Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  18  (1980) PRZEG LĄ D   KRYTYCZN Y  M E TOD   AN ALIZY  OSIOWO- SYMETRYCZN EGO PRZEPŁYWU P R Z E Z  UKŁADY  ŁOPATKOWE  MASZYN   WIRN IKOWYCH JOACH IM   J.  O T  T E  ( G L I WI C E ) 1. Wstę p 1.1.  G wał town y  rozwój  teoretyczn ych  m etod  analizy  przepł ywu  pł ynu  przez  ukł ady ł opatkowe  maszyn  wirn ikowych  jaki  m iał   miejsce  w  ostatnich  25  latach  i  jaki  dokonuje się   obecnie  spowodował ,  że badan ia  teoretyczne n a równi  z badan iam i eksperymentalnymi kształ tują   postę p  w  dziedzinie  analizy  zjawisk  przepł ywu.  I stotn ą   przyczyną   powodują cą zasadnicze jakoś ciowe  zm ian y w zakresie  metod obliczeniowych  był o pojawienie  się   szybko- dział ają cych  elektronicznych  m aszyn  cyfrowych.  Otworzył y  się   tu  zupeł nie nowe  perspek- tywy  wynikają ce  bezpoś redn io  ze  wzrostu  iloś ci  i  ś cisł oś ci  informacji  jakie  m oż na  uzyskać z  bad ań  teoretycznych.  Stał o  się   moż liwe  uzyskanie  rozwią zań  numerycznych  znacznej liczby  problem ów  dla  zł oż onych  geometrii  ukł adów  i  przy  niezbyt  wielu  zał oż eniach upraszczają cych. D o  niewą tpliwie  podstawowych  problem ów  h ydro-   i  aerodynamiki  maszyn  wirniko- wych  (turbin ,  sprę ż arek,  po m p  i  wentylatorów)  należy  zaliczyć  badan ia  przestrzennego n ieustalon ego  przepł ywu  pł yn u  przez  ukł ady  ł opatkowe  tych  maszyn  z  uwzglę dnieniem rzeczywistych  wł asnoś ci pł yn ów. Z ł oż on ość tego  zagadnienia, a przede wszystkim trudnoś ci stworzen ia  m odelu  m atem atyczn ego  i  n astę pn ie jego  rozwią zania  powodują   konieczność czynienia  pewnych  uproszczeń,  polegają cych  zwykle  n a  wyodrę bnieniu  i  zachowaniu zasadniczych  cech  zjawiska  a  pominię ciu  mniej  istotn ych .  Powszechnie  stosowana  kon- cepcja  uproszczenia  równ ań  ruch u  pł ynu  lepkiego,  dają ca  się   ze  wzglę du  n a  duże  liczby R eyn oldsa,  zastosować  w  teoretycznych  badan iach  przepł ywu  w  maszynach  wirniko- wych,  o part a jest  n a  poję ciu  warstwy  przyś ciennej  i  polega  na  wyróż nieniu  w  przepł ywie dwóch  obszarów,  a  m ian owicie:  obszaru  strum ienia  gł ównego  gdzie  pł yn  traktuje  się   jako nielepki  i  obszaru  warstw  przyś ciennych,  gdzie  pł yn  traktuje  się  jako  lepki.  D alsze uprosz- czenia  to  rozpatrywan ie  przepł ywu  ja ko  ą uasi- trójwymiarowego,  gdzie  obraz  przepł ywu otrzymuje  się   w  wyn iku  iteracyjnego  procesu  rozwią zywania  dwóch  zadań :  a)  przepł ywu pł yn u przy  zał oż eniu jego  osiowej  symetrii, czyli  rozpatruje  się  przepł yw na powierzchniach typu  Sa  (rys.  1), b)  opł ywu palisady  profili  n a  obrotowych  powierzchniach prą du  (powierz- chnie  typu  Si)  uzyskan ych  w  rezultacie  rozwią zania  poprzedniego  zadan ia. W  aerodyn am ice  form uł uje  się   dwa  odrę bne  zadan ia: 1)  Z adan ie  podstawowe  pierwotn e,  polegają ce  n a  znalezieniu  param etrów  przepł ywu przy  zadan ych  cechach geometrycznych  ukł adu  przepł ywowego.  Inaczej jest to zagadnienie analizy  przepł ywu. 26  J.  OTTE 2)  Z adan ie  odwrotn e,  polegają ce  n a  wyznaczeniu  cech  geometrycznych  ukł adu  prze- pł ywowego  przy  zadanych  z  góry  param etrach  przepł ywu.  U ż ywając  innej  nazwy  jest  to zadan ie  projektowe  lub  też  zagadnienie  syntezy  przepł ywu. Wart o  podkreś lić,  że  o  ile  zagadnienie  analizy  jest  dobrze  postawion e,  tzn .,  że  dla danej  geometrii  ukł adu  przepł ywowego  uzyskuje  się   tylko  jedn o  rozwią zanie,  to  zagadnie- nie  syntezy  nie  ma  jednoznacznego  sformuł owania,  gdyż  ż ą dane  param etry  przepł ywu mogą   być  zrealizowane  najczę ś ciej  przez  wiele ukł adów  o róż n ych  geom etriach. N iniejszy  przeglą d  obejmuje  jedyn ie  prace  dotyczą ce  zagadn ien ia  analizy  osiowo- symetrycznego  przepł ywu  pł ynu  n a  powierzchniach  typu  S j.  R ozważ an ia  ograniczone są   tu  do  obszaru  strumienia  gł ównego,  przy  czym  obszar  ten  rozcią ga  się   n a  podobszary zaję te  wień cami  ł opatkowym i  jak  i  podobszary  mię dzywień cowe  (przestrzenie  mię dzy- wień cowe).  Rozpatruje  się   tu  zarówno  pojedyncze  wień ce  ł opatkowe, stopn ie ja k  i  ukł ady ł opatkowe  (wielostopniowe)  maszyn  wirnikowych  o  dowolnej  ich  geometrii. 1.2.  Zdecydowana  wię kszość  prac  z  dziedziny  m aszyn  wirnikowych  wykon ywan a  jest w  pracowniach  i  laboratoriach  wielkich  firm  przemysł owych  wzglę dnie  w  in stytutach naukowych  n a  zlecenie  tychże  firm.  Biorą c  t o  pod  uwagę ,  zrozum iał ym  staje  się   fakt, że  pewna  czę ść  prac jest  n ieopublikowan a  lub  też  zastrzeż ona  do  uż ytku  wewnę trznego. Stą d  też  jakkolwiek  mniejszy  przeglą d  prac  obejmuje  praktyczn ie  wszystkie  dostę pne pozycje  literatury  z  zakresu  analizy  przepł ywu  osiowo- symetrycznego  w  m aszyn ach wirnikowych,  to jedn akże  nie może  on preten dować  d o  kom pletn oś ci. W  tym  miejscu  należy  wyjaś nić  pewne  nieś cisł oś ci  n om en klaturowe,  gdyż  bardzo czę sto  poję cia:  przepł yw  przestrzenny,  trójwymiarowy,  quasi- trojwymiarowy,  quasi- przestrzenny,  osiowosymetryczny  bywają   uż ywane  zam iennie, co  nie zawsze jest  poprawn e i  najczę ś ciej  jest  ź ródł em  nieporozum ień. W  m iarę   rozwoju  aerodyn am iki  maszyn  przepł y- wowych  obserwuje  się   jedn ak  dą ż enie  do  bardziej  ś cisł ego  i  precyzyjnego  posł ugiwan ia się   okreś lonymi  poję ciami,  zgodnie  z  ich  rzeczywistym  znaczeniem.  P rzykł adem  m oże  tu być  poję cie  przepł ywu  przestrzennego,  które  pojawił o  się   w  momencie przejś cia  od  m odelu jednowymiarowego,  gdzie  obliczenia  prowadzon e  n a  ś redniej  ś rednicy  kan ał u  przepł ywo- wego,  do  modelu  dwuwymiarowego,  który  w  gruncie  rzeczy  jest  osiowo- symetrycznym. O  przepł ywie  przestrzennym  trójwymiarowym  m oż na  mówić  wtedy  gdy  wielkoś ci polowe  opisują ce  ten przepł yw  są   funkcjami  trzech  wspórzę dn ych 0  =   # ( r , 2  =  ®2 [r,  'k Jako  krzywą   ł ą czą cą   poszczególne  pun kty  linii  prą du  mię dzy  wień cami  propon uje  się   tu linię   sinusoidalną .  Wu  w  dyskusji  do  tej  pracy  krytycznie  ocenił   moż liwość  aproksym acji linii  prą du  tylko  n a podstawie  rozkł adu param etrów  w  szczelinie  mię dzywień cowej. M ETOD Y  ANALIZY  PRZEPŁYWU   W  MASZYNACH   WIRNIKOWYCH 33 W  innej  pracy  [8]  bazują cej  n a  podobn ym  uję ciu  zagadnienia,  krzywiznę   linii  prą du okreś la  się   przy  pom ocy  poch odn ych  dc r jdr  i  dc r / dz  wprowadzają c  jednocześ nie  pewne dodatkowe  wielkoś ci  szacowan e  n a  podstawie  bad ań  doś wiadczalnych.  Celem  uwzglę d- nienia  strat  przepł ywu  rozkł ady  prę dkoś ci  uzyskane  dla  przepł ywu  izentropowego  mnoży się   t u  przez  współ czynniki  prę dkoś ci. W  pracy  [45]  p o d a n o  równ an ie  równowagi  promieniowej,  w  formie  bezwymiarowej, przy  zastosowan iu  liczb  M ach a.  D la  sumarycznego  uję cia  wpł ywu  tarcia  wprowadzono uś redn ioną   p o  obwodzie  wielkość  strat.  Krzywiznę   okreś lono  zgodnie  z  postę powaniem podan ym  przez  T rau pela.  N a  podstawie  analizy  uzyskanych  wyników  stwierdzono m .in ., że do  aproksym acji  przebiegu  linii prą du  w miejsce  funkcji  cos bardziej  odpowiednia był aby  funkcja  c o s2 . D o  najbardziej  wyczerpują cych  prac  opartych  n a  hipotezie  falistego  sinusoidalnego przepł ywu  należą   prace  BAMMERTA  i  F IED LERA  [2], [3], w  których,  wychodzą c  z  podanych ja k  i  poprzedn io zał oż eń, krzywiznę   linii  prą du  okreś la  się   za  pomocą   nastę pują cej  formu- ł y (2.10) 1 Aa gdzie poszczególne  wielkoś ci  objaś n iono  n a  rys.  4. a < Ul X \ b Rys.  4 W  ram ach  m odelu  pł yn u  idealnego  straty  ujmuje  się   tu  poprzez  promieniowy  rozkł ad gradien tu  en tropii.  U wzglę dn ia  się   tu  także  gradienty  energii  cał kowitej.  W  pracy  [2] zał oż ono  dodatkowo,  że  w  rozpatrywan ym  przekroju  dpjdz  =  0. R ówn an ie  koń cowe  sł uż ą ce  d o  okreś lenia  rozkł adu  param etrów  przepł ywu  wzdł uż prom ien ia  uzyskan o  w  nastę pują cej  postaci: (2.11) w  =  C+ gdzie przez  C ozn aczon o stał ą  cał kowan ia. Powyż sze  równanie  wraz z równaniem cią gł oś ci rozwią zuje  się   n a  drodze  kolejnych  przybliż eń. 3  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1/80 34  J .  O T T E Oprócz  hipotezy  sinusoidalnego  przebiegu  linii  prą du  przyjmuje  się   niekiedy,  że moż na ją   przedstawić  wielomianem  odpowiednio  wysokiego  stopn ia, ja k  to  uczyn ion o  w  pracy [67],  gdzie  zakł ada się   w  tym  celu  wielomian  algebraiczny Istnieją   również prace  [11],  [71], w których dą ż ono d o chociaż by przybliż onego  uwzglę d- nienia oddział ywania ł opatek. U dał o  się  to w stosunku  do wień ców stojanowych,  dla których dc przy  szeregu  uproszczeniach,  mię dzy  innymi  przy  zał oż eniu, że  sinyc,,,- —-  =   0  wypro- wadzono  formuł y  okreś lają ce  rozkł ad  param etrów  za  takim i  wień cam i.  Wydaje  się ,  że metody  te  mają   wię kszą   wartość  poglą dową   aniż eli  praktyczn ą . Podstawową   wadą   wyż ej  opisanych  m etod jest  t o ,  że  param etry  okreś lają ce  geometrię linii  prą du  otrzymuje  się   n a  podstawie  rozkł adu param etrów  przepł ywu  w  przestrzeniach mię dzywień cowych,  podczas  gdy  w  przeważ ają cej  mierze  ukł ad  przepł ywowy  wypeł niają wień ce ł opatkowe. 2.4.  Model przepływu  przez  wień ce  o długich kanałach  mię dzyłopatkowych.  W  odróż n ien iu  od wyż ej  rozpatrywanych  modeli  przepł ywu,  gdzie zagadnienie  stawiane jest  w  przestrzeniach mię dzywień cowych,  w  niniejszym  przypadku  analizuje  się   przepł yw  w  wył ą cznie  w  prze- strzeni mię dzył opatkowej. Stą d  w równ an iach równowagi  pojawia  się   czł on  odpowiadają cy oddział ywaniu  ł opatek  n a  strumień.  Odpowednie  równ an ie  dla  kierun ku  prom ieniowego przyjmuje  wię c  postać: (2.12)  ± |._ 4  +   4 ^ gdzie:  F 2r   jest  skł adową   promieniową   sił y  oddział ywania  ł opatek.  R ozwią zania  poszukuje się   przy  zał oż eniu  osiowej  symterii  przepł ywu  co  inaczej  odpowiada  analizie  przepł ywu przez pewien  „ fikcyjny"  wieniec  o nieskoń czonej  liczbie ł opatek. Jakkolwiek  poję cie  „ dł ugiego kan ał u  m ię dzył opatkowego"  nie jest  ś ciś le  sprecyzowane to  moż na  uznać,  że  dotyczy  to  wień ców  gdzie  wzglę dna  podział ka  i  wysokość  speł niają relacje  tjl  <  0,8;  hjl  <  0,8. Z agadnienie  analizy  przepł ywu  przy  tak  sformuł owanym  m odelu  został o  postawion e w  pracy  [18] jak  również  w  [54] i  [55], gł ównie  dla  wień ców  typu  osiowo- promieniowego o  dł ugich  kan ał ach  prowadzą cych  czynnik.  P rowadzą c  rozważ an ia  w  ukł adzie  współ - rzę dnych  norm alnych  (naturalnych)  koń cowe  równ an ia  przepł ywu  otrzym an o  t u  w  po- staci (2.13)  ^ L +Pw  +  Q = o , gdzie przez P  i Q  oznaczono odpowiednie wyraż enia  funkcyjne. Wedł ug powyż szej  metody  w  pracy  [23] przeprowadzon o  an alizę   przepł ywu  w  wirniku promieniowo- osiowej  turbiny wodnej  typu  F ran cisa, n atom iast w pracy  [62] przeprowadzo- n o  analizę   param etrów  przepł ywu  w  wień cu  wirnikowym  stopn ia  sprę ż ają cego  z  merydio- nalnym  przyś pieszeniem  strumienia,  również  charakteryzują cym  się   stosun kowo  dł ugim kan ał em  mię dzył opatkowym. METOD Y  ANALIZY  PRZEPŁ YWU   W  MASZYNACH  WIRNIKOWYCH 35 P rowadzen ie  obliczeń  w  ukł adzie  współ rzę dnych  krzywoliniowych  (naturalnych) jest  niezmiernie u t ru d n io n e przez  zm iany  poł oż enia pun któw  wę zł owych  siatki  przepł ywu w  trakcie  kolejnych  iteracji.  P roblem  uproszczenia  procedur  obliczeniowych  przez  wpro- wadzenie  quasi- ortogon aln ej  siatki  przepł ywu  (rys.  5)  rozpatrzon o  w  pracy  [25],  [48], \ \ ił Ą m- n  krzywoliniov uktad  naturalny X m- q  uWad quasi- ortogonalny \ Rys.  5 [63],  [87].  N at o m iast  cał kowan ie  równ ań  wzdł uż  dowolnych  krzywych,  w  zastosowaniu do  analizy  param etrów  strum ien ia  w  wirnikach  turbin  wodnych,  przedstawiono  w  pra- cy  [101]. W  wyż ej  wymienionych  pracach  przepł yw  traktowan y  jest  przeważ nie  jako  izentro- powy,  a  także ja ko  hom oen ergetyczn y.  Ogólniejsze  uję cie  zagadnienia  analizy  z  uwzglę d- nieni  strat  przepł ywu  jest  rozpatrywan e  przez  szereg  autorów  [21],  [35],  [48],  [87],  N ie- odwracaln ość  zjawiska  m oż na  ująć  przez  aproksymację  przemian  rzeczywistych  politro- pam i  [48], wzglę dnie  zadając  rozkł ad współ czynnika  strat  przepł ywu  [21],  [35] lub entropii [87].  W  pracy  [48], przy  zastosowan iu  quasi- ortogonalnego  ukł adu współ rzę dnych,  otrzy- m an o  w ten  sposób  zasadn icze równ an ie przepł ywu w  formie dw (2.14)  w—j—  =  Aw+Bw  + C  • v   dq gdzie  q  oznacza  kierun ek  wyznaczony  przez  dowolną  krzywą,  zaś  A,  B,  C  są  wyraż eniami funkcyjnymi. Otrzym an e  n atom iast  w  pracy  [35]  równ an ie dw  „ (2.15) gdzie: w-dn = 0, sin2/ 9  ctg/ ?Dsin/ ?cos/ ?  .  „   .  „   .  .  „   dcosB P  =   — - £-   +   ttP?  ^  <-  - f- (ctg/ ?„ smy- tg< 5cosy)sinj3- Q r 8 w dn  2  dn dm w20  8C 3* 36  J.  OTTE po d o bn e  w  formie  do  poprzedniego,  stanowi  rezultat  uogóln ien ia  m odelu  przepł ywu w  stosun ku  do  zagadnienia  rozpatrzonego  w  pracach  [18],  [54],  [55]. W  przedstawionych  metodach  przepł yw  analizuje  się   wył ą cznie  n a  odcin ku  wień ca ł opatkowego.  Jest  to jednocześ nie  jedn a  z  gł ównych  przyczyn  znacznych  bł ę dów  w  okre- ś leniu  param etrów  w  strefach  brzegowych  przy  krawę dzi  wlotowej  i  wylotowej  ł opatek. N a  przepł yw  w  tych  strefach  bardzo  istotnie  wpł ywają   warun ki  panują ce  w  obszarach są siednich,  co  w  obliczeniach  nie  znajduje  swojego  odbicia.  T o ,  że  m etody  te  został y naj- wcześ niej  wykorzystane  praktycznie  wynika  z regularn ych  kształ tów  o  znacznej  krzywiź nie linii  tworzą cych  kanał y przepł ywowe  w przekroju  m erydion aln ym  (osiowym)  uł atwiają cych wyznaczenie  geometrii  linii  prą du  i  przyś pieszają cych  obliczenia. 2.5.  Ogólny  model przepływu — metody krzywizny  linii  prą du.  P od poję ciem  ogólnego  modelu przepł ywu  należy  rozumieć  model  bazują cy  n a  równ an iach  ruch u  Eulera  w  których  od- dział ywanie  ł opatek  n a  strumień  m odelowan e  jest  odpowiednią   sił ą   masową ,  przy  czym zagadnienie  stawia  się   w  cał ym obszarze  przepł ywu  tzn., że  przepł yw  rozpatruje  się   jedn o- cześ nie  tak  w  przestrzeniach  mię dzywień cowych  jak  i  m ię dzył opatkowych  dla  dowolnej geometrii  ukł adu  przepł ywowego,  nie  czynią c  ż adn ych  wcześ niejszych  zał oż eń  o  charak- terze  rozwią zania. W  przybliż ony  sposób  ujmuje  się   tu  także  dyspację   energii  zwią zaną   ze  stratam i  prze- pł ywu.  Obecnie  we  wszystkich  placówkach  zajmują cych  się   badan iam i  zjawisk  przepł ywu usilnie  dą ży  się   do  praktycznego  zrealizowania,  w  formie  odpowiedn io  uniwersalnych programów  obliczeniowych  n a  E M C ,  m etod  analizy  wedł ug  przedstawion ego  wyż ej modelu  przepł ywu. Jednym  z  trudniejszych  problem ów  w  m etodach  bazują cych  n a  poję ciu  linii  prą du jest  wyznaczenie  jej  geometrii  n a  podstawie  poł oż en ia pun któw  wę zł owych  w  poszczegól- nych  przekrojach  obliczeniowych.  P oszukuje  się   tu  funkcji  aproksym ują cych  n a  których m oż na by  wykonać  m.in. takie operacje  analityczne jak  róż n iczkowan ie  z rozsą dną   dokł ad- noś cią.  M etody  te  zwane  są   m etodam i  „ krzywizny  linii  p r ą d u"  (stream line  curvature m ethod)  [22],  [25],  [33], lub  też  m etodam i  „cią gł oś ci  linii  p r ą d u"  (stream line con tin uation m ethod)  [13]. N ależy  zwrócić  tu  uwagę ,  że  nazwa  metody  krzywizny  linii  prą du  ( M K L P )  pojawił a się   dopiero przy  rozwią zywaniu  ogólnego  m odelu  przepł ywu, jakkolwiek  poję cie  krzywizny linii  prą du  wystę puje  także  w  m etodach  bazują cych  n a  prostszych  m odelach  (uogóln ion y model  stopnia  stoż kowego,  model  przepł ywu  falistego,  m odel  przepł ywu  przez  wień ce ł opatkowe  o  dł ugich  kan ał ach ).  N azwa  t a  nie  w  peł ni  oddaje  wię c  specyfikę   m etody  i  we- dł ug  autora  poprawniejsza  był aby  nazwa  m etoda  cią gł oś ci  linii  prą du,  kt ó ra  uż yta  został a w  pracy  [13]. U wzglę dniając  jedn ak  fakt,  że  wcześ niej  utrwalił a  się   i jest  w  uż yciu  nazwa M K L P ,  również  w  dalszych  rozważ aniach  utrzym an a  zostan ie  t a  n azwa. W  literaturze  niewiele  jest  prac  dotyczą cych  analizy  przepł ywu  osiowo- symetrycznego i  ujmują cych  w  zadawalają cy  sposób  ogólny  model  przepł ywu.  D o  jedn ej  z  pierwszych należy  zaliczyć  pracę   STIEPAN OWA  [93],  w  której  mię dzy  in n ym i  rozpatrzon o  moż liwość uwzglę dnienia  strat  w równaniach przepł ywu,  a także  przean alizowan o  problem  dokł adn o- ś ci  opisu  osiowo- symetrycznego  ruchu  pł ynu  równ an iam i  uś redn ion ymi  wzglę dem  czasu i  współ rzę dnej  obwodowej. M ETOD Y  AN ALIZY  PRZEPŁYWU   W  MASZYNACH   WIRNIKOWYCH   37 D alsze  rozwinię cie  teoretycznych  podstaw  analizy  przepł ywu  osiowo- symetrycznego został o  dokonane  przez  SIROTKIN A  [86],  [87].  Zastrzeż enie  może  budzić  tu  realizacja zał oż enia  regularnoś ci  linii  prą du.  D otyczy  to  także  pracy  [82],  w  której  podan o  m.in. wyniki  analizy  przepł ywu przez  stopnie turbinowe. Stosunkowo  kompletny  model  przepł ywu  przedstawiono  w  pracach  [36],  [38]  w  od- niesieniu  do  czynnika  nieś ciś liwego,  oraz  w  pracy  [37] w  odniesieniu  do  pł ynu  ś ciś liwego, gdzie zagadnienie analizy uję to  w formie uwzglę dniają cej  wymogi programowania na EM C. Rozwią zanie  równania  koń cowego  typu (2.16)  c m d - ^ - +Ac? n   + Bc m +C  m  0, gdzie  A,  B,  C  są   wyraż eniami  funkcyjnymi  okreś lonymi  osobno  dla  każ dego  podobszaru przepł ywu, uzyskuje  się   tu  n a  drodze  iteracyjnej. Inny  sposób  przedstawienia  linii  prą du wykorzystano  w pracy  [44], gdzie merydionalne linie prą du bę dą ce funkcjami  współ rzę dnej osiowej  r,„   =   r„,(z) przy pomocy  relacji z (2.17)  t m =  (  —  ;  c z =f(r„„z) j  cz przetransformowano  n a  funkcję   czasu.  P odan e w  tej  pracy wyniki  eksperymentu  wskazują n a dostateczną  ich zgodność z obliczeniami. M etody  opierają ce  się   n a  poję ciu  linii  prą du  mają   tę   zaletę ,  że  w  równaniach  opisu- ją cych  przepł yw  ł atwo  moż na  wyodrę bnić  poszczególne  czł ony  dokonują c  fizycznej interpretacji  każ dego  z  nich.  Szeroka  analiza  wpł ywu  takich  czł onów  wystę pują cych w równaniu równowagi  promieniowej  został a przeprowadzona przez SMITH  A  [52]. W  przedstawionych  pracach  wię kszy  nacisk  poł oż ono  na  odpowiednie  uję cie  modelu matematycznego  mniej  n atom iast  uwagi  poś wię cono  praktycznej  realizacji  tych  metod i  konstrukcji  efektywnych  algorytmów  obliczeniowych,  co  przy  tego  rodzaju  metodach stanowi  nierzadko  o  ich  przydatnoś ci. Zagadnieniem  obliczeń  numerycznych  poś wię cono  rozdział   w  ksią ż ce  HORLOCKA [22],  pewne  procedury  podan o  także  w  pracach  [37],  [38], zaś  w  pracy  [49] rozpatrzono problem  numerycznego wyznaczania  charakterystyk  linii prą du wraz z analizą   stosowanych w  tym  wzglę dzie  m etod. M etoda  rozwią zywania  sformuł owanych  w  analizie  przepł ywu  zagadnień  brzegowych oparta  jest  w  ogólnoś ci  na  koncepcji  rozwią zywania  równań  róż niczkowych  „ metodą prostych ".  Z  góry  zał oż one  tu  iteracyjne  dochodzenie  do  ostatecznego  rozwią zania, polegają ce  na tym,  że  w jednym  kroku  obliczeniowym  zakł ada się   charakterystyki  geome- tryczne  linii  prą du  a  w  nastę pnym  się  je  oblicza  i  przyjmuje  do  kolejnego  kroku,  wył ania jedn akże  kompleks  problemów  zwią zanych  ze  stabilnoś cią   i  zbież noś cią   procedur  oblicze- niowych. W trakcie kolejnych  obliczeń iteracyjnych  obserwuje  się  tu zjawisko „ przenoszenia bł ę dów".  Tym  zagadnieniom, jak  i  problemom  zbież noś ci  i  dokł adnoś ci metod  obliczeń numerycznych,  wiele uwagi  poś wię cono  w  pracy  [61]. D la  zabezpieczenia  zbież noś ci  pro- cesu  iteracyjnego  wprowadza  się   najczę ś ciej  tzw.  współ czynniki  (czynniki)  relaksacji 38  J.  OTTE [22],  [37],  [72],  [73],  [82], przy  czym  znajdują  one  zastosowanie  przy  okreś leniu  nowych współ rzę dnych  linii  prą du i prę dkoś ci (1  18̂ gdzie: coj, ft)2 są czynnikami  relaksacji,  n atom iast  / i jest  n um erem  przybliż enia. Obecnie  metody  krzywizny  linii  prą du  bazują ce  n a ogólnym  m odelu  przepł ywu są w  dalszym  cią gu  rozwijane.  Istotnym  m om en tem jest  tu  ograniczenie  ze  wzglę du  n a  liczbę M ach a.  Jakkolwiek  bowiem  równanie  (2.16)  wraz  z  uzupeł niają cym  równ an iem  cią gł oś ci w  formie 'i m  =  2JI J  gc,„rcos zdą o (gdzie  q jest  współ rzę dną  ą uasi- ortogonalną)  tworzą  ukł ad  równ ań  róż n iczkowo  cał kowy, to  jednakże  fakt  zadawania  odpowiednich  warun ków  brzegowych  n a  wlocie  oraz  wyzna- czanie  charakterystyk  geometrycznych  linii  prą du  n a  podstawie  wszystkich  pun któw wę zł owych  danej linii powoduje,  że ukł ad ten m a ch arakter „ eliptyczn y", czyli  poprawn ość metody jest  dotrzymywana  dla  liczb  M ach a M, n   =  c m ja  <   1.  Z e wzglę du  n a  t o , że  ograni- czenie  to  nie jest  okreś lone  „ jawn ie", w n iektórych  pracach  [33]  propon uje  się  stosowanie metod  krzywizny  linii  prą du  do  wartoś ci  M, n   =   1.1. 3.  Metody  analizy  wykorzystują ce  poję cie  funkcji  prą du W  odróż nieniu od m etod opartych n a poję ciu  linii prą du, kt ó re rozwijał y  się  stopn iowo, dą ż ąc  do  coraz  bardziej  ogólnego  m odelu, metody  wykorzystują ce  poję cie  funkcji  prą du, ze  wzglę du  n a bezpoś redni  zwią zek  z  postę pami  elektronicznej  techn iki  obliczeniowej, znalazł y  zastosowanie  od  razu  w ogólnym  m odelu  przepł ywu. D efinicyjnie  funkcja  prą du  w  przepł ywie  osiowo- symetrycznym  opisan a  jest  formu- ł ami (3.1)  - gt  m rtę ć ,;  - £  =  ~rtqc T gdzie  T jest  współ czynnikiem  zwę ż enia  przekroju,  zaś  y> jest  funkcją  prą du. Klasyczną  już  pracą  wykorzystują cą  poję cie,  funkcji  prą du,  nie  tracą cą  n ic  ze swej aktualnoś ci, jest praca Wu  [65], dają ca  począ tek  współ czesnym m etodom analizy przepł ywu przestrzennego. Przez dł ugi okres  czasu  był a on a jedn ak  przykł adem luki  mię dzy  opisanym tu analitycznie modelem przepł ywu a moż liwoś ciami  obliczeniowymi.  W  swej  bezpoś redniej formie  model  Wu  może  być  zastosowany  tylko  do  wień ców  izolowanych  (pojedynczych). W  bardziej  ś cisł ym  uję ciu,  zagadnienie  analizowane  przez  Wu  został o  rozpatrzon e  przez SIROTKIN A  [89], tak  w  odniesieniu  do  modelu przestrzen n ego jak  i  ą uasi- trójwymiarowego. W  odróż nieniu od pracy  [65] gdzie  sił y masowe  oddział ywania  ł opatek  okreś la  się  n a pod- stawie  rezultatów  poprzedniego  przybliż enia,  sił y  te wyraż one  są tu bezpoś redn io  przez niewiadomą  funkcję  f. M ETOD Y  ANALIZY  PRZEPŁYWU   W  MASZYNACH   WIRNIKOWYCH   39 Wykorzystują c  poję cie  funkcji  prą du  w  analizie  przepł ywu  osiowo- symetrycznego dochodzi  się   do  zagadn ień  brzegowych  opisanych  równ an iam i  róż niczkowymi  o pochód- nych  czą stkowych,  które  dla  liczby  M ach a M w   =   —  <  1  są   typu  eliptycznego,  n atom iast dla  M w   >  1 —  typu  hiperbolicznego. R ozpatrują c  zagadnienie  algorytm ów  i  procedur  obliczeniowych  m oż na  w  zakresie m etod  analizy  opartych  n a  poję ciu  funkcji  prą du  wyróż nić  dwie  podstawowe  metody pozwalają ce  n a  n um eryczn e  rozwią zanie  otrzym anych  tu  równ ań  róż niczkowych.  Są   to m etoda  róż n ic skoń czonych  oraz  m etoda  elementów  skoń czonych. Stosowanie  tych metod wią że się  z ogrom em pracy obliczeniowej,  wymagają cym  z kolei  szybkodział ają cych  maszyn cyfrowych  o  duż ej  pojem noś ci  pam ię ci.  Takie  moż liwoś ci  powstał y  dopiero  w  ostatnim dziesię cioleciu  i  stą d  też  od  tego  m om en tu  datuje  się   dynamiczny  rozwój  metod  analizy osiowo- symetrycznego  przepł ywu,  oparty  na  poję ciu  funkcji  prą du.  Publikacji  z  tego  za- kresu jest jeszcze niewiele  przy  czym  najczę ś ciej  są   on e napisane dość  ogólnikowo. Wart o  wspom nieć  także  o  próbie  analitycznego  rozwią zania  zagadnienia  przepł ywu n a  powierzchni  S' 2 .  W  pracy  [69]  p o  transformacji  obszaru  przepł ywu  n a  obszar  prosto- ką ta  rozwią zania  równ an ia  róż niczkowego  poszukiwan o  zgodnie  z  wariacyjną   metodą G alerkin a.  Z e  wzglę du  n a  brak  dalszych  prac  w  tym  zakresie  metody  analityczne  nie został y  wyszczególnione. 3.1.  Metody róż nic skoń czonych  (metody siatek)  M etody  te  sprowadzają   się   w  ogólnym zarysie  do  tego,  że  w  obszarze  pł askim  w  którym  poszukiwane  jest  rozwią zanie  wyróż nia się   zbiór  pun któw  bę dą cych  pu n kt am i  wę zł owymi  pewnej  siatki,  nastę pnie  równanie róż niczkowe  zastę puje  się   w  tych  wę zł ach  odpowiednimi  równaniam i  róż nicowymi, kt ó re z kolei  w  oparciu  o warun ki  brzegowe sł użą  do wyznaczenia  poszukiwanych  wartoś ci rozwią zania  przybliż onego. Pierwszą   pracą   bazują cą   n a  uproszczon ym  m odelu  Wu  i  wykorzystują cą   powyż szą m etodę   obliczeń jest  praca  M AR SH A  [32]. P rzedstawiono  tu  w ogólnym  zarysie opis  progra- m u  obliczeniowego  m etody  analizy  n a  ś redniej  powierzchni  przepł ywu.  Otrzymane  tu podstawowe  równ an ie  opisują ce  przepł yw: gdzie  x  i  y  są   współ rzę dnymi  ukoś n ej  siatki  przepł ywu,  po  aproksymacji  wyraż eniams róż nicowym i,  sprowadzon o  do  postaci  macierzowej (3.3)  [ M ] - [v ]  =   [fi], gdzie  [M] jest macierzą   pasmową ,  n atom iast  [yi]  i  [Q]  są   macierzami  kolumnowymi.  Z apis macierzowy  wykorzystan o  n astę pn ie przy  kon strukcji  program u  obliczeniowego  n a E M C . P rzedstawion e  wyniki  wykazują   dużą   zgodność  z  rezultatam i  badań  eksperymentalnych. W  pracy  G O LD I N A  [68], w  odniesieniu  do  m etody  siatek,  rozważ ono  moż liwoś ci  otrzy- m an ia  rozwią zania  n a  drodze  iteracyjnej,  kon kretn e  zaś  zagadnienie  analizy  przepł ywu beztarciowego  (izen tropowego)  przez  stopnie  osiowe  został o  rozpatrzon e  w  pracach BI N I AR I SA  [5],  [6].  R ozwią zanie  uzyskuje  się   tu  n a  drodze  iteracyjnych  obliczeń  relaksa- cyjnych.  P rzytoczon e  tu  przykł adowe  wyniki  obliczeń  podobn ie  jak  i  w  referacie  [43] odnoszą   się   do  stopn i  turbin owych. 40  J.  OTTE W  pracy  [40]  na  bazie  uogólnionego  modelu  przepł ywu  z  dyspacją   energii  sformuł o- wan o  zagadnienie  brzegowe  sprowadzają ce  się   do  rozwią zania  nieliniowego  eliptycznego równ an ia  róż niczkowego  o nastę pują cej  postaci (3.4)   A * v  J  dr opisują cego  przepł yw  pł ynu  przez  ukł ady  ł opatkowe  o  dowolnej  ich  geom etrii.  W  tej pracy,  jak  i  we  wcześ niejszej  [39]  gdzie  rozpatrzon o  tylko  przepł yw  pł ynu  nieś ciś liwego, algorytm  obliczeń  numerycznych  oparto  n a  iteracyjnej  m etodzie  nadrelaksacyjnej.  W  pra- cach  tych  przedstawiono  wyniki  analizy  przepł ywu  w  osiowym  stopn iu  sprę ż ają cym. W  pracy  [12]  podan o  n atom iast  rozwią zania  osiowo- symetrycznego  przepł ywu  przez bezł opatkowy  kan ał  wirnika  prom ieniowego. Interesują cą   procedurę   iteracyjną   rozwią zania  zagadn ien ia  przepł ywu  przez  stopnie maszyn  wirnikowych  przedstawiono  w  pracy  [59].  Z asadniczą   trudnoś cią   wydaje  się   tu być  zachowanie  stabilnoś ci  procesu  obliczeniowego. Istotnym  problemem  w  m etodach funkcji  prą du jest  zagadnienie  odpowiedn io dokł ad- nego  uwzglę dnienia  geometrii  brzegów  w  równ an iach  róż nicowych.  W  przypadku  siatki prostoką tnej  [5],  [6],  [39],  [40]  uzyskuje  się   proste  wyraż enia  w  wę zł ach  wewn ę trzn ych: skomplikowane  n atom iast dla  wę zł ów  leż ą cych  przy  brzegu.  W  szczególnych  przypadkach , pewnym  uł atwieniem  może  być  zastosowanie  siatki  równoległ o- skoś nej  [32]  lub  transfor- macja  obszaru  przepł ywu  w  przekroju  m erydionalnym  n a  obszar  prostoką ta  [60],  [69], [76],  [77] co z kolei  pozwala  n a stosowanie  siatki  prostoką tn ej. W  zależ noś ci  od  prę dkoś ci  przepł ywu  zmienia  się   typ  równ an ia  (3.4).  I  tak  przy  za- ł oż onym  rozkł adzie  ką tów  ł opatkowych  równ an ie  to  jest  eliptyczne  dla  liczb  M w   = =   w I a  <  1,  n atom iast  przy  zał oż onym  rozkł adzie  rc„  (jak  n p .  w  przestrzeniach  mię dzy- wień cowych)  eliptyczność  jest  zachowan a  dla  liczb  M m   — c,„/ a  <  1  [40].  T a  dwoistość ograniczeń  może  być  wykorzystana  do  budowy  odpowiedn ich  algorytm ów  obliczeń przepł ywów  przy  M w   >  1.  R ozpatrzon e  wyż ej  prace  dotyczą   wył ą cznie  rozwią zywania zagadnień  typu  eliptycznego. Waż nym  kierunkiem  rozwoju  m etod  obliczeniowych  jest  opracowan ie  efektywnych procedur  numerycznych  dla  analizy  przepł ywów  tran son iczn ych  i  naddź wię kowych w  sprę ż arkach  [14],  [50] jak  i  ostatnich stopniach  turbin  [77]. R ówn an ia  rzą dzą ce przepł y- wem  naddź wię kowym  mają   w  tym  zakresie  charakterystyki  rzeczywiste  i  stą d  też  d o  wy- znaczania  takich przepł ywów  zastosowano  m etodę  ch arakterystyk  [14],  [50] w  powią zaniu z  m etodam i  róż nic  skoń czonych. M ają c  n a  uwadze  dynamiczny  rozwój  techniki  obliczeniowej  m oż na  przewidywać dalszy  rozwój  metod  opartych  n a  poję ciu  funkcji  prą du  i  uwzglę dniają cych  coraz  bardziej ogólny  model  przepł ywu  [92]. 3.2.  Metody elementów  skoń czonych.  Ostatn ie  lata  to  okres  burzliwego  rozwoju  m etody elementów  skoń czonych,  która  znajduje  sobie  zastosowan ie  w  róż n ych  zagadnie- niach  fizyki  i  techniki.  Jakkolwiek  sama  m etoda  elementów  skoń czonych  swoje  począ tki zwią zane  m a  z  rozwią zywaniem  zagadnień  m echaniki  budowli,  to  dzię ki  tem u,  że  m oż na ją   sformuł ować  również  bezpoś rednio  n a  drodze  m atem atyczn ej,  wychodzą c  z  równ ań M ETOD Y  ANALIZY  PRZEPŁYWU   W  MASZYNACH   WIRNIKOWYCH   41 róż niczkowych  opisują cych  dane  zagadnienie,  znalazł a  m.in.  także  zastosowanie  przy rozwią zywaniu  problemów  przepł ywu  [66]. D o  pierwszych  opublikowanych  prac  przedstawiają cych  zastosowanie  metody  ele- mentów  skoń czonych  w  odniesieniu  do  zagadnienia  analizy  przepł ywu  przez  wień ce ł opatkowe należą   prace  AD LERA i  KRIMERMAN A  [1] oraz  H IRSCH A  i WARZEE  [20]. W  pracy  [20]  koń cowe  równanie  przepł ywu  pł ynu  sprowadzono  do  postaci  quasi- harmonicznej zaś  warunki  brzegowe  przedstawiono  wyraż eniem (3.6)  k^ L D o  rozwią zania  powyż szego  zagadnienia  zastosowano  odmianę  metody  elementów  skoń- czonych  polegają cej  n a  postę powaniu  wedł ug  waż onej  metody  residualnej  G alerkina, gdzie  funkcja  wagi  jest  równa  funkcji  kształ tu.  D yskretyzację   oparto  na  czterobocznych krzywoliniowych  izoparametrycznych elementach z 8 punktami wę zł owymi umieszczonymi n a  ich  brzegach.  Rozpatrują c  zależ noś ci  odnoszą ce  się   do  poszczególnego  elementu otrzymuje  się   standardową   postać  zbioru  równań (3.7)  [kY{y>y =   {FY gdzie  „ macierz  sztywnoś ci"  (z  analogii  do  problemu  analizy  naprę ż eń)  okreś la  się   po przez Z achodzi  także (3.8)  Fe i =JQN t dQ, ~E gdzie N i  —  funkcje  kształ tu. U kł ad  równań  dla  cał ego obszaru  zapisuje  się   tu  jako (3.9)  [ f l {? }=   {F} gdzie {y>} jest  macierzą   kolumnową   niewiadomych. U kł ad  równań  (3.9) jest  nieliniowy,  co  wymagał o  zastosowania  procedury  kolejnych przybliż eń.  W  algorytmie  obliczeń  wykorzystano  tu  także  metodę   relaksacji  wedł ug formuł y (3.10)  yf+U  = y gdzie  Q  jest  czynnikiem  relaksacji 42  J.  OTTE 4.  Metody jednego parametru D ą ż ąc  do  ominię cia  trudnoś ci  wystę pują cych  przy  rozwią zywaniu  równ ań  róż niczko- wych  o  pochodn ych  czą stkowych  m etodam i  siatek  powstał o  szereg  m etod,  kt ó re  moż na okreś lić  nazwą   „ jednego  param et ru "  (w  ję zyku  an gielskim :  m eth od  of  single  param eter [22]).  W  m etodach  tych  zadają c  charakter  zmian  wybranej  wielkoś ci  przepł ywu  wzdł uż prom ien ia,  z  jedn ym  param etrem  wymagają cym  dodatkowego  okreś lenia,  równanie róż niczkowe  o  pochodnych  czą stkowych  sprowadza  się   do  równ an ia  róż niczkowego zwyczajnego  rzę du  drugiego,  z  którego  wł aś nie  okreś la  się   zm ienność  wprowadzonego param etru  wzdł uż kierunku  przepł ywu. M etody jedn ego  param etru posł ugują   się  uogólnio- nym,  w  stosunku  do  modelu  cylindrycznego  i  stoż kowego,  modelem  przeł ywu:  rozpa- truje  się   tu  bowiem  również  przepł yw  w  obszarach  wień ców  ł opatkowych. Jeż eli  zał oży  się   rozkł ad  prę dkoś ci  osiowej  c z   wzdł uż  prom ien ia  w  formie  nastę pują- cej  [98] (4.1)  c z   =   c zir \ c zt   + Xs\ n  —- —.- - »-)  ;  (v  =   r/ r/ f), L  \ ' z  i   ̂/ J gdzie  pierwszy  czł on  charakteryzuje  zm ianę   prę dkoś ci  wynikają cą   z  teorii  stopn ia  cylin- drycznego,  zaś  drugi  jest  poprawką   uwzglę dniają cą   przyś pieszenie  prom ien iowe,  to  po wyznaczeniu  z  równ an ia  róż niczkowego  param etru  X ja ko  zależ noś ci  X  =   X{z)  uzyskuje się   moż liwość  dość  prostego  okreś lenia  param etrów  przepł ywu  w  róż n ych  przekrojach wzdł uż  kierun ku  przepł ywu.  Z a  podstawę   przyjmuje  się   wielkoś ci  n a  ś redn im prom ien iu. N ależy  zwrócić  uwagę ,  że  przyję cie  powyż szego  rozkł adu prę dkoś ci jest  niczym  in n ym  jak tylko  hipotezą . Korzystają c  z  formuł y (4- 2)  e c z  =   ( ^ w  pracach  [4],  [22]  rozpatrzon o  przepł yw  ś ciś liwy  przy  niecylindrycznych  ś ciankach ograniczają cych  kan ał u  przepł ywowego. Bardziej  ogólnym  w  tym  przypadku  wydaje  się  jedn ak  być  zał oż enie rozkł adu  funkcji prą du  f  [81],  [83]  jako (4- 3)   V   =  y> t (r,z) +  X(z)f(r,z) gdzie  rozkł ad  y,(i;  z)  ujmuje  wszystkie  gł ówne  czynniki  charakteryzują ce  przepł yw wedł ug teorii  stopn ia  cylindrycznego,  n atom iast  A(z) / ( r,  z) jest  poprawką   uwzglę dniają cą m.in.  takie  czynniki  jak  niecylindryczność  przepł ywu.  W  pierwszym  przybliż eniu  funkcję f(r,  z) przyjmuje  się  ja ko  paraboliczną (4.4)  /(/• , z)  =   r z (z)r w (z)  - 2rr ir (z)  - r 2 Z godnie  z  powyż szymi  formuł ami,  po  przekształ ceniu  równ ań  przepł ywu,  uzyskuje  się równanie  róż niczkowe  typu (4.5)  A^L  +  B*L clz 2   dz które  pozwala  okreś lić  zależ ność  X  =   X(z). M E TOD Y  AN ALIZY  PRZEPŁYWU   W  MASZYNACH   WIRN IKOWYCH   43 P owyż szymi  m etodam i  m oż na  w  stosun kowo  pro st y  i  szybki  sposób  badać  wpł yw n iektórych  cech  geom etryczn ych  wień ców  ł opatkowych  n a param etry  przepł ywu.  N ależy jedn ak  pam ię tać  o  tym ,  że  poprawn ość  otrzym anych  wyników  w  bardzo  duż ym  stopniu zależy  od  zgodnoś ci  hipotetyczn ego  rozkł adu  obranej  wielkoś ci  przepł ywu  z  rozkł adem rzeczywistym. 5.  M etody  tarczy  wirowej W  m etodzie  tarczy  wirowej  (w  ję z.  ang.  Actuator  D isc  Theory  [22],  w  ję z.  n iem .: Wirbelscheiben m ethode  [46])  wieniec  ł opatkowy  zamienia  się   ekwiwalentną   pierś cieniową tarczą   wirów  o  szerokoś ci  zerowej,  wywoł ują cą   miejscowy  przyrost  skł adowej  prę dkoś ci obwodowej.  M odel przepł ywu  bazuje  tu  najczę ś ciej  n a  uproszczonym  równaniu  równowagi prom ien iowej,  zaś  zasadnicze  rezultaty  dotyczą   pł ynu  nieś ciś liwego. M etody  tarczy wirowej  opisan e  są   szerzej  w pracach  [22], [46]. Mają   one swoje znaczenie przy  rozpatrywan iu  odwrotn ego  zagadn ien ia  hydrodyn am iki,  pozwalają c  ocenić rozkł ady prę dkoś ci  w  pewnej  odległ oś ci  od  wień ca  ł opatkowego,  bą dź  też  okreś lać  wzajemne  od- dział ywanie  wień ców.  M o ż na  jedn ak  stwierdzić,  że  ze  wzglę du  n a  „ sztuczn oś ć"  modelu przepł ywu,  m etody  tarczy  wirowej  nie  znajdują   wię kszego  praktycznego  zastosowa- n ia. 6.  Przeglą d  literatury  krajowej M im o  niemał ego  już  krajowego  potencjał u  w  dziedzinie  budowy  takich  maszyn  wir- nikowych  jak  turbin y,  pom py  i  wentylatory,  m oż na  zauważ yć,  że  n ie jest  on  poparty  od- powiedn im  poziom em  rozwoju  p rac  podstawowych  i  opracowań  aplikacyjnych  z  zakresu badan ia  przepł ywu  w  tych  m aszyn ach. P rzynajmniej  czę ś ciowym  potwierdzeniem  tego  stanu  są   zakupy  licencji  konstrukcyj- n ych  turbin  energetycznych,  p o m p  i  wentylatorów.  Ś wiadczy  o  tym  również  przeglą d prac  z  m echan iki  pł yn ów  z  dziesię ciolecia  1958—1967  przeprowadzony  w  pracy  [9], a  także  przeglą d  do ro bku  i  ocena  aktualn ego  stan u  m echaniki  cieczy  i  gazów  w  Polsce d o ko n an a  n a  I  Krajowej  Konferencji  M echaniki  Cieczy  i  G azów  w  1974  r.  w  Jaszowcu. W  referatach  przeglą dowych  [28],  [29]  tej  konferencji  podkreś lono  m.in.  konieczność opracowan ia  peł n owartoś ciowych  m etod  numerycznego  rozwią zywania  zagadnień  osiowo- symetrycznego  i  trójwym iarowego  przepł ywu  przez  wień ce  i  stopnie  maszyn  wirnikowych „ wobec  n a  ogół   prym itywnych  m etod  stosowanych  w  kraju  przy  obliczaniu  przepł ywu przez  stopnie  m aszyn  przepł ywowych "  [29]. P rac  dotyczą cych  badan ia  przepł ywu  osiowo- symetrycznego  jest  niewiele.  Wymienić t u  należy  ksią ż kę   T U LI SZ K I  [56] gdzie  rozpatrzon o m etodę  wyznaczania  rozkł adu prę dkoś ci w  szczelinach  mię dzywień cowych  przy  zał oż eniu  cylindrycznoś ci  powierzchni  ograni- czają cych  kan ał   przepł ywowy  przy  czym  falistość  linii  prą du  uję to  podobn ie  jak  w  pracy [17]. P rzedstawion y  tu  sposób  postę powan ia  m a  raczej  wię ksze  znaczenie poglą dowe  aniż eli praktyczn e.  P raca  [7]  m im o  tytuł u  traktują cego  o  przepł ywie  przestrzennym  w  gruncie 44  J .  O T T E rzeczy  dotyczy  bardzo  uproszczonego  modelu  przepł ywu  stoż kowego,  n at o m iast  praca [26] ze wzglę du  na  szereg  zał oż eń upraszczają cych,  a  także  mał ą   przejrzystość  n ie  posiada walorów  uż ytkowych.  Interesują cą   koncepcję   form uł owan ia  zagadn ien ia  trójwymiaro- wego  przepł ywu  jako  zagadnienia  wariacyjnego,  gł ównie  jedn ak  w  odniesieniu  do zadan ia  projektowego  przedstawił   KRAJEWSKI  W  pracy  [27].  N ie  zn alazł a  o n a  jednak praktycznego  zastosowania. Pewnym  przyczynkiem  do  rozwoju  metod  obliczeniowych  są   prace  doktorskie  [12], [41],  [62].  Przedstawione  w  nich  algorytmy  jedn ak  nie  wykorzystują   w  peł ni  moż liwoś ci E M C  decydują cych  o  efektywnoś ci  m etod  obliczeniowych. D o  prac  bazują cych  już  na  współ czesnym  uję ciu  problem atyki  teoretyczn ych  badań mechanizmu  przepł ywu  przez  wień ce  ł opatkowe  m oż na  zaliczyć  [35],  [36],  [37],  [39], [40],  [63]. 1.  Ocen a  dotychczasowych  p r a c  badawczych Z  przeprowadzonego  przeglą du  literatury  wynika,  że  zagadn ien ie  analizy  przepł ywu stanowi  tem at wielu  prac, przy  czym  podkreś lić  należ y,  że  wię kszość  z  liczby  cytowanych prac  powstał a  po  roku  1970.  Rozwój  m etod  analizy  obserwowany  w  ostatn im  15- leciu wią że  się   bezpoś rednio  z postę pami  elektronicznej  techniki  obliczeniowej. Stą d  też  szereg  m etod  bazują cych  n a  prostych  m odelach  przepł ywu,  które  poprzedn io miał y swoje uzasadnienie, w chwili  obecnej tracą  powoli  rację  bytu. N ależy także podkreś lić, że  o  ile  pewne  uproszczone  modele  przepł ywu  mogą   być  jeszcze —  uwzglę dniając  nagro- madzone doś wiadczenia  —  zastosowane  z  dobrym  skutkiem  do zagadnień  syntezy  ukł adów ł opatkowych,  to  w  zagadnieniach  analizy  ich  przydatn ość  jest  wielce  problem atyczn a i  uzasadnienie znajdują   tylko  metody  oparte n a  ogólnych  m odelach przepł ywu. D o  metod  pozwalają cych  n a  obliczeniową   realizację   ogólnego  m odelu  przepł ywu należy  m etoda krzywizny  linii  prą du  (M K LP ) oraz  m etoda funkcji  prą du  ( M F P ) w  swych dwóch  odmiennych  warian tach  wykorzystują cych  m etodę   róż n ic  skoń czon ych  (M R S) wzglę dnie  m etodę   elementów  skoń czonych  (M ES).  T ru d n o jest  wydać  jedn ozn aczn y  są d odnoś nie absolutnej  wyż szoś ci którejś  z tych m etod, gdyż zawsze istnieją   pewne  zagadn ien ia ł atwiej  poddają ce  się   analizie  przy  uż yciu  ś ciś le  okreś lonej  m etody.  Oceniają c  jed n ak  stan obecny  moż na dokon ać pewnych  porówn ań i  oceny  poszczególnych  m etod. Spoś ród  przytoczonych  wyż ej  m etod,  m etoda  K L P jest  z  pewnoś cią   najbardziej  „ sub- t eln a" już chociaż by ze wzglę du n a zastosowanie  przy rozwią zywaniu  równ ań  tzw.  „ m etody prostych ".  M ają c  na  uwadze  nie  rozwią zany  jeszcze  w  peł ni  problem  stabiln oś ci,  zbież- noś ci  i  dokł adnoś ci  obliczeń  numerycznych,  wym aga  o n a  znacznego  doś wiadczen ia w  prowadzeniu  obliczeń.  Wydaje  się ,  że  pewne  zalety  tej  m etody,  w  porówn an iu  z  in n ym i m etodam i, uwidaczniają   się  w  przypadku  analizy, pola  przepł ywu  w  wień cach t yp u  osiowo- promieniowego,  w  których  linie  prą du  posiadają   wyraź nie  okreś loną   krzywiznę .  M et o d a t a  zawodzi  w  przypadku  nieregularnych  brzegów  obszaru  przepł ywu.  N ależy  podkreś lić, że  w  literaturze  przedm iotu,  M K L P  jest  dotychczas  najszerzej  opisan a,  co  nie  znaczy jedn ak,  że  wyczerpują co.  Oceniają c  perspektywy  zastosowan ia  tej  m etody,  należy  są dzić, że w coraz wię kszym  stopn iu bę dzie on a wypieran a  przez M F P . M E T O D Y  AN ALI Z Y  P R Z E P Ł YWU   W  M ASZ YN AC H   WI R N I K O WYC H   45 Ocena  m etody  funkcji  prą du  w  swej  odmianie  wykorzystują cej  m etodę   z  róż nic  skoń- czonych  w  duż ym  stopn iu  uzależ n iona jest  od  typu  zastosowanej  siatki  przepł ywu. D yspo- nują c  algorytm em  obliczeniowym  bazują cym  n a  transformacji  obszaru  przepł ywu  w  celu zastosowan ia  siatki  prostoką tn ej,  lub  też  algorytm em  opartym  na  siatce  krzywoliniowej, ocen a  tej  m etody  w  stosun ku  do  pozostał ych  wypada  bardzo  korzystnie.  W  tych  przy- padkach  siatka  obliczeniowa  dobrze  wypeł nia  przekrój  kan ał u  przepł ywowego,  rozwią - zują c  tym  samym  problem  odpowiedniego  uwzglę dnienia  geometrii  brzegu  obszaru. N a  korzyść  przem awia  także  fakt,  że  przy  rozpatrywan iu  zagadnień  dokł adnoś ci,  stabil- noś ci  i zbież noś ci  obliczeń  num erycznych wykorzystuje  się   tu n agrom adzon e doś wiadczenia z  rozwią zywania  równ ań  fizyki  m atem atyczn ej.  Jeż eli  chodzi  o  ocenę   czasu  obliczeń  n a m aszynie  cyfrowej,  to  przeprowadzon y  przez  autora  eksperyment  obliczeniowy  wykazaj że  m et oda  M F P + M R S  charakteryzuje  się   w  odniesieniu  do  metody  M K LP  krótszymi czasami  obliczeń. M et o d a  elementów  skoń czon ych  znajduje  się   dopiero  w  począ tkowym  stadium  ro z. woju  i  jej  stan  zaawan sowan ia  w  zakresie  rozwią zywania  problemów  mechaniki  prze- pł ywów  przez  ukł ady ł opatkowe zdeterm in owan y jest  raczej  doś wiadczeniem  wyniesionym z  zastosowan ia  tej  m etody  w  innych  pokrewn ych  dziedzinach  mechaniki.  Pewną   tego korzyś cią   jest  moż liwość  wykorzystan ia  n iektórych  gotowych  podprogram ów.  Zalety M E S  to  przede wszystkim  bardzo  dobre uwzglę dnienie  geometrii  brzegów  obszaru  oblicze- niowego  oraz  w  pewnej  m ierze  ł ą czą ca  się   z  tym  wysoka  dokł adn ość obliczeń.  Szerszego naś wietlenia  wymagają   n at om iast  zagadn ien ia  stabilnoś ci  i  zbież noś ci  obliczeń.  M ES jest obecnie  ubogo  u doku m en t owan a  w  literaturze  i  należy  się   liczyć  z  tym, że  w  miarę   poja- wienia  się   dalszych  prac,  zakres  jej  zastosowań  bę dzie  coraz  wię kszy. N ależy  zauważ yć,  że  wyż ej  opisan e  m etody  posiadają   tę   zasadniczą   wadę ,  że  moż na stosować  je  w  zasadzie  tylko  do  przepł ywów  poddzwię kowych.  W  zakresie  naddzwię ko- wym  procedury  obliczeniowe  opierają   się   n a  m etodzie  charakterystyk,  przy  czym  za- gadnienie  opracowan ia  odpowiedn io  dokł adn ych  i  stosunkowo  szybkich  w  praktycznym zastosowan iu  m etod  analizy  jest  tu  w  dalszym  cią gu  aktualn e.  P roblemom  obliczeń  prze- pł ywów  tran son iczn ych  poś wię cona  jest  m.in.  praca  [42]. Spoś ród  opisan ych  trzech  m et o d :  M K L P ,  M F P +  M R S  oraz  M F P + M E S ,  najbardziej efektywną ,  biorą c  pod  uwagę   cał ość  dział ań  prowadzą cych  do  otrzymania  odpowiednio dokł adn ego  wyniku,  w  ocenie  autora, jest  m etoda  M F P + M R S . P ostę py  elektronicznej  techn iki  obliczeniowej  mogą   z  czasem  dać  pierwszeń stwo m etodzie  M F P + M E S . D alszy  rozwój  m etod  analizy  wią że  się   z  opan owan iem  peł nego  modelu  quasi- trój- wymiarowego  przepł ywu  pł yn u,  w  którym  oprócz zagadnień  przepł ywu  w  tzw.  strumieniu gł ównym  dochodzą   zagadn ien ia  przepł ywu  w  warstwach  przyś ciennych. Z estawien ie  waż niejszych  oznaczeń c —  prę dkość  bezwzglę dna h* —  rotalpia  cał kowita m,n  —  współ rzę dne w  ukł adzie n aturaln ym p  —  ciś nienie 46  J.  O T T E r,  cp, z —  współ rzę dne  w  ukł adzie  cylindrycznym r k   —  prom ień  krzywizny  linii  prą du Si >  S 2  —  oznaczenia  powierzchni  przepł ywu W  —  prę dkość  wzglę dna f} —  ką t  poł oż enia wektora  prę dkoś ci  wzglę dnej  do  kierun ku  obwodowego / 3P —  ką t  powierzchni  S2 przy  r  =   const wzglę dem  kierun ku  obwodowego y —  ką t  nachylenia  merydionalnej  linii  prą du  d o  osi  z d —  ką t  nachylenia  powierzchni  S 2  przy  z  — con st  wzglę dem  kierun ku  promienio- wego C —  współ czynnik  strat  przepł ywu Q —  gę stość  pł ynu ip —  funkcja  prą du Indeksy /  —  dotyczy  kolejnego  pun ktu  na  linii  prą du m  —  dotyczy  kierunku  wzdł uż  merydionalnej  linii  prą du o  —  dotyczy  wielkoś ci  w  przekroju  o  znanych  p aram et rac h :  n a  przykł ad  n a  wlocie do  ukł adu r, u, z  —  dotyczy  skł adowych  w  ukł adzie  r,  KyKOBCKniij  KD.  H .  M AJ I WI U E B ,  npuójiuwceiiHuu  pacuem  3aKpymKu  Konycnozo  nomoica e  myp- 6UHHUX  cmyneHHX  c  OJIUHHUMU  jionaniKaMu. T p y# b i  I 1 K T H 3  Btm ycK  74  (1966). 75 .  M .  E t .  >KyKOBCKHH, AdpodmaMuneaiuupacnem  nomoKa e oceeax  myp6oMauiuuax.  H em rarpafl (1967). M aui«H ocTpoeH «e. 76.  M .  H .  >KyiI,  T eiiAoebiu  pacnetn  cmaifuoitapubix  ea3oeux  myp6un.  M ocKBa—JIeH H H rpafl  (1964). 79.  F . A.  3AJI Ł < I I 3  B .  B .  3BH rnH u,EB,  T ennoeoil pacnem  napoeux  mypSun.  M ocKBa—JleH H irrpafl  (1961). M auiiiH OCTpoeH ue. 80.  H .  P I .  K H P H J I J I O B,  T eopun  mypóoMaiuuH. H 3fl.  2.  J leim n rp afl  (1972).  M aiimnocTpoeH Ke. 8 1 .  A.  A.  M O H C E E B ,  A.  M .  Ton yH OB,  T .  %..  U I H H I ; E P ,  JJmnubie  jionanmu  cybomx  mypGun.  Jlen n H rpan (1969).  CyflocTpoeH H e. 82.  O .  H .  H O BH K O BA,  Pacnem  ocecuMMempimuoio nomoua  s  npomoHnoU  nactnu  oceeux  mypouK,  T e im o - aH epreTH Ka  4  ( 1965) . 83.  IJepeMeHHbie  peoiciuiu  cydoeux  myp6unuux  ycmanoeoK,  H T O  CyflnpoM a, BbinycK  82  (1966). 84.  F . J I .  IIoflBH «3,  Pacnem  Ksa3umpextitepHozo  menenu.fi  easa  e  MeoicjionamouHOM  Kanane oceeoii mypSo- Maiuuuu.  M exan n K a  HCHETKOCTK  H  r a 3a  4 (1971). 85.  B.  H .  I I O H O M AP E BJ  F . A.  EoHflAPEHKO,  K  eonpocy  o  peaMi3aą uu  nocmonucmea  ifupKyAnmiu  e  ł teą u- MinbpUHCCKOu  mypSuHHoii  cmynenu.  H3BecTHfl  By30B,  3H epreTH Ka  6 (1972). 86.  SL . A.  C H P O T K H H ,  Pacnem  ocecuMMempunnoio  euxpeeozo  nomoua  neeH3K0u  caicumaeMou  oicudiwcmu o  oceeux  myp6oMaunmax.  H 3B. A H   C C C P .  O T H , MexaH H Ka  H  MauiHHOCTpoeiwe  2 (1961). 87.  51. A.  C H P O T K H H J  Faciem  ocectuuiempUHHoeo euxpeeoso  menemin  Hwnstiou  csicuMaeMou  oicuÓKocmu e  padua/ iwbix  myp6oMauiUHax.  H 3B.  AH   C C C P ,  O T H ,  MexaH H Ka  I I MamuHOCTpoeime  3  (1963). 88.  51. A.  CupoTKi- tHj  K  nocmanosKe  npiwou  sadami  euxpeeoio  menemin  coicuMaeMoii  oicudKocmu  e  mypSo- Mamunax,  H H H iKypHaji,  T.  4,  BbinycK  2,  (1964). 90.  i i .  A.  C H P O T K U H ,  ypaeneuuH  ocpedneuoio  ocecuMMempimnozo  euxpeeoio  meneimn  udea/ ibnou  neaicu- MaeMou  oicudiwctnu.  H S B . A H   C C C P ,  MexaH H Ka  >KHflKOCTH   H  ra3a  2 (1967). 4  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1/80 50  J.  OTTE 91.  SI. A.  CUPOTKHHJ  A3poduuaMunecKuu  pacuem AonamoK  oceeux  myp6oMawwi. MocKBa  (1972). Ma- IU H H OCTpoeH H e. 92.  SI. A.  C H P O T K H H ,  npuKJiaduue  3adanu  za3oduHaMunecKoio  pacnema  oceeux  mypdoMaiuuH.  T p y. a u Bcecow3HOH   KOH C |).  n o  ra3Oiyp6nH H bim  YcTaHOBKaM,  M ocKBa  ( 1972) . 93.  T . I O .  CTEH AH OB,,  FudpodunaMUKa  peuiemoic  mypBoMaiuuii.  M ocKBa  (1962). 94.  F . K).  CTEnAHOB, rudpoduuaMunecKaH meopun  peiuemoic.  MexaH H Ka  B  C C C P  3a  50  n eT . T . 2 S  C. 103—152.  M ocKBa  (1970). 95.  F . K ) .  C TE I I AH OBJ  HeKomopue  coepeMennue 3adcmu ludpodimaMUKU  pemcmoK  mypdoMautUH. Tpyflbi Bcecoio3iioii  KOH I JJ.  n o  ra3OTyp6nHHŁiM   YdaH OBKaM . M ocKBa  ( 1972) . 96.  B. C .  C TE H KU H   H  ̂ p . ,  T eopun  peaiantienhix  deueamejieii.  M ocKBa  ( 1956) . 97.  F . H . TonAW,  H . 3 .  SIKHBSVT ,  ypaeueuun  ocpeditenHoeo deuoiceiam  iicuÓKocmu e  paBoueM  xojiece eudpoMawuHbi,  T p yflt i  H K T H ,  BtraycK  61  (1965). 98.  A. M . TonyH OB, A. T . flAH nnoBCKnfi, K  eonpocy peweitun  npaMoii 3adami  pacuema  npocmpaHcmeeu- HOIO  ocecuMMempwiHoeo  nomoKtx, H 3Becm H   By30B,  3n ep reT «K a  11 ( 1964) . 99.  K ) . H .  lIlBEt?,  I7po(/ )ii/ iupoeaHue  mypBuiiuux  cmyneiieii  c yuemoM  ucicpueAenun  jtunuU  mom  e  Mepu- duonajibnou  ruwcKocmu.  Tem KoiiepreTitKa 7 (1964). 100.  SI. H .  I I I H E S ,  Fasoeua  mypBunu.  M o cicsa  (1960).  M a u i r n 3 . 101.  H . 3 .  3THHBEPr, MemoduKa pacuema  ocecuMMempunuozo  nomoKa e  zubpomypBiaiax. CTpoeHHe  11  (1973). Praca  został a  zł oż ona w  Redakcji  dnia  7  lipca  1978  roku