Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS81_t19z1_4_PDF_artyku³y\mts81_t19z4.pdf


M E C H AN I KA.
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4,  19  (1981)

AN ALIZA  STATYCZN A  KON STRU KCJI  PRĘ TOWO- PŁYTOWYCH
METOD Ą   ELEM EN TÓW  SKOŃ CZON YCH,  Z  U WZ G LĘ D N I EN I EM

SKRĘ CAN IA  N IESWOBOD N EG O

EU G EN IU SZ  R U S I Ń S KI  (WROCŁAW)

1. Wstę p

Przeprowadzenie  analizy  wytrzymał oś ciowej  cienkoś ciennych  konstrukcji  prę towo-
pł ytowych  z  uwzglę dnieniem  skrę cania  nieswobodnego  metodami  tradycyjnymi  [1]  przy-
sparzał o  wiele  trudnoś ci  natury  obliczeniowej  pod  wzglę dem  szybkoś ci  jak  i  zakresu
obliczeń. W znanych n a ś wiecie i w kraju  systemach  (np. SEZAM - 69, N ASKA,  WAT- KM)
nie  uwzglę dnia  się   technicznej  teorii  VLASOVA  [1].  Ostatnio  pojawił o  się   wiele  publikacji
dotyczą cych  obliczania  prę towych  konstrukcji  cienkoś ciennych  z  uwzglę dnieniem  skrę -
cania  nieswobodnego,  opartych  n a  metodzie  sił   oraz  metodzie  elementów  skoń czonych
[2, 3]  z  opracowanymi  programam i  n a EM C .

W niniejszej  pracy podejmuje  się  próbę  moż liwie  ogólnego  okreś lenia macierzy  sztywno-
ś ci  prostoką tnego  elementu  (superelementu)  prę towo- pł ytowego.  Wyznaczenie  macierzy
sztywnoś ci  takiego  elementu jest przydatne w konstrukcjach  powtarzalnych  oraz  zmniejsza
efektywny  czas  obliczeń  E M C .  Zagadnienie  rozważ ane  jest  jako  liniowe.  R ozważ ania
szczegół owe  opierają   się   na metodzie elementów  skoń czonych, z uwzglę dnieniem  technicz-
nej  teorii WLASOVA  [1].

2.  Okreś lenie  macierzy  sztywnoś ci  elementu  prostoką tnego  prę towo- pł ytowego

Macierz sztywnoś ci  elementu prę towo- pł ytowego wyznaczamy  analogicznie ja k  w pracy
[4], metodą   superpozycji.  Okreś la  się   macierz  sztywnoś ci  pł yty, a  nastę pnie rusztu,  poka-
zanego  na  rys.  1,  skł adają cego  się   z  czterech prę tów  cienkoś ciennych.  M acierz  sztywnoś ci
elementu  prę towo- pł ytowego  wyznacza  się   w  ogólnej  postaci  jako

(2- 1.)  [/ c„ _P]=   [Kl+[k p],

gdzie:  [k
u
] —  macierz sztywnoś ci  rusztu jednoobwodowego  ramy obcią ż onej przestrzennie,

[kp] — macierz  sztywnoś ci  elementu  pł yty.
Prostoką tny  element pł yty poł ą czony jest z dowolnymi  elementami prę towymi  n, p,  r,  s

wzdł uż  krawę dzi  pł yty  w  sposób  cią gły  (rys;  1). Wielkoś ci  wę zł owe  odniesione  są   do  osi
prę tów  i  powierzchni  ś rodkowej  pł yty,  pominię to  mimoś ród  prę tów.

5»



576 E.  RU SIŃ SKI  .

Rys.  i.  Konstrukcja  rusztowo- płytowa  jako  zbiór  elementów  prostoką tnych  prę towo- powłokowych.

2.1.  Macierz  sztywnoś ci  prostoką tnego  elementu płyty. Analizujem y  prostoką tny  elem en t pł y-
ty  o  wę zł ach  i, j ,  k,  1, gdzie  począ tek  ukł adu  współ rzę dnych  przyję to  w  wę ź le  „ i ",  jak
p o ka za n o  n a  rys.  2.  W  każ dym  wę ź le  zadan e  są   przem ieszczenia  {V„}.  M ają   one  trzy
skł ad o we:  przem ieszczen ie  lin iowe  u

zn
  w  kierun ku  osi  z,  oraz  dwa  obroty  a

x
„,  a,„ wokół

osi  x  i  y.  P rzem ieszczen ia  wę zł ów  m oż na  zatem  przedstawić  w  po st aci:

(2.1.1.)

Rys.  2.  Prostoką tny  element  pł yty.



AN ALIZA  STATYCZNA  KON STRU KCJI 577

U ogóln ion e  sił y  wę zł owe  odpowiadają ce  tym  przem ieszczeniom  m o ż na  in t erp ret o wać
jako  jedn ą  sił ę  i  dwa  m om en ty.

P,
(2.1.2.)

F un kcję kształ tu przyję to  w postaci wielom ian u  [5], w kt ó rym  wystę puje  12 p a r a m e t r ó w:

u
z
  =   otx + a

(2.1.3.)  + cc
8
x

2
y  + <x.

9
xy

2
 + u

l0
y

3
  + u

11
x

3
y  +  a

l2
xy

3

M acierz  sztywnoś ci,  wią ż ą ca  sił y  wę zł owe  z  odpowiedn im i  im  przem ieszczen iam i  wę-
zł ów,  dla  tak  przyję tej  funkcji  kształ tu,  okreś la  się  n a  podstawie  kin em atyczn ego  p o la
przemieszczeń  wg  [6]  w  p o st aci:

a  b

(2.1.4.)  '  fc,  -   /   /   [b]T[D][b]dxdy
o  o

P o  wyznaczeniu  elem en tów  skł adowych  powyż szego  równ an ia  i  scał kowan iu  otrzy-
m an o  macierz sztywnoś ci  prostoką tn ego  elem en tu pł yty, którą  przedstawion o  w  tablicy  I .

2.2.  Macierz sztywnoś ci  rusztu jednoobwodowego. R ozważ any  ruszt jest  zbudowan y  z czterech
prę tów  cien koś cien n ych  n, p,  r,  s  poł ą czon ych ze  sobą  sztywn o  (rys.  1).  P rzy  poł ą czen iu
sztywnym  zginanie  prę tów  jedn ego  kierun ku  powoduje  zgin an ie  i  skrę can ie  prę t ów  dru -
giego  kierunku. W  zwią zku  z tym  w  wę zł ach mogą  wystą pić  trzy  róż ne wielkoś ci  st at yczn e:
sił a  poprzeczn a  i  dwie  skł adowe  m om en tów. N at o m iast w  rusztach  z  prę tów  cien koś cien-
nych  przy  n ieswobodn ym  skrę can iu  powstaje  spaczen ie  przekroju  [1],  w  wyn iku  czego
w wę ź le  wystę puje  czwarta  skł adowa-  bim om en t. P rzedstawion y  n a  rys.  1 ruszt jest  opisa-
ny  wę zł ami  /,  j ,  k,  I z  począ tkiem  u kł adu współ rzę dn ych  w  wę ź le  „ i " .

W  celu  wyzn aczan ia  m acierzy  sztywnoś ci  cien koś cien n ego  elem en tu  (rys.  3)  wykorzy-

/

y

z

—  L  - /

i
/

/
y

u * k

s)

Rys.  3.  Wydzielony  element prę ta cienkoś ciennego.

stuje  się  zam ieszczone  w  pracy  [1]  równ an ie  róż n iczkowe  ką tów  o bro t u  przekroju  przy

nieswobodnym  skrę can iu  w  postaci :

(2. 2. 1 . ) «£'  -   0,



O  H  N

I  _ l
i

,  i  TH  I N  •   •   i- i  —  ,- .  &  *t  i*- t
L j  ^ J O ^ J  H)  O  Cu  <4j  O  <U  ^)  <i>  <U

1   -   1

f  Ol  * t  00  O

1   1

r~-   Vj  rt  t ł  \0  w

II  II  11
!

"*  N  *-<  N  \D  - sł  i i  . _j  '  "
Qj  O  ^  ^J  < ^  (j|   ^ j  ^)  4)  f ^  ^*"  " ^.

»  «  i !  i  »  'ia  «  «  .  .   ̂ t'  .  "-<   | "Q  „   „

i  .̂  -   _  1 3   1   ?  1
• a  S  «  B  »  «
•a  ->  «  |   ^ — ^  to  S  J  ^ - ^ .

|   1   _  ̂ "*   5s  I  %   .   ^ _  ̂ Ĵ   i

2 , 0 0 , 2  «  M  S  w  ^ T " ^  1  •   -   " "  I

-̂    ̂ S   ̂ |  «  oo  .   ,   " 1   "- 1  <3  «  -

*   *    ̂ a  2   -   lx  "   ̂  ̂ - "?   ̂ ^

a  *   »i  »  «  «   ̂  ̂ „  ^  ̂ u  ii
C  ff  "  ̂ -   «  1   a  "  to  »>

t«  »  • *  n  |   N  1  M  1  M  «  -   •

•3   +   *  | 2   -   3   +    ̂ "  •« +    ̂ i  |   i  §  i  %  i  2
s  c  " i  +.   T  +  A  +   +   +„

2   i  «  u  II  u  II  u  II  II  II  u
«  _   ̂ ff  «  <?  ff,   c  «  s  W3   5  |

1"  1
II

1
[ 578]



AN ALIZA  STATYCZNA  KON STRUKCJI 579

EI
y
z  =   - Mg

oraz  równ an ie  osi  ugię cia  prę ta

(2.2.2.)

gdzie:  E —  m oduł   Yo u n ga,
G  —  m oduł   Kirchhoffa,
I

d
  —  m om en t  bezwł adnoś ci  przekroju  n a  skrę can ie,

J
m
 —  gł ówny  wycinkowy  m om en t  bezwł adnoś ci  przekroju,

I
y
  —•  m om en t  bezwł adnoś ci  przekroju  n a  zgin an ie.

Z przedstawion ych  powyż szych równ ań  róż n iczkowych  wyzn aczon o  m acierz  sztywn oś ci
dla  prę ta  cien koś cien n ego  (rys.  3),  którą  zamieszczono  w  tablicy  2.

T a b l i c a  2.
M acierz  sztywnoś ci  cienkoś ciennego  elementu  prę ta.

3  4  5  6  7

1

2

3

4

5

6

7

8

[*,]   =

A  =

5  =

F   =

~k
2  =

A

12237,
L

3

6EIy

L
2

AEIy

L

Gh

EJ
m

0

M

S

1

0

- P

S

Y

2EI,

L

- B

0

0

F

M

Ą

0

0

B

A

E

0

R

- P

0

0

M

T

0

P

S

0

0

p

s

- B

0

0

T

B

0

0

F

M  =   ——-   [k •   £ cosh(Ł L)- sinh(fcZ,)],
gk

- [cosh(/ ti)- l],

—~ [sinh(,kL )- kL ],
qk

Z" 1  T

k- siDh{kL ),

q  =  2+ H ,sinh(H / )- 2cosh(fcL)

gdzie:  L   przyjmuje  wartoś ci  a  lub  b.

P o  okreś leniu  m acierzy  sztywnoś ci  prę ta,  okreś lamy  m acierz  sztywn oś ci  rusztu  jed n o -
obwodowego  wedł ug  nastę pują cej  zależ n oś ci:

(2.2.11.)

gdzie:  [C] —  m acierz  tran sform acji  z  ukł adu  rusztu  jedn oobwodowego  d o  u kł a du  lo kal-
n ego  prę t a.



580 E .  RU SIŃ SKI

M ac ierz  tran sform acji  przedstawia  zależ n ość

J[ CJ  1
[   [ CE] \ '

(2.2.12.)  [C]

gd zie:

(2.2.13.)

K ą t  y  w  tym  przypadku  przyjmuje  dwie  wartoś ci,  zależ nie  od  poł oż en ia prę ta, w  ruszcie
je d n o o bwo d o wym :  0 lu b  jt/ 2.  M acierz sztywnoś ci  elem en tarn ego rusztu  jedn oobwodowego
[k

u
]  przed st awio n o  w  tablicy  3.

2.3.  Macierz  sztywnoś ci  elementu prostoką tnego  prę towo- płytowego. Z n ają c  m acierze  sztywnoś ci

elem en tów,  pł yty  [k
u
]  (tabl.  1)  o raz  jedn oobwodowego  rusztu  [k

p
]  (tabl.  3)  wyznacza  się

1
0

0
0

0
1
0
0

0
0

co sy
— sin y

0
0

sin y
co sy

Rys." 4.  Prostoką tny  element  prę towo- pł ytowy.

m acierz  sztywn oś ci  elem en tu  prę towo- pł ytowego  [fc„_p]  n a  zasadzie  superpozycji  jak  to
p o ka za n o  n a  rys.  4.

Z agadn ien ie  sprowadza  się   d o  dodan ia  odpowiedn ich  skł adn ików  d o  siebie.  D oda-
wan ia  tego  n ie m oż na  zrobić  wprost,  gdyż  macierz  sztywnoś ci  [k

u
] m a w  wę ź le 4  skł adowe

(u
Zf
,  x

t
,  a

Xl
,  a y, ) n at o m iast m acierz sztywnoś ci  pł yty m a w wę ź le p o 3 skł adowe  (uZl,  <xXl,  ay,)

W  m acierzy  sztywnoś ci  pł yty  brakują ce  wiersze  i  kolum n y  poch odzą ce  od  deplanacji
przekro ju  p rę ta  uzupeł n ia  się   zeram i,  w  wyn iku  czego  otrzymuje  się   nową   m acierz  [k*].

Wówczas  równ an ie  (2.1)  przyjmuje  p o st ać:

(2.3.1.)  [ fc H_j =  [ j y+ [ f c j i ,

gd zie:  [k%] —  m acierz  sztywnoś ci  elem en tu  pł yty  z  zerową   deplanacją   przekroju.
Z e  wzglę du  n a  wymiary  m acierzy  sztywnoś ci  [k

u
_

p
]  przedstawia  sieją   w  form ie:

(2.3.2.) [*»- J  =

O d p o wied n ie  podm acierze  [k
t
],  [k

2
]  i  [k

3
]  zam ieszczone  są   w  kolejnych  tablicach

4,  5  i  6.

3.  Program  PPLY

P owyż ej  przedstawion a  m acierz  sztywnoś ci  cienkoś cienn ego  elem en tu  prę towo- pł y-
towego,  posł u ż yła  d o  zbudowan ia  program u  P P LY.  opartego  n a  m etodzie  elementów
sko ń czo n ych  z uwzglę dn ien iem  skrę can ia  n ieswobodn ego.  P rogram  t en n apisan o  w ję zyku



„  „   ̂ „  xĄ
^ o O - i O ^ O O O O ^ O O ^ C ą 0 - ! ©   1

i ^ a J - o t - ł o o o o o o ^ t o o c J o T  +
""  1  1  Ł J

L.  .  !

"  -   5?

• n
ba

< s o o o o o n , o Y | c C o +   ^>

_ą>

§f  o.  - *-  *Ą   o>

?  Se S   ̂ ~*

i  *  &
i  -  •    ̂ -    ̂ ^

s  a s o o o o j ' O c q - o + o ^
  v

I  .  f  o - o  h-   „y f  o  J  »,  1

|  ,  o  <   4  o  f  C  |  «,   @  M  |

•   o  <   f  ©   o  +  *'   ̂ ] |  J *  |

1  *  v;  °
-   "5 f  +    ̂ i

.  ""i  35  ^  3
"  M   o  +   NT '  "3
•   X  .   ̂ 1

2  .  '   ̂ u  1
3  -   +   II  EC  1

1  I
II

[581]



i-i w  m

• 9

H

H

T
1

u

0

r­

+
1

1

I

tu

°5

0

0

ft,"

O

a,
1

+

0

0

+
K

1

T

Co

•*

1

0

0

H

fir

f i

to

10

0?

1

0

<?
ft

s

E

ft?

B?

J

h

05°

­

1
M

N

3

0

1

[582]



i­H  (S  m  *t  ir\  *J5

I
fu
o

i

O
CO

I
!

I

I
1
E

OH

a
u

1

r­

+
1

o

1
M

1

V)

1

O

f )

o

ft?

o

o

o

o

o

o

Ol

tu*
+

o

t̂

(u1

1

o

ia

o

1

+
CO

o

<C
1

1

o
M

O

o

O

n
TH

^ >

r­

+
1

o

+
a,

1

o

o

o

o

<

o

o

o

w

o

iir
1

o

+

o

1

«r

o

o

o

1

w

u

+
1

o

c
1

1?

Xl
et

H

[583)



a
H

VD

in

i

I
o
an
%

o

K
§
B  2

"33

1
E

1
u

1
CO

1  "
1

o

+

T

o

u
' Ł .

1

10

J
1

t

o

a.

O

•S

• f

O

1

5

o

o
"u1

co

Ł

1

•

1

T

o?

+

o

o

^ j

1
°5

@
CO

T

i

I

1

O

+

1 i

hi
CO

-

CO
11

li

3
[ 5 8 4 ]



AN ALIZ A  STATYCZNA  KONSTRUKCJI 585

F O R T R AN   1900  i  u ru ch o m io n o  go  n a  maszynie  cyfrowej  serii  O D R A  1300.  Obliczać
moż na  dowolne  kon strukcje  pł askie  obcią ż one  przestrzen n ie,  skł adają ce  się   z  elem en t ó w:

prę towo- pł ytowych  (o  elem en tach  prostoką tn ych ),
—  prę towych  (ruszty),
—  pł ytowych.

P rę ty  mogą   być  o  dowoln ym ,  lecz  stał ym  przekroju,  a  w  poł ą czen iu z  pł ytą   stan owią
jej  oż ebrowanie  lu b  wzm ocn ien ie  brzegów.  Obcią ż enie  zewn ę trzne  m oże  być  stał e  cią głe
lub  skupion e —  przykł adan e  w  wę zł ach elementów.  W  dan ym  d o  program u  n ależy  p o d a ć
dyskretne  wielkoś ci  geom etryczn e  prę tów  i  pł yty. J ako  wyniki  otrzym uje  się   przem ieszcze-
n ia wę zł ów  kon strukcji  (u

z
,x,  a

x
,  a

y
)  oraz  sił y  wewn ę trzne  w  elem en tach  prę towych  i pł y-

towych.  P o n ad t o  program  P P LY  liczby  w  każ dym  elem encie  prę towym  n ap rę ż en ia:

—  gną ce  (er9),
—  n orm aln e  wycinkowe  (a

m
  —  pochodzą ce  od  bim om en t u ) ,

—  styczne  do  San - Ven an ta  ( T „ ) ,
—  styczne  wycinkowe  ( r m ) ,
—  zredukowan e  (<r2 —  wg  h ipotezy  H ubera),
oraz  w  elemencie  pł yty  n aprę ż en ia  a

x
,  a

y
,  r

xy
  i  zredukowan e  a

z
.

4.  Przykł ady  liczbowe

N a  podstawie  opracowan ego  program u  rozwią zano  szereg  prostych  przykł adów  licz-
bowych. Jako pierwszy przedstawion o przykł ad ram y pł askiej  (rys. 5) obcią ż on ej  przest rzen -
nie,  której  wytrzym ał ość  obliczon o  dwiema  m et o dam i, powyż szą   z  uwzglę dn ien iem  skrę -
cania  nieswobodnego  (P P LY)  oraz  bez  skrę can ia  n ieswobodn ego  (WAT - K M ).  Wyn iki
obliczeń  wedł ug  m etod  został y  przedstawion e  w  tablicach  7  i  8.

Analiza  n aprę ż eń  stycznych  (tabl.  7)  wykazał a,  że  system  WAT- KM   daje  zawyż one
wartoś ci  n aprę ż eń  stycznych  (w  t ym  przypadku  o 61,5%) przy jedn akowym  lu b  m n iejszym
momencie  skrę cają cym  w  po ró wn an iu  z  przedstawion ą   metodą   obliczeń .  R ozbież n ość

Q  rodzaj  profilu

I  I nr  prę ta

Rys.  5.  M odel  ramy  skrę canej.



T a b e l a  7.

Z estawienie  wewnę trznycli  momentów skrę cają cych  i  naprę ż eń  stycznych w poszczególnych elementach ramy
(porównanie  z  nieswobodnym  skrę caniem).

N r
p rę ta

1

2

3

4
5

6

7
8

9

P P LY

[kG cm ]

- 798,0
—798,0

959,1
959,1

- 7 9 8 ,0
- 798,0

959,1
959,1

- 4 8 9,3

[kG cm ]

- 1600,5
- 1600,5

1920,6
1920,6

- 1600,5
- 1600,5

1920,6
1920,6

- 3193,6

M*
[kG cm ]

- 2398,6
- 2398,6

2879,8
2879,8

- 2398,6
- 2398,6

2879,8
2879,8

- 3683,0

KM - WAT

M
s
  •

[kG cm]

- 1129,5
- 1129,5

2882,9
2882,9

- 1129,5
- 1129,5

2882,9
2882,9

P P LY

[M Pa]

40,59
40,59
23,50
23,50
40,59
40,59
23,50
23,50
23,0

[M P a]

8,3

8,3

3,68
3,68
8,3

8,3

3,68
3,68

[M Pa]

48,9
48,9
27,18
27,18
48,9
48,9'
27,18
27,18

KM- WAT

[M Pa]

58,9
58,9
70,6
70,6
58,9
58,9
70,6

-   70,6
—

[%]

- 16,9
- 16,9
- 61,5
- 61,5
- 16,9
- 16,9
- 61,5
—61,5

*M,  = - •  1 0 0 ;

P P LY  —  system  o p art y  na  m etodzie  elem entów  skoń czonych  z  uwzglę dnieniem  skrę can ia  nieswobodnego,
K M   —  system  o p art y  na  m etodzie  elementów  skoń czon ych  (bez  skrę cania  n ieswobodn ego)  opracowan y  przez  K M S  i  Wytrz.

M a t .  WAT.

T a b e l a  8.

Z estawienie  maksymalnych  naprę ż eń normalnych i  zastę pczych  w  elementach ramy  skrę tnej
(porównanie  z  nieswobodnym  skrę caniem).

N r
p r ę ta

1

2

3

4

5

6

7

8
9

M P a

7,389
7,389
1,99
1,99
7,389
7,389
1,99
1,99
0,00

P P LY

M P a

237,1
237,1

75,39
75,39

237,1
237,1
75,39
75,39

276,87

K
M P a

244,5
244,5

77,38
77,38

244,5
244,5

77,38
77,38

276,87

KM- WAT

<y,  — o„
M P a

7,397
7,397
2,576
2,576
7,397
7,397
2,576
2,576
0, 0

^ ( P - K ) ii

/ o

96,9
96,9
96,7
96,7
96,9
96,9
96,7
96,7

100

P P LY

M P a

258,7
258,7
90,57
90,57

258,7
258,7
90,57
90,57

KM - WAT

M P a

102,3
102,3
122,4
122,4
102,3
102,3
122,4
122,4
—

/ o

152,8
152,8

- 26,0
- 26,0
152,8
152,8

- 26,0
- 26,0

100; 100;  a„ =

<fg —  n ap rę ż en ia  gn ą ce,  tfw  —  n o r m a ln e  n aprę ż en ia  wycinkowe  (pochodzą ce  od  n ieswobodn ego  skrę can ia),  at—naprę ż enia
zastę pcze  wg  h ipotezy  H u bara.

.  [386]



I
AN ALIZA  STATYCZNA  KON STRUKCJI  587

t a  wynika  stą d,  że  przy  skrę can iu  nieswobodnym  prę tów  cien koś cien n ych  cał kowit y  m o -

m en t  skrę cają cy  jest  równy

(4.1.)  Afs  =

m om en towi  de  San  Ven an ta  (M
v
)  i  m om en towi gię tn o- skrę tn emu  (M

a
),  n a t o m ia st  w  m e -

todzie  bez  skrę can ia  n ieswobodn ego  (system  WAT- KM)  przyjmuje  się ,  że  m o m e n t  c a ł ko -

wity  skrę cają cy

(4.2)  M
s
=  M

v
,

jest  równy  m om en towi  de  San  Ven an ta,  w  wyniku  czego  otrzymuje  się   n ieadekwatn e  n a -

prę ż enia  styczne.  Z  porówn an ia n aprę ż eń  n orm aln ych  (<r„) obu  m et o d  w  t abl.  8  wynikają

duże  rozbież noś ci,  pon ieważ  w  m etodzie  z  uwzglę dn ien iem  skrę can ia  n ieswo bo d n ego

są   one  równe

(4.3.)  a
n
=o

g
+a

m
,

tzn .  sumie  n aprę ż eń  gn ą cych  (cr
g
) i  wycinkowych  (<r

m
) —  pochodzą cych  o d  bim o m en t u .

W  m etodzie  (WAT- KM)  bez  skrę can ia  nieswobodnego  n aprę ż en ia  n orm aln e  są   równ e

n aprę ż en iom  gną cym

(4.4)  a
n
  =   o

g
?

Z  porówn an ia  n aprę ż eń  zastę pczych  (tabl.  8)  wyn ika,  że  bł ą d  w  obliczen iach  p ro wa-
dzonych  bez  uwzglę dnienia  teorii  prę tów  cien koś cien n ych  jest  zn aczn y  i  osią ga  w  t ym
wypadku  152,8%.  Oprócz  tego  n ależy  zwrócić  uwagę   n a  m aksym aln e  n aprę ż en ia  (prze-
krój  niebezpieczny),  kt ó re  wedł ug  obu  m etod  są   w  róż n ych  przekrojach  ram y  (rys.  5).

D rugim  przykł adem  jest  p ł y t a  k w a d r a t o w a  i z o t r o p o w a  (rys.  6),
podparta  w  n aroż ach i  obcią ż ona  równ om iern ie  (q).  W  t abl.  9  p o ró wn an o wyn iki  an alizy

.

Rys.  6.  Pł yta  kwadratowa  izotropowa  obcią ż ona równomiernie.

metodą   elem entów  skoń czon ych  otrzym an e  p ro gram em  P P LY  z  przykł adem  Z ien kie-
wicza  [7]  i  in n ym i  rozwią zan iami  przybliż onym i.  W  t ym  przypadku,  gdzie  kon cen t racja
sił   w  n aroż ach  kom plikuje  zagadn ien ie,  uzyskan o  dosyć  dobrą   zgodn ość  zaró wn o  p rze-
mieszczeń, ja k  i n aprę ż eń. P rzy  bardziej  zagę szczonej  siatce podział u n a elem en ty  uzyskują
się  wię kszą   dokł adn ość i zbież n ość wyników.  •   x

T r z e c i m  p r z y k ł a d e m  l i c z b o w y m  jest  kon strukcja  p rę t o wo - p ł yt o wa
skrę cana  asym etrycznie.  P rzedstawion ą   kon strukcję   n a rys.  7 podzielon o  n a  trzy  elem en t y



588 E .  RU SIŃ SKI

T a b l i c a  9.

Zestawienie  przemieszczeń  kwadratowej  pł yty liczone  róż nymi metodami.

P P LY

Zienkiewicz

M arcus
Lee  i  Ballesteras

P P LY

Obcią ż enie

Siatka

2 x 2
4 x 4
2 x 2
4x4

Dbcią ż enie

2 x 2
4 x 4

cią głe  (g)

u
z
  (ugię cie)

Punkt  1

0,0145
0,01677
0,0126
0,0165
0,0180
0,0170

sił ą   skupioną

0,07695
0,09066

P unkt  2

0,0217
0,0249
0,0176

.  0,0232
0,0281
0,0265

M noż nik

: " '

(P)

0,14662
0,15977

P
1

Punkt  1  —  ś rodek  boku, punkt 2 —  ś rodek  ptyty, D i  —  sztywność  pł yty.

P= 98,6  N

Rys.  7.  Konstrukcja  prę towo- pł ytowa  skrę cana  asymetrycznie.

prę towo- pł ytowe  (2.3.2.)  Analizę   wytrzymał oś ciową   przeprowadzono  MES  z  uwzglę -
dnieniem  skrę cania  nieswobodnego  programem  PPLY.  Ze  wzglę du  na  brak  w  litera-
turze  podobnej  analizy  cienkoś ciennej  konstrukcji  prę towo- pł ytowej,  w  tabl.  10  porów-
nano wyniki  przemieszczeń wę zła pod siłą  skupioną  dla trzech przypadków konstrukcji: pły-
towej,  ramowej  i  ramowo- pł ytowej.

Przeprowadzona analiza trzech przykł adów  wykazał a, że  przedstawiona  metoda  obli-
czeń  cienkoś ciennych konstrukcji  prę towo- pł ytowych  daje  wyniki  zadawalają ce.  Uwzglę d-
nienie  dodatkowego  stopnia  swobody  x  (deplanacja  przekroju  prę ta  cienkoś ciennego),
pozwala  n a  osią gnię cie  wyników  zbliż onych,  odpowiadają cych  rzeczywistym  w  stosunku
do tradycyjnej  M ES (tabl. 7, 8). Ponadto wyprowadzona  macierz sztywnoś ci  pł yty (tabl. 1)
w  porównaniu  z  wynikami  n p. Zienkiewicza  (tabl. 9)  przy  tej  samej  siatce  podział u daje
wyniki  dokł adniejsze.  D la  podział u  na  elementy  2 x 2  róż nica  wyników  wynosi  18%,
a  przy  4 x 4  już  6,8%  (tabl. 9). Róż nice wyników  maleją   przy  wzroś cie  liczby  elementów,
n a jaką   konstrukcja  został a podzielona. N atomiast jest bardzo waż ne, że program  PPLY



AN ALIZ A  STATYCZNA  KONSTRUKCJI 589

T a b l i c a  10.

M aksymalne  przemieszczenia  trzech  typów  konstrukcji.

Przemieszczenia
w  wę ź ie  n r  8

x  [l/ m]

a*[rad]

a , [rad]

konstrukcja

ramowa

- 0,33685

- 0,00000233

- 0,00420937

0,0011192

pł ytowa

- 33,01587299

0,0

- 0,31269841

0,11005291

ramowo- pł ytowa

- 0, 33344

- 0,00000231

- 0,00416688

0,0011079

M noż nik

io - 2

102

—

—

dla  duż ych  elementów  daje  wyniki  dokł adniejsze  od  innych  metod,  a  tym  samym  po-
twierdza  moż liwość  stosowania  programu  do analizy  wytrzymał oś ciowej  cienkoś ciennych
konstrukcji  z  podział em  na  elementy  prę towo- pł ytowe.  Taki  podział   dla  konstrukcji
powtarzalnych  pozwala  w  znaczny  sposób  skrócić  efektywny  czas  liczenia  i  nie  zajmuje
tyle pamię ci EMC, jak  przy uż yciu  systemu ASKA,  SEZAM- 69 lub  KM- W  AT, w których
oddzielnie  są   liczone  macierze  sztywnoś ci  poszczególnych  prę tów  i  pł yt.

- Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  Y. Z.  VLASOV,  T onkostennye  uprugie sterzhni.  G osud.  izdat.  fiziko- matem.  literatury,  M oskva  1959.
2.  J. H . AROYRIS,  D .  RAD AJ, Steifigkeitsmatrizen diinnwandiger  Stobe  undStabsysteme.  Ingenieur —  Archity,

N r  40/ 1971.
3.  E.  RU SIŃ SKI,  Obliczanie ram  samochodowych wedł ug  metody  elementów  skoń czonych  i  teorii prę tów

cienkoś ciennych, Technika  Motoryzacyjna  n r  1  i  2/ 78.
4.  E.  RU SIŃ SKI,  Analiza  konstrukcji  prę towo- tarczowych  metodą   elementów  skoń czonych.  M TiS,  zeszyt

2/ 1981.
5.  J. S.  PRZEMIEN IECKI,  T heory  of  Matrix  Structural  Analysis.  M cG raw- H ill  1968.
6  O. C.  ZIEN KIEWICZ,  Metoda  elementów skoń czonych.  Arkady,  Warszawa  1972.
7.  O. C.  ZIEN KIEWICZ,  Y.  K.  C H EU N G ,  T he finite  element method for  analysis of  elastic isotropic  and  ortho-

tropic slabs, P roc.  Inst.  Civ.  Eng.,  28,  s.  471 -  88,  1964.

P  e  3  M   M e

CTATIMECKH H  AH AJIH 3  CTEPJKHE- IIAHEJILHfclX KOH CTPYKirH fi  M ETOflOM
KOH E^H BIX  3JIEMEH TOB  C  Y^IETOM   CTECH fiH H OrO

B  pa6oTe  orracaH   ycoBepnieHCTBOBaiiHBiH   n o  cpaBH em n o  c  npiiMeHHeiwbiM   flo  CH X n o p
DJieiweHioB  fljia  anajneraa  TOH KOCTCH H LIX  cTep>KHenaHejiLHŁix  KOH crpyKipiH .

cn oco6  noflpa3fleneH H H   KOH C TP YKI I H H   Ha  crepacH e —  naH enBH Bie  ajieM em bij  c o c T o a m a e  H 3
H   crep H m en  Ha K p a a x,  a  TaioKe  on peflen eH a  M acrpim a  JKeTKocTH  TaKoro snemesxa  c yq eio M  CTec-

He'HHoro  KpjmeHHH.  O n p eflen en a  TaioKe  M aipim a  HanpSDKemnb H   BHeiUHaa  cruion raaH   H arpy3Ka  3Jie-
naH ejiH .  P a3pa6oTaH a  nporpaM M a  Ha H3Bn<e  O O P T P A H   1900  flJin  pac^ieia  TOH KOcreH H tK  K O H -

n aH ejit H t ix  H   crrep>KHe- naHejibHBix.

6  Mech.  Teoret.  i  Stos. 4/81



590  E .  RU SIŃ SKI

S u m m a r y

T H E  M E TH OD   OF   F I N I TE  ELEM EN TS I N   STATICAL  AN ALYSIS  OF   TH E
R OD - SH I ELD   CON STRU CTION , WITH   N ON - F REE  TORSION ,  TAKEN   IN TO

ACCOU N T

The  existing  finite  elements  method  has  been  improved  for  the  analysis  of  thin- walled  rod- shield
constructions.  T h e  rod- shield  construction  consist  of  a  thin  panel  framed  with  rods  on  all  sides.

The stiffness  matrix  of  such elements  has been  determined by  taking  into account the non- free  torsion
of  the  rods.  The  stress- matrix  an d  external  continous  loading  matrix  of  an  element  have  been  also  deter-
mined.  Th e  program  P P LY  in  F ORTRAN   1900  language  for  calculations  of  thin- walled  constructions
has  been  worked  out.  T h e  program  applies  to  calculation  of  rod  constructions,  rod- shield  constructions
an d  panel  constructions.  The  program  has  been  tested  on  computer  Odra  1300.  The  paper  has  been
illustrated  with  examples  to  verify  th e  total  procedure.

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  22  paź dziernika  1979  roku.