Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS80_t18z1_4_PDF_artyku³y\mts80_t18z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1, 18  (1980) PRÓBA  M OD YF IKAC JI  LI N I OWEG O  M OD ELU   D YSKRETN EG O  O  WIELU   STOPN IACH SWOBOD Y  N A  PRZYKŁAD ZIE  P OJAZ D U   SZYN OWEG O A.  C H U D Z I K I E W I C Z ,  J.  K I S I L O W S K I ,  A.  Ż O C H O W S KI  (WARSZAWA) 1. Wstę p Zagadnienie  poprawy  pewnych  wybranych  wł asnoś ci  dynamicznych  (wg  przyję tych wcześ niej  kryteriów)  istnieją cych  dowolnych konstrukcji  n p. pojazdów  szynowych, poprzez zmianę   wektora  param etrów  nazywać  bę dziemy  modyfikacją   obiektu  [7]. Z adaniem  modyfikacji  bę dzie  zmiana  charakterystyk  arnplitudowo- czę stotliwoś cio- wych  charakteryzują cych  wł asnoś ci  dynamiczne  obiektu,  tak  aby  wyeliminować  lub zmniejszyć  wpł yw  okreś lonych  przez  przyję te  kryteria  modyfikacyjne  czę stotliwoś ci i postaci drgań wł asnych. D okon ać tego moż na w oparciu o zmianę  parametrów sprę ż ysto- tł umią cych  lub  rozkł ad  wielkoś ci  mas  przy  niezmiennych  podstawowych  parametrach konstrukcyjnych  obiektu. M odel  nominalny  [2]  dla  wybranych  konstrukcji  pojazdów  szynowych  wyznaczony został   n a  podstawie  analizy  konstrukcji  [2,  3].  D la  wyznaczonych  modeli nominalnych pojazdów  szynowych  uż ywając  ukł adów  współ rzę dnych jak  n a  rys.  1  [2,  3]  oraz  korzy- Rys.  1 stają c  z  równań  Lagrange'a  drugiego  rodzaju  opisano ruch mas tych modeli  [2, 3] otrzy- mują c  w  ten  sposób  ukł ad  równ ań  nieliniowych, w  których wystę pują   nieliniowe charak- terystyki  elementów  podatno- tł umią cych oraz  nielinowoś ci  wynikają ce  z  opisu  współ - rzę dnych  prę dkoś ci  ką towych  poszczególnych  mas  modelu  nominalnego  w  ukł adzie Oc vi   rys.  1  [2,  3,  12,  13].  Równania  te  zlinearyzowano  korzystają c  z  wyników  badań eksperymentalnych  [2,  3]  oraz  za  pomocą   znanych  metod  linearyzacji  charakterystyk podatno- tł umią cych  [12,  13]. 4 * 52  A.  CH U D ZIKIEWICZ,  J.  KISILOWSKI,  A.  Ż OCHOWSKI P o  zlinearyzowaniu  równań  ruchu  [2, 3] m oż na je  zapisać  w  postaci: (1)  Al[ + Bq + Cq  =   F ( t ) gdzie: dim A  =   dim B  =   d im C  =   nxn dimq  — d i m F   =   «x  1 A,  B, C macierz bezwł adnoś ci, tł umień i sztywnoś ci  i  —  1, 2,  . . . , n U kł ad  równań  (1)  po  elementarnych  przekształ ceniach  doprowadzon o  do  p o st aci: (2)  i  =   GX gdzie: X- [ ?'l  X - [ D i E =   i L i j o , dim  G   =   2n x 2n «i  =   h  42  =  9 G  — jest  macierzą   o  budowie  klatkowej  w  której  macierze D   i  E  otrzym an o  w  wyniku  przekształ ceń  macierzy A,  B,  C  a  I —jest  macierzą   jedn ostkową   dim  I  =   n x n Otrzymany  w  ten  sposób  model  matematyczny  poddan o  modyfikacji.  D la  przeprowadze- n ia  modyfikacji  ukł adu  opisanego  ukł adem  równ ań  (1)  lub  (2)  przyję to  nastę pują ce  za- ł oż enia  [5, 7]: —  Struktura  począ tkowa  modyfikowanego  ukł adu  S  został a  zidentyfikowana  z  dosta- teczną   dokł adnoś cią   w  przewidywanym  do  wystą pienia  w  rzeczywistym  ukł adzie zakresie  czę stotliwoś ci. —  Z n an e  są   charakterystyki  dynamiczne  dyskretnego  m odelu  ukł adu. —  M odyfikacja  ukł adu  S  n a  ukł ad  S*  nie  zmieni  rzę du  równ ań  róż niczkowych  opisu- sują cych  dynamikę   ukł adu. —  U kł ady S i  S*  są   strukturaln ie  stateczne  (w  sensie  An dron owa- P on triagin a). —  Rzeczywiste  sił y zmuszają ce  ruch ukł adu są   znane i  zidentyfikowane. Aby  otrzymać  ż ą dane  przebiegi  charakterystyk  dynam icznych  należy  zmodyfikować macierz wartoś ci  wł asnych  o  A/ l  i  macierz  wektorów  wł asnych  o  AY  wedł ug  ż ą dan ych kryteriów.  Z miana ta  spowoduje  zmianę  macierzy  G  o  AG  a  co z tym zwią zane  jest  zmianą macierzy  A,  B,  C  o AA,  AB,  AC. Ostatnim  etapem  zmian  bę dzie  modyfikacja  param etrów  konstrukcyjnych  rzeczywistego ukł adu. 2.  Metody  stosowane  do  modyfikacji  ukł adów  mechanicznych Przedstawimy  trzy metody modyfikacji  ukł adu m echanicznego. Są  to dwie zn an e m etody [7]:  czuł oś ci, perturbacji  oraz  m etoda  modyfikacji  elementów  macierzy  tran sm itan cji bą dź  dynamicznej  funkcji  przejś cia  zapropon owan a  przez  autorów. M O D YF I K AC J A  LI N I O WE G O  M OD ELU   D YSKRETN EG O  53 M et o d a  czuł oś ci jest  m etodą   róż niczkową,  w  której  modyfikacje  wartoś ci  wł asnych, wektorów  wł asnych  i  wym uszon ych  przebiegów  ustalon ych  wyraż ają   się   w  wariacji  pa- ram etrów  konstrukcyjnych.  M oż na w  tej  m etodzie rozważ ać zagadnienie proste i odwrotn e. Z agadn ien ie  proste  sprowadza  się   do  poszukiwania  wpł ywu  wariacji  wyrazów  macierzy A,  B,  C  n a  postać  ch arakterystyk  ukł adu  (wartoś ci  i  wektorów  wł asnych).  Z agadnienie to  rozwią zano  w  pracy  [2] omawiają c  problem y  teorii wraż liwoś ci. M odyfikacja  z  zastosowan iem  m etody  czuł oś ci  bę dzie  wią zała  się   z  zagadnieniem odwrotn ym  tj  z  realizacją   ż ą dan ych  zmian  wł asnoś ci  dynamicznych  przez  zmianę   para- m etrów  kon strukcyjn ych.  R ozważ an ia  nasze pokaż emy  n a przykł adzie ukł adu S opisanego równ an iem  postaci  (1)  przy  zał oż eniu, że  macierz  B jest  zerowa.  O  ukł adzie  wyjś ciowym S  zakł adam y,  że  został   zidentyfikowany  z  dostateczną   dokł adnoś cią   w  zakresie  czę sto- tliwoś ci : co2  =   X2 Z akł adam y,  że  zn an e  są   zależ noś ci  macierzy  A(p),  C(p)  w  funkcji  wektora  parametrów P  =   [Pl- - - ,Pw] O m acierzach A,  Y  (A  —  m acierz wartoś ci  wł asnych zwana  też  modalną ,  Y —  macierz wektorów  wł asnych) i  wektorze  ~q  zakł adam y, że są   cią gł ymi i róż niczkowalnymi  funkcjami wzglę dem  wektora  p.  P ierwszym  etapem  badań  są   badan ia  czuł oś ci mają ce  na  celu  usze- regowania  wsp ó ł r zę d n yc ĥ  wektora]?  w  zależ noś ci  ich wpł ywu  n a macierze  A,  Y, # . P rzebieg  tych  bad ań  opisan o  w  pracy  [2]. Koń cowym  efektem  tych  prac  był o  uszere- gowan ie  współ rzę dnych p t   wektora  p  w  zależ noś ci  od  ich  wpł ywu  na  macierze  A,  Y. M ają c  ten  etap  pracy  za  sobą   m oż na  przystą pić  do  modyfikacji  ukł adu  metodą   czu- ł oś ci. Algorytm  obliczeń  tej  m etody m oż na przedstawić  w  sposób  nastę pują cy: 1°  Wyznacz  wektory  AS  i  S la   w  postaci: (3) gdzie: 8X "a (4)  9Pa d C   A   dA dpa  '  ć )Pa AAj  — przyrost  wartoś ci  wł asnej Pa —  współ rzę dna  wektora  p  (ustalony  param etr  konstrukcji) Yv  —  wektor  wł asny  odpowiadają cy  A,, wartoś ci  wł asnej A, C —  macierze, równ an ia  (1) 2°  Oblicz  wektory  Am  i  m la   wym iaru  n2  x  1: Am  =   [Am l ,  ...,  Am „ ]r m  = 54  A.  CH U D ZIKIEWICZ,  J.  KISILOWSKI, A.  Ż OCH OWSKI gdzie: m ia   =  M„  •   d A»?;  =   AM e;  i  — I, ..- , n A M —  macierz  zwią zana  z  macierzą   wektorów  wł asnych  Y,  a  macierzą   przyrostu  AY nastę pują cą   zależ noś cią   AY  =   Y  •   AM , e ; —  wektor  jednostkowy dim AM   =   n x n,  dim Am,-  =   n x 1 M acierz  M a jest  nastę pują ca: (6) v,  a  wskaź niki  oznaczają ce  wiersze  i  kolum ny  macierzy  M a 3° Z buduj macierze M , S w postaci M =   [ M 1 ; . . . , M m ] YJ[( - 2" f, rA i«Y, J !—  V "1 4°  Wykorzystują c  zależ noś ci: (9)  Am  =  M  •   Ap,  AS  -   S •   Ap, Oblicz  zmodyfikowany  wektor  param etrów  p* p*  =p+Ap, wg  jednego  ze  wzorów: Ap  =   [ M r M ] - 1 M r Am , Ap  =  [ S r S ] - 1 S T AS , gdzie oznaczenia i wymiary  macierzy jak  wyż ej. W praktycznych obliczeniach numerycznych bezpoś rednie obliczenie wektora  rekonstrukcji A^  ze  wzorów  (9)  nastrę cza  wiele  trudn oś ci, gdyż  pojawiają   się   osobliwoś ci  przy  odwra- caniu  macierzy  prostoką tnych. Trzeba  wię c,  aby  wektor  A]> i p  był y  tego  samego  stopn ia. W  praktyce  najczę ś ciej  jest n  >  m,  czyli  liczba  równań  okreś lają cych  Ap  jest  wię ksza  od  liczby  niewiadom ych, które zawiera  ten  wektor.  Poszukuje  się   wię c  takiego  Ap,  który  najlepiej  w  sensie  odchylenia ś rednio  kwadratowego  speł nia jedną   z  relacji  (9).  M etoda  wg  przedstawionego  toku po- stę powania  może być  stosowana  tylko  dla  ukł adu  bez  tł um ien ia.  D la  ukł adów w  których macierz  tł umień  jest  róż na  od  zera  należy  stosować  inne  m etody  modyfikacji  bą dź  pro- wadzić prace n ad  opracowaniem oddzielnego algorytm u  modyfikacji  ukł adu  z  tł umieniem. M etoda  przedstawiona  jest  stosun kowo  ł atwa  do  stosowania,  gdyż  wym aga  tylko prostych  przekształ ceń  macierzowych  i  bazuje  się   w  niej  bezpoś redn io  n a  param etrach konstrukcyjnych.  M etodę  tę   m oż na  stosować  również  gdy  p o  analizie  wraż liwoś ci  widać, że jedynie  nieliczne param etry mają   istotny  iloś ciowy  wpł yw  n a  wariacje  wartoś ci  i  wekto- rów  wł asnych  dla  których  należy  przeprowadzić  ich  modyfikację   p o  przyję ciu  kryteriów M O D YF I K AC J A  LI N I OWE G O  M OD ELU   D YSKRETN EG O  55 wg  których  bę dziemy  dą ż yli  do  zmiany  okreś lonych  wartoś ci  wł asnych. Po przeprowadze- niu  (zgodnie  z przyję tymi  kryteriami)  modyfikacji  należy  powtórnie  wyznaczyć  wartoś ci i wektory  wł asne tj. okreś lić nowe cechy ukł adu powstał e na skutek  zmian  wektora  para- metrów p o  A/>. Sposób  modyfikacji  metodą   perturbacji  przedstawimy  przy  tych  samych zał oż eniach co  przy  metodzie  czuł oś ci. D la  ukł adu S niezmodyfikowanego,  pomię dzy  macierzami A, Y,  C, A  zachodzą   nastę pują ce  zwią zki: YrAY  =  I ,  YTCY=A, ( 1 3 )  C Y- AŶ   =   0. W  zmodyfikowanym  ukł adzie S*  zwią zki  (13) moż na przedstawić  jako: Y*TA*Y*  =  I ,  Y*r C *Y*  =   A*, C *Y*- A*Y*A*  =  0, gdzie: c* = c+uC A*  A I r  ^e [ 0 '1 ] A*  =   A+ , M A, Elementy macierzy  A* i Y*  mogą   być uważ ane za funkcje  analityczne (i i rozwijane  w szereg postę gowy  wzglę dem  fi. Otrzymamy  wówczas: A*  =  A+/ j,A<- l>+fizA^ +  ..., ( 1 6 )  Y*  m  Y[ I + / M M < 1 > + / U 2 M < 3 > +  . . . ] . Wstawiają c  (15) i  (16)  do  zwią zków  (14)  otrzymamy: (17)  t I + ^ M r ( 1 ) + , u 2 M r < 2 >  +  ...]  [I + , M ( M ( 1) + A) + i« 2( M ( 2» +  A2M ( 1> +   ...] =   0, gdzie A  =   YrAY oraz . 1 0 ,  [CY+ftCY]  [t+^ M^ +n 2 M^ +  ...] = ( 1  o ) =   [AY+ftAY]  [A+ f t(A( 1 )+M< x >A)+fi 2 (A( 2 >+M 1 >A( 1 >+lW 2 >A+  ...] Przybliż enie  zerowe  odpowiada  ukł adowi  niezmodyfikowanemu  M  =  K =  0 i prowadzi do  zależ noś ci  (13). W  przypadku  pierwszego  przybliż enia  porównują c  współ czynniki w  wyraż eniach  pierwszego  stopnia  wzglę dem  / (w (17) i  (18) otrzymamy M ^ + A M ' "  -   0. Mają c  A*- 1) i M ( 1 )  moż na  ł atwo  wyznaczyć Ć  =  Yr C Y,  A =  YrAY  oraz  Ć i A Mają c  C i A wyznaczymy  C*  oraz A* czyli  nowe  parametry  ukł adu.  M etodę  moż na stosować  do poszukiwania  nowych parametrów modelu w wyniku  zmian wartoś ci wł asnych ukł adu  S lub tylko  niektórych skł adowych wektorów  wł asnych ukł adu. M oż na wię c realizować  lokalną   modyfikację   w ukł adzie bezzmian dynamicznego zacho- wania  się  cał ego  ukł adu. Te wł asnoś ci  metody  nie  są  przydatne  dla badanych  przez  nas 56 A.  CH U D ZIKIEWICZ,  J.  KISILOWSKI,  A.  Ż OCHOWSKI ukł adów ponieważ  dla  nas istotn a jest poprawa  wł asnoś ci  dynamicznych  cał ego obiektu, co wymaga  modyfikacji  cał ego  ukł adu.  Wynika  to  gł ównie  z  sformuł owanych  kryteriów  wg których  bę dzie  przeprowadzana  modyfikacja.  M etoda  ta  może  być  stosowan a  dla  mody- fikacji  podukł adów  obiektu  ruchomego —  pojazdu  szynowego  jeś li  bę dą   wystę powały lokalne —  w  sensie  nie wpł ywają ce  n a  cał y  ukł ad  (w  podukł adach )  —  szkodliwe  postacie drgań.  M etoda  ta  jest  stosowana  dla  ukł adów  bez  tł um ienia  (wg  postaci  przedstawionej w  [7]). M etody:  czuł oś ci i  perturbacji  przedstawione  w  pracy  [7] w  zastosowan iach  d o  zadań modyfikacji  nie  mogą   być  stosowane  w  przypadkach  gdy  macierz  B  =ć 0  tzn .  gdy  wystę -, pują   w  ukł adzie  tł umienia.  W  takim  przypadku  modyfikację   bę dzie  m oż na  wykonać korzystają c  z  metody  opartej  n a  zmianie  elementów  macierzy  tran sm itacji.  Z godn ie z  zależ noś ciami  podan ym i  w  pracy  [5,  2]  m acierz  tran sm itan cji  T  m oż na  przedstawić w  postaci: 2» (20)  1 " l w ™ " [  ̂ s- M  y i, k  <  In gdzie: %i  =   ±  oc —jco;  s  — jco Elementarny  skł adnik  dowolnego  wyrazu  macierzy  tran sm itan cji  t ik   (./co)  pokazan y  n a rys.  2 moż na zapisać  jako (21)  t(Jta)  -   .  , "  ,  .  . przy  czym  C $  =   / cf̂ PFf. u   lag Mja>)l Rys.  2 Zgodnie  z  kryteriami  wg  których  przeprowadzam y  modyfikację   zadanie  n asze  bę dzie polegał o  n a  wyeliminowaniu  z  postaci  drgań  odpowiadają cych  danej  współ rzę dn ej,  pew- nych  czę stotliwoś ci  cał kowicie  lub  n a  zmniejszeniu  ich  udział u  w  drgan iach.  M oż na  to osią gnąć  w  nastę pują cy  sposób:  przesuwają c  w  prawo  lub  w  lewo  poł oż enie  m aksim um funkcji  t(ja>) dla  danego  u> t  likwidują c  tym  samym  czę stotliwoś ci  szkodliwe  wynikają ce z  podanych  kryteriów  lub  zmniejszają c  wartość  funkcji  t(ja))  dla  a>i  poprzez  zmniejszenie M O D YF I K AC J A  LI N I OWE G O  M OD ELU   D YSKRETN EG O 57 wartoś ci  wyraż enia Cn .  Ponieważ transmitancja  t tk (p)  jest  sumą   wyraż eń  postaci  (21) wię c  jeż eli  bę dziemy  mogli  wpł ywać  na  przebiegi  t ik (jco) zmienimy  tym  samym  charakte- rystykę  t ik {ja>).  U ogólniają c  m etoda modyfikacji  oparata na analizie macierzy  transmitancji może  polegać  n a : a)  zmianie  tylko  wartoś ci  wł asnych  ukł adu; b) zmianie tylko  wektorów  wł asnych  ukł adu; c) jednoczesnej  zmianie wartoś ci i  wektorów  wł asnych. Zmiany  te  spowodują   konieczność  znalezienia  przyrostów  AA  i AY  macierzy  A i Y  oraz konieczność  obliczenia  przyrostu  AG   macierzy  G  charakteryzują cej  badany  ukł ad  (rów- nanie 2). Róż niczkując  zależ noś ć: ,  G Y  =   YA otrzymamy dGY+GdY  = a  stą d (22)  dG  =   YdAY'^ dYAY- 1 - GdYY"1 Przechodzą c  do  przyrostów  skoń czonych  wzór  (22)  przybierze  postać: (23)  AG   =   YAA  Y"1  +  AYAY"1  - G AYY"1 w  szczególnych  przypadkach jeś li (24)  AA =  0 => AG   =   AYAY1-   - G AYY"1 (25)  AY  =   0 => AG   =   YAAY- K Powyż sze  zależ noś ci  obowią zują   dla  mał ych zaburzeń wartoś ci i wektorów  wł asnych. Korzystają c  ze  wzoru  (25)  w przypadku  zmiany  tylko  wartoś ci  wł asnych w prosty sposób  moż na  policzyć  przyrost  macierzy  G.  W  przypadku  zmiany  wektorów  wł asnych (zmniejszenie  wartoś ci  m oduł u I obliczenie AG  staje  się  bardziej  pracochł onne. Z za- leż noś ci  (22)  bę dziemy  korzystać  w  przypadku  jednoczesnej  zmiany  wartoś ci i  wektorów wł asnych. Łatwo  zaobserwować,  że znalezienie  przyrostu  AA  nie  nastrę cza  wiele  trudnoś ci. Trudnoś ci  pojawiają   się   n atom iast  w  przypadku  przyrostu  AY.  Przypuś ć my,  że  chcemy zmniejszyć  m oduł   wyraż enia (26) cft> Zmień my  k\ l)  o dkf\   Odpowiada  to  zmianie  macierzy  Y o dY (27)  dY  = 0.... 0 1' ..0 ~dkfX ..0 58 A .  CH U D ZIKIEWICZ, J .  KlSILOWSKI, A . Ż 0C H OWSKI Ponieważ  zwią zek  Y"1  =  [W t ,  ...  W 2 „] T  podaje  zależ ność  mię dzy  macierzą  Y a  wierszami wł asnymi  widać,  że ulegną   zmianie też wiersze wł asne. Róż niczkując  wzór y - iy  =   I otrzymujemy (28) stą d  otrzymujemy w2 o dkf .0 W , W 2n (29) r  ~~t o W tdkf 0 =   - dkf wf,..., W f  •   W f pa). W i\   ..., W \ i r Widzimy,  że ulegną   zmianie wszystkie  wiersze wł asne, przy  czym (30)  '  dW ™ =   -   W p  •   W f  •  dkf. Stą d  ostateczny  wynik (31)  dC% =  dkfW ^ +kfdW ®  = [W ™- k?W Stał ą   y rip   moż na już  ł atwo obliczyć z macierzy Y i Y"1 . Podstawiają c (32)  dC% =  - eC%;  e >  0 oraz  przechodzą c do przyrostów  skoń czonych  otrzymamy =   y rlp dkp (33) dk[r)  m - B- • ip Yrip Wzór  (33) podaje  zależ noś ci na zmianę  (zaburzenie) ukł adu wektorów  wł asnych w przy- padku  zmiany  wartoś ci  wyraż enia  (26).  Znają c  teraz  AY  oraz  A/ l  ze wzoru  (23)  moż na znaleźć przyrost AG . Koń cowym etapem obliczeń bę dzie znalezienie zaburzenia A/> wektora parametrów p =  [/>,-, ...p,,,] realizują cego  zaburzenie  dG.  Obliczenie  AJ? m oż na  wykonać kilkoma  sposobami.  P odamy  trzy z nich. U szeregujemy  macierz  G  w  wektor: (34)  g=[G ll ,...,G ik ....,G im ] dim  g  =   n2 N iech  J(n2 x ni)  bę dzie  jakobianem  g  wzglę dem  ukł adu  param etrów  p  wzię tym  w  pun- D ( D ( M O D YF I K AC JA  LI N I OWE G O  M OD ELU   D YSKR ETN EG O  59 wtedy (35)  dg =   Jdp. Korzystają c  ze wzoru  (35)  otrzymamy (36)  dp =  {JTJ)- W - dg, gdzie:  dg jest  zaburzeniem  dG  przedstawionym  w  postaci  wektorowej.  D rugi  sposób znalezienia  nowego  wektora  param etrów  p*  oparty  jest  n a minimalizacji  wyraż enia po- danego  niż ej.  M ają c  AG   obliczamy  nową   macierz G   =   G + AG Pamię tają c,  że macierz  G  jest  funkcją   wektora  p,  wektor  zmodyfikowany  p*  otrzymamy rozwią zując  zadan ie  minimalizacji (37) max przy  ograniczeniach  P m l n  < p <  P„ Rozwią zaniem  zadan ia  (37) bę dzie  szukany  zmodyfikowany  wektor  p*.  Przedstawione powyż ej  m etody  obliczenia  Ap  należy  stosować  w  przypadku  gdy zależ ność  macierzy G   od wektora  param etrów jest  bardzo  nieliniowa  oraz gdy elementami wektora]?  są  para- metry  masowo- bezwł adnoś ciowe.  Jeś li  warunki  te n ie są  speł nione to wówczas  pokaż emy, że  moż na w bardzo  ł atwy  sposób  znaleźć  wektor  Ap.  D la  ukł adu  opisanego  równaniem (2)  macierz  AG   otrzymaną   z (23)  moż na  przedstawić  w postaci: A G a  ;  AG 1 2 ( 3 8 )  A G "  r  |  o gdzie: dim AG U  =  dim AG ! 2  =  nxn Korzystają c  z (38) m oż na już w prosty sposób  znaleźć Ap,  mianowicie AB  =   - A"1 -   A G M = > D B (39")v   '  AC =   ~A~ x- AG 12 =>p c przy  czym :  Ap  = Obliczone w ten sposób  wektory  Ap B ,  A^ c są  wartoś ciami  poprawek  elementów tł umią cych macierzy  B i  podatn ych  macierzy C. Jeż eli  elementy  macierzy  C i  B  zależą   liniowo  od parametrów podatno- tł umią cych obiektu  rzeczywistego  to ze zwią zków  (39)  m oż na w sposób  bezpoś redni  otrzymać nowe wartoś ci  sprę ż ystoś ci  i  tł umienia ł ą czników  podatno- tł umią cych.  Mają c  te  dane  moż emy już  podać  kon kretn e  propozycje  zmian  konstrukcyjnych  w  badanym  pojeź dzie.  Jeż eli zależ ność  elementów  macierzy  C i B od param etrów  podatno- tł umią cych  obiektu  rzeczy- wistego  nie jest  liniowa  t o  wtedy  otrzymanie  nowych  wartoś ci  parametrów  podatno- tł umią cych obiektu wymaga dodatkowo rozwią zania nieliniowego ukł adu równ ań : Aśn  —f'(c), ( 4 0 )  A-   , »/ 7\ Ap c   = /   (k), gdzie:  k, c — wektory  zawierają ce  elementy podatno- tł umią ce  obiektu  rzeczywistego. 60  A.  CH U D ZIKIEWICZ,  J.  KISILOWSKI,  A.  Ż OCH OWSKI 3.  Okreś lenie  niektórych  kryteriów  modyfikacji  modeli  pojazdów  szynowych D la  przeprowadzenia  modyfikacji  modelu  należy  okreś lić  kryteria  w  obszarze  czę sto- tliwoś ci  wg  których  należ ał oby  prowadzić  zmiany  konstrukcyjne  tak  aby  n owe  wł asnoś ci dynamiczne  modelu  speł niał y  ż ą dane  warun ki.  Kryteria,  które  podam y  poniż ej  bę dą wynikać  z  nastę pują cych  przesł an ek: —  warunków  pracy  obsł ugi; —  warunków  pracy  urzą dzeń; —  komfortu  jazdy  pasaż era. 3.1.  Kryterium  modyfikacji  wynikają cej  z  warunków  pracy  ludzi.  R ozpatrują c  warun ki  pracy ludzi  w przypadku  wystę powania  drgań  należy  podać n a jakiego  rodzaju  drgan ia  n araż one jest  ciał o ludzkie  w róż nych warun kach  pracy.  Wedł ug stan dardów  podan ych przez  ISO  [8] wyróż niamy  trzy  rodzaje  oddział ywania  wibracji  na  czł owieka: 1)  wibracje  przenoszone  są   na  cał e  ciał o  lub  n a  wię kszą   powierzchnię   ciał a  gdy  ciał o zanurzone jest  w  oś rodku  drgają cym. 2)  wibracje  przenoszone  n a  ciał o  jako  cał ość poprzez  powierzchnię   podtrzym ują cą   (nogi osoby  stoją cej,  oparte  plecy  itp). 3)  wibracje  przenoszone  są   poprzez  poszczególne  czę ś ci  ciał a  w  przypadku  gdy  d o  nich przył oż one  są   elementy  drgają ce  (n p.  drą ż ki  sterują ce,  kierownice,  wiertarki,  mł oty pneumatyczne). Badania  przeprowadzone  przez  ISO  obejmował y  tylko  zakres  czę stotliwoś ci  ( ł - r 80) H z.  D otyczył y  one  mię dzy  innymi  sprawnoś ci  ludzi  w  warun kach  gdy  poddawan i  są   oni w  czasie  pracy  drganiom. Z badań tych wynika, że sprawność  czł owieka n araż on ego n a dział anie drgań mechanicz- nych  maleje  po  pewnym  czasie  n a  skutek  zmę czenia  n p .  podczas  jazdy  pojazdu.  Z mniej- szenie  zdolnoś ci  do  pracy  uzależ nione  jest  w  rzeczywistoś ci  od  wielu  czynników  i  wy- stę puje  w  róż nym  stopniu  u  róż nych  osób.  Jednym  z  czynników  są   drgan ia  którym  pod- dawany  jest  czł owiek.  N a  rys.  3  dla  drgań  pionowych  i  n a  rys.  4  dla  drgań  poprzecznych a.  i 12 f[ Hz] Rys.  3 pokazan o  graficznie  zależ noś ci  am plitudy  przyspieszeń  od  czę stotliwoś ci  dla  poszczegól- nych  czasów  odczuwania  zmę czenia  x.  Wykresy  te  wyznaczono  n a  podstawie  badań eksperymentalnych. M O D YF I K AC J A  LI N I O WE G O  M OD ELU   D YSKRETN EG O 61 Badan ia  wykazał y,  że  wartość  przyspieszeń  drgań  niebezpiecznych  dla  czł owieka  ze wzglę du  n a  jego  sprawnoś ć,  dla  drgań  pionowych  zawarta  jest  w  przedziale  4—8  H z, a  dla  drgań  w  kierun ku  poziom ym  i poprzecznym  od  1 H z do  2 H z. Przedstawione  wyniki są   kryterium  dla  jakich  czę stotliwoś ci  dynamiczne  funkcje  przejś cia  powinny  posiadać wartoś ci  charakterystyki  am plitudowej  mniejszych  od  1. 3.2.  Kryteria  modyfikacji  wynikają ce  ze  spokojnoś ci  jazdy.  P o d a n e  zo st a n ą   n iekt ó r e  kryt eria m atem atyczn e  pozwalają ce  okreś lić  stopień  spokojnoś ci  jazdy  pojazdu,  tj.  bę dą ce jednym z  m ierników  kom fortu  jazdy  pasaż era.  Są   t o : —  Kryterium  Sperlinga Oznaczamy  przez  W z   współ czynnik  spokojnoś ci  jazdy  okreś lony  wzorem  zgodnie  z  pra- cą   [2, 9] (41) lub (4 2 ) Wz  -   2,7   10fa3f5', f b3f ' gdzie:  a —  am plituda przemieszczeń  dla  danej  czę stotliwoś ci/ bą dź  a  =   \ /  S(f t )  dla  drgań losowych b —  am plituda  przyspieszeń  dla  danej  czę stotliwoś ci / —  czę stotliwość  drgań  w  [H z] K  —  współ czynnik  okreś lają cy  wraż liwość  organizm u  na daną   czę stotliwość  podan y w  [9]  fcs<0.8+ 1.35> S(fi)  —  wartość  estym atora  funkcji  gę stoś ci  spektralnej  dla  i- tego  pasma  czę stotliwo- ś ci Klasyfikację   spokojnoś ci  jazdy  podan o w  tabeli  w  oparciu  o  [14] —  Kryterium  D ieckm an n a Jest  to  kryterium  stosowan e  czę ś ciej  w  pojazdach  samochodowych  ale  podajemy  je  dla obrazu  cał oś ci  zagadn ien ia.  Okreś la  się  współ czynnik uzupeł nienia k  nastę pują co  [11]: 62 A.  CH U D ZIKIEWICZ,  J.  KISILOWSKI, A.  Ż OCH OWSKI (43) af2 5af 20a dla dla dla 5H z 40H z /   >  40 H z gdzie:  a  oznacza  am plitudę   drgań,  a / —c zę st o t liwo ś ć. W  zależ noś ci  od  wartoś ci  k  ocenia  się   stopień  odczuwania  drgań  korzystają c  z  wytyczo- nych  przedstawionych  w  pracy  [11]. Tablica  1 drgania pionowe 1—1.5 2 2.5—3 3.5—4 4 W , drgania  poziome 1—1.5 2—2.3 3—3.5 4—4.5 — ocena b. dobra dobra zadowalają ca dopuszczalna niedopuszczalna W  przypadku  drgań  losowych  o  szerokim  paś m ie  czę stotliwoś ci,  w  celu  znalezienia zastę pczej  ś redniej  kwadratowej  przyspieszeń,  dzieli się  pasm o czę stotliwoś ci  n a odpowied- nie  przedział y,  a  nastę pnie  okreś la  się   ś rednie  kwadratowe  przyspieszeń  dla  każ dego z przedział ów. Z otrzymanych wartoś ci  oblicza  się   ś rednią   kwadratową   zastę pczą. (44) = V 2 j gdzie:  a si   —  ś rednia  kwadratowa  przyspieszeń  dla  i- tego  przedział u  czę stotliwoś ci k ri   —  współ czynnik  redukcji  dla  i- tego  przedział u  czę stotliwoś ci Wartość k,i  moż na dobrać korzystają c  z  [11]. W  przypadku  gdy  n a  czł owieka  oddział ywują   w  sposób  cią gły  w  czasie  t x ,t 2 ,  ...,t„ drgania  o  róż nych  widmach  wystę pują cych  przyspieszeń,  oblicza  się   zredukowan y  czas oddział ywania (45) gdzie:  t t   —  rzeczywisty  czas  wystę powania  i- tego  widma  czę stotliwoś ci T —  dopuszczalny  czas  oddział ywania  drgań  wystę pują cych  w  czasie  t T i —  dopuszczalny  czas  oddział ywania  drgań  odpowiadają cych  zastę pczej  ś redniej kwadratowej  amplitudzie w  / - tym  okresie  czasu. Jeż eli  z  obliczeń  okaże  się , że (46)  T z   <  T , to  moż na wtedy  przyją ć,  że drgania są   poniż ej tej  granicy jaką   przyję to  za dopuszczalną  do znalezienia  czasów  T o r a z  T t   [8].  Przedstawiliś my  kryteria,  które  posł użą   n am do  cyfrowej modyfikacji  przyję tego  m odelu  matematycznego, mają c  n a  uwadze  warun ki  pracy  ludzi oraz  komfort  jazdy  pasaż era. MODYFIKACJA  LINIOWEGO  MODELU   DYSKRETNEGO  63 3.3. Kryteria  modyf ikacyjne  wynikają ce  z warunków  pracy  urzą dzeń i wymuszeń  dział ają cych na ukł ad. Pojazdy  szynowe  wyposaż one  są   w  róż nego  rodzaju  urzą dzenia,  które  w  cał oś ci  bą dź n iektóre  ich  elementy  są   kon strukcjam i  mechanicznymi.  Wł asnoś ci  dynamiczne  takiego urzą dzen ia  bą dź  elem en tu  charakteryzuje  funkcja  przejś cia  zależ na  od  elementów  bez- wł adnoś ciowych  m  i  sprę ż ysto- tł umią cych k,  c  [10]  rys.  5 Z  |  zaburzenie 'WU F(m,3,k,o) Rys.  5 Warun kiem  prawidł owego  przetwarzan ia  sygnał u  x m   n a  sygnał   y wy   jest  aby  postacie drgań  wł asnych  n ie  pokrywał y  się   z  czę stoś ciami  drgań  zewnę trznych,  które  najczę ś ciej bę dą   drgan iam i  podstawy  do  której  przym ocowane  jest  dane  urzą dzenie. N a  rys.  5  drgan ia  te  przedstawion e  są   w  postaci  sygnał u  z,  który  reprezentuje  zakł ó- cenia  pracy  dan ego  urzą dzen ia.  N ależy  wię c znaleźć  postacie  drgań  wł asnych  charaktery- zują cych  dan e  urzą dzenie,  tj.  okreś lić  postać  rozwią zania  dla  współ rzę dnej  uogólnionej qi,  analitycznie  bą dź  eksperym entalnie  mają cej  wpł yw  n a  warunki  pracy  urzą dzenia. N astę pn ie przeprowadzić  analizę  czy we współ rzę dnej  q t   wystę pują   postacie wł asne o czę sto- tliwoś ciach  zbież nych  z  postaciam i  wł asnych urzą dzeń  instalowanych  n a pojeź dzie.  Wynik tej  analizy  bę dzie  kryterium  dla  modyfikacji  pojazdu  bą dź  urzą dzeń. P ojazdy  szynowe  bę dą ce  w  ruchu  poddawan e  są   wymuszeniom  mają cym  w  czę ś ci ch arakter  kin em atyczn y.  Wymuszenia  te  bę dą   pochodzić  od  nierównoś ci  wystę pują cych w  torze.  M oże  się   okazać,  że  dla  n iektórych  prę dkoś ci  jazdy  pojazdu  szynowego  czę sto- tliwoś ci  wymuszeń  bę dą   w  tym  samym  zakresie  co  czę stotliwoś ci  w  postaci  wł asnych drgań  pojazdu.  Wystą pi  wię c  sprzę ż enie  dynamiczne  mię dzy  wymuszeniem  a  pojazdem i  dynam iczna  funkcja  przejś cia  bę dzie  dla  tych  czę stotliwoś ci  wię ksza  od  jednoś ci.  Ten zakres  czę stotliwoś ci  bę dzie  stan owił   kryterium  modyfikacyjne. 3.4.  Przykł ady  niektórych  kryteriów  modyfikacyjnych  sformułowanych  dla  badanych  typów  pojazdów szynowych.  W  pracach  [2,  3,  5]  zbudowan o  i  zidentyfikowano  model  matematyczny lokomotywy  elektrycznej  E U O 7.  N a  pracę   czł owieka  w  kabinie  maszynisty  wpł yw  po- siadać  bę dą   drgan ia  opisywane  współ rzę dną   q 1A   [2,  3],  której  postać  analityczna  jest n astę pują ca: 17 (49)  ?t4  =   R ( gdzie:  x t   —  wektor  wł asn y:  A,-  —  wartość  wł asna. P o  wyznaczeniu  wektorów  i  odpowiadają cych  im  wartoś ci  wł asnych  [2,  5]  widać,  że n a  ruch  ś rodka  kabin y  m aszyn isty  wpł yw  bę dą   posiadał y nastę pują ce  czę stoś ci: ho  =  Ao  =   8,62  H z ,  Au  -   fn  =   7,14  H z: A,  2  = / i 2  =   3, 26H z,  A,  3  = / , 3  =   2, 2H z 64  A.  CH U D ZIKIEWICZ,  J.  KISILOWSKI,  A.  Ż OCH OWSKI Wyniki  te  potwierdzone  został y  badan iam i  eksperymentalnymi.  P o  analizie  spektralnej realizacji  opisują cych  ruch  ś rodka  kabiny  maszynisty  uzyskan o  estym atory  gę stoś ci widmowej  w  których  maxima  wystę pują   dla  tych  samych  czę stoś ci  jakie  otrzym an o  w  wy- niku  obliczeń  wektorów  i wartoś ci  wł asnych  [2]. Otrzymane  czę stoś ci  porówn an o  z  wykresami  n a  rys.  3.  Z  porówn an ia  wynikł o  kry- terium  modyfikacyjne;  tj.  konieczność  zmiany  param etrów  konstrukcyjnych  tak,  aby wyeliminować  czę stotliwoś ci  f n .  G dy  porówn am y  czę stoś ci  postaci  wł asnych  ukł adu, z  czę stoś ciami  postaci  wł asnych  niektórych  elementów  urzą dzeń  Z R K  [10]  to  widać, że  należ ał oby  zmodyfikować  konstrukcję   elementu  tak,  aby  postaci  wł asne  drgań  tych urzą dzeń  był y  róż ne  od  czę stotliwoś ci/lt,  ifn.  Przy  badan iu  nierównoś ci  geometrycznych toru  metodami  geodezyjnymi  otrzym an o  dł ugoś ci  fal  tych  nierównoś ci.  D la  prę dkoś ci 80  km/ godz.  czę stotliwoś ci  tych  nierównoś ci  są   w  granicach  0,2  do  3,5  H z.  Wyznaczono również  dynamiczne  funkcje  przejś cia  z  modelu  matematycznego  i  badań  eksperymental- nych  dla  wagonu  towarowego  z wózkami  25 T N , które  przedstawion o  n a  rys.  6.  Z  porów- 2  4  6  8  10  12  14  W f[Hz] Rys.  6 nania  dynamicznych  funkcji  przejś cia  i  wymuszeń  pochodzą cych  od  geometrycznych nierównoś ci  toru  widać,  że  dla  drgań  pionowych  cechy  dynam iczne  ukł adu  eliminują dział anie wymuszenia,  t ak  wię c  w  tym  przypadku  nie  należy  dokon ywać  zm ian  kon struk- cyjnych  dla  poprawy  wł asnoś ci  dynamicznych  obiektu. 4. Przykł ad obliczeniowy  modyfikacji  ukiadu mechanicznego metodą  zmian elementów macierzy  transmitancji N a  podstawie  powyż szych  ogólnych  zależ noś ci  został   n apisan y  program  realizują cy modyfikację   obiektu  poprzez  zmianę   transmitancji.  F orm uł ują c  zadan ie  skorzystan o z  nastę pują cego  twierdzenia: N a  t o ,  aby  ukł ad  równań  róż niczkowych  pierwszego  rzę du  (2)  był   równ oważ ny  pew- nemu  ukł adowi równ ań  róż niczkowych  drugiego  stopn ia  postaci  (1)  potrzeba  i  wystarcza, aby  wartoś ci  wł asne  i  wektory  wł asne macierzy  G  speł niał y  waru n ki: a)  wartoś ci  wł asne  są   rzeczywiste  albo  param i  sprzę ż one, b)  sprzę ż onym  wartoś ciom  wł asnym  odpowiadają   sprzę ż one  wektory  wł asne, M O D YF I K AC J A  LI N I O WE G O  M OD ELU   D YSKR ETN EG O 65 c)  jeż eli  V =  [ F l s V2}  ..., V„, Vn+1, ...  V2„] r  jest  wektorem  wł asnym  odpowiadają cym wartoś ci  wł asnej  X,  t o Wł asnoś ci  a i b zapewniają ,  że m acierz G  utworzon a  wg  wzoru  G  =  Y/ I Y"1, Y —  macierz wektorów  wł asnych jest  rzeczywista  a z wł asnoś ci  c wynika,  że  G  m a  postać D  E  \ G = I  i  0 P rzykł adową   modyfikację   przeprowadzon o  dla  m odelu  ram y  wózka  pokazanego  n a  rys. 7. Ruch  swobodny  takiego  ukł adu m oż na zapisać w postaci: (50) + C 2 )q+jl(C l - C 2 )j)+(k i +k 2 )q+~l(k 1 ~k 2 )   Tpti—i   TPi 1 Czy  wyniki modyfikacji  są zadawalają ce TAK Podją ć  nową   decyzję o  dalszym  kierunku _ (' sposobie  modyfikacji NIE R ys.  1.1 5* 68  A.  C H U D Z I KI E WI C Z ,  J.  KI SI LOWSKI ,  A.  Ż OC H OWSKI .ak  i  numerycznej  dla  procesu  modyfikacji  (przedstawiony  przez  autorów)  sformuł owany jest  ogólnie  i  może  być  stosowany  dla  dowolnego  m odelu  liniowego. D la  pojazdu  szynowego  przedstawiono  n iektóre  kryteria  dla  modyfikacji  bę dą ce jednocześ nie  czę ś cią   warunków  jakie  powinny  speł niać  pojazdy  szynowe  w  zakresie  dy- namiki  dla  poprawnej  ich  pracy.  Warun ki  te  sprecyzowano  jedyn ie  w  obszarze  czę sto- tliwoś ci. Przedstawiony  algorytm  obliczeń  numerycznych  może  być  stosowan y  dla  dowolnego modelu  liniowego. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  J.  M AD E J,  Praca  doktorska.  Biblioteka  P W.  Warszawa,  (1972). 2.  J.  KISILOWSKI,  Dynamika  ukł adu tor- pojazd.  P race I TP W,  Zeszyt  15. Warszawa,  (1978). 3.  A. C H U D Z I KI E WI C Z , J.  D R OŹ D Z I E L, J. KI SI LOWSKI , W.  Kus, Próba  wyznaczenia  modelu  matematycznego wybranej konstrukcji pojazdu  szynowego.  Archiwum Budowy  M aszyn. T o m XXV,  Zeszyt 3, Warszawa, (1978). 4.  D . J.  G ROBN EWELD , A. D . de PATER,  T he motion  of  a  railway  vehicle placed  on  rotating  rollers.  D elft U niversity  of Technology.  R eport n r 486  Jun e,  (1974). 5.  A. C H U D Z I KI EWI C Z , J.  D R OŹ D Z I E L, J. KISILOWSKI,  W.  K U S , On the dynamic analysis  of  a chosen  traction rail vehicle.  Referat wygł oszony n a XI  Konferencji D yn am iki M aszyn. Libice (1977)  CS RS . 6.  M . F . WER I G O, S. N .  P OP ÓW,  i  inni,  W zaimodiejstwije  puti  i podwiż nogo  sostawa  i  waprosy  razczetow puti.  T rudy Instytuta  Ż elazno- Doroż nogo  T ransporta.  Wypusk  97.  (1959). 7.  G .  LALLEM EN T, Modyfikacje  wł asnoś ci  dynamicznych ukł adów liniowych.  Sympozjum  Dynamiki  Maszyn PAN .  Jabł onna,  (1974). 8.  Investigation  of  boxcar  vibrations. F ederal R ailroad Adm in istration .  September,  1970. 9.  K.  Ż EN KEL,  Problemy  kmitani  na motorowych  lokomotlwach.  M ateriał y  Konferencji  VSD .  Ż ylina — Smoleowice, 1972. 10.  J.  KISILOWSKI,  Elementy  analizy  ukł adu  stykowego  na przykł adzie  przekaź nika  SRG.  P raca  I T  P W. Zeszyt  11. Warszawa,  1975. 11.  J.  LAZEN DOERFER,  Badanie pojazdów  symochodowych  WK Ł .  Warszawa,  (1977). 12.  J. KISILOWSKI, A. SZ U LC Z YK, Próba uzasadnienia  wprowadzenia niektórych  zał oż eń przy  budowie modelu nominalnego wagonu towarowego z wózkami 25T N . Pojazdy Szynowe zeszyt  1. P ozn ań ,  1979. 13.  J.  G IERG IEL, Zagadnienie  tł umienia  drgań .  W yd. AG H , Kraków  1974. 14.  W. G RZESIKIEWICZ,  J.  OSIECKI, J. P IOTROWSKI,  Podstawy  dynamiki pojazdów  szynowych.  W ydawnictwo PW ,  Warszawa, 1972. Dodatek  1 D la  metody  modyfikacji  wł asnoś ci  dynamicznych  m odelu  w  oparciu  o  zm ianę   ele- mentów  macierzy  transmitancji,  opracowan o  program  numeryczny  w  ję zyku  Algol  1900 n a  E M C  Odra  1325.  Schemat  blokowy  tego  program u  został   przedstawiony  n a  rys.  1.1. N a  schemacie  tym  uż yto  nastę pują cych  oznaczeń: N —  wymiar  problem u  (wymiarowość  macierzy  A, B, C  w  równ an iu  (1)) M  —  wymiar  wektora  param etrów  P p  —  począ tkowa  wartość  wektora  param etrów k  —  wektor  zawierają cy  numery  interesują cych  n as  1  elementów  macierzy transmitancji  k  =   [k l}   ,..,  A;j hi>  •••>  4 i —' I  elementów  macierzy  transmitancji / p i !  • • • ifpi  —  odpowiednie  funkcje  przejś cia M O D YF I K AC J A  LI N I O WE G O  M OD ELU   D YSKRETN EG O  69 k x  —  wektor  zawierają cy  numery  tych  elementów  macierzy  transmitancji,  które należy  zmienić / p D   • • • >/ pj"~funkcje  przejś cia  które  należy  zmodyfikować  —  przedział   w  dziedzinie  czę stotliwoś ci  w  którym  dokonujemy  modyfikacji pX —  wektor  param etrów  po  wykonaniu  modyfikacji. N a  schemacie  linią   przerywaną   zazn aczon o  miejsca,  w  których  po  otrzymaniu  wyników obliczeń,  czł owiek  m usi  podją ć  decyzję   o  kierun ku  i  sposobie  zmian  wł asnoś ci  dynamicz- nych  badan ego  m odelu.  P odstawową   czę ś cią   omawianego  program u  jest  procedura  obli- czają ca  wektory,  wiersze i wartoś ci  wł asne opracowan e, w  oparciu o algorytm  podany przez Wilkinsona.  P róby  skorzystan ia  z  gotowych  procedur  bibliotecznych  maszyny  serii Odra  zakoń czyły  się   niepowodzeniem ,  z  uwagi  n a  zł e  uwarunkowanie  macierzy  G  i  jej dużą   wymiarowość  (w  pracy  [3]  bad an o  model  dla  którego  dim  G   =   68 x  68).  Pozostał e procedury  program u  został y  w  cał oś ci opracowan e  przez  autorów. P  e 3 io  M  e n o n t l T K A  MO,n;H