Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z4.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4,  19  (1981)

P ROJEKTOWAN IE  ELEM EN TÓW  KON STRU KCYJN YCH  P R Z Y  P O M O C Y
CIĄ G ŁYCH   P Ó L  STATYCZN IE D OP U SZ C Z ALN YC H

WŁODZIMIERZ  Z  O W C Z A K  (WARSZAWA)

1. Wstę p

Metoda  noś noś ci  granicznej  projektowania  elementów  maszyn  i  konstrukcji  opiera
się   na  istnieją cym  w  teorii  plastycznoś ci  twierdzeniu  o  dolnej  ocenie  obcią ż enia  niszczą -
cego.  Zgodnie  z  tym  twierdzeniem,  dolne  oszacowanie  obcią ż enia  niszczą cego  element,
uzyskać  moż na przyjmują c  dowolne statycznie dopuszczalne pole naprę ż eń.  Odwrotnie  —
przy  danym  obcią ż eniu,  pole  statycznie  dopuszczalne  pozwala  okreś lić  nieznany kształ t
elementu.

D otychczas przy  projektowaniu  metodą  noś noś ci granicznej  stosowano  pola  statycznie
dopuszczalne  skokowo  niejednorodne,  to  znaczy  zł oż one z  pewnej  iloś ci  pól  jednorod-
nych  oddzielonych  od  siebie  liniami  niecią gł oś ci  naprę ż eń.

W  wielu przypadkach  osią gnąć moż na znacznie lepsze oszacowanie, zarówno kształ tów
projektowanych  elementów,- jak  i  ich  noś noś ci  przy  danym  kształ cie,  posł ugują c  się
polami  o cią gł ej  niejednorodnoś ci  stanu naprę ż enia  (w  cał ym lub  czę ś ci  obszaru).

W  poprzedniej  pracy  [6],  zaproponowano  zastosowanie  kilku  prostych  typów  pół
statycznie  dopuszczalnych  o  cią gł ej  niejednorodnoś ci  do  konstruowania  elementów  ma-
szyn. W  niniejszym  artykule  proponuje  się  uż ycie  w tym  celu pól  naprę ż eń zbudowanych
metodą   charakterystyk.  Jedyny,  znany  autorowi  przykł ad  kształ towania  przy  pomocy
tej  metody pochodzi z mechaniki gruntów  i  dotyczy  wyznaczania  profili  skarp  ziemnych
([3]).

Poniż ej  przedstawiono  krótko  sposoby  budowania  róż nych  typów  pól  statycznie
dopuszczalnych,  a  nastę pnie  skonstruowano  przy  ich  pomocy  dwa  przykł ady  elementów
konstrukcyjnych.  Otrzymane  rozwią zania  porównano  z  dotychczasowymi,  otrzymanymi
przy  uż yciu  pól  skokowo  niejednorodnych.

W  rozważ aniach  przyję to  sztywno — idealnie  plastyczny  model materiał u i  zał oż ono,
że  podlega  on. warunkowi  plastycznoś ci  Treski.  Przyję to  też,  że  projektowane  elementy
znajdują   się   w  pł askim  stanie  naprę ż enia. Pola  naprę ż eń budowane  przy  tym zał oż eniu,
pozostają   statycznie  dopuszczalnymi  również  dla  pł askiego  stanu  odkształ cenia  oraz  dla
elementów  o  skoń czonej  gruboś ci,  są   wię c  najbardziej  uniwersalne.  Tak  wię c, materiał
osią ga  stan plastyczny,  gdy  speł niona jest jedna  przynajmniej  spoś ród  równoś ci

(1)  O
±
 -   2fc,

(2)  a
2
  =   - 2fc,



564 W .  ZOWCZAK

(3)  ffi- c

gdzie  ffj  i  a
2
  są   n aprę ż en iami  gł ównym i

czystym  ś cin an iu.

=   2/ c,

?i  >  ff2)>  a  k  —  granicą   plastycznoś ci  przy

2.  M etoda  charakterystyk  budowy  statycznie  dopuszczalnych  pól  naprę ż eń

M e t o d a  t a,  stosowan a  szeroko  do  rozwią zywania  róż n ych  pł askich  zagadn ień  teorii
plastyczn oś ci,  opisan a  jest  wyczerpują co  w  m on ografiach  poś wię conych  tem u  dział owi
m ech an iki  (n p.  [2],  [4]). D latego  pon iż ej  zostanie  przypom n ian ych jedyn ie  kilka  zasadni-
czych  poję ć  i  wzorów.

Z a kł a d a  się ,  że w  rozważ an ym  obszarze  m ateriał  jest  w  stan ie  plastyczn ym ,  przy  czym
n ap rę ż en ia  gł ówn e  speł niają   warun ek  (3).  Zwią zek  t en  zapisać  m oż na  inaczej  w  postaci

(4)  (o- ,- er

D oł ą czając  d o ń  równ an ia  równ owagi

=  4 f c 2 .

da
v

dx dy 8x
=  0 ,

otrzym ujem y  ukł ad  trzech  równ ań ,  z  których  wyznaczyć  należy  n iewiadom e  naprę ż enia
a

x
,  (T

y
  i  r

xy
.  St an  n aprę ż en ia  okreś lić  wię c  m oż na  bez  koniecznoś ci  wyznaczania  kinema-

t yki.
W  dalszym  cią gu  wprowadza  się   n owe  zm ien n e  cp  i  % t ak  dobran e,  by  warun ek  (4)

speł n ion y  był   toż sam oś ciowo.  N aprę ż en ia  wyraż ają   się   wzoram i

(5) ay  =  2kx—kcos2(p,

r
xy
  =  ksin2c>.

I n t erpret acja  n owych  zm ien n ych  pokazan a  jest  n a  rys.  1.  cp  jest  wielkoś cią   ką ta  mię dzy
kieru n kiem  n aprę ż en ia  a

x
  (wię kszego),  a  osią   x,  zaś  % —  bezwym iarowym  naprę ż eniem

ś redn im.

Rys.  1.



PROJEKTOWAN IE  ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH   565'

Podstawiają c  wzory  (5)  do  równań  równowagi  otrzymujemy  nowy  ukł ad  równań
róż niczkowych  czą stkowych  z  niewiadomymi  %  i  cp.  U kł ad  ten jest  typu  hiperbolicznego,
posiada wię c dwie rodziny  charakterystyk  rzeczywistych  (oznaczonych symbolami  a  i /S).
Okreś lone  są   one równaniami

A i \

- j- r-  =   t g( c3+ — I  (rodzina a),

dy  I  n\   .  .
~~r~   — tgyp—  ~r\   (rodzina  p).

Wzdł uż  charakterystyk  spehiione  są   zwią zki  pomię dzy  niewiadomymi

% + q>  —  const,  (a),

^  %~9  =  const.  (jS)..

Rozwią zanie  odpowiedniego  zadania  brzegowego  sprowadzić  wię c  moż na  do  cał ko-
wania  ukł adu równań  róż niczkowych  zwyczajnych  (6) przy  wykorzystaniu  zwią zków  (7),
Cał kowania  tego  dokonuje  się   numerycznie  metodą   róż nic  skoń czonych.  Szczegół y  na,
temat  sposobu  postę powania  przy  rozwią zywaniu  poszczególnych  zagadnień  brzegowych
znaleźć  moż na  w  cytowanych  monografiach.

3.  Szczególne  odmiany  pól  statycznie  dopuszczalnych

Metoda charakterystyk  sł uży  do budowy  pól  statycznie  dopuszczalnych,  speł niają cych
warunek  (3),  tzn. że w każ dym punkcie róż nica naprę ż eń gł ównych równa jest 2fc. Jednak
zał oż enie to nie zawsze musi być  speł nione. W projektowanym  elemencie mogą   n p. istnieć
obszary  o jednakowych  znakach  naprę ż eń  gł ównych.  W  takim  obszarze  materiał  osią ga
stan plastyczny,  gdy  speł niony jest warunek  (1) lub  (2), tzn. gdy  przynajmniej  jedno z na- .
prę ż eń  gł ównych ma  wartość  bezwzglę dną   2k.  Mogą   też  istnieć  obszary  (o naprę ż eniach
jedno-  jak  i  róż no-  imiennych), w  obrę bie  których materiał  pozostaje  w  stanie  sztywnym.

We  wszystkich  tych  przypadkach  nie  moż na  wykorzystać  omawianej  wyż ej  metody.:
Proponuje  się  zamiast tego inny  tok  postę powania:  W  obszarach,  w  których, jak  się   spo-
dziewamy, metoda charakterystyk  nie bę dzie mogł a być zastosowana, czę ść spoś ród  funkcji
okreś lają cych  nam stany  naprę ż enia  i  granice  danego  pola  zakł adamy z  góry. Pozostał e,
nieznane  funkcje  wyznacza  się   z  warunków  równowagi  pomię dzy  budowanym  polem,
a  polem  skonstruowanym  metodą   charakterystyk.

Oczywiś cie  w  ten  sposób  budować  moż na nieograniczoną   ilość  róż nych  pól,  spoś ród
których  omówione zostaną  jedynie  dwa.  Bę dą   one wykorzystane  w  pokazanych  w nastę -
pnych  punktach przykł adach.

a)  Pole  o  stał ych kierunkach  gł ównych
Stanowi  ono uogólnienie podobnego pola pokazanego  w  pracy  [6]. W  cał ym obszarze

tego  pola  kierunki  gł ówne  są   jednakowe.  Zał óż my, że  są   one  zgodne  z  osiami ukł adu
współ rzę dnych  prostoką tnych  (rys.  2a). Wynika  stą d,  że  naprę ż enia  a

x
  =   s  i  a

y
  = p  są

naprę ż eniami  gł ównymi, a  ponadto,  że  są   one stał e:  a
x
  wzdł uż prostych  równoległ ych do

osi  x  a  er, wzdł uż  prostych  równoległ ych  do  osi  y.  Inaczej  mówią c  s  — s{y),  p  =   p{x).



566

a)

Rys.  2.

Z ał óż my  teraz,  że  om awian e  pole  przylega  d o  obszaru,  w  którym  stan  naprę ż enia
( t z n .  wartoś ci  n aprę ż eń  a

t
  i  <r2  oraz  ką t  <p) jest  zn an y.  R ówn an ia  równowagi  n a linii  gra-

n iczn ej  pom ię dzy  obszaram i  (stanowią cej  w  ogólnym  przypadku  lin ię   niecią gł oś ci)  są
n astę pują ce  (rys.  2b) :

~pdx—ffjdasH Kp+ c^^frcosę *  =   0,

^  sdy— a
 x
da  cos (p—o idbsinę   =   0.

Wielkoś ci  da  i db wyraż ają   się   wzoram i

da  =   dycoscp—dxsvatp,

db  = dysin<p+dxcos<p.

P odstawiają c  powyż sze  wyraż en ia  do  równ ań  (8),  otrzymujemy,  p o  przekształ ceniach

dy  (?isin  ^- f- o^cos  <p—p
^  dx  "  (a,  — a

s  —
a

1
  sm  cp 4-  cr2 c o s  9 —p

P ray  d an ej  funkcji  p(x)  ( n p .  p ( x)  =  p  =   c o n st ) ,  wyznaczyć  m oż na  z  równ an ia  (9)
przebieg  lin ii  gran iczn ej  y  =   j>(^),  a  n astę pn ie, ze  wzoru  (10), wielkoś ci  n aprę ż eń  s.

b)  P o le  osiowosym etryczn e
R ozważ my  pole,  w  którego  każ dym  pun kcie  kierun ki  gł ówne  wyznaczone  są   przez

styczn e  d o  lin ii  biegun owego  u kł ad u współ rzę dn ych.  W  obszarze  p o la  n aprę ż en ia  obwo-
d o we  u&kziĄ   t ylko  od  wielkoś ci  prom ien ia  a

&
  — OQ(Q)  n atom iast n aprę ż en ia  promieniowe

sp eł n iać  m uszą   równ an ie  równ owagi

R ó wn a n ia  równ owagi  n a  gran icy  pom ię dzy  om awian ym  polem ,  a  in n ym ,  w  obszarze
kt ó r ego  st an  n aprę ż en ia jest  zn an y  są   an alogiczn e  d o  równ ań  ( 8) : należy  jedyn ie  zastą pić
s i p  przez  c Q  i  ae,  zaś  dx  i  dy  przez  qd&  ;  dq  (rys. 3).

Wyzn aczan ie  n aprę ż eń  pan ują cych  w  obrę bie  p o la  upraszcza  się   w  przypadku,  gdy
krzywa  Q ~  f{&)  rozgraniczają ca  obydwa  pola  poprowadzon a jest  t ak,  by  był a w  każ dym



PROJEKTOWANIE  ELEMENTÓW  KONSTRUKCYJNYCH 567

punkcie  prostopadł a do  kierunku  naprę ż enia  a
2
.  W  punktach  przylegają cych  do  krzywej

panuje  wówczas  dwuosiowy  równomierny  stan  naprę ż enia.  Obwodowe  naprę ż enia  a
e

są   wię c  równe  naprę ż eniu  panują cemu  w  punkcie  brzegu  o tej  samej  wartoś ci  promienia
Q,  natomiast naprę ż enia promieniowe  oblicza  się  ze  wzoru  (11).

a)

Rys.  3.

D la  pewnych  rozkł adów  naprę ż enia  wzdł uż  linii  granicznej  Q =  f{&)  ekstremalne
wartoś ci  naprę ż eń  cre  wystą pić  mogą   w  punktach  wewnę trznych  pola.  W  ogólnym  wię c
przypadku,  sprawdzenia,  czy  nie  przekraczają   one  wartoś ci  dopuszczalnych  dokonać
należy  w  cał ym  obszarze.

4.  Projekt  elementu  jarzmowego

Rozważ my  element jarzmowy,  sł uż ą cy do przeniesienia  siły pomię dzy dwoma  okrą gł ymi
sworzniami  (rys.  4). Zał óż my, że  obydwa  boczne pasy jarzma  rozcią gane  są   naprę ż eniami

Rys.  4.

2k. N ależy tak ukształ tować gł ówkę  elementu, aby jej  noś ność nie był a mniejsza  niż  pasów
bocznych.

Rozwią zanie  tego  zadania przy  zał oż eniu, że na powierzchni  styku  sworznia  z jarzmem
nie wystę puje  tarcie, widnieje  po prawej  stronie  rys.  5 (ze wzglę du n a  symetrię   pokazano



568

\

TTTTTTf
2k

Rys.  5.

t ylko  poł owę   pola).  Cią gł ymi  liniam i  zazn aczon o  charakterystyki,  zaś  przerywan ym i  —
lin ie  niecią gł oś ci.  Obliczen ia  wykon an o  dla  szczególnego  stosun ku  wym iarów  ch arakte-
rystyczn ych :  szerokoś ci  pasa  boczn ego  do  poł owy  szerokoś ci  elem entu  c/ a  =   0,4.

P ole  kon struuje  się   w  sposób  n astę pują cy:  R ozpoczyn am y  od  odcin ka  AB,  wzdł uż
którego,  zgodn ie  z  zał oż en iem, rozł oż one są   n aprę ż en ia  rozcią gają ce  2k.  Takie  same  na-
prę ż en ia  pan ują   w  cał ym  trójką cie  ABC.  Z  zał oż enia  o  braku  tarcia  n a  brzegu  otworu
wyn ika,  że  w  każ dym  pun kcie  ł uku  ką t  cp jest  zn an y  (jest  to  ką t  kierun kowy  stycznej  do
brzegu  w  dan ym pun kcie). W  czworoką cie  BCEF  rozwią zujemy  wię c m ieszane zagadn ien ie
brzegowe.  N a  podstawie  dan ych  wartoś ci  funkcji  %  i  q> wzdł uż  charakterystyki  BC,
o raz  zn an ego  ro zkł ad u <p  wzdł uż  ł uku  BF,  znajdujemy  stan  n aprę ż en ia  w  cał ym tym  ob-
szarze.  P u n kt F  na okrę gu  tak wybran o,  by  prosta  OF  tworzył a  ką t  ?r/ 4 z  osią   x.  Z apewn ia
t o ,  że  w  p u n kcie  D  styczn a  do  brzegu  swobodnego  bę dzie  poziom a  (cp

D
 =  n).  N astę pn ie

wykorzystują c  znajom ość  wartoś ci  funkcji  % i  ę   wzdł uż  charakterystyki  CE,  rozwią zu-
jem y  t a k  zwan e  odwrotn e  zadan ie  C auchy'ego. Wyznaczamy  w  ten  sposób  kształ t  brzegu
swobodn ego  CD,  oraz  stan  naprę ż enia w  cał ym  obszarze  CDE.  Z akł adam y dalej,  że odci-
n ek  L D  —  styczny  d o  brzegu  swobodnego  w  pun kcie  D  wyznacza  kształ t  brzegu  aż  do
osi  sym etrii.

W  trójką cie  utworzon ym  przez  prostoliniową   czę ść  brzegu  swobodn ego,  charaktery-
stykę   DJ  i  sym etryczn ą   do  niej  charakterystykę   po  drugiej  stronie  osi  panuje  jed n o ro d n e
rozcią gan ie  n aprę ż en iami  2k.  Z n ają c  wartoś ci  funkcji  % i  <p  wzdł uż  ch arakterystyk  DJ
i  DE  rozwią zujemy  t eraz  charakterystyczn e  zadan ie  brzegowe,  wyznaczają c  w  t en  sposób
st an  n aprę ż en ia  w  obszarze  DEHJ.  C harakterystyki  EF  i  EH  (podobn ie ja k  DJ  oraz  BC)
są   p ro st o lin io we.  W  obszarze  EFGH  pan uje  wię c  jedn orodn y  stan  n aprę ż en ia:  q>  =   3JT;/ 4,
X  =   0,5- 31/ 4.

Z  waru n ku  sym etrii  wynika, że  dla p u n kt ó w  leż ą cych  n a  osi,  naprę ż enie  a
x
  jest  skiero-

wan e  p o zio m o , wię c <p  — n.  R ozwią zanie  zadan ia mieszanego  opartego n a  ch arakterystyce



P R O J E K T O WAN I E  E LE M E N TÓW  K O N ST R U K C YJN YC H 569

GJ  i  odcinku  / /   osi  symetrii  okreś la  nam  stan  naprę ż enia  w  obszarze  GIJ.  N astę pnie,
poczynają c  od  punktu  F,  prowadzimy  krzywą   o równaniu  dyjdx  — tgcp  (trajektorię   na-
prę ż enia  gł ównego  cfi).  Przyjmujemy,  że  krzywa  ta — FGI,  bę dzie  linią   niecią gł oś ci.
Poniż ej krzywej FGI rozcią ga  się  pole osiowosymetryczne,  opisane w poprzednim punkcie.

N a rys.  5 pokazany jest też rozkł ad nacisków  na obwodzie  otworu wynikają cy  ze skon-
struowanego  pola,  statycznie  dopuszczalnego.  N aciski  te  rosną   od  zera  w  punkcie  B  do
wartoś ci  0,82  •  2fe  w  punkcie  K.  N astę pnie  zaczynają   się   obniż ać  i  w  punkcie  N   osią gają
wielkość  0,58 - 2k.

N a  rysunku  zaznaczono  też  (linią   przerywaną ),  kontur  analogicznego  elementu  za-
projektowanego  przy  pomocy  pól  skokowo  niejednorodnych  ([5]). Omawiane  rozwią zanie
jest, jak  widać,  oszczę dniejsze.

Istotny wpływ  na budowę   pola  i w konsekwencji  na zewnę trzny  kształ t elementu  mają
zał oż enia  dotyczą ce  warunków  panują cych  na  powierzchniach  obcią ż anych.  Obydwa
przedstawione  wyż ej  przykł ady  powstał y  przy  zał oż eniu,  że  powierzchnia  otworu  jest
gł adka  (w  przypadku  drugiego  elementu  był o  drobne  odstę pstwo  od  tego  warunku).
Rozważ my  teraz podobne zadanie, przyjmują c  jednak, że n a linii styku sworznia  z jarzmem
dopuszcza  się  tarcie. Rozwią zanie  zadania przy  zał oż eniu, że współ czynnik  tarcia fi  — 0,2,
pokazane  jest  z  lewej  strony  rys.  5.  Pole  buduje  się   podobnie  jak  poprzednio.  Jedyną
róż nicę   stanowi  fakt,  że  charakterystyki  wychodzą ce  z  punktów  leż ą cych  na  ł uku  BF
nie  są   nachylone pod ką tem  n/ 4  do  stycznych  do ł uku.

Oznaczmy symbolem  0  ką t mię dzy  styczną   do ł uku  a kierunkiem  naprę ż enia  gł ównego
• a

x
.  Pochodna  funkcji  y  =  ] / l - x2  okreś lają cej  kształ t  otworu  równa  jest  w  każ dym

punkcie  ł uku  tangensowi  ką ta  <p—0  (rys.  6a):

(12)
dx

i  R ys.  6.

Oznaczają c  symbolami  er  i  r  naprę ż enia  normalne  i  styczne  panują ce  na  brzegu  otworu
otrzymujemy  dalej  (rys.  6b):

(13)

a  =   2k- kcos20,

r  —  - / csin 20,

T  =   fca



570 W .  ZOWCZAK

(przyję to  taki  zwrot  sił   tarcia  by  ich  pionowa  skł adowa  brał a  udział  w  zrównoważ eniu
sił y  zewnę trznej  obcią ż ają cej  sworzeń ). Eliminują c  z równań  (12) i  (13) wielkoś ci  er,  T i  0
otrzymujemy  zwią zek  pomię dzy  funkcjami  %  i  q>,  jaki  musi  być  speł niony we  wszystkich
punktach  ł uku  B'F'.  Zwią zek  ten  wyraża  ż ą danie  aby  pomię dzy  jarzmem  a  sworzniem
panował y  sił y tarcia o maksymalnej  (przy danym współ czynniku tarcia) wysokoś ci. Otrzy-
maną  zależ ność wykorzystujemy  do rozwią zania zadania  mieszanego i znalezienia naprę ż eń
w  cał ym  obszarze  B'C'E'F'.  Punkt  F'  jest  znów  tak  dobrany,  aby  zachodził o <p

D
,  =

  n
.

Konstrukcja  pozostał ej  czę ś ci  pola  przebiega  identycznie  jak  poprzednio.  N a  ł uku
N 'M  dział ają   wył ą cznie naprę ż enia normalne. Jak wynika  z rys.  5 zał oż enie, że na powierz-
chni  obcią ż onej  może  wystą pić  tarcie pozwala  jeszcze  oszczę dniej  zaprojektować  jarzmo.

5.  Projekt  elementu  kotwią cego

Rozpatrzmy  element  kotwią cy  pokazany  na  rys.  7.  Może  on  stanowić  na  przykł ad
czę ść  mocują cą   ł opatki  turbiny  zapobiegają cą   wyrwaniu  ł opatki  z  gniazda  w  wirniku
{patrz  [5]).  Zakł adamy, że  trzon  elementu  obcią ż ony  jest  naprę ż eniami  - rozcią gają cymi

Rys.  7.

ffi  <  2k. N ależy  tak  ukształ tować ł eb, aby  przeniósł  naciski  równe 2fc powstają ce  na po-
wierzchniach  oporowych  KL  i  K'U.

Z adanie  rozwią zano  dla  szczególnego  stosunku  wymiarów  charakterystycznych  b/ a  =
=  0,6.  Wartość  tę   wybrano,  celem  porównania  otrzymanego  rozwią zania  z  istnieją cymi

już  rozwią zaniami,  uzyskanymi  przy  pomocy pól  skokowo  niejednorodnych.  Konstrukcja
analogicznego  elementu  dla  innego  stosunku  wymiarów  charakterystycznych  nie  przed-
stawia  wię kszych  trudnoś ci.



P R O JE K T O WAN I E  ELEM EN TÓW K O N ST R U K C YJN YC H 571!

Budowa  pola  statycznie  dopuszczalnego  prpbiega  podobnie  jak  poprzednio.  Pole
jest  symetryczne  wzglę dem  osi  pionowej.  W  trójką cie  KL M  panuje  ś ciskanie  naprę ż e-
niami  — 2k. W punkcie L  nastę puje  skokowa  zmiana stanu naprę ż enia, jest  to wię c pun kt
osobliwy.

Z  punktu tego wychodzi  wachlarz  charakterystyk  L MP,  Odcinek  L P przyję to  prosto-
padł y  do krawę dzi  KL ,  co zapewnia  poziome poł oż enie stycznej  do  brzegu  w punkcie N ..
Rozpoczynają c  od  charakterystyki  MP  rozwią zujemy  odwrotne  zadanie  Cauchy'ego
w obszarze MN P. Okreś lony  zostaje  w  ten sposób  kształ t brzegu  swobodnego  MN .  Przyj-
mujemy,  podobnie jak  poprzednio, że styczna  do brzegu  swobodnego  w punkcie N   okreś la
dalszy  kształ t brzegu  ciał a  do punktu N '  po  drugiej  stronie osi. W  obszarze  N N 'S  panuje
jednorodne  ś ciskanie  naprę ż eniami  — 2k.  N a  podstawie  znajomoś ci  stanu  naprę ż enia
wzdł uż  charakterystyk  N S  i  L N   rozwią zujemy  kolejno  zadania  charakterystyczne  w  ca-
łym obszarze L N R'T   (pamię tają c, że charakterystyki  SR i  SR'  są   symetryczne). W punkcie
Q  tego  obszaru  charakterystyki  należ ą ce  do  jednej  rodziny  (a)  zaczynają   się   przecinać ..
Krzywa  QT   stanowi  wię c  linię   niecią gł oś ci.

Jej  przebieg  okreś lić  moż na  posł ugują c  się   znanymi  zależ noś ciami  (patrz  n p.  [1]).
Równanie linii  niecią gł oś ci  zapisać  moż na w postaci

-1
4 J'

gdzie  q>
L
  i  q>

P
  są   wartoś ciami  <p,  w  tym  samym  pun kcie  p o  obydwu  jej  st r o n a c h . Wzdł uż:

linii  speł niony  jest  p o n a d t o  zwią zek

2<Pa  =.<Pd- <p
D
~sin((p

d
- <p

D
)+<p

b
- (p

B
- sm(<p

b
- (p

B
).

Oznaczenia poszczególnych  punktów  podane są   na  rys.  8. W  omawianym  przypadku,  ze
wzglę du na prostoliniowość  odcinków L P i N S odpowiednich charakterystyk,  wyznaczanie;
przebiegu  krzywej  niecią gł oś ci jest  znacznie uł atwione.

R ys.  8.

Poniż ej linii niecią gł oś ci L T  rozcią ga  się  pole naprę ż eń o stał ych kierunkach gł ównych,,
którego  budowę   opisano  w  punkcie  3a.  Przebieg  tej  krzywej  wyznacza  się   cał kują c  nu-
merycznie równanie (9). N aprę ż enia/) dział ają ce w kierunku pionowym są   stał e w  obszarze
pola  i  równe  2k  (a- b)/ b  =   1,33  k.

N aprę ż enia  s — w  kierunku  poziomym  maleją   od  0,94 - 2k  na  linii  L U  do  0,84  m2k
w punkcie  T ; tak  wię c  cał y  obszar  L L 'T  znajduje  się  w  stanie  sztywnym.



572  W.  ZOWCZAK

Również  w  obrę bie  trzona L L 'U'U  materiał , zgodnie  z  zał oż eniem, nie  osią ga  stanu
plastycznego.  Takie  sposoby  ukształ towania trzona, by  w  cał ym jego  obszarze  wystę po-
wał   stan  graniczny,  pokazane  są   w  monografii  [5] i  nie bę dą   tu  omawiane.

N a  rys.  7 zaznaczono też, linią   przerywaną ,  zarys  rozwią zania  pochodzą cego  z pracy
15],  a  otrzymanego  przy  uż yciu  pola  statycznie  dopuszczalnego  o  skokowej  niejedno-
rodnoś ci.  Kształ t otrzymany  za  pomocą   pól  cią gł ych jest, jak  widać  oszczę dniejszy.

6.  U wagi  koń cowe

Cią głe pola  statycznie  dopuszczalne wykazują   szereg zalet w stosunku  do pól  skokowo
niejednorodnych.  Pozwalają   one na  otrzymanie gł adkich zarysów  zewnę trznych projekto-
wanych  elementów  i  uniknię cie  w  ten  sposób,  lub  ograniczenie  koncentracji naprę ż eń.
Cią głe  pola  umoż liwiają   też  (jak  pokazano na przykł adach) oszczę dniejsze  kształ towanie.
Zbudowana  siatka  charakterystyk  może  ponadto  posł uż yć  do  skonstruowania  odpo-
wiadają cego  jej  pola prę dkoś ci  i znalezienia  w ten sposób  górnego  oszacowania noś noś ci
zaprojektowanego  elementu konstrukcyjnego.  Tematowi temu poś wię cona  bę dzie osobna
praca.

Wadą   omawianych  pól jest  wię ksza  na  ogół  pracochł onność  ich wykonania,  niż pól
o  skokowej  niejednorodnoś ci.  Stosowane  procedury  obliczeniowe  dają   się   jednak  łatwo
zaprogramować  n a  maszynę   cyfrową   (lub  kalkulator  elektroniczny). Istnieją   też  sposoby
wykreś lne  konstruowania  siatek  charakterystyk.

M etoda  charakterystyk  stanowi  standardowy  sposób  budowy  pól  statycznie  dopusz-
czalnych  i  jej  stosowanie  nie nastrę cza  wię kszych  trudnoś ci.  Dalszy  rozwój  przedstawio-
nych  sposobów  projektowania  zależy  wię c  gł ównie  od  skonstruowania  pól  (takich, jak
pokazano  w  punkcie 3), które nie dadzą   się  zbudować  przy  pomocy charakterystyk,  oraz
od  stworzenia  sposobów  ł ą czenia róż nych typów  pól.  -

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  J. F . W.  BI SH OP ,  On  the  complete  solution  to  problems of  deformation of  a plastic — rigid  material,
J.  M ech.  P hys.  Sol.,  Vol  2  (1953),  str.  43 -  53

2.  R.  H I L L ,  T he  mathematical  theory of  plasticity,  Oxford  at  the  Clarendon  Press  1950
3.  W. W.  SOKOLOWSKI,  Statyka  oś rodków sypkich  (tł um. z  ros.), PWN , Warszawa  1958
4.  W.  SZ C Z EP I Ń SKI,  Mechanika plastycznego pł ynię cia, PWN , Warszawa  1978
5.  W.  SZ C Z EP I Ń SKI,  Projektowanie elementów  maszyn  metodą  noś noś ci granicznej,  P WN , Warszawa  1968
6.  W.  Z OWC Z AK,  Projektowanie i noś noś ć graniczna elementów poł ą czeń sworzniowych, Rozpr. Inż.  (w druku)

P  e  3  IO  M  e

n P O E K T H P O B AH H E  K O H C T P yK U H O H H BI X  3J I E M E H T O B  EDPH   ITOMOH IH
H E I TP E P LI BH LI X  C T AT I M E C K H   flOIiyCKAEM LIX  I I O JI E fł   H An P iD K E H H ft

TeMOH   craTbH   H BJiH eTca  npoeKTH poBamie  sneiweirroB  KOHCTpyKi(HH   MeVoflOM   H ecymeft  cn ocoS-
H OCTM  c  npiiM eH eH iieM   CTaTiriecKH   flonycKaeiwbix  nojiefi;  HanpH>KeHHH  H enpepBiBH oił   HeorrHopoflHOCTH.



PROJEKTOWAN IE  ELEMENTÓW  KONSTRUKCYJNYCH   573

TI pu  KOHCTpyHpoBaHHH   nojiefi  H cnojiB3yeTc«  H3BecTHbiii  B  TeopHH   njiacTHMHOcTH   iweiofl  xapaKTe-

pHCTHK.
B  pa6oTe  KopoTKO  o6cyiKfleH bi  cn o co 6h i  c r p o e n im  H enpepwBH Bix  n o n eft ,  a  TaioKe  n p e# c r a Bn eH Ł i

npH Mepbi  4>opMHpoBaHHH   aJieMeHTOB  n o  cpaBH eH mo  c  aH aJiorn^iH biMH   peuieH iwM H ,  nojry^eH H biM H

6naroflapH   npHMeHeHHio  CKaMKOo6pa3HO  H eoflH opoflH bix  n o n e n .

S u m m a r y

D ESI G N   O F   STRU CTU RAL ELEM EN TS
BY  M EAN S  O F   STATICALLY  AD MISSIBLE  C ON TIN U OU S  STRESS  F I E LD S

Plastic design  of structural elements by  means of nonhomogeneous continuous stress fields is  presented.
Well- known  method  of  characteristics  is  used  to  construct stress  fields.  The  process  of  constructing  stress
fields  is  shortly  described.  Examples  of  plastic  design  of  bolt  join t  and  tension  member  are  presented
to illustrate the proposed design  procedure. Results are compared with those obtained by means of  piecewise
- homogeneous  stress  field  technique.

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  27  stycznia  1981  roku.

5  Mech.  Teoret.  i  Stos.  4/81