entropii jaki  wywoł a  przejś cie  przez  obszar  adiabatycznej  fali  silnej  niecią gł oś ci. Ponieważ  skok  entropii jest rzę du m3  [3],  [4], skł adowe  tensora  odkształ cenia są  rzę du m, należy w wyraż eniu  (3.1) pominą ć wyrazy  zawierają ce  rf  i  rf  oraz iloczyny  r\  i niezmienni- ków  tensora  B.  Równanie  (3.1) został o  wyprowadzone  z dokł adnoś cią   do  trzecich potę g skł adowych  tensora  odkształ cenia.  Otrzymamy (5.1) +  Ą +1 skok  entropii  wynosi  [3] =   S  = 12 W  naszym  przypadku  (3.18),  (3.6)  mamy  H=  H(m,  0, 0),  N a   = N a   =  1  wię c 12 fe  — —i—o fŁ i  zgodnie  z  (3.13) 4 ^ (5.2) o  i Um) V Temperaturę   począ tkową   T o   przyję to  300°K.  Biorą c  pod  uwagę   ostatnią   zależ ność (5.2)  obliczono  wartoś ci  skoku  entropii  dla  róż nych  wartoś ci  skoku  m  skł adowych  gra- dientu  deformacji. Wartoś ci  skoku  entropii w  kcal/ (kg  °K)  dla  stali  podano  w  tabeli  2, a  dla  aluminium w  tabeli  3. Tabela  2 25- 0.37 10- * • io-6 50- 2.93- io- * io- 6 skok  m 85- 10-* skok J 14.25- 10-* Hl <   0  e „ m 85 1.5- 85- 10"* '48. 50- 10-s • 10-* 2.85 •   10- * 113.75- 10-6 PŁASKA  FALA  SILNEJ  NIECIĄ G ŁOŚ CI Tabela 3 559 10- 10-* 0.05 •   10- c 20- 0.38 io- * • io-6 skok m 30- 10-* skok s 1.27-   10- 6 H 1   < 0  fiu  m  30 50- 4,89 io- * 10"* •   io - 6 60- 10.19 io- * •   i o - 6 Wyniki  zawarte  w  tabelach przedstawion o n a rysun kach  10 i 11. -   1 - i kcal/ kg Fe —. °K 1 i  r / 1  1 1 / / / H'  0, (K  =   —2), prę dkość  jest  wię ksza  od  prę dkoś ci  fali  poprzeczn ej  w  tym  o ś ro d ku. N ajwię ksza  róż n ica m ię dzy prę dkoś cią   fali  akustyczn ej,  propagują cą   siew o ś ro d ku  wstę p- nie  odkształ con ym , a  prę dkoś cią   fali  silnej  niecią gł oś ci  w  tym  oś rodku  wyn osi  274  m / sek, pu n kt  C rys.  6.  P rę dkość  fali  akustyczn ej  wynosi  w  tym  pun kcie  5454  m/ sek.  O t rzym am y wię c  5%  przyrost  prę dkoś ci. Skok  en tropii  bę dą cy  rzę du  m3,  dla  m ał ych wartoś ci  skoku  m  szybko  wzrasta  ze  sko- kiem  m  rys.  10,  11.  D la  stali  otrzym an o wię ksze  przyrosty  prę dkoś ci  niż  dla  a lu m in iu m , wią że  się  t o z mniejszą   wartoś cią   gran icy  sprę ż ystoś ci  przyję tą   dla  alu m in iu m ,  a  t ym  sam ym mniejszym  skokiem  m.  W  opisan ym  t u  przypadku  fala  silnej  niecią gł oś ci  jest  falą   ś ciska- ją cą.  Z achodzi  t u  an alogiczn a  sytuacja  ja k  w  gazie  przy  zan iedban iu  przewodn ictwa cieplnego,  nierówność  \ rj\   >  0  dopuszcza  jedyn ie  ś ciskają ce  fale  silnej  n iecią gł oś ci,  o raz uniemoż liwia  propagację   fal  rozrzedzeniowych. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  D .  R.,  BLAN D ,  N onlinear  Dynamie  Elasticity,  Waltham ,  1969. 2.  Z .  WESOŁOWSKI,  Zagadnienia  dynamiczne  nieliniowej teorii  sprę ż ystoś ci,  P WN ,  W- wa  1974. 3.  Z .  WESOŁOWSKI,  Strong  discontinuity wave in  initially strained elastic  medium,  Arch.  M ech.  Stos.  3,  30, 1978. 4.  Z .  WESOŁOWSKI,  N ieliniowa teoria sprę ż ystoś ci, w  IV  t o m ie, .M echaniki Techn iczn ej"  pt .  „ Sprę ż ystoś ć ", red.  M .  Sokoł owski,  P WN ,  W- wa  1978. 5.  H .  F U KU OKA,  H .  T O D A,  Preliminary  experiment  on acoustoelasticity  for  stress  analysis,  Arch .  M ech. Stos.  5,  29,  1977. 6.  P .  J.  C H E N , Growth and  decay of  waves in  solids, in  „ H an dbu ch  der  P h ysik",  Vol.  VI ,  a/ 3.  Springer  — Verlag,  Berlin —  N ew  York. 7.  C .  K.  F oflyH OB,  S/ ieMemnu  MexamtKU ennoumou  cpedu,  H 3fl.  H a yn a ,  1978. P  e  3  I O  M  e lU IOCKAS  yflAPHAfl  BOJIHA  B  riPEflBAPH TEJILH O H AnpjD KEH oJł ,  y n p y r o f i  H 3 O T P O I I H O H   C P E ^ E . PaccMOTpeHO  pacfipoarpaH eH n e  IIJIOCKH X  ysapH bix  BOJI H   B  OflHopoflHoii  H eorpam weH H oii  cpefle c  yn pyn wiH   nocTonnH biMH  TpeTtero  nopflflKa.  npeflnoJio> KeH o3  ^rro  n epefl  <ŁpoHTOM   y^ a p n o ń  BO JI H BI PaccMOTpeHO  aH H a6ain qecKoe  H   H 33eH Tponn- p B  pa6oTe  iicnojiB30BaH o  MeTOfl floKa3aH H biH  B  pa6oTe  [3].  ITocjie  pa3irojKeH H Ji  cKopocroi  p a e n p o - H   ajwnJiHTyflti  B  c ie n e m ib ie  paflbi  nojiy^eH O  pem eH H e. KaK  „ H yjieBo e"  npH 6jiH >Keinie  n o - BOJiHy  ycKopeH H a  (oflH y  npoflOJiLHyro  H   flBe  n on epe'qH Lie). H a  pKcyH Kax  n p eflcraBJieao  C K O - pocTb  paccn pocT paH ein ia  B  3aBHCHMocTH   OT  KOMnoHeHT  TeH 3opa  HeKeHHe flaeM  TOJIBKO  OflHy  n poflojitH yio  yflapH yio  Bojn ry.  H a  pt icyH - Kax  npeflcraBneH O  cKopocra  yn a p u o śi  Bojn n .i  B  3aBHCHMOCTH   O T a< a^Ka  r p a fla eH ia  flet|)opM airH H .  P H - cymcH   CflenaHo  mm  cran H  H 562  S.  KosiŃ SKI S u m m a r y ST R O N G   D I SC ON TI N U I TY  PLAN E  WAVES  I N   IN ITIALLY  STRAIN ED   ELASTIC ISOTROPIC  M ED I U M . The  subject  of  the  paper  is  the  analysis  of  propagation  of  strong  discontinuity  plane  waves  in  an isotropic  unbounded  m edium .  The  isotropic  material  with  the  second  order  elasticity  coefficients  has been  assumed.  We  also  assumed  that  the  strains  in  front  of  the  strong  discontinuity  wave  were  homo- geneous.  T h e  isentropic  and  adiabatic  approximation  were  taken  into  consideration.  By  means  of  the m ethod  described  in paper  [3] th e amplitude vector  H '  and th e  speed  propagation  U v   have  been  expanded in t o  power  series  of  th e  parameter  m.  As  the  „ zero"  approximation  we  obtained  the  acceleration  wave (two  transversal  and  o n e  longitudinal).  The  diagrams  for  the  speed  propagation  against  th e  strains  in front  of  th e  singular  surface  have  been  presented.  The  „ first"  approximation  gives  only  a  single  longi- tudin al  strong  discontinuity wave. On  the remeining  diagrams  we  presented  the strong  discontinuity wave speed  against  th e  jump  of  the  deformation  gradient.  The  diagrams  were  made  for  steel  and  aluminium. I t  has  been  calculated  t h at  the greatest  difference  between  th e  acoustic speed  wave propagated  in  initially strained  medium  and  t h e  strong  discontinuity  wave  speed  in  this  medium  for  the  steel  is  274  m/ s. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  8  stycznia  1980  roku